（应用数学专业论文）几何约束下畴壁的相变解.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文，我们主要研究了规范场中的拓扑孤立子的一维形式：畴壁，得到了在几何 约束下畴壁相变解的一系列存在性结论当截面函数和势能函数都为偶函数时，我 们运用动态打靶法得到这个相变解存在唯一且是奇函数对于一般情形的截面函数 和势能函数我们运用变分法证明了解的存在性，同时，我们还得到了有关解的单调 性质 关键词：畴壁，相变解，动态打靶法，变分法 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ed i s c u s sd o m a i nw a l l sw h i c ha r et o p o l o g i c a ls o l i t o n si no n es p a c e d i m e n s i o n w ep r e s e n tas t u d yo nt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n so ft h eb a s i cg o v e r n i n g e q u a t i o n si ni n t r i n s i c a l l yg e o m e t r i cd o m a i nw a l lm o d e l s w h e nt h ec r o s ss e c t i o na n d p o t e n t i a ld e n s i t ya r eb o t he v e n ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fa l lo d dd o m a i nw a l ls o l u t i o n r e a l i z i n gt h ep h a s et r a n s i t i o np r o c e s sb e t w e e nt w oa d j a c e n td o m a i np h a s e s o u rm e t h o d i s b a s e do i lad y n a m i c a ls h o o t i n ga p p r o a c hw h i c hp r o v i d e sa ne f f e c t i v ef r a m e w o r kf o rd o m a i n w a l ls o l u t i o n w h e nt h ec r o s ss e c t i o na n dp o t e n t i a ld e n s i t ya r en o ta s s u m e dt ob ee v e n f u n c t i o n s ，w ew i l le s t a b l i s ht h ee x i s t e n c e o fad o m a i nw a l ls o l u t i o nv i ad i r e c tm i n i m i z a t i o n k e y w o r d s ：d o m a i nw a l l ，p h a s et r a n s i t i o ns o l u t i o n s ，d y n a m i c a ls h o o t i n gm e t h o d ， d i r e c tm i n i m i z a t ：i o n i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做酌任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位孛请久j ( 学位论交作者，釜名：垒旦：鍪 2 9 o 年月1 日 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授予硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南穴学有关保留、使用学位论文酮要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本乖电子文本) 以供公众检索、查阅。