（应用数学专业论文）一类改进的混沌模型及其在广义同步中的应用.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 首先研究并改进了b a b l o y a n t z h i e m a u x 生化反应模型和g i e r e r - m e i n h a d t 模 型，然后提出了一种非线性广义同步方法。b a b l o y a n t z - h i e m a u x 生化反应模型和 g i e r e r m e i n h a d t 模型是近年来才发展建立起来的一类非线性系统，它们与具体 的生化反应有着紧密的联系。b a b l o y a n t z h i e r n a u x 生化反应模型研究了多种分子 参加的生化反应，用一个三维常微分方程表示。g i e r e r - m e i n h a d t 模型以形成颞 部骨块的各反应物为对象，以其反应速度为参数，研究了颞部骨块形成过程。本 文在原b a b l o y a n t z h i e m a u x 生化反应模型和g i e r e r - m e i n h a d t 模型的基础之上， 通过添加一个参数，对其中的一种反应物浓度加以控制，进而形成了改进的 b a b l o y a n t z - h i e m a u x 生化反应模型和g i e r e r - m e i n h a d t 模型。本文研究了它们的 平衡点和极限环的存在性、稳定性等性质，并且给出了b a b l o y a n t z h i e m a u x 生化 反应模型的一个混沌模型。 其次研究了g e n s i o 系统的动力学性质，提出了一类非线性的广义同步的方 法。并将此方法应用于改进的b a b l o y a n t z h i e r n a u x 生化反应模型，分别得到线性 和非线性广义同步，丰富和完善了广义同步的理论。 关键词：生化反应；分岔；极限环；稳定性；b a b l o y a n t z h i e m a u x 生化反应模型； g i e r e r - m e i n h a d t 模型；g e n s i o 系统；广义同步 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，w ef i r s tm a k es o m er e s e a r c ho nt h eb a b l o y a n t z - h i e m a u x b i o c h e m i c a lr e a c t i o n s y s t e m sa n dg i e r e r - m e i n h a d tb a b l o y a n t z - h i e m a u xs y s t e m s ， t h e n i m p r o v e t h e m ，a n dp r o p o s ea na p p r o a c ho fr e a l i z i n gg e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n s g i e r e r m e i n h a d ta r en o n l i n e a rs y s t e mw h i c hw e r eb u i l tr e c e n t l y , a n dt h e ya r er e l a t e d c l o s e l y t ob i o c h e m i c a lm e a n i n g s t h er e s e a r c ho nt h e b a b l o y a r t t z - h i e r n a u x b i o c h e m i c a lr e a c t i o ns y s t e m si sa b o u tt h eb i o c h e m i c a l r e a c t i o na t t e n d e db ys o m em o l e c u l e s ，t h e ya r et h r e e d i m e n s i o no r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s g i e r e r - m e i n h a d ts y s t e m sa l eb a s e do nt h er e s e a r c ho ft h ef o r m i n gp r o c e s s o f t h et e m p o r a lb o n e s ，t h er e a c t i n gs p e e do f t h e i rr e a c t a n t si su s e da st h ep a r a m e t e r s 。 