（应用数学专业论文）几类泛函微分方程的周期解(1).pdf

摘要 在生物现象和生产实践中周期现象经常出现，因而周期问题是动 力系统研究的一个重要方面。本篇论文由四章构成： 第一章概述了前人所做的一些相关工作以及本文所研究问题产 生的历史背景，并简单介绍本文的研究工作。 第二章通过运用l e g g e t t w i l l i a m 不动点定理讨论了高维微分系 统的三个正周期解的存在性，给出了正周期解存在的新的充分条件。 第三章讨论了含有一个参数的二阶高维微分系统并给出了当参 数在一定的范围内时正周期解存在的充分条件。 第四章考虑了具有脉冲和分布时滞的n 一维l o t k a v o l t e r r a 中立系 统通过运用拓扑度理论和不等式技巧，给出了正周期解存在的新的充 分条件。 关键词动力系统，脉冲，拓扑度，周期解 a bs t r a c t t h ep e r i o d i c p h e n o m e n o na p p e a r sf r e q u e n t l y i nt h e b i o l o g i c a l p h e n o m e n o na n dt h ep r o d u c t i o np r a c t i c e ，t h u st h ec y c l i c a lq u e s t i o ni sa l l i m p o r t a n ta s p e c to ft h ed y n a m i cs y s t e mr e s e a r c h t h i st h e s i si sc o m p o s e d o ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h ee x i s t e dr e l a t e dw o r k sa n dt h e o r i g i no ft h ep r o b l e m sw ed i s c u s s e d t h em a i nw o r k so ft h i sp a p e ra r e a l s os i m p l yi n t r o d u c e di nt h i sc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h r e ep e r i o d i c s o l u t i o n so ft h eh i g h d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m b yu t i l i z i n g t h e l e g g e t t - w i l l i a m f i x e d p o i n tt h e o r e m ，w e o b t a i nn e ws u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nt h et h i r d c h a p t e r , w es t u d y as e c o n d - o r d e r h i g h - - d i m e n s i o n a l d i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hap a r a m e t e ra n do b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sw h e nt h ep a r a m e t e rc h a n g e s i nac e r t a i nr a n g e i nt h ef o u r t h c h a p t e r , w e c o n s i d e rn d i m e n s i o n a l i m p u l s i v e l o t k a 场l t e r r an e u t r a ls y s t e mw i t hd i s t i l b u t e dd e l a y s 。