（概率论与数理统计专业论文）重尾随机变量的一类精致大偏差.pdf

本人完 即：学位论 质论文的内 信息情报中 中国学术期 文档，允许 保存和汇编 据库进行检 本学位 继向 重尾随机变量的一类精致大偏差 。1。1。_一 中文摘要 中文摘要 众所周知，大偏差理论是应用概率理论中研究的热点问题之一，大偏差 概率分为精致大偏差和粗略大偏差两部分对前者的研究问题之一就是在 保证大偏差概率有良好性质的同时，扩大随机变量所在的分布族近来，一 些文章关注于带相容分布随机变量的精致大偏差，并得到了等价的结果如 n g 等( 2 0 0 4 ) 1 】得到了非负独立同分布随机变量列的精致大偏差，t a n g ( 2 0 0 6 ) 2 将随机变量间的关系推广到负相依，然后c h e n 和z h a n g ( 2 0 0 7 ) 3 讨论了随机 和的情形另一方面，w a n g 等( 2 0 0 6 ) f j 在弱等价的情形下，得到了控制变化 尾的非负负相协的精致大偏差结果于是，在扩大相容分布族的同时，建立 等价形式的精致大偏差结论就成为一个值得关注的问题汪世界和王文胜 ( 2 0 0 9 ) 1 6 在长尾分布族和控制变化尾分布族中的交集即2n9 中，建立了一 个负相协随机变量序列的精致大偏差结果在本文第二章中，我们在更弱的 条件下，将汪世界和王文胜( 2 0 0 9 ) 6 1 的结果推广到了更一般的e n o d 随机变 量序列中，得到相应的大偏差结果此外，还对强次指数分布族中独立同分 布的随机变量建立了相应的精致大偏差结果作为一个应用，在第三章，我 们讨论了保险合同中索赔额的分布在pn9 中的情况，并证明了多险种模 型中索赔额和的一个精致大偏差结果 。 关键词：精致大偏差；控制变化尾；相容变化尾；长尾；负相依 作者：叶建宏 指导教师：王岳宝严继高 英文摘要重尾随机变量的一类精致大偏差 ak i n do fp r e c i s el a r g ed e v i a ti o n sf o r r a n d o mt r i a b w i t hh e a v = 5tailsoinv a r l a d i e s1 1 e a v ya l l s a b s tr a c t i t i sw e l lk n o w nt h a tl a r g ed e v i a t i o nt h e o r yi so n eo ft h eh o tr e s e a r c hi s s u e si n a p p l i e dp r o b a b i l i t yt h e o r y l a r g ed e v i a t i o nt h e o r yi sd i v i d e di n t ot w op a r t s - p r e c i s e l a r g ed e v i a t i o na n dr o u g hl a r g ed e v i a t i o n t ot h ef o r m e r ，s c h o l a r sh a v ep a i dg r e a t a t t e n t i o n st oe x p a n dt h ed i s t r i b u t i o nc l a s s e so fr a n d o mv a r i a b l e s ，e n s u r i n gt h a tg o o d c h a r a c t e r so fl a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t yh a sb e e nk e p t r e c e n t l y , s o m ea r t i c l e sh a v e g o tl a r g ed e v i a t i o n sf o rr a n d o mv a r i a b l e sw i t hc o n s i s t e n t l yv a r y i n gt a i l si ne q u i v a l e n t f o r m s s u c ha sn ge t 猷( 2 0 0 4 ) 1 o b t a i n e dp r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sf