o nt h eb a s i so ft h er e s e a r c ha b o u tt h eb a b l o y a n t z h i e r n a u xb i o - - c h e m i c a lr e a c t i o n s y s t e m s ，w ep r o p o s ea na p p r o a c ho f i n t r o d u c i n g ap a r a m e t e rt ot h es y s t e m st oc o n t r o l t h ed e n s i t yo ft h er e a c t a n t ；t h e nw eg e tan e wm o d e l ，i ti st h ei m p r o v e db a b l o y a n t z h i e r n a u xb i o c h e m i c a lr e a c t i o ns y s t e m s t h e nw em a k es o m er e s e a r c ho nt h eg e n s i os y s t e m sd y n a m i c a lp r o p e r t ya n d p r o p o s ea n e w a p p r o a c ho f r e a l i z i n gg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n s t h e nw ea p p l yt h i s m e t h o do nt h en e ws y s t e m s ，a n dr e a l i z es o m el i n e a ra n dn o n l i n e a rg e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n o u re f f o r t sm a k et h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nt h e o r ym o r e c o m p l e t e k e yw o r d s ：b i o c h e m i s t r yr e a c t i o n ，b i f u r c a t i o n ，l i m i tc i r c l e s ，s t a b i l i t y , b a b l o y a n t z h i e m a u xb i o c h e m i s t r y r e a c t i o n s y s t e m s ， g i e r e r - m e i n h a r d t m o d e l ， g e n s i o s y s t e m ， g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n i i 学位论文版权使用授权书 y9 3 8 0 8 3 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保窜并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电予版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫播等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密匹 学位译文作者签名：际宅呼 渤年月汐日 指导教师躲锄码 上护妒f年6 月沙日 独创性声明 本人郑重声明：所里交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作器成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：f 拳也唪 日期：o 年f 月f 岁日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章主要介绍了广义同步的发展现状，对b a b l o y a n t z h i e r n a u x 模型和 g i e r e r - m e i n h a d t 模型的生化反应背景及发展现状作了简明介绍：阐述了本课题 的研究现状、研究目的和意义以及本文的章节安排。 11 混沌及广义同步的回顾及展望 客观物质世界表现为一定的形状和随时间演化的状态改变即运动，对物体运 动变化的研究称为动力学。动力学所研究的对象是动力系统。从某种意义上讲， 动力系统指的是一种抽象的运动，是系统所有运动特性的综合。 