（计算数学专业论文）多元弱样条.pdf

摘要 多元弱样条定义为仅庄网线的一些离敞点上光滑的分片多项式函数。我制首先讨沦了 多元弱样条的光滑条什及协调条件，利_ l i j 多元弱样条的光滑及协调条仆对其幽数空间的维数 与基进行了讨论。贳穿剖分是较常心的一类剖分我们讨论了贯穿剖分的一些性质。并刹川 这些性质，在一定条t l ：i - ，给出了贯穿捌分f 多元弱掸条的维数公式。通过证明一插值问题 的适定性住一定条1 i r | 二h 给出了= 角剖分f 弱样条函数的维数公式，讨论了研究多元弱样 条的b 网方法。通过b 网方法，给山了= 角剖分r 多元弱样条函数空间的维数上f 界。利 j = 这些结果，给出了1 础= 角剖分f ，2 次i 阶光滑弱样条函数空问f l 勺维数公式。超样条函 数在有限元及h e r m i t 插值中有重要的麻川。利州弱样条幽数的光滑条1 1 ：给山了超样条函数 的光滑公式。通过超样条函数的光滑公式，讨论了i 型二角剖分r 超样条函数空间。汁算了 具有局部支集的超样条函数。并给出了选择局部支集墓的规则。晟斤，利川局部支集的超样 条函数，构造了拟插值算子，并讨论了拟插值葬子的逼近性质。 a b s t r a c t t h em u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n ei sd e f i n e db yp i e c e w i s e p o l y n o m i a l sw h i c hs m o o t h so n l y o nas e to fd i s c r e t ep o i n t s t h es m o o t hc o n d i t i o na n d c o n f o r m a l i t yc o n d i t i o no fm u l t i v a r i a t ew e a k s p l i n ea r ep r e s e n t e df i r s t l y b yt h e s ec o n d i t i o n s ，t h ed i m e n s i o na n dt h eb a s i so fm u l t i v a r i a t ew e a k s p ) i n es p a c e sa r ed i s c u s s e d np a r t i c u l a r , t h ed i m e n s i o no fm u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n eo v e vt h e c r o s s c u tp a r t i t i o na n dt r i a n g u l a t i o ni s p r e s e n t e d t h ebn e tm e t h o df o rs t u d y i n gm u l t i v a r i a t e w e a k s p l i n e sj sa l s od i s c u s s e d ，b yb n e tm e t h o d t h eu p p e rb o u n da n dl o wb o u n do f t h ed i m e n s i o n o fm u l t i v a r i a t ew e a k s p l i n e s o v e r t r i a n g u l a t i o n a r e p r e s e n t e d b yt h e s m o o t hc o n d i t i o no f m u l t i v a r i a t ew e a ks p l i n e s ，t h es m o o t hc o n d i t i o no fs u p e rs p l i n e si s p r e s e n t e d ，a c c o r d i n gt ot h e s m o o t hc o n d i t i o n t h e s u p e rs p l i n es p a c e o v e r t y p e 一1t r i a n g u l a t i o n i sd i s c u s s e d t h el o c a l s u p p o r t