（应用数学专业论文）空间闭折线所围的极小网格曲面设计.pdf

摘要 本文首先简要地回顾了极小曲面p l a t e a u 问题的产生和沿革，综述了目前在 c a g d 领域内研究b 6 z i e r 极小曲面造型和b 样条极小曲面造型的主要方法、意义与 局限性，进一步指出了研究空问闭折线所围的极小网格曲面造型的必要性和合理 性在介绍一般对于p l a t e a u b 6 z i e r 问题的d i r i c h l e t 解曲面的思想、方法，回顾插 值已知型值点的口- b s p l i n e 曲线曲面的构造方法及性质之后，本文对空间闭折线 所围的极小网格曲面造型的一般提法、理论机理进行了研讨，并提出基于p l a t e a u - b - s p l i n e 问题的d i r i c h l e t 解曲面思想，从几何逼近论的角度，给出了实现空问闭折 线所围的极小网格曲面造型的一个设计思路，最终给出了基于双3 次b - s p l i n e 的极 小网格曲面的一整套算法，并用几个实例对新理论与新算法进行了验证本文的 主要贡献与创新点可概括为以下几点： 1 在c a g d 领域内首次提出了空问闭折线所围的极小网格曲面造型问题并进行 了成功的尝试这将对建筑、机械等工程实际产生深远影响 2 提出了将d i r i c h l e t 能量函数方法推广到双3 次b 样条曲面的思想，并以此为基 础导出空间闭折线所围的极小网格曲面一个解的研究途径，作为用d i r i c h l e t 能量函数方法研究极小网格曲面问题的重要理论基础详细推导了三角曲面 片微元与插值顶点的相应三角平面片微元的面积差与该三角曲面参数域及控 制顶点之间的关系，并证明了当参数域面积微元趋于0 时，可通过选择合适的 形状因子o g ，使得上述两面积微元之差的极限也是0 进而证明了当在曲面内 部取点个数趋于无穷时，得到的三角网格总面积趋于p l a t e a u b s p l i n e 意义之下 的d i r i c h l e t 极小曲面的面积 3 探索了将d i r i c h l e t 能量函数方法推广到离散极小曲面即极小网格曲面研究领 域的一种具体算法其基本思想是借助于广义逆矩阵求解超定线性方程组的 方法，以及具有可调因子的非均匀a b 样条曲面转化到均匀b 样条曲面的方 法并把该方法引入到基于b 样条的极小网格曲面造型中，从而将连续的 d i r i c h l e t 能量函数极小化问题，转化为个离散形式的目标函数的极小化问 题全文的理论结果与数值实验表明，本研究的探索是成功的 浙江大学硕士学位论文 关键词：极小曲面，p l a t e a u - b s p f i n e 问题，d i r i c h l e t 能量函数， 3 次口一b 样条 曲线，均匀三角剖分 a bs t r a c t t ob e g i nw i t h w eb r i e f l yr e t r o s p e c tt h eb i r t ha n dt h ee v o l u t i o no ft h em i n i m a l s u r f a c ep r o b l e m ( p l a t e a up r o b l e m ) ，a n dw ec o m p r e h e n s i v e l yi n t r o d u c es o f t i ei m p o r t a n t m e t h o d s ，u s e f u ls i g n i f i e a n c e s ，a n de s s e n t i a ll i n d r a t i o n so f r e c e n tr e s e a r c h e so nb 6 z i e r m i n i m a ls u r f a c em o d e l i n ga n db - s p l i n em i n i m a ls u r f a c em o d e l i n gi nt h ef i e l do fc a g d f u r t h e r m o r e w ep o i n to u tt h a ti ti sn e c e s s a r ya n dr e a s o n a b l ef o ru st os t u d yd e s i g no f m i n i m a lm e s hs u r f a c es u r r o u n d e dg i v e ns p a t i a lc l o s e db r o k e nl i n e a n dt h e nw e i n t r o d u c et h eg e n e r a li d e aa n dt h es p e c i f i cd i r i c h l e ta p p r o a c ho ft h ep l a t e a u - b 6 z i e r p r o b l e m w ea l s