非线性是相对于线性而言，它指自变量和因变量之间没有成正比或反比那样的 线性关系。当然在实际情况下，不会只有两个变量那么简单；非线性表示系统受非 线性微分或差分方程支配。自然界和社会中充满了以菲线性关系存在着的现实或过 程，称为非线性动力学系统。如气象变化、股市的涨落、脑电信号的变化、神经放 电、心电节律的改变等，都可成为非线性动力学系统。非线性动力学研究非线性系 统各种运动状态的定性和定量变化规律( 即动力学特性) ，尤其是系统的长时间演 化行为。概括地说，非线性动力学的主要任务是探索非线性现象的复杂性。 随着非线性科学的发展，非线性动力学理论应运而生。非线性动力学理论是 一个大的范畴，混沌理论、分叉理论、分形理论和孤立子理论等都包含在其中。 非线性特性( 平衡点稳定性、分叉、混沌、周期解、周期运动稳定性等) 分 析是研究非线性系统的一个重要内容。自然科学和技术的发展，正在使传统的学 科划分和研究方法发生深刻的变化。学科之间的相互渗透和传统学科与日新月异 的新技术的结合，促进了大批综合性边缘学科的孕育和发展。这种发展的一个重 要特征是“非线性”，以研究各门传统学科中非线性问题的共性特征和运动规律 以及发展处理它们的方法为目的的非线性科学正在成为跨学科的研究前沿。非线 性科学的发展从根本上影响和改变着整个科学体系。目前，人们已经认识到，正 是非线性创造了我们面前五彩缤纷的世界。 作为非线性科学中最重要的成就之一，动力学系统中复杂现象的发现以及混 沌学的创立和发展，开创了非线性科学的新纪元，被誉为2 0 世界物理学上继相 江苏大学硕士学位论文 对论和量子力学之后的第三次革命。 混沌( c h a o s ) 是确定性的非线性系统表现出的看似无序但又有规律的复杂 行为，由于混沌对初值的敏感依赖，这种行为难以预测。混沌学是- - 1 3 研究这萃 复杂非线性现象自身规律的科学。 混沌学的渊源可以追溯到1 9 世纪，公认的发现混沌的第一位学者是法国鹈 理学家p o i n c a r e h ，他在研究太阳系三体运动时，发现三体引力相互作用时能产 生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的解具有不可预见性，这就是混沌现象。 p o i n c a r e h 之后大批数学家和物理学家为混沌理论的建立进行了宝贵的知识移 累。 2 0 世纪中叶，混沌学理论取得了两个重要突破。第一个是作为用微扰方注 处理不可积系统取得的最成功的结果之一的k a m 定理的建立；第二个是美国气 象学家l o r e n ze 在研究长期天气预报问题时，发现了耗散系统中的混沌现象， 并发表了确定性非周期流等三篇文章，揭示了混沌系统的一些特征，如对杠 值的敏感依赖，长期行为的不可预测性，并发现了第一个混沌吸引了l o r e l l 2 吸引子，为以后的混沌研究开辟了道路。 2 0 世纪7 0 年代初开始，混沌学研究在多个领域同时展开，形成了世界性的 研究热潮，并取得了极大发展。1 9 7 1 年法国数学物理学家r u e l l e d 和荷兰的 t a k e n s f 联名发表了“o n t h en a t u r eo f t u r b u l e u c e ”一文，用混沌解释了湍流的 形成机制。种群生态学家m a y r 发现了描述种群演化的l o g i s t i c 方程有规律的 倍周期分岔现象，这个发现对混沌学研究起了巨大的促进作用。1 9 7 5 年，华人 学者李天岩和y o r k e j 在a m e r i c am a t h e m a t i c s ) ) 上发表了题为“周期三蕴涵混 沌”的论文，该文提出了l i y o r k e 定理，描述了混沌的数字特征，揭示了混沌的 演变过程，为以后的一系列研究开辟了方向。在该论文中首次引入了“混沌 ( c h a o s ) ”一词，并被后来的学者广泛接受。1 9 7 6 年，法国天文学家h e n o n m 通过对l o r e n z 模型的简化得到了二维的h e n o n 映射，绘制了该混沌的吸引子， 并研究了其复杂的结构特征。1 9 7 7 年夏，在意大利召开了关于混沌研究的第一 次国际大会，迸一步促进了混沌学研究的展开。1 9 7 8 年美国物理学家 f e i g e n b a u m m j 发现了倍周期分岔通向混沌过程中的两个普适常数，成为混沌学 研究的一个重要里程碑。 江苏大荦硕士学位论文 进入2 0 世纪s o 年 弋，混 落学豹研究礴到迸一步发震。1 9 8 0 年美箧数学家 m a n d e l b o r tb b 。用计算机绘制了第一张m a n d e l b r o t 集的图形。德圊教授p e i t g e n h o 和r i c h t e rp h ，利用分形流域的边界作出了绚丽多彩的混沌图象。1 9 8 4 年著 名潺漉学家郝糖蕊院士编簧匏e h a o s 一书鑫媛，麓述了混淹臻究静一些理论 结果。