e db a s i so fs u p e rs p l i n es p a c e s o v e r t y p e - lt r i a n g u l a t i o n i s p r e s e n t e d b yt h el o c a l s u p p o r t e db a s i s ，w eb u i l dt h ev a r i a t i o n - d i m i n i s h i n go p e r a t o r t h ea p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e so f t h e v a r i a t i o n - d i m i n i s h i n go p e r a t o ri sa l s op r e s e n t e d 第一章绪论 所谓撵条函数就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数，即在每一段或每一 片上为多项式多元样条函教具有深刻的实际背景和重要的理论意义其在计算机辅助几何 设计、小波及有限元中均有重要的应用多元样条研究的主要方法有：光滑余因子方法、b 网方法及多元b o x 样条下面，我们主要介绍与本文关系密切的光滑与因子法与b 网方法。 1 1研究多元样条的光滑余因子方法 1 9 7 5 年王仁宏在文献【1 中采用代数几何的方法建立了任意剖分下多元样条函数的基 本理论框架，并提出所谓的光滑余固子方法。采用这种方法，多元样条函数的任何问题都可 以转化为与之等价的代数问题研究 设d 为r 2 中的一区域，以p 记二元k 次实系数多项式集合一个二元多项式p 称为 不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其他复多项式可整除代数曲线 r ：( 2 ，y ) = 0 z ( z ) 最 称为不可约代数曲线，如果f ( z ，y ) 是不可约多项式。甩有限条不可约代数曲线对区域d 进 行剖分，将剖分记为，d 被分为有限个子区域d 一，d n ，他们被称为d 的胞腔形成每 个胞腔边界的线段称为网线，网线的交点称为顶点，同一网线的两个顶点称为相邻网点，以 某一顶点y 为顶点的胞腔的并集称为称为顶点y 的关联区域或星形区域，记为s t ( v ) 1 9 上 的关于剖分的二元k 次p 阶光滑样条函数空间定义为 = ( 5 c “( d ) ：s o r ，i = 1 ，。， 大连理工太学硕士学位论文 基于代数几何中b e z o u t 定理，王二宏碍到了多元惮条函数光滑连接的条件表现为如下定 理： 定理1 1 1 肿设j 髭( ) ，d 。与d ，是剖分的相邻胞腔不可约代数曲线r t ( z ，) = 0 是d i 与d j 的一条公共网线，最= 5 i d ，只= s l o ，则有 只一b = ( z ( z ，) ) 9 + 1 9 ( z ，”) 其中，q ( z ，y ) p k 一( “+ 1 ) d 称为网线f 上的光滑余因子，此处d = d e g ( 1 ) 我们简述上述定理的证明思想。设1 1 , 为指定的正整数，0 蔓psk d 一】按所给的条 件，s ( z ，y ) 在r 上处处连续。所以q ( z ，y ) = 鼽( 。，y ) 一p ( z ，y ) 在r u 上处处为0 由b e z o u t 定理，存在多项式q 1 ( z ，y ) er d 使得 1 ( z y ) = 肌缸，y ) 一】j ( ，y ) = r 扛，u ) q t ，y ) 根据q ( 。，9 ) 在r 上一阶偏导为0 的性质，可知 ( 磐埘+ 口l 口) 跏= 。 ( 凳惭m ) 珈= 。 由f k y ) 的不可约性，由上式可推出q l ( z ，y ) 在r 上处处为0 再次利用b e z o u t 定理，存 在驰( z ，y ) r 一2 d ，使得 于是 依此类推即可得到最终结果 q t 扛，y ) = f 扛，) 蚰( z ，y ) q ( z ，y ) = f ( z ，”) 2 啦( z ，y ) 2 第一章：绪论 我们将位干区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界同点如果一条网线的内部属 于区域d 内，则称此阿线为内网线，否则称为边界网线设 为任一给定的内网点， 的关 联区域s t ( v ) 有个胞腔dl ，d n d ，与d ，的公共网线记为f n ：f 。