阢o b t a i nn e w s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sb y m e a n so fc o n c i d e n c ed e g r e e t h e o r ya n di n e q u a t i l y k e yw o r d s p o w e rs y s t e m ，i m p u l s e ，t o p o l o g i c a ld e g r e e ，p e r i o d i cs o l u t - i o n s i i 学位论文原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：奎基煎 日期：上逐年靼月4 日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 前言 第一章绪论 随着现代科学技术的发展，自然科学和社会科学的许多领域中提出了大量的 时滞动力系统问题，例如物理学，生物学，电路信号系统，遗传学，自动控制系 统，化工循环系统，信号系统及社会经济学中涉及到的大量的泛函微分方程，或 者时滞微分方程，作出模拟现实世界中的相关模型的有效工具而受到了人们的广 泛的关注。特别是近3 0 年来，关于泛函微分方程定性理论的研究成果不断涌现。 发表的论文数以千计，许多专著中总结或收录了这方面的工作。 脉冲作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题的研究中是普遍 存在的。其数学模型往往可归结为脉冲微分系统。脉冲微分系统最突出的特点是 能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻更精确的反映事物的变 化规律。脉冲微分方程的研究起源于二十世纪六十年代，关于脉冲方程解的存在 性、唯一性以及解对初值的连续性，解的稳定性，边值问题的存在与唯一性，周 期解等几乎对应于微分方程研究的所有领域，经过近几十年的研究已经取得了很 大的进展。 周期现象频繁出现在自然界和人们的生活与生产实践中。例如：四季的交替， 食物的供给，候鸟的迁徙，光波的传播规律，经济的发展规律等都与周期息息相 关。这些周期性变化的现象一般都可以分成两种情况来描述：一种是用连续的周 期变化系统来描述，在这种情况下，常常涉及到的就是微分方程周期系统；另一 种周期变化的情况用连续周期系统来描述就不够准确了，例如对于一个在短暂时 间内受到干扰的实际演变的过程，对于这种情况，我们从数学上来描述它时，往 往忽略这个短暂的时间而将干扰处理为瞬时的，在这种情况下，常涉及到的就是 脉冲微分方程周期系统。对周期系统理论研究中一个基本问题是对方程解的存在 性的研究，确定是否存在周期解，什么条件下存在周期解。关于时滞微分方程和 脉冲微分方程周期解的存在性与多重性，已有许多学者应用不同的方法进行了详 细的研究，其主要方法有k a p l a n y o r k 耦合系统法，上下解与单调迭代法，临界 点理论( 包括极大极小理论，几何指标理论与m o r s e 理论) ，各种不动点理论， 重合度理论等。但现有的研究工作大都是针对纯量方程的情形，对于高维时滞微 硕士学位论文第一章绪论 分系统和脉冲微分系统周期解的存在性，由于其结构的复杂性，所以结果并不多。 下面介绍本文中的模型及其历史背景。 一、一类泛函微分系统的三个正周期解的存在性 关于泛函微分方程正周期解的研究已有不少结果，如文献【1 2 4 。在文献 1 】 中，作者通过使用严格集压缩不动点理论给出了方程 o ) = x ( f ) 口( f ) 一f ( t ，工o ) ，x ( t - - t 7 l o ) ) ，x o 一吒( f ) ) ，( f q ( f ) ) ，( f 一吒( f ) ) ， 一个正周期解存在的充分条件，在文献【2 中作者使用不动点定理给出了含参数 方程 y o ) = 一口o ) 厂( y o ) ) y o ) + 2 9 ( t ，y ( t r ( f ) ) ， 两个正周期解存在的充分条件。在文献 1 4 】中，作者考虑了含参数纯量方程 y 7 ( f ) = 一日( f ) y o ) + 2 h ( t ) f ( y ( t f ( f ) ) ) ， 使用全连续算子的特征值理论给出了参数在一定范围内变化时，周期解存在的充 分条件。