（计算数学专业论文）加权本质非振荡格式和快速扫描法和在行人流模型中的应用.pdf

摘要 本文中，我们应用高阶加权本质非振荡格式( w e n o ) ，快速扫描法，有限 差分，r u n g e k u t t a 型时间离散等数值方法研究二维单向动态反应行人平衡连续 行人流模型以及含随流影响的二维单向动态反应行人平衡连续行人流模型。该 模型构筑在h u g h e s 在2 0 0 2 年提出的二维连续行人流的动态模型上，其行人路 径选择策略满足动态反应行人平衡原则。在这个原则下，行人所选择的、到达目 的地的路径使得瞬时行进成本最小。该模型的行人密度、流通量、速度由二维标 量守恒律方程控制。流通量方向通过e i k o n a l 方程隐式地依赖于行人流密度。在 数值求解过程中，每一时间步内我们先利用w e n og o d u n o v 快速扫描法求解 e i k o n a l 方程，得到流通量后，利用w e n o 有限差分格式离散守恒律方程。随流 影响引进该模型后，我们证明了守恒律方程多了粘性项。此时，对比于上面简单 的e i k o n a l 方程，流通量方向通过静态h a m i l t o n - j a c o b i 方程隐式地依赖于行人 流密度。在数值求解过程中，我们使用拟时间依赖方法求解h a m i l t o n - j a z o b i 方 程。 高阶快速扫描法已经被充分应用到求解静态h a m i l t o n - j a c o b i 方程。对比于 一阶快速扫描法，高阶快速扫描法具有高精度的优点，但由于其数值模板较宽， 增加了对边界附近点的额外数值边界的处理。其中，以对流入边界附近点的精 确处理尤为重要，因为信息将从边界流入计算区域，从而影响整体精度。在以 前的文章中，这些点的数值解要么赋予精确值，如果没有精确值或者赋予一阶 结果，此时会降低整体精度。在本文中，我们讨论两个处理数值流入边界条件的 技巧。一是基于边界附近不同网格的一阶快速扫描法的数值解和r i c h a r d s o n 外 插，一是基于l a x - w e n d r o f f 法重复利用偏微分方程写出到流入边界的法向空间 导数，从而得到流入边界附近点的高阶数值解。我们使用经典例子快速扫描高阶 w e n o 格式求解静态e i k o n a l 方程来验证这两个技巧。并利用数值试验来说明 这两个技巧的性能。 关键词：加权本质非振荡格式；快速扫描法；r u n g e k u t t a 型时间离散；有限差 1 1 1 分方法；h a m i l t o n - j a c o b i 方程；e i k o n a l 方程；守恒律方程；行人流：连续模型； 动态反应行人平衡；随流影响效应 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ea p p l yn u m e r i c a lm e t h o d s ，s u c ha sw e i g h t e de s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y ( w e n o ) s c h e m e ，f a s ts w e e p i n gm e t h o d ，f i n i t ed i f f e r e n c e ，r u n g e k u t t at i m ed i s c r e t i z a t i o n ，f o rr e a c t i v ed y n a m i cu s e re q u i l i b r i u mc o n t i n u u mm o d e l f o rt h ep e d e s t r i a nf l o w si nt w o - d i m e n s i o n a lw a l k i n gf a c i l i t ya n ds t u d yt h ef o l l o w t h e - c r o w de f f e c t i nt h er e a c t i v ed y n a m i cu s e re q u i l i b r i u mc o n t i n u u mm o d e lf o r t h ep e d e s t r i a nf l o w s i nt h er e a c t i v ed y n a m i cu s e re q u i l i b r i u mm o d e lf o rt h c p e d e s t r i a nf l o w sb a s e do nt h ed y n a m i cc o n t i n u u mm o d e lf o rt h ep e d e s t r i a nf l o w s p r o p o s e db yh u g h e si n2 0 0 2 ，t h ep e d e s t r i a nr o u t ec h o i c es t r a t e g ys a t i s f i e st h e r e a c t i v ed y n a m i cu s e re q u