（一般力学与力学基础专业论文）复合材料层合板的非线性参激振动周期解和分岔研究.pdf

中文摘要 复合材料是一种新近发展起来的新材料，应用非常广泛。复合材料力学的形 成还是近四十年来的事，还有许多问题尚未认识，但对于作为结构复合材料主要 形式的纤维增强层合结构，已经形成了颇为成熟的力学理论方法。复合材料具有 比强度高、比刚度大和抗疲劳性能好等优点，常被做成薄壁轻结构的形式，所以 研究复合材料层合板的非线性动力学特性具有非常重要的意义。 本文选取具有广泛工程背景的纤维增强复合材料对称和规则非对称正交铺 设各向异性矩形层合板为研究对象，研究了含有参数激励的非线性振动系统，对 系统的周期解、稳定性、分叉和混沌运动进行了分析。本文的主要工作分为以下 三个方面： 第一部分：针对复合材料层合板对称铺设与规则非对称铺设的物理模型，在 同时考虑了材料的各向异性、阻尼和几何等非线性因素后，分别建立了一阶和二 阶近似的非线性动力学控制方程，以及在热状态下对称铺设与规则非对称铺设的 振动方程，得出振动方程系数与物理参数之间的关系。 第二部分：分别对一阶和二阶近似的非线性动力学控制方程应用多尺度法求 得基本参数共振下的近似解析解，讨论了解的稳定性，并利用数值模拟分析了系 统的分岔和混沌运动，指出了系统通向混沌的道路是通过阵发性途径进入混沌状 态。 第三部分：讨论了一阶和二阶近似对非线性动力学分析结果的影响，以及对 称铺设与规则非对称铺设在非线性振动特性方面的异同。说明在某些情况下第二 阶模态对系统响应有很大的影响。 最后，对全文进行工作总结，指出本文尚需继续研究的问题。 关键词：复合材料层合板对称铺设规则非对称铺设非线性参数振动解析 解数值模拟分岔混沌 a b s t r a c t c o m p o s i t e m a t e r i a li sak i n do fn e wd e v e l o p e dm a t e r i a l ，a n di sv e r yp o p u l a ri n e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s i n v e s t i g a t i o n o nm e c h a n i c a lb e h a v i o r so fc o m p o s i t e m a t e r i a lh a sah i s t o r yo f o n l yf o r t yy e a r s s ot h e r ea l es t i l lal o to f p r o b l e m so p e nf o r s o l v i n g n e v e r t h e l e s s t h e t h e o r y o ft h ef i b e r - r e i n f o r c e d p l a s t i ct y p ec o m p o s i t e l a m i n a t e si sa l r e a d yw e l le s t a b l i s h e d t h ec o m p o s i t el a m i n a t e sa r eo f t e nu s e da st h i n p l a t e s b e c a u s eo ft h e i ra t t r a c t i v e p r o p e r t i e s ，e g t h eh i g hs t r e n g t h t o w e i g h t a n d s t i f f n e s s - t o - w e i g h tr a t i o s s oi ti si m p o r t a n tt os t l l d yt h en o n l i n e a rd y n a m i c so f t h e c o m p o s i t el a m i n a t e s t h en o n l i n e a rd y n a m i c so fp a r a m e t r i c a l l ye x c i t e ds i n g l e - a n dt w o d e g r e eo f f r e e d o m s y s t e m s f o rt h e r e c t a n g u l a rc o m p o s i t e l a m i n a t e d p l a t e s ，w i t h a n t i ，s y m m e t r i c a l l y a n d s y m m e t r i c a l l yr e i r f f o m e dc r o s s - b y f i b e r r e s p e c t i v e l y , a r e s t u d i e di nt h i sp a p e r t h em a i nw o r ka n dc o n c l u s i o n sc a n b