（应用数学专业论文）单位球上bloch型空间的一些刻画.pdf

单位球上b l o c h 型空间的一些刻画 摘要 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果，主要研 究n 维单位球_ 1 ：b l o c h 型空间( 包括经典b l o c h 窄f , q 、口b l o c h 窄问、b l o c h 窄i h j ) 的 刻画问题，推广了单位圆盘和单位球上已有的一些结果 在第一章中给出了b l o c h 型空问的研究背景及论文需要的一些记号、概念和 定理，同时介绍了本篇论文的研究意义 在第二章中首先研究了单位球上a b l o c h 穿闻的刻画问题，对于o l b l o c h 空间， 最早的工作主要集中在0 1 b l o c h 函数的系数特征，利用梯度或径向导数刻画等方 面最近，一些文献给出了不依赖导数的q b l o c h 空间的几种不同形式的刻画方 式本章基于上述思想，给出一种新的不依赖导数的q b l o c h 空间的刻画形式，拓 展了q b l o c h 函数特征研究的思路，同时也给出了小q b l o c h 空问的相应的结果 其次，我们给出了经典b l o c h 函数空间特征描述的三个新的充要条什 在第三章中研究了单位球上更广泛的t b l o c h i 蚕l 数空间的特征，弘一b l o c h 卒间 包括我们以前研究过的经典b l o c h 空问，q b l o c h 空问，对数b l o c h 空间等，可以说， 以前研究过的b l o c h 型空间都是肛b l o c h 空间的特例前人对p b l o c h 空间函数特征 的描述仅仅只是用径向导数或梯度的形式，木章以已有的对b l o c h 空闻的各种 刻画形式为基础，分别给出了弘一b l o c h 空间和小p b l o c h 空间的不依赖于导数的刻 画形式 1 在第四章中，不同于第二章和第三章的研究方法，主要从积分刻画的角度给 出了单位球上对数b l o c h 函数空间特征描述的几个充要条件，同时，也给出了经 典b l o c h 空间的新的积分刻画形式，推广了已有的一些结果 关键词：b l o c h ? 空 u - , q b l o c h 窄1 h ；肛b l o c h 函数；径向导数；正规函数 i i s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fb l o c h t y p e s p a c eo nt h eu n i tb a l l ab s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o nc o l l e c t st h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yt h ea u t h o rd u r i n gt h ep e r i o d w h e ns h eh a sa p p l i e df o rt h em d t h ea u t h o rs t u d i e ss o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e b l o c h - t y p es p a c e ( i n c l u d i n gt h ec l a s s i cb l o c h ，t h eq - b l o c hs p a c e ，t h e # - b l o c hs p a c e ) o n t h en d i m e n s i o n a lu n i tb a l la n dg e n e r a l i z e st h er e s u l t so fs o m ek n o w nr e s u l t so nt h eu n i t d i s ka n do nt h eu n i tb a l l i nt h ef i r s tc h a p t e r , r e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h eb l o c h t y p es p a c e ，s o m en o t a t i o n s ， d e f i n i t i o n s ，a n dt h e o r e m sa r eg i v e n ，a tt h es a m et i m e ，r e s e a r c hs i g n i f i c a n c eo f t