( z ，) = 0 ，i = 1 ，a 其中，q i ( z ，) r 一( 。+ 1 ) “，m = d e o ( t i ) ，公式( 11 ) 称为样条函数s ( z ，) 在内网点口处的协 调条件若样条函数在所有的胞腔上均为同一多项式。则称其为蜕化的下面定理称为弹条 函数的存在性定理： 定理1 1 2 对于给定的剖分，样条函数存在的充要条件是在每个内同线上存在非0 的 光滑因子，且在每个内网点出满足协调条件r j j 由此，可以建立多元榉条函数的一般表达形式，没区域d 被剖分分割为如下有限个胞腔 d 一，d 任意选定一个胞腔，例如d 作为源胞腔，从d l 出发，画一流向图亭，使之满 足 1 c 流遍所有的胞腔d 。一，d 各一次 20 穿过内冈线的次数不多于一次 3 亭不允许穿过网点 流向图d 所经过的内网线称为相应于百本性内阿线其他的内网线则为相应于亭的可 去内网线。显然可去内网线与本性内网线只是一个相对概念。设b ：f 。( z ，”) = 0 为口的任 意一条本性内网线，将从原胞腔0 出发，沿从原胞腔e 出发，沿0 前进时，只有越过r 。 后才能进入所有闭胞腔的并集记作u r ：，将从原胞腔0 出发沿f i ，时，在越过a 之前所经 过的各胞腔并集为r ；j 称u r 6 u r i 为网线的前方记作，r ( r “) 3 0 f + 耵 z z 口 大连理上大学顶十学位论文 定义1 1 1 设f u ：f 。，( 蟊耵) = 0 为相应于流线0 的本性内网线，多元广义截断多项式定 义为 f ；、。一f i o ( ：r - 圹，( z ，) ( r u ) “。“+ _ 0 ，( z ) d ，) 由此，有如下的样条函数表现定理 定理1 1 3 任意ses j ( ) 均可唯一地表示为 s ( z ，f ) = p ( 础) + f 。( 蜘) ! “妈( 。，”) ，( 。，劝d 0 其中p ( 置对) er 为8 ( z ，y ) 在源胞腔上的表达式，d 表示对所有本性内同线求和 在文献 4 中，王仁宏给出了任意维的样条函数框架这些结果与上面结果类似 由上述定理出发，我们容易的得到了矩形剖分下岛( ) 的表达式设由下述两簇直线 所形成的剖分为 z = z 1 z = 0 2 ，：c = zn ，。j z h y 。l ，2y 2 ，= 玑l ! 卜因此我们可选取充分大的 1 3 十 b zo f 川一 。m 大连理工大学硬十学位论文 使来知数个数大于方程个数，此时( 26 ) 定有非。解不管( 3 4 ) 的解是否为。均不影响非蜕 化多元弱样条的存在，即证明了结论 推论 事实上，除了很特别的剖分以外定理2 1 3 的条件都能得到满足。我们很容易得到以下 推论2 1 1 对于任意给定的非负整数“及由贯穿剖分形成的定点剖分，则总可以 找到适当的k ，使得非蜕化的s ( 。，y ) i 曜( ，) 存在 定理211 给出了了两个分片多项式在定点集的每一点上连续性要求一致，下面定理给 出了在每一定点上连续性可以不同的光滑条件定理2 1 1 可以看作下面定理的特殊情况 定理2 l 4 设直线l 的方程为口一nr b = o , s 为l 上的定点集且s 中任意两点横坐标 不同如果p ( z ，y ) r ( z ，y ) 且 p p ( x 。，y i ) ：o ，= 0 ，p 。，v ( z i ，弘) s 则存在q ( x ，y ) 和g 。扛) 使得 p ( 剐) = 妇一8 z 一垆“q ( z ，f ) + 妇一。? “严”扫一。) ”川+ ( z ) ( 2 7 ) 此处，p t p 2 i 3 - 2p 带s ，叮( z ，y ) p 一一j ( z ，”) ，g n ( 。) r ( z ) h = k p l 一1 + ，n 一 鉴( m + m pl ) + 扛) 三0 倘若h 0 襻s 表示集合s 中元素数目 证明若弗s = 1 ，通过定理2 1 1 能够证明( 2 7 ) 成立假定当带s = k 时，( 2 7 ) 成立，即 存在q 扛，y ) 和c 。( 。) 使得 p ( z ，) = ( 一。一6 ) “+ 1 q ( z ，) + 芝二( 一a x 一6 ) “1 + 1 i i ( z z ；) ”。+ “一“+ ( ? m 。( z ) ( 2 8 ) 卅= li = 1 成立。