i l i b r i u mp r i n c i p l ei nw h i c hap e d e s t r i a nc h o o s e sar o u t e t om i n i m i z et h ei n s t a n t a n e o u st r a v e lc o s tt ot h ed e s t i n a t i o n t h ep e d e s t r i a n d e n s i t y , f l u x ，a n dw a l k i n gs p e e da r eg o v e r n e db yat w o - d i m e n s i o n a ls c a l a rc o n s c r v a t i o nl a w t h ef l u xd i r e c t i o ni si m p l i c i t l yd e p e n d e n to nt h ei n s t a n t a n e o u sg l o b a l d e n s i t yt h r o u g ha ne i k o n a le q u a t i o n i no u rn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，i ne a c ht i m c s t e p ，w ef i r s tu s ew e n o g o d u n o vf a s ts w e e p i n gm e t h o df o rt h ee i k o n a le q u a t i o n ， a n do b t a i nt h ef l u x ，t h e nu s ew e n of i n i t ed i f f e r e n c es c h e h l ef o rt h ec o n s e r v a t i o n l a w t h ef o l l o w - t h e - c r o w de f f e c th a sb e e ni n c o r p o r a t e di nt h er e a c t i v ed y n a m i c u s e re q u i l i b r i u mm o d e lf o rt h ep e d e s t r i a nf l o w s ，w h i c hc o n s t i t u t e sav i s c o s i t yc f - f e c ti nt h ec o n t i n u u mm o d e l c o m p a r e dw i t ht h es i m p l ee i k o n a le q u a t i o n ，t h e f l u xd i r e c t i o ni si m p l i c i t l yd e p e n d e n to nt h ep e d e s t r i a nd e n s i t yt h r o u g ha nm o r e c o m p l i c a t e dh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o na tt h et i m e s o ，ap s e u d ot i m e _ d e p e n d e n t m e t h o di su s e df o rt h eh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n h i g ho r d e rf a s ts w e e p i n gm e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e dr e c e n t l yi nt h el i t e r - a t u r et os o l v es t a t i ch a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n se f f i c i e n t l y c o m p a r i n gw i t ht h e f i r s to r d e rf a s ts w e e p i n gm e t h o d s ，t h eh i g ho r d e rf a s ts w e e p i n gm e t h o d sa r em o r e a c c u r a t e ，b u tt h e yo f t e nr e q u i r ea d d i t i o n a ln u m e r i c a lb o u n d a r yt r e a t m e n tf o r v 2 0 0 7 在 中国科学技术大学博士学位论文 第v i 页 a b s t r a c t s e v e r a lg r i dp o i n t sn e a rt h eb o u n d a r yb e c a u s eo ft h ew i d e rn u m