h i sp a p e r i si n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , f i r s t l y , t h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h eq - b l o c h s p a c eo nt h eu n i t b a l la r es t u d i e d f o rq b l o c hs p a c e ，t h ee a r l i e s tw o r ki st h ec o e f f i c i e n tc h a r a c t e r i z a t i o n a n dg r a d i e n to rr a d i a ld e r i v a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no f1 2 一b l o c hf u n c t i o n r e c e n t l y , t h e c h a r a c t e r i z a t i o n so f1 2 b l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i tb a l lw i t h o u tu s eo fd e r i v a t i v ea r e g i v e n ba s e do nt h ea b o v ei d e a ，t h i sc h a p t e rg i v e san e wc h a r a c t e r i z a t i o no fq b l o c h f u n c t i o n so nt h eu n i tb a l lw i t h o u tu s eo fd e r i v a t i v e ，t h e ne x p a n d st h er e s e a r c hm e t h o d o fa 。b l o c hf u n c t i o n ss p a c e a tt h es a m et i m e ，t h ec o r r e s p o n d i n g r e s u l t so ft h el i t t l ea b l o c hs p a c ea r eg i v e n s e c o n d l y ，w eg a i nt h r e en e w n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a b o u tt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ec l a s s i cb l o c h s p a c e i i i i nt h et h i r dc h a p t e r , t h e 弘- bl o c hs p a c eo nt h eu n i tb a l li ss t u d i e d t h e 肛一b l o c h s p a c ei n c l u d e st h ec l a s s i cb l o c hs p a c e ，o l - b l o c hs p a c e ，l o g a r i t h m i cb l o c hs p a c e ，w e c a ns a y , t h eb l o c h t y p es p a c e sw es t u d i e db e f o r ea r ea l lt h es p e c i a lc a s e so ft h ep - b l o c hs p a c e t h ee a r l y 弘一b l o c hs p a c ei sd e f i n e db yt h es i m p l eg r a d i e n ta n dr a d i a l d e r i v a t i v e b a s e do nt h ev a r i o u sc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ea b l o c hs p a c e ，t h i sc h a p t e r g i v e st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e ，z bl o c hs p a c ea n dl i t t l e 弘一b l o c hs