（信号与信息处理专业论文）量子密码通信的经典仿真.pdf

量子密码通信的经典仿真摘要i f lljrl i j r liii i i i i iu l _ y17 3 3113ulu ir 6 l l l u量子密码是与计算机密码处于同一时代的密码学分支，它以量子力学为基础，能实现无条件安全的保密通信。自b b 8 4 协议提出以后，量子密码引起人们的高度重视。进入2 1 世纪，随着科技的进步和发展，量子密码开始引起商家的重视，国际上相继成立了一些量子信息处理方面的公司。量子密码通信是一个迅速成长的领域，它涉及到许多学科，如量子力学、量子光学、信息论、密码学以及通信技术等。目前，量子密码通信主要应用在密钥分配方面，国际上已经开发出了一些量子密钥分配方面的系统和产品。由于实际量子密码通信过程中存在诸多的不理想因素( 如非理想的单光子源，信道噪声以及单光子检测器的暗计数等) ，同时受实验条件限制，利用经典计算机对其进行仿真是量子密码通信的一种重要方法。本文对量子密码通信的经典仿真作了研究，主要内容有：l 、利用d a t l a b ，以b b 8 4 协议为基础在经典计算机上实现了量子密码通信的仿真。对两种重要的量子噪声进行了模拟，计算了在其影响下的密钥分配后的安全码率。2 、对于可退化的信道，其量子容量与私密容量相等，我们推导了相位阻尼信道的量子容量公式。3 、通过量子建模，计算出了暗计数与误码率的一种关系，对于降低误码率，提高安全传输距离具有积极的意义。t4 、对二分法纠错就行了改进，使其纠错能力大为提高。关键词：量子密码通信；经典仿真；量子容量；量子误码率；二分法纠错c l a ss i c a ls i m u l a t i o no fq u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m 丁n i c a t i o na bs t r a c tq u a n t u mc r y p t o g r a p h ya n dc o m p u t e rc r y p t o g r a p h ya r et w ob r a n c h e so fc r y p t o g r a p h ya tt h es a m ea g e q u a n t u mc r y p t o g r a p h yb a s e do nt h eq u a n t u mm e c h a n i c sc a na c h i e v eu n c o n d i t i o n a l l ys e c u r ec o m m u n i c a t i o n s s i n c eb b 8 4p r o t o c o lw a sp r o p o s e d ，q u a n t u mc r y p t o g r a p h ya t t r a c tm u c ha t t e n t i o n i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g y , q u a n t u mc r y p t o g r a p h yh a sb e g u nt oa t t r a c tc o m m e c i a la t t e n t i o n t h ei n t e m a t i o n a lc o m m u n i t yh a ss e tu ps e v e r a lq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gc o m p a n i e s q u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o ni sar a p i d l yg r o w i n gf i e l d ，i ti n v o l v e sm a n ys u b je c t s ，s u c ha sq u a n t u mm e c h a n i c s ，q u a n t u mo p t i c s ，i n f o r m a t i o nt h e o r y ，c r y p t o g r a p h ya n dc o m m u n i c a t i o nt e c h n o l o g y c u r r e n t l y ，q u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o ni sm a i n l yu s e di nq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n t h e r ea r ean u m b e ro fs y s t e m sa n dp r o d u c t sa b o u tq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n i nt h ea c t u a lq u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o n ，t h e r ea