e r i c a ls t e n c i l i t i sp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n tt ot r e a tt h ep o i n t sn e a rt h ei n f l o wb o u n d a r ya c c u r a t e l y a st h ei n f o r m a t i o nw o u l df l o wi n t ot h ec o m p u t a t i o n a ld o m a i na n dw o u l da f f e c t g l o b a la c c u r a c yi nt h el i t e r a t u r e ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o na tt h e s eb o u n d a r yp o i n t s a r ee i t h e rf i x e dw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n ，w h i d li sn o ta l w a y sf e a s i b l e ，o rc o m p u t e d w i t haf i r s to r d e rd i s c r e t i z a t i o n ，w h i c hc o u l dr e d u c et h eg l o b a la c c u r a c y i nt h i s t h e s i s ，w ed i s c u s st w os t r a t e g i e st oh a n d l et h ei n f l o wb o u n d a r yc o n d i t i o n s o n e i sb a s e do nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so faf i r s to r d e rf a s ts w e e p i n gm e t h o dw i t h s e v e r a ld i f f e r e n tm e s hs i z e sn e a rt h eb o u n d a r ya n dar i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o n ， t h eo t h e ri sb a s e do nal a x - w e n d r o f ft y p ep r o c e d u r et or e p e a t e d l yu t i l i z i n gt h e p d et ow r i t et h en o r m a ls p a t i a ld e r i v a t i v e st ot h ei n f l o wb o u n d a r yi nt e r m so f t h et a n g e n t i a ld e r i v a t i v e s t h e r e b yo b t a i n i n gh i g ho r d e rs o l u t i o nv a l u e sa tt h e g r i dp o i n t sn e a rt h ei n f l o wb o u n d a r y w ee x p l o r et h e s et w oa p p r o a c h e su s i n gt h e f a s ts w e e p i n gh i g ho r d e rw e n os c h e m ei nf o rs o l v i n gt h es t a t i ce i k o n a le q u a t i o n a sar e p r e s e n t a t i v ee x a m p l e n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h e p e r f o r m a n c eo ft h e s et w oa p p r o a c h e s k e y w o r d s ：w e n os c h e m e ；f a s ts w e e p i n gm e h t o d ；r u n g e k u t t at i m ed i s c r e t i z a - t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n c e ；h a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n ；e i k o n a le q u a t i o n ；c o n s e r v a t i o n l a w ；p e d e s t r i a nf l o w ；c o n t i n u u mm o d e l i n g ；r e a c t i v ed y n a m i cu s e re q u i l i b r i u m ； f o l l o w - t h e - c r o w de f f e c t 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：氇多兮 为够年0 8 12 弓日 致谢 光阴似箭，白驹过隙。