（信号与信息处理专业论文）量子多址信道下信道容量和多用户检测方法研究.pdf

南京邮电大学硕二l 研究生学位论文 摘要 摘要 以量子力学为基础的量子信息学为信息科学和技术的变革提供了新的物理基础，为信 息科学的发展提供了新的原理和方法。量子多址信道容量为多用户量子信息传输奠定了基 础，量子多用户检测技术为量子多用户通信的实现提供保障。本文研究量子多址信道下的 信道容量和多用户检测问题。 量子信息论的一个最基本问题是在限定的可利用资源条件下的信息传输效率问题。与 经典情况不同，量子信息论中存在着两种效率，分别取决于所要传输的信息性质。一种是 用量子态传送常规数字序列，即用量子手段传输经典信息；另一种是直接传送量子态，这 时量子态对发送者而言是未知的，即用量子手段传输量子信息。信息传输的效率归结为信 道中传输的比特率，即信道容量。根据量子信道上传输的量子态，对应于所传输的是经典 信息和量子信息，其容量定义为经典容量和量子容量。本文在比特翻转和退极化量子多用 户通信系统模型基础上，从理论上推导出比特翻转信道和退极化信道的经典容量和量子容 量，并对这两种容量进行对比分析。 量子多用户检测是量子多用户通信中一个至关重要的环节，其中量子检测算法是其核 心。量子平方根检n ( s r m ) 算法是量子通信中常用的一种检测算法，它属于量子p o v m 检测。在检测量子态具有对称性的情况下，s r m 算法能以较低的计算复杂度接近量子最 佳贝叶斯检测算法的性能，且适用于混合量子态的检测。本文首先在无噪量子多用户通信 模型基础上，分析了基于最佳贝叶斯检测和量子平方根检测的多用检测方案。然后在含退 极化噪声模型的量子多址信道下，分别依据量子平方根检测算法和最小平方检测，对退极 化量子多址信道下信号进行多用户检测，以两用户为例，得到了检测混合态的合适p o v m 算子，分析了在这些检测算法下系统的误差性能，并对这两种方法下的结果进行了对比。 关键词：量子多址信道；信道容量；p o v m 检测；量子态的平方根检测；多用户检测 南京邮电大学顾- i ：研究生学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t t h eq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，w h i c hi sb a s e do nq u a n t u mm e c h a n i c s ，w i l lp r o v i d et h e f u n d a m e n t a lm e t h o d sa n dt h e o r e mf o rt h ee v o l u t i o no fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g yi nt h ef u t u r e l i k ec l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n s ，c h a n n e lc a p a c i t i e so fq u a n t u mm u l t i - a c c e s sc h a n n e ll a yt h e f o u n d a t i o nf o rt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o n ，a n d q u a n t u mm u l t i u s e r d e t e c t i o n t e c h n i q u e se n s u r et h ea c h i e v e m e n to ft h eq u a n t u mm u l t i u s e rc o m m u n i c a t i o n s i nt h i st h e s i s ， t h ec h a n n e lc a p a c i t i e sa n dm u l t i - u s e rd e t e c t i o nm e t h o d su n d e rq u a n t u mm u l t i - a c c e s sc h a n n e l a r ed i s c u s s e d u n d e rt h ef i n i t ea v a i l a b l er e s o u r c e s ，c h a n n e lc a p a c i t yi so n eo ft h eb a s i cp r o b l e m si n q u a n t u mi n f o r m a t i o n u n l i k ec l a s s i c a lc h a n n e l ；t h e r ea r et w ok i n d so fc a p a c i t i e sa b o u tq u a n t u m c h a n n e l ，t h e ya r ed e p e n d