考虑l s l = k + 1 ，不失一般性，可以假定p l m p 。令d 。；p ( z o ，跏) = 譬箬奄铲l ( 。! ，0 ) 和s 。( z ) = ( y - a z - b ) m + 1 一”n 釜l o 一) ”“一“+ c ；。( z ) 考虑玩。l p 扛w + - y t ) = 1 4 第二章：研究多元弱样条的光滑余因子方法 0 ，0 至i + j j l 。+ 1 d o m 一f s m ( z “+ t ，。+ 。) o ，如果和仅仅如果p l + 1 一m = p “+ 。一t o t p 。+ ，因此，当弘i 十1 一p 。+ ，曼 ls l - t - 1 ，g 小o ( z 。+ ，) = 0 因此，d t 泓川一t is ( z 、。) o ，如果和仅仅如果加+ 1 一m = 卢k + 、一l t ，0 墨s 。+ 一1 因此，当m + 1 一p 。+ q - 1 ，ns p i + l ，竺鼍“= 。类似地，我们能证明当p + l 一l 。+ js m sp i + l ，生鱼判= o ， 此处，0sj p 。+ ，因此，当m p lq - l p 。+ 。存在a ，。( ：f ) 使得c n l 0 ( z ) = ( z 一 2 。+ 。) “x + t p 、+ m c m ( z ) ，即：v m 存在g m ( z ) 使得e j 。o ( z ) = 缸一z 。+ ) ”“+ t 一“m ”+ c m ( z ) 将c 。o ( z ) 带入( 28 ) ，我们有 因此，该定理成立证毕 2 2贯穿剖分下多元弱样条函数空间 用有限条直线对区域d 进行的剖分称为贯穿剖分，形成剖分的直线称为贯穿线称始 干内网点终止于d 的边界的线段为9 内的射线，如果一个剖分中的每一条网线或者是贯穿 线的一部分或者是某一射线的一部分，则称该剖分为拟贯穿剖分为了讨论贯穿剖分下多元 弱样条函数空间，本节将首先讨论一些贯穿刮分的性质 图2 伊ig 2 j 对于任意的有界开区域d ，d 的一个贯穿剖分记为a d ，内网点的集合记为v _ d 1 5 + o z 一+ b zn v 一一 十 玎 +p zo一 = z p 大连理j 二大学硕士学位论文 剖分线的集合记为l d ，区域j d 的边界点集合记为d d 定义2 2 1 指定某条剖分线的方向，沿此方向该剖分线在区域中第一个或最后一个内甄 点，称为该剖分线的边缘点。 定义2 2 2 若某一内网点为所有过该点的剖分线的边缘点，则称此内网点为该剖分的边 缘点。 定义2 2 3 由一条内同线与0 口的子集圊成的孛1 分域称为d 的，型音4 分域，由两条内 网线与8 d 的子集固戍的剖分域称为d 的j j 型剖分域，二者统称为特型割分城。如图2 所示，a 为j 型剖分域b 为型剖分域。 定理2 2 1 对于贯穿剖分d ，若1 b 则至少存在一个边缘占 证明：由于社l d 有限，社1 - d 也必为有限个，因此可以做一条直线r l ，使所有内网点在该 直线上的投影均不一样规定r 。的0 点、单位与正方向，则每一个内网点的投影均有一实 数与之对应，称为该点的坐标，从中可以选取坐标最大的内网点n ，则滚点必为边缘点因 为若点n 不是边缘点，则存在一条过点“的剖分线r - ，使点n 不是如的边缘点，因此r 2 上至少有3 个内网点，由f 1 的做法可知r 2 不垂直于r 1 则可为n 规定一方向，使沿该 方向的矢量与r 夹角为锐角，由假没知点n 不是r ! 沿该方向的最后一个内网点则在r 。 上存在一个坐标大于n 的内网点b ，这与n 的取法矛盾，因此假设错误，点“为边缘点 证毕 定理2 2 2 贯穿剖分至少存在一个特型剖分域 证明：若1 b = o ，容易证明至少存在一个i 型剖分域若v b 0 ，由定理2 2 i 知存在边 缘点。，由边缘点的定义可知存在两条交干n 的贯穿线f i ，n ，并可找到r i ，n 分别与a d 的一个交点，设为c ，d ，使o c ，a d 上无内网点( 如图2 所示) 将位于c d 之间( 只考虑o b n d 的夹角小于”的情况) 的a d 记为( a d ) 。“设n a a d 与( a d ) 。d 围成的区域为b ，可以将位 1 6 第二章：研究多元弱佯条的光滑余因子方法 于b 内内同线看作对b 的贯穿剖分类似地，b 内内网点与剖分线集合分别记为。 b 上的贯穿剖分记为b 若1 ，0 = 口，又可分勾两科情况：若l = 0 ，显然b 就是一个剖 分域。