（应用数学专业论文）几类捕食系统的持续性和周期解的研究.pdf

门i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：日期：年土月旦日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：导师签砺绘期：导师签名丝日期：年月卫日 摘要 本文研究了几类捕食者一食饵系统的持续性和周期性，得出其存 在唯一的正周期解的充分条件。全文由四部分组成，具体结构如下q 第一章概述了数学生态学的发展历史和前人所做的一些相关工 作以及本文问题的产生背景。第二章讨论了一类具h o l l i n g i l l 型和 b e d d i n g t o n 型功能性反应的食饵一捕食者非自治系统，获得了其存在 唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。第三章研究了一类具有 h o l l i n g i i i 功能性反应和时滞的多种群竞争生态系统，通过使用重合 度理论中的连续定理得到了该系统存在唯一的正周期解的充分条件。 最后利用数值模拟的方法对结论加以说明。第四章研究了一类具有相 互干扰的捕食一食饵模型，利用微分不等式和一些分析技巧获得了关 于该模型一致持续生存的充分条件。 关键字h o l l i n g 型功能性反应，b e d d i n g t o n 型功能性反应，食饵一捕食 者，持续生存性，周期解，全局渐近稳定，时滞，m a w h i n 连续定 理，l y a p u n o v 函数 a bs t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e v o t e st os t u d y i n gt h er e s e a r c ho np e m i s t e n c e a n d p e r i o d i c o fs o m ec l a s s e so fp r e d a t o r - p r e y s y s t e m s s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r ed e r i v e dt h a tg u a r a n t e et h ep e r s i s t e n c eo ft h es y s t e ma n d t h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n t h ef u l lt e x ti sc o m p o s e d o ff o u rp a r t s ，t h ec o n c r e t es t r u c t u r ei sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s t c h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c a l e c o l o g y sd e v e l o p m e n tt h ee x i s t e dr e l a t e dw o r ka n dt h eo r i g i no ft h e p r o b l e mw ed i s c u s s e d t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e r i sa l s os i m p l y i n t r o d u c e di nt h e c h a p t e r i n t h es e c o n d c h a p t e r a n o n a u t o m o u s p r e y p r e d a t o rs y s t e mw i t hh o l l i n g i i i a n db e d d i n g t o n - t y p ef u n c t i o n a l r e s p o n s ei sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e