or e t r o s p e c tt h em o d e l i n ga n dp r o p e r t yo ft h ec u b i c 口- 1 3 - s p l i n e c u r v et h a ti n t e r p o l a t e sg i v e nd a t a a f t e r w a r d s ，w ee x p a n das e r i e so fi n - d e p t h d i s c u s s i o n sa n dr e s e a r c h e so i lt h em i n i m a lm e s hs u r f a c em o d e l i n gs u r r o u n d e dg i v e n s p a c i a lc l o s e db r o k e nl i n e ， i n c l u di n gi t sg e n e r a ls t a t e m e n t i t st h e o r e t i c a l m e c h a n i s m a l s ob r i n gf o r w a r dt h ei d e ao fu s i n gt h ed i r i c h l e ts o l u t i o no ft h e p l a t e a u 一出叩l i n ep r o b l e m t h e n ， w eg e tt h ed e s i g no ft h em i n i m a lm e s hs u r f a c e m o d e l i n gf r o mt h ev i e wo fg e o m e t r ya p p r o a c h f i n a l l y ，w ev a l i d a t et h i sn e wk i n do f t h e o d ra n da l g o r i t h mb yg i v i n gal a r g ev a r i e t yo fe x a m p l e so ft h ed o u b l et h r e ed e g r e e b - s p l i n es u r f a c c s t h em o s ti m p o r t a n tc o n t r i b u t i o n sa n di n n o v a t i o n so ft h i st h e s i sc a n b es u m m e du pa sf o l l o w s ： 1 i ti st h ef i r s tt i m et h a tt h em i n i m a lm e s h 娜r f - a c e sm o d e l i n gp r o b l e mh a sb e e n p r o p o s e da n da p p r o a c h e ds u c c e s s f u l l yi nc a g d ， w h i c hw i l lh a v eap r o f o u n d i n f l u e n c eo n s o m ef i e l d so fe n g i n e e r i n g ，s u c ha sc o n s t r u c t i o na n dm e c h a n i s m 2 w ee x t e n dd i r i c h l e te n e r g yf u n c t i o nm e t h o di n t ot h ef i e l do fd o u b l et h r e ed e g r e e b - s p l i n e 锄r f a c e s w eu t h i si d e aa st h ef o u n d a t i o nt os o l v et h em i n i m a lm e s h 鲫r f a c es u r r o u n d e dg i v e ns p a c i a lb r o k e nl i n ei h r o u g hd i r i c h l e te n e r g yf u n c t i o n 浙江大学硕士学位论文 关键词：极小曲面，p l a t e a u - b s p f i n e 问题，d i r i c h l e t 能量函数， 3 次口一b 样条 曲线，均匀三角剖分 a bs t r a c t t ob e g i nw i t h w eb r i e f l yr e t r o s p e c tt h eb i r t ha n dt h ee v o l u t i o no ft h em i n i m a l s u r f a c ep r o b l e m ( p l a t e a up r o b l e m ) ，a n dw ec o m p r e h e n