e n to nt h ep r o p e r t i e so ft h ei n f o r m a t i o nt r a n s i m i t t e d f o rt h et w o s e n d e r sa c c e s sq u a n t u mc h a n n e l ，t h ef i r s tc a p a c i t yi sc o m p r i s e do ft h er a t e sa tw h i c ho n es e n d e r s e n d sc l a s s i c a li n f o r m a t i o na n dt h eo t h e rs e n d sq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h es e c o n dr e g i o n s c o n s i s t so ft h er a t e sa tw h i c he a c hs e n d e rs e n d sq u a n t u mi n f o r m a t i o n b a s e do nt h em o d e l so f q u a n t u mb i t - f l i pa n dd e p o l a r i z i n gc o m m u n i c a t i o n ss y s t e m ，t h ec l a s s i c a la n dq u a n t u mc a p a c i t i e s o fq u a n t u mm u l t i p l ea c c e s sc h a n n e lw i t hb i t f l i pa n dd e p o l a r i z i n gq u a n t u mn o i s ea r ed e d u c e d i nt h i st h e s i s ，a n dt h e i rp e r f o r m a n c ea r ea n a l y z e db yc o m p a r i s o n q u a n t u mm u l t i - u s e rd e t e c t i o nt e c h n i q u e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nq u a n t u mm u l t i u s e r c o m m u n i c a t i o n s ，a n dq u a n t u md e t e c t i o ni st h ek e yt e c h n i q u e w i t hs y m m e t r i c a l s t a t e s ， q u a n t u ms q u a r e r o o tm e a s u r e m e n t ( s r m ) c a nn e a r l ya p p r o a c hq u a n t u mo p t i m u mb a y e s i a n s t r a t e g yw i t hl o w e rc o m p u t a t i o nc o m p l e x i t y , a n di tc a na l s ob ee m p l o y e dt od e t e c tt h em i x e d q u a n t u ms t a t e s i nt h i st h e s i s ，t h eq u a n t u mm u l t i u s e rd e t e c t i o ns c h e m e sw h i c hb a s e do nt h e b a y e so p t i m a ld e t e c t i o na l g o r i t h ma n ds q u a r e r o o tm e a s u r e m e n ta l g o r i t h ma r ep r o p o s e di nt h e n o i s e l e s sq u a n t u mm u l t i - u s e rc o m m u n i c a t i o ns y s t e m t h e n ，p r o p e rp o v mo p e r a t o r sa r e d e s i g n e dt od e t e c tm i x e ds t a t e si nt w ou s e sq u a n t u md e p o l a r i z i n gc h a n n e lu t i l i z i n gs q u a r e r o o t m e a s u r e m e n tf o rm i x e dq u a n t u ms t a t e sa n dq u a n t u ml e a s t s q u a r em e