t 9 8 6 年，第一届中国混沌会议在桂林召开，促进了全国范围内的混沌研 究的广泛展开。1 9 9 0 年，我国学者徐京华在世界上第一个提出了三种神经细胞 静复会鼹络中存在豹混淹瓣蒙。搬弄范围凑，每年都宥大量静与潺滗相美游酝究 得到各类基金的资助。中嗣国家攀登计划( 9 7 3 计划) 关于 线性科学的重要项 目中，混沌研究在三十个项目中位于第四位。在以后每年的国家自然科学基金项 瞽中都有与混沌楣兼的研究顼目褥到资助。可见我国学术秀对混淹辨究的重视程 度。 近年来，混沌学广泛地渗透到其它学科领域，不仅包括数学、物理学、化学、 天文学、气象学、熏耪学、经济孥、信息辩学、电子学、电工学等蠢然科学颁域， 薅且包括哲学、音球和艺术等社会科学颁域。混渡学研究在世界范濯内，得到了 全面发展。世界著名杂志n a t u r e ) ) 、( ( s c i e n c e ) ) 、( i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f b i f u r c a t i o n a n dc h a o s 、( p h y s i c sl e t t e rr e v i e w ) ) 等不断报道混淹理论研究盼新成果，我国静 c h i n e s ep h y s i c sl e t t e r ) ) 、物理学报、物理学进展等重要载铡也大量刊登 混沌研究的论文。 混沌研究的一个重要分支是提沌同步，混沌同步可分鸯：全同步【1 ( i d e n t i c a l s y n c h r o n i z a t i o n ，郓邋鬻意义下豹圈步) ，脉；孛曩步捧 1 0 】( i m p u l s es y n c h r o n i z a t i o n ) 和广义同步【3 ，6 , 1 1 】( g e n e r a ls y n c h r o n i z a t i o n ) 。由于通常意义下的同步仅愚广义同 步的一种特殊情况，而且在物理世晃中，参数失配和各种失粪总是存在、不可避 免兹，瑟童参数摄动、售遂失真等滠强弓| 起兹不浑步，也可以毅鼓为是广义曩步， 因此广义同步比全同步的应用领域更为宽广。文献 6 】用解析的方法研究并实现了 一类混淹广义同步。文献f 埽u 用濑沌广义同步设计了一种与信道无关的溉沌保密 透绩系统。 混沌研究的成果正在影响着囱然科学和人类社会的发展，并且还会农将来豹 科学发展中起重要作用。藏如郝柏林院士所断言的混沌研究“正在促使熬个现代 箱谖体系残为新群学”。霹混淹淫圣叁匏送一步磷突移应焉蝥将极大绝瞧进当我 江苏大学硕士学位论文 _ h 一一 科学技术的发展。 1 2 混沌研究的意义 混沌理论的研究是一个极富挑战的具有交叉学科性质的重大课题，具有巨大 的应用潜力，因而也是意义极其重大而又深远的课题。特别是9 0 年代以来混沌 网步与控制的突破性进展及由此激发起来的混沌研究热潮，给混纯的可能应用带 来了新的契机，为人们展现了十分诱人的应用与发展前景。 混沌研究的应用和前景可以粗略地概括如下： ( 1 ) 在工程上的应用。如振动控制、非线性电路的镇定、加速溶液混合和 化学反应、提高激光器性能、流体力学、家用电器等。美国海军研究实验室的 个研究小组利用混沌跟踪控制法，在激光装置上不仅在很宽的功率范围维持激光 稳定运行，而且惊人地把激光输出功率提高到1 5 倍。几年前，美国宇航总署 ( n a s a ) 的科学家们利用三体问题的混沌特性及对于微小扰动的极度敏感性， 使用非常少量的残余氢液燃料把一个i s e e 3 i c e 飞行装置送到太阳系以外。龙 运佳等1 9 9 5 年研制出的具有很强的几何非线性及物理非线性的混沌激振器可作 为各种振动作业器械的高效振源。 ( 2 ) 在智能信息处理中的应用。混沌是自律地产生动力学信息的系统，如 果能够使不失去自律性的信息转化为有用的东西，则有可能利用简单器件就能实 现较复杂的功能。利用具有某些约束的混沌现象为实现诺依曼型搜索给出了重要 的启示。在模式识别、非线性系统的辨识等方面混沌理论都有其用武之地。 ( 3 ) 在通讯方面。如保密通讯、扩频、信息压缩与存储等。利用混沌同步 实现保密通讯是近十多年来竞争最激烈的应用研究领域，直接利用混沌通讯也十 分活跃。 ( 4 ) 在医疗和生物方面。脑神经系统，心肌细胞、心电图、血小板生成、 肾小体等都成为“生物混沌学”的研究对象。利用混沌控制技术可以研究一种心 脏整律器及去纤维颤振器。 ( 5 ) 在计算机方面。如实现丰富多彩的计算机图形、计算机图形压缩、研 究超高容量的动态信息存储器等。有人把神经、模糊、混沌合在一起，称之为“新 一代的模糊计算机技术”。 4 江苏大学硕士学位论文 ( 6 ) 在社会经济方面。如经济预测和调整、金融分析、流行病分析、天气 预报、地震预测等。 