dt h a t g u a r a n t e e t h e p e r s i s t e n c e o ft h e s y s t e m ，t h e e x i s t e n c ea n dg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r a d e l a y e dm u l t i s p e c i e se c o l o g i c a lc o m p e t i t i o n p r e d a t o rs y s t e m w i t h h o l l i n g i i l f u n c t i o n a l r e s p o n s ei ss t u d i e d b yu s i n gt h ec o n t i n u a t i o n t h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r e d e r i v e df o rt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st ot h e s y s t e m f i n a l l y , i nt h ef o u r t hc h a p t e r ap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hm u t u a l i n t e r f e r e n c ei ss t u d i e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h e p e r m a n e n c ef o rt h em o d e l t h ed i f f e r e n t i a li ne q u a l i t y u h o l l i n g f u n c t i o n a l r e s p o n s e ，b e d d i n g t o n t y p e p r e y p r e d a t o r , p e r s i s t e n c e ，p e r i o d i c s o l u t i o n ， t a b i l i t y , t i m ed e l a y s ，m a w h i n sc o n t i n u o u st h e o r e m ， 1 1 1 目录 第章绪论l 1 1 问题提出的背景与研究现状。l 1 2 数学生态学模型的发展l 1 2 1l o t k a - v o l t e r r a 模型3 1 2 2 具有h o l l i n g 型功能反应( 营养函数) 的模型4 1 2 3 其他反应功能函数模型5 第二章一类具有h o l l i n g - i i i 型和b e d d i n g t o n 型功能性反应的非自治捕食系统的 持续生存性与周期解7 2 1 引言。7 2 2 系统的一致持续生存性。8 2 3 周期解与全局吸引性1 2 第三章一类具有h o l l i n gi i i 功能性反应和时滞的多种群竞争系统的正周期解1 7 3 1 引言。17 3 2 正周期解的存在性l8 3 3 周期解的有界性2 5 3 4 举例应用2 6 第四章具有相互干扰的捕食者一食饵模型的一致持续生存2 9 4 1 引言2 9 4 2 定义与引理2 9 4 3 结论与证明3l 4 4 举例应用一3 3 参考文献3 4 致谢3 9 攻读硕士期间主要成果。4 0 硕十学何论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题提出的背景与研究现状 种群生态学是生念学中数学应用最多的分支。线性代数、积分方程、差分方 程、泛函微分方程、动力系统、随机过程、统计方法乃至算子半群理论等都是一 些重要而常用的理论和工具。应用这些理论和方法去研究由种群生态学乃至更普 遍的生态学中所提出的数学模型，就是数学生态学的主要内容。 在自然界中任何一种物种都不是孤立存在的，总要同其它物种发生这样的那 样的关系，物种之间的相互作用关系对于整个生物界的生存和发展是极为重要 的，它不仅影响每一个物种的生存，而且还把各个物种连接为复杂的生命之网， 决定着群落和生态系统的稳定性。