在科大的九年时光即将成为美好的回忆。 此文作为总结。 首先我要向我的导师舒其望教授致以我最真挚的感谢与敬意。 五年来在舒老师的谆谆教诲下，我不仅学到了宝贵的知识，更领悟 到许多为人做事的道理。文从选题到最后的成文，都倾注了恩师的 大量的心血与关怀。先生和蔼包容的态度，渊博的学识，敏捷的思 维，严谨的治学，忘我的工作热情，风趣幽默的讲解都给作者留下 了深刻的印象。然学生愚钝，常对先生的思想一知半解，凑成此文， 实在惭愧。囿于学制所限，不能再亲耳聆听先生教诲，但恩师的所 言所行，实为作者今后工作和学习的楷模。 同时，感谢所有教导过我、关心过我的老师。特别是张梦萍教 授、韩厚德教授、刘儒勋教授、冯玉瑜教授、陈祖墀教授、陈发来 教授、邓建松教授、谢君棵教授、岳兴业教授、张上游教授。他们 教授的知识、为人师表的风范、严谨治学的态度成为我一生宝贵的 财富。 特别感谢张梦萍教授对作者的悉心指导和帮助。作者读研以 来，张梦萍教授在生活和学习给予了作者大量的支持，使得作者得 以顺利地完成学业。 感谢黄稚新老师，从本科到研究生，对作者的学习和生活的照 顾和关心。感谢张韵华老师在作者日常生活中的关怀。感谢徐岩老 师，杨周旺老师，张伟老师，张斯伟老师，刘璞老师以及系里其他 的各位老师在本文作者的研究生生涯中的关怀与照顾。 感谢科学计算和应用几何实验室的所有成员。与你们一起的学 术讨论和娱乐，使我的生活多姿多彩，让我的人生充满阳光。 最后，谨以此文献给我的父母和家人，你们是我能走到今天最 坚实的后盾。 第一章绪论 本文中，我们将研究以下内容：应用高阶加权本质非振荡( w e n o ：w e i g h t e d e s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r y ) 格式，快速扫描( f a s ts w e e p i n gm e t h o d ) ，有限差 分，r u n g e k u t t a 型时间离散等方法研究二维单向动态反应行人平衡连续行人流 模型( ar e a c t i v ed y n a m i cu s e re q u i l i b r i u mc o n t i n u u mm o d e lf o rp e d e s t r i a nf l o w s ) ； 研究高阶快速扫描方法中流入边界的数值处理。 连续方法被广泛地应用到宏观行人流模型。在宏观行人流模型下，我们主要 研究行人流的整体行为。m o r r a l l 等人【4 1 】在1 9 9 1 年定义了宏观变量：行人流 密度、速度、流通量，奠定了连续模型的发展。通过c a l g a r y 和某些亚洲城市林 荫道上行走速度的比较，发现c a l g a r y 的行走速度更快，而这个现象可能归咎 于行人人数和行人文化的不同，或者这些城市林荫道周围环境的不同。l a m 等 人 3 6 】在1 9 9 5 年测量、观察了香港不同行人设施如楼梯、林荫道、户外人行横 道和车站内的人行横道的行走速度和流量，发现香港的行走速度比北美城市的 慢。t a n a b o r i b o o n 和g u y a n o 【5 2 】在1 9 9 1 年，k o u s h k i 和a l i 2 9 】在1 9 9 3 年， 和a l 。m a s a e i d 等人【1 】在1 9 9 3 年分别研究了b a n g k o k ，k u w a i tc i t y 和一些发 展国家的行人速度，密度，流通量。l a m 等人f 3 3 】在1 9 9 9 年测量了香港铁路站 台的拥挤影响( c r o w d i n ge f f e c t s ) 。 基于前面提到的发现，宏观变量行人速度、密度和流通量的关系被确立起来 了。v i r k l e r 和e l a y a d a t h 【5 5 】1 9 9 4 年在行人通道上使用录像技术重点研究了速 度、密度和流通量这三者之间的关系，试验了g r e e n s h i e l d s ，b e l ls h a p e ，u n d e r w o o d ，g r e e n b e r g ，e d i e ，二项线性( 2 一r e g i m el i n e a r ) ，和三项( 3 一r e g i m el i n e a r ) 速 度一密度模型。l a m 等人【3 6 】在1 9 9 5 年调查研究了各种行人设施如走道、车 站楼梯、行人穿越道的速度、密度、流通量关系，说明了不同的速度一密度模型 适合于不同的行人设施，没有符合所有设施的万能模型。