本人授权河南犬学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本乖电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学住论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：土丑! 骜 2 0 扣阜月1 日 学位论文指导教师签名：登益尘 2 010 年6 月，日 第一章引言 1 1 物理背景介绍 在过去的五十多年里，规范场理论在理论物理界逐渐获得了很重要的地位在 二十世纪三十年代，d i r a c 提出了磁单极子的基本概念，这个概念的讨论是在u ( 1 ) 规 范场的框架中进行的u ( 1 ) 规范场是只和电磁现象相联系还是和更多的自然现象相 联系? 显然这些探讨极有科学意义和价值 所谓规范场( g a u g ef i e l d ) ：即与物理规律的定域规范变换不变性相联系的物质 场量子力学的发展赋予规范变换新的含义同时它还被寄予能够找到统一的结构 来描述自然界的几种基本力，如电磁力，弱作用，强作用，引力等等在量子力学中 规范变换相当于相位变换由于相位变换是随时空而变的，规范变换称为定域规范 变换相应的场称为规范场 1 9 5 4 年，杨振宁和r l m i l l s 发表了规范场的经典论文：同位旋守恒和广义的规范 不变此后，h o o f t 和v e l t m a _ n 在1 9 7 2 年证明了非阿贝尔规范场理论可重整化，这项工 作被后人称为里程碑性的工作 非阿贝尔规范理论的一个重要研究方向就是数学和物理的结合物理学历史上 每个时期发现的自然界基础性的物理规律，总伴有相应的数学结构例如：热理论和 偏微分方程，电磁场理论等规范场理论则是开拓了物理学和数学的结合，把规范理 论置于严格的数学基础之上 在规范场里，人们研究很多的是它里面存在的孤立子孤立子被应用于粒子物 理，固体物理以及各种非线性物理问题中孤立子反映了自然界的一种相当普遍的 非线性现象，同时很多非线性偏微分方程都存在孤立子解，这些纯粹数学上的孤立 子，很快在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学实验中被发现 瞬子，单极子，双荷子，涡旋，扭结，都是拓扑孤立子，这些孤立子是偏微分方程 系统的解，并且这些解具有稳定的光滑的结构因此它们广泛地应用在质点物理，宇 宙学，凝聚体，生物学，超流体，超导电场，磁力学等【1 ，2 ，3 】孤立子一般可分为： 】 河南大学硕士学位论文 ( 1 ) 一维的孤立子：畴壁( d o m a i nw a l l ) ( 2 ) 二维的孤立子：涡旋( v o r t i c e s ) ( 3 ) 三维的孤立子：磁单极子( m o n o p o l e s ) 1 2 预备知识及研究结果 本文将研究规范场中的一维孤立子，即畴壁 虽然它的描述很简单，但是在研究两个不同基态的相变过程中的数值精确方面 却起着很大的作用f b l o c h z 0 最先指出，像铁磁体空间那样无约束的系统中，它的 壁结构是由交换力和各向异性能量之间的竞争所决定的l a n d a u 和l i f s h i t z 1 3 】曾经 计算过b l o c h 壁的确切结构正如奈尔展示的，在一个用作成简易的磁体轴的铁磁体 薄片中，双重接触会导致一种新壁的出现，在这种新壁中，壁的结构是由交流各向异 性和双能量竞争生成，这就是众所周知的奈尔壁【14 一个畴壁能够清晰的描述一个相变，经典的b l o c h 壁，就是在磁力的作用下，从 角日= 一吾转变成p = 吾它可由s i n e - g o r d o n 方程： 9 ”+ 矣s i n ( 2 口) = 0 ， 一o 。 0 ， ( 1 1 3 ) f ( u ) 为偶函数，f ( u ) 0 ，对某些咖 0 ；6 - f ( 如) = 0 ， 并且当o u u o 时，有r ( 牡) 0 ( 1 1 4 ) 其中昂，铂为常数，对于势能函数f ( u ) ，我们记r = 瓦d f 则方程( 1 1 2 ) 在边界条件 u ( 士o c l = 士u o ( 1 1 5 ) 下有一奇函数解 定理1 2 在定理1 1 的条件下，若 ( i ) p q p q 7 0 ；p ”q q 7 p 7 o ； ( 钇) 铲雨d x = o o ； ( 谢) 当u _ u i 时，( u ) 0 成立，则初值问题 p ( x ) u ”：i - p ，( z ) 乱7 一q ( z ) 凡( u ) = 0 ，0 z o 。