p a c ew i t h o u tu s eo f d e r i v a t i v e i nt h ef o u r t hc h a p t e lt h er e s e a r c hm e t h o d sa r ed i f f e r e n tf r o mt h eo n e so ft h es e c o n dc h a p t e ra n dt h et h i r dc h a p t e r , b yi n t e g r a lc h a r a c t e r i z a t i o n ，t h ea u t h o ro b t a i n ss o m e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u tl o g a r i t h m i cb l o c hs p a c eo nt h eu n i tb a l l ，a t t h es a m et i m e ，w eo b t a i nt h en e wi n t e g r a lc h a r a c t e r i z a t i o no ft h ec l a s s i cb l o c hs p a c e ， a n dg e n e r a l i z et h er e s u l t sb e f o r e k e yw o r d s ： b l o c hs p a c e ；n b l o c hs p a c e ；# - b l o c hf u n c t i o n ；r a d i a l d e r i v a t i v e ；n o r m a lf u n c t i o n i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果，其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名意p 迎四 学位论文使用授权声明 日期：冲s 。7 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 研究生签毪了p 魉回剔性毪 啪口期：矽多9 必 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 1 1 研究概况 1 绪论 多复交函数沦是当代数学研究的主流方向之一，在近代数学中占有重要地 位而复函数空问理论是多复变函数论研究的一个重要课题，在近几十年中， 从经典的h a r d y 空间，b e r g m a n 空间，到后来的b l o c h 空间，加权d i r i c h l e t 空间， b m o a 空间，b e s o v 空间以及q p 空间等，复函数空间理论的研究取得了很大的进 展一方面，人们尝试用不同的方式来描述这些全纯空问上的函数特征，另一方 面，在这些著名函数空间的基础上，人们不断的把函数空间进行推广，如近年乌兰 哈斯，伍鹏程等人引入上述几类复函数空间的更一般形式q k 空间这些空间不 但本身有其独立且重要的性质，更重要的是通过对这些函数空间的深刻研究，使 解析函数空问理论l 一泛函分析，微分方程，位势论和概率论等理论紧密结合起来， 并在其他数学领域中发挥重要作用在这些空间中，由于b l o c h 型空间跟其他空 间的联系非常紧密，所以对b l o c h 型空间的研究有着重要意义人们分别尝试阁微 分形式，积分形式，c a r l e s o n 澳l j 度等各种方法来刻画b l o c h 裂空间，而n b l o c h 空间， 对数b l o c h 空间等又从不同的角度拓展了b l o c h 型空问的研究范围 最早在1 9 8 0 年，t i m o n e y 1 】给出了单位球上b l o c h 空间b 和小b l o c h 空问风的 定义同i 付t i m o n e y l 2 】也证明了若全纯函数厂满足i l f t l l = s u p ( 1 一h 2 ) l v f ( z ) l z e b “ o o ，则，属于b l o c h 空问，他还证明了i i f l l , = s u p ( 1 一l z l 2 ) l v ，( z ) l 。o 和l i f l l 2 = z e b - 。 s u p ( 1 一例2 ) l n f ( z ) i o o 的等价性 z e b n 而在1 9 8 6 年，h o l l a n d 和w a l s h 已给出了单位圆盘d = z c ：l z l 1 _ z b l o c h 空 1 绪论 问的一种刻画 定理1 1 【3 】设，是d 上的仝纯函数，则，b 当且仅当 s u p 料( 1 一f z l 2 ) ( 1 一 伽1 2 ) ：z , w ed , z 伽) o 。