s i v e l yi n t r o d u c es o f t i ei m p o r t a n t m e t h o d s ，u s e f u ls i g n i f i e a n c e s ，a n de s s e n t i a ll i n d r a t i o n so f r e c e n tr e s e a r c h e so nb 6 z i e r m i n i m a ls u r f a c em o d e l i n ga n db - s p l i n em i n i m a ls u r f a c em o d e l i n gi nt h ef i e l do fc a g d f u r t h e r m o r e w ep o i n to u tt h a ti ti sn e c e s s a r ya n dr e a s o n a b l ef o ru st os t u d yd e s i g no f m i n i m a lm e s hs u r f a c es u r r o u n d e dg i v e ns p a t i a lc l o s e db r o k e nl i n e a n dt h e nw e i n t r o d u c et h eg e n e r a li d e aa n dt h es p e c i f i cd i r i c h l e ta p p r o a c ho ft h ep l a t e a u - b 6 z i e r p r o b l e m w ea l s or e t r o s p e c tt h em o d e l i n ga n dp r o p e r t yo ft h ec u b i c 口- 1 3 - s p l i n e c u r v et h a ti n t e r p o l a t e sg i v e nd a t a a f t e r w a r d s ，w ee x p a n das e r i e so fi n - d e p t h d i s c u s s i o n sa n dr e s e a r c h e so i lt h em i n i m a lm e s hs u r f a c em o d e l i n gs u r r o u n d e dg i v e n s p a c i a lc l o s e db r o k e nl i n e ， i n c l u di n gi t sg e n e r a ls t a t e m e n t i t st h e o r e t i c a l m e c h a n i s m a l s ob r i n gf o r w a r dt h ei d e ao fu s i n gt h ed i r i c h l e ts o l u t i o no ft h e p l a t e a u 一出叩l i n ep r o b l e m t h e n ， w eg e tt h ed e s i g no ft h em i n i m a lm e s hs u r f a c e m o d e l i n gf r o mt h ev i e wo fg e o m e t r ya p p r o a c h f i n a l l y ，w ev a l i d a t et h i sn e wk i n do f t h e o d ra n da l g o r i t h mb yg i v i n gal a r g ev a r i e t yo fe x a m p l e so ft h ed o u b l et h r e ed e g r e e b - s p l i n es u r f a c c s t h em o s ti m p o r t a n tc o n t r i b u t i o n sa n di n n o v a t i o n so ft h i st h e s i sc a n b es u m m e du pa sf o l l o w s ： 1 i ti st h ef i r s tt i m et h a tt h em i n i m a lm e s h 娜r f - a c e sm o d e l i n gp r o b l e mh a sb e e n p r o p o s e da n da p p r o a c h e ds u c c e s s f u l l yi nc a g d ， w h i c hw i l lh a v eap r o f o u n d i n f l u e n c eo n s o m ef i e l d so fe n g i n e e r i n g ，s u c ha sc o n s t r u c t i o na n dm e c h a n i s m 2 w ee x t e n dd i r i c h l e te n e r g yf u n c t i o nm e t h o di n t ot h ef i e l do fd o u b l et h r e ed e g r e e b - s p l i n e 锄r f a c e s w eu t h i si d e aa st h ef o u n d a t i o nt os o l v et h em i n i m a lm e s h 鲫r f a c es u r r o u n d e dg i v e ns p a c i a lb r o k e nl i n ei h r o u g hd i r i c h l e te n e r g yf u n c t i o n 浙江大学硕士学位论文 m e t h o d w ei n d u c et h ea 哟d i f f e r e n c eo ft h et r i a n g l es u r f a c ep a t c ha n dt h e i n t e r p o l a t e dt r i a n g l ep l a n ep a t c hi nr e l a t i o nt ot h ep a r a m e t e rf i e l da n dt h ec o n t r o l p o i n t si nd e t a i l a n dp r o v ew h e nt h e 剐r e ao ft h ep a r a m e t e rf i e l da p p r o a c h e sz e r o w i t hp r o p e rb l e n d i n gf a c t o r 口t h ea r e ad i f f e r e n c ea l s oa p p r o a c h e sz e r o t h e n w ec a nc o n c l u d et h a tw h e nt h en u m b e ro fp o i n t so ns u r f a c ea p p r o a c h e si n f i n i t e ， t h eg u ma 职ao ft h et r i a n g l em e s ha p p r o a c h e st h ea 托ao ft h em i n i m a ls u r f a c e p l a t e a u - b - s p l i n e 3 w em a k eas t u d yo nt h es p e c i f i ca l g o r i t h m so fa ne x t e n s i o no fd i r i c h l e te n e r g y f u n c t i o nm e t h o dt ot h ef i e l do fd i s c r e t em i n i m a ls u r f a c e t h eb a s i ct h o u g h ti st o u s et h ew a yo fg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i xt os o l v et h eo v e r d e t e r m i n e dl i n e a r e q u a t i o n s ，a n dt h ew a yt o n o r m a l i z en o n - u n i f o r m 口b - s p li n ec u l n ew i t h b l e n d i n gf a c t o r 口t h e nw ei n t r o d u c et h e mi n t ot h ed e s i g no ft h em i n i m a lm e s h s u r f a c e ， a n dt r a n s f o r mt h ep r o b l e mo fc o n t i n u o u sd i r i c h l e te n e r g yf u n c t i o n i n t ot h ep r o b l e mo fm i n i m i z i n gad i s c r e t eo b j e c t i v ef u n c t i o n t h et h e o r e t i c a l c o n c l u s i o na n dn u m e r i c a le x p e r i m e n td e m o n s t r a t et h a tt h ep r o b l e mo fm i n i m a l d i s c r e t es u r f a c eh a