且为i i 型刮分域若b d ，由前面说明可知，存在一个由一条贯穿线r 与o b 的 子集o b 。围成的区域d 1 由边缘点的定义可知若r 过点n ，则d l 为d 的i i 型区域 否则为i 型区域若k 0 由于l d a c ”且社i 备有限，可做一条赢线，使其满足下列条 件：与o d 。d 相交，设交点为e ，l d a e l c a e 均为锐角，b 内的内同点在n e 上的投影均不 重合规定硅为正方向，任意确定0 点及单位，可取b 中坐标最大的点并设为i i i , ，由直 线n e 的做法及定理2 21 的证明可知m 为土u 与8 的边缘点，由正方向的选取可知，可 以取两条变于，n 的贯穿线，瑷与o d 。f 的交点为“d t ，且m f ：= i ”l ，上无内瞬点，得到一个 新的区域b l ，且有榉1 0 襻1 售。1 二是可以重复以前的步骤因为内网点为肓限，必然 到某一步使口。内无内网点，由前面证明可对8 ，内存在一个d 的持型剖分域。证毕 下面考虑贯穿剖分下的多元弱样条函数空间。在本节中，贯穿剖分记为，我们先考虑 一种简单且实用的情况，即每条内阿线上定点个数均为1 的情景，以后我们所指的定点剖分 均指这种形式，将此定点方式记为 我们将定点个数为i 的定点贯穿剖分记为，- 。设 口t ，岛，一，口是两两不相等的实数考虑下述解空闻的维数 = ，q n , c 础，础e 巴一，础，、c 州( o i ，础l n4 - ) 十( + f l i x ) t t + l - m ( 2 一。：1 ) ”c 譬? ( z ) ) ) e0 m 扛一z ：f l ) m g 册( z ) 口1 ，口反一。一l ( e ) ，c i o ，) c j ，c 掣j ，+ 。，q ? l ，+ j r p l ( ，) ) ( 29 ) 上式中e ，嘎：? ，、c t t 扎) 。，e 攫，础。一g i * + 一，碟2 + 。，。+ 。是已知的多项式 引理2 , 2 1 若n 卢+ 2 ，且七2 1 + i ，则出川l _ = ：曩( ) ：= ( ( 一：+ 1 ) + ( 七一，1 ) ( p + + t 口 + 川一 + y z g +p z 卢 + 鲈 。 骺i = 篓弦鬻0 0b1,b r 墨】) m 胁 护1 ，b 1 掣。( _ + 1 ) 其中鼠2in ：i 样条贯穿剖分下的维数计算时所遇到的矩阵，并已证明b 是满秩的【8 1 ，因此n 三弘+ 2 、时b 是 m 拈阻一一一，州一州呻m 。一毪”) ， 第二章：研究多元弱洋条的光滑余因子方法 定此时我们认为另外一段内网线上的弱光滑余因子也就确定了对于贯穿剖分。，在每条 贯穿线上，如果我们能且只能选择一段内网线确定它的弱光滑余因子，如果存在这样一种选 择方式，利用协调条件进行一系列计算之后，使得每一条内网线上的弱光滑余因子都是已知 的则我们称该贯穿剖分是可计算的 引理2 糸2 贯穿剖分是可计算的 证明：对内同点利用数学归纳法。 设d 群是有界开区域，设其上的贯穿割分。内网点集合为p ，显然当j 矿j = t 时 。是可计算的。假设m = 时。是可计算的，考虑1 1 7 l = + 1 时的情况由于。中 的贯穿线有限，因此我们可作一条赢线f 使其不与任意一条贯穿线垂直作每一个内网点在 f 上的投影，规定z 的正方向，沿该方向第一个在2 上投影的点记为”存在一单连通的闭区 域口，使得”g d b 且y ”d b ，并且在口内原内鸸线不会被口分割为多条内网线， 显然d b 内共有内网点个，考虑。中的贯穿线对d b 进行的贯穿剖分，将该剖分 记为。b 由假设我们可选择确定。b 中每条贯穿线上一段内网线上的弱光滑余因子，使得 通过一系列计算之后可确定每条内网线上的弱光滑余因子现考虑口内的内同线，且内的 内同线可分为两类，若该内网线所在的贯穿线只通过内网点b ，则我们称该内网线为一类内 网线，其他的称为二类内网线，一类内网线所在的贯穿线集合设为l i ，二类内网线所在的贯 穿线集合设为如，容易看出l 2 是。b 中贯穿线的子集，显然l l 内的贯穿线上共有两条内 网线，我们可任意选择一条内网线确定其上的弱光滑余因子值。对于如内的贯穿线如，由于 如是。b 中贯穿线的子集，f 2 被u 所分成的两段内网线有且仅有一段在d b 内可通过一 系列计算确定，因此与”相连的贯穿线被”所分的两段内网线中有且仅有一段上的弱光滑余 因子是已知的，因此可通过协调条件计算另一段上的弱光滑余因子因此。