o rn o n - n e g a t i v ei n - d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ( i i d ) r a n d o mv a r i a b l e s t a n g ( 2 0 0 6 ) 1 2 1e x t e n d e d t h a tr e s e t sf o rn e g a t i v e l yo r t h a n td e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s t h e n ，c h e na n dz h a n g ( 2 0 0 7 ) 3 e x t e n d e dh i sr e s u l t si nt h ec a s eo fr a n d o ms u m s o nt h eo t h e rh a n d ，w a n g e ta 1 ( 2 0 0 6 ) 4 g o tp r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sw i t hd o m i n a t e d l yv a r y i n gt a i l si nt h ec a s e o fw e a ke q u i v a l e n c e t h u s ，i ti sw o r t h yt oc o n s i d e rt h a th o wt oe s t a b l i s hc o m p a t i b l e p r e c i s el a r g ed e v i a t i o n si nt h ee q u i v a l e n tf o r m sw i t ht h ee x t e n t e dd i s t r i b u t i o nc l a s s e s o fc o n s i s t e n t l yv a r y i n gt a i l s w a n ga n dw a n g ( 2 0 0 9 ) 5 o b t a i n e dp r e c i s el a r g ed e v i a r t i o n sf o rn e g a t i v ea s s o c i a t e dv a r i a b l e sw i t hb o t hl o n gt a i l sa n dd o m i n a t e d l yv a r y i n g t a i i s ( _ 彩n 勿) i nc h a p t e r2o ft h i sp a p e r ，w ei m p r o v e dt h e i rr e s u l t so ne x t e n d e dn e g - a t i v e l yo r t h a n td e p e n d e n tv a r i a b l e sw h i l ew e a k e nar e q u i r e dc o n d i t i o no ft h a tp a p e r f u r t h e r m o r e ，w ef o c u s e do np r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sf o ri i dr a n d o mv a r i a b l e sw i t h s t r o n gs u b e x p o n e n t i a lt a i l s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s s e dc l a i m si ni n s u r a n c ec o n t r a c t s w i t hd i s t r i b u t i o n si n2n9 a n do b t a i n e dp r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sf o rs u n l so fc l a i m s i nam u l t i - r i s km o d e l k e y w o r d s ：p