不同种群之间存在着一种相互依赖，相互制约 的生存方式，种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生，生态 学上称种群甲为食饵，种群乙为捕食者，二者共处组成捕食者一食饵系统。捕食 者一食饵相互作用关系是自然界中普遍存在的物种间相互作用的基本关系之一， 也是生态学界和生物数学界研究的一个主要课题。在生态学家眼罩，自然界充满 了陷阱和杀机，从没有和谐相处的大自然，也没有无忧无虑的生命形式。任何一 种生命的各个时刻都有可能被其它个体袭击，并成为其食物，捕食现象可以说无 处不在。然而，自然平衡却又普遍存在。由于捕食过程给被捕食者带来的强大的 选择压力，以及这种过程在促进生命进化，维护生态平衡，及其在生物多样性的 发生，维持与绝灭过程中扮演的重要角色，捕食理论自然成为现代生态学的一个 中心课题，因而捕食者一食饵相互作用关系的研究具有非常重要的理论意义和应 用价值。 1 2 数学生态学模型的发展 捕食关系是自然界普遍存在的物种之间相互作用的基本关系，许多学者对此 进行了广泛而深入的讨论并取得了大量的研究结果。在早期的工作中，大多数假 设食饵种群的增长服从经典l o g i s t i c 方程，而l o g i s t i c 方程总是种群密度的线性 + 学位论文第一章绪论 数，这一假设存在诸多的缺陷，因而受到了许多学者的质疑。人们普遍认为： 饵种群之间具有非线性密度制约的 1 - 3 。近年来，许多学者对食饵种群具有 线性密度制约的捕食一食饵系统进行深入的讨论 4 ，5 功能性反应在捕食者一食饵系统的研究中扮演着重要的角色。所谓功能性反 是单个捕食者在单位时间内捕食食饵的数量。一般来说，功能性反应可分为食 依赖型和捕食者依赖型两种类型。食饵依赖型功髓性反应是食饵种群密度的函 ：捕食者依赖型功能性反应是食饵种群和捕食者种群二者的密度的函数。上个 纪二十年代，l o t k a 和v o l t e t r a 两位数学家运用动力学方法建立了l o t k a - v o l t e r r a 模型。尽管该模型应用十分广泛，却存在着明显的不合理之处：因为食饵数量越 大，被每个捕食者在单位时间内吃掉的就越多，但是，捕食者总有吃饱的时候， 因此假定功能反应与食饵数量成f 比，就意味着忽略了消化饱和因素，这是与现 实情况不完全吻合的，所以食饵依赖型功能反应应该是一个包含饱和因素的函 数。1 9 6 5 年，h o l l i n g 在实验基础上，对著名的l o t k a - v o l t e r r a 模型加以改进，对 不同类型的物种提出了三种不同的功能性反应函数，它们都是不减的有界函数。 在文献中最常见的食饵依赖型功能性反应就是h o l l i n gi ，i i ，i i i 型，特别是h o l l i n g i i 型功能性反应，许多学者都进行了深入的研究。但是食饵依赖型功能性反应并 没有考虑到捕食者的干预，因此在现实世界中会遇到很多的问题。近年来，越来 越多的明显的生理学和生物学证据表明，在许多情形下，特别是当捕食者不得不 搜寻食物( 因此不得不分享或竞争食物) 时，一个更切合实际且更一般的捕食者一 食饵模型应基于“比率依赖”理论 6 - 9 ，粗略地的讲，即捕食者对食饵的功能 性反应是捕食者种群和食饵种群的密度比值的函数，亦即功能性反应是捕食者依 赖型的这一理论已被大量的野外观察结果和实验室实验数据所证实 1 沪1 6 。从 传统的食饵依赖型模型出发，a r d i t i 和g i n z b u r g 第一次提出了比率依赖型捕食者 一食饵模型，随后，许多学者对这类基于比率的捕食者一食饵种群模型开展了广泛 的研究。如：f r e e d m a n 和m a t h s e n 1 7 研究了比率依赖型捕食者一食饵模型的解的 持久性：h s u , h w a n g ，和k u a n g 1 8 对具有m i c h a e l i s m e n t e n 型功能性反应的比 率依赖型捕食者一食饵系统的解的渐近性态作了详细完整的分析；f a n ，w a n g 和 z o u 1 9 研究了一类非自治的比率依赖型捕食者一食饵模型的持久性、耗散性、 全局渐进稳定性以及正周期解和正概周期解的存在唯一性、稳定性性质：f a n , 2 硕十学位论文第一章绪论 w a n g 2 0 应用重合度理论中的延拓定理研究了一类离散的非自治的比率依赖型 捕食者一食饵模型的非平凡正周期解的存在性，得到了充分性判据。