( 1 1 ) 到2 0 0 1 年，n o w a k 把类似的刻画结果推到了更高维单位球上，得到下面的定理 定理1 2 【4 】设，是b n 上的全纯函数，n f b 当且仅当 ：，。s b u 。p ，：如( 1 l z l 2 ) ( 1 i 砌旷1 2 ) 5i i i ：1 ；! i ；! 煞 。( 1 2 ) 2 0 0 5 年，任广斌简化t n o w a k 对b l o c h 字间以及d x b l o c h 空间的刻画，得至l b l o c h 空 问的下而简单刻画 定理1 3f 5 】设，是b 。上的仝纯函数，, 贝t j f b n r 仅当 s ( ，) ：= s u 。p z：。( 1 一i z l 2 ) ( 1 一l 加1 2 ) 瞥 0 ，令s ( e ，r ) = 2 b n ：1 1 一 i r ) i 绪论 设0 p o 。，“是b 。上有限正b o r e l 测度，则 ( 1 ) 如果 s u p 鲤三r 丝q n 必= c i c x ) ，则称肛( z ) 是b 。上有界g c a r l e s o n 测 0 r s 2 ，e a b n 度 ( 2 ) 如果翔掣= c 0 = o 关于 o b n 一致成立，则称p ( z ) 是b 。上 紧口一c a r l e s o n 测度 定理1 51 8 】设，在b n 中是全纯的，0 p ，q ，p 1 ，1 q o 。，则 ( 1 ) ，b q 每净d l z ( 名) 是b n 上有界q c a r l e s o n 澳l j 度； ( 2 ) ，及，0 乍净d 弘( z ) 是b 。上紧q c a r l e s o n 澳l j 度 最近，赵如汉得到了在满足0 o t 2 的条件下a b l o c h 空间的不依赖导数 的刻画形式，大大简化了b l o c h 空间的刻画形式 定理1 6 9 】设0 q 2 ，令q 是满足下列条件的任意实数： ( 1 )当0 q 1 时，0 a 口； ( 2 )当q = 1 时，0 久1 ； ( 3 ) 当1 o t 2 时，q 一1sa 1 则c ”，i 二的全纯函数，鼠当月仅当 叫) ：s ( 1 制) 入( 1 - w e b背w l o 。2 ，n ，奶l z 一 进而，对满足上述条件的任何a ，q ，半范数s u p ( 1 一h 2 ) l v f ( z ) 1 。和& ( ，) 是 z e b n 等价的 后来，乌兰哈斯在2 0 0 8 年推广了赵如汉的结果，o t 的范围推广到任意正实数 定理1 7i l o 】设口8 0 ，0 r 1 ，日( b ) ，则，b 。当且仅当 3 l 绪论 l 。= 。s ) u p ，( 1 一1 2 1 2 ) 8 ( 1 一i 卸1 2 ) q s 卫背 (13)p(z z # w w ，埘) r ，l 二一 其中p ( z ，w ) = i 忱( 砌) i 是b n 上的。个距离函数，称之为伪双曲距离 同时，他给出t b l o c h 空间b 的一种新的刻画形式如下 定理1 81 1 0 设，是单位球上的伞纯函数，则，b 当且仪当 s u p w e b j 1 成1w 护端z ：，n ，z 伽 j - 一 ，叫夕i 2 0 0 5 年，张学军和肖建斌在【1 1 】中应用正规函数p ( t ) 在单位球上刻画了个新 的b l o c h 型空间，# - b l o c h 函数空间，与以前a j b l o c h 型函数空间的刻画类似，他们 对弘一b l o c h 函数字间的特征描述只是用梯度和径向导数的方式，本文在此基础上 将给出p - b 1 0 c h 函数空间的不依赖导数的细致捕述 1 2 一些记号与定义 令b n 表示c ”中的单位球，0 b n 是单位球的边界令z = ( 2 l ，) ，w = ( w l ，) 是c “中的点，且 = 2 1 面1 + + 砜，l z i = 、e 砰_ _ 了研 则b n = z c n ： 1 ) 记b 中的全纯函数的集合为日( b n ) ，咖( 2 ) 是单 位球上标准化的l e b e s g u e 体积测度，令打( z ) = ( ：- i z l 2 ) 一n d v ( z ) ，则打( 2 ) 是b n 上 的m s b i u s 不变测度 记f 日( b ) ，则厂的复梯度v f ( z ) 定义为 号他) = ( 瓦o f ( z ) ，瓦o f ( 名) ) ， 1 绪论 ，的径向导数冗，( 2 ) 定义为 删= 喜勺百o f ( z ) 3 - - - - l 。 