（应用数学专业论文）smooth群和vague半群中的若干问题.pdf

五邑大学硕士学位论文 摘要 文章首先介绍了m d e m i r c i 定义的两个群s m o o t h 群和v a g u e 群，并且介绍了 s m o o t h 群和v a g u e 群的一些基本性质，然后在第二章中对s m o o t h 群和v a g u e 群作了 进一步的探讨，获得了几个非常重要的结果，从而非常容易地说明了v a g u e 群中第 一，第二，第三元可传性等价及s m o o t h 群中最小的子群是单位元集。 在第三章中，定义了v a g u e 群的( 左，右) 理想，并获得了和一般半群类似的 性质，然后又定义了半群的正则元，并对正则元在v a g u e 理想中的性质作了探讨。 关键词：模糊相等、s m o o t h 群、v a g u e 群、s m o o t h 运算、v a g u e 运算、v a g u e 理想、 正则元 五邑大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n t r o d u c es m o o t h g r o u p s a n dv a g u eg r o u p sd e f i n e d b y m d e m i r c i 1 4 ，1 5 ，a n ds o m et h e i rp r o p e r t i e s i n c h a p t e rt w o ，w es t u d ys m o o t h g r o u p sa n dv a g u eg r o u p sf u r t h e r ，a n dg e ts o m ei m p o r t a n tr e s u l t s w ee x p l a i nt h a tt h e t r a n s i t i v i t yo ff i r s to r d e l s e c o n do r d e ra n dt h i r do r d e ra r ee q u i v a l e n ti nv a g u eg r o u p s a n dt h es m a l l e s tg r o u pi sa ni d e n t i t ys e t si ns m o o t hg r o u p s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed e f i n e ( 1 e f t ，r i g h t ) i d e a lo fv a g u es e m i g r o u p sa n dg e ts o m e s i m i l a rp r o p e r t i e sw i t hc l a s s i c a ls i m i g r o u p s ，t h e nw ed e f i n er e g u l a re l e m e n t so fv a g u e s e m i g r o u p s ，a n ds t u d yr e g u l a re l e m e n t si nv a g u ei d e a l s k e yw o r d s ：f u z z ye q u a l i t y ， s m o o t hg r o u p ，v a g u eg r o u p ，s m o o t hb i n a r yo p e r a t i o n ， v a g u eb i n a r yo p e r a t i o n 、v a g u ei d e a l 、r e g u l a re l e m e n t n 本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师指导下独立完成，完成论文所用的 一切资料均已在参考文献中列出。 作者：于昌峰 签字：寺昌c f r 享 2 0 0 9 年4 月1 5 日 五邑大学硕士学位论文 引言 自从z a d e h t ”提出模糊集理论( 简称f - 理论) 以来，该理论在应用和纯理论方面 都有了长足的发展。在1 9 6 0 - - 1 9 8 0 年间，f 理论的研究主要集中在f 拓、f 一自动 机、f 一群和f 形式语言方面。1 9 8 0 年后，由于f 理论在应用领域的突出表现面 更为世人关注。 在代数系统中引入模糊理论并研究其性质一直是f 理论发展的一个重要方面。 1 9 7 1 年，r o s e n f e l d 呤1 引入了模糊子群，从此f 代数研究进入了一个快速发展时期。 1 9 8 2 年，l i u 【3 1 引入群g 的f 不变子群，环的f 一理论等概念。1 9 8 0 年，k u r o k _ i 开始了f 子半群的研究， 目前仍是模糊数学领域比较活跃的方向之一。