d a l y 等人【9 】在1 9 9 1 年，a 1 m a s a e i d 等人【1 在1 9 9 3 年，c h e u n g 和l a m 【6 】在1 9 9 8 年，以及l a m 和c h e u n gf 3 1 ，3 2 在1 9 9 8 年和2 0 0 0 年，和h a r r i s 【1 3 】在1 9 9 1 年都分别对行 1 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第2 页 第一章绪论 人流的速度、密度和流通量的关系作了类似的研究。最近，l a i n 和c h e u n g 【3 0 】 在1 9 9 7 年，以及l a m 等人【3 4 ，3 5 在2 0 0 2 年和2 0 0 3 年调查研究了行人设施如 室内走道和香港信号行人穿越道的双向行人流的相互作用。 c h e u n g 和l a m 6 】在1 9 9 8 年，为了模型化香港m a s st r a n s i tr a i l w a y ( m t r ) 车站内行人在路径电梯和楼梯之间的选择，研究了行人的路径选择行为。一个基 于被选行人设施困难程度的对数型选择模型( 1 0 9 i t t y p ec h o i c em o d e l ) 被用来表 示行人在该两者之间的选择。c h e u n g 和l a m 提议一个设施的困难程度是到达和 使用该设施所用时间。该选择模型被m t r 车站的观测数据校正。行人对使用电 梯时的耽搁不太敏感，因为如果选择楼梯，他们就要付出额外的努力。d e r n e l l i s 和a s h w o r t hf 1 0 1 在1 9 9 4 年研究行人路径选择行为时，确定了地下道模型的影 响因子如周围的流量、距离、地下和地面所花的时间比。基于观察数据，他们发 现周围流量与地下道行人比例线性相关，周围流量比例越高地下道行人的比例也 越高。对距离和时间比例，对数型选择模型被用来评估地下道行人比例。在这两 个对数模型中，地下道行人比例关于距离递减或关于地下道所花时间递增。l a m 等人3 7 1 在2 0 0 3 年研究了香港国际机场候机楼的找路问题。所有这些的研究指 出了行人流宏观模型问题中路径选择行为的重要性。 目前，一个很有前途的方法被发展起来刻划二维连续行人平衡模型的路径 选择行为。该方法应用广泛，如多口成本一流量关系( m u l t i - c o m m o d i t yc o s t f l o w r e l a t i o n s h i p ) 5 7 1 ，超市分流测定( m a r k e ts h a r ed e t e r m i n a t i o n ) 【6 0 】，弹性超市外 部效果( e l a s t i cm a r k e te x t e r n a l i t i e s ) 6 3 1 ，含警戒线的拥挤定价问题( t h ec o r d o n - b a s e dc o n g e s t i o np r i c i n gp r o b l e m ) 1 9 ，分配与指派组合模型( t h ec o m b i n e dd i s - t r i b u t i o na n da s s i g n m e n tm o d e l ) 5 9 ，6 1 1 ，离散与连续组合模型( t h ec o m b i n e d d i s c r e t ca n dc o n t i n u o u sm o d e l ) 5 6 ，5 8 】，多类行人平衡模型( t h em u l t i c l a s su s e r e q u i l i b r i u mm o d e l ) 【1 6 1 8 】，覆盖问题( t h eh o u s i n gp r o b l e m ) 1 6 】。因为行人可以 在二维行人设施区域内自由移动，因此用连续方法来刻划宏观行人流问题的路径 选择行为是一个很有前途的方法。 上面提到的连续方法都集中于稳定状态的例子。最近，行人流问题的动态模 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文第3 页 第一章绪论 型获得很多关注。s e l i m 和a 1 一r a b e h 【4 7 】在1 9 9 1 年刻划了桥上的行人流来帮助 设计桥，借以过桥的行人数目随时间变化。通过考虑桥的容量和最小成本处罚 函数，他们发现允许过桥的最佳行人数是随时间变化的。基于这个发现，可以为 桥上行人流的控制策略获得有价值的信息。s e t t i 和h u t c h i n s o n 【4 8 】在1 9 9 4 年 介绍了一个机场的候机楼模拟模型，在该模型里，流体逼近方法被采用来刻划乘 客流特征。b u c k m a n 和l e a t h e r 4 】在1 9 9 4 年使用p e d r o u t e 乘客模拟模型 刻划车站拥挤。 在连续模型下，h u g h e s 【2 4 】在2 0 0 2 年为行人流问题的动态宏观模型提供 了一个系统框架。但是没有明确讨论行人平衡，也没有提供数值算法。为了描 述行人的路径选择策略，h o o g e n d o o r n 等人【2 2 】在2 0 0 3 年，h o o g e n d o o r n 和 b o v y 2 0 ，2 1 1 在2 0 0 4 年发展了预先行人平衡模型来描述动态行人路径选择行为， 该模型下，行人拥有足够信息来随时决定他们的路径选择。