r e c i s el a r g ed e v i a t i o n ；d o m i n a t e d l yv a r y i n gt a i l ；c o n s i s t e n t l yv a r y - i n gt a i l ；l o n gt a i l ；n e g a t i v e l yo r t h a n td e p e n d e n t w r i t t e nb yy ej i a n h o n g s u p e r v i s e db yw a n gy u e b a oa n dy a nj i g a o i i 一-_ 第一章引言 1 1 一些常见的分布族1 1 2 常见的相依随机变量列及大偏差概率简介3 1 3 已有成果的回顾及本文的动机5 第二章重尾随机变量的精致大偏差1 0 2 1 主要结果1 0 2 2 若干引理1 1 2 3 定理的证明1 3 第三章多险种模型中索赔额和的精致大偏差1 9 3 1 引言及主要结果1 9 3 2 定理的证明- 2 1 参考文献- 2 5 致谢j i 2 7 重尾随机变量的一类精致大偏差第一章引言 第一章引言 近年来，许多文献都致力于研究带重尾分布随机变量和的大偏差问题如 n g ( 2 0 0 4 ) 1 - 】得到了带相容变化分布的非负独立同分布随机变量和的精致大 偏差，t a n g ( 2 0 0 6 ) 【2 】进一步扩展到负相依的情形而汪世界和王文胜( 2 0 0 9 ) 8 1 在更大的范围内，建立了一个负相依随机变量的精致大偏差结果 本文综合考虑了三个方面的问题首先，在本文第二章中，我们在更弱的 条件下将汪世界和王文胜( 2 0 0 9 ) 1 5 1 的主要结果推广到更一般的随机变量序 列其次，对强次指数分布族中独立同分布的随机变量建立了相应的精致大 偏差结果第三，多险种模型是常见的风险理论模型之一，大偏差理论也是 研究多险种模型的一种方法，在本文的第三章讨论了多险种模型中索赔额 和的一个大偏差问题 1 1一些常见的分布族 大偏差理论的研究必然与一些分布族有密切的联系，因此我们首先介绍 一些常见的分布族设f 是支撑在【0 ，+ ) 或者( 一o o ，+ o o ) ，记f 的尾为 f = f ( o 。) 一f ( z ) 称分布f 为适正的，如果f ( o 。) = 1 称一个分布f 为亏损 的，如果f ( ) 0 ， e e e x = o o 否则称f 是轻尾的称随机变量x 是重尾随机变量，若其分布函数是重尾的 重尾分布中重要的的一个子族是次指数分布族，记为夕它是由c h i s t y a k o v ( 1 9 6 4 ) 1 8 引入的 1 第一章引言 重尾随机变量的一类精致大偏差 定义1 2 称支撑在( 一o o ，+ 。o ) 上的分布函数f 属于次指数( s u b e x p o n e n - t i a l ) 分布族，记为f 夕，若 j m 竺盟：2 茹。f ( x ) k o r s h u n o v ( 2 0 0 2 ) 7 引入了夕的一个子族，称为强次指数族，记为只 定义1 3 称支撑在( 一o o ，+ o o ) 上的分布函数f 属于强次指数( s t r o n g s u b e x p o n e n t i a l ) 分布族，记为f 5 e , ，若其均值有限，且 1 ；。r 2 ( 引一2 。 h m 尘掣= 霉。t k ( 钍) 对“一致成立其中，当z 0 时瓦( z ) = r a i n 1 ，e 札f ( y ) d y ，z 0 时，瓦( z ) = 1 定义1 4 称支撑在( 一o o ，+ ) 上的分布函数f 属于长尾( l o n gt a i l e d ) 分 布族，记为f 乡，若对任意给定的y ( 一o 。，一c o ) ， l i m 掣：1 茹。 t 飞z ) c n 皿e ( 1 9 9 4 ) i s l 引入了重尾分布族够，称为相容分布族或者一致分布族 定义1 5 称支撑在( 一。o ，+ 。) 的分布函数f 属于相容分布( c o n s i s t e n t l y v a r y i n g ) 族，f 够，若 l i m l i m s u p 帮= - l i m l i m 鲁f 鬻_ 1 定义1 6 称支撑在( 一o 。