、但是， 这 些工作中只有子集是模糊的，群上的运算是清晰的。一个很自然的问题就出现了， 怎样使群上的运算也是模糊的情况下建立群的结构。 e s 和c o k e r t 5 1 ，s o s t a k t 6 j 1 分别给出了模糊相等的定义，s a s a k i 【8 1 给出了不同于e s 和c o k e r t 5 1 ，s o s t a k t 6 - 1 的模糊相等的定义，而且s a s a k i 定义的模糊相等和模糊函数的 结构有区别于一般的模糊性的方法，基于此，1 9 9 9 年，m d e m i r c i 在文章 9 】中以更 合理的方法给出了一般集合两个元素的模糊相等且用更自然的方法提炼了模糊函数 的定义。之后，1 9 9 9 年，m d e m i r c i 利用模糊相等和模糊函数在文章 2 ，9 ，1 0 ，l l ，1 2 ，1 3 的基础上用模糊函数取代了一般群上的运算定义了v a g u e 二元运算，在一般群的基 础上建立了新的群结构， 即定义了v a g u e 群【】4 1 并且将经典群上的一些结果应用于 v a g u e 群。 2 0 0 1 年，m d e m i r c i 进一步将群上的运算进行模糊化，定义了s m o o t h 二元运算，进而定义了s m o o t h 群n 5 1 并且将经典群中的一些结果应用于s m o o t h 群。之 后，赵建立【1 7 1 等对s m o o t h 群作了进一步研究，简化了s m o o t h 群理论。 在第二章中我们对v a g u e 群和s m o o t h 群分别作了探讨，分别获得了v a g u e 群和 s m o o t h 群中的六个等价式，更简化了v a g u e 群和s m o o t h 群理论，并清晰地看出 s m o o t h 群中最小子群是单位元集。 在第三章中我们对v a g u e 半群作了深入的探讨，定义了v a g u e 半群的理想并将一 般半群理想中的性质应用于v a g u e 理想，然后我们又定义了v a g u e 半群的正则元， 并对其性质作了探讨。 2 五邑大学硕士学位论文 1 1基本定义 第一章v a g u e 群和s m o o t h 群 文章中a 表示两个实数取最小值的运算，x 表示非空的一般集合。对于给定的x 的模糊子集a 和x 的一般子集日，日的模糊子集b 定义为：( 工) = 心( z ) ，v x h 称 作a 在日上限制，记作纠日。 定义1 1 1 例映射e x ：x x x _ 【o ，1 称作x 上的模糊相等，当且仅当下面条件成 立： ( e 1 ) e x ( 工，y ) = 1 甘x - - - - - y ，v x ，y x ， ( e 2 ) 幺( z ，y ) = e x ( y ，x ) ，帆，y x ， ( e 3 ) 邑( x ，y ) 八e x ( y ，z ) e x ( 戈，z ) ，v x ，y ，z x 对于工，y x ，实数e ( x ，y ) 表示工和y 相等的程度。在相等的基础上我们定义x 上 的模糊相等，映射b ：x x 一 0 ，1 】定义为：b = 器x x = y ) ，) 魄，) ，x 显然是x 上 的模糊相等，称作x 上的单元模糊相等，记作，x 。 设x 和y 是两个非空集合，e x 和e ，分别是x 和y 上的模糊相等，则很容易证明 映射i e ( xx y ) 2 一 0 ，1 ，定义为： i e x y ( ( 五y ) ，( z ，w ) ) = e x ( 五z ) 八e 】，( _ w ) v x ，z x ，v y ，w y 是xxy 是的模糊相等，我们称它是xxy 上的基于e x 和量诱导 出来的模糊相等。 定义1 1 2 例设x 和】，是两个非空集合，e y 和e ，分别是x 和】，上的模糙相等， 则xxy 上的模糊关系厂( xxy 的模糊子集) 称作基于模糊相等e x 和e y 上的从x 到 l ，的模糊函数，用一般函数的记法： f ：x _ 】，当且仅当厂的特征函数 ，：xx yj 【o ，1 】满足下列条件： ( f 1 ) v xx ，3 y ys t ，( x ，y ) o ； ( e 2 ) v x ，y x ，v z ，w ey ， ，( 工，z ) r ( y ，w ) e x ( 工，y ) e y ( z ，w ) 如果e x ，e ，和，作如下选择，使e x = ，x ，e r = ，和，( xxy ) 如，1 ) ，则模糊函 数，的一一对应即是一个一般函数，在这种情况下，模糊函数是一般函数。 