文献【1 1 】中作者研究了方程 x ( f ) = 一口( f ) 工o ) + f ( t ，) ， ( 1 1 ) 的两个正周期解的存在性条件。 在文献 5 】中作者研究了时滞微分系统 ( f ) = a ( t ，x ( f ) ) x o ) + a f ( t ，t ) ， 也是通过使用全连续算子的特征值理论，给出了当参数在一定范围内变化时，周 期解存在的充分条件。 目前，已有许多学者研究了纯量方程的三个周期解的存在性问题。一个自 然的想法是：能否给出高维微分系统三个周期解的存在性结果? 二、一类含有参数的二阶非线性微分系统的正周期解 在生物学，物理化学领域，二阶微分系统正周期解的研究有十分重要的实 际意义。通过利用上下解的方法，单调迭代技巧，锥上的不动点理论， l e r a y - s c h a u d e r 连续定理，重合度理论等等方法，许多学者对二阶微分系统正周 期解问题进行了深入地研究并已取得了不少成果，( 参见文献 2 5 3 4 】) 。文献 2 9 】 研究了二阶微分方程 戈o ) + a ( t ) x ( t ) = 乇f ( t ，x ( t - r o ( t ) ) ，x ( t f i ( f ) ) ，x ( t l o ) ) ) ( 1 2 ) 的正周期解，其中a ( t ) c ( r ， 0 ，栩) ) ，a ( t + r o ) = 口( f ) ，f ( t + t o ，u o ，“l 一，u 。) = f ( t ，u o ，“i ，一，z f 。) ，f 愈) = r i ( t + c o ) 汪1 ，2 ，n ，国 0 为一常数，旯 0 为参数。 作者利用不动点理论，得到了该系统的正周期解存在的充分条件。 一个很自然的问题是能否将方程( 1 2 ) 推广到高维系统并给出其周期解存 2 硕士学位论文第一章绪论 在的充分条件? 三、具有脉冲和分布时滞的l o t k a v o l t e r r a 系统的正周期解的存在性 在数学生物学的研究领域中最为典型和重要的系统之一便是l o t k a - v o l t e r r a 系统，l o t k a v o l t e r r a 系统最初是由美国种群学家l o t l a 在1 9 2 1 年研究化学反应 和意大利科学家v o l t e r r a 在1 9 2 3 年考虑鱼类竞争时分别独立提出来的。 l o t k a - v o l t e r r a 系统不仅出现在物理、化学，生物、人口、经济等许多领域，而 且大量其他的系统在某种变换下，总能转化为l o t k a v o l t e r r a 系统。最近2 0 年来， 国内外发表了大量关于l o t k a v o l t e r r a 系统的文章，( 见文献 3 5 6 0 ) 。这方面的 专著也陆续出现。 在文 5 3 】中，作者研究了如下具有分布时滞的l o t k a v o l t e r r a 系统 ( f ) = 咒( 讲纵力一喜气( f ) e 乃( 力巧o + 印d 秒一喜勺( 功厶毛( 夕，+ d o “1 3 ) 其中 a i ，6 f ，白c ( r ，r + ) ， 且 是 以国 为 周 期 的函数， 弓，元( o ，悯) ，吩，毛c ( r ，r + ) 满足f z = 1 ，& 毛( 秒) d 秒= 1 ，o k oc o ) d o ( f ，j = 1 ，2 ，甩) 作者利用严格集压缩定理给出了系统( 1 3 ) 的正周期解存在的充分 条件。 模型( 1 3 ) 给出了一个连续周期系统。然而，人们发现有许多生物现象的 发生以及人们对某些生命现象的优化控制，并非是一个连续的进程，如某些动物 的季节性出生，渔业养殖与管理中的收获，投放，种植，对癌细胞的化疗，环境 污染中毒素的定期排放等都是一种脉冲现象。与不含脉冲的微分方程相比，具有 时滞和脉冲的种群模型是广泛存在的。原有的时滞种群系统，几乎都可以考虑脉 冲问题。然而，既具有时滞又具有脉冲的种群动力系统比原有的时滞种群系统有 着更加复杂的性质，研究难度会更大。