与食饵依赖 型模型相比较而言，比率依赖型模型描述的动力学行为更为复杂和丰富，但是当 捕食者种群和食饵种群的密度很小时，功能性反应会出现问题。作为对比率依赖 型模型的改进，b e d d i n g t o n 2 1 和d c a n g e l i se t a l 2 2 分别研究了具有 b e d d i n g t o - - d c a n g e 1 i s 功能性反应捕食者一食饵模型。事实上b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能性反应与我们熟知的h o l l i n g i i 型功能性反应是相似的，只是分母上多了一 项钞，它描述的是捕食者间的相互影响，同样它与比率依赖型功能性反应也有 很多相似的性质。下面介绍几种常见的生态数学模型。 1 2 1l o t k a v o l t e r r a 模型 2 0 世纪2 0 年代，意大利著名的数学家vv o l t e r r a 在研究意大利某海港鱼类 收购情况时建立了如下数学模型来反映捕食者与食饵所构成的两种群相互作用 的系统 = a x - b x y ， = c x y 一咖， ( 1 2 1 ) 但是它在建立过程中没有考虑种群的密度制约因素。如果考虑密度制约，设在无 其它种群干扰时，得到两种群相互作用的l o t k a - v o l t e r r a 模型 其中x ，y 的系数均为常数，包和c 2 分别反映两种群的密度作用因素，称为种内 作用系数：q 和6 2 反映了两种群相互作用的因素，称为种间作用系数：q 和口2 分 别表示两种群的内禀增长率( 其值等于出生率减去死亡率) 。 按照生态意义，当一种群充当另一种群的食饵( 即两种群为捕食与被捕食关 系) ，此时( 1 2 2 ) 中c 1 6 2 o 。若c l 0 ，则x 为被捕食者( 食饵) ：若口2 0 ，6 2 0 多见于营养函数具有明显的饱和度的滤食性捕食动物( 如： i i 类营养函数为 4 ( 1 2 4 ) 多数软体动物) 。 硕十学何论文第一章绪论 证d5 最( 1 2 5 ) 上式表示捕食者的捕食量随猎物( 食饵) 增加而上升，直到饱和水平。食 物多时捕食者饥饿程度降低而出现负加速。此类营养函数多见于无脊椎动物和某 些食肉鱼类。 l i i 类营养函数为 删= 品 ( 1 2 6 ) 这类功能反应为具有复杂行为的脊椎动物所持有。在食物较少时，学习捕 捉，随着食物增多而捕食率加速。食物数量超过某一点时，饥饿程度降低而出现 负加速，最后达到饱和。如果猎物( 食饵) 具有防卫对策，捕食行为也属于此类 功能反应。i i i 类营养函数更一般的形式是 。 钗d2 雨i a x 2 浮( 1 2 7 ) 这样，具有h o l l i n g 营养函数的捕食一被捕食系统简单模型可以表示为 一般模型为 事2 矿( x ) 少矿( x ) ( 1 2 9 ) 尘d t = 砂缈( x ) 一g ) 乃 式中假定( o ) o e f ( x ) d t 0 ( 密度制约，或种内竞争) 。存在而 o 使f ( x o ) = o ， 为无捕食者时种群x 的环境容纳量g ( o ) 0 ，d g ( y ) d t o ( 密度制约，或种内 竞争) ，伊( x ) 为三类营养函数之一。 1 2 3 其他反应功能函数模型 除了h o l l i n g 功能反应外，还有一些其他的功能反应函数的研究。文 2 3 研 5 2 ， 儿 渺 ) 髓 破 m 一 死 卜 一 名、 卜 m 伽 枷 = “ 生出蛀西 第一章绪论 6 ( 1 2 1 0 ) t 2 ii ， 的捕食一食饵 一般的形式， ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) 口，b ，c ，d 分别 定为正常数。 