该方法对描述更关键 的路径选择很有用，借此行人通过他们的日常经验或者其它途径积累行进信息， 因此他们完全预料到行人设施内运作状况的变化。但是，在很多状况下，行人并 不熟习他们周围人群的特点和行为，因此他们就很难预料到其他行人随时变化的 相应反应。在这种情况下，比较适合使用反应行人平衡模型，该模型下行人在决 定路径时只需评估行人设施此时的运作状况【5 3 】。 作为一种求解静态h a m i l t o n - j a z o b i 方程的迭代方法，快速扫描法( f a s ts w e e p - i n gm e t h o d ) 在1 9 9 9 年第一次被b o u e 和d u p u i s 【3 】提到，而它的偏微分方程公 式在2 0 0 0 年第一次被z h a o 等人f 6 9 】提出。z h a o 在2 0 0 5 年证明了对于特殊的、 关于距离函数的e i k o n a l 方程，使用g o d u n o vh a m i l t o n i a n 和c a r t e s i a n 网格， 该方法的收敛速度为p ( ) ，n 为网格点数。t s a i ，c h e n g ，o s h e r 和z h a o 【5 4 】在 2 0 0 3 年使用g o d u n o v 数值h a m i l t o n i a n s 和一致网格将快速扫描法应用到了一 类静态h a m i l t o n j a c o b i 方程，同时导出了一些显示更新公式，使得基于g a u s s s e i d e l 的扫描策略可以简单地被实现：其数值算例显示该扫描方法拥有线性复杂 度。k a o ，o s h e r 和t s a i 【2 8 在2 0 0 5 年又提出了一类求解静态h a m i l t o n - j a c o b i 方程的快速扫描法，该方法是基于在一致网格上离散直接从h a m i l t o n i a n 得到的 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文第4 页 第一章绪论 b c l l m a n 公式；数值算例也显示了该扫描方法拥有线性复杂度。k a o ，o s h e r 和 q i a n 2 7 在2 0 0 4 年使用一致网格上的l a x - f r i e d r i c h s 型h a m i l t o n i a n s 将快速 扫描法推广到了非凸h a m i l t o n j a c o b i 方程。z h a n g ，z h a o 和q i a nf 6 6 1 在2 0 0 6 年使用一致网格上的加权本质非振荡( w e n o ) 格式第一次发展了高阶有限差分 型快速扫描法。接着，z h a n g ，z h a o 和c h e n 6 5 又提出了一个基于一致网格的 固定点型( f i x e d p o i n tt y p e ) 扫描方法。前面提到的所有快速扫描方法都是基于 一致网格。q i a n ，z h a n g 和z h a o 【4 5 】在2 0 0 7 年发展了求解e i k o n a l 方程、三角 网格上的快速扫描法，又将该方法推广到在结构和非结构网格上求解一般静态凸 h a m i l t o n j a c o b i 方程 4 4 】o 在2 0 0 6 年，c e c i l ，o s h e r 和q i a n 5 】将快速扫描法 推广到自适应树非结构网格( a d a p t i v et r e e b a s e du n s t r u c t u r e dm e s h e s ) 上的等 值集方程( 1 e v e ls e te q u a t i o n ) 。快速扫描法的各种并行工具被z h a o 【6 7 】提出。 高阶有限差分型快速扫描法f 6 6 】给我们提供了一个通常的框架，在该框架 下，我们可以使用任意阶差分和任意型数值h a m i l t o n i a n 。在本文中我们将使用 三阶w e n o 格式和g o d u n o v 型数值h a m i l t o n i a n 的快速扫描法数值模拟二维 单向动态反应行人平衡连续行人流模型。由于导数的高阶数值逼近，我们在应用 高阶有限差分型快速扫描法处理实际问题的时候，需要增加对边界附近点的额外 数值边界处理。其中，以对流入边界附近点的精确处理尤为重要，因为信息将从 边界流入计算区域，从而影响整体精度。所以，本文提供了处理数值流入边界条 件的两种方法：r i c h a r d s o n 外插和l a x - w e n d r o f f 法。 在本文里，我们将回顾、重构了h u g h e s 模型，发现该模型的行人路径选择 策略满足反应动态行人平衡原则，该原则下，行人选择的路径使得到目的地的瞬 时行进成本最小。这就为h u g h e s 模型在行人在选择路径时无预先信息，只能依 靠周围瞬时信息方面的应用提供了有用的基础。