a 2 a u t ( b 。) 表示从b 。到它自身的所有自同构组成的集合，_ ! i ! u a u t ( b 。) 由c 札上的酉 算子和所有对合妒。组成， 删= 号笺掣 其中s n = r 砰，只( z ) = 气铲，q 。一j 一只且满足 l 嘲1 2 _ 掣雩警， 概= ( 端r 1 设，是单位球上的全纯函数，令 q 水) = 。恶。鬻艇b n 其中 表示单位球上的内积，也( 钮，叫) 是单位球b n 上的b e r g m a n 度量，定义为 脚= 丁n + l 蚓等矧严丛, z eb 。, 0 伽田 定义1 1b l o c h 窄问口是单位球上所有满足l l f l t s = s u p q ( z ) ：z b 。) 0 ，b 。上的全纯函数，如果满足 i t f t t b o = l i f l t = s u p ( 1 一l z l 2 ) a i v f ( z ) l 0 ，b n 上的全纯函数，如果满足 舶l i m 。( 1 一n i v y ( z ) i = o ， 则称，属于小q b l o c h 空间鼠心 另外，y a n g 军l l q u y a n g 1 8 】证明了l i 朋等价于 i i f l l q ，2 = s u p ( 1 一i z l 2 ) 口f 月厂( z ) f 时，k ( r ) = 1 一r 2 ；当口= 时，a a 0 ) = ( 1 一r 2 ) ( 1 + l o g 南) 2 ；当o ；时，g = 习c o t ，c 是绝对常数，当o ；时，有 只( 叫) = ( 1 一l z l 2 ) 1 - n 也( 加，叫) 定义1 5 对o l 0 ，b ，。上的全纯函数，如果满足 l i b ，= 般( 1 一d l 。g 研2 i v 几) l 0 ，单位球b 。上的仝纯函数厂如果满足 碧m l ( 1 一m 1 。l 。g 二2 砰i v m ) j = 。， 贝0 称，属于加权小o t bl o c h 空间b 匙，0 在论文中，用c 表示绝对正常数，瓯表示依赖- 丁q 的正常数，在不同的地方 代表不i 一的值，l 一时，我们以a b 表示存存q ，q 0 ，使得c 1 鲁q 8 2 单位球上q b l o c h 空间的刻画 本章探讨了单位球上q b l o c b 空间的刻画，推广了定理1 8 a o 结果，得到了单位 球上q b l o c h 空问的一种新的刻画形式，同时给出小o b l o c h 空间的和应结果 2 1 q b l o c h 空间的刻画 为了主要定理的证明，首先给出几个引理) c 寸z ，铷b 。，实数a ， 当q ；时，定义 圳础，= 禺鬻茜粼 当o qs 时，定义 圳砷) = f 蒜赫 当名，w 均在单位圆盘上时，上面两等式千兀等 令 盯( z ) = 1 + 1 0 9r b ，0 z l ， 弘q ( z ) = ；( 1 一( 1 一z ) n 一1 ) ，0 z 1 ， p n ( z ) = ：( 1 一( 1 一z ) 1 一。) ：0 z 1 ，0 口 1 ， ( o ) = f q 一1 1 引理2 1 2 4 】假设o 入1 ，6 = m i n a ，1 一a ) ，则当，b 时， i ，( 2 ) 一f ( z o ) lsc i i f l l b l , ，入( z ，硼) ( 1 一i 妒删( z ) 1 ) 6 仃( 1 妒”( z ) 1 ) ( 2 1 ) 9 2 单位球上q b l o c h 空问的刻面 成立，其巾z ，叫b n 引理2 2 2 4 1 假设1 q 2 ，一1 a 1 ，6 = m i n a 一( 口一1 ) ，1 一入) ，则 当，b 口时， i ，( z ) 一，( 枷) l 兰警峄三n ，a ( z ，叫) ( 1 一i 妒伽( z ) 1 ) 5 p a ( i 妒伽( z ) i ) ( 2 2 ) 成立，其中z ，伽b 。 引理2 3 【2 4 】假设o 口 1 ，0 a 口，6 = m i n a ，q a ) ，则当- 厂b q 时， ，( z ) 一，( 叫) i 兰； 等三口，入( 2 ，叫) ( 1 一i 妒仰( z ) i ) 6 肛n ( 1 妒加( z ) i ) ( 2 3 ) 成立，其中z ，t u b 。 引理2 41 2 4 菪0 o 2 ，则 q 一1 l p 。( r ) 2 ，0 7 1 ， 纵r ) 2 1 a - 1 1 ，o r 丢 定理2 1 假设0 q 2 ，a 是满足下列条件的任意实数： ( 1 )当0 q l a 寸，0 a o r ； ( 2 )当a = 1 时，0 入l ； ( 3 )当l o t 2 时，a 一1 a 1 若f 风，则 ，( z ) 一，( 伽) i 仁i l f l l b 。