如何将模型( 1 3 ) 推广到具有脉冲干扰 的周期系统，并进而研究其周期解问题，将是十分有意义和有价值的工作。 1 2 本文的主要工作 在第二章中，我们在系统。( 1 1 ) 的基础上，考虑了高维泛函微分系统 z o ) = 彳o ) x ( f ) + 厂( f ，薯) ( 1 4 ) 的三个正周期解的存在性。通过构造恰当的格林函数，利用l e g g e a w i l l i a m s 不 3 硕+ 学位论文 第一章绪论 动点定理，给出了系统( 1 4 ) 三个正周期解存在的充分条件，我们的结果是新 的。 在第三章中，我们在系统( 1 2 ) 的基础上，借用文献 2 9 中的方法考虑了高 维微分系统 戈( f ) + 么( f ) x ( f ) = 2 f ( t ，x ( t 一吒o ) ) ，x ( t r 。( f ) ) x ( t 一吒( f ) ) ) ( 1 5 ) 的正周期解存在的充分条件。 在第四章中，我们在系统( 1 3 ) 的基础上考虑了带有脉冲的分布时滞的 l o t k a v o l t e r r a 系统 ( d 2 咒( d q ( d 一喜( d 厶k o ( o ) y j ( t + o ) d o - 喜c v ( o ) & 毛( 秒) 乃o + 口) d 口】，f 气( 1 6 ) l 咒( 气+ ) 一咒( 气) = 玩y i ( t k ) i = 1 ，2 ，刀 的正周期解存在的充分条件，我们的方法不同于文献【5 3 】的方法，同时我们给出 例子说明了我们的结果是正确的。 4 硕士学位论文 第一二章一类泛函微分系统的三个正周期解的存在性 第二章一类泛函微分系统的三个正周期解的存在性 2 1 引言 近年来人们利用拓扑度，上下解，锥上的不动点定理等方法已经得到了一些 泛函微分系统的正周期解的存在条件。 在文献 1 1 中，作者研究了如下方程 一( f ) = - a ( t ) x ( t ) + f ( t ，t ) 利用l e g g e t t w i l l i a m s 定理给出了该方程两个周期解存在性条件。 但对高维的泛函微分系统的三个正周期解的讨论比较少，受文献 1 1 】的启 发，在本文中我们考虑如下n 维微分系统 x 7 ( f ) = a ( t ) x ( t ) + 厂( f ，) ( 2 1 ) 其中彳o ) = d i a g a l ( f ) ，口2 0 ) ，a 。o ) ，a i ( f ) c ( r ，r + ) _ ra ，o + 国) = 口f ( f ) ，f = 1 ，2 ， n ，b c ”表示有界连续泛函= ( i ，2 。) 7 ：r 专r ”构成的b a n a c h 空间。 其中i i * 1 i - s u p z ，( 秒) j ，f f l xe b c ”和f r ，t b c “表示( 臼) = x ( f + 秒) ，oer 且 o e ri = 1 f ( t + r o ，+ ) = f ( t ，) ，t r ，x b c n , 缈 0 为常数。通过利用l e g g e r w i l l i a m s 不 动点定理，我们得到了系统( 2 1 ) 的三个正周期解存在的充分条件。 当高维系统( 2 1 ) 退化为一维情形时，就类似文献 1 1 中作者研究的方程 一( f ) = - a ( t ) x ( t ) + f ( t ，) 的情况。我们的结果推广了文【1 1 的相关结论。 2 2 基本定义和引理 定义2 2 1x 是实的b a n a c h 空间，尸是x 的一个非空闭子集，称尸是x 中 的锥。如果p 满足下列条件： 5 硕士学位论文第二章一类泛函微分系统的三个正周期解的存在性 ( 1 ) x p 且允0 贝ua x p ： ( 2 ) 工p 且一z p 贝0 x = 0 定义2 2 。2 映射缈：p 专 o ，0 0 ) 称为非负连续凹泛函，如果缈是非负的，连续 的且满足缈( 红+ ( 1 一f ) 少) 舻( x ) + ( 1 一f ) 妒( j ，) v x ，y p 及t 【o ，l 】 同时定义尸( 伊，a ，c ) = x ex ，缈( x ) 口，l ix 临c ，口，c 是常数。 