a s u r e m e n t ，t h ee r r o r f e a t u r eo ft h et w od i f f e r e n tm e a s u r e m e n t s a r ea n a l y z e da tl a s t k e yw o r d s ：q u a n t u mm u l t i - a c c e s sc h a n n e l ，c h a n n e lc a p a c i t y , p o s i t i v eo p e r a t o rv a l u e d m e a s u r e ，q u a n t u ms q u a r e r o o tm e a s u r e m e n t ，q u a n t u mm u l t i - u s e rd e t e c t i o n i l 南京邮电大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：? 啦日期：曼型之兰尘6 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：盏呈弦导师签名：日期：z 空：生! ： 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究背景 第一章绪论 在人类文明高度发达的今天，通信技术的发展已成为整个人类社会进步的重要方面， 为当代科技的持续、高速发展提供了巨大的动力。以量子力学基本原理为基础的量子通信 和量子信息学将为未来信息科学革命性变革提供基本原动力，为信息科学在未来的发展提 供新的原理和方法。 量子信息科学( q u a n t u mi n f o r m a t i o n ) 是物理科学与信息科学交叉融合产生的新兴学科 领域，其研究涉及到物理、计算机、通信、数学等各个学科。量子信息处理技术在运算速 度、信息安全、信息容量等方面能够突破传统信息系统的极限。具有巨大并行计算能力的 量子计算有望解决经典计算机中难于解决的一些重要问题。 量子信息处理技术重大的科学意义和潜在的应用价值，引起了人们越来越多的关注， 成为当前信息处理技术研究的热点之一。作为量子信息技术的自然拓展，量子多址通信将 成为人们同益关注的问题。考虑多个发送者在不同类型量子噪声的量子信道共同传输信息 的性能，即不同类型的量子多址信道及量子态检测算法是项值得研究的课题。随着量子 信息技术的逐步实际化和工程化，这项研究将成为量子多址通信系统中不可或缺的一项技 术。 量子信息论的一个最基本问题是量子信道的容量问题。1 9 9 7 年，a l l a h v e r d y a n 和 s a a c k i a n 首次研究了量子多址信道【l l ，在假设每个发送端用电磁场的一个固有振荡模 ( n o r m a lm o d e ) 编码发送信息( 具有量子特性) ，他们认为两个发送者同时发送信息时，通信 信道哈密顿可用两个固有振荡模的湮灭算子( a n n i h i l a i t o no p e m t o r s ) 年 1 产生算子表示。其中 哈密顿的前两项表示在每个固有振荡模中存储的能量，后两项为两个固有振荡模在传输过 程中的相互干扰；1 9 9 8 年，在此模型基础上，w i n t e r 研究了两个发送端同时传输经典信 息时的量子多址信道的容量脾1 _ - 1 2 厶匕h e , 【2 】，得到此时量子多址信道的容量完全与等同的经典信 道的容量相似，所不同的是将冯诺依曼熵( v o nn e u m a n ne n t r o p y ) 替代经典信道容量中的 香农熵( s h a n n o ne n t r o p y ) ；随后，h u a n g 等人进一步研究这种量子多址信道的经典容量， 描述量子多址信道的应用之一是多方密集编码 3 】。2 0 0 5 年，y a r d 等人研究了在任意量子 信道下二个发送者一个接收者问两种不同的容量区域1 4 1 ，其中一种是适合于一个发送者传 输经典信息，一个发送者传输量子信息时的容量区域，另一是两个发送者都传输量子信息 南京| | | | 5 也大学碗l ：o f 宄生学位论文 第一章绪论 时的容量区域：与此同时，h e i s h 等人【5 】提出了在纠缠辅助下传输经典信息的量子多址信 道容量问题。张永德给出了两用户无噪量子信道经典容量的公式1 3 1 。 本文在量子多址信道容量的定义基础上，对量子比特翻转信道和退极化信道的经典容 量和量子容量进行了理论推导，提出了对这两种信道容量计算的方法，并对结果进行了分 析和比较。 随着量子多址信道容量等基本问题研究和解决，遵循经典通信技术的发展过程，量子 多址信道下多址干扰问题将成为研究重点。多用户检狈j j ( m u l t i u s e rd e t e c t i o n ，m u d ) 技术则 是多用户通信中的一项关键技术，是抑制多用户通信中多址干扰( m u l t i a c c e s si n t e r f e r e n c e ， m a i ) 的一条有效途径。 