第二节 二重积分的计算法.doc

第二节 二重积分的计算方法教学目的：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分教学重难点：将积分区域用不等式组表示教 法:讲授课 时:4仅仅依靠二重积分的定义及其性质，不可能对一般的二重积分进行计算。本节介绍一种二重积分的计算方法，这种方法是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。一、利用直角坐标系计算二重积分我们首先来考虑直角坐标系下面积元素的表达形式。在二重积分的定义中对区域的分割是任意的，极限都存在，那么对于区域进行特殊分割该极限也应该存在。因此，在直角坐标系下，我们用平行于轴和轴的两族直线把区域分割成许多小区域（图104）。除靠区域边界曲线的一些小区域外，其余的都是小矩形区域。当这些小区域的直径的最大者l0时，这些靠区域边界的不规则的小区域的面积之和趋于0。因此，第个小矩形区域的面积 。因此，直角坐标系下面积元素 。于是二重积分的直角坐标形式为。由二重积分的几何意义知道，如果，的值等于一个以为底、以曲面为顶的曲顶柱体的体积。下面我们用定积分的微元法来推导二重积分的计算公式。若积分区域可用不等式组表示为如图105，选为积分变量，b，任取小区间， ，b。在轴上分别过点、作垂直于轴的平面，设表示过点垂直轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，则小薄片的体积近似等于以为底、为高的柱体的体积，即体积元素 该截面是一个以区间为底边、以曲线（固定）为曲边的曲边梯形，因此 所以 =，即 。 （1）由此看到，二重积分的计算可化为两个二次积分来计算。第一次积分时，把看作常数，对变量积分；第二次是对变量积分。这种先对一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分（或二次积分）。公式（1）也称为先积后积的累次积分公式，通常写成 。同理，若积分区域可用不等式组表示为则二重积分可化为先后的累次积分 。以后我们称图106所示的积分区域（有两条边垂直于轴）为X型区域，图107所示的积分区域（有两条边垂直于轴）为Y型区域。把二重积分化为累次积分的关键，是根据所给出的积分区域，定出两次积分的上下限。计算二重积分的一般步骤是第一步 在平面直角坐标下，画出积分区域的图形；第二步 根据区域的图形，判断它是哪种类型的区域，然后将区域用不等式组表示出来；第三步 根据上述的不等式组，将二重积分化为累次积分；第四步 计算累次积分。例1 计算，其中是由，所围成的区域。一般地，如果积分区域是由，（，）所围成的矩形区域，则 =。例2 计算，其中是由直线、及所围成的闭区域。上面两个例子说明，积分次序的变更对于二重积分计算关系不大。但有时由于积分区域的形状关系，一种次序远较另一种简便。例3 试将化为两种不同次序的累次积分。其中，是由，和轴所围成的闭区域。例3中，如果先积后积，需要计算两个累次积分；如果先积后积，只需要计算一个累次积分。因此，在化二重积分为累次积分时，为了计算简便，根据积分区域的形状，选择恰当的累次积分的次序。例4 计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。解 首先画出积分区域的图形1011，边界曲线的交点（1，-1）、（4，2）。由图可见，将区域用Y型区域的不等式组表示较简单，即。于是= = = = =。如果先积后积，应如何计算这个二重积分呢？请读者思考，并写出累次积分。例5 计算，其中是由及所围成的闭区域。解 首先画出积分区域。它既是X型区域，又是Y型区域。如果先积后积，因为不是初等函数，所以求不出结果。因此只能先积后积，将积分区域表示成Y型区域的不等式组。于是= = =- = =。综上所述，积分次序的选择，不仅要考虑积分区域的形状，而且要考虑被积函数的特点。在能够计算二重积分的前提下，要使计算尽量简单。二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有现研究这一和式极限在极坐标中的形式。用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分成个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有于是即由于fxydD(,)s也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式 (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。(1)式的记忆方法:2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。【情形一】积分区域可表示成下述形式其中函数, 在上连续。则 【情形二】积分区域为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 )。故 【情形三】积分区域为下述形式 显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而故 则 由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。【例4】将下列区域用极坐标变量表示1、2、3、先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围。注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。利用此题结果可求出著名概率积分 。而被积函数满足 ,从而以下不等式 成立，再利用例二的结果有, ,于是不等式可改写成下述形式故当时有 ,即