定义2 2 3 设巨，易都是b a n a c h 空间，若算子：dc 巨专巨连续且紧，则 称是映d 入磊的全连续算子。 引理2 2 1 【2 】令：最- - ) 磊是全连续算子，且伊是尸上的非负连续凹泛函， 使得对所有的x 足有缈( x ) - i i x l l ，假设存在o r ，i ； ( 4 ) 对所有忙临，有i l 慨i i r 2 有妒( 慨) ，i 那么至少有三个不动点x i ，x 2 和x 3 瓦： l 五f l ，i ，1 1 而1 1 - r 且伊( 毛) ，。 本文在讨论中总假设以下的条件成立： ( 日。) 对所有的( f ，缈) r x b c ( r ，r “) 有f ( t ，够) 0 ； ( 日：) 对每一个伊b c ”，f ( t ，仍) 是t 的连续函数； ( h ，) 对任意的l o ，s 0 ，存在万 o ，使得，妒b c n 厶m l l 且眵一圳万 时有j f ( t ，织) 一f ( t ，够) i s ，t o ，缈 2 3 主要结论及证明 为了研究系统( 2 1 ) ，我们令 誓i 。= s u pj z , ( t ) l。 口e r x = 缸c ( r ，r ”) ，x ( f + 缈) = x ( f ) ，ter ) ，x 的范数定义为例i = 掣，i 毛( f ) l ， 扭1t e l 0 ，o l x = ( 五，恐吒) x ，那么x 是b a n a c h 空间。 定义格林函数 一i q ( 护矽口 q ( f ，j ) = l 0 ，( f ，s ) r 2 ，se t ，f + 缈v = 1 ，2 ，l ， ( 2 2 ) 一f a , ( a ) c t a e01 6 硕十学位论文第二章一类泛函微分系统的三个正周期解的存在性 则 记 一f q ( 口) d 一 qg ( 舶) 匿士 一l a t ( o ) d oi 唧( 口) d 口 1 一e01 一e 0 一卜( 一) d 口 4 = 而黔_ 品小懋舻2 磷墨 1 一e 一! q 一d 口1 一p 一! q 护d 口 1 s 5 ”1 s s ” 。 c r = ：昙 1 ，石= m ：。a s x 。口s 。u 。p ，。，a ，( 乡) ，堡= m 。鲥i s n 。口。i n 。f ，。a ，( 口) 令p = 扛x ：五( t ) l x , i 。，i = 1 ，2 刀，t o ，缈】) 易知p 是x 中的一个 锥。 由( 2 1 ) 有 一l a a s ) a si a i ( s ) d s 【x i ( t ) e ： = e ： 彳( f ，誓) ( 2 3 ) 对( 2 3 ) 在i t ，t + c o 上积分得到 x ( f ) = jg ( t ，j 矿( s ，x ) d s ( 2 4 ) 厂( j ，) = ( z 0 ，t ) ，l ( s ，) a ( s ，气) ) 7 ，g ( t ，j ) = d i a g g , ( t ，j ) ，g 2 ( t ，s ) g ( t ，j ) 显然q o + c o ，j + 缈) = g f ( f ，占) 定义算子：p 专p ( 锄) ( f ) = ( ( 舐) 。( f ) ，( 嘶) ：( f ) ，( 锄) 。( 咿，其中( ，工) ( f ) = f + o o g i ( t ，s ) z ( s ，x ，) d s 显然x ( f ) = ( ( f ) ，艺( f ) ，( f ) ) 是( 2 1 ) 的正周期解当且仅当z 是算子在锥上 的不动点。 定理2 3 1 假设( h i ) - ( 3 ) 成立且存在常数0 广 r t 使得 c 乩 = 嘲忡l i m 辨p 唧卑产小p 删= c ； 7 硕+ 学位论文第二章一类泛函微分系统的三个正周期解的存在性 ( 只) 聂j te 【o ，缈 和【o ，】下面不等式成立 f l 邝，t ) 陋r ( 1 - e - - 砌) ； ( 饥) 帆【0 ，乩种i i - - - r ，妒( j c 3 ) ，1 1 誓l l 尺= m a x 兰，孑a ) ，f = 1 ，2 ，3 证明：由o x ( t ) 的定义有 t + 2 0 j ，to+o)一十m f x ( f + 缈) = ig f o + m ，s ) 忻o ，x , ) d s = 【g i ( t + 缈，s + c o ) a ( s + 缈，曩+ 。) 