，+ ) 上的分布函数f 属于广义正则变化( e x - t e n d e dr e g u l a rv a r i a t i o n ) 分布族，记为f 黝少( 一a ，一p ) 若存在某0 a p o o ，满足 掣呕唑警鬻_ l i m s u p 鬻舛、 若a = p ，则称f 属于正则变化族，记为f 砑一 定义1 7 称支撑在( 一o 。，+ o 。) 上的分布函数f 属于控制变化尾( d o m i - n a t e d l yv a r y i n gt a i l s ) 分布函数族，记为f 勿，若对一切0 y x n ) p ( x k 巩) ( 1 2 2 ) k - - - - 1 ( 3 ) 称随机变量列 托，k = 1 ，2 ，) 是n o d ( n e g a t i v e l yo r t h a n td e p e n d e n t ) 的，若对每个n = 1 ，2 ，及所有的z 。，z 竹有( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 成立 3 第一章引言 重尾随机变量的一类精致大偏差 最近l i u ( 2 0 0 9 ) 1 4 提出了比n o d 相依结构更广泛的一个概念 定义1 1 0 一族有限个随机变量 扎，k = 1 ，2 ，佗) 称为是e n o d ( n e g a t i v e l y o r t h a n td e p e n d e n t ) 的，若存在一个常数m 0 ，使得 及 p ( 蜀x l ，k z n ) sm i ip ( 托孤) k = l n p ( x 1 z 1 ， ) mi i 尸( 五 z 知) k = l 对每个礼= 1 ，2 ，他和所有的z 。，z 2 ，z 竹都成立 为使用的方便，我们给出如下的记号与概念： 定义1 1 1 对任葸的y 1 ，记 瓦( 可) i mi n f - f 删( x y ) ， 巩) _ 1 i m s u p 铬， l f = l i 婵f ( 秒) ， l ，1 1 。 j ；= i n f 一百l o g f , ( y ) 1 ) - - 恕掣 其中占称为分布函数f 的上m a t u s z e w s k a 指数当f 9 时有如下性质 ( 参见t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) 1 5 1 ，b i n g h a m 等0 9 8 7 ) f l q ) ： f 勿铮搴( 可) 0 ，v y 1 错_ 搴( 矽) 0 ，3 y 1 铮l f 0 甘竹 ， f 9 令j ； 是非负独立 同分布的，其共同分布f 黝少( 一0 f ，一p ) ，则( 1 2 3 ) 式对z 死= 胁，+ o o ) 一致成立，其中，y 0 ，1 口p 0 ， 其中n ( t ) 一个是独立于 甄，k 1 ) 的非负整值过程，且当t 0 0 时，入( t ) = e n ( t ) 一k l u p p e l b e r g 和m i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 1 1 8 】将定理1 a 推广到随机和情形 定理1 b ( k l u p p e l b e r g 和m i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 1 1 8 】) 设随机变量列 虬，k 1 ) 是非 负独立同分布的，其共同分布f 彻少( 一口，一p ) ，其中1 0 ， e ( 1 + e ) ( t i n c t ) ( 1 + 6 ( 幻) 。= ( 1 + e ) 七p ( ( t ) = 后) 七 ( 1 + 占) ( t ) = d ( 1 ) ( 1 3 2 ) 则对任意的，y o ，z - r a ( t ) 一致地有， 5 第一章引言重尾随机变量的一类精致大偏差 p ( s ( t ) 一p a ( t ) z ) 一a ( t ) f ( z ) ，t _ o o ( 1 3 3 ) 辰p hm。sup霉su岭p。