五邑大学硕士学位论文 注：设x 是非空集合，e x x x 和e x 分别是x x 和x 上的模糊相等，由定义得 x xxx 上的模糊关系f 称作基于模糊相等e x x x 和e x 上的从x x 到x 模糊函 数，记作：f ：xxx _ x ，当且仅当f 的特征函数i t ，：x xx x 一【o ，1 】满足下列条 件： 1 ) v x ，) ，x ，3 z xs t i t ( 工，) ，z ) o ； 2 ) v x ，y ，z ，“，v ，w x ，i t ，( 工，) ，z ) a i t ，v ，w ) a e x ( ( 工，y ) ，( “，v ) ) e x ( z ，w ) 定理1 1 3t 设，：xxx _ x 为基于xx x 和x 上的模糊相等已蜊和乓的模糊函 数，贝【j ：( k a ，b ，c ，d x ) ，( n ，b ，c ) a l ，( 口，b ，d ) o j 已( c ，d ) o 。 1 2 v a g u e 群的定义 定义1 2 1 i 川模糊函数厂称作强模糊函数，当且仅当它满足下面的条件： ( f 3 ) 执x ，3 y ys t i t ，( 工，= i ? ) 2 l 定义1 2 2 【1 4 1i ) 基于模糊相等e x 。x 和e x 上的强模糊函数f ：xx xjx ，称作基 于乓x 和e x 的x 上的v a g u e 二元运算； mx 上的v a g u e 二元运算称作是关于第一元传递的，当且仅当： ( t 1 ) v a ，b ，c ，d x ，i tr ( 口，b ，c ) ae x ( c ，d ) r0 ，b ，d ) i i i lx 上的v a g u e 二元运算称作是关于第二元传递的，当且仅当： ( t 2 ) v a ，b ，c ，d x ，r ( 以，b ，c ) ae x ，d ) i t ，( 口，d ，c ) 类似于定义1 2 2 ，我们可以定义，的第三元可传性，即，满足： ( t 3 ) v a ，b ，c ，d x ，r ( 口，b ，c ) ae x ( 口，d ) ，( d ，b ，c ) 定义1 2 3 【1 4 1 设厂是x 上的v a g u e 二元运算，我们称x 的子集b 在厂下是v a g u e 封闭的，当且仅当： ( v g c ) i tr 0 ，b ，c ) = 1 ：，c b ( c a ，b b ，c x ) 对于基于e x x x 和e x 的x 上的v a g u e 二元运算f ，如果x 的子集h 在厂下是v a g u e 封闭的，则不难证明f 日。x 在h 上是v a g u e 二元运算。 定义1 2 4b 3 带有二元运算。的集合x ，记作( x ，。) ，是一个半群当且仅当下面 的结合律成立：( g 1 ) a o ( bo c ) = ( a o b ) o c 4 五邑大学硕士学位论文 半群( x ，o ) 是一个幺半群，当且仅当： ( g 2 ) 存在元素p x ，称作( x ，o ) 的单位元，使得：v a x ，e 。a = 口，a 。e = a 幺半群( x ，o ) 是一个群，当且仅当t ( g 3 ) 对任意a x ，存在x 中的一个元素，记作a ，称作a 的逆元，使得： a 。a l = 2 n lo a = e 半群( x ，o ) 称作是可交换的当且仅当二元运算。满足下列条件： ( g 4 ) ao b = b 。av a ，b x 定义1 2 4 中上条件( g 1 ) 和( g 4 ) 可以分别写成下列等式： ( g17 ) ( v a ，b ，c ，d ，m ，q ，w ex ) ( ( 。c = d ) 和( 口。d = m ) 和0 。b = g 埽口( 鸟。c = w ) ) ( r = w ) ) ( g4 7 ) ( v a ，b ，m ，w ex ) ( ( ( 口。b = m ) 和。口= w ) ) ( 扰= w ) ) 二元运算。可以想象成基于i x , , x 和，x 上的种特殊的v a g u e 二元运算，满足下列条 件2 。伍xx xx ) 如，1 ) ，对于a ，b ，mex ，一般记法口。b = m 也即是。( 口，b ，m ) - 1 ，或 者等价地记为1 。( a ，b ，m ) o 。因此，考虑分别用( g 1 ) 和( g 4 ) 代替( g 1 ) 和( g 4 ) ，我 们观察到( g 1 一g 4 ) 可以分别用下面的式子来表述： ( v g 1 ) ( v a ，b ，c ，d ，m ，q ，w ex ) ( 0 。，c ，d ) 。0 ，d ，m ) a 2 。0 ，b ，q ) a 2 。白，c ，w ) ) e x ，w ) ) ( v g 2 ) 存在单位元e x ，使得： 2 。0 ，以，a ) 2 。( 口，e ，n ) = l v ax ( v g 3 ) 任意a x ，存在a 的逆元a 一x ，使得： 2 。( 口一1 ，口，e ) 2 。0 ，口- i t e ) = 1 v a x ( v g 4 )( v a ，b ，z ，w ex ) ( 江( 以，b ，m ) 2 。p ，口，w ) ) e x ，w ) ) 定义1 2 5 叫1 设。是基于模糊相等瓦。