r em a n yn o n - i d e a lf a c t o r s ( s u c ha sn o n i d e a ls i n g l e p h o t o ns o u r c e ，c h a n n e ln o i s ea n dd a r kc o u n to fs i n g l e p h o t o nd e t e c t o r , e t c ) a sw e l la st h el i m i t a t i o n so fe x p e r i m e n t a lc o n d i t i o n ，t h es i m u l a t i o nw i t hc l a s s i c a lc o m p u t e r si sb e c o m i n ga ni m p o r t a n tm e t h o do fi i iq u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o n i nt h i sp a p e r , c l a s s i c a ls i m u l a t i o no fq u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o n i ss t u d i e d t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r e ，1 c l a s s i c a ls i m u l a t i o no fq u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o nb a s e do nb b 8 4p r o t o c o lw i t hm a t l a bi nc l a s s i c a lc o m p u t e rh a sb e e na c h i e v e d t w oi m p o r t a n tq u a n t u mn o i s yc h a n n e l sf o rq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o na r es i m u l a t e d t h eb i tr a t eo fk e ya f t e rd i s t r i b u t i o ni sc a l c u l a t e d 2 s i n c eq u a n t u mc a p a c i t yi se q u a lt op r i v a t ec l a s s i c a lc a p a c i t yw h e nc h a n n e li sd e g r a d a b l e t h ep r i v a t ec l a s s i c a lc h a n n e lc a p a c i t yw a sd e p r i v e df o rt h ep h a s ed a m p i n gc h a n n e l 3 i nt h i sp a p e r , am o d e lt od e a lw i t ht h eq u a n t u mb i te r r o rr a t ec a u s e db yd a r kc o u n t sw a sc o n s t r u c t e d t h ea n a l y t i c a lr e l a t i o n s h i po fb i te r r o ra n dd a r kc o u n tw a sg i v e nw h i c hm a yf i n da p p l i c a t i o n si nr e d u c i n gb i te r r o ra n di m p r o v i n gt h es a f e t yd i s t a n c e 4 t h eb i f u r c a t i o np r o t o c o lo fp r i v a c ya m p l i f i c a t i o nh a v eb e e ni m p r o v e dt h ee r r o r - c o r r e c t i n gc a p a c i t yg r e a t l y w eh a v ei m p r o v e dt h eb i n a r yp r o t o c o l ，w h i c hi m p r o v e dt h ee r r o r -c a p a b i l i t yg r e a t l y k e y w o r d s ：q u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o n ；c l a s s i c a ls i m u l a t i o nc a p a c i t y ；q u a n t u mb i te r r o rr a t e ；b i f u r c a t i o np r o t o c o li v目录摘j 要a 1 3 s 。