l 口。a ( 名，训) 1 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 2 单位球上n b l o c h 空闯的刻雨 证明：由引理2 1 引理2 4 结论可得 定理2 2 令； 口2 ，a 是满足下列条件的任意实数： ( 1 )当 口 l 时，0 入q ； ( 2 ) 当o t = 1 时，0 入l ； ( 3 )当1 q 2 时，q 一1 a 1 , 贝l j f 鼠当且仅当 酬b n s u p 蟠( 1 一a ( 卜m 一矿瓦i f ( z 万) - 厕f ( w ) l ( 1 制2 ) 口帮 = ( 1 一l z 2 ) 。瞥l ( 1 一q i r f ( 2 ) i 定理2 3 令； o t 2 ，入是满足下列条件的任意实数： ( 1 )当 q 1 时，0 入口； ( 2 )当q = l 时，0 入l ； ( 3 )当l q 2 i 对，q 一1 入1 则，b 口当且仅当 ：，su，pw6b：。，(1一izl2)(1一l钮12)aa煳w。o。(2。9)：。l i 句锄l 上一z ， ，i 2 单位球上q b l o c h 空问的刻画 证明：充分性 议e ( z ，r ) = 扣b n ：l ( 钳) l 0 ，叫e ( 2 ，? 1 ) ，我们由 5 ，6 】知 南掣击， l + 7 t l l 钮p l 一妒 一12帮1 击， 一 一1 2 【2 一l r 7 l 天| i 转们右 z ( z ，r ) l ( 1 一l z l 2 ) n + 1 ( 1 一i 伽1 2 ) n + 1 i l 一 i 仙“， 设曰( z ，r ) 为球一f i , 在z ，半径为r 的球，则由c a u c h y 估计和次调和性，对任意6 ( 0 ，执有 ( 1 一m 2 ) i v y ( w ) l cs u pi ，( z ) 一厂( 训) i z e b ( w ， ( 1 - 1 w 1 ) ) 南。印删) i f ( 矿m ) 眦) 对同定的r ，有 b ( w ，2 ( ( 1 一f 伽1 ) ) ce ( z ，7 ) ， 事实上，若z b ( 叫，2 ( ( 1 一l 伽1 ) ) ，我们有 l 孑一只( 硼) 一8 z q ：( 硼) i i z 一1 1 3 l 1 3 2 单位球上o b l o c h 空问的刻而 而 因此 所以 凶而有 进而有 因此 2 ( 1 一l 叫i ) s2 ( ( 1 一1 w l l z l ) 2 ( ( 1 一l 1 ) 2 ( 1 1 - 1 ) 妒却( z ) l = 1 9 ：( 叫) l 2 瓦 z e 沁，2 6 ) ， b ( w ，2 ( ( 1 一l 叫i ) ) ce ( 枷，2 ( ) ( 1 - m l v 伽) i 南厶，) i f ( 沪舳) l d v ( 吐 ( 1 一蚓2 ) a i v y ( w ) l 兰薷上( 叫，) i ，( 2 ) 一，( 叫) l d 钞( z ) = 币斋j 厂e h ，、矗蚓( 1 一f 2 1 2 ) a ( 1 一l 伽1 2 ) 口一a 出，( z )( 1 一 镏1 2 ) “+ 1 ( ，r ) 1 一 i r| 叫7r“7 q 吖 s u p ( 1 一2 ) 口i v f ( w ) l , s l i p w e b 珀l 制九1w r 入黼t u 。o 。o i l ，2 l 上一石，i 所以f 既 反过米，已知厂b 0 ，现o - e ( 2 8 ) 式成立 因为 f 丢习矿瓦吾厕， ( 2 j 。) 1 4 2 单位球上q ，b l o c h 空间的刻而 ( 2 9 ) 式结合( 2 7 ) 式知 。s u 。p ，：。( 1 一1 w e b2 2 ) a ( 1 一l 加1 2 ) 。一a 燃w o ，n ，：埘l 上一弋z j 夕 所以( 2 8 ) 式成立 ss u p ( 1 一l z l 2 ) ( 1 一l 伽1 2 ) q a = ，w e b n ，药伽 2 2 小q b l o c h 空间的刻画 f ( z ) 一f ( w ) 叫一 引理2 5 【9 】设0 口2 ，a 是满足下列条件的任意实数： ( 1 )当0 q 1 时，0 a q ； ( 2 )当乜= 1 时，0 a 1 ； ( 3 )当1 q 2 时，a 一1 as1 则c “上的全纯函数，b o , 。o 当且仅当 r ( z ) 一8 w q 枷( z ) i ：l i 卜r a ，s u 。