x 和e x 的x 上的v a g u e 二元运算，则： i ) x 带有v a g u e 二元运算。，记作( x ，。) ，称作v a g u e 半群，当且仅当。的特征函数 。：x xx x _ 【o ，1 】满足条件( v g 1 ) ； i i ) v a g u e 半群( x ，。) 是一个v a g u e 幺半群当且仅当满足条件( v g 2 ) ； i i i ) v a g u e 幺半群( x ，。) 是一个v a g u e 群当且仅当满足条件( v g 3 ) ； i v ) v a g u e 半群( x ，o ) 称作是可交换的，当且仅当满足条件( v g 4 ) 。 值得一提的是，如果。是x 上基于模糊相等i x , , x 和，x 上的v a g u e 二元运算，且使得 。( x x x ) o ，1 ) ，则v a g u e 群( x ，。) 对应一个一般意义上的群，在这种情况下， 五邑大学硕士学位论文 v a g u e 群就是一个一般群。 1 3 v a g u e 群的同态 定义1 3 1n 4 1 设( x ，。) 和( y ，。) 是分别基于模糊相等乓) c x ，最和邑彬e 上的 两个v a g u e 半群，函数( 一般意义下) ：xj 】，称作v a g u e 同态，当且仅当 丛o ( a ，b ，c ) e ( 矽( a ) ，) ，烈c ) ) v a ，b ，c ea 定义1 3 2u 4 1设己和毛是x 和y 上的模糊相等，函数g ：x 一】，称作是基于 b 和与上v a g u e 单射，如果： ( v a ，b ex ) 毛( g ( 口) ，g ( 易) ) e i ( 口，b ) 定理1 3 3 m 1 设( x ，。) 和( y ，o ) 是分别基于模糊相等e x 斌，& 和b ) c y ，岛上 的两个v a g u e 半群，：x _ 】，是v a g u e 同态，如果。是关于第一元传递的且是、r a g u e 单射和满射，则函数矽_ 1 ：】，一x 是v a g u e 同态 1 4 s m o o t h 群的定义 定义1 4 1n 5 1 设i 厂：x x - x 为基于x x 和x 上的模糊相等e x 。x 和e x 的模糊 函数，则，为x 上基于模糊相等b 。x 和e x 的s m o o t h 二元运算，当且仅当： v a ，b ，c ，d x ，1 ，( a ，b ，c ) 入三二( c ，d ) 0 j ，( 口，b ，d ) o 类似于定义1 2 5 ，定义1 2 4 中的条件( g 1 一g 4 ) 可以分别用下面的式子来表述： ( s g l ) ( v a ，b ，c ，d ，m ，q ，w ex ) ( ，c ，d ) a ，d ，m ) 人a ，b ，q ) 0 ，g w ) ) 0 e x ( ，z ，w ) 0 ) ( s g 2 ) 存在单位元e ex ，使得： ( p ，a ，a ) ( 以，e ，口) 0 v a x ( s g 3 ) 任意a x ，存在a 的逆元a 一x ，使得： a l n ，已) 八g ，口- 1 ，g ) o v aex ( s g 4 )( v a ，b ，m ，w x ) ( a ，b ，m ) 从p ，a ，w ) ) o j 瓦m ，w ) o ) 注：为了避免和前面的混淆，我们用“”代替群运算“o ，。 定义1 4 2 设是x 上基于x x 和x 上的模糊相等e x 。x 和e x 的s m o o t h 二元 运算，则： i ) x 带有s m o o t h 二元运算，记作( x ，) ，称作s m o o t h 半群，当且仅当的特征函 6 五邑大学硕士学位论文 数：x xxx b ，1 】满足条件( s g l ) ； i i ) s m o o t h 半群( x ，) 是一个s m o o t h 幺半群当且仅当满足条件( s g 2 ) ； i i i ) s m o o t h 幺半群( x ，) 是一个v a g u e 群当且仅当满足条件( s g 3 ) ； i v ) s m o o t h 半群( x ，) 称作是可交换的，当且仅当满足条件( s g 4 ) 。 值得一提的是，如果是x 上基于模糊相等i x 。x 和，x 上的s m o o t h 二元运算，且使 得1 ( x x x ) 0 ，1 ) ，则s m o o t h 群( x ，) 对应一个一般意义上的群，在这种情况 下，s m o o t h 群就是一个一般群。 