量子多用户检测技术( q u a n t u mm u l t i u s e rd e t e c t i o n ，q m u d ) 提出了全新的概念柬处理 最优解的求解过程。以量子多址信道通信为基础，量子多用户检测的目标就是从接收量子 态中分析提取每个用户发送信息的过程。从量子态获取信息的唯方法是测量，然而量 子态测量是一种概率测量，所有测量并不能完全反映量子态的全部特征。而且，由于量子 不可克隆理论限制，量子态也不能象经典信号一样被复制，所以每次量子测量后必须带有 一定的判决准则，同时解决测量和判决的最好方法是p o v m 算子( p o s i t i v eo p e r a t o rv a l u e d m e a s u r e m e n t ) 测量。一旦测量算子选定，量子多用户检测过程将完全经典化。于是，量 子多用户检测过程演化成依据不同的准则，设计p o v m 测量算子，对接收量子态进行测 量，获取并确定发送量子态的基本信息。它的主要过程是，使用量子态对用户信息进行编 码，经过量子多址信道到达接收端后，通过量子检测( 同时包含经典条件下的相干检测和 能量检测的特性) 获取测量态，从而计算出发送量子态，解译出发送的用户信息。检测时 可以依据不同的准则设计出相应的p o v m 算子对接收量子态进行测量。 为了研究量子多址通信的多址干扰特性，2 0 0 4 年，c o n c h a 和p o o r 等人将a l l a h v e r d y a n 的量子多址信道( 两个发送，一个接收) 推广度到k 个发送，1 个接收的量子多址信道情形 6 1 ，其中输入信息在接收器将激发起n 个固有振荡模。通过将不同发送端所传输信息用不 同频率的固有振荡模来编码，以等效经典多址信道多用户信息正交编码的情况( 此时，用 户、环境、量子信道和接收器间构成的一个封闭量子系统) ，得到经典多址通信中“线性叠 j j i l + 随机噪声”模型的量子版本：然而，获取的量子多址信道输出量子态特征函数( q u a n t u m c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ) 与输入量子态特征函数间关系非常理论化，分析不同量子噪声信道 存在巨大困难。在其数值计算中，为了分析通过量子检测算法得到的量子多址信道传输信 息的误符号率性能, ( s y m b o le r r o rp r o b a b i l i t y ) ，基本假设了量子多址信道不存在噪声干扰。 然而，根据量子力学理论，量子信道中的量予噪声存在一些基本模型和实用模型，如比 2 南京邮电大学硕h 卅宄生学位论文 第一章绪论 特翻转和相位翻转信道、去极化信道和p a u l i 信道【7 1 。而且这些重要量子信道模型都存在 着数学表达形式。 在无噪声信道下信号在信道中的传输时，信道的主要作用表现为用户间干扰，所以本 章在讨论无噪的过程中主要针对用户问干扰对相干念的信号产生的影响。然而。在含噪量 子信道中信道的主要作用来至于噪声的影响，因此，对于退极化噪声模型，相干态不再适 合作为量子信息的载体信号，我们主要考虑发送信息为量子比特时信道噪声对检测的影 响。 本文首先在无噪量子多用户通信模型基础上，分析了基于最佳贝叶斯检测和量子平方 根检测的多用检测方案。然而在含退极化噪声模型的量子多址信道下，依据混合态量子平 方根检测算法，对退极化量子多址信道下信号进行多用户检测，以两用户为例，得到了检 测混合态的合适p o v m 算子，分析了在此检测算法下系统的误差性能。 1 2 论文主要内容 本论文结构安排及主要内容如下： 第二章：介绍量子力学理论基础，这是量子多用户通信、量子多址信道容量、量子多用 户检测的理论基础，包括量子力学的几个基本假设、量子力学中的基本概念、 量子态的表示、与量子多用户通信相关的重要量子力学原理和量子信息论基础。 第三章：介绍量子信道、信道的表示，以及量子噪声、量子噪声信道，最后介绍了量子 多址信道的经典量子容量和量子容量，并且根据两用户比特翻转信道和退极化 信道的性质对信道的经典量子容量和量子容量分别进行了计算和分析。 第四章：首先介绍了经典多用户通信的模型和常用的检测算法；其次介绍了量子多用户 通信的模型，包括量子多用户通信的流程、量子接收机的原理i 最后描述了量 子检测的基本理论，包括量子p o v m 检测理论概念、最佳贝叶斯检测、平方根 检测等常用的p o v m 检测算法。 第五章：结合上一章的理论，对多用户无噪声信道的输出信号进行检测，对最佳贝叶斯 检测和平方根检测进行数值仿真，分析对比了了两种检测方法的特点。 第六章：介绍了两用户退极化信道模型的建立、传输信号的形式、信道对信号的作用， 采用混合态平方根检测和最小平方检测等p o v m 检测算法，分别设计了一种检 测算法，并对它们误差性能进行了比较和评价。 第七章：工作总结 南京邮电人学硕l ：研究生学位论文 第二章量了力学幂础 第二章量子力学理论基础 量子多用户通信系统与经典多用户通信系统一样，最终目的都是实现多用户通信，但 前者对信息的处理必须遵循量子力学规律。