1 3 本文的章节安排 本文首先研究并改进了b a b l o y a n t z h i e m a u x 生化反应模型和 g i e r e r - m e i r t h a d t 模型，分析了它们平衡点的稳定性、极限环的存在唯一性等定 性性质，给出了改进的b a b l o y a n t z h i e m a u x 生化反应模型的一个混沌的例子。提 出了一种非线性广义同步方法，结合已有的线性广义同步理论实现了一类改进的 混沌模型的线性和非线性广义同步，丰富和完善了广义同步理论。 本文第一章主要阐述混沌理论发展的历史、研究现状及应用；第二章主要研 究动力系统基本理论和混沌广义同步的基本理论；第三章主要介绍了 b a b l o y a n t z - h i e m a u x 生化反应模型和g i e r e r - m e i n h a d t 模型的已有的研究成果，主 要包括两类生化反应系统的平衡点的稳定性，极限环的存在性和稳定性等结论； 第四章是本文对以上两类模型的改进。主要研究了改进的两类改进的生化反应系 统的平衡点的稳定性，极限环的存在性和稳定性等结论；第五章首先提出了一类 非线性广义同步方法，接着利用此非线性广义同步方法和文献【1 1 中的线性广义同 步实现了对改进的混沌的b a b l o y a n t z h i e r n a u x 生化反应模型和其它的混沌模型 的线性和非线性广义同步。 江茎垄兰塑主兰堡垒查 第二章基本理论介绍 本章对非线性动力学理论的发展和研究内容作简单介绍，同时闻述混沌广义 r q 步理论的发展状况及其特点。 2 1动力系统的基本理论 2 1 1 中心流形定理 【x = 缸+ f ( x ，y ) 【y = b y + g ( x ，y ) 其中x r “，y r ”，f ，g c 2 ，( 0 ) = d ，( 0 ) = 0 ， g ( o ) = d x ，g ( o ) = o 其中a 和b 是常数矩阵，a 的特征值有零实部，b 的特征值完全是负实部。 定理1 ( e p , b 流形存在定理) 系统( 2 1 ) 系统存在中心流形y = ( 功，ixi 1 ，则当x - o 时1h ( x ) 一伊( 曲卢。x l a ) 2 1 2 平面非线性系统定性分析 设有平面自治系统 詹舷力：， 瞎= 纸力 1 平衡点的稳定性分析： 当o ( o ，o ) 是线性系统的中心点时，容易将系统( 2 2 ) 化成如下形式： 兰茎垄兰壁主兰堡垒查 一 - h _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ 一一 悟y + 弘缈。， 【1出27x + 薹耳缈 其中x + ，耳均为x ，_ y 的七次齐次多项式。 如果系统( 2 3 ) 在d 点邻域内存在连续的首次积分u ( x ，y ) = c ，则o a 必为系统( 2 2 ) 中心点。 形式级数法对于系统( 2 3 ) ，令 f ( x ，y ) = f a x ，y ) ，e ( 工，y ) = x 2 + y 2 ( 2 4 ) 欲求e ( k = 2 , 3 ，4 ，) ，使 等i ( ：，= 鼍x c 训，+ 等m = 。 将形式级数( 2 4 ) 代入方程( 2 5 ) ，比较两端同次幂系数得 y 拿一x 拿：2 驯一2 x y ；- o 0 霄钟 y 拿一x 拿：一簿：+ 拿e ) v 二一x = - = 一t - 二五，+ 一，j o x o y m 0 3 y 拿一x 睾：矾 0 卵 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中方程式的右端依次已知，从而f 卅可依次求解。为方便讨论，引入极坐标 z = ，c o s 0 ，y = r s i n o ，从而可令 以( x ，y ) = f 。, ( r c o s 0 ，r s i n o ) = r m 妒。( p ) ，以0 ，力= ，”d 。( 回 ( 2 9 ) 于是( 2 7 ) 变为 等龟 ( 2 1 0 ) 将妒：( 口) 展开成f o u r i e r 级数，可以证明：当埘为奇数时，级数中的常数项岛可 能为零也可能不等于零。如果对一切m ，相应的c 0 均为零，则0 点为系统( 2 3 ) 的中心点；如果对某一m ，相应的c o 0 ，则o 点为系统( 2 3 ) 的焦点。当岛 0 江苏大学硕士学位论文 时0 点稳定；当c o o ，x o ，q z ) 2r 咖) 丸g ( 删= 佃 江苏大学硕士学位论文 i i ) 满足l i p s c h i t z 条件，妒( o ) 2o ，p ( y ) 单调增，i 伊( + m ) l = + o 。 i i i ) ，习国，x 增加时，掣单调不减，f ( o ) = 0 ，( x ( 咄) ) f ( x ( “) ) ，h 0 ，构造行列式 江苏大学硕士学位论文 a 1 = a ta 2 = a 。