， 钍( o ) = 0 ，4 ( 0 ) = o ( 1 1 6 ) 有唯一解，进而，问题( 1 1 2 ) ( 1 1 5 ) 有唯一奇函数解 在第三章，我们用了变分法来证明相变解的存在性，并且得到了解的一些性质 4 河南大学硕士学位论文 主要结论： 定理1 3 假设截面函数p 满足： 仁南d x o 。( 1 1 t ， 则方程( 1 1 2 ) 在边界条件 u ( 一o 。) = 1 1 1 ，u ( 。) = u 2( 1 1 8 ) 下有解，且是极小问题 ? 7 兰i n f ( e ( u ) lu c l ( 1 1 9 ) 的解，其中 c 1 = 让( z ) i 钍( z ) 在( 一。，o 。) 上连续，在( 一o 。，。) 上的任意紧子区间上绝对连续， u ( 一o o ) = u l ，u ( 0 0 ) = 7 1 2 ，且e ( 珏) 。) ( 1 2 0 ) 同时满足： ( i ) u l u ( x ) u 2 ，v o 。 0 ，( 2 1 ) 其中p o ，q o 为常数对于势能函数f ( u ) ，我们记冗= 笔，并且假设 f ( u ) 为偶函数，f ( 让) 0 ，对某些咖 o 有f ( 咖) = 0 ， 并且当o 让 咖时，有凡( 缸) u o 时，凡( 仳) 0 ( 当u u o 时，我们可以做解的延拓) 同时f ( u ) ，p ( x ) 和q ( z ) 都为偶函数，如果证明 6 河南大学硕士学位论文 y ( 2 4 ) 和( 2 5 ) 有一个解，那么易得这个解是奇函数因此，我们只需研究当0 x o o 时，方程( 2 4 ) 在以下边界条件 u ( o ) = 0u ( c o ) = u o ，( 2 6 ) 的解因为方程( 2 4 ) ( 当一o o z o o ) 在( 2 5 ) 条件下的解可以由( 2 4 ) ( 5 0 z c o ) 在( 2 6 ) 条件下的解通过解的延拓得到，即 - = i lx o 时，有u ( x ) = 一乱( 一z ) 为了得到方程( 2 4 ) 在边界条件( 2 6 ) 下的解，我们将考虑初值问题 ( 2 7 ) p ( z ) 0 7 + ，( z ) u 7 一q ( z ) 凡( 牡) = 0 ，0 0i 存在z 0 ，满足乱7 ( z ；o ) 0 对所有。 0 ，都有乱7 ( z ；o ) 0 ，且u ( x ；a ) 咖) ， a + = a 0l 对所有z 0 ，有u ( z ；口) 0 ，并且对某些z ，有u ( x ；a ) 钍o ) 下面我们将用五个引理来完成问题( 2 4 ) - ( 2 5 ) 存在性的证明 引理2 2 1r + = ( o ，o o ) = a u a ou a + ，并且a 1 3 a + = a na o = a ona + = 7 河南大学硕士学位论文 证明： 由a 一，a o ，a + 的定义易知，它们是互不相交的数集下证：r + = ( 0 ，o 。) = a u a o u a + 若a 不属于a 一，则由a 一的定义可知：对所有的z o 都有u t ( x ；a ) 0 如果存在一点z o 0 ，使得钆( z o ；a ) = 0 ，则凡( u ( 。o ；o ) ) 0 否则，在有限的z o o 处， 我们就得到了微分方程( 2 8 ) 的一个平衡点，这与常微分方程初值问题解的唯一性定 理相矛盾在微分方程( 2 8 ) 式中，利用凡( 乱( 知；n ) ) o 且u ( 铷；a ) = 0 ，我们可以得 到：在。o 点有u ” 0 或乱” 0 即。属于a ou a + 故引理得证 引理2 2 2 数集a 一是非空开集 证明：由( 2 8 ) 式，我们得到： p ( z ) u 7 ( z ；o ) = p ( o ) a + q ( 可) 凡( u ( 可；a ) ) d y ( 2 9 ) 如果n 岳a 一，由a 一的定义可知，对所有的z 0 ，都有乱7 ( z ；a ) 0 从( 2 9 ) 式得到 p ( z ) 钆7 ( z ；a ) p ( o ) a ，( 2 1 0 ) 由前面的假设 当0 u u o 时，有r ( u ) 0 ，( 2 1 1 ) 进而可以得到 。 u 协；口) 0 ( 2 1 3 ) ( 2 1 2 ) 式两端在( 0 ，z ) 上积分，可得 。 让( z ；。) 。( 2 1 4 ) 我们记( 0 ，k ) 为解的存在区间，或者有0 k 0 由( 2 9 ) 式 和( 2 1 1 ) 式，我们可以看出，必须有u u o 那么，存在这样一个区间k l ，z 2 】使得 当x l z z 2 时，有u ( t 1 ；n ) = 百u o ，仳( 。