幻i呈垒墅等专群一1 l = o t 霉岭( t ) 【z j l z j n g 等( 2 0 0 4 ) q ，又在重尾分布族够中对独立同分布的随机变量研究了精致大 偏差的结果 定理i c ( n g 等( 2 0 0 4 ) 1 】) 设 虬，k 1 ) 是非负独立同分布的随机变量，有 共同的分布函数f 够，期望有限，则 ( 1 ) 对任意固定的，y 0 ( 1 2 3 ) 对z 0 n 一致成立 ( 2 ) 若非负整值过程 ( t ) ，t o ) 独立于随机变量列【甄，七1 ) 且n ( t ) 满 足假设( 1 3 2 ) ，则有( 1 3 3 ) 对z ，y 入( t ) 一致成立 。t a n g ( 2 0 0 6 ) 2 对负相依的带相容分布尾的随机变量和的情形进行了讨论 c h e n 和z h a n g ( 2 0 0 7 ) 1 3 1 又研究了随机和的情形，并给出了对应于t a n g ( 2 0 0 6 ) 2 的随机和大偏差结果，最近s h e n 和l i n ( 2 0 0 8 ) t m 证明了加权和情况下的精致 大偏差结果 定理1 d 设 虬，k = 1 ，2 ，) 是n o d 随机变量序列，有共同的分布f 够， ( 1 ) ( t a n g ( 2 0 0 6 ) 2 ) 若其均值为0 ，且满足条件 。f ( 一z ) = o ( f ( z ) ) ， z c o ( 1 3 4 ) 则对任意给定的，y 0 有 p ( & z ) 一n t ( z ) ， 死_ 。 对z 7 n 一致成立 当序列 x k ，= 1 ，2 ，) 相互独立时，条件( 1 3 4 ) 不再需要 ( 2 ) ( c h e n 和z h a n g ( 2 0 0 7 ) a ) 若随机变量序列有负的有限均值p ，且满足条 件( 1 3 4 ) ，n ( t ) 是独立于 虬，k 1 ) 的整值过程，且满足( 1 3 1 ) ，又e i x l l 7 1 为某个确定常数则对任意的7 ( 1 3 3 ) 对z - y a ( t ) 一致成立 ( 3 ) ( s h e n 和l i n ( 2 0 0 8 ) 1 9 】) 若随机变量的均值为0 ，满足假设( 1 3 1 ) ，又 以，忌 1 ) 为独立于【托，七= 1 ，2 ，) ，的随机变量序列，且对所有的k = 1 ，2 ，都成 6 重尾随机变量的一类精致大偏差 第一章引 立 p ( a 6 k b ) = 1 ，0 z ) 一p ( e k x , 。 善) ， n _ 0 0 k - - 1 其中穰= 2 。以凰 w a n g 等( 2 0 0 6 ) 4 1 又将研究对象从相容分布族推广到控制变化尾分布族 勿中 定理1 e ( w a n g 等( 2 0 0 6 ) 1 4 1 ) 设 虬：k 1 ) 是非负同分布n a 随机变量序 列，其共同的分布函数f 9 ，且期望有限 ( 1 ) 则对任意的，y 0 ， k l i m i n f 蒜等挈l i r a s u p s u p 挈鲕1 ( 2 ) 设n ( t ) 是独立于 甄，k 1 ) 的整值过程，且满足存在p 昂，有 e p ( t ) 丘( t ) ( 1 + 占) a ( t ) ) = d ( 入 ) ) ， 则对任意的，y 0 ， l 唔掣蒜幻絮群姊1 一t 一 ”( t ) 入( t ) f ( z ) 一 。 对勿上的精致大偏差的讨论，k o n g 和z h a n g ( 2 0 0 7 ) 2 0 】也得到了勿上不同 分布的一个大偏差概率的结果 定理1 f ( k o n g 和z h a n g ( 2 0 0 7 ) 1 2 0 】) 设 瓦，k 1 ) 是非负独立的随机变量 序列，的分布为f k ，e 托= 纵 1 n佗，【zj y ( i i ) 对每个固定的- y 0 ，0 岛肛 i m i n f inf塑喘黔型c1f(1-i-x_-rx(t)半) t o o 入( t ) f 0 ) 一 7 ( i i ) 对每个固定的7 岛p ，0 m z ) 一履( z ) ，n _ 0 0 其中危一- 为h 的反函数，以及 形( f ) _ 似小【0 ，删邯问m to o 掣川掣叫 此外，对次指数分布族大偏差概率的讨论也是热点问题之一，如k o n g 和 g u o ( 2 0 0 7 ) 2 1 】讨论的如下结果 重尾随机变量的一类精致大偏差第一章引言 定理1 h ( k o n g 和g u o ( 2 0 0 7 ) 2 1 】) 设 1 使elx 1i r 0 ，h ( x ) 7 n 一致地有 p ( 晶 z ) 一厅( z ) ， 即 h m s u p h 器i 挈- 1 | 一o n _ ，l ( 茁) 2 ，y n佗，。