es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) c o n s i d e r i n g t h e a n i s o t r o p y o f t h em a t e r i a l ，t h eg e o m e t r i cn o n - l i n e a r i t yi nt h ey o n k a r l n a ns e n s ea n dd a m p i n gn o n - l i n e a r i t y , a s i n g l e - d e g r e e a n dat w o d e g r e eo f f r e e d o mn o n l i n e a rs y s t e m sa r ed e d u c e d ，r e s p e c t i v e l y , f o rc o m p o s i t el a m i n a t e dp l a t e s w i t h a n t i - s y m m e t r i c a l l y a n d s y m m e t r i c a l l y m i n f o m e d c r o s s - b y f i b e r t h e s y m m e t r i c a l l y a n d a n t i - s y m m e t r i c a l l yc r o s s - b y l a m i n a t e d p l a t e s u n d e rt h e r m o m e c h a n i c a l l o a d i n g a r ea l s o s t u d i e d ，a n dt h e e f f e c t so fp h y s i c a lp a r a m e t e r sa r e p r e s e n t e d ( 2 ) t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sa r ea p p l i e dt os o l v et h ef i r s ta n d t h es e c o n d o r d e r o fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e nt h es t e a d y - s t a t er e s p o n s e s a n dt h e i rs t a b i l i t i e sa r e a n a l y z e d u s i n g n u m e r i c a t m e t h o d t o i n t e g r a t e t h es y s t e m ，t h e r c u t e o f t h e s y s t e m e n t e r i n gi n t oc h a o t i cr e g i m e w a su n c o v e r e d ( 3 ) c o m p a r i s o n sw e r em a d eb e t w e e nt h es y m m e t r i c a l l y a n da n t i s y m m e t r i c a l l y c r o s s b yl a m i n a t e dp l a t e s ，a n dt h es i n g l e a n dt w o d o f n o n l i n e a r o s c i l l a t i n gs y s t e m s t h es e c o n dm o d ew a sf o u n d h a v i n gm o r ei m p o r t a n ti n f l u e n c eo n t h er e s p o n s eo ft h e s y s t e m u n d e rs o m ec o n d i t i o n s s u m m a r i z e sa r eg i v e na n dt h ef u t u r ei n v e s t i g a t i o n sa r ep o i n t e do u ta tl a s t k e y w o r d s ：c o m p o s i t el a m i n a t e dp l a t e ，s y m m e t r i c a l l yc r o s s - b y , a n t i s y m m e t r i c a ! l y c r o s s b y , t h e n o n l i n e a rv i b r a t i o no ft h e p a r a m e t r i c a l l ye x c i t e d ，t h e s t e a d y - s t a t er e s p o n s e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，b i f u r c a t i o n ，c h a o s n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：法板签字日期：l 声年，月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鎏盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨注盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：汽尚望导师签名： 计弧 l 签字日期：v 。