但是无论前面提到的反应还是预 先模型，我们都需要假设行人可以完全看见行人设施的状况，因此行人可以根据 现在的( r e a c t i v e ) 或知道的( p r e d i c t i v e ) 行人流状况确定相应的路径。接着，针对 行人流连续模型下的动态反应行人平衡模型，我们研究了随流影响( f o l l o w t h e - c r o w de f f e c t ) 。在该模型下，行人可能不完全知道行人设施的状况，有沿前面人群 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第5 页 第一章绪论 行进的趋势。行人调整方向使其符合随流行为( f o l l o w t h e - c r o w db e h a v i o r ) 和反 应路径选择行为( r e a c t i v er o u t ec h o i c eb e h a v i o r ) 。最后，我们还研究了h u g h e s 框 架下的双向动态反应行人平衡连续行人流模型。对这些模型，我们都设计了适合 的数值算法( 双曲守恒律方程的w e n o 格式，h a m i l t o n j a c o b i 方程的w e n o 格式，r u n g e k u t t a 型时间离散格式，快速扫描方法) ，做了数值模拟。 本文结构如下：在第二章，我们介绍本文将用到的数值方法，w e n o 、快 速扫描法、r u n g e k u t t a 型时间离散方法；在第三章，我们研究快速扫描高阶 w e n o 方法在求解e i k o n a l 方程过程中的数值边界条件：在第四章，我们研究 单向行人流，并给出数值模拟；在第五章，我们给出了本文的总结。 第二章算法介绍 弟一早 异法厂瑙 这一章，我们将简单介绍加权本质非振荡( w e n o ：w e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n o s c i l l a t o r y ) 格式和快速扫描方法( f a s ts w e e p i n gm e t h o d ) ，r u n g e - k u t t a 型时间 离散。 本章结构如下：在第2 1 节中，我们将描述双曲型守恒律方程和h a m i l t o n - j a c o b i 方程中的加权本质非振荡( w e n o ：w e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n o s c i l l a t o r y ) 格式；在第2 2 节中，我们给出快速扫描算法；第2 3 节是r u n g e k u t t a 型时间 离散方法。 2 1 w e n o 这一节，我们将简单介绍高阶加权本质非振荡( w e n o ：w e i g h t e de s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y ) 格式 2 6 ，4 0 】。高阶w e n o 格式对于存在间断的问题应用广泛， 例如计算流体力学( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ) 。w e n o 现在也被z h a n g 等 人【6 4 】用来模拟交通流。w e n o 格式的基本思想是局部选择合适的逼近模板， 使得在光滑区域可以得到高阶精度，在间断点可以捕捉到锐利、无振荡的间断。 下面我们将分别介绍双曲型守恒律方程中的w e n o 格式和h a m i l t o n - j a c o b i 方 程中的w e n o 格式。 2 1 1双曲型守恒律方程 考虑如下具有初值、边值的双曲型守恒律方程 “+ ，( u ) 。= 0 ( 2 1 ) 在我们以后章节曲型守恒律方程的数值模拟中用了如下基于l a x - f r i e d r i c h sf l u x s p l i t t i n g 的五阶有限差分加权本质非振荡( w e n o ：w e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n 一 7 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文第8 页 第二章算法介绍 5 2 1w e n o o s c i l l a t o r y ) 格式 4 0 】 d1 夏讹，j 。一瓦( 五+ 一j i ：一 ) 其中，z 是网格长度，数值流通量五+ 的定义下面详细描述。 ( 2 2 ) 为了叙述简单，我们先考虑厂7 ( 乜) 0 的情况。& = ，( 观，t ) ，z = i 一 2 ，i 一1 ，i + 2 为五+ 构造中所需的点值。首先，我们基于三个不同的点 集 s t 墙8 i - 1 民) ， s “，s t ，s 件1 ) ，“，s i + 1 ，s t + 2 ，在x i + 格点上构造三个三阶逼 近 ：? = = j l s t 一。一否7 s t 一+ 警s t ， ： 丢= 一百1 s i t + s t + s i + - ， = 担+ 池一石1 s m 再定义三个非线性权u m ，仇= 1 ，2 ，3 c o r n2 其中，线性权m ，l = 1 ，2 ，3 为 u m 鍪。 