l z j 其中形( f ) = ) ： o ，+ ) _ 【o ，+ ) ； ( z ) to 。，警_ 0 ，帮_ 1 ) 注2 1 对于期望p 0 时，定义瑶= 拖一p ，则e z l = o ，磁忌f ( z + p ) 一 f 0 ) ，p ( & 一佗p z ) = p ( 瓯 z ) ，因此定理2 1 同样可以用于对期望不为零 的随机变量列的精致大偏差问题的讨论 下面给出定理2 1 在随机和形式下的一个精致大偏差结果 定理2 2 设 拖，七1 ) 是e n o d 随机变量序列，有支撑在( 一。o ，+ o o ) 上 共同的分布函数f 乡n9 ，期望p = 0 ，且存在r 1 使elx 1i r 0 ，及某个p 矗，有 e p ( t ) 厶( t ) ( 1 + d a ( t ) ) = d ( 入( t ) ) ， ( 2 1 2 ) 重尾随机变量的一类精致大偏差第二章重尾随机变量的精致大偏差 r r n 令s n ( t ) = x k ，则对任意给定常数，y 0 ，h ( x ) 7 入( t ) 一致地有 p ( 5 ，( t ) z ) 一a ) f ( z ) ， 即 h 恐p s m u p 婶，i 群刈- o 定理2 3 设 x k ，k 1 ) 是支撑在( 一，+ ) 上的独立同分布随机变量 序列，其共同的分布函数f 5 0 , 且0 0 ，h ( x ) ，y 佗，n o 。一致成立 2 2若干引理 引理2 1 ( c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 2 2 1 ) 设随机变量x 有支撑在( 一，+ o o ) 的分布为只则f 2 ，当且仅当 澎( f ) _ ：【0 i + c o ) - - , 0 , + c o ) ；h ) to o ，掣川掣叫舢 由于pn 勿c 乡，只c2 ，从而对于f 2n9 或者f 只都有澎( f ) 非空 引理2 2 设 虬，k 1 ) 是e n o d 随机变量序列，有支撑在( 一，+ o o ) 共 同的分布函数f 勿及期望p = 0 ，则对任意固定，y 0 都有 l i m 竹。s u p 霉s u p 竺辫l ；1 n 一霉之 币f g f 引理2 2 的证明可利用e n o d 的定义和类似于高强和王岳宝( 2 0 0 8 ) 1 2 a 中 定理0 i 的证明过程得到 引理2 3 设【玩，k 1 ) e n o d 随机变量序列，有支撑在，( - - 0 0 ，+ ) 共同 的分布函数f 辱勿及有限期望p = 0 ，则对任意固定，y 0 ，必存在独立于z 和n 的常数c ，使得对z 似存在n o 0 ，当n n o 时有 p ( & z ) c n f ( x ) 第二章重尾随机变量的精致大偏差重尾随机变量的一类精致大偏差 证明：由引理2 2 有 h m s u p s u p 等挈鲥， n _ 1 ，l 仡，i zj 即存在n o 使对n n o ，z 7 n 一致地有p ( & z ) 2 坛1 n f ( z ) 从而存在独 立于z 和扎的常数c = 2 l ；1 ，使对一切礼 n o 有 p ( & x ) c n - f ( x ) 。 引理2 4 设 尥，k = 1 ，2 ，) 是定义于( 一，+ o o ) e n o d 随机变量序列， 有共同分布f 和期望f 1 使e i x l l r 。o ，则对任意0 0 使得 p ( s k z ，广! l ( j 已p z ) ) c x 一工! 高竽+ 1 引理2 4 的证明类似于c h e n 和z h a n g ( 2 0 0 7 ) 3 中引理2 4 的证明过程 引理2 5 设 凰，k 1 ) 是e n o d 的同分布随机变量序列，具有支撑在 ( 一，+ o o ) 上共同的分布函数f 和有限均值p ，则对任意u 0 存在常数c 使得 p ( & z ) n - f ( x v ) + c ( n x 一1 ) 砉 引理2 5 的证明可由e n o d 定义和参考t a n g ( 2 0 0 6 ) 2 引理2 3 的证明得 到 引理2 6 ( t a n g 和t s 托s i 口s 胁沈( 2 0 0 3 ) 【1 目) 若支撑在( 一6 0 ，+ 。