硕十学位论文 第二二章类诈臼治捕食系统的持续生存性与周期解 第二章一类具有h o l l i n g i i i 型和b e d d i n g t o n 型功能性反应 的非自治捕食系统的持续生存性与周期解 2 i 引言 关于生态系统的稳定性，许多论文及文献都有比较详细的介绍和研究。文 3 0 】 对种群数学模型的基本性质进行了讨论，提出了一般的种群模型 毫= “，( 鱼) 一蜀( 土) 】， 一 j 7 i + l ( 2 1 1 ) x n ：_ z ( 鱼) ， 其中f = l ，n l ，以 o ，x 0 = 七( 常数) 文【3 l 】讨论了一类非自治具有第三类功能 性反应的两种群食饵系统的渐近性质。文 3 2 1 也对h o l l i n g 功能性反应也作 了比较简单的介绍。在此基础上本章讨论了( 2 1 1 ) 的一类特殊情形 _)圳1)一篇而一丽c2x2y2k a x + y 1 p x ， 、7 l + 聍+ 口 + 2 。 巍2 m ( 一面+ 而e + i c i 峨x + 口) ， ( 2 蚴 y 2 - - y 2 ( 却品) 其中( x ) = 岳表示h 。l l i n g - i i l 型功能型函数，矽( x , y l , y 2 ) 。云i 瓦了e l 而x 表示b e d d i n g t o n 型功能型函数，j 表示食饵种群的密度，咒，y 2 表示两捕食者种 群的密度。本文考虑系统中所有系数均为与时间有关的函数的同时，并考虑捕食 种群也受到密度的制约。即 7 2 2 系统的一致持续生存性 定义2 2 1 对【0 ，+ o o ) 上实值连续函数g ( ，) g m = s u p g ( ，) ) ，g = i n i g ( f ) ) i o + 、+), 1 0 定义2 2 2 若存在一个有界闭域d c i n t 霹，使得系统( 2 1 3 ) 的每一个具有 正初值的解最终进入并停留在区域d 中，则称此系统是一致持久的，种群x ，y l ，y 2 称为一致持续生存。 定义2 2 3 集f f s cd 称为车：厂( x ) ( o ) = o 的正向不变集( 轨线) ，若 a t v x oe s ，恒有，；，o ，x o ) c s ，t _ t o - - 般称，当，一佃时，l i r a x ( t ；t o ，x o ) 一s ，若v 点 尸s ，必了 乙) ：刀专时乙专，使得 i i x ( t ；t o ，) 一p i l 专o ，当刀一时 引理2 2 1 霹= ( x ，y l ，y 2 ) i x o ，m o ，y 2 o ) 是系统( 2 1 3 ) 的正向不变集。 证明由系统( 2 1 3 ) 知 8 硕七学位论文 第二章一类仆自治捕食系统的持续生存性与周期解 扣州) ( 1 一意) 一 刍盟苎 a ( t ) x + y l + m ( t ) y z + 口( ，) 舅州啡m ( ，) m + 而t 并m 1 ) ， 口t ) x + y i +ij “十a i fj 鹑= 托( 一也( ，) 一五( ，) 儿+ i 争羡岳) 则 j = 颤o ) 唧 j ：f ，( s x j 一 对x ( o ) 0 成立。 一塑) 一一型尘坐l 一c 2 ( s ) x ( s ) y ，2 ( s ) l ，d 一。 七( 5 ) j ) x ( s ) + 儿( 对+ m ( s ) y 2 ( j ) + j ) l + 麒s ) s 2 ( j ) 。 咒= m ( 。) e x p f 卜吐( s ) 一石( s ) 乃( s ) + ：石i i 五j 号轰暑篙轰 对m ( o ) 0 成立。 儿酬0 ) e x p 肥吲咖+ 端协) 。， ) 0 ， 协) o 对j ，2 ( 0 ) 0 成立。 所以对一切， 0 ，满足初值x ( o ) 0 ，y j ( o ) o ，y 2 ( o ) 0 的解 ( x ( f ) ，y l ( t ) ，y 2 ( f ) ) 焉4 - ，即疋是系统( 2 1 3 ) 的正向不变集。 下面将构造一个有界区域k 。 - - ( x ，咒，奶) l o x n ，o 咒 甄，o 彬，屿 磁 珥= r u k 广u ，必= 错，膨= 等影 我们假设 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 引理2 2 2 若系统( 2 1 3 ) 满足条件( 2 2 3 ) ，则对每个具有正初值的解 9 0 0 榭痧 ，一 a 一 胖 十学位论文第二章一类1 卜自治捕食系统的持续生存性与周期解 ( ，) ，y l ( t ) ，咒( ，) ) ，存在r 0 ，使得当， 丁时，有 x ( ，) ，y t ( t ) ，儿( ，) k o 证明 设 x ( ，) ，朋( ，) 儿( ，) ) 是系统( 2 1 3 ) 的具有正初值的解，由系统( 2 1 3 ) 第一个方程得莺x ( 一害) 从( 2 2 ；2 ) 可知 洲 警) 五时，有，) n 由系统( 2 1 3 ) 的第二个方程得或乃( 一儡一石m + e m 孑c - _ m ) ，从( 2 2 2 ) 可 y li y t = h i - 日。( 一4 一石乃+ 之e m c 产m ) 。 若o 0 ，使 当， 正时，有y l ( t ) h i 知 由系统( 2 1 3 ) 的第三个方程得允i 儿。也 y 2 ( 一以一石儿+ 声k m ) ，从( 2 2 2 ) 兜b 舛( 叫一l l y 2 + 等) o 若0 0 ，使得 f 正时，有儿( f ) 日2 令t = m a x r , ，五，乃) ，则当， 丁时，有 x ( ，) ，y l ( t ) ，儿( r ) ) k 就证明了引理2 2 2 。 定理2 2 1若系统( 2 1 3 ) 满足条件( 2 2 3 ) 即如下条件 1 0 硕+ 学位论文第二章一类1 f 臼治捕食系统的持续生存性与周期解 r l k l - c ? k l c 警n h 2 k l 啦 砰彳刀一( 口m + q + 掰肘+ 口m ) o ( 2 2 4 ) k n 2 - ( i + f l 肘n 2 ) 衫 o 则系统( 2 i 3 ) 是一致持久生存的。其中，n ，q ，也已定义，另有如下式子 嘶 西= 丝竽掣， 0 j i l 以= e ：c ：n d ? 廿n 七h l + 矿h ! + o c h 、 z m ( a 肼+ + 明肘+ 口肘) 。 如 。， 所以若x ( 0 ) r t ，则x ( f ) 对一切，o 成立；若0 7 ：时，有 x ( f ) 芝露 由系统( 2 1 3 ) 的第二个方程得 只咒( 一4 m 一石m y ) 4 。乙万丙 j 豸) ， 由条件( 2 2 4 ) 式中假设知 舅l几。，啊(一西肼一石材曩+：面jf；j主) 耨t v t o ，j 任意大的万( ，o ) o ，对v j r o ，只要0 i l 的解为 z ( t ，z 。) = 工( ，z ) ，y t ( t ，z 。) ，y 2 ( t ，z 。) ) 又于r 0 ，z ( o ，z 。) = z 。 定义一个p o i n c a r e 变换a ：碍专碍y g a ( z 。) = z ( c o ，z ) ，这样系统( 2 1 3 ) 的周 期解的存在性就等价于映射a 的不动点的存在性。 引理2 3 1 设g ( ，) 是非负可微函数，i d g ( t ) d t i m ，m 为正常数，且 则c 。g ( f ) d r 0 ，y 2 ( o ) 0 作变换u ( ，) = l n u ( t ) ，k ( ，) = i n v , ( t ) ( i = l ，2 ) ，x ( ，) = l n x ( t ) ，r ( ，) = l n y , ( t ) ( i = l ，2 ) 则 o ( t ) 一肌) = 鬻一嚣- 【- 嚣+ 石而f l ( t ) 巧e + x 瓦c z ( t 丽) e v , + 丽瓦而移捌螋鼻万丽两丽】(ev_exa(t)e+ a ( t ) x a ( t ) e ) (+ p k + 所( ，) p 匕+ p ：+ ， ( ，) p + 口( f ) ) j 、 7 q ( ，) ( 口( ，) + 口o ) p j + 历( ，弦) ( 口( ，) p x + p h + 朋( ，) p 匕+ 口o ) ) ( 口( ，) 7 + p j + m ( t ) e + 口( ，) ) + 丽瓦而孺舞篇移万丽而丽 v l ( t ) 一x ( ，) 丽雨蔫喾器蒜舞瓮而c e u _ e x ，( 口( r ) e + p k + ，纷( ，) p 如+ 口( ，) ) ( 