；年月7 日 签字日期：1 笋，月7 日 第一章绪论 1 1 复合材料的简介 第一章绪论 近代复合材料技术是2 0 世纪4 0 年代新兴起的一门新兴技术，经过半 个多世纪的发展目前已经形成一套比较完整的体系。但人类开始使用复合 材料要追溯到几千年以前。从现存的历史遗迹和史籍考察，在距今7 0 0 0 年以前的西安半坡村遗址中曾发现用草拌泥做成的墙壁和砖坯，用草拌泥 制作的建筑材料性能既优于草又优于泥，这是人类最早使用复合材料的先 例。中国古代的弓也是使用竹片、钢条等材料经过巧妙的铺叠得到的高模 量高强度的优良层台复合构件，也是复合材料应用的典型实例。在世界上 也发现古埃及人在公元前已知道将木材切成板后重新铺叠制成象现在胶 合板式的叠合材料，这样不仅可以提高强度，还可减少由湿、热引起的变 形。这些例子都说明了人类早已知道复合材料强于单一材料，并在可能条 件下开始了应用。 材料发展到了2 0 世纪中叶，复合材料的制品已不仅仅是天然复合材 料的复合利用了，而是基于现代科学技术的综合产物。在化学、力学、机 械学、冶金、陶瓷等学科现代成就基础上，复合材料已形成集科研、设计、 生产、应用的完整体系，作为新技术正在国民经济建设和国防建设中发挥 其先导和基础作用。 1 1 1 复合材料的定义 复合材料就是用两种或两种以上不同性能、不同形态的组分材料通过 复合手段组合而成的_ 种多相材料。 复合材料作为种通过复合组合而成的一种材料，它既保持了原组分 材料的主要特点，又具备了原组分材料所没有的新性能。 1 1 2 复合材料的特点与优点 与传统复合材料相比，复合材料有下述特点： 1 、可设计性：复合材料的性能可设计性是材料科学进展的一大成果，复 合材料的力学、机械及熟、声、光、电、防腐、抗老化等物理、化学性能 第一章绪论 都可按制件的使用要求和环境条件要求，通过组分材料的选择和匹配以及 界面控制等材料设计手段，最大限度地达到预期目的，以满足工程设备的 使用性能。 2 、 材料与结构的同一性：复合材料的构件与材料是同时形成的，它由组 成复合材料的组分材料在复合成材料的同时也就形成了构件，所以复合材 料的整体性好，可大幅度地减少零部件和连接件数量，从而缩短加工周期， 降低成本，提高构件的可靠性。 3 、发挥复合效应的优越性：复合材料是由各组分材料经过复合工艺形成 的，但它并不是几种材料简单性的混合，而是按复合效应形成性的性能， 这种复合效应是复合材料仅有的。 4 、材料性能对复合工艺的依赖性：复合材料在形成的过程中有组分材料 的物理和化学的交化，过程非常复杂，因此构件的性能对工艺方法、工艺 参数、工艺过程等依赖性较大。同时也由于在成型过程中很难准确地控制 工艺参数，所以一般来说材料构件的性能分散性也是比较大的。 与传统材料相比，复合材料在性能上有下述几个优点： 1 、 比强度、比模量大：复合材料轻质高强，碳纤维增强环氧树脂复合材 料的比强度比钢高5 倍，比铝合金高4 倍，比钛合金高3 5 倍，比模量是 钢、铝、钛的4 倍。 2 、 耐疲劳性能好：通常金属材料的疲劳强度极限是其拉伸强度的 3 0 5 0 ，而碳纤维增强聚合物基复合材料的疲劳强度极限为其拉伸强度 的7 0 8 0 。因此用复合材料制成在长期交变载荷条件下工作的构件， 具有较长的使用寿命和较大的破损安全性。 3 、 阻尼减震性好：受力结构的自振频率除与形状有关外，还同结构材料 的比模量平方根成正比，所以复合材料有较高的自振频率。同时复合材料 的基体纤维界面有较大的吸收振动能量的能力，致使材料的振动阻尼较 高。 4 、破损安全性好：复合材料的破坏不像传统材料的那样突然发生，而是 经历基体损伤、开裂、界面脱粘、纤维断裂等一系列过程。当少数增强纤 维发生断裂时，载荷又会通过基体的传递迅速分散到其他完好的纤维上 去，从而迟滞了灾难性破坏突然发生的情况。 复合材料是一项超越传统材料的新型材料，它具备了一系列传统材料 所不具备的优点，因而在国民经济和国防建设各领域，首先在航空与航天 领域得到了广泛的应用。 1 1 3 复台材料的力学研究 第一章绪论 复合材料力学的历史不长，大约四十年，并正处在研究发展之中。复 合材料是一种两层次的理论。其核心问题是通过复合效应由相材料造出或 算出、设计出具有所希望宏观性能的复合材料及其结构物。对于力学，则 体现在建立两层次的力学量之间的转换关系。通常使用的是宏观量。复合 效应分为两类：混合效应和协同效应。 