2 ；。) = 百u o ，百u o u ( z ；口) 詈 ( 2 1 5 ) r 河南大学硕士学位论文 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) ，可以得到 把( 2 1 6 ) 代入到( 2 9 ) 式，可得 一啦器 ( 2 1 6 ) 0 p ( x 2 ) u 7 ( x 2 ) = p ( o ) a + q ( 矽) r ( 让( 耖；o ) ) 妇 p ( o ) a + q ( 可) j k ( 乱( 耖；口) ) d y p ( o ) 。一警翌乏挚 j r ( u ) | ) z ，q ( v ) d y p ( 0 ) a - 彳 0 且充分小时，a 一包含了一 个( o ，e ) 的区间形式，也即a 非空 由常微分方程解对初值的连续依赖性定理可知a 一为开集 引理2 2 3 数集a + 是非空开集 证明：对任意给定的z o 0 ，令a 0 且满足 。 南。蜒s u p t o i 凡( “) 吨q ( y ) d y ( 2 朋) 由( 2 9 ) 式可得： 岍( 0 ) 。z $ 南咖+ o 茹1 砌) f o 掣剐u 枷捌可 ( 2 1 9 ) 从上式可以看出：令o 0 2 = 够大满足( 2 1 8 ) 式，并且当z 一2 i 时有“( z ；n ) u 0 由( 2 9 ) 和( 2 i s ) 可得，对于在解的存在区间上的所有解来说，当u 2 1 , 0 时有凡( u ) 0 ，所以 “7 ( z ；o ) 0 这就证明t a + 包含这样的区间( 6 ，o o ) ，且6 0 足够大，也即a + 非空 下证a + 为开集任取一点n 1 a + ，对个很小的正数旷来说，总可以找到唯一 的z l 0 ，使得u ( z 1 ；a ) = u 0 + 叮，由常微分方程解对初值的连续依赖性，我们可以得 到，存在0 1 的一个开邻域c 碾寸，使得a a f ，于是，当0 正s2 1 时有“7 ( 2 ；口) 0 ， 且钍( z 1 ；d ) u 0 + 董，因为当u 呦时，凡( u ) 0 所以当七 z 1 ，我们仍有u 7 ( z ；o ) 0 这就证明了ca + ，也即4 + 为开集 引理2 2 4 数集a o 为非空闭集 河南大学硕士学位论文 证明： 因为a o 为以一和a + 并集的余集，而a 一和a + 都为非空开集，有限个开集 的和是开集，而开集的余集是闭集，及r + 的连通性，所以a o 为非空闭集 引理2 2 5 对任意的n a o ，当0 0 我们考虑u d 和伽的比，记为 钉：丝( 2 2 4 ) 利用定义的u 。和，我们就可以得到7 7 所满足的初值问题 ( 枷，叫铷：们+ ( ；一铷“( 菩一簪o 0 ，同时也有u a ( z ) 0 此外，对任意小的 0 ，总存 在一常数6 ( ) 0 ，使得 对所有的z ( ，z o ) ，都有u a ( x ) 6 ( ) u 7 ( z ) ( 2 2 7 ) 证明：1 主l ( 2 2 2 ) 的初值条件，可以看出，当z 0 ，且z 很小时，有u 口( z ) 0 否 则，我们假设存在一点z 1 ( o ，x o ) ，使得( z 1 ) = 0 ，但是，当z ( o ，z 1 ) 时，牡口( z ) 0 f t ：i ( 2 2 3 ) 式，我们可以得到当z ( 0 ，z o ) 时，伽”( z ) 0 于是，就有 w 7 ( z ) w 7 ( o ) = 0 ，0 z ( ；腩，) + ( 菩一等心伽，o x x o ( 2 2 9 ) 我们把( 2 2 9 ) 式重新写为： ( p 【伽2 】) ( 华) 钆口加，o 0 所以，对任意e o 足够小，当z 【e ，z 1 时可 得 岩刮啦稚) = 觜， ( 2 3 2 ) 又因为u 口( o ) = 0 ，让：( o ) = 1 ，w ( o ) = a 所以我们就有 对e 。足够小，有6 ( ) = 老等 。， ( 2 3 3 ) 比较( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 式，我们可以得到：当z kz 1 时，有让。