p w e b ：加( 1 一1 2 1 2 ) a ( 1 一i 铅1 2 ) 口一a 堕铧= o 讣1 1 n ，2 伽i z 一叫f 引理2 6j 1 o l 2 ，a 是满足下列条件的任意实数： ( 1 ) 当； 口 1 时，0 入s q ； ( 2 ) 当a = 1 时，0 a 1 ； ( 3 )当l 口2 时，q 一1 入s1 则，b 。0 当且仅当 l i 。m ， s u p ( 1 一l z 2 ) a ( 1 一i 竹1 2 ) 口一a 外呻1 w e b n ，2 t l ， 1 5 再虿i f ( 万z ) f - f i ( w ) 函l 丽= 。t u 一只。( z ) 一s 。，q 。( z ) l 。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 2 单位球上q b l o c h 空间的刻i 田i 证明： 充分性设f h ( b n ) ，因为 南矿瓦音南 ( 2 ) f 习矿磁两j 蕊厕 ( 2 1 3 ) 上式结合( 2 1 1 ) 式和( 2 1 2 ) 式得出理想结果 而 必要性若，鼠，0 ，设 ( z ) = f ( t z ) ，t ( 0 ，1 ) ，由( 2 8 ) 式知 (1-lzl2)a(-一itul2)。一入f五j坚；：；尚 t7；三=i三鬟等妻接(1一jt名12)天(1一it,1t z)硅一入zl。( 1 一i2 ) a ( 1 一i 训1 2 ) n a pr 叫7r7 ， l f ( t z ) 一f ( t w ) i “l t w 一只。( t z ) 一s 。q t 叫( z ) l c 南( ，一i 由三角不等式，得到 ( 1 - a ( 1 一。矿瓦i f ( z 弭) - 习f ( w ) 丽l ( = ! 一l z l 2 ) ( 1 一i 叫1 2 ) 口一a 竖舌乒兰笔鲁基于错 + ( i - 2 九1 - l 竹。孝猪 _ c a l l f f , l i b o + c 若两( 1 卟1 2 ) a i i ：i i b o 1 6 2 单位球上n b l o c h 空间的刻画 从而 ：，su。p，；蜘(1一lz2)(1一钮12)nai五_二=_ijfi(：zi)三了-：二f_(iw丽)web：，n ，二蜘l 一r 埘l z ，一d 蜘v l ， c 口 1 f 一 1 1 日。+ c i j f 兰i f ( 1 一1 2 1 2 ) a i l f 1 日。 上不等式中，先令_ 1 ，再令t _ 1 一，我们就可以得到理想的结果 定理2 4 令 o l 2 ，a 是满足下列条件的任意实数： ( 1 ) 当 q 1 h 寸，0 入冬q ； ( 2 ) 当口= 1 时，0 冬a 1 ； ( 3 )当1 q 2 时，口一1 a 1 则，b q 0 当且仪当 l i m s u 。p z l - - , 1w e b ：。( 1 一 z ；2 ) 弋l 一 伽1 2 ) q 一古鲻w = o ( 2 1 4 ) n ，钾t ，l _ l 一气孑一) l 证明：本定理的证观方法与文r i o 中的定理4 的证明方法类似，故省略 2 3 经典b l o c h 函数特征描述的三个充要条件 在这部分我们将给出单位球上b l o c h 空问更加细致的刻画方式，定理的证明 需要下面这个引理 引理2 71 17 】设，是单位球上的伞纯函数，贝, l j f b 当且仅当 。，伽s b u 。p ，：叫( 1 一l z l 2 ) ( z l 加；2 ) 5f 历_ 二j ；：毛 。 ( 2 1 5 ) 1 7 2 单位球上n b l o c h 空间的刻碗 定理2 5 设0 a l ，是单位球上的全纯函数，则，b 当且仅当 ：，。，s b u 。p ，：。( 1 1 名1 2 ) ；( - l 乱u 1 2 ) 51ij：i天1iil!：；：iii：!：。(2，6) 证明： 若f b ，现证( 2 1 6 ) 式成立 由( 2 1 3 ) 式知 ( 1 - h 2 崩1 州乒f 剩等第酽 ( 1 一l z l 2 ) ( ，一i 加1 2 ) 5 再丁二与警专 上式结合引理2 7 失n ( 2 1 6 ) 式成立 反过来，若( 2 1 6 ) 式成立，设c n ，且吲= 1 ，构造函数 ：d c 为灰( z ) = ，( 扛) 令 m=：，。sbu。p，。