sb e e ns u c c e s s f u l l ys o l v e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：m i n i m a ls u r f a c e ，p l a t e a u - b s p l i n ep r o b l e m ，d i r i c h l e te n e r g yf u n c t i o n ， c u b i c 口- b s p l i n ec u r v e ，e v e nt r i a n g u l a t i o n 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 极小网格曲面问题的研究背景 极小曲面是微分几何领域中一个重要而活跃的课题 n i t s c h e ，1 9 8 8 1 所谓极 小曲面的p l a t e a u 问题 r a d o ，1 9 3 0 可以这样来描述：给定空间中一条可求长的 j o r d a n 闭曲线，寻找以它作为边界的所有曲面中面积达到最小的那张曲面一般 地，这样的曲面可以被等价地描述为其上的平均曲率恒等于零 除了其深刻的理论意义以外，极小曲面具有很多优良性质，在现代索膜建 筑结构体系中尤其占有重要地位 w w w m s t c e n t e r c o r n 索膜结构体系起源于远古 时代人类居住的帐篷帐篷是人类早期用兽皮( 膜) 以最经济的材料构筑的建筑空 间，现代索膜结构延用并发展了它的构筑模式空间张力膜建筑体系的基本单 元为双曲抛物面单元( 鞍型单元) 和类锥型悬链面单元( 帐篷单元) 类锥型悬链面 是由悬链线绕中心轴旋转围合而成的空间曲面，也是唯一的旋转极小曲面，俗 称帐篷膜面帐篷膜单元中心支撑杆挂起吊环，膜布嵌固于环上，周边用定位杆 和地锚索固定于地面或建筑的环梁上与鞍型膜面相比帐篷膜更易筑成封闭的 空间，帐篷膜单元更易组合成群峰膜建筑此外，支撑膜项的吊环改用建在室 外的桅杆与钢索吊起，室内则为便于使用的空旷空间比如说 【h t t p ：w w w m s t c e n t e r c o m m e m b r a n e 】，美国加州某教堂，高度1 2 m ，跨度2 6 m ，是 栋典型的帐篷膜结构建筑美国新丹佛国际机场候机楼的屋盖是由1 7 对帐篷 膜单元组成，宽6 7 m ，长2 7 4 m ，覆盖面积约1 8 万平方米新丹佛机场所处环境 气候恶劣又是地震区，近1 0 年的使用，表明索膜建筑具有良好的抵御灾害能力 用极小曲面作房顶曲面时，结构稳定，不积雨水，节省材料2 0 世纪7 0 年 代以后，高强度、防水、透光且表面光洁、易清洗、抗老化的建筑膜材料的出现， 加之工程计算科学的飞速发展，使得索膜建筑结构体系更加受到广泛的重视，现 已大量用于滨海旅游、博览会、文艺、体育等大空间的公共建筑上比如说 浙江大学硕士学位论文 h t l p ：l l w w w m s t c e n t e r c o m m e m b r a n e ，慕尼黑奥林匹克体育馆的房顶是较早使用极 小曲面做房顶的大型现代建筑，日本东京室内棒球馆( t o k y od o m e “b i ge g g ”) 美国的丹佛新国际机场候机大厅( d e n v e r st e n s s i l er o o f ) 和亚特兰大奥运会主馆 ( g e o r g i ad o m e ) ，英国泰晤士河畔的千年穹顶盯i - em i l l e n n i u md o m e ) ，均为世界 瞩目的、采用索膜结构体系建成的标志性建筑此外，索膜材料己开始用于高层 建筑结构体系中，近百米高的阿拉伯饭店( a r a b i a nt o w e rh o t e l ) 的设计，其正立面 采用双层膜面替代玻璃幕墙 此外，在机身、船体制造、分子化学、晶体学 m a n ，2 0 0 3 等领域，极小曲 面也都有重要应用 对极小曲面问题的研究最早可以追溯到1 7 世纪1 7 4 4 年，瑞士数学家e u l e r 导出了变分法的e u l e r 方程，发现了某些极小曲面 e u l e r ，1 7 4 4 e u l e r 的方法后来 又为法国数学家l a 伊a n g e 所发展，l a g r a n g e 在1 7 6 0 年就已经用变分原理推导出 极小曲面应该满足的偏微分方程，称为e u l e r - l a g r a n g e 方程 g i l b a r g ，1 9 8 3 1 9 世纪中后期许多杰出的数学家包括w e i e r s t r a s s ，c a t a l a n ，r i e m a n ，e n n e p e r ， s c h w a r z ，w e i n g a r t e n ，b e l t r a m i ，l i e ，r i b a c o u r ，d a r b o u x 等都投入到极小曲面 的研究中来，得到了极小曲面的w e r e s t r