( z ) 6 ( ) 伽( z ) 特别地， 有缸口( z 1 ) 0 ，这与假设的让a 1 ) = o 矛盾，所以只有x l x o 也就是说当z ( o ，x o ) 时， 有u a ( x ) 0 且( 2 2 7 ) 在( o ，z o ) 上也成立 引理2 3 2 在( 2 2 6 ) 条件下，存在a 2 0 ，使得a + = ( a 2 ，co ) 证明：因为a + 为开集，很容易的就可以得到：如果( 6 1 ，b 2 ) ca + 且6 2 0 ，并且是( z ，“) 平面上方程( 2 8 ) 的解u ( z ；口) 第一次 穿过乱= u 0 轴的点因此 u ( z o ( o ) ；a ) = u o ，( z o ( o ) ；a ) 0 ( 2 3 4 ) 对方程u ( 知( a ) ；a ) = 咖利用隐函数定理，我们可以得到z o ( q ) 关于。在区间( 6 1 ，6 2 ) 上是 可微函数，由引理2 3 1 可得 爰- x o ( 口) 一粼 z o ( 6 2 ) 时，有钍( z ；b 2 ) u ( x o ( 6 2 ) ；6 2 ) = u o ，所以( z ；6 2 ) 0 即6 2 a + 引理2 3 3 在( 2 2 6 ) 条件下，存在正数0 1 a 2 ，使得a 一= ( o ，0 1 ) ( 其中0 2 即为 引理2 3 2 中提到的) 证明：如果( 6 1 ，b 2 ) ca 一，且6 1 0 ，则6 1 a 一 对任意o ( 6 1 ，b 2 ) ，令z 1 ( o ) 为u ( z ；n ) 最左端的局部最大值，那么u ( z l ( o ) ；o ) u 0 ，并且在( o ，z 1 ( o ) ) 上缸( z ；n ) 为增的令z 2 是( o ，z 1 ( o ) ) 上唯 一一点使得让( z 2 ；8 ) = u o ，那么让7 ( z 0 ；口) 0 因为“ 如时，有凡( 铭) o ，于是可以得 到：对所有的z x o ，有u ( z ；a ) 0 ，矛盾所以 0 u ( z 1 ( 口) ；a ) 蛳， t 正( z 1 ( o ) ；a ) = 0 ， ( 2 3 9 ) 把上式代入微分方程( 2 8 ) 式，可得u ”( z 1 ( o ) ；o ) 0 由隐函数定理，可知z 1 ( o ) 关 于。在( 6 1 ，6 2 ) 上是一可微函数令 m ( a ) = u ( z 1 ( o ) ；o ) ，a ( b l ，6 2 ) ( 2 4 0 ) 则o m ( 口) 咖。由于当o 0 再由 连续性，可得u a ( x 1 ( o ) ；a ) 0 因此 丢m ( 0 ) = 此1 ( a ) ；。) 丢州口) + u 。( x l ( 毗口) 刮如1 ( 。) 0 ) o ( 2 4 1 ) 由上式可得：m ( o ) 关于n 在( 6 1 ，6 2 ) 上为递增的特别地，极限 m ( 6 1 ) 三l i r a m ( o ) ( 2 4 2 ) n + o ? 存在，并且有o m ( b 1 ) 0 ，当o b l 时，由上式可得，存在一常数c 0 0 ，使得z l ( o ) c o 0 下证：当o _ 6 1 时，x l ( o ) 仍有界我们将用反证法来证明假设当。一6 1 时， z 1 ( 。) 一o 。另一方面，由( 2 9 ) 式可以看出，函数族 仳( z ；。) 。 6 ，在【o ，k 】上，当。充分趋 1 3 河南大学硕士学位论文 近6 1 时( k 0 ，且使z 1 ( o ) ) ，是等度连续致有界的于是，函数族 u ( z ；a ) ) 。 6 ，为 列紧的，有收敛的子列，且极限存在，我们设 商( z ) = g 畸- - ，0 t “( z ；口) ( 2 4 4 ) 把( 2 4 4 ) 式代入( 2 9 ) 式，就可以得到：商( z ) 是( 2 8 ) 的解，因为当z ( 0 ，z 1 ( o ) ) 时，札，( z ；n ) 0 ，缸( z ；口) o 时，对所有z o 都有( z ) 0 ，苞( z ) u o 因此，由 前面所证的存在性定理可知6 1 a o 然而，利用性质： m ( ) m ( a ”) u o ，口7 0 ) ，有心7 ( z ；a ) 0 下证仇( 6 1 ) 0 否则，假设m ( 6 1 ) = o ，则o 0 再次利用连续性，当n _ 6 ；时，我们得到的解u ( z ；6 1 ) 满足 “7 ( z ；b 1 ) 0 ， z ( o ，z 1 ( 6 1 ) ) ，t 正7 ( z 1 ( 6 1 ) ；b 1 ) = 0 ； 0 r e ( b 1 ) = u 1 ( 6 1 ) ；b 1 ) 0 ，同时也有让n ( z ) 0 令跏( o ) 0 ，且使得 u o 一5 0 很小，且使得当u o 一6 仳u o 时，有r 。