1 5s m o o t h 群的性质 定理1 5 1n 6 1 设( x ，) 是基于模糊相等& x 和乓上的s m o o t h 群，日是它的非空 子集，那么日是x 的s m o o t h 子群当且仅当 v 口，6 h ，c exa ( a ，b - l , c ) 0j c h 定理1 5 2 m 1 设( x ，) 是基于模糊相等乓x 和& 上的s m o o t h 群，日是它的非空子 集，那么日是x 的s m o o t h 子群当且仅当 1 ) 日在s m o o t h 二元运算下是封闭的， 2 ) v ah a 一1 h 五邑大学硕士学位论文 第二章v a g u e 群和s m o o t h 群的基本结果 2 1 v a g u e 群和s m o o t h 群的基本结果 定理2 1 1 设( x ，0 ) 是基于模糊相等鼻埘和鼻上的v a g u e 群，并且“。”是第 一元可传的，则以下六个式子相等，即： ( v 以，b ，c x ) i t 。a ，b ，c ) - - i t 。( a - | , j c ，b ) = i t 。( 抚c ，a 一1 ) = i t 。( b ，口一，c 一1 ) = i t 。( c - i ) a ，b 一1 ) = i t 。( c ，b - - 1 ，a ) 证明 我们仅证明。a ，b ，c ) = i t 。( a ，c ，b ) ，其它证明类似可得 对a - l c ex ，则存在m x 使得。( a - 1c ，聊) = 1 又由定义1 2 5 ，知：。( 已，b b ) = 。( a - i , j a ，e ) = l ， 1 。( a - 1a ，e ) a 。( g ，b ，b ) 入。( a - ic ，m ) 入。a ，b ，c ) e x ( 易，m ) ( 1 ) 得1 。如，b ，c ) 乓p ，m ) ( 2 ) 又。( a - c ，m ) ab p ，m ) 2 ，m ) 。( a - l c ，b ) ( 3 ) 由( 2 ) 和( 3 ) 式得。( 口，b ，c ) 。( a - | c ，b ) 另一方面，对a ，b x ，存在m x 使得。( 口，b ，m ) = 1 ，又定义1 2 5 知： 。( p ，c ，c ) = i t 。( 以，a - | e ) = 1 ， 。( 口，a - 1e ) a 从( p ，c ，c ) t o ( 口，b ，垅) 八从( a - i c ，b ) e x ( c ，砌 ( 4 ) 得。( a - ic ，b ) 曩( c ，m ) ( 5 ) 又e x ( c ，m ) 2 。( 日，b ，m ) 入乓( c ，m ) 。a ，b ，c ) ( 6 ) 由( 5 ) 和( 6 ) 得。( a - ic ，b ) 。a ，b ，c ) 由( 3 ) 和( 6 ) 得。a ，b ，c ) = i t 。( a - 1c ，b ) 等式成立证毕 由定理2 1 1 ，容易得出 推论2 1 2v a g u e 二元运算厂的第一、 第二、第三元可传性等价 定理2 1 3 设( x ，) 是基于模糊相等e x x 和最上的s m o o t h 群，则对于任意 8 五邑大学硕士学位论文 a , b ，c x ，下列各款等价： 1 ) 1 ( a ，易，c ) o 2 ) 1 ( 口，c ，b ) 0 3 ) 1 ( 易，c ，a 一) o 4 ) 从( b ，口，c 一1 ) 0 5 ) t ( c ，a ，b 。1 ) o 6 ) 从( c ，b 一，a ) 0 证明 1 ) j 2 ) e h 于：x x x 是基于模糊相等最x 和乓上的模糊函数， 所以对a - ic ex ，存在m ex 使得从( 口，c ，m ) 0 又有定义知 从( a - ia ，e ) o ，从( 口，b ，b ) o 且由已知得： 从( a , b ，c ) 从( a ，c ，m ) 八从( a ，a ，e ) 入从( e , b ，b ) o 由定义1 4 2 得：e x ( b ，m ) 0 因此：从( 口，c ，m ) e x ( b ，m ) 0 根据定义1 4 1 ，从( a ，c , b ) o 2 ) j 3 ) 由1 ) 2 ) 的证明，对6 ，c x ，存在m x 使得从( 易，c ，m ) 0 又有o ( c - ic ，p ) o ，从( 口，e ，a 一1 ) o 得： 从( a - 1c ，b ) 入从( b ，c ，m ) 八z ( c - 1c ，p ) 儿( 口，e ，a 一1 ) 0 由定义1 4 2 得：e x ( 7 ，z ，a 一1 ) 0 根据定义1 4 1 ，儿( 易，c - in 一1 ) o 3 ) j 4 ) 对于b ，a 一x ，由于“，是基于q x 和b 上的模糊函数，存在研x 使得从( b - - la ，m ) o 又从( b - l , b ，e ) o ，从( 已，c - ic 一1 ) o 且由于3 ) 得： 从( 抚c 一，口一1 ) 从( b - - 1a ，m ) 从( bl , b ，e ) 八从( g ，c - 1 ，c 一1 ) 0 由定义1 4 2 得：e x ( m ，c - 1 ) 0 再根据定义1 4 1 ，g ( b - l , a - 1c 一1 ) 0 4 ) j5 ) 对于c ，a ex ，由于“”是基于乓斌和b 上的模糊函数，存在m x 使 得从( c - ia ，m ) o 由假设及s m o o t h 群的定义得： 从( b ，a - 1c 一1 ) 八从( c - 1a ，m ) 八从( a - la ，e ) 入g ( b - 1 , 已，b 一1 ) o 由定义1 4 2 得：e x ( m ，b 一1 ) o 再根据定义1 4 1 ，从( c - | a ，b 一1 ) o 5 ) j 6 ) 对c , b x ，由于“”是基于邑。