丞= 1 g ( f ，s ) f a s ，x , ) d s = f 工( ) 故有o x ( t + c o ) = o x ( t ) 从而有o x p ，又 从而有 所以o xcp ，x ( f ) = f 埘ig f ( f ，s ) 彳( s ，t ) 陋4f l ，o ，t ) 协， 【，x ( f ) i = f 蜘i g , ( t ，s ) z ( s ，t ) 陋ef i z ( s ，t ) 陋 r 工( f ) 鲁l o , x ( f ) l 。a o , x ( f ) f 。2 仃i i x o ) i 。 又由假设( h d 则存在o o ，占= 1 ，存在万 o 使得矽，缈b c ”，恻l m ，i9 i i - m ，n - l i e 一圳艿时 有 i f ( t ，织) 一厂( f ，仍) i l ，t o ，c o 选取合适的正整数使得丝n 万，对x b c “，定义_ ( f ) = x ( f ) 丙1 ，= o ，1 ，2 ， 8 硕士学位论文 第二章一类泛函微分系统的三个止周期解的存在性 如果l l x l i 肘那么 所以有 _ i i 一i = 1 科s u 蛐p h 力扣钭警s 等 从而对所有的j 【o ，国】有 f ( s ，( 而) ，) - f ( s ，( 而一。) ，) l 气故引理2 3 1 的条件( 4 ) 满足。 我们在来证明条件( a ) 成- y - ，对x 霉由( 日，) 得： 2 觏s u 川pm ) i 2 施s u 州p 忡讹气) 旧1 1 。”。f i r 仅誓) 陋 1 0 硕士学位论文第二章一类泛函微分系统的三个止周期解的存在性 。1 f l z ( s ，t ) 陋n 最后，对工p ( 妒，r ) n _ i i * x l l 鲁有 妒( 吣) ) = 吲r a i n k y 。1 把m 【o i 卅ns 智 盯i , i , a 。2f 【m 蚴i n 】仃驴i 蚓o - - , 1 1 锄 引理2 2 1 的条件都满足。从而至少有三个不动点，屯，x 3 风使得 0 五l i 吒，0 恐8 ，缈( 屯) 0 为参数。我们在这里使用的方法不同于文献 2 9 的方法，得出了当参数兄在一定范围内变化时，周期解存在的充分条件。 3 2 基本概念和引理 定义3 2 。1 设x 是一b a n a e h 空间，dcx ，0 d 算子l ：d 专x 使得l 0 = 0 如果存在0 ，使得地= 兄而，那么就说兄是属于特征向量屯的特征值。 1 2 硕士学位论文第三章含有一个参数的二阶非线性微分系统的正周期解 引理3 2 1 【1 4 1 假设d 是无限维实b a n a c h 空间x 中的一个开子集，0 d 且p 是x 中的一个锥，如果f ：p n 历一尸是全连续算子，而且满足f 0 = 0 和 i n fi | r 工l l o ，则存在p n 扣，及心 0 ，使得= 风 x p n o d 在本文的讨论中，总假设以下条件成立： ( q ) f ( t ，0 ，0 0 ) = o ； ( h 2 ) f ( t ，伊o 一o ) ) ，f o ( t 一( f ) ) ，f o ( t l l j f ) ) ) 0 ，缈b c ( r ，群) ， 伊= ( 仍( f ) ，仍( f ) ，纯( f ) ) ； ( 凰)对每一个缈b c ( r ，群) ，f ( t ，纵f 一( f ) ) ，f o ( t - r , ( t ) ) ，缈( f 一吒( f ) ) ) 是f 的连 续函数； ( 只) m a x a 如) ，f o ，缈 ( 互) 2 ； ( h 5 ) t o ) c ( r ， o ，+ ) ) ，t ( f ) = t ( f + t o ) ，i = 1 ，2 ，l ； ( 日6 ) f ( t + c o ，u o ，甜i 一，u 。) = f ( t ，u o ，甜l ，一，u 。) 其中b c ( x ，y ) 表示有界连续泛函矽：x y 构成的b a n a c h 空问，其范数为 l i 矽1 i = z s u p 矽7 ( f ) l ，= ( i ，矽2 矽”) 7 对x = ( _ ，x 2 吒) r r ”，苇r l x l 。