混合效应( 或平均效应) ：它与刚体问题密切相关，有力学模型，有 混合律( 如有效模量理论，有严格解的仅是极个别情况) 。基于此已形成 了各种线性与非线性、经典与非经典的力学理论体系。其主要特点有：各 向异性、具有耦合效应、剪切刚度较低、本构关系复杂，因此会出现很多 新现象和问题。 协同效应( 或非平均效应) ：它与强度、破坏等现象密切相关。主要 来自：i ) 有新的“相”生成，2 ) 相材料的各种就位特性。细观非均匀性、 制作工艺、随机因素等对它的影响也较大。尚无适当的力学模型。 l 、关于混合效应 对于宏观均匀的复合材料的混合效应的基本理论( 如有效模量理论， 这里包括了有效湿热膨胀系数) ，现已研究的比较透彻了，但能找到严格 解的( 在均匀应力和均匀应变两种边界条件下的两个解重合，且可向邻近 单元连续开拓及整体) ，似乎只有颗粒增强和单向连续纤维增强复合材料。 对于后者，用复合圆柱族模型能求出四个有效模量的严格解，然而第五个 严格解g 2 3 ，对于这个模型却是不存在的( 即前述的两个解不重合) ，要改 用三相模型求出。对于实际应用，要强调的是实用解，而不是严格解。 基于混合效应，复合材料叠层结构可具有强烈的宏观物理耦合变形， 致使现有的某些力学理论会出现严重困难。譬如压弯耦舍可是现行的临界 力理论失效。过去在求壳体临界力时所遇到的困难，在于几何耦合变形； 现在对于复合材料，所遇到的困难就更大，因为它兼有物理耦合和几何耦 合。线性理论可给出与非线性理论完全不同的结果。 基于混合律，可建立叠层结构的几何，物理线性和非线性、经典与非经 典理论的控制方程，并研究其求解方法、综合优化方案。它们促进着固体 力学沿纵向深入发展，也推动了复合材料结构的工程应用。成果辉煌。另 一方面，由于复合材料的多种多样，还有许多情形的混合律的具体形式未 能建立。例如，相几何较复杂的情形，相物理较复杂的情形，或很大的犬 变形问题等等。此外，还有各种各样的功能材料、智能材料、分子自增强 材料的本构方程问题。 2 、关于协同效应 第一章绪论 协同效应指的是不属于混合效应的那一类的复合效应。协同效应的例 子是很多的，诸如：混杂纤维的混杂效应，叠层材料的叠层效应( 某一单 层材料的五个沿轴强度x 、x 、y 、y 、s 不总是材料常数，尤其是y 和 s ) ，交迭效应，材料强度的尺寸效应，界面及工艺的影响，等等。协同效 应变化万千，也往往比混合效应剧烈，是复合材料的本质特性，其潜在性 能是研制开发新材料的宝库。可惜人们对这一重要领域的认识还不多，其 力模型、参量表征、基本规律( 协同律) 都未充分建立，众说纷纭。 “复合材料”一词虽来自对菜些人造材料的研究，却引发了人们对材 料认识的深化一一通过复合效应的细观分析来认识材料和造出更好的材 料。这一情况可用“两层次材料”一词来概括。 对于细观分析，至今还没有一套完整的理论。对于某类问题( 如混合 效应) ，界面和工艺等因素作用不大，由缅观就可导出宏观；但对另一类 问题( 如协同效应) ，就有需要考虑更细小的成分，如界面。界面只有几 层外层原子层，其厚度为纳米( 1 0 。9 m ) 级，属表面物理的范畴，并与化学 工艺( 量子化学) 有关，用电镜仔细观测都是困难的。目前的力学分析只 能用实验数据粗略估计( 如拔出实验) 。如果能用量子力学来定量处理界 面和工艺问题，就可能改观协同效应的研究。从另一角度来看，两层次材 料也包括分子级的复合材料力学理论研究的另一途径。 复合材料的缅、宏观问题都是十分复杂的。能确立力学模型、建立方 程( 含求解条件) 、和找到严格解并为实践( 实验) 所证实的，虽是少数 典型，却据此建立了理论体系。对于大量实际问题，必须具体分析，在建 立模型、方程和求解三方面都要做出合理处理，以寻求实用解( 近似解、 数值解、模拟解、实验解) 。对于绝大多数协同效应问题( 包括界面和工 艺因素) ，连力学模型都未建立，还不能提炼成数学问题，须遵循认识论： 实践一理论一一实践，逐步加以认识。 ， 1 2 非线性振动和混沌简介 本世纪六十年代初确定性非线性动力学系统现代混沌( 复杂运动) 的 发现被认为是二十世纪的三大重大成就之一，它带来了科学的新的革命。 这三大重要成就是：相对论、量子力学和混沌。“相对论排除了对绝对空 间和时间的幻觉；量子论排除了可控测量过程的牛顿迷梦；混沌则排除了 拉普拉斯决定论的可预见性的狂想” 1 1 】。就像前两次革命一样，混沌割 断了牛顿力学的基本原则，它揭示了有序和无序的统一，实际相对论和量 第一章绪论 予力学| 、蠢毽来，本整纪貔瑗学兹第三次大蔫露，其覆盏瑟足孚广及蜜然 科学和社会科学的各个领域。它对全部科学包括自然科学、工糕学、社会 科学乃擞哲学所起的作用棚当于微积分学在十九世纪对数理工程科学的 影响。 确定魏的系统是指这榉黥动力系统，它们邋常宙零徽分方穰、偏微分 方程、麓分方翟、嚣至楚攀懿逡霞方程疆及藏缀缀分方程囊攉述熬动态过 程，一般情况下，这些系数的方程都是确定的。 非线性振动是非线性动力学十分重要的分文，非线性因素是任何振动 系统都存在的，它来自系统的物理的、几何的、结构的、耗散的、以及运 动的等等因素【2 4 】，随着科举的发展，菲线性搬动有了毅豹定义。动力系 统豹礁定运动，霾歇一懿穗定运魂逡舅一耱确定运动夔过渡_ i 雯稳嚣受菝 动。