中每段内同 线上的弱光滑余因子都是可被确定的e p l i e e , q t 襻1 ，= k + l 时正确原结论成立 1 9 大连理工大学硕十学位论文 定理2 , 2 3d 咖1 1 i ( ，l ，) = e 玉2 + l ( 叫+ 。+ ( 一一f t 】( ，t + 1 ) ) + 名；耳( m ) 其中 n ，22 p + 1 ， ：2 l + 1 ，l 为j 。的贯穿线数，1 为内同点数，为支于第i 个内网点处 的贯穿线数目 证明：由引理222 可以选择每条贯穿线上的一段内网线，使其上的所有弱光滑余因子都是 自由的，并且可通过协调条件进行一系列计算，将浚计算过程记为何，使得每条内网线上的 余因子均可以求出设日计算的的第i 个内同点为 。= ( 而，；) ，可选择适当的坐标系使在 该点相交的直线方程为 ( 一玑) + 口u ( ，一z f ) = 0 其中巩岛? lsj ? s ，z 。 以卿= 吼。p - - 。- - l ( _ ) = 1 ，2 i v i 记过 。各内同线的光滑余因子，c 。( o j = c i o m ) ，r 刈一l ( 。) c i i ) = c j ：j 厅刈一i ( z ) ，= i m ，m = 1 ，p + 1 记过- t 各内 网线的弱光滑余因子其中c l , l 是可通过计算已经确定或可自由确定的弱光滑余因子。按 a 。处的协调条件有 肌) + 口u ( _ 一z ，) ) “+ 1 ( 口m + j ( 。，) + ( f ，) ) + 卢。( z z ；) ) “+ 1 一”( 。一z ! o ) ”。c j 臀( z ) + ( + 口。) ，+ 1 一( z z ：”) ”砖：? ( z ) ) ) i0 记q 几r ，) ：= + ( “) + 哪( m 、) 则由引理2 2 1 ，方程组 ( 【( 一叭) + 剐z 一训) 一1 “+ 1 + ( ( ( 1 一叭) + 凤扛一m ) ) 川 q ( z ，) 扛一z 0 ) ) “c 烈( z ) ( 2 1 0 ) 一 一 旧 “ “ mb一州一 + 第_ 二章：研究多元弱佯条的光滑余因子方法 + ( ”+ 风z ) “+ 1 一”( ，一r ：”) ”d ，：? ( z ) ) ) ；0 解空间的维数为聪( 觑) ( 2 1 1 ) 从q i ( x ，u ) 的定义不难看出，即使确定了所有的锄z ，口) ，多项式g 。+ 扭，口) 与q ，( z ，) 中仍有一个是完全自由的。因此每一条贯穿线上均有一段内网线上的光滑余因子及弱光滑余 因子是完全自由的。 综上所述对贯穿剖分来说，所有内网线上的光滑余因子真正自由的参数为l ( ( 一：“) + ( 一p ) ( p + 1 ) ) + 芝。碟( ，) ，再加上源剖腔上的自由度( ) ，即可证明原式成立 显然，当p 2 u + 1 时j 爵一定也 o o o o o 岳o 0 0 o 0 0 o 0 o o o啦o o o 岳e 0 0 0 o 甚o o o o o 茁 o o o o o “m 0 0 0 0 o 0 0 o屯屯0 o o 屯虬0 0 o 0 0 0 o o 岳o o o o 0 0 o 0 o 0 0 0 o 岳o o o o o o o 啊o o o o o o o o o o o o o o o m 0 0 o o o 0 0 舢 0 0 0 o 0 如o 0 乱 0 0 0 0 虬0 0 o “ 第二章：研究多元弱样条的光滑余困子方法 行满秩现在我们证女= 2 p + 1 时a n 行满秩。经简单的初等列交换变换可有 其中 b c 、： ，b nd f 0 b 】 鼬2 ioo 0o 上 q z k - e f ( 奄 gh c ll i i； j o b 。q r k - l c 。r 妒2 噬p ! 罐1 一- i 一1 由：b n o 将每一行每一列的公因子提出，b o 化为 利用公式c ：1 一c o ，= q j l ，经过初等列变换b c 可变为对角元素为1 的下三角矩阵 因此b o 为行满秩，由于b l ，岛，b “+ l 结构同启。类帆同理可证b l ，岛，b i 行满 秩，即五i 行满秩，从而原系数矩阵行满秩由于原线性系统共有未知数v ( + ：+ q + t ) 矩阵秩为2 n q + 2 ，因此维数为( g j ，2 一q + ：) 证毕 事实上，k 2 p + 1 时多元弱样条一点处的维数公式将变的非常复杂通过实例计算我 们发现此时上述线性系统的系数矩阵不一定满秩，其秩与有较大的关系 设a a b c 的三个顶点坐标分别为( z l ，y 1 ) ，( 。