= m i = l t i = 1 3 3 主要的结论及证明 为了研究系统( 3 1 ) ，我们令 x = x ix c ( r ，r ) ，x ( t + c o ) = x o ) ，t r ) ， 其中范数定义为 x 4 = x x x i l x l 。f 【o m a 。x 烨) | ，| | ( 而，而圳：2i x , l l , + l l 础+ i i x 则x ，x 4 是b a n a c h 空间。 1 3 硕十学位论文第三章含有一个参数的二阶1 f 线性微分系统的止周期解 令 k = ( 五，恐吒) x ”，薯o ，i = l ，2 以，誓o ) 口l i ( 五，屯吒) l l ：) f = i 易知k 是x ”中的锥。 记 t = m a x 口，( f ) ：f 。，缈】) ，鸭2nlin口，(f)：f。，彩)，2碡cospfro， 妒2 3 is辱inf l i t 秒= m 吲i 勤n 乙k 隧k 肚懋舻懋 屈= 瓜，o o ，j 万= 吉，当忙一y l l ：去时有 i | 戤( r ) 一t y ( r ) l i ：= 喜忆m ) 一和( 伽= 喜鼢k x ( r ) 一z y ( d i 三善n 鼢f 埘l 誓( s ) 一片( s ) l 幽 喜黝厂i i x , ( 沪咒( 呲凼= 三啪沪j ，( 吼 三国三：占 l e o 则丁是连续的。 再证明r 映有界集为紧集。 1 5 獗学位论文第三章含有一个参数的二阶1 乍线性微分系统的止周期解 令b 是一个有界集合，v h b ，贝u3 , u o o ，使：他 豫( r ) i l ：2 喜忆j j l ( 伽= z ”m a x l f f 砌g ；( ) 名。) a s l 嘻m m a 。x ，f 阮( s ) l d s - l z 投, l l h , i 。= l 红 l h l ： l c o , u o 从而 砀：j l l b ) 是一致有界的。 最后证明 砀：五b ) 是等度连续的。 因为 - - 讲at h ( 制晰训蚍删毗珊+ r 掣琊喇厂掣琊油 = 帷掣驰啦。窆, = 1 2 3 , , s i nf l z a 协b 彳r 。喜旧( s ) 陋彳f 螂喜i 。凼= 么缈：么掣。 其中a = m a x l i n 2 s i n 屈国 2 由此可知 t h ： 曰 等度连续。 由a s c o l i - a r z e l a 定理可知，是全连续的。 易证亿i l = 万1 证毕。 再考虑方程 有 戈o ) + 彳( f ) x ( f ) = 旯j l z ( f ) ， j i f ( f ) + m x ( t ) = ( m 一彳( f ) ) x ( f ) + 2 h ( t ) 令 b x ( f ) ： ( 厨一彳( f ) ) x ( f ) 】， b x ( t ) = ( 蜀五o ) ，b 艺o ) 最o ) ) r ，e o ) = 了1 【( 鸩一q ( f ) ) 誓o ) 】 由引理3 3 1 可知x ( f ) = 越砀( f ) + t b x ( t ) 1 从而有 ( ) = 五 互矗( ) + 互蜀玉( f ) 】， ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 硕十学位论文第二章含有一个参数的二阶非线性微分系统的止周期解 尽葺o ) ： ( m q o ) ) o ) 】 ( m 一，吩) 1 1 玉i i l1 1 , 故i i b , x , i i 竽 从而 竽，r , b , i i = i i r , l l l l b , l l 等 ( 3 6 ) 由于| i 五z e0 = 允i l 霉忍l l 五ij 丁，i l i i b , i i o ，当i 一t 2 t z ( q , x ( t ) 。+ l l a ：x ( t ) l l 。+ + l l q 。x ( t ) l l 。) = a | l ( q i x ，q 2 加q x ) l l ： 因此q kc 7 k 由于p i 是全连续的，f 是连续的，故q 是全连续的，从而q 也是全连续的。