( u ) 0 下面我们分两种情况来讨论 第一种情况：存在z o ( o ) ，使得u t a ( x o ) 0 我们把微分方程( 2 2 2 ) 重新写为：( p 心) 7 = q ( z ) 凡u ( i t ) u 口利用u 。( z ) 0 ，有： p ( x ) u l a ( x ) 一p ( x o ) u l a ( x o ) = q ( 可) ( u ( 掣) ) 让d ( y ) d y 0 ，z x o ， ( 2 5 2 ) 上式隐含着吒( z ) o 由解的适定性，极限 u a ( o c ；n ) 三。1 i m 。u 。( z ；口) ( 2 5 3 ) 为一正数 第二种情况：对所有z z 6 ( o ) ，有让乞( z ) 0 ( 2 5 6 ) 河南大学硕士学位论文 当z 2 z 1 ( o ) ，对( 2 5 6 ) 式两端在( x l ，z 2 ) 上积分，可得 淞) = 而w ( z 2 ) 而? j g ( x 1 ) p ( o ) az x 2 而1 咖， ( 2 5 7 ) 当z x l ，x 2 ，钆n ( x 1 ) u 。( z ) 0 ，再由( 2 5 0 ) 式的发散性可知，当z 2 足够大时，筹高 0 时必有u 。 0 ，这就得出了矛盾说明第二种情况不可能发生 现在考虑区间 0 1 ，0 2 】= a o 因为对任意的o a o ，有- u ( o o ，口) = u 0 利用f a t o u s 引理可得 0 = l i m ( u ( z ；a 2 ) 一u ( z ；a 1 ) ) f a 2 2 熙上，( 邓) d 。 f a 2 上，z 1 i m 。u 。( 邓) 如 f a 2 = u o ( o 。；a ) d a ，( 2 5 8 ) 其中，把( 2 5 3 ) 式代入( 2 5 s ) 式右端的积分因为u 口( 。；n ) 为正数，所以只有a l = a 2 引 理得证 综合上述事实，我们可以得到解的唯一性： 定理2 2 设只q 和f 满足条件( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，并且满足：( i ) p 7 q p q 7 0 ；p ”q q 7 p ，0 ，( 既) 铲南= 。，( 洌) 当乱一乱孑时，( u ) 0 则存在唯一的正数。，使 得( 2 8 ) 的解是( 2 4 ) 在边界条件( 2 6 ) 下的唯一解特别地，方程( 2 4 ) 在边界条件( 2 s ) t 有唯一的奇函数解 注释： 1 引理2 3 2 、引理2 3 3 的推导，对求相变解的数值计算是有指导作用的 2 定理2 1 即畴壁相变解的存在性适用于文献 1 1 ，1 2 中的模型i i 、i i i 例如 p ( z ) = p o c o s h ( 三) ，荆= q o ( 1 + 吾) ， ( 2 5 9 ) 其中p o ，q o 0 且a 0 3 定理2 2 即相变解的唯一性不适用文献 1 1 ，1 2 】中的模型i i 、i i i 但是，如下构 1 6 河南大学硕士学位论文 造p ，q ： h ，砷) ： 八加一f o e - t ：d t + 雩悃一 0 ， ( 2 - 6 0 ) l ，( 一z ) ， z 0 易知，p 和q 满足定理2 2 的条件，所以问题( 2 4 ) ( 2 5 ) 有唯一的相变解 1 7 第三章运用变分法研究相变解的存在性 3 1 引言 本章，我们将不再假设p ，q 和f 都为偶函数的情况特别地，设u 1 和缸2 为f 的任意 两个整体极小点，并且有： f ( u ) 0 ，f ( u 1 ) = 0 ，f ( u 2 ) = 0 ，u 1 u 2 ， ( 3 1 ) 我们欲确定畴壁依赖相变过程从磁畴让= u l 到磁畴u = u 2 的解的存在性，也就是说， 我们需要得到方程( 2 4 ) 在边界条件： u ( 一) = u 1 ，u ( o 。) = u 2 ( 3 2 ) 下的解 为此，我们将用直接变分的方法研究选取容许集为： c 1 = 乱( z ) l “( z ) 在( 一o o ，o o ) 上连续，在( 一。，o 。) 上的任一紧子区间上绝对连续， u ( 一0 0 ) = u l ，t 正( ) = u 2 ，且e ( u ) o o ) ( 3 3 ) 其中能量泛函为： ，i 1 e ( u ) = _ 【专p ( 茁) ( u ，) 2 + q ( z ) f ( u ) ) 出， ( 3 4 ) ，一o o o 我们的结论是： 定理3 1 假设截面函数p 满足： 仁南d x o 。 