i r a ：! i i i i第一章绪论11 1 课题的研究背景和意义11 2 国内外研究现状21 3 本文的主要内容3第二章量子信息理论52 1 量子力学基本假设52 2 量子比特62 2 1hi ib e r t 空间62 2 2 量子比特62 2 3 量子态的物理性质。82 3 量子算符92 3 1 线性算符一92 3 2 厄米算符1 02 3 3 幺正算符1 02 3 4 对易关系1 12 3 5 张量积ll2 4 密度算符1 12 4 1 纯态与投影算符1 22 4 2 混合态与密度算符1 22 5 量子逻辑门1 32 5 1 单比特量子逻辑门1 32 5 2 多比特量子逻辑门1 52 6 量子线路：一l62 7 量子纠缠1 72 8y o nn e u m a n n 熵l82 9 本章小结19第三章量子密码通信原理2 03 1 量子密钥分配2 03 1 1b b 8 41 办议2l3 1 2b 9 2 协议2 33 1 3 诱骗态协议2 63 2 量子密钥分配的安全理论2 83 2 1 密钥分配协议的安全准则2 93 2 2 量子密钥分配的无条件安全性2 93 3 量子密码通信的典型攻击方式3 03 3 1 个体攻击3 03 3 2 集体攻击313 3 3 联合攻击31v3 4 量子误码率3l3 5 量子密码通信实现技术3 23 5 1 准单光子量子信号3 23 5 2 量子比特制备技术3 33 5 3 量子信号检测技术3 31 1 课题的研究背景和意义第一章绪论随着计算能力的提高，基于复杂性问题的经典密码会被逐渐破解，其对应的算法也将不攻自破。尽管数学上已经证明，“一次性密码可以提供安全的密钥。但是“一次性密码”效率很低，尤其是密码传递只能依靠a 与b 直接会面或需要专门的信使传递，很不方便甚至引起新的安全漏洞。幸运的是，量子密码可以提供完全保密的通信。尽管目前量子密码还没有达到真正实用的程度，但其发展迅速，成为实用的保密通信手段已没有原则性问题。利用量子效应保护信息是1 9 6 9 年哥伦比亚大学的年轻学者s w i e s n e r 首先提出的。当时，w i e s n e r 写了一篇题为共轭编码( , c o n j u g a t ec o d i n g ) 的论文i ，文章中提出了两个全一新的概念：量子钞票( q u o r u mb a n kn o t e s ) 和复用信道( m u l l e x i n gc h a n n e l ) 。量子钞票实现的方法是利用量子比特的不可克隆性来存储一定数量的金额。由于量子比特的不可克隆性，量子钞票具有无条件的安全性。复用信道是利用单量子比特实现两个经典比特信息的传输，它与后来r a b i n 提出的不经意传输( o b l i v i o u s 仃觚s f 啪极其相似。与量子钞票不同的是，复用信道利用量子比特的传输而不是量子比特的存储来实现的。w i e s n e r 的这篇论文开创了量子密码的先河，在密码史上具有划时代的意义，遗憾的是这篇论文当时没能获准发表。直到1 9 8 4 年，c h b e n n e t t 和g b r a s s 莉提出了著名的b b 8 4 协议，才标志着量子密码的真正开始【2 5 】。量子密码之所以受到广泛的关注，主要原因在于量子密码本身的两个基本特征：无条件安全性和对窃听的可检测性。所谓无条件安全性是指在攻击者具有无限计算资源的条件下仍不可能破译该密码系统；所谓对窃听者或其他扰动的可检测性是指在通信中的两个用户之间的信道受到干扰时，通信者根据测不准原理【6 j 可以同步检测出这种干扰的存在与否。量子密码的这两个基本特征使得量子密码在信息保护和保密通信方面具有良好的优势。量子通信是近二十年发展起来的一种新的通信技术，是量子论和信息论相结合的新的研究领域。量子通信包括量子隐形传态( t e l 印o r r t a t i o n ) 【7 1 、量子密集编码【8 1 、量子纠缠交换以及量子密码通信等方面。与经典密码通信不同，量子密码通信的安全性不是基于计算的复杂性，而是基于量子力学规律。量子密码通信中涉及到三方，一般假设a l i c e ( a ) 和b o b ( b ) 为合法通信者，e v e ( e )为窃听者。设想a 向b 逐个地、随机地发送互不正交的两个量子态，如水平偏振的光子和4 5 0 偏振的光子，同时规定水平态代表码值0 ，4 5 0 态代表码值l 。e 通过对a 发出的信号进行截取测量来获取所要的信息。e 有5 0 的概率猜中了a 发射了哪种偏振态的光子，这时e 能正确地测量出码值。e 猜错偏振方向的概率也是5 0 ，在猜错的这部分，e 仍然有5 0 的概率正确地测得码值。因此，e 测得正确码值的概率是7 5 。e 测量后，a 发给b的态将被破坏，而e 为了掩饰窃听，需要向b 发送光子。这样的话，e 发向b 的光子将有2 5 的错误。2 5 的误码率将会被a 和b 发现，从而舍弃该次通信，维护了通信的安全。尽管基于光纤和自由空间的量子密码通信已经实现，但是实际量子密码通信系统还面临着许多困难。非理想光学器件的使用给量子密码通信带来了安全漏洞；信道噪声和衰减影响了量子比特传输率；对于大多数信道，量子容量无法计算，即无法获得比特率的安全上界；进行量子密码通信实验代价昂贵且操作复杂。