x 和乓上的模糊函数，存在聊天使 得从( c ，易一，m ) o 由假设及s m o o t h 群的定义得： 从( c ，c - le ) 八从( p ，a ，a ) 入从( c - 1a ，b 一1 ) 入( c ，易，m ) o 由定义1 4 2 得：邑( 口，m ) o 再根据定义1 4 1 ，从( c ，b - l , a ) o 9 五邑大学硕士学位论文 6 ) j1 ) 设1 ( c , b - 1 , a ) o 对a , b x ，存在m x 使得1 ( a , b ，聊) o 由于1 ( b - l , b ，e ) o ，从( c ，e ，c ) o 因此 1 ( c , b - l , a ) k 从( a , b ，m ) ki t ( b - l , b ，e ) k 从( c ，e ，c ) o 由定义1 4 2 得：最( 聊，c ) 0 根据定义1 4 1 ，从( 日，b ，c ) o 证毕 根据模糊函数的定义，我们不难得出 定理2 1 4 设( x ，) 是基于模糊相等乓x 和邑上的s m o o t h 群，则 ( v 以，b ，c ，d x ) 从( 口，b ，c ) 八从( d ，b ，d ) o j 乓( c ，d ) o 证明 因为是x 上基于x x 和x 上的模= 1 糊相等e x 。x 和e x 的从x x 到 x 的模糊函数，且& 。x ( ( 口，易) ，( 以，易) ) = 1 ，所以由从( 以b ，c ) 从( 以，b ，d ) o 得： 以( n ，b ，c ) a 1 ( a ，b ，d ) = 从( d ，b ，c ) a 1 ( a ，b ，d ) a 乓x ( ( a ，易) ，( a ，易) ) 0 。根据定义 1 1 2 ，乓( c ，d ) o 证毕 推论2 1 5 设( x ，) 是s m o o t h 群，则( va , b ，c ，u ex ) 1 ) 以( 口，b ，掰) 人愆( 玛c ，“) o j 毛p ，c ) o 2 ) 从( 易，a ，u ) 人从( c ，a ，u ) o j ，c ) o 证明1 ) 由定理2 1 ，3 ，1 ( a ，b ，u ) 从( 口，c ，u ) o 当且仅当( 口，u ，易) 人( 口- 1 ，配，c ) o 由定理2 1 4 得b ( 易，c ) o 同理可以证明2 ) 推论2 1 5 利用定理2 1 4 来证明就显得非常容易。 推论2 1 5 所包含的s m o o t h 群的性质，我们也称为s m o o t h 群( x ，) 的s m o o t h 左右消去律 定理2 1 6 设( x ，) 是基于模糊相等邑x 和量上的s m o o t h 群三( x ) 是x 的单 位元集，i ( a ) 是x 中元素a 的逆元集则 ( v p e ( x ) ，v 易，( 口) ) 从( 易，a ，e ) a g ( a ，易，e ) o 证明由定义1 4 2 可得：v e e ( x ) ，从( 已，a ，a ) 从( 口，e ，口) o ( 1 ) 任取i ( a ) 中元素b ，由定义1 4 2 知，存在e l e ( x ) 使得： 从( 6 ，a ，e i ) a g ( a ，b ，q ) o ( 2 ) 1 ，口，a ) ( a 】，p ，日) o ( 3 ) 1 0 五邑大学硕士学位论文 由( 1 ) 和( 3 ) 知从( e ，口，a ) a f l o ( e , ，a ，口) 0 由推论2 1 5 知e x ( 巳f i ) o 再由( 2 ) 式得： l ( b ，a ，e 1 ) a 邑( 已，e 1 ) o s ( a ，b ，e 1 ) a e x ( b e i ) o 由是x 上基于x x 和x 上的模糊相等b x 和e x 的s m o o t h 二元运算，则： ( 6 ，盘，p ) o ，d ( a ，b ，p ) o 因此可得从p ，a ，e ) 入从( 口，b ，e ) o 推论2 1 7 设( x ，) 是基于模糊相等瓦x 和& 上的s m o o t h 群，目是x 的s m o o t h 子群则e ( x ) 三h 证明设日是x 的s m o o t h 子群，则h o 取u h ，则v e ee ( x ) ，从( “- 1 ，u ，g ) 口根据定理1 5 2 ，u - 1 h 因此e