确定运动是指具有重麓经帮一定稳定往的遂动，过渡过程楚国确定运 动趋进的整个过程。某个确定运动过渡过程的集合构成它的吸引域。在所 研究的系统当某个物理参数变化至一定值时，确定运动的定性改变称为分 叉。假糟这种确定运动的改变进向的足够快( 即跳跃式的) 称为硬式产生 兹，稷及为款式戆，在这耢瓣系绕孛产生嚣援凌疆象熬受尊黢经羧动【1 2 】。 菲线镶搬湖理论是本世纪二十年健螽逐速发袋起来的，h 珏ghb 等 人根据p o i n c a r e 摄动法的愿想，非常深入的研究了一个自由度非线性振动 系统解的各种性质，并对篡某些分叉行为作丁探讨【1 3 】，ma j lk1 4 h 将 摄动法推广到多自由度非线性系统，建立了求周期解及研究解的稳定性的 完整的臻谂 1 4 1 ，力了逶疲童程技本领域应爝的爨要，kp hnob ，8 or oj l t o 巷。珏，帮m 珏霉po r l o r l 鑫e 蒜娃霆在v a l ld e rp o n 法静 基础上建立了平均法，该滋对单、多自由度系统的求解都是十分商效的， 并且大大简化了研究周期解的稳定性问题【1 5 】，7 0 年代末n e y f e h 和m o o k 将各种形式的多尺度法系统化，并有效的解决了一些连续介质系统的非线 性振动阏题 2 7 1 ，上述这披方法只戆求褥当系统的参数为确定的常数( 不 发生微小嶷绽) 嚣酶一郝分溺鼷簿；我袋黎之必经典懿饕绫毪掇麓遴论。 而实际上解的数量和行为骚书富的多，同时曩糨实际问题中振动系统的参 数往往会发生微小的变化，如高速车辆在直线道路上行驶的速度、化工流 程中的漱度和密度、参数激励振动系统中及熙的振幅和频率等都肖可能发 生微小鹋变化即摄动，丽这悠参数的摄动有聪公警l 起系统周期确戏的本矮 交纯；箕次摇透窦舔谚理系绞瓣镞努方程攀器您客藿参数，嚣这黧参鼗戆 准确值惩觉法知道酶，其测豢馕会有微小波动，若模羧物理系统的徽分方 程在参数达到某临界值时结构不稳定，那么解的行为当微分方程右端( 向 第一章绪论 量场) 发生微小变化是将发生质的变化；诸如这一系列现象就是分叉 2 9 】。 分叉有时是不可避免的，甚至可以说是非线性系统中最普遍的一种力学现 象。另外经常会遇到所建立的模型方程是十分庞大的情况以至无法对其进 行丰富的理论分析研究，为了简化分析往往把在动力学过程中变化较小的 量当作常量，或忽略一部分代表次要因素的变量，以大大简化微分方程的 阶数和形式，然而，从简化后的方程用经典的非线性振动理论估计被忽略 的那些因素的影响常常是不可能的。在这种情况下，可把丢掉的项看作是 对简化向量场的摄动，从而可用分叉理论来分析研究这种影响。分叉表示 当系统某个参数变化值临界值时周期解的数目和性质发生的跳跃性的本 质变化。 近年来，国内外学者重视研究系统中存在的分叉现象的原因之一在于 分叉有可能导致复杂的运动一一混沌 3 0 、3 1 1 。同时，分叉理论还与工程 问题有着紧密的联系：如高速车辆的行驶稳定性 3 2 ，管道振动 3 3 】，人 体神经网络的分叉问题 3 4 】，超导问题中的分叉现象分析 3 5 】，激波的分 叉 3 6 】，对称系统中的分叉 3 7 、3 8 等等非线性动力学问题都是经典的非 线性振动理论无法解决的。 以上分析说明，非线性振动科学从经典的摄动法、渐近分析的方法发 展到分叉理论是必由之路。非线性系统出现分叉、倍周期分叉特别是全局 分叉在许多情况下会导致混沌运动，故分叉理论还可以使人们了解非线性 振动系统的运动状态是如何从正常的有序状态过渡到混沌状态的。用 p o i n e a r e 关于周期解著名的话说：分叉理论是一只火炬，它照亮了从可研 究的动力系统走向不可研究性的道路。另外，分叉理论还以其理论上的许 多深奥的、活跃的课题吸引着众多的研究工作者。 过去的几十年内，数学中一些新的拓扑方法揭示出，在确定性的动力 系统中怎样发生似随机的运动。数学分析表明，有许多物理系统没有随机 输入时也会出现无规的动态行为，同时实验测量和数值模拟也证实这些结 果。“混沌”这一词通常就用来说明这类动态以区别于真正的随机过程， 因此混沌运动3 9 1 是指确定性非线性振动系统中出现的一种有限范围的运 动，这种运动毫无规律，貌似随机过程，对初值极端敏感( 即初值有微小 变化，经过一段时间后，运动可能相差很远，这意味着l i a p u n o v 意义下的 不稳定，这就是通常所说的蝴蝶效应) ，也就是说，混沌运动具有长期的 不可预见性，它是不稳定的有限定常运动。这个定义指出了混沌运动的两 个主要特征：不稳定性( 该性质可用平均l i a p u n o v 指数大于零来精确化) 和有限性。因此，除平衡、周期和概周期以外的有限定常运动称为混沌运 第一章绪论 动。这里所谓的有限定常运动，指的是在某种意义下( 以相空间的有限域 为整体来看) 不随时间而变化。 非线性研究工作的重点仍将在以下几个方面： 1 非线性振动系统( 尤其是强非线性系统) 的分析方法 2 非线性振动系统的分叉理论 3 非线性振动系统的混沌运动机理 4 非线性随机振动系统的分叉理论 5 力学及工程中的非线性振动、分叉和混沌问题。 