量子力学本身并不能告诉我们物理系统服从什 么定律，但它却提供了研究这些定律的数学和概念的框架。量子通信和量子信息学都是以 量子力学理论为基础的，它是处理物质微观现象的基本理论。 2 1 量子力学基本假设 整个量子理论系统建立在几个基本假设基础之上，这几个基本假设就是量子力学的基 本原则。 假设一，状态空间假设： 任一孤立物理系统都有一个称为系统状态空间的复内积向量空间( 即h i l b e r t 空间) 与 之相联系，系统完全由状态向量所描述，这个向量是系统状态空间的一个单位向量。 这个假设建立起了量子力学适用的场合，即h i l b e r t 空间。在量子多用户通信的研究 中，单量子比特( q u b i t ) 被视为最基本的量子力学系统。 假设二，量子态演化假设： 一个封闭量子系统的演化可以由一个酉变换描述。 演化假设描述了封闭量子系统的量子状态在两个不同时刻的关系。这样，我们可以通 过酉变换算子来研究量子系统的演化。 假设三，量子态测量假设： 量子测量由一组测量算子 w 脚) 描述，这些算子作用在被测系统状态空间上，指标m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是i 炉，则结果m 发生的 可能性由 毋。) = ( 妙l 孵i 少) ( 2 1 1 ) 给出，且测量后系统的状态为： 亲热 ( 2 1 2 ) ( 少i 昭i i f ，) 、。7 测量算子满足完备性关系( c o m p l e t e n e s sr e l a t i o n ) ： 暇= i ( 2 1 3 ) 4 南京邮f u 大学硕卜研究生学位论文 第二章量子力学展础 值得注意的是本文中如无明确说明，均以( ) + 表示共轭转置，( ) 表示共轭，( ) 7 表 示转置。 量子测量假设给出了一个描述测量统计特性的规则，即分别得到不同测量结果的概率 以及描述测量后系统状态的规则。在许多应用中，系统测量后的系统状态如何意义不大， 人们更加关心的是系统得到不同结果的概率。 假设四，复合系统假设： 复合物理系统的状态空间是子物理系统状态空间的张量积，若将子系统编号为l 到n ， 子系统f 的状态置为i 炉，则整个系统的状态为l ) i f ，：) i ) ，“p ”表示张量积运算 ( 见2 2 2 节中张量积定义) 。该假设给出了把不同量子系统状态空间组合成复合系统状态 空间的方法。 2 2 量子信息基本概念 2 2 1 量子比特 相对于经典比特有一个状态，或0 或1 ，量子比特也是表示量子态的一个状态。对 于一个量子比特，若它的计算机基矢是i o ) 和1 1 ) 状态，它与经典比特的区别在于，量子 比特的状态可以落在i o ) 和1 1 ) 之外，它可以是i o ) 和f 1 ) 状态的线性组合，常称为叠加态 ( s u p e r p o s i t i o n ) 。例如 i y ) = 口l o ) + 1 1 )( 2 2 1 ) 其中口和是复数，满足h 2 + 例2 = 1 。这样总体来看，量子比特的状态是一个二 维复向量空间中的向量。特殊的i o ) 和1 1 ) 状态称为计算机基矢( c o m p u t a t i o n a lb a s i ss t a t e ) ， 是构成这个向量空间的一组正交基。 量子比特可用如下的几何表示，因为川2 + i 纠2 = 1 ，等式( 2 4 ) 可改写为 i y ) 刮乍。s 扣“n 扣) ( 2 2 2 ) 其中乡，矽，7 都是实数，同时外面p 妒不具有任何可观测的效应可以略去，因此上式 可以重写为 5 南京邮电大学硕i j 研究生学位论文 第二章量了力学基础 沙) 一s 扣“n 扣 ( 2 2 3 ) 其中数p ，缈定义了三维单位球面上的一个点，使i 少) 与球面上的点一一对应。如图 1 1 所示这个球面常称为b l o c h 球面。它是是单个量子比特状态可视化的有效办法，也是 量子计算与量子信息思想的极好的实验平台。 2 2 2 量子态的表示 图1 1量子比特的b l o c h 球面表示 量子力学系统的一切可能状态构成一个抽象的空间，称为h i l b e r t 空间；在量子计算 与量子信息中遇到的有限维复向量空间类中，它就是内积空间。量子力学是建立在h i l b e r t 空间上的数学模型。在这空间中一个矢量用符号“| ”表示，称为右矢。若要标明系统某一 特殊状态，可在右矢中标上记号，如i 炉；而左矢“ ) 组成的叠加态( s u p e 叩o s i t i o n ) ： _ v i ) = c f l ) ( 2 2 4 ) t = l 其中i c l i 2 = l 。 6 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子力学基础 如果一个量子系统由许多不同的态矢量l 妒描述的子系统构成，每个子系统在该系统 中以确定的概率出现，这个系统就称为混合系综( m i x e de n s e m b l e ) ，混合系综的状态称为 混合态( m i x e ds t a t e ) 。