a s s e n n e p e r 表示e n n e p e r 给出了第一个 多项式参数极小曲面即著名的e n n e p e r 曲面之后，l i e 和r i b a c o u r 使用复变数 几何的方法进一步研究了极小曲面实的和虚的曲面结合导致极小曲面理论中 增添了许多具有深远意义的结果，使得很多问题可以被统一处理1 9 3 0 年极小曲 面的偏微分方程解的存在性首先由匈牙利数学家【i h d 0 ，1 9 3 0 和美国数学家 d o u g l a s , 1 9 3l 】所证明 1 9 世纪中，数学家们对于很多特殊的闭曲线，特别是闭多边形，得到了在 这种特殊情形之下的p l a t e a u 问题的圆盘形式的解具体来说，1 8 6 5 年，德国数 学家s c h w a r z 给出了以边长为l 的正立方体的某四条棱边为边界的扭四边形的极 小曲面的解析形式，这是p l a t e a u 问题圆盘形式的第一个准确解l n i t s c h e 1 9 8 8 1 几 乎同时。另一位德国数学家鼬e m a n 也得到了同样的结果州i t s c h e ，1 9 8 8 1 1 9 3 0 年，d o u g l a s 和r a d o 同时各自独立地发展了一套解决p l a t e a u 问题圆盘形式的全 新方法，他们的方法十分简单r a d o 【r a d o ，1 9 3 0 1 使用共形映射和逼近问题中的 浙江大学硕士学位论文 极限定理得到p l a t e a u 问题圆盘形式的解，而d o u g l a s d o u g l a s ，1 9 3 1 贝i j 使用了 变分计算的直接方法他因此获得了当年的f i e l d s 奖以上众多方法本质上是将 面积极小问题转换为d i r i c h l e t 能量积分问题 随着计算机科学与现代应用数学的发展，极小曲面问题的求解更凸显其重 要性及必要性在计算机辅助几何设计( c a g d ) 领域中的p l a t e a u - b 6 z i e r 问题可以 这样来描述：给定空阅的一条b 毒z 衙闭曲线，寻找以它作为边界的所有曲面中 面积达到最小的那张曲面f a r i n 和h a n s f o r d 【f a r i n ，h a m f o r d1 9 9 9 用基于离散 l a p l a c i a n 算子的网格生成方法求解p l a t e a u - b 6 z i e r 问题的控制顶点此后 m o n t e r d e m o n t e r d e ，2 0 0 4 弓1 入作为极小曲面面积上控函数的d i r i c h l e t 函数，通 过解线性方程组的方式来快速确定近似极小b 6 z i e r 曲面的内部控制顶点，使极小 曲面成功地走向工程应用 1 2 本文的主要工作 尽管近年来p l a t e a u - b 6 z i e r 问题的研究取得了可喜的进展，但其解偏重于连 续函数形式事实上，现代建筑中的顶棚、房项均是用离散的板块材料拼接而 成的目前越来越多的几何造型和图形表示也都偏重于离散化模型因此，研究 离散化的极小曲面， 即把已知闭曲线改为闭折线，把目标曲面改为三角网格是 非常必要的本文正是致力于这一目标的研究结果 图i 右下方是这种极小三角网格的一幅示意图本文的基本思想是把 m o n t e r d e 用于p l a t e a u - b 6 z i e r 问题的d i r i c h l e t 求解方案同样地用到b 样条，再 推广到离散情形，即本文首次提出且构造p l a t e a u b 样条问题的d i r i c h l e t 解曲面 进而作离散逼近首先作一条闭曲线插值已知的闭折线，对此闭曲线求p l a t e a u - b - s p l i n e 问题的d i r i c h l e t 解，然后对结果作离散逼近我们证明了：当p l a t e a u b s p l i n e 闯题的解曲面被均匀三角细分时， 若对解曲面边界部分那些三角曲面片 的插值三角平面片把其位于曲面边界线上的顶点分别调整为它到相应已知折 浙江大学硕士学位论文 线边上的投影点，则调整后的边界部分新三角平面片，连同解曲面内部那些三 角曲面片的插值三角平面片所构成的一整张三角网格面， 就是欲求极小网格面 的一个近似解随着细分的加密， 网格面面积逼近到p l a t e a u - b s p l i n e 问题的解 曲面面积由于p l a t e a u b s p l i n e 问题的解曲面是在d i r i c h l e t 函数意义下的一张极 小曲面，本文结果就是在d i r i c h l e t 函数意义下的一张极小网格面 本文是这样组织的：第一章首先列举了极小曲面造型在结构力学和建筑设计 方面的实际价值，然后综述了国际数学家研究极小曲面问题的历史，最后介绍了 极小曲面设计在c a g d 领域内的发展近况第二章对正文中需要的两个基本理 论， 即p l a t e a u b 6 z i