2 ，”2 ) ，( z 3 ，3 ) ，点d = ( z o ，y o ) 为a a b c 内 的任一点。考虑如下插值问题： d ”“p ( z i ，型)= d ”l ”，( _ l ：掣1 ) d ”一p ( x 2 ，叭) = d “。1 ，( z ? ，驰) d ”。“p ( x s ，3 ) = d ”“，( ：。3 ，口3 ) l + n p 2 3 ( 21 2 ) 、， 。 ，距 咒。瞑哗 ，。 大崖理工大学砸十学位论文 d 川“p ( x o ，y o ) = d f l t , l 。f ( ：r o ，玎o ) ，+ 7 ”一1 其中d _ “，( z 。，”，) 表示i ；每，( 以，玑) ，( r ，) 为任意“阶光滑的函数j d ( 扎”) 为2 1 t + 1 阶多项式。 引理2 3 i 插值问题r p1 2 ) 是适定的 证明：由于3 ( “j 2 ) + ( 言1 ) = ( 2 “2 蝴) ，条件数与自由度个数一致，因此只需证明( 21 2 ) 右 端为0 时p ( “) i0 即可。不难证明，ps1 时时适定性成立。现证p = 2 时插值问 题是适定的。显然此时p 啦，) 为5 次多项式设a c 所在的誊线方程为f 。= 0 ，其余 直线方程记号类似。由于p ( # ，y ) 在直线4 c 上可看作一元5 次方程且沿4 c 方向在 点 c 点的育到两阶偏导均为0 ，因此可证得p ( x ，”) 在直线a c 上恒为0 ，由b e z o u t 定理可 知l , t c 整除p ( z y ) 同理l a b ，f b c 均整除p ( z ，) ，即有p ( z ，y ) = f b i b c l a c q ( x ，”) ，此 处g ( z ，们为二次多项式同上易证d a ，f d b 1 0 c 均整除q ( z ，) ，因此口( y ) e0 。b p i y _ 明f = 2 时成立。假定p = s 一3 时原结论正确，现证p = s 时原结论正确同上类似， 我们有p ( z ，) = 0 ( z ，可) 局( z ，y ) ，此处q ( ：，) = 1 - t b l s c t f a c f d i d s i d c ，显然p 0 ( z ，”) 为 2 $ 一5 = 2 ( s 一3 ) + 1 阶多项式因为在点。4 ，b 、c d 处q ( z ，) 直到2 阶偏导均为0 ，易证 明1 9 “”。p 0 ( z ：，y 。) = 0 ，1si13 。7 2 + t 儿ss 一3 ，d ”m e o ( ：r o ，y o ) = 0 ，l + 川s 一4 由归纳假 设可知p 0 ( _ 1 ，) i0 ，因此p ( f ，y ) 兰0 ，即证原结论成立。 设d 为有界开区域，l 是d 上的简型定点三角剖分，在边界线上也任意指定一定 点，在每一个胞腔内选一个内点使其不在任三个定点的连线上假定该剖分有l 条网线， 个胞腔，则有： 定理2 3 2 d i m ( w 儡+ 。( ，) ) = 工( 譬2 ) + ( ”j 1 ) 证明对每一条网线及胞腔均从1 开始编号，考虑l q + ? + q + 。维的线性空间做映 射t r _ + w ：( i r a ) ，v x k t 表示在i 删：十i 中的映射元素，且d “瓦( 玑) = 2 4 第二章：研究多元弱惮条的光滑余因子方法 x ( 【z 1 ) ( 等? + i l l r ( 1 l + 1 ) 一( 一1 ) n 2 + ，一+ 1 ) 、n + t shd 川n 了1 ( t ：? ，? ) = x ( l c j + ? 十“ 1 ) c , + i + m o ( p4 - 1 ) 一( 1 l ( i 一1 ) t o o 2 + i # 0 + 1 ) ，j ( ，+ 川sp i 其中( n m ) 为第i 条内同线 的定点，( z ? ，? ) 表示第t 个胞腔内的所选内点，一( q 表示向量z 的第 个元素。由引理 2 31 可知，t 定是一一映射，即结论成立证毕 设d 是一个矩形区域d = ( 0 ，m 】1 0 ，n 】，其中m ，n 为整数，1 一型三角剖分常记为 , - - x l 。：z = i ，v =