混合态可以通过指定各子系统的态矢量i 炉以及这个子系统在系综中 出现的概率来描述。混合态处于各种可能发生状态中的某一种状态。在混合态中求力学量 算子的平均值分两个步骤：首先求出在各子系统中力学量算子的平均值，然后再按照各子 系统在系综中出现的概率求平均。 以上采用的是状态向量的语言来描述量子力学，而另一种描述方式则使用密度算子 ( d e n s i t yo p e r a t o r ) 或密度矩阵。这种方式在数学上等价于状态向量形式，但它为量子力学 某些常见场合提供了方便得多的语言，为描述状态不完全已知的量子系统提供了一种方便 的途径。 设量子系统以概率胁处在一组状态中的某一个，记为i 炉，i 是一个指标。系统的密 度算子p 定义为： p 量z p , ) ( i ( 2 2 5 ) 密度算子的算子类可以由如下定理描述：一个算子p 是和某个系综 p ，l 炉 相关联 的密度算子，当且仅当它满足迹( 仃a c e ) 条件和半正定条件，即p 的迹t r ( p ) ( 算子p 的主对 角线元素之和) 等于1 且p 是半正定算子。 密度算子语言和状态向量语言给出了相同的结果，不过有时以某一种观点处理问题会 比另一种观点容易得多。 密度算子最重要的应用是作为描述复合系统子系统的工具，这个描述出约化密度算子 ( r e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o r ) 提供，它是分析复合量子系统不可缺少的工具。假设有物理系统 a 和b ，其状态由密度算子p 舳描述。针对系统a 的约化密度算子定义为： p 等沙0 其中是一个算子映射，称为在系统b 上的偏j 迹( p a r t i a lt r a c e ) ，定义为： ( 2 2 6 ) 吒 a ) ( 盯2 | o i6 i ) ( 6 2 | - l a , ) ( a 21 r b , ) ( b 2l ( 2 2 7 ) 其中l 口l 和i 啦 是状态空间a 中的两个向量，j 6 1 和1 6 2 是状态空间b 中的两个向量。 等式右边的迹运算是系统b 上的普通迹运算，因此t r l b i ，i 炉) = ( i 炉， l 妒 ) t ，且( i 妒 ，i 炉皿o ( 当且仅当i 垆 = o 时取等号) ，则定义函数( ，) 为内积( i i m e rp r o d u c t ) ， 矢量i 妒 和l 炉的内积记为 = 即当群聊时满足 = 0 ，此时称矢量i n 与i m i e 交( o r t h o g o n a l ) ；而y = m 时服从归一 化( n o r m a l i z a t i o n ) 条件 = l 。 外积( o u t e rp r o d u c t ) 表示是利用内积表示线性算子的一个有用方法。设l 炉、i f ，7 是内 积空间甲中的向量，1 9 是内积空间中的向量，定义外积1 0 x 缈1 为从甲到的线性算 子： ( i 伊) ( 沙1 ) ( 1 ) ) 三i 功( 沙i y ) = ( 5 f ，i 少) l 缈) ( 2 2 8 ) 事实上，i 伊 上的作用就被定义成i 妒 与一个复数 相乘。 外积概念的重要性可以从标准正交向量的完备性关系体现。令i 为向量空间v 中的 任意标准正交基，于是任意向量l 诊可写成l v ) = vlf ) ，v ，是一组复数。由于 成立，故有i 认f i = i ，即式( 2 1 3 ) 的完备性关系。 利用完备性关系，可将任意线性算子表示成外积形式。例如，设a 是从空间v 到w 的一个线性算子，i ，j 是v 的一个标准正交基，1 w j 是w 的一个标准正交基，两次应用完 备性关系得到： a = 1 w a i p = i ) ( _ h v ) ( v i 矿 = ( h v ) l _ ) ( v i ( 2 2 1 0 ) 这就是a 的外积表示。从式( 2 2 1 0 ) 中可以看出，相对于输入基i v 户和输出基i 垆，a 的第f 列第_ ，行元素是 。 8 南京i l j 咆大学硕l 研究生学位论文 第二章量子力学幕础 若要将向量空削合在一起，构成更大向量空间，则需要用到张量积运算。设v 和w 分别是m 维和玎维的h i l b e r t 向量空间，定义v 张量w 是一个r e x , 维空间，张量积运算 符号记为“o ”。张量积的定义相当抽象，但转到称为k r o n e c k e r 积的矩阵表示就会具体得 多。设a 是一个r e r 维矩阵，b 是一个p x q 维矩阵，则有矩阵表示： 爿ob = a 1l 曰 如1 曰 4 2 占 a 2 2 b 1 订b a 2 埠b l 曰2 b a 聊行b ( 2 2 1 1 ) 这个表示中，4 m n b 的项代表p q 子矩阵，其兀素正比于b ，全局比例常数为矩阵a 中的元素a m n ，a 囟b 为脚印行n q 列的矩阵。 另一个重要的矩阵函数是矩阵的迹。a 的迹定义为它的对角元素之和，即 t r ( a ) - - 。 ， 对于任意单位向量l ) 和任意算子a 。