因此，利用经典计算机仿真是研究量子密码通信的重要手段。随着大量的量子密码协议的提出，如何有效地分析其安全性与效率，成为一个重要的课题。利用经典计算机对量子密码通信过程进行仿真，对于量子密码协议的理论验证具有重要的价值。随着量子密码通信的深入研究，新的攻击方法层出不穷，利用经典计算机仿真攻击策略意义重大。量子密码通信的仿真主要是利用c 语言、m a t l a b 语言及m a t h e m a t i c a 等实现的。尽管这些工具在处理量子态时存在一些不足，但是对于研究量子密码通信的编码过程、误码率及比特率等方面依然有效。此外，基于l i n u x 系统的量子计算语割9 1 ( q u a n t u mc o m p u t a t i o nl a n g u a g e ，q c l ) 可以在传统程序的基础上仿真量子通信过程。该语言可以提供量子态在经典计算机中的表示方法，可以实现量子位的各种幺正操作和测量操作，也可对量子计算进行模拟。1 2 国内外研究现状在国际上，量子密码通信经过多年的研究已经取得了丰富的成果，其无条件安全性和潜在的商机不但引起学术界的广泛关注，同时也引起了一些国家政府和军事部门的注意。第一个量子密码通信协议是由c h b e n n e t t 和g b r a s s a r d 于19 8 4 年提出的，即b b 8 4协议。在实验验证方面，b e n n e t t 和b r a s s a r d 等人在1 9 8 9 年第一次在实验上验证了b b 8 4协谢10 1 。在这次实验中，光源由大衰减的激光源来代替，传输距离只有3 0 c m 。1 9 9 3 年，2t o w n s e n d ，r a r i t y 和t a p s t e r 等人利用相位编码实现了1 0 k m 的通信】；与此同时，m u l l e r ,b r e g u e t 和g i s i n 等人利用偏振编码实现了1 1 k m 的通倒1 2 】。经过近2 0 年的发展，量子密码通信目前已从单纯的理论研究逐步走向实际应用。2 0 0 2 年7 月，i dq u a n t i q u e 公司在长达6 7 k m 的光纤上实现了单光子密码通信【5 1 。2 0 0 2 年1 0 月，n a t u r e 报导了在德国南部相距2 3 4 k m 的两座山间进行的量子密码通信试验【l3 1 。尽管量子密码通信在国内的研究起步比较晚，但也取得了可喜的发展。1 9 9 5 年，中科院对b b 8 4 协议进行了演示实验【1 4 1 12 0 0 3 年，中科大在实验上实现了1 5 0 k m 的量子密钥分配；与此同时，中科大还在北京和天津之间1 2 5 k m 商用光纤上实现了量子密钥分配和加密图像传输【1 5 】。最近，由清华大学、中国科技大学等单位组成的联合研究团队在远距离量子通信研究上取得了重大突破。采用诱骗态信号，在国际上率先实现了以弱激光为光源、绝对安全传输距离超过1 0 0 公里的量子密钥分发。这是我国科学家继五光子纠缠态制备和操纵、自由空间量子纠缠分发以及复合体系量子态隐形传输等重要研究成果后，在量子通信实验领域取得的又一国际领先的研究成果。近两年，网络中密钥分配的研究开始引起人们的注意。由于先前的量子密钥分配都是两方通信，当涉及到三方或者更多方的通信时，人们就提出了网络密钥分配方案。另外，量子加密在实际的应用中也取得了很大的成效。世界上第一个量子加密电脑网络已经被扩展加入了使用量子通信编码的无线网络。2 0 0 9 年5 月，中科大量子信息重点实验室郭光灿院士和韩正甫教授所带领的团队在芜湖市建成了世界上第一个“量子政务网 ，并投入使用。量子政务网在原来光纤通信基础上加上量子技术，无需改造网络的全线路和装置，与光纤网络兼容。这种网络保密通信，既可实现语音的保密通信，文本和图像的保密通信，还可实现视频会议的保密通信。因此，可实现光纤网络目前所有功能的保密通信。量子政务网采用了我国具有全部知识产权的单向量子保密通信方案和设备，以及量子保密通信网络核心组网技术，标志着我国量子保密通信技术已经正式步入应用轨道。1 3 本文的主要内容本文的主要创新点包括：1 1 、成功地在经典计算机上实现了去极化信道噪声和相位阻尼信道噪声影响下的量子密码通信的仿真；2 ) 、推导了相位阻尼信道的量子容量，即量子信息传输率的上界；3 ) 、对探测器端暗计数进行量子建模处理，得出了暗计数与量子误码率的数学关系式，对于降低误码率有重要意义；4 ) 、对数据协调中的纠错方法进行了改进，使其纠错能力大为提高，且简单实用。文章的具体结构如下。第二章主要介绍了量子信息理论的一些基础知识，引入了一些必要的符号和变换关系。第三章主要叙述了量子密码通信的原理。介绍了经典的b b 8 4 协议和b 9 2 协议以及新近提出并得到广泛关注的诱骗态方案，并对它们的安全性分析作了简单分析。对量子密码通信过程中的攻击策略作了叙述，并介绍了量子误码率的概念，最后对实现该过程的一些述了我们在本文中的主要工作。对量子密码通信过程中仿真模块进行了仿真结果作了详尽的分析；推导了相位阻尼信道的量子容量公式；对暗行了详尽的分析，并给出了仿真结果。我们对纠错方法的改进过程作了阐述，同时对量子密钥分配的后处理操量子密码通信所面临的技术上的挑战和量子密码通信仿真的前景。