eh 根据推论2 1 7 ，我们今后在谈及一个s m o o t h 群x 的子群日的单位元和逆元就 是x 的单位元和该元素在x 中的逆元 推论2 1 8 设( x ，) 是基于模糊相等乓x n e x _ t z ns m o o t h 群则伍( x 洲i x ) ) 是x 的最小s m o o t h 子群 证明根据推论2 9 ，仅仅需要证明( x ) ，1 础) ) 是s m o o t h 子群就可以了 令，乞e ( x ) ，c x 且从( q ，e 2 ，c ) o 因为从( q ，e 2 ，e 2 ) 0 ，根据定理2 1 4 ， 足( g e 2 ) o 因此盟( 吃，a ，a ) m 量( c ，乞) o ，愆( 正e z ，口) 入乓( g 吃) o 由是x 上基 于x x 和x 上的模糊相等瓦x 和e x 的s m o o t h 二元运算可得f 1 ( c ，a ，口) 八从( 口c ，a ) o 因此c e ( x ) ，即伍( x 洲邸) ) 为x 的s m o o t h 子半群进一步地，设p ( x ) ， 则e - 1 互( x ) 实际上，因为愆( g ，e - 1p ) 人以( e ，e - i , ，e - 1 ) 0 ，所以f - , x ( e ，e - 1 ) 0 又 ( v a ex ) 从( 幺a ，a ) 人从( 口，e ，a ) 0 因此 从( 已，a ，口) a e x ( e ，已一1 ) 0 ，从( 口，e ，口) a e x ( e ，已_ 1 ) 0 从而 d , ( e - 1a ，口) 以( 控，e - i 口) o 因此e 一e ( x ) 证毕 举例2 1 9 对于给定的秒( o ，1 ) 和x = n + ，定义x 上的模糊相等e ；和x xxxx 上的模糊关系。使得： 五邑大学硕士学位论文 如川= 髂斟和心拱z ) - 景帅艇x ，这样诱导出x x x 上的模 糊相等皈。x ，则( x ，。) 是基于模糊相等e ；和瑶x 的交换s m o o t h 群，而且每个 正整数是( x ，o ) 的单位元和每个正整数是其它任何一个元素的逆元由定理推论 2 1 9 可得s m o o t h 群( x ，o ) 的s m o o t h 子群只有它本身 1 2 五邑大学硕士学位论文 第三章v a g u e 理想及正则元 3 1v a g u e 理想的定义及性质 定义3 1 1设( x ，o ) 是基于xx x 和x 上的模糊相等乓。x 和乓的v a g u e 半群， 则x 的一个非空子集合日称作是一个v a g u e 子半群，如果日是v a g u e 封闭的。 定义3 1 2设( x ，。) 是基于xx x 和x 上的模糊相等邑x 和乓的v a g u e 半群， 则x 的一个非空子集合a 称作是一个左v a g u e 理想，如果： v s x ，v a a ，3 b a s t 。( s ，n ，6 ) = 1 类似地，我们称a 是一个右v a g u e 理想，如果：v s x ，v a a ，q b a s t 。( n ，s ，易) = 1 。如果a 既是一个左v a g u e 理想又是一个右v a g u e 理想，则我们称a 是 一个v a g u e ( 双边) 理想。 显然，由v a g u e 子半群的定义可得左v a g u e 理想，右v a g u e 理想和v a g u e ( 双边) 理想都是v a g u e 子半群。 设a 是x 的一个左v a g u e 理想，b 是x 的一个右v a g u e 理想，定义下面的集合： a b = c x 江。q ，b ，c ) = 1 ，v aa , v b b ) 定理3 1 3 设( x ，o ) 是基于xxx 和x 上的模糊相等乓x 和量的v a g u e 半群a 是x 的一个左v a g u e 理想，b 是x 的一个右v a g u e 理想，则a b 是x 的一个v a g u e 理想。 证明 设a 是x 的一个左v a g u e 理想，b 是x 的一个右v a g u e 理想。 由于。：x x x 是v a g u e 二元运算，则有v sx ，v ca b ，3 c 7 x s t 。( 5 ，c ，c 7 ) = 1 由a b 的定义知：c a b ，3 a a ，3 b ebs t 。( 口，b ，c ) = 1 因为a 是x 的一个左v a g u e 理想，则由左v a g u e 理想的定义可得： s x ，a a ，3 a as t 。( s ，a ，a ) = 1 由他的定义知：口7 a ，beb ，：t d a b s t 。( 口7 ，b ，d ) = 1 因此我们可得： 五邑大学硕士学位论文 1 = 。( 口，b ，c ) 人。( s ，c ，c 7 ) 人。( s ，a ，以7 ) 。