采用g r a m s c h m i d t 过程把l ) 扩展成一个以 l 妒) 为首个元的标准j 下交基i f ) f r ( 一f ) ( 1 i f ，】) = ( fla i1 6 ，) ( y i f ) = ( 矿iai 矿)( 2 + 2 1 2 ) 2 2 4 特殊算子 量子理论研究中常会遇到一些特殊算子。如h e r m i t e 算子、酉算子等。这些特殊算子 的定义方便了量子理论的推导与运算，是量子力学及相关理论中的重要基础概念。 设a 是h i l b e r t 空间v 上的线性算子，则v 上将存在唯一的线性算子a 使得对所有 向量i v 、1 w e v 均有下式成立： ( i d ，aj 叻) = ( a iv ) ，l 砷) ( 2 2 1 3 ) 这个线性算子被称为a 的伴随( a d j o i n t ) 算子或h e r m i t e 共轭。习惯上，如果i 归是向量， 那么定义j v t 兰 ， 都是非负实数的算子。 投影算子( p r o j e c t i v eo p e r a t o r ) 也是h e r m i t e 算子的重要子类。设w 是刀维向量空间v 南京邮电大学硕j ：研究生学位论文 镍二章量子力学毓础 的k 维子空间，采用g r a m s c h i m d t 过程，可以为v 构造一个标准正交基1 1 ，l 玎 ， 使得 l ， 胁是w 的一个标准正交基。定义： 七 p 兰l i ( i i ( 2 2 1 4 ) ，皇1 是到w 上的投影算子。结合纯态、混合态及投影算子的定义可知，当混合态中仅有 一个p ，不等于零，则式( 2 2 5 ) 中的密度算子就将转化为式( 2 2 1 4 ) 中的纯态的投影算子。可 见，从某种意义上说纯态是混台态的一个特例。 由这些特殊算子的定义，还能得到一系列性质和推论。例如，由h e r r n i t e 共轭定义可 知( 彳b ) = b t a ，( 4 ) = 4 ：任意投影算子p 满足，2 = p ；投影算子的特征值全都是非0 即1 ；酉算子的所有特征值的模都是1 ，等等。 2 3 量子不可克隆原理 这里的克隆是指保持原来的量子态不被改变，而在另一个系统中产生一个完全相同的 量子态。克隆不同于量子态传输，传输是指量子态从原来的系统中消失，而在另一系统中 出现。关于量子态的克隆，有如下三条定理【8 l 【9 】，它们构成了量子不可克隆原理。 定理一： 如果l 妒 和j 炉是两个不同的非正交态，不存在一个物理过程可以作出伊 和l 炉两者的 完全拷贝。 定理二： 一个未知的量子态不能被完全拷贝。 这里进行简单证明。假设l a 是一个未知的量子态，有一个以酉阵u 表述的物理过程 能完全拷贝它，即 u ( i d ) jo ) ) = i d ) l 口) 这个物理过程必定不依赖于i 驴态本身的信息， 态l 牌f 理 应有： u ( i 卢) i o ) ) = l 卢) i 卢) 从而对于l 户= i 驴+ 伊，将有： 1 0 ( 2 - 3 1 ) 从而和l a 态本身无关。对于一个任意 ( 2 3 2 ) 南京邮电火学硕十研究生学位论文 第二二章量子力学基础 u ( 俐o ) ) = u ( ( 1 口) + l ) ) i o ) ) = i 口) i 口) + i ) i ) ( 2 3 3 ) l y ) l y ) 这已不是态i 户的拷贝，所以这样的物理过程不可能存在。定理二证毕。 定理三： 要从编码在非正交量子态中获得信息，不扰动这些态是不可能的。 虽然有研究证吲8 】【9 】，不保证复制必定成功的概率量子克隆是可能的，但以上不可克 隆原理明确否定了精确复制未知量子态的可能性。这使得量子检测在概念上与经典检测有 所区别。同时，定理三表明用非正交量子态编码的经典信息是不能用任何测量方法完全提 取出来的。这是在量子通信的编码部分必须考虑的。 2 4 量子信息论 2 4 1 冯诺依曼( y o nn e u m a n n ) 熵 熵是量子信息理论的的关键概念之一，它用来度量物理系统的状态所包含的不确定 性。s h a n n o n 熵是经典信息论中的关键概念。假定我们要获取随机变量x 的值，x 的 s h a n n o n 是对平均而言在获取x 的值的过程中我们得到的信息多少的度量。换言之，x 的 s h a n n o n 熵是在我们得到x 值之前关于x 的不确定性的测度。我们既可以把熵视为在得 到x 的值之前不确定性的一种测度，又可以把它视为得到x 值之后我们得到信息多少的 一种测度。s h a n n o n 熵测量的不确定性与经典概率分布相关联。 一个量子信源是一个可以制备并发送不同量子信号态的物理装置。假设信源x 以概 率p ( x ) 产生信号态lx ，这些信号不必是互相正交的，描述这个信源的可能信号态系综的 密度算子是： p = p ( x ) l x ) ( x l ( 2 4 1 ) j 信源的v o nn e u m a n n 熵定义为 日( p ) = - t r ( p l o g p ) ( 2 4 2 ) 这一定义明显的类似s h a n n o n 熵，事实上如果把删解释为密度算子的本征值，v o n n e u m a n n 熵在数值上就等于s h a n n o n 熵h ( x ) 。