1 7 12 面， 光滑因子岛，l = 1 ，2 ，3 为 3 仇2 ；， a m ( e + 屈) 2 3 舶2 而， 防= 笔( s t 一2 2 s t l + s t ) 2 + ；( s l 一2 4 s t 一1 + 3 s t ) 2 ， 阮= 甓( s l 一1 2 s 。+ 8 i + 1 ) 2 + ( s t l s 件1 ) 2 屁= 甓( s i 一2 s 件l + s i + 2 ) 2 + ( 3 s l 一4 s 件l + 8 i + 2 ) 2 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 参数可用以防止分母为0 ，通常设为1 0 - n 。最后，由三个三阶逼近的非线性凸 组合构成五+ 五十= u z ：? + u ： + u 。：挈 ( 2 7 ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第二章算法介绍 第9 页 2 1 w e n o 接下来，我们考虑通常，7 ( u ) 有正、有负的情况。我们先将流通量( u ) 分裂 成f ( u ) = ，+ ( u ) + ，- ( u ) ，其中瓦d ，+ ( u ) 之0 ，一d _ f 一( u ) 0 。然后，由 ，= i - 2 ，t 一1 ，i + 2 通过上面的运算得到；件委，再由疗，z = i 一1 ，i ，i + 3 ，在 z 件吾格点作j i ：【+ 的镜面反射得到产件 。最后将厂+ 件丢，厂_ 件 相加。在实际应用 中，有很多不同的分裂算子，我们以后章节的数值模拟中使用的是l a x - f r i e d r i c h s s p l i t t i n g 1 ，士( u ) = 言( ，( u ) 士a u ) ， w h e r e 口= m a x l f 7 ( u ) i ( 2 8 ) 2 1 2 h a m i l t o n - j a c o b i 方程 下面，我们介绍w e n o 格式在h a m i l t o n - j a c o b i 方程中的应用。考虑如下 具有初值的h a m i l t o n - j a c o b i 方程 。+ 日( 妒$ ，妒掣) = 0 ，( z ，y ，0 ) = o ( z ，可) ， ( 2 9 ) 日至少是l i p s c h i t z 连续的函数( 通常为非线性的) 。 h a m i l t o n - j a c o b i 方程在很多方面都有广泛的应用。例如图象处理( i m a g c p r o c e s s i n g ) ，计算机视图( c o m p u t e rv i s i o n ) ，控制论( c o n t r o lt h e o r y ) 。本文中的 行人交通流模型( p e d e s t r i a nf l o wm o d e l s ) 也涉及了h a m i l t o n j a c o b i 方程。 接着我们看看h a m i l t o n j a c o b i 方程本身的性质。无论初始条件矽o ( 。，y ) 多 么光滑，方程( 2 9 ) 的解在通常情况下也不会全局c 1 光滑。大多数的时候导 数在一定时间后就会出现间断，因此西不为c 1 ，而是l i p s c h i t z 连续。该性质在 一维情形下很容易证明。将h a m i l t o n - j a c o b i 方程 也+ 日( 丸) = 0 空间求导后，记u = 屯，得双曲型守恒律方程 饥+ 日( 乱) 霉= 0 对双曲型守恒律方程来说，它的解u 有界，u 的全变差有界，但是u 不连续。于 是u 的间断就变成了西导数的间断。 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第二章算法介绍 第1 0 页 2 1 w e n o 在解西缺乏全局光滑性的情况下，h a m i l t o n j a c o b i 方程的弱解被提出。弱 解在其导数存在、连续的点上满足h a m i l t o n j a c o b i 方程。但这样定义的弱解不 唯一。考虑到双曲型守恒律方程中，u 在间断点满足r a n k i n e - h u g o n i o tj u m pc o n d i t i o n ，和e n t r o p yc o n d i t o n 。于是具有唯一性，符合物理现象的粘性解( v i s c o s i t y s o l u t i o n l 被提出，粘性解在导数间断的地方满足一定的不等式。 因此我们在数值离散h a m i l t o n j a c o b i 方程( 2 9 ) 时，需要特别注意下面的 粘性解性质： 粘性解西的导数可能间断。在应用中，我们遇到的大多数解是分片光滑。 弱解不唯一。因此我们需要在其导数间断的地方增加额外条件以保证得到唯 一的、物理的粘性解。 1 9 8 4 年，c r a n d a l l l 和l i o n s 8 1 提出了一阶单调格式 蕊d 户一疗( 訾，訾；等，訾j c ) ，(