o ) 的分布f 勿，则1 筇 昂，有 z _ p = d ( f ( z ) ) 引理2 7 ( k o u s h u n o v ( 2 0 0 2 ) r ) 设 五，i 1 ) 是独立同分布随机变量序列， 有支撑在( 一o o ，+ ) 上的共同的分布函数f 只，期望e x l = p 小7 亩z f(秒)扎ypx+nlpl 1 1 2 重尾随机变量的一类精 令 定理2 1 的证明：首先我们来证 l i m i n fi n f ! ! 墨三型 1 n 一h ( x ) t n n - f ( z 1 一 a = 五 z + 九( 。) ，l g m a t x n 玛z + ( 。) ) ，江1 ，2 ，n 由 a i ，1 i 佗) 的构成可知它们是两两不交的，则有 首先对以知 p ( & z ) p ( & z ，u 墨1 a ) nn = p ( a ) 一p ( & z ，a t ) i = 1= 1 兰以一如 ( 2 3 1 ) 五= i p 0 ( 矾。鲥n 玛卅) ) 2 - - - - 1p 加枷( 瑚一i t i a x 尸( 五加蛳( 矾，爨。x a 枷( z ) ) i = 1t = 1 n - # ( x + 危( z ) ) 一p ( x i z + ( z ) ，玛 x + 危( z ) ) i = l1 1 9 i n n f ( x + 九 ) ) 一m 2 ( 厅( z + ( 。) ) ) 2 一佗f ( z ) ( 2 3 3 ) 最后一步等价条件用到如下性质1 i ms u p 谚( z + ( z ) ) = 0 ，而这可由e x 一h l o ) 1 的存在性知， l i m s u pn f ( x + 允( z ) ) l i r an f ( t n ) = 0 n 。0 07 l ) 似 n 。o 。 1 3 第二章重尾随机变量的精致大偏差 重尾随机变量的一类精致大偏差 对j 2 ，现令酊= - m i n x j ，0 ) ，则 也2 善p ( 奶如卅以n1 鳓m a x 鱼x j 如( z ) ) 刀 pi 一 ( 。) ，叫 - m 死f ( z ) 一n 一h ( x ) - mn f ( x ) 下证 h m s u pm s u 脚p 等掣t x ) n 竹一 0 ) 之1 n 扎， 对v 0 x - h ( z ) ) + p ( 晶 z ，髭：玛 蚀) + p l 跏而1 m y a x 。x j 剑叫 矗f ( z 一 ( z ) ) + 乏二尸( s k 一五 九( z ) ，五 p z ) + p ( s k z ，n 磐l x 口z ) ) 兰k 1 ( z ) + 鲍( z ) + 蚝( z ) ( 2 3 5 ) 1 4 、_、 a a 4 动 动 皂 m m 小 一 一 缸 - 忍 巧 巧 八| 确n触膏 ，、 、1 文“n触 n p ：l n p ：- 重尾随机变量的一类精致大偏差 第二章重尾随机变量的精致大偏差 显然由h j e ( f ) 知， 蜀( z ) 一庙( z ) ， ( 2 3 6 ) 再由e n o d 的性质 鲍( z ) = p ( & 一五 九( z ) ，五 o x ) 腑( p z ) 尸( & 一五 ( z ) ) = m - f f ( o x ) n p ( s n l ( z ) ) m l - f f ( e x ) n ( n 一1 ) f ( ( z ) ) = d ( 礼f ( z ) ) ，( 2 3 7 ) 最后第二个不等号用到引理2 3 ，m ，尬为常数再由引理2 4 ，以及类似于汪 世界和王文胜( 2 0 0 9 ) 1 5 1 中定理2 1 的证明有 勇，3 ( z ) = o ( f ( x 一九( z ) ) ) ， 。 ( 2 3 8 ) 由( 2 3 7 ) ，( 2 3 6 ) ，( 2 3 7 ) ，( 2 3 8 ) 得 唑p 泌n 挈 1 ( 2 3 9 ) n 一。o ( 霉) 一y n 钆，。