虽然形式上相同，但两者有重要差别。仅 南京邮电大学硕一l 二研究生学位论文 第一二章量了力学幕础 在信号态 ix ) ) 是互相正交的情况下信号态才是密度算子p 的本征态，p ( x ) 才是相应本征 值，两种类型的熵数值上才相等。此时 日( p ) = 一乃( p ( x ) l x ) f f l ) ( e l o gp ( x ) l x ) ( x i ) - - - t ，( e p ( x ) l o g p ( x ) l x ) ( x 1 ) ( 2 4 3 ) = h ( x ) 这里x 是以概率分布函数为p ( x ) 的随机变量。如果信号态是非正交的，这时 s ( p ) 日( x ) ，并且p 的本征态和信号态没有简单关系【1 0 1 。 熵还具有以下性质【7 】：首先，熵是非负的，当且仅当状态为纯态时熵为零；在d 维希 尔伯特空间中熵最多为l o g d ，当且仅当系统处于完全混合态删熵等于l o g d 时；设复合系 统a b 处于纯态，则删) = 觑b ) ；设只是概率，而状态肛在正交子空间上支集，则满足 ( 见只) = h ( 只) + e 日( 屏) ；最后，设b 是概率，i f ) 是子系统a 的正交状态，p 是 ， 另一系统b 的任意密度算子，则胃( b i 认f f o 届) = h ( n ) + p , h ( p j ) 。 2 4 2 互信息 对于一个任意的经典量( c l a s s i c a lq u a n t u m ) 态p 删= p ( x ) l x ) ( x lo 力，这里 成= 以( j ，) l 儿) ( 儿i 其中对于每个x ， i 儿) ) 掣；。构成不同于a 的标准f 交基。此时 h ( x a ) = - t r ( e p ( x ) i z ) ( x l o 级) l o g ( p ( x ) l x ) ( x i 圆反) = 一p ( x ) p x ( y ) l o g ( p ( x ) p x ( y ) ) ：一壹砸) ( 1 0 9 p ( x ) + 岛( 圳。峨( 砌 ( 2 4 4 ) = 日( x ) + p ( x ) h ( p x ) 由于h ( a x ) = ( x ) + h ( aix ) ，可以得到条件熵为 h ( aix ) = p ) 日( a ) 工 这样两者量子互信息为 ，( x ；彳) = 月( 彳) 一( 彳lx ) = 日( p ( x ) 岛) 一p ( x ) ( 以) 工j 1 2 ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 南京邮电入学硕一i ：研究生学位论文 第二章量了力学基础 任意的量子信道n ：a b ，互信息在相应的经典量子态下取得，传输经典信息的量 子信道容量为：c ( ) = ：鳃妻学t ( x ；曰) ，此时仃彬= z ，p ( x ) i x ) 扛i q u 。( 彰“) 。 2 4 3 相干信息 给定信道为n ：a 专b ，则其等量扩展信道( 见3 3 4 节中等量扩展信道的定义) 可表示 为：彳专b e ，其中e 代表环境。对应的互补信道( 见3 3 4 节中互补信道的定义) 即为 n 。= 玩u u 。对于输入信号p 一的相干信息定义为 a p ，) = h ( n ( p ) ) - h ( n 。( p ) ) 其中h ( n 。( p ) ) 可以理解为信号通过信道时熵的交换。 考虑作用于b e 的输出一环境态( p ) 可以得到 日( ( p ) ) = h ( b ) 同时h ( n 。( p ) ) = h ( e ) 将( 2 4 8 ) 代入( 2 4 7 ) 得到 l ( p ，) = h ( b ) 一胃( e ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 为了不需要精确描述环境态就可以得到相应的相干信息，首先确定p 一的任意净化向 量| 甲) 州，z 。一i o 全局态l q ) 一雎= l 甲) 删。由于l q ) 月雎是纯态，贝j jh ( e ) ：h ( a b ) 。于是可 以得到 日( b ) 一h ( e ) = 日( b ) 一h ( a b ) = 一日( 彳lb )( 2 4 1 0 ) 从( 2 4 1 0 ) 中可知，只要在积状态国佃= q 一舾= ( 甲朋) 时，就可以得到一h ( ab ) ，从 而避免了精确描述环境态。这样，从a 到b 的相干信息一般表示为： ，( 么) b ) 。= - h ( a ib ) ( 2 4 1 1 ) 2 5 本章小节 本章主要介绍了量子力学的理论基础，这是量子多用户通信、量子多址信道容量、量 子多用户检测理论的基础，包括量子力学的几个基本假设、量子力学中的基本概念、量子 1 3 南京邮电大学硕+ 卜研究生学位论文第二二章量了力学恭础 态的表示、与量子多用户通信相关的重要量子力学