e r 问题的d i r i c h l e t 解曲面方法及a - e 1 s p l i n e 曲线曲面的构造 原理做了简单同顾第三章首先对p l a t e a u b 6 z i e r 问题推广到p l a t e a u b - s p l i n e 问 题的算法做了理论推导，引伸出空间闭折线所围的极小网格曲面造型问题，然 后给出了空间闭折线所围的极小网格曲面去逼近p l a t e a u 双3 次b - s p l i n e 问题 d i r i c h l e t 解曲面的一个理论基础并探讨了实现该方法需要注意的一些细节第 四章以实例表明，上述方法所提供的一种双3 次b - s p l i n e 极小网格曲面的近似造 型方法是正确、合理、方便与实用的第五章是对全文内容的总结和对将来工作 的展望 浙江大学硕士学位论文 ? 图1 左上图是已知的闭b 6 z i e r l 曲线；右上图是以此闭b 吾z i e r 曲线为边界的极小b 6 z i e r 曲面 ( p i a b m b 钇i e r 问题的d i r i c h l e t 解) ；左下图是已知的闭折线；右下图是以此闭折线为边界的 d i r i c h l e t 意义下的极小三角网格面 - s 、，少 浙江大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1p l a t e a u - b 6 z i e r 问题的d i r i c h l e t 解曲面【m 仰t e r d e , 2 0 0 4 1 记 乃 墨为孵空间中仞+ 1 ) ( 朋+ 1 ) 个点向量所组成的控制网格则由此生 成的厅m 次b 6 z i e r 曲面可表为 ，坝力= 屏( 功彳( 峨， 以l ，= 【o ，l 】【o ，l 】 再记曲面只弘力的第一基本形式之系数为z ，则与此曲面相应的面积函 数 d oc a r m o ，1 9 7 6 为： 钗乃= f 昭一户d 羽e - 由于b 6 z i e r 曲面边界完全由其边界控制顶点所决定，因此，由已知边界曲 线去决定一张b 6 z i e r 极小曲面，也即p l a t e a u - b 亡z i e r 问题可以等价地描述如下： 给定网格边界上的控制顶点，计算出网格内部合适的控制顶点，使得相应 的b 6 z i e r 曲面， 在所有具有上述相同边界控制顶点b 6 z i e r 曲面中， 其面积 似乃达到最小 由于面积函数4 乃的高度非线性，直接使用它来解决上述问题显然是非常 困难的， 因此按照文献【m o n t e r d e ，2 0 0 3 ，2 0 0 4 的方法，转而考虑由下式定义 的关于曲面的d i r i c h l e t 函数 烈竹= f 竖导n d r 及其极小值该函数曾经被d o u g l a s 用来解决p l a t e a u 问题 n i t s c h e ，1 9 8 8 ， 这 是因为d i r i c h l e t 函数提供了曲面面积函数的一个上界，即存在以下基本事实： 1 4 e g - f 2 d u d y 肛棚矿芦9 z d d 配 因此，对任意的曲面尸，有 趟力烈乃 该不等式成立当且仅当z = g ，= 0 ，即该曲面为等温参数曲面 曲面的d i r i c h l e t 函数以力依赖于曲面的参数化形式，它的值会随着不同的 浙江大学硕士学位论文 参数化形式而改变但是，曲面的面积函数4 乃不依赖于曲面的参数化形式， 它是曲面的内蕴几何量因此，前者只能作为后者的一个近似度量换句话说， 只有在曲面的等温参数化形式下，d i r i c h l e t 函数的最小值才会等于曲面面积函 数的最小值 遵循d o u g l a s 的思想， m o n t e r d e 在c a g d 领域中利用d i r i c h l e t 函数深入研 究了p l a t e a u - b 6 z i e r 问题，这在理论与实际上都具有非常积极的作用不过，也 应当承认，从严格的理论角度来衡量，其研究结果存在着难以克服的某些局限 性一般来说，虽然多项式曲面的等温参数化形式一定存在，但是却很难给出 种一 而一张多项式曲面如果没有被等温参数化，那么即使它是调和曲面并且是 d i r i c h l e t 函数意义下的极小曲面，也不能保证其平均曲率1 t - 0 ，从而无法保 证它是连续可微曲面空间中的一张极小曲面，甚至无法保证它是多项式曲面空 间中的一张极小曲面尽管如此，试验已经表明，用d i r i c h l e t 函数来研究与计 算近似的多项式极小曲面是有效的与实用的 2 23 次a b 样条插值曲线构造 t a i ，2 0 0 4 1 2 2 13 次a - b 样条曲线的构造 已知型值点集恐一，乃最。，1 ，n - - i ，刀4 可以构造出插值这些 型值点，且能够在插值点上调整曲线连续阶并且能够在整体上进行松弛度控制的 低次空间样条曲线此样条曲线方程为 俄a ) = 口，( 职口) = ( i - - r t ) e ( 功+ ( 1 一影( 功) 防一( i 一口) e ( 巧) 】+ 彤( 功k 。