4第二章量子信息理论信息技术的飞速发展使得现有信息系统的功能日益增强，性能趋于自然极限。在过去的3 0 年中，现代电子计算机的发展趋势基本上都能用摩尔( m o o r e ) 定律来描述：计算机的性能每十八个月增长一倍，其芯片集成度也将增加一倍。当信息的载体由传统的宏观信号过度到微观粒子( 如原子、光子等) 时，以经典物理为基础的信息论已不能解释其量子特性，于是量子信息学作为一门交叉学科应运而生。量子信息学是量子力学与信息科学相结合的产物，是以量子力学的态叠加原理为基础，研究信息处理的- f - j 新兴前沿科学。量子力学是在普朗克( p l a n c k ) 的量子假说、爱因斯：l 妇_ ( e i n s t e i n ) 的光量子理论以及玻尔( b o h r ) 的原子理论的基础上发展起来的，它是量子计算和量子信息论的基础。由于微观粒子具有波粒二象性，经典物理学在微观领域中失效。量子力学就是关于微观世界的物理理论。量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，它是坐标和时间的复函数；微观粒子状态随时间变化的规律用薛定谔( s c h r 6 d i n g e r ) 方程来描述。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量( 如坐标、动量、角动量、能量等) 一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。2 1 量子力学基本假设量子力学是研究微观粒子系统运动变化规律的理论，它的全部内容可以由几个基本假设推演出来。量子力学的基本假设为物理理论的发展提供了一个数学框架，它联系着真实的物理世界和量子力学的数学形式【16 1 。假设1 量子力学系统的态由h i l b e r t 空间中的矢量完全描述。假设2 在量子力学中，每一个力学量都用一个线性厄米算符，表示。假设3 孤立量子系统态矢量随时间的演化遵从s c h r 6 d i n g e r 方程访掣：刍吵( 2 1 )假设4 测量力学f 的可能值谱就是算子f 的本征值谱；仅当系统处在f 的某个本征态i )时，测量力学f 才能得到惟一结果c ，即本征态i ) 的本征值；若系统处在某一归一化态矢i y ) 所描写的状态，测得本征值之一c 的几率是i q l 2 ，g 是态i ) 按争的正交归一完备函数系h ) 展开的展开系数：l y ) c 1 u 。)g = 似l 沙)( 2 2 )假设5 描写全同粒子系统的态矢量，对于任何一对粒子的交换，是对称的或反对称的。2 2 量子比特2 2 1hiib e r t 空间在经典力学中，人们利用位置和动量来描述质点的运动。质点在各个方向的位置及动量构成一个描述质点运动的空间，空间中的一个矢量代表系统的运动状态，这个空间是一个多维的线性实数空间。类似地，在量子力学中用一个多维的线性复数空间来描述量子系统，该空间常称之为h i l b e r t 空间。h i l b e r t 空间内的一个单位矢量代表一个量子态，通常用ly ) 来表示量子态y 。代表量子态的矢量简称为态矢量。空间可由一组相互正交的基矢张成，空间的维数就是相互独立的基矢的数目。设h i l b e r t 空间的正交归一化基为i q ) ( 江1 ，2 ，刀) ，则空间中的任意矢量l y )可以表示为：其中，y ) = c l i 巳) + c 2 i 吃) + + 巳i 巳) = c f i 岛)( 2 - 3 )h i l b e r t 空间是一个线性空间。2 2 2 量子比特( 2 - 4 )量子比特( 量子位，q u b i t ) 是量子信息的信息单元，是最简单的量子系统。量子比特可6=0l，【| |、，、j，勺、弓l以用一个二维的复数矢量空间来描述，空i 司的两个相互正交归一的基矢习惯上记为1 0 ) 和1 1 ) 。与基矢i 。) 对应的矩阵是 胡，与1 1 ) 对应的矩阵是 习。一个量子位的纯态可以表示为1 0 ) 和1 1 ) 的叠加态：i ) = 口i 。) + j ) h 荔( 2 5 )式中，口和均为复数，且满足h 2 + 例2 = l 。若口= 1 ，p = o 或a = o ，p = l ，态i 少) 蜕化为i o )或1 1 ) 。一般而言，量子态是l o ) 和1 1 ) 的线性叠加，当量子位处于上式的状态时，投影到基组 l o ) ，1 1 ) ) 上测量，将以概率川2 得到态l o ) ，以概率例2 得到态1 1 ) 。而测量的结果会干扰这个态，测量之后i y ) 被制备在一个新的态上，即1 0 ) 或j 1 ) 。由于川2 + i 1 2 = 1 ，等式( 2 - 5 ) 可以改写为批( c o s 扣“钏仁6 ，其中，p ，f o ，7 都是实数。因为y 不具有任何的可观测效应，因此，我们可以得到上式的有效形式i 少) = c 。s j o l 。) + p 印s i n i o l l ) ( 2 - 7 )此时，纯态i y ) 可以表示为单位球面上的一个点，如图2 - 1 所示。图2 - 1 量子比特的b l o c h 球面表示一般情况下，一个, 位的量子比特可以张起一个2 ”维的h i l b e r t 空间，存在2 “个相互7正交的基矢。