【z j 结合( 2 3 1 ) ，( 2 3 9 ) 可知定理2 1 成立 口 定理2 1 的证明参照了l i u ( 2 0 0 9 ) 1 4 】引理3 7 以及汪世界和王文胜( 2 0 0 9 ) t 5 1 定理2 1 证明中的细节处理 定理2 2 证明：对任意0 z ) p ( ( 亡) = n ) = i + + l 尸( & z ) p ( ( t ) = 佗) - ( 1 + 占) a ( t ) = 厶+ 2 + 厶 ( 2 3 1 0 ) 由条件( 2 1 2 ) 及n g 等( 2 0 0 4 ) 1 】引理2 4 可知 n ( t ) p ， 丽_ l 第二章熏尾随机变量的精致大偏差 重尾随机变量的一类精致大偏差 当礼 南竹，由定理2 1 知 =f尸( x ) p ( n ( t ) = 佗) 住 0 有 1 2 = fp ( x ) p ( n ( t ) = 死) ( 1 一占) a ( t ) s 竹( 1 + 回a ( t ) n - f ( x ) p ( n ( t ) = 礼) ( 1 一占) j ( t ) n ( 1 + 6 ) a ( t ) a ( t ) - f ( x ) p ( j n ( t ) 一入( t ) l 双( 亡) ) a ( t ) f ( z ) ( 2 3 1 2 ) 由引理2 5 ，引理2 6 及条件( 2 1 2 ) ，取u = ；1 z ) p ( 0 ) = n ) 忭 ( 1 + j ) a ( t ) 芝二 ( n f ( x p 一1 ) + ( c o ( n z 一1 ) p ) p ( ( 亡) = n ) n ( 1 + 6 ) ( 扪 = 0 ( 1 ) ( - f ( x ) e n ( t ) i ( n ( ) 之( 1 + 6 ) 入( t ) ) + x - v e n ( t ) i ( n p ( t ) 芝( 1 + 6 ) a ( t ) ) ) = d ( 入( ) f ( z ) ) ( 2 3 1 3 ) 结合( 2 3 1 0 ) ，( 2 3 1 1 ) ，( 2 3 1 2 ) ，( 2 3 1 3 ) 有定理2 2 结论成立 i i 上述定理的证明采用了w a n g 等( 2 0 0 4 ) 4 1 定理2 2 以及汪世界和王文胜 ( 2 0 0 9 ) s 定理2 2 中的证明思路 1 6 重尾随机变量的一类精致大偏差第二章重尾随机变量的精致大偏差 定理2 3 证明：危( $ ) 如引理2 ：1 中定义， 从而 p ( & 一e & z ) = p ( & z + 叩) 竹 p ( 晶 z + 掣，五 z + 九( 。) ，玛 ( z ) ，z ) i = l n p ( & 一x 1 叩一九( z ) ，x 1 2 十h ( z ) ，恐h ( z ) ，九( z ) ) = n f ( z + 危( z ) ) p ( 一1 n p 一危( z ) ，x 1 允( z ) ，j 0 1 九( z ) ) n - f ( x + 尼( z ) ) ( p ( s k 一1 n p 一九( z ) ) 一( n 一1 ) p ( x 1 九( z ) ) ) ， l i mi n f i n f p ( s , t - ：e 。s _ ：n 一x ) n - - 0 0 l i i 忙) 佗f ( z ) 由大数定律 而 l i mi n f h ( x 肼) - m 掣 一n 一 礼f ( z 1 l i n m 。i n f 协i n ) 2 f p ( & 一l 叩一九( z ) ) 一m 一1 ) p ( 噩 ( 。) ) ) ( 2 3 1 4 ) l i n r a 。i n f ( i n ) 2 f 似p ( & 一1 叩一九( 。) ) _ l i r a i n f ( ! 尸( & 一l n 似一，y ) ) = 1 ， ( 2 a 1 5 ) l i m s u ps u p ( 佗一1 ) p ( 墨 危( z ) ) n h ) ” sl i m s u ps u p ( n 一1 ) p ( x 1 7 佗) = 0 ， ( 2 3 1 6 ) n _ h ( x ) 1 i 从而由( 2 3 1 4 ) ，( 2 3 1 5 ) ，( 2 3 1 6 ) 有 l i mi n f i n f p ( s , t - ：e s n 一x ) 1 n 一。o _ l 如) 7 n n f ( x 1 一 再令b p 0 ，有 p ( & 一轨 。) z ) ， ( 2 3 1 7 ) 此时有e ( 玛一b ) = p b o ，v n 1 ，j 1 + ，当z 1 时有z h ( x ) 7 n ，从 第二章重尾随机变量