一( 1 一口) c 一州。( 。) 】， 够够，+ i ，一够，+ l ， = i ，2 ，刀一1 详见文献【t a i ，2 0 0 4 1 ，其中 a 功= 以。( u ) l ，川石， 以( 功是3 次1 4 阶) b 样条基当限于节点区间陋，露一i 】时， 曲线识功每一段的 表示式为 浙江大学硕士学位论文 c 1 功：c ( ：兰以( 力，哆s 。， ：l ，2 ，厅一i h p t ( 却= 竺2 r k 乃竺+ 二, - 丝u 1 ) 3 ， 小1 1 u - z ，i 1 3 一景一珊 一氧翱，。 21 约s j 吻+ j u + t ， ；哆弓三乃+ 弘， 约+ 詈5 w ；约+ j is i ； 哆够，+ l = l ，2 ，刀一i 2 2 2 非均匀口一b 样条曲线俄珥a ) 转化为均匀b 样条曲线 非均匀口一b 样条曲线玖配) 可以通过重新参数化，基转换和矩阵变换技巧， 把它转化为用均匀3 次b 样条基来表示的插值曲线做法详见文献f 李，2 0 0 6 1 此 处仅给出最后结果欲求的均匀3 次b 样条插值曲线为 其中 谚( 石p ) = 丢p ，广州) 肜( 砟。，嘭，纵r 竹：) 7 0 ，l ，0 卢l 6 ；= l ，2 ，刀一1 肛警 在区间f 0 , 1 3 】，【i 3 ，2 3 ，【2 3 l 】内，分别有 3 3 j - ，3 l 3 百o 4 l 3 3 l 一 一 ，。，- 胆 褂 浙江大学硕士学位论文 2 2 3 曲线上动点到型值点连线的距离控制 口一b 样条曲线烈以口) 是由奇异多边形以口) 和非均匀b 样条曲线仅功按混 合因子a 进行混合而得到的记 4 ( = 一e ( 功+ ( 1 一影( 功) e ( 够) + 乞( 力一媳一2 帕( 1 ) ，乡i ，j = l ，2 ，刀一1 ， 可以均匀化为如下形式 刁( ，) = 丢( ，广，叫i 叫嘭一，蟛，瓯，钦) r ， 其中在区间【0 ，1 1 3 】， 1 3 ，2 3 】，【2 3 ，1 】内， 一9 ，：旦，t e o l l ，= 厶一， “i h 一“j 分别有 红哆 vh_hn八町叫奠 弓叮、6 撕挖6 驼m也6 也拼蛤弓弓蔼 厂lj纠l叭，叫习 o o o 飘 3 3 3 讫一 o 0 0 0 一 ：c3 刍哆吼 玎h几q圳习 胁努扯h ，一 一 l瑚弘均卯彤屹吨 ，删_-一，1 价-一叫一_叫w 乾也俗谚 - 一 剪b 也钇瑚晦气j 钇 价 卜3 磊哆磊 vhi_-_i_i-i八、ilililiii， 钨弓弓b 捌也6 也 淌b 0 o 醪o o o fql价1引习 豫3 3 3 一 引o o o o o o o 一一 卜3 剀愕版愕脱 、z o p ， ， 吖到乾m巧枷村3 3 2 ， 3 3 2 娩 幻舶仉m 2。2 3 3 屹n屹 墨| 埘m 啪2 3 3 7 2 9 仡3 3m也乾瑚 o o o 上悸r“叶，剥0 砟够鲰鲰 ，-_-_-_。-_。_-_一 浙江大学硕士学位论文 记够2 气一哆，产i ，2 ，刀一l ， 由文献 t a i ，2 0 0 4 】可知，对每一个固定的参数【移】，口b 样条曲线第 “ls 刀一1 ) 段上的点q ( a ) 到直线段哆易的距离函数髟( 弘a ) 由下式 确定 钐( 圳= l l n | 卜一 可以确定1 1 【纵。】， ，：兰兰，乩2 ，1 # - 1 ，= l ， = l 2 ， l 一哆 使得嘭( 珥句嘭( ，园，坛【o ，l 】z ，【移。】 2 3 双3 次a - b 样条插值曲面构造i t a i ，2 0 0 4 a 】 本节把3 次非均匀口一b 样条曲线夕( 弘口) 推广到空间曲面完全类似地，利 用奇异混合方法，我们不必求解线性方程组反求控制顶点，就可以构造出插值已 知型值点集配j = 卢( 见朋4 ) ，并且具有连续阶控制和柔性控制作用的双3 次样条曲面以弘h a ) 首先，为使型值点的4 边形网格个数与b 样条曲面的片数一致，需要设置辅 助型值点 i彤= 毋，& - = ，= l ，2 ，嬲 最o = 最l ，厶= 最。，i - _ 1 , 2 ，巧 【矗，0 = 五l ，最i o = 最l ；名埘+ i = 厶，o 州= 层。； 再设置节点参数( 以，v j ) 付巳，i = i ，2 ，巧= l ，2 ，弼其中节点间距选为型值 点网格间距的平均值： 一o ，够2 + 击到m - i 肼脚3 ， 嵋= o _ = + 石1 副# - - i 最产刚 = 2 3 ，= ，弼 为了使曲面烈弘巧a ) 以眉i ，乞。，暑一，乞。为4 个角点，再引入重节点 码2 2q ，以。i2 2 ； = = 嵋，= = k 2 ； 浙江大学硕士学位论文 其次，以k 出，以出为节点向量，以眈垃为控制顶点，构造空间双3 次非均匀b 样条曲面 a l - i 卜i f “力= 以c u ) 形( 力最l 一： 声- 2 产一l 啊甜；屹，； 当限于节点区域心，。】o 【匕，。】时，曲面q o 每- j 、