如一个双量子比特有四个基矢，即l o o ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 11 ) 。量子比特也可以处于这四个基矢的线性叠加i 伊) = 口。i o o ) + 。1 0 1 ) + q 。1 1 0 ) + 。1 1 1 )( 2 - 8 )类似于单量子比特情形，测量结果x ( = 0 0 ，0 1 ，1 0 ，1 1 ) 出现的概率是b ，1 2 ，测量后，量子比特处于l x ) 状态。概率之和满足的归一化条件为州0 l ：i 蚶= 1( 2 9 )其中x o ，1 ) 2 表示长度为2 ，每个字母从0 和1 中任意选取的符号串的集合。对于双量子比特，可以只测量其中的一个量子比特，如测量第一个。得到0 的概率为l 1 2 + i 。1 2 ，而测量后的状态为杪) 2 攒陆埘测量后状态的概率仍满足归一化条件。2 2 3 量子态的物理性质量子态具有丰富的物理性质，这些物理性质构成了量子密码和量子密码通信的基础。量子态的主要物理性质包括叠加性、相干性、测不准性、不可克隆性、不可区分性、纠缠性等。( 1 ) 叠加性：如果i ) ，i ) ，i ) 是量子系统可能的态，那么它们的任意线性叠加态l y ) = q i ) ，江( 1 2 ，z )( 2 1 1 )也是系统可能的一个态。( 2 ) 相干性：所谓量子相干性是指量子态保持其原始叠加态的能力，它是量子态的基本属性。一个具有完善相干性的量子态能够很好地保持其所携带的信息，因为量子态的两个参数口( f ) 和( f ) 随时间的演化是周期的，它们不会衰减，因而量子态的形式不会发生改变。但是，环境的影响会导致量子相干性的破坏，即消相干。消相干对量子态具有极大的破坏性，从而导致量子态所携带信息的丢失。量子编码的目的就是为了纠正和防止消相干引起的量子错误。( 3 ) 测不准性：互不对易的两个力学量不可能同时具有确定的值。假设力学量彳和b 在态l 沙) 中的不确定度分别为鲋和衄，a 和b 的对易子 么，口 = a b - b a ，那么力学量彳和b 的不确定关系可以描述为z - a b 昙网( 2 - 1 2 )( 4 ) 不可克隆性：基因技术的发展使得生命可以克隆，然而在量子领域里，克隆是被禁止的。量子不可克隆定型1 7 1 表明，在量子力学中，不存在这样一个物理过程：实现对一个未知量子态的精确复制，使得每个复制态与初始量子态完全相同。量子不可克隆定理是量子密码学重要基础，使得窃听者不可能采用克隆的方式来获取信息。( 5 ) 非正交态不可区分性：由于量子比特的不可克隆性，满足一定条件的多个量子比特具有不可区分性。量子比特的不可区分性可定义为：若两个量子比特i 少。) 和l ) 满足l y ：) 1 1 2 = c o s 秒( 2 - 1 3 )其中臼是两个非正交量子比特的夹角，0 0 7 2 ，且c o s 0 0 ，则称这两个量子比特是不可区分的。( 6 ) 纠缠性：量子纠缠( q u a n t u me n t a n g l e m e n t ) 现象是首先被e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e n( e p r ) 和s c h r 6 d i n g e r 注意到的量子力学特有的现象，是量子力学不同于经典物理的特征。量子纠缠性在量子信息中起着非常关键的作用，可以说没有量子纠缠现象，就没有现在所说的量子信息。2 3 量子算符h i l b e r t 空间是一种特殊的线性空间，定义在线性空间上的线性变换同样适合于h i l b e r t 空间，这种线性变换在量子物理中称为算符。算符作用在h i l b e r t 空间中的态矢上可以改变其状态。2 3 1 线性算符若口，bec ，i 矽) ，l 缈) 是h i l b e r t 空间的两个任意矢量，任何满足下式的运算称为线性算符，三( 口l 矽) + 6j 缈) ) = 比j 矽) + 比j 缈)( 2 1 4 )作为线性算符的特例，单位算符和零算符定义为：，l 妙) = i )o i y ) = o信息中常用的四个重要矩阵，它们具有如下的形式：叫= q = o x = x - - ( 2 - 1 6 )q2loj吒= ( o i = r - - 言吒2oj( 2 椰)吒= 吒- - z = ( 三二) ( 2 - 1 8 )吒。吒。一lj3c r i c k = 8 j k i + i ) - 知q ，j , k = 1 ，2 ，3，王l其中，铂为全反对称张量。2 3 2 厄米算符或者满足下面关系的算符，心：l( | 矽) ，i 缈) ) - - ，i 缈) )( 2 1 9 )( 2 - 2 0 )称为厄米算符。厄米算符是一类重要的算符，在量子物理和量子信息中起着重要的作用。2 3 3 幺正算符满足下面关系的算符称为幺正算符，u t u ：u u t ：，( 2 - 2 1 )幺正算符的主要作用是对h i l b e r t 空间的矢量进行演化或在几个子空间中的变换。显然，幺正算符为可逆算符，即u = 矿( 2 2 2 )1 0如果用矩阵u 表示幺正算符，则u 必为幺正矩阵。2 3 4 对易关系由于算符司以用矩阵来表不，因此两个算符彳和艿相乘完全服从矩阵相乘的规则。一般来说，a b b a ，如果a b = b a ，则称彳与召是对易的。