证 1 8 硕十学位论文第三章含有一个参数的二阶非线性微分系统的正周期解 记 肛墨。皿坐业塑型； 伽础l 。i 。m + 。业塑业坐型 定理3 3 1 假设( q ) 一( 4 6 ) 成立，如果o 六 o ， ，五且 五 e , o ，系统( 3 1 ) 有一个正周期解，x oi = ， 证明： 由0 o 和r 0 当蚓i r ，x k 时有 g 。忙1 1 r 对x kn 孢，有： q x l l = i l o , x ( , ) l l 。 - e i q i x ( t ) = e i p ，( 厂( f ，x ( t - r 。( f ) ) ，x ( t f 。( f ) ) 一x ( t l ( 堋) t = 1i = 1f = l - z i z ( 厂o ，x o 一o ) ) ，x ( t - r 。o ) ) x ( f l o ) ) ) ) f = l 彻 ，【l 厂o ，x ( t r a t ) ) ，x ( t 一o ) ) x ( t 一乙o ) ) ) 陋 慨， 0 所以，。i l l1 1 9 l o 又因为q 是全连续的且q o = o ，由引理3 2 1 可知存在觞 0 和x o k 使 瓯2 。x o 且iz ol l = r , 令名2 玄则( f ) = 土风q x o ( f ) ，那么而是系统3 1 有一个 1 u o 正周期解且有 q x o = b ( 厂( f ，x o ( t - r a t ) ) ，x o ( t 一一( f ) ) x o ( t l ( f ) ) ) ) 互( 厂o ，x o ( t 一o ) ) ，x o ( t f 。o ) ) x o ( t l o ) ) ) ) 一十g o = iq ( f ，s ) z ( s ，x o ( s 一o ) ) ，x o ( s 一o ) ) x o ( s l o ) ) ) 凼 ，f z ( s ，石( s 一( s ) ) ，x ( s 一_ ( s ) ) x ( s 一吒( s ) ) ) 凼 ，【z ( s ，石( s 一( s ) ) ，x ( s 一( s ) ) x ( s 一吒( s ) ) ) 凼 1 9 硕士学位论文第三章含有一个参数的二阶非线性微分系统的正周期解 瓯l i _ 喜怜i 。喜，r l 彳( s ，嘞。一t o ( 呦，而。一尔劝而。一l ( 劝) 陋 ，哪i = z 【l ( s ，x o ( s 一( j ) ) ，x o ( s f t ( s ) ) x o ( s 一( j ) ) ) i 凼 1 6 ，i 从而有心恢i i 括t 1 风击2 ：五 又因为 q = b ( 厂( f ，x o ( t 一( f ) ) ，x o ( t r i ( ) ) lo l l x o ( t 一( f ) ) ) ) 。 奎m - 镌- - z it j ( f ，( f 一删) ，而( - ( f ) ) 嘞( f 一删) ) l 丝m i 厶n 肥( j 一( s ) ) ，而( s f - ( s ) ) 而( j l ( s ) ) ) 陋 瓯忙窆i = 1 峪l l 。喜争r l 彳( j ，。一f 。( 呦，而。一f - ( 呦一( s f 。( 州) 陋 等弛i i 从而 工, ol l 小i i 丝m 如i i 旯老叫 故当允 a ，如】， 蜀时系统( 3 1 ) 有一个正周期解而，i k l l = ， 定理3 3 2 假设( 日，) 一( - 1 6 ) 成立且0 f o o ，五，互且a i 五使得当五【互，五 时对任意的o ， r o ，系统( 3 1 ) 有一个正 周期解，l i x o l i = ， 证明：由o o 使得当x kro o 又因为q 是全n n n ，f 1 q o = 0 ，余下部分的证明和定理3 3 1 的证明过程相似， 我们略去。 类似于定理3 3 1 和定理3 3 2 的证明，我们可以得到下面的结论： 定理3 3 3 假设( h 。) 一( 风) 成立且兀= 0 0 ，那么存在一正常数r 和丑使得 当五互时对任意的， 扁时系统( 3 1 ) 有一个正周期解而，0 i i = ， 定理3 3 4 假设( h 。)