= 呸 qa o 0 口3口2q 1 2 2 月一1a 2 n 一2a 2 月- 3 妒巨 = 。_ 1 a o 0 口2q q 口3 m l i m r ( x l = 。 ( 2 2 。) 其中x = f 三 f c z ，= 二三一i 二， ，假设f c 。，= 。，且f o 。在区域 g = ( _ ，) ：f 1 4 l 口 内有连续的偏导数。 定义1 假设v ( x ) 为区域口内定义的一个实连续函数，坎o ) = o ，如果 在此域内恒有p 辑) 0 ，则称v ( z ) 为常正的。如果对一切x 0 都有瞰) o ， 且h 0 ) = o ，则称矿0 ) 为定正的。如果函数一瞰) 是定正( 常正) 的，则称为 1 0 q q 江苏大学硕士学位论文 定负( 常负) 的。 进一步假设函数瞰) 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程( 2 2 2 ) 的 解代入，然后对t 求导 百d v = 喜豢鲁= 喜第k 焉) 出 智缸。出智缸。”一“ 这样求得的辈称为矿( x ) 关于方程( 2 2 2 ) 的全导数。 定理6 对于方程( 2 2 2 ) ，如果存在一个定正的函数瞰) ，其关于方程的 全导数华为常负函数或恒等于零，则方程( 2 2 2 ) 的零解为稳定。 定理7 对于方程( 2 2 2 ) ，如果存在一个定正的函数m ) ，其关于方程的全 导数华是定负的，则方程( 2 2 2 ) 的零解渐近稳定。 定理8 对于方程( 2 2 2 ) ，如果存在一个函数m ) ，其关于方程的全导数可 以表示为华：矿b ) + 矿0 ) ，且当非负常数o 时，形为常正函数或恒等于零， d f = 0 时，矿是定正函数，又在x = o 的任意小领域内至少存在某个i ，使得 y ( x - ) 0 ，那么方程( 2 2 2 ) 的零解是不稳定的。 定理9 如果存在一个定正的函数嘲，其关于方程( 2 2 2 ) 的全导数华为 常负，但使华：0 的点z 的集合中，除零解沪。外，并不包含方程( 2 2 2 ) 的其 盯r 它解，则方程( 2 2 2 ) 的零解渐近稳定。 2 2 广义同步的理论 定义2 ：广义同步( g s ) 。 考虑两个动态系统忙y 鼗：。) ) ( 1 )l = g d ，厅b ) j “ 其中x 月”，y r ，h ：r ”斗r “为任意函数。 设存在变换h ：r ”寸r ”，一个流形膨= g ，y ) i y = 日g ) ) 和一个集合 b r ”r ”，其中mcb ，若对位于b 中的任意初始值，如果系统式( 1 ) 的轨迹趋于 江苏大学硕士学位论文 m ，则称系统式( 1 ) 的两个系统广义同步。 近年来，混沌同步在通信和控制等领域显示了良好的应用前景【2 ，孤，得到了广 泛而深入的研究，众多学者提出了不同的混沌同步方法，其中主要有： 全同步网( i d e n t i c a ls y n c h r o n i z a t i o n ，即通常意义下的同步) ，脉冲同步陋1 7 】 fi m p u l s es y n c h r o n i z a t i o n ) 和广义同步【8 12 1 ( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) 。由于 通常意义下的同步仅是广义同步的一种特殊情况，因此广义同步比全同步的应用 领域更为广泛。文献 1 习用解析的方法研究并实现了类混沌广义同步。 以下是关于混沌线性广义同步的理论。 考虑以下两个动态系统 l x 2 ，( z ( 2 2 3 ) 【_ y g o , ，j l z g ) ) 、。 x 胄。，) ，r 。，h ：r n 寸r 。为任意函数。 定理1 0 系统( 2 2 3 ) 在x r 。，y r 。之间具有广义同步关系的充要条件是 v ( x 。，y 。) b , n n y = g ( y ，矗g ) ) ，是渐进稳定的，即 v y l 0 ，y ：。b yp l i y ( t , x o , y t 。) 一y ( t , x o , y ：。= 0 定理11 假设混沌系统( 2 2 3 ) 可以被分解为两个部分 x = a x + b ) ( 2 2 4 ) 其中a 为月n 阶常数矩阵，甲：l r 。寸r 。 x=：ax+q(x)ya y + a 。( x ) + k c y k c a x ( 2 2 s ) 【+ = 一 p 7 其中，c 月“”，k r - x l , 人r n 且，c ) 可理测。如果4 a = m ，且矩阵 ( a + k c ) 稳定，则系统式( 2 2 5 ) 所示的两个混沌系统广义同步，亦即 y 如) = 日g ) = a x ，并且可以任意配置广义同步速度。 江蔓垄兰堡主堂堡垒查 _ 一。 第三章两类生化模型的定性分析 本章介绍了两类生化反应模型的背景，以及现有的关于此两类生化反应模型 的理论分析结果。