若a b = 一b a ，则称彳与曰是反对易的。对易关系是两个算符间的重要关系，定义为 彳，b - a b b a( 2 - 2 3 )【彳，b 】_ 0 表示彳与b 对易。利用式( 2 - 2 3 ) 可以得出下述关系式l 【彳，曰c 】= 曰【么，c 】+ 【彳，b 】c 【么曰，c 】= 彳【b ，c 】+ 【么，c b( 2 2 4 )止彳，【b ，c 】 + b ， c ，彳】 + c ， 彳，b 】 = 02 3 5 张量积张量积是将两个向量空间联合在一起，构成更大向量空间的一种方法。设彳是空间u的算符，曰是空间y 的算符，么与b 的张量积定义为aob = c ，c 是空间形的算符。矿是由u o y 所构成的一个更大的空间。；g u 是刀维的，i f ) 是u 中的任一基矢，v 是j | 维的，l j )是y 中的任一基矢，则是，z 尼维的，i f ) l ) - l i j ) - i j ) 是形中的任一基矢。由定义知，张量积满足如下基本性质：( 1 ) 对任意标量z ，u 中的基矢f f ) 与v 中的基矢i ) ，满足z ( i f ) o l 劫= ( z 坳o l ) = i f ) o ( z i 歹) )( 2 - 2 5 )( 2 ) 对于u 中的任意的l ) 和l 之) 与v 中的基矢i 歹) ，满足( i ) + i 之) ) o i ) = l ) i ) + i 之) o l ，)( 2 2 6 )( 3 ) 对于u 中的基矢i f ) 与v 中任意的i _ ) 和i 以) ，满足i f ) o ( 1 _ ) + i 五) ) = i f ) o i _ ) + i f ) l 五)( 2 2 7 )2 4 密度算符密度算符为描述状态不完全己知的量子系统提供了一条方便的途径。下面我们分别介l l绍纯态和混合态与它们各自的密度算符。2 4 1 纯态与投影算符可以用一个态矢描写的状态称为纯态( p u r es t a t e ) 。单量子比特去( i o ) + 1 1 ) ) ，刀量子比v 二特集合态i ) ：2 nqi f ) ( 其中i q l 2 ：1 ) 都是纯态的例子。对于纯态i ) 可以定义一个作用在态矢空间上的线性算符p = i y ) ( y它对态矢空间任意矢量l ) 的作用为p l 矽) = i ) ( 妙i 矽) = c l )( 2 - 2 s )( 2 - 2 9 )其中c = 缈眵) 是态矢l 矽) 在i g ) 上的投影，是一个数，所以p 称为投影算符( p r o j e c t i o n2 4 2 混合态与密度算符如果一个量子系统是由许多不同的态矢i ) ，i = 1 ，2 ，描写的子系统构成，每个子系统在该系统中以确定的概率出现，这个系统称为混合系统。混合系统的状态称为混合态( m i x e ds t a t e ) 。混合态可以通过指定各子系统的态矢i ) 以及这个子系统在系综中出现的概率描述其中系统的密度算符为胍) i ) 1 ) i ) 【弓罡曰昂j露o ，霉= 1i = lp = p i i ) ( ( 2 3 0 )( 2 - 3 1 )( 2 3 2 )密度算符也称密度矩阵，它是一个迹为1 的半正定厄米算符。一个量子系统可以由作用在1 2状态空间上的密度算符完全描述。2 5 量子逻辑门在量子密码通信中，经常会涉及到对量子比特的变换，包括对单个量子比特的变换和同时对多个量子比特的变换。在量子力学中，一种变换对应着一个量子算符，而在量子信息中，一种变换就是一个或一组量子逻辑门。经典计算中的主要逻辑门有非门( n o tg a t e ) 、与f ( a n dg a t e ) 、或f - l ( o rg a t e ) 、异或f - ( x o rg a t e ) 、与非门( n a n dg a t e ) 等。同样，在量子计算和量子信息处理中，通过基本量子逻辑门实现对量子比特的变换与结果输出。量子逻辑门包括单比特量子逻辑门和多比特量子逻辑门。量子逻辑门不但是量子计算的基础，在量子密码中也起着重要的作用。2 5 1 单比特量子逻辑门单量子比特逻辑门需要满足三个基本条件：( 1 ) 单量子比特门必须是一个2 2 矩阵；( 2 ) 单量子比特门是幺正矩阵；( 3 ) 单量子逻辑门应该与输入的量子比特的具体特性无关，即单量子比特门是通用的( u n i v e r s a l ) 量子逻辑门；综上，单量子比特逻辑门必须满足如下条件：g g = i( 2 - 3 3 )式中，j 为单位矩阵。式( 2 3 3 ) 表明，单量子比特门必须是一个幺正矩阵。根据其性质，容易得出下面的结论。定理任何单比特量子逻辑门都可表示为如下形式【3 】彳= e 缸( p i 7 2p 泸0 ，：1 ，k c s 。i n s y 7 2 2 - 一c s o i i l s 7 y 1 2 2 ) f ，( , e - 。i 8 7 2e 万0 佗c 2 3 4 ，式中，口，7 ，万为实数。