口( f ) e + p k + 朋( ，) p 呸+ 口o ) ) 、 7 堋卅丽瓦而福嵩篇惫两丽而 瓦忑i兀葡帝百el(t瓦)ci(丽t)m丽(t)万ex习瓦丽莎i丽】(ev：_er2a(t)e ) (x + p 托+ 朋( f ) p 匕+ 口o ) ) ( 口( f ) p u + p + ，竹( ，) e 吃+ 口o ) ) 八 7 吃(，)一】：(，)=石ii歹毒呈(eu_ex)一厶(，ev2_ey,) 构造l y a p u n o v 函数形( ，) = 妙( r ) 一x ( ，) i + i v , ( t ) - y , ( t ) l ，则 d + 形( ，) = 耥( d o ) 一岩o ) ) + 揣( 攻( f ) 一t ( f ) ) + 褊( 吃( ，) 一】：( f ) ) 。 0 故d + w ( t ) 一o l o w ( t ) 上式两边在【死，+ ) 上积分得 形( ，) + 口。矽( s ) 凼形( 几) 即形o ) d s 0 ， ，0 】，r ) ，j = l ，2 ，朋 、7 非负连续可微的国一周期函数，且满足， o 我们定 , 罂i n 1 1 - i , ( t ) 1 - 彦j ( t ) 1 - o k ( t ) 1 7 连续映射。如果d i m k e r l = c o d i m i m l z 使得i m p = 缸儿，i m l = k e r q = i m ( 1 - q ) ，则 1 3 硕十学何论文第三章一类多种群竞争系统的止周期解 l id o m l n k e r p ：( i - p ) x i m 可逆，设其逆映射为k p ，设q 为x 中的有晁开 集，如果q ( 壳) 有界且k p ( ，一9 ) j ：西专x 是紧的，则称在磊上是三一紧的。 由于i m q - 与儿同构，因而存在同构映射j ：i m q _ 儿。 引理3 2 1 ( m a w h i n拓定理) 设l 是一个指标为零的f r o m 映射 ：矗_ z 在壳上是三一紧的，其中q cx 为非空有界开集， 假设 ( a ) 对任意的x 0 【1 n d o t a l ，有l x 2 n x ，名( 0 ，i ) ， ( b ) 对任意的x 儿n a q ，q n x 0 ， ( c ) d e g ( j q n ，q nk e r l ，0 ) 0 ， 则抽象方程l x = n x 在q n d o m l 内至少存在一个解。 引理3 2 2 ( a r z e l a a s c o l i 定理) 空间c a ，b 】中的子集彳是列紧的，当且 仅当彳中的函数一致有界且等度连续。 定理3 2 1 如果下列条件成立 五) 百， 瓦+ ( 等) e x p 风+ 峨 ， k = l , k i = l j 业 嘻瓦器灯，。蠢，i e x p h k 其中以乩至蛳咖学+2羔弧a n , 。 e 一k = l 口= l i l 匠一艺瓦国e x p 风) - ( 等) e x p h k + 反) 卜2 和 “k = l 。i 刊女= ij 腑 则系统( 3 1 1 ) 至少有一个正缈一周期解。 1 9 第三章一类多种群竞争系统的正周期解 肌) 一妻啪聃吲咖喜攒枞 y，c，墨只c。，exptf卜-cj，+荟n了詈篆若端2一善e 蓐c j ，虼t 善一吼t 蜃”事矗， 则当f o 时系统( 3 1 1 的解依然是正的。 令m ( ，) = h l 【o ) 】，( ，) = l n y j ( t ) ( 3 2 1 ) 把( 3 2 1 ) 代入到系统( 3 i 1 ) 中，则有 为方便使用，令( “，v ) r = ( ，t l n ，h ，m ) to 容易证明如果系统( 3 2 2 ) 至少有一个 0 ) - - 周期解( “( f ) ，( ，) ) 7 = ( ，u b * 9 h ，u n * ) 7 1 ，则 ( 石( ，) ，y ( ，) ) 7 = ( e x p u ( ，) ) ，e x p u + ( ，) ) 7 是系统( 3 1 1 ) 的一个币的缈一周期解。因此，只须证明系统( 3 2 2 ) 至少有一个缈一 周期解。 