主要是平衡点的稳定性分析，极限环的存在唯一性、稳定性等a 3 1b a bio y a n t z he r n a u x 生化反应模型的定性分析 b a b l o y a n t z h i e m a u x 生化反应模型如下： 4 ，c 述二y ，z b ，y 与g ，y + 尸与x，x 与y + ， b + x + p 山p + 2 x 反应的具体背景如下：这里肖以常数速率毛4 产生，同 时也通过有第三种分子p 参加自催化过程产生，x 以速率如c x 2 催化】，的前体c 生成y ，而p 把y 转化为x ，最后】，和存在有限的寿命，并且产生废物f 和g 。 警咄4 一岛z 哗y 一心x “，b x p 警= k z c x 2 一4 y - 妒】，+ 屯z ( 3 1 ) 鼍一k 一+ k 6 x 其中k i ( f = 1 , 2 ，3 6 ) 为常数，z ，y ，尸分别表示反应物的浓度在t 时刻的值。 对于上述系统令x = k c y ，y = c y ，p = c z 则系统可以化为 上式帆= 篾， i d x = e 。一b x + e 、z y - - e 2 x + e 3 x z 罢划一卿一岛x ( 3 2 ) 出 面一q 纠+ 岛。 k ，b 岛。奇 系统的平衡点是qx o , y o , z o ) = ( 孚，等，熹 引理1 旦叩 铲 旦够 = 江苏大学硕士学位论文 当e 。 m a x d 岛p ：2 ，d 坐l 时平鬻点q o 。，y 。，) 是稳定的。 t# tj 弓l 理1 的证明参见文献 1 4 。 3 2 模型的您性分析 卜熊肇等一彤 ( 3 3 ) l h = 脚2 一v h 其中d 表示骨块的激活度， 表示骨块的抑制度。觚是激活度的初始浓度，p 是 掷割魔的裙始浓度，帮v 分剐是口和矗韵分解系数，c 和c 怒与激活和于窜制结栗 鸯关静分解系数。缀设( 3 + 3 ) 中获毒参数蚜取正数。 对系统( 3 t 3 ) 依变换拧= 罢x ，h = 譬弘d t ；羔鼢。并记 c ；c ? 拉雒 成= 譬加。m 化为x = p p 。y + p x 2 ya p xy 辫y 力 。， v c 烈x，) 在第一象限内系统( 3 4 ) 有唯一平衡点( a ，b ) a = 1 十p p 。，b = 删2 对奇点的定往分析： 对于系统( 3 。4 ) t 嘲圯髓龇孰( 居一t ) 2 粉( 后+ t ) 2 一定结 点。 睁t ) 2 睁t ) 2 黼氮 2 ) 若翮圳奇她钟郛悟1 卜为不稳寇熊当 悟t 卜( 划2 螨龅蚺一腻 当扣咒 睁，卜躺 1 4 江苏大学硕士学位论文 = 三一1 时为中心型的一阶稳定细焦点。 3 ) 若a = 2 则奇点( a ，b ) 当 4 时为稳定结点； 当五= 4 时为稳定临界退化结点。 系统( 3 4 ) 的极限环的存在唯一性。 定理2 系统( 3 4 ) 存在极限环的必要条件是 1 触若，且五 m h 后一卜 扣臁一， 至少存在一个稳定的极限环。 证明作系统( 3 4 ) 的辅助系统( x = t x 2 二；一y ) 3 5 ) 何2 一i 当系统( 3 4 ) 满足定理条件时，由引理知，正奇点( 一，b ) 为不稳定焦结点。 作辅助系统【卢x = , 矽o x 协2 - 。y y ) 3 5 ) ，然后作系统( 3 5 ) 的一个包含不靛焦结点 ( a ，b ) 的曲边梯形，证明向量场由外向内穿过此曲边梯形。再由环域定理知，这时 在点( a ，b ) 附近至少存在一个稳定的极限环。 定理4 在定理3 的条件下，系统( 3 5 ) 存在唯一稳定极限环 证明先做变换，把系统( 3 5 ) 转化为l i e ，n a r d 型，令 ( 3 6 ) 正奇点0 ，丑) 变为( o ，l n b ) ，令w = 2 u + v ，则系统( 3 6 ) 化为 弦= 。”e 一一胛2 0 k ” l v = 缸妒2 0 砸一e ”)( 3 7 ) +r 一+“一 一 8+ o 伊 j j = 石 y jr，、l 为变 ) 53 (统系0 塘血 g 一 一 妒妒 = = p 江苏大学硕士学位论文 作平移变换：f = “，叩= 肜一，则系统( 3 7 ) 变为 怍也一i = ：夕2 鳍 ( 3 8 ) l r = 和p 2 倍x 1 一p 叩 ”。 一o o f + ， r + 奇点( o ，1 4 o ) 变为( o ，0 ) 再令孝= 去1 n ( _ ；) ，叩= 歹，则奇点( o ，o ) 变为，o ) ，= 一去；并把；，歹分 别化为x ，y 从而得到与系统( 3 8 ) 等价的方程组 p 一妒q ) 一f b )( 3 9 ) l j ，= g ( x ) “。7 一。o x 0 , - o o y 0 上讨论问题，系统( 3 1 4 ) 有奇点 q ( ，虬) = o c b c o - ，萼 。