6 生态学、生物力学、化学、近代物理学、经济学及社会学中的非线 性动力学问题。 7 高维非线性振动系统的数值计算技术( 快速数值计算方法、计算机 代数、平行信息处理机的应用) 8 非线性振动问题的实验研究 1 3 板壳结构分析与应用 板壳结构分析是现代固体力学中特别引入注目的一个分支，近几十年 来，随着科学技术的突飞猛进，其发展异常迅速。这门学科几乎与一切工 程有关联，对航天、航空、航海、机械、石化、建筑、水利、动力、仪表、 交通等工程设计，尤其具有指导意义。 板壳是平板与壳体的总称，是最常见的物体形式，其外形特点是厚度 比其他两个方向的尺度数量级要小得多。平分物体厚度的分界面成为中 面。若中面是平面，则称此物体为平板；若中面为屈面，则称此物体为壳 体。 由于厚度小、质量轻、耗材少、性能好，使板壳成为具有优良特性的 结构元件，不仅广泛用于各种工程结构作为最基本和最主要的构件。而且 在自然界和日常生活中也常常碰见，他们与每个人的生活休戚相关，与人 类的生存紧密相连。 板壳结构分析包括板壳静力学和板壳动力学两大部分。 板壳静力学是研究板壳在静载荷作用下所产生的应力和变形，亦即通 常所说的刚度、强度和稳定问题。通过分析计算，使扳壳设计的即美观大 方又安全经济。 板壳动力学是研究板壳在动载荷作用下结构的反应。其中一个重要问 题是板壳的振动问题。 第一章绪论 按照厚度的大小，可将板壳分为薄板壳和厚板壳两大类，而大多数板 壳属于薄板壳范畴。 按照隶属的理论范畴，当板壳弯曲变形时，若其挠度相对于厚度是小 量，所建立的微分方程属线性性质，则纳入板壳线性理论范畴；反之，若 挠度不是小量，所建立的方程属非线性，则纳入板壳非线性理论范畴。 板结构分析随着工业的发展起源于18 世纪，e u l e r 最先探讨板的弯曲 问题 4 0 ，但是，直到1 8 5 0 年，k i r e h o f f 才给出了第一个板的完善的弯曲 理论 4 1 】。接着a r o n 作了薄壳的分析工作【4 2 】，此后，特别是在2 0 世纪， 由于工业的飞跃发展，极大的推动了板壳结构的发展和应用。现今经典的 薄板壳线性理论已较成熟，并在各种工程设计中起着指导作用，然而，在 薄板壳非线性领域和厚板壳线性领域，还有许多问题尚未解决。 从本质上讲，板壳理论作为精确理论而言，应该是非线性的。板壳非 线性理论的奠基者是2 0 世纪杰出的科学家v o nk a r m a n ，1 9 1 0 年他最先给 出板的大绕度理论的非线性方程 4 3 】，因为工程上未提出应用精确理论的 迫切要求，加之数学问题求解的巨大困难，所以此后的发展是缓慢的。直 到2 0 世纪6 0 年代，随着工业的发展，工程上提出了大量的非线性现象与 问题，它比线性情形更复杂，描述的现象更丰富，更具有挑战性，板壳非 线性理论的研究蓬勃兴起，直到今天，它仍然是固体力学研究的一个最活 跃的领域而倍受人们关注，并推动非线性科学的发展。目前研究的中心课 题是板壳的几何非线性弯曲、稳定和振动问题。 1 4 本文研究的立论依据、内容及安排 正如前文所述，复合材料具有比强度高、比刚度大和抗疲劳性能好等 优点，常被做成薄壁轻结构的形式，例如多层、夹层和加筋板壳及其他薄 壁结构等，并被广泛地应用于建筑工业、交通运输、航空航天、化工工业、 以及国民经济建设的各个领域。由于薄板具有很大的柔性，极易出现大幅 度的振动。由此产生的非线性动力学问题也日益突出。因此，进行复合材 料层合板的非线性动力学研究有着重要的理论和实际意义。 由于复合材料有许多不同于常规工程材料的力学特性，最显而易见的 是材料的非均匀性和各向异性。因此，对复合材料的动力学研究，特别是 非线性动力学方面的研究远比一般的工程材料要复杂的多。复合材料层合 板的振动与稳定性的研究开始于八十年代，v b i r m a n 1 8 】，r s s r i n i v a s a n 1 9 1 ，和c w b e r t 2 0 等研究了对称角铺设层合板的运动稳定性， 第一章绪论 但未涉及到结构和材料的非线性问题。王列东、周承倜【1 7 2 1 研究了层 合板的非线性动力稳定性，分析了初始缺陷和拉一弯耦合刚度对于振动、屈 曲和非线性动力稳定性的影响。r g i f a t ，t 0 w i l l a m s 和j a b o u d i 2 2 利用微宏观层合板理论研究了复合材料层合板的静态分叉。黄小清等 2 3 】 研究了非对称层合复合材料圆柱微曲板承受均匀轴向压力作用，在加载和 卸载过程中压弯耦合对非线性稳定性的影响。但在复合材料层合板的非线 性振动、分岔和混沌方面，有关的研究资料还不多见。而且以往研究多数 仅限于一阶近似。作者将非线性振动、分岔和混沌理论应用于复合材料层 合板的动力学分析，以等厚同材质的单层板对称铺设与非对称铺设的正交 各向异性矩形层合板为研究对象，分析了层合板非线性参数振动系统一阶 和二阶近似的周期解、分岔和混沌问题。具体研究工作可分为两部分： 第一部分( 第三、四章) ：针对复合材料层合板对称铺设与规则非对 称铺设的物理模型，在同时考虑了材料、阻尼和几何等非线性因素后，分 别建立了一阶和二阶近似的非线性动力学控制方程，以及在热状态下对称 铺设与规则非对称铺设的振动方程。