定义 x = 】，= ( “， ，) 7 c ( r ，r ”) l “o + 国) = “( ) ，v ( ，+ 纠= v o ) ) ， ) 7 陵z m a x l 俐噶麟俐 则爿相】，是b a n a c h 至i 叫。 令：d o m l r l x - x ，( 甜，d r = ( 宰a t ，霉a t ， 其中d o m l = ( ，) ，v ( ，) ) r e i ( r ，r 肿脚) ) ，n ：x 专x n ( u ，v ) r = ( 。( ，) ，a 。o ) ，五。( f ) ，五朋o ) ) 7 ， ，(，)=6j(d一言o)expz(r一靠o)一羔k=l!专芝专嚣等粉， 五，o，=，：，cd+萎；考g手￥笔兰黼一善c，exptvioqcd， 盟厂 1 以一 兰引 饥 帅一m 似 m 一州 惝 型卅 嘣 )一(r_一i麒芝陶 靠一 ， 一 。心堕 一 “一k 1 ， 箩一1 、， 1 一一 ， 一一 卅型m 巧 印“ 一 ”，一乙 型池 ，i ft一) 纵 叩一糊 f t “一 p k 一十 州焉 懿 o 一” 弘 肛一( ，jf一* ( ( 一r j m t 万 口 ，1一订厶心蓬心 d d 一 半竽 硕十学位论文第二章一类多种群竞争系统的止周期解 显然 p ( ，v ) 7 = q ( “，v ) 7 = ( 去f “( ，) 加，去r v ( ，) 讲) 7 缈“国棚 k e r l = ( “，) 7 xl ( “，) 7 1 = ( u o ，v o ) 7 仨r 啊+ 打) ， i m l = 国，v ) r 】，if 以，弦= o ，f h ，) 曲= o ，在】，中是闭的。 d i m k e r l = c o d i m l m l ，p ，q 是连续的，r i mp = 儿，旧= i m l = i m ( 1 - q ) 因此，是一个指数为零的f r e d h o l m 算子，且工的逆算子 k 尸：i m l _ d o t a l ) k e r p ， 存在且满足k p ( “，v ) 7 = ( f 氓j ) 幽一去ri “( s ) d s d t ，f v ( j ) 凼一。 - - fl v ( s 砌) r ， 则q n ：x 一】，和k p ( ，一q ) n ：x x 分别为 q i ( 甜，1 ，) 丁= ( 螽，帚) 7 1 = ( 西。，玩，蟊，吒) ， 其中玩= 1 。l i b , ( ，) 一喜p ) e x p o 一气o ) ) 一姜三要曼丢 搿】出， e = 去f t - c r ，+ 喜考等等篆簧揣一善c f ，e x p 饥。一吒c 嘞，协， k p ( i - q ) n ( u ，v ) 7 1 = ( 编，巩，疬，玩) r ， 其中仍= f ( s 一丢fi j ( s ) 撇一( 丢一如凼， 玩= f 鑫。( s 胁一l 。fi 天, ，o ) 出刃一( 云一争f 五心) 出 显然，q n ，k e ( ，一q ) n 是连续的。利用a r z e l a - a s c o l i 定理不难证明对任意开的 有界子集q c x ，驯( 孬) 及岱一9 ) ( 磊) 是紧的，因此在矗上是二一紧的。 为了应用引理3 2 1 ，我们需要构造一个适当的有界开集qcx ，对应于算 子方程l u = 2 n u ，名( 0 , 1 ) 有 2 l 从( 3 2 6 ) 和( 3 2 9 ) ，可以推出 啪脚( 砂m ，) 印 l i l 鲁+ 2 和珥 ( 3 2 1 0 ) 硕十学位论文第二章一类多种群竞争系统的j e 周期解 由( 3 2 5 ) 和( 3 2 8 ) 得 f 气c ，e x p t _ o 一吒c 嘞，刃s f 喜舞焉兰詈老瀚喜瓦彩， 则有 z 豫s , 。( ，) 嘴，) 引n 气 由( 3 2 7 ) 和( 3 2 11 ) 有 啪慨c 纠h 忖学k = l + 2 弘只 另一方面，从( 3 2 4 ) 、( 3 2 1 0 ) 和( 3 2 1 2 ) 可以推出 g , 国e x p ( 等) + 窆瓦国e x p 仇) + 芝缈( 等) e x p 吼+ 鼠) 和，则 i = 1 七- f= lk ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ( 等) l i l 匠一瓦缈e x p 吼) - 缈( 争) e x p