埘(1一izl2)(，一i牡，12)5；l_u一=：乏f呵i兰兰；to专手兰；tz)名，删b n ，纠z i ， | 一rl 么j 一5 叫v t 王jr 一 因此 则对侄意的u ，秽d ，且札口，有 ( 1 - 悖铲) ；( 1 制2 诤阿研芒等署瓣矛 ( 1 一i 乱1 2 ) ( 1 一i 秽1 2 ) 卫料m 这表明f b i l y i i b = s u pl k ( z ) l ( i 一2 ) m z e b “ 2 单位球上q b l o c h 空问的刻画 定理2 6 设0 入 1 ，f 是单位球上的仝纯函数，则，b 当且仅当 删氓s u p 殍叫( ，邛1 2 ) ! ( 1 卟1 2 ) 5 f 琢刮栏焉磬瓣 。 ( 2 。1 7 ) 证i ! j j ：必要性 若f b ，由( 2 1 0 ) 式知 ( 1 - 2 皮l 书j 2 ) 5f 丽爿静篙磬瓣 s ( ，一l z l 2 ) 圭( 1 一l 钮1 2 ) 5 再了= 善善毫蹁， 上式结合引理2 7 失w ( 2 1 7 ) 式成立 反过来，南( 2 1 0 ) 式知 从而知 f i 瓦了雨再去忑f i 瓦两p f 南 ( 1 - h 2 成- 刊i2 ) 5f 丽剖簪蛩磐丽 2 ( 1 一l z l 2 ) ( 1 一l 砌1 2 ) 吉蚓 两边取上确界，结合( 2 1 7 ) 从而得到，b 定理2 7 设o 入 l ，是单位球上的全纯函数，刚f b 当且仅当 二，二s b u 。p ：加( 1 一 2 1 2 ) ( 王一l 锄 2 ) 51r：_：i呈三三貅。 ( 2 ，8 ) 1 9 2 单位球上n b l o c h 空间的刻画 证明：必要性 假设f b 则由 l1 fi而一1w-p叫(z)-swqw(z)l， 及 一o 一 l z 一l _ ：i 叫一只。z ) 一s 。q ，。( 2 ) i 知 ( 1 - 2 ) ( 1 制妒旺捌糌 ( 1 一i z l 2 ) ( 1 一i 叫| 2 ) 5 再丁二擘善是热 卜式结合引理2 7 知( 2 1 8 ) 式成立 充分性 假设( 2 1 8 ) 式成立，则由文献 2 5 】中定理2 1 的( 1 0 ) 式知 ( 1 一m 2 ) l v f ( w ) 卯厂e r1i化)-，(训蚓警乒州z)(w ， ，r )1 w 一i 。 g 厶等美装榴筹掣州2 ， 一 ，e ，r )i l 一 i a l 叫一z 1 1 一a 、7 c ：，s u 。p w e b ，： ( 1 一i z l 2 ) ( 1 一i 叫1 2 ) 5 再= = 参笔生 糌 ：，n ，：t l ， lj - 一、，w ，i1 w 一石i 一 从而f b 同时，我们给出了d x b l o c h 空间的相应的刻画，南于证明方法类似，证明过 程赂 2 单位球上q b l o c h 空间的刻画 定理2 8 设0 a 1 ，f g 单位球上的全纯函数，n f b 当且仅当 l i m sup卜汗izl-*1w e b 俄1 5 f 而鐾爵t z 8 w t , # w t zn ，：埘i 训一z l ， i 叫一，w ，一j l 一 定理2 9 设0 入 1 ，是单位球上的全纯函数，则，b 当且仅当 lim，叫bsu。p声(1一izl2)(1一l钮|2)5再=-=_云i_歹采手兰专是手l-丽=。 ( 2 2 0 ) 定理2 1 0 设0 q 时) = 丽弦南，p 。， p ( 7 ) = ( 1 一r 2 ) 。l o 矿2 ( 1 一r 2 ) 一，o t 0 ，p 为任意实数 等就是这样的诈规函数 3 单位球上“b l o c h 空问的刻i 函i 定义3 2 2 6 圣s tl z 是 o ，1 ) 上的正规函数，b 。上的全纯函数，如果满足 = s u pq # ( z ) 0 0 ， z e b n 则称f ) r 于g b l o c h _ 空_ i n - 吼 其中 州= s u 叫p w e c 。，采1 器器篝海 l 。 n 一 o ) 、( 一j 2 f 。) i 加 2 + l i o 定义3 3 【2 6 1 设p 是【o ，1 ) 上的正规函数，b 。上的全纯函数，如果满足 p ( m ) f i = 0 则称厂属于小肛- b l o c h 空l h - j 目，0 众所周知，在范数l | 州毋= l ，( o ) l + i i f l l 胁1 - f ，吼是一个b a n a c h 空间，且以，o 是玩的闭彳空间 令 则有下面引理 f l l p ，2 = s u pj f z ( i z i ) l v f ( z ) l ， z e b n f l l 地3 = s l i p z ( 1 2 1 ) l r f ( z ) 1 z e b n 引理3 1f 2 6 】设p 是【o ，1 ) 上的止规函数，是b n 上的全纯函数，则 ( 1 ) f b p 的充要条件为1 l 州p ，2 = s u p 【z ( i z ) i v f ( z ) i 0 0