并分别对一阶和二阶近似的非线性动 力学控制方程应用多尺度法求得基本参数共振下的近似解析解，讨论了解 的稳定性，并利用数值模拟分析了系统的分岔和混沌运动，指出了系统通 向混沌的道路。 第二部分( 第五章) ：讨论了一阶和二阶近似对非线性动力学分析结 果的影响，以及对称铺设与规则非对称铺设在非线性振动特性方面的异 同。 最后，对全文进行工作总结，指出本文可能存在的问题和今后研究的 方向。 第二章分析基础 第二章分橱基磁 本章将介绍一些关于各向髯性力学的基础知识。简单层税是层合纤维 增强复合材料的纂本单元，所以简单层掇的力学性能知识对于研究层合终 维增强结构物是必要的。层合税燕由两艨或多瑟秸合在一超作为一个熬体 的结构单元，可从组分单屡的性能锝到滕合板结构的刚度，使层合板的分 析成为可能。 2 1 基本假设 本文农研究复合材料的刚鹰和强度酎，作如下基本假设： 1 、假设层会板悬连续的 认为缀成复合材料构件的体积空间肉充满着物质，其结构材料是密实 的。即忽略由于工艺等原因所造成的不可避免的少量空脓等缺陷，并认为 各组分税料或各铺层都悬赢接穰连的。溺于连续往缓设，使数学分辑中的 一嬲连续性概念、极限概念以及微积分等数学工具都可廒用。 2 、馁设攀向层会援楚穗匀静 这里考虑单向层合板宏观的平均表现性能，从单向层合板的任一点处 按飨定坐搽系甥取豹锾傣，茭力学瞧藐翱露，蔼与秧镩鹣位置蠢关。 3 、假设限于单向层合板是正交备向异性的 谈为攀羯层仑援兵鸯疆个互攘垂直豹弹毪辩拣瑟。对豫瑟豹垂妻穷海 为材料的主方向。 4 、簇设羧手层会援是线弹牲静 认为艨合板在外力作用下产缴的变形与外力成正比关系，且当外力移 去鼹，层会教能够完全恢复其骧綮豹形状。 2 ，2 篷蕈簇摄懿宏褒力学蠖戆 2 2 鍪彝异性材料的应竞一应变荚系 在线 鉴弹性蕊慝走，废力一威变关系黪一般褒迭式强 1 0 第二章分析基础 ( 2 1 ) 关系式( 2 - 1 ) 表征各向异性材料，因为材料性能没有对称平面，这种各向 异性材料的别名是全不对称材料。 如果材料有一个性能对称平面，应力一应变关系关系式可简化为 ( 2 2 ) 对称平面是z = o 。这种材料称为单对称材料，单对称材料有1 3 个独立的弹 性常数。 如果材料有两个正交的材料性能对称平面，则对于和这两个平面向垂 直的第三个平面亦具有对称性。在沿材料主方向的坐标系中的应力一应变 关系式是： ( 2 3 ) 该材料称为正交各向异性材料。正应力和剪应变之间没有相互作用，剪应 力和正应变之间也没有相互作用。不同平面内的剪应力和剪应变之间同样 也没有相互作用，刚度矩阵中有9 个独立常数。 如果材料的每一个点有一个各个方向的力学性能都相同的平面，那么 该材料称为横观各向同性材料。例如，假定i 一2 平面是该特殊的各向同 性平面，那么剐度中的下标l 和2 时可以互换的。这样应力一应变关系式 中只有5 个独立常数，且可写成 s屯。场 彩艮艮岛艮西彩踟艮白岛国砌踟踟孙知氏踟踟踟踟踟踟 肌加西脚列印 日屯q肠 氏氏o o 氏 o o oo o o oo o o o o o o 们加以彩聊印 忙艟 o o o o o 气 o o o o 氏o o o o o o o o o o o o o o o 加加够聊m 第二章分析基础 q q 2q j 000 ； q 2q lg ， 。6o l 白 c 1 3c 1 3c 3 3 000 i f 毛 oo o o o 1 1 肠 ooo o o j b o00o 0 q l 岛蟛司扳i ( 2 4 ) 如莱材料麓无穷多巾签麓对称平藿，臻么上述关系式藏楚证两备商竭经薅 料静情澎，此时剐度矩阵中赋有2 个独立常数。 拶1 吼 盯3 f 烈 码l 孔i c l i c 】2 c 也 孬 0 0 c 1 2 q 1 岛 0 0 o c t 2 c 1 2 c i 0 0 0 五种最常用的材料性能对称情形的应变一应力燕系式如下： 各向异性材料( 2 t 个独立常数) 萎 8 4 5 s 嚣 鼠s s 船 焉s 繇 & 瓯 s m 如 蕈对称搴| 料 t 3 令独立豢羧) ( 对于z = o 豹乎掰瓣稼) 正交备离异挫髓鼗( 擎个独立常鼗) 蕊 s 辑 s 撕 0 0 墨1s 2 蕞 0 00 & s 妊s 毪0 00 s ns 姓s n 000 00 0 如0 0 00 痞0 0 080o o 繇 横观各向隅性材料( 5 个激纛常数) ( 1 - 2 平丽怒瞬性乎面) ( 2 5 ) 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 蕊加以卯铆缈 n以觑倒哪咐 。墨_i陬 、i；q 妒 。垂e g瞄 班 o 0 o磅嚷o q 2 激 。嵋。 鼹 班靠如印印m&黜鼯勋勋鼢粕跏鼢跏跏龟龟毛硒托 嚷唧强 e 8 o8 e o o钆o 南勤o o 如鼢o o 黾o o 毛屯岛肠地 隅h h 陬聚 气乇白场敬 第二章分析基础 各向同性材料( 2 个独立常数) 2 2 2 正交各向异性材料平面应力问题的应力一应变关系 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 在各向异性、单对称、正交各向异性、横观各向同性或各向同性材料 的三维应力一应变关系式中，取 4 3 = 0 ，7 = 0 f 3 i = 0 ( 2 - 1 1 ) 就定义了平面1 2 中的简单层板的平面应力状态。