下面介绍几种常用的单量子量子逻辑门：( 1 ) h a d a m a r di 、- jh a d a m a r d 门简称日门，日门的矩阵形式为日门的作用可表示为，1f ，1拈万1 1日= 击 ( | o ) + | 1 ) ) ( o i + ( i 。) _ 1 1 ) ) ( | n l o ) = 万1 ( 1 ) )( 2 3 5 )( 2 - 3 6 )h 1 1 ) = 万1 ( 1 ) ) ( 2 - 3 7 )对于任意的量子比特= p 3 8 ，h a d a m a r d 门作用在l ) 上的结果为何伽喾1 0 ) + - e 丹1 )( 2 - 3 9 )容易验证日2 i y ) = i ) ( 2 - 4 0 )上式表明，用两个相同的日门依次对输入的量子比特操作得到的结果为输入量子比特本身。( 2 ) x 门x 门，即非门，又称p a u l i x 门，因为x 门实际是p a i l i 矩阵的石分量，即q 。它的矩阵形式为x = p 4 t ，x 门的作用可以表示为彳= i o ) ( 1 i + | 1 ) ( o i( 2 4 2 )即，x 门的作用是对量子比特做比特翻转。x 门作用下量子比特i 少) 的结果为工i ) = i o ) + 口1 1 )( 2 4 3 )1 4( 3 ) y 门】，f - j z 称p a u l i y 门，y 门实际是p a i l i 矩阵的y 分量，即仃。y 门的矩阵形式为y = ( 亿4 4 ，y 门的作用是对量子比特进行比特翻转，改变l o ) 态的方向，同时对量子比特的相位调整；, r 2 。】，门用下量子比特l 少) 的结果为】，i ) = p 驯2 ( - f lo ) + a1 ) )( 2 - 4 5 )( 4 ) z 门zi - y - 称p a i l i - z 门，z 门实际是p a i l i 矩阵的z 分量，即吒。z 门的矩阵形式为z = 口二)弘4 6 ，z 门的作用是对量子比特做相位变换，n p 改变1 1 ) 基的方向。z 门作用下量子比特i ) 的结果为o ) - 1 1 )( 2 4 7 )( 5 ) 相位门相位门的矩阵形式为s = ( 弘4 8 ，相位门的作用是将量子比特的相位改变万2 。因此，量子比特l y ) 经过相位门后的输出结果为s i y ) = 口l o ) + f 1 1 )( 2 4 9 )相当于绕1 1 ) 基逆时针旋转石2 。2 5 2 多比特量子逻辑门以上介绍了几种常见的单比特量子逻辑门，利用单比特量子门可以对量子比特进行任意的操作从而获得所需要的结果。但是在许多情况下需要对多个量子比特同时操作，此时单比特量子门不足以完成计算，就需要多比特量子逻辑门。1 5典型的多量子比特逻辑门是量子受控t z f - j ( c n o t ) 和量子u 门。( 1 ) 量子受控t i - ( c n o t 门)量子受控非门可以用图2 2 所示的符号表示，它的矩阵形式为c =1o01oooooooool1o( 2 5 0 )量子受控非门对量子比特的操作可以表示为下面的形式q ：i q ) i 乞) 寸i q ) i 蜀。岛)( 2 5 1 )式中。表示模2 和；i 毛) 和l 乞) 分别表示控制比特和靶比特，毛，岛 o ，1 。( 2 ) 量子u 门若量子计算中需要同时使用多个控制比特对单个或多个靶比特进行操作，这种量子门称为量子u 门。量子u 门可以用图2 3 所示的符号表示。量子u 门的工作原理和量子控制非门的工作原理类似，即在控制量子比特的控制和约束下对靶量子比特操作，最后输出操作过的靶量子比特。该原理可以表示为u l c ) l t ) - - l c ) u 。i t )( 2 5 2 )一般地，任何多量子比特门均可以通过单量子比特门和量子控制非门构造出来。1，厂 、l图2 - 2c n o t 门2 6 量子线路图2 3 量子u 门量子线路是指用量子线将各种量子门连结起来而组成的系统。量子线和量子门是量子线路的基本组成部分。与电子线路不同的是，量子线不一定是实物线，它代表的是量子比特的时间和空间的演化过程。因此，任意量子比特从一时刻到另一时刻所经历的过程，或者，量子比特从空间中的一个点到另一个点所经历的过程都可视为一根“量子线”。由于1 6运动和时间的方向性，量子线也具有方向性，这是区别于电子线路中“实物线”的关键所在。根据以上分析，量子线路具有如下特点：( 1 ) 量子线路中不能有回路( 1 0 0 p ) ，即量子线路是非循环的，这意味着在量子线路中不存在反馈。( 2 ) 量子线路中无多端输入和输出。具体来说，量子线路中不能有多根输入线并入一根输入线，也不能有一个输入线分成多根输出线的情况。这个特点由量子操作的幺正性决定。显然，量子线路的上述特点与电子线路是完全不一致的。例如，通过图2 2 所示的量子受控非门输出的量子态为纠缠比特。由量子线路可以构造出一些新的量子逻辑门，这些量子门称为复合量子门。量子交换门即s w a p 门是复合量子门的一个典型例子，图2 4 所示为量子交换们和它的量子线路图。厂、j，k、r厂、j，、l，图2 4s w a p 门 s w a p 门的作用是将两个量子比特的状态互相交换。在上面的量子线中输入量子比特l 口) ，在下面的量子线中输入量子比特1 6 ) ，输出结果正好相反，即上面的量子线输出l b ) 而下面的量子线输出l 口) 。s w a p 门所描述的过程可以用下面的计算得出。i 口，b ) 一l 口，口0 6 )专i 口o ( 口0 6 ) ，口0 6 ) = l b ，口0 6 )( 2 - 5 3 )一1 6 ，( 口0 6 ) 0 6 ) = l b ，口)式