( 口7 ，b ，d ) e x ( c p , d ) ，由此可得：e x ( c 7 ，d ) = 1 ， 也即是：c 7 = d 。 所以我们有：v s x ，v a a ，3 d a bs t 。( s ，a ，d ) = 1 ，这也就是说a b 是x 的一个左v a g u e 理想。 同理，由于。：xxx x 是v a g u e 二元运算，则有v s x ，v m a b ，3 m 7 xs t 。( m ，s ，m 7 ) = 1 由a b 的定义矢口：m a b ，j 口a ，j 易bs t 。( 口，b ，咒) = 1 因为b 是x 的一个右v a g u e 理想，则由右v a g u e 理想的定义可得： s x ，b b ，3 b 7 b s t 1 。( 6 ，s ，b ) = 1 由a b 的定义知：a a ，易7 b ，3 n a bs t 。( 口，b 7 ，1 ) = 1 。 因此我们可得： 1 = 。( 以，b ，m ) 。( m ，s ，m 7 ) 。( 6 ，s ，b 7 ) 。( 口，易7 ，z ) e x ( 肌7 ，2 ) ，由此可得： e x ( m 7 ，n ) = 1 ，也即是：m 7 = n 。 所以我们有：v s x ，v m a b ，3 n a bs t 。( m ，s ，n ) = l ，这也就是说a b 是 x 的一个右v a g u e 理想。 由上述证明可得a b 是x 的一个v a g u e 理想。证毕。 定理3 1 4 设( x ，。) 是基于xx x 和x 上的模糊相等邑嫡和最的v a g u e 半群c ，d 是x 的左v a g u e 理想，则c d 是x 的一个左v a g u e 理想。 证明设c ，d 是x 的左v a g u e 理想，则c d 可以表述为： c d = 伽x 江( c ，d ，p ) = 1 ，v cc ，v d d 由于。：xxx - x 是v a g u e 二元运算，则有v s x ，却c d ，3 p7 xs t 。( j ，p ，p 7 ) = l 由c d 的定义知：p c d ，3 cc ，3 d ds t 。( c ，d ，p ) = 1 因为c 是x 的一个左v a g u e 理想，则由左v a g u e 理想的定义可得： s x ，c c ，3 c 7 cs t 。( s ，c ，c 7 ) = 1 由c d 的定义知：c t c ，d d ，3 9 c d s t 。( c 7 ，d ，鼋) = 1 。 因此我们可得： 1 = 。( c ，d ，p ) 。( s ，p ，p 7 ) 人。( s ，c ，c 7 ) 。( c ，d ，g ) e x ( p 7 ，q ) ，由此可得：e x ( p 7 ，q ) = l 也即是：p 7 = 口。 五邑大学硕士学位论文 所以我们有：v s x ，跏c d ，j g c ds t 。( s ，p ，鸟) = 1 ，这也就是说a b 是x 的一个左v a g u e 理想。证毕。 推论3 1 5 设( x ，。) 是基于x x x 和x 上的模糊相等已x 和乓的v a g u e 半群，e ，f 是x 的右v a g u e 理想，则口是x 的一个右v a g u e 理想。 证明类似定理3 1 4 可证得。 设( x ，。) 是基于x x x 和x 上的模糊相等b x 和乓的v a g u e 半群且带有单位 元e ，定义下列集合： x j a = 召xl t ( x ，口，易) = 1 ，帆xi ) ； a x l = 侈x k ：q ，x ，6 ) = 1 ，魄x 1 ) 定理3 1 6 设( x - ，0 ) 是基于x x 和x 上的模糊相等& 。x 和乓的v a g u e 半群且 带有单位元e ，那么x1 口是x 的一个左v a g u e 理想且旅1 是x 的一个右v a g u e 理想。 证明设( x ，。) 是基于xx x 和x 上的模糊相等乓斌和毛的v a g u e 半群且带 有单位元e 。 由于。：xxxjx 是v a g u e 二元运算，则有眠x ，v c x 1 a ，b d x s t 。( 五c ，矗) = 1 因为c x 1 口，我们 有：3 x ，x 1s t 。( 工1 ，口，c ) = 1 。 再由。：xxx x 是v a g u e 二元运算得：致2 xs t 。( 工，_ ，工2 ) = 1 ，由x1 口的 定义知：3 p x 1 丘s t 箴( 工2 ，盘，p ) = 1 。 因此有： 1 = 。( 工l ，a ，c ) 人。( x ，c ，d ) 。( 工，x l ，x 2 ) 。( x 2 ，a ，p ) e x ( d ，p ) 由此可得：e xp ，p ) = l ，也即是：d = p 。 所以我们有：坛x ，比x 1 a ，3 p x 1 as t 箴( 工，c ，p ) j - 1 ，这也就是说x 乜是x 的一个左v a g u e 理想。 同理，由于。：xxx - x