5 ， 则边值问题( 2 4 ) ( 3 2 ) 有解，并且是极小问题 ，7 三i n f e ( u ) i 也c l ( 3 6 ) 的解，同时满足： ( i ) u l u ( x ) u 2 ，v o 。 。 0 ，易知， ) 在形1 ，2 ( 一墨k ) 中都是有界的由对角线选取法则，存在 ) 的收敛子列仍记为 它本身，有 一在w 1 ，2 ( 一k ，k ) 中弱收敛， ( 3 7 ) 易见让1 0 c , 2 ( 一o 。，。) 由于缈1 , 2 ( 一e k ) 可紧嵌入到c 【- k ，卅中，所以有 一础c f k ，刚中强收敛 ( 3 8 ) 因此就可以得到仳( z ) 在( 一( 3 0 ，o 。) 上的任一紧子区间上绝对连续 下面证明u ( z ) 满足边界条件( 3 2 ) 假设，对所有的他都有e ( ) 叩4 - 1 我们有： t ( z ) 一u 2i i 乱幺( y ) id y ( z 。南枷( z 0 。互1 酬蜘) ) 2 妒1 讵丽( z 而1 ( 3 9 ) 因此，可以看到当z = 0 0 时， ) 一致收敛到u 2 类似地，我们也可以得到在z = 一时，【u n ) 一致收敛到乱1 这就验证了u ( z ) 满足边界条件( 3 2 ) 从而u ( z ) 为极小问 题( 3 6 ) 的解，故边值问题( 2 4 ) ( 3 2 ) 的解存在 引理3 2 2u 1 u ( x ) 抛，v o 。 z + 。 证明：我们首先证明当一。o z 钍2 或u ( 。o ) u 2 由连 续性，我们可以找到两点z 1 ，z 2 ( 一0 0 ，o o ，且z 1 z 2 ，使得u ( 茹1 ) = u ( z 2 ) = 忱，并且 当z 1 z t 正2 定义： 石( z ) ： t 2 z z l z 2 ) ( 3 1 0 ) 【缸( z ) z 隹( z 1 ，z 2 ) 河南大学硕士学位论文 则冠( z ) c l ，且e ( 面) e ( u ) = ，7 这就与我们定义的叩相矛盾因此，当z ( 一o 。，c o ) 时， 只有u l 仳( z ) u 2 下证当z ( 一，) 时，缸1 u ( x ) 让2 否则，我们假设存在一点x o ( 一0 0 ，c o ) 使 得u ( z o ) = u 2 n u ( x ) 在x o 点得到整体极大值因此，心7 ( x o ) = 0 ，而缸= u 2 是方程( 2 4 ) 的 一个平衡点，再由唯一性定理，我们得到对所有z ( 一o 。，o o ) 都有仳( z ) 三u 2 这就 与钍( 一。) = 让1 u 2 矛盾所以，对所有x ( 一0 0 ，o 。) ，只有u l u ( x ) u 2 引理3 2 3 假设在u 1 和牡2 之间存在另外一点u o ，能够使得f ( 札) 在( u 1 ，u o ) 上为增 函数，在( 咖，弘2 ) 上为减函数，则解u ( z ) 是严格递增的 证明：设在u 1 和u 2 之间存在另外一点u o ，能够使得f ( u ) 在( u 1 ，咖) 上为增函数，在 ( u o ，u 2 ) 上为减函数札1 ，u 2 ，u o 都是方程( 2 4 ) 的平衡点 令u ( z ) 为极小问题( 3 6 ) 的解 首先，证明存在一点z o ( 一o o ，o o ) ，使得仳( z o ) = u o 否则，假设至少存在两点x l ，x 2 ( 一。，o 。) ，使得u ( x 1 ) = u ( x 2 ) = u o 因为心( 一o 。) = u 1 乱o ，当z ( x 2 ，z 3 ) 时，有u ( x ) y 2u ( z ) = 钍( 可1 ) ) ( 3 1 2 ) 显然，y 3 x 3 下面定义函数 ， 矗( z ) ： 牡( 秒1 ) z ( 可1 蜘) ( 3 1 3 ) 【让( z ) z 譬( 弛船) 2 n 河南大学硕士学位论文 则e ( 面) f ( u ( 耽) ) ，我们选择 y 4 = s u p x y lu ( z ) = u ( 抛) )( 3 1 4 ) 则y 4 z 1 ，相似的可以定义：当z ( y 4 ，耽) 时，有面( z ) = u ( y 2 ) 当z 隹( y a ，y 2 ) 时， 有石( z ) = u ( z ) 同样可以得到e ( 矗) e ( u ) = ，7 ，矛盾 其次，我们证明在整个区间上，乱( z ) 为非减的 否则，假设存在两点x 1 ，z 2 ( 一。