c s ，a ，的在点q 处的变分矩阵m 。，虬) 的行列式为 1 2 c x 。“：i j e t ( m ) = l 百一百l = 曲 o 2 一a 而q ，y 。) 的稳定性由下式确定p ( x o ，y 。) = a + b 一2 c x 。y 。= + c 0 一a c ) x o 故 有 引理2 a c 一一饿。 0 ，则q k ，y 。) 是不稳定奇点，a c 一岛一卿。 o ， 则q k ，y 。) 是稳定奇点。 引理3 a c 一一甜。 o 。恧此时( o ，o ) 必( 3 。1 6 ) 瓣意 群i 次奇点，为了分析清楚其性态，4 i - d r ：a _ t ，剐有 d x b x y 瓤2 国 。 ( 3 1 7 ) 痧x z ya y 。 d t e oc o 令手= 7 = 岁篆一警并设y = 孝零带入上式可褥嘞经计算可知微 0 00 分方程组( 3 1 7 ) 被变成为 蝣 盛 d r l 旃 其中而( 掌) ，g 偕x p ，玎) 为解柝函数，由文献i 帅之第1 5 2 页定理7 3 存在充分小的 占 0 ，使得猩圆弧；霹n 船，y h 2 十y 2 = d 2 上，微分方程组( 3 1 8 ) 的轨线f 0 时离开( o ，o ) 而走入碍之内部。 另外y ：o 为方程譬= x 2 y a y 2 的不稳定零解，赦存在鼍和充分小静 y l ：o 0 口f 为完成证明我们还需要考虑( 3 1 7 ) 之无穷远之情况，为此作p o i n c a r e 变换 工：三，y ：兰，d r ：z 2 d t 。微分方程组( 3 1 7 ) 成为 印 磐糯需 如一 每 堕 专 渤p 如叫电嘞 材 一 幽 l l = 如一西彘一毋 江苏大学硕士学位论文 奇点( o ，o ) 为鞍结点，其中正z 轴为其稳定流形。再作p o i n c a r e 变换 x ：上，v ：三，d r ：z 2 d t x z 则有 奇点( 0 , 0 ) 为高次奇点，经分析并计算知，轨线在v z 平面之第一象限沿特征 方向0 = o 有唯一一条轨线进入( o ，o ) 而沿特征方向0 = 吼轨线走出( o ，0 ) 引理6 若6 6 0 ：兰业，则微分方程组至少存在一个极限环；且6 一b 。充分小时，微 日c c o 分方程组( 3 2 0 ) 的极限环是唯一稳定的。 证明：若6 6 0 ：! ! 垒，则微分方程组( 3 2 0 ) 的奇点g ，儿) 是不稳定 a c c 0 的，由p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域原理以及引理1 、4 知，此时微分方程组( 3 2 0 ) 至少存在一个极限环，由引理2 知，当b = b 。时，微分方程组( 3 2 0 ) 的奇点， q ，甄) 是一阶稳定的细焦点，而当6 b 。时9 k ，y 。) 变为不稳定的，则由h o p f 分支定理知定理的结论成立。 结合以上有 定理5 当6 6 0 = 6 l c + c o h f ，( 3 3 ) 的平衡位置是全局( 第一象限) 稳定 d c c o 的，当6 ：a c + c or e f ，( 3 3 ) 存在极限环。以上引理及定理的详细证明请参 a c c o 考文献【14 1 。 驯 狮叫如 ： 妙一打沈一出 江苏大学硕士学位论文 第四章改进的两类生化反应模型的定性分析 本章主要研究b a b l o g a n t z h i e r n a u x 生化反应模型和改进的g i e r e r - m e i n h a ：r d t 模 型；通过引入人工调节反应物浓度y 的方法来控制此生化反应的进行，研究此类 生态系统加入控制之后反应定性性质。 4 ，1 改进的b a b 1o y a n t z i - 1i r n a u x 模型的平衡点的稳定性，及其分岔条件 b a b l o g a n t z - h i e m a u x 生化反应为： j 吐a 。c j 岛y ，x b f ，y b g ，y + p，b + x + p b p + 2 x 反应的具体背景如下：这里x 以常数速率k l a 产生，同时也通过有第三种分子p 参加自催化过程产生，x 以速率凹2 催化y 的前体c 生成】，而p 把y 转化为 x ，最后y 和z 存在有限的寿命，并且产生废物f 和g 。 警呐卅妒h 。z 屿b x p 警= 如凹2 一七4 y - 妒y + x ( 4 1 ) i d p = - k 5 p y + k 6 z 其中t ( f _ 1 , 2 ，3 6 ) 为常数，x ，y ，尸分别表示反应物的浓度在t 时刻的值。 文献【1 4 】证明了( 4 1 ) 的平衡态的稳定性；并且研究了由( 4 1 ) 设定p 的浓 度不变而得到如下的系统： 的极限环的存在性，不存在性和的平衡位置的大范围的稳定性分析。 改进之后的系统为： 警 ” n 呐 吐