对正交各向异性材料，这意味着 应变 屯= s i 3 仃l + s d 2 ，2 3 = 0 ，3 l = 0 ( 2 - 1 2 ) 同时，应力应变关系式可简化为： 墨ls 1 2 0 s 1 2 岛2 0 00 s “ 墨= 击，一等一卺一z z2 击，氏2 壶 由应变一应力关系式( 2 - 1 2 ) 求得应力一应变关系式： 雠豢删 其中岛就是所谓的二维刚度矩阵 q 1 - = 币，q l ：2 一丽s 1 2 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 加以彩纠即 win儿 蜀 o o 0 0 0 一 墨烈 o o o o 鼢o o o o o o i墨岛b o 0 o i 瓯墨& o o o ； 墨瓯& o o 0 q龟岛物地 加加以卯纠m ww儿2 s o o o o o s 瓤 ) s o o 0 o o s2 )2 s 0 0 o o o 墨 2 i 瓯o 0 o i 瓯墨& o o o o o o 岛白杨 、l，j 吼吒砸 v u n 儿 ，。l 一 一 h 碑k 第二章分析基础 岛z2 币，q 6 6 = 瓦1 或用工程常数表示为： q i 。：土，q 1 2 _ 些：些 l v i 2 v 2 11 一v 1 2 v 2 11 一v 1 2 v 2 1 断去，瓯加，z 、 2 3 层合板的宏观力学性能 2 3 1 层合板的应力和应变的变化 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 假设垂直于层合板中面的一根初始直线，在层合板承受拉伸和弯曲后 仍保持直线并垂直于中面。要求垂直于中面的法线在变形后仍保持直的并 垂直于中面，相当于忽略了垂直于中面的平面内的剪应变，即，。= ，。= o ， 式中：是平面的法向。此外，假定法线的长度不变，因而垂直于中面的应 变同样忽略不计，即s ，= 0 。上述代表层合板的单层在工作时的一些假定， 构成了板的克希荷夫假设和壳的克希荷夫一勒甫假设。 孔 x | u z c 图2 - 1 用层合板在z z 平面内的横截面，如图2 - 1 所示，导出克希荷夫一勒甫 假设对x 、y 、z 方向的层合板位移“、v 、w 的结论。中面内b 点从变形前 到变形后在x 方向的位移是“。直线a b c d 在层合板变形后仍为直线 “。= 一z 。卢 ( 2 - 18 ) 直线a b c d 在变形后仍垂直于中面，是层合板中面在x 方向的斜率，即 口：盟 ( 2 1 9 ) 第二章分析基础 凼此，在层合板厚度上任一点z 的位移u 为： “：一z 挚 ( 2 2 0 ) 同理，y 方向的位移v 为： v ：v 。一z 婴 ( 2 2 1 ) 叫 根据克希荷夫一勒甫假设，即丘= ，。= 如= o ，层合板应变己减少为岛、q 和y 。位移“、v ，应变为： 眺川 式中，中面变形根据v o nk a r m a n 薄板大挠度理论： 中面曲率为： 阱 煎十一1paw00 x20 x ) 2 j 誓+ 1 2c 2却、却 煎+ 盟+ 堕盟 咖 缸 缸钞 圳霎 fa 2 将沿厚度变化的应变方程( 2 2 2 ) 代入应力应变关系式， 雠i 鞫刖鲫 磊上的一横，表示代替二维矩阵岛的转换矩阵。 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 第_ j 层的应力可 ( 2 2 5 ) 2 3 2 层合扳的合力和合力矩 作用于层合板上的合力和合力矩是由沿着层台板厚度积分各单层上 第二章分析基础 的应力而得到的。 眺阱= 善嘲出 c z 恁 = 乓2 耄 。一砉t r 耄 。砌 c z - z ， 层内是不变的这个事实来排列。因此刚度矩阵可阻从每一层的积分号中提 蔑 = 善 | | ；霎嚣 。 侄卜+ e ，怪) z d z c z 一2 8 ) q - f 磊：磊：磊el e s ；净+ e ， q 一 【j “1 【玩瓦瓦j 。r 。旧j。h jj 阱鞋冰。罐卜。刖k v zzdz沼2 9 ) 屿 - l 磊：磊：磊si e s ； + ： ；2 出 q kj “瓯死瓦j 。r 川 “l 【j j 鸣= ( 岛) ( 缸一= “) = ( 磊) 暖一z 五- ) d o = ( 爵) ( ：一z 知 ( 2 _ 3 0 ) 在方程( 2 - 3 0 ) 中，如称为拉伸刚度，岛称为耦合刚度，d ，称为弯曲刚 度。岛的存在意味着层合板在弯曲和拉伸之间相互耦合。 2 3 3 层合板刚度的特殊情况 1 、多层特殊正交各向异性层组成的对称层合板： 因为包括了刚度a ”a 2 6 、d 1 6 和d z 6 而使分析复杂，所以要求层合板， 所以要求层合板没有这些刚度，层合板可以由材料主方向与层合板轴一致 一一翌三鲎坌堑删： 器蓬交离异莲爱嬲成。如果擎豢髓辱藏、证麓及其琵辩犍筵对终于拨斑 中颡，嬲鸯油和拉弹之阍无祸合影确。