o ，。) ，z 1 x 2 ，且满足当z ( x l ，z 2 ) 时，有u ( 。) 0 令z o 为( 一o 。，o 。) 上唯一一点使得u ( z o ) = u o 的点，显然z o z 1 ，否则就与z o 的唯一 性相矛盾如果z o z o 因为u ( y 1 ) y l 时，u ( z ) u o 特别 地，因为f ( u ) 在( 咖，让2 ) 上是递减的，所以当z ( y l ，u 2 ) 时，就有f ( u ( y 1 ) ) f ( 缸( z ) ) 定 义 ， 面( z ) ： u ( y 1 ) z ( 矽1 眈) ( a a 6 ) i u ( z )z 圣( y l ，矽2 ) 我们可以推出j e 7 ( 商) z 1 ，则z 2 x 0 显然，对所有z ( 一。，z o ) ，都有u ( x ) f ( u ( y 1 ) ) ，同理也可以得 出e ( 石) e ( u ) = ，7 ，矛盾所以让( z ) 在( 一o 。，o 。) 上为非减的 最后，证明u ( z ) 为严格递增的事实上，若 ( z ) 不是严格递增的，则存在x , 1 x 2 ， 使得乱( z 1 ) = u ( z 2 ) 因此，u ( z ) 在区间( 茹1 ，z 2 ) 上为一常数把这一结论代入方程( 2 4 ) ， 我们就得到r ( 让( z 1 ) ) = 0 ，说明( 。1 ) 是方程的平衡点，又因为如是方程的平衡点， 且乱( z 1 ) u o ，所以r ( 饥( z 1 ) ) 0 矛盾所以在整个区间上u ( z ) 为严格递增的 2 1 河南大学硕士学位论文 参考文献 【1 y a b z e l d o v i c h ，m y u k h l o p o v ，o nt h ec o n c e n t r a t i o no f r e l i cm a g n e t i cm o n o p o l e s i nt h eu n v e r s e j ，p h y s l e t t b7 9 ( 1 9 7 8 ) 2 3 9 - 2 4 1 【2 j p r e s k i l l ，c o s m o l o g i c a lp r o d u c t i o no fs u p e r h e a v ym a g n e t i cm o n o p o l e s j ，p h y s r e v l e t t 4 3 ( 1 9 7 9 ) 1 3 6 5 - 1 3 6 8 【3 m e t o ，t f u j i m o r i ，m n i t t a ，k o h a s h i ，n s a k a i ，d o m a i nw a l l sw j 地n o n - a b e l i a n c l o u d s j ，p h y s r e v d7 7 ( 2 0 0 8 ) 1 2 5 0 0 8 【4 】l p o g o s i a n ，t v a c h a s p a t i ，i n t e r a c t i o no fm a g n e t i cm o n o p o l e sa n dd o m a i n a 叫j ， p h y s r e v d6 2 ( 2 0 0 0 ) 1 0 5 0 0 5 【5 】l p o g o s i a n ，t v a c h a s p a t i ，d o m a i nw a l l si ns u ( 5 ) j 】，p h y s r e v d 6 2 ( 2 0 0 0 ) 1 2 3 5 0 6 6 m b f o g e l ，s e t r u l l i n g e r ，a r b i s h o p ，j a k r u m h a n s l ，d y n a m i c s0 fs i n e - g o r d o n s o l i t o n si nt h ep r e s e n c eo f p e r t u r b a t i o n s j ，p b y r e v b1 5 ( 1 9 7 7 ) 1 5 7 8 - 1 5 9 2 7 】r r a j a r a m a n ，s o f i t o n sa n di n s t a n t o n s m ，n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 8 2 8 a c s c o t t ，f y f c h u ，d w m c l