（应用数学专业论文）不适定问题的正则化理论及其应用.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 中文摘要 反问题与不适定问题是现在数学中的一个研究热点问题。问题是适定的指的 足问题的解存在，唯一并且稳定，如果有一个不满足，则称为不适定的。不适 定问题的求解面临的最大困难是解的不稳定性，即；原始资料小的观测误差( 这 在实际中是不可避免的) 会导致近似解与真解的严重偏离，这就是不适定性问题 的本质困难。求解不适定问题的普遍方法是正则化方法。如何建立有效的正则 化方法及算法是反问题和不适定问题研究领域中的重要内容。 本文从一些实例出发，介绍了反问题和不适定问题的基本概念，并讨论了线 性紧掉f 疗程的m o o r e p e n r o s e 广义解，得出了m o o r e p e n r o s e 广义解的不稳定 性的结论。介绍了不适定问题正则化的一般理论，主要讨论了各种常用的正则 化方法包括t i k h o n o v 正则化，l a n d w e b e r 迭代法，并研究了正则解的误差估计 及正则参数的选取问题。 l a n d w e b e r 迭代法对于求解大规模问题是十分有利的，而且比较稳定。目前， l a n d w e b e r 迭代法已进一步发展于求解非线性的不适定问题。但是，1 a n d w e b e r 迭代序列收敛速度( 特别是当真实解的“光滑性”很差时) 是相当慢的。本文 给出了一种新的迭代格式，这种迭代格式能够大大加快收敛速度。 本文还将l a n d w e b e r 迭代法应用于数值微分问题，将数值微分问题转化为二 个特殊的第一类f r e d h o l m 积分方程的求解问题，应用文中设计的算法给出了具 体的数值实验。 线性微分方程中的边界函数识别问题是数学物理中常见的并且是非常重要 的问题，该问题的难点在于端点的确定。本文通过t i k h o n o v 正则化方法，将边 界函数识别问题归结为泛函的极小值问题，利用m o r z o v e 原理确定适当的正则 参数后，应用演化算法，求得相应的极小值，从而确定边界函数，并给出了相 应的数值实验。 关键词：反问题，不适定问题，正则化，迭代加速，演化算法，边界函数 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n v e r s ep r o b l e m sa n di 1 1 p o s e dp r o b l e m sa r ev e r yh o ti nm a t h e m a t i c sn o w a d a y s t h ew e l l p o s e dp r o b l e m si st h a tt h es o l u t i o no fp r o b l e m si se x i s t e n t , u n i q u ea n ds t a b i e i ft h e r ei so n eo rm o t ob ed i s s a t i s f i e d i ti si u - p o s e d h o w e v a r , t h em a i nd i f f i c u l t y a b o u tt h es o l u t i o no fi 1 1 p o s e dp r o b l e m sl i e si nt h ei n s t a b i l i t yo fs o l u t i o n ，w h i c hw i l l p r o d u c eag r e a te r r o rb e t w e e nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na n dt h ee m r e c ts o l u t i o nw h e r e t h eo b s e r v a t i o nd a t ai ns o u r c e b o o ka r cs i l l a l le r r o r ( w h i c hi np r a c t i c ei si n e v i t a b l c ) t h i si st h en a t u r eo fd i f f i c u r i e so fi 1 1 p o s e dp r o b l e m s ag e n e r a lw a yt h a tw es o i n t e i l l p o s e dp r o b l e m si sr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d 。h o wt ob u i l du pe f f e c t i v er e g u l a r i z a t i o n m e t h o da n da l g o r i t h ma r ev e r yi m p o r t a n tp a r t so fi l l - p o s ep r o b l e m sr e s e a r c h i n gi n i n v e r s ep r o b l e m sf i e l d b e 西n n i n gw i t hs o m ec a s e s , t h ea r t i c l eg i v e sh a s i cd e f t n i t i o n so fi n v e r s e p r o b l e m sa n di l l p o s e dp r o b l e m s t h e ni td i s c u s s e st h em o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e d s o l u t i o n , a n dm a k e sac o n c l u s i o nt h a tt h em o o r e p e m o s eg e n e r a l i z e ds o l u t i o no f l i n e a r c o m p a c to p e r a t e re q u a t i o n s i su n s t a b l e n ea r t i c l ei n t r o d u c e sg e n e r a l r e g u l a r i z a t i o n t h e o r i e sa b o u ti l l p o s e dp r o b l e m sa n dav a r i e t yo fr e g u l a r i z a t i o n m e t h o db e s i d e st i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o na n dl a n d w e b e r e m t i v em e t h o d , i ta l s o d i s c u s s e st h ec a l c u l a t i o no fr e g u l a r i z a t i o nr e s o l u t i o n se l t o ra n dt h ec h o i c eo f r e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r l a n d w e b e ri t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gl a r g e - s c a l ep r o b l e m si sv e r yb e n e f i c i a l ， a n dr e l a t i v e l y s t a b l e 。c u r r e n t l y , 1 a n d w e b e ti t e r a t i v em e t h o dh a sb e e nf u r t h e r d e v e l o p m e n ti nt h ei 1 1 p o s e dn o n l i n e a rp r o b l e m s h o w e v e r , l a n d w e b e ri t e r a t i v e s e q u e n c ec o n v e r g e n c es p e e d ( e s p e c i a l l yw h e nt h er e a ls o l u t i o n ”s m o o t h n e s s ”v e r y p o o r ) i sv e r ys l o w n j sp a p e rp r e s e n t san e w i t e r a t i o nf o r m a t , t h i sf o r m a tc a ng r e a t l y a c c e l e r a t et h ei t e r a t i v ec o n v e r g e n c er a t e t h i sp a p e ri sr e t u r n e db a c ka p p l y i n gl a n d w e b e ri r e r a t i v em e t h o dt on u m e r i c a l d i f f c r e n t i a l ，n u m e r i c a ld i f i e r e n t i a lw i l lb ec o n v e r t e di n t oas p e c i a lc a t e g o r yi f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o na n dg i v e ns p e c i f i cn u m e r i c a le x p e r i m e n t s b o u n d a r yf u n e t i o ni d e n t i f i c a t i o ni nl i n e a rd i f i e 托n t i a le q u a t i o ni sc o n l m o na n d v e r yi m p o r t a n tp r o b l e mi nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，t h ed i f f i c u l t yo ft h ep r o b l e mi s d e t e r m i n i n ge n d p o i n t u s i n gt i k h o n o vr e g o l a r i z a t i o nm e t h o d , t h ei d e n t i f i c a t i o no f b o u n d a r y f u n c t i o ni sw r i t t e na s t h em i n i m u m p r o b l e mo ff u n c t i o n a l , t h e r e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r si sc h o s e nb ym o r z o v ep r i n c i p l e ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n g m i n i m u mi so b t a i n e db a s e do ne v o l u t i o n a r ya l g o r i t h ma n dn u m e r i c a le x p e r i m e n ti s g i v e n k e yw o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m s ，i l l - p o s e dp r o b l e m s , r e g o l a r i z a t i o n , i t e r a t i v e a c c e l e r a t i o n ，e v o l u t i o n a r ya l g o r i t h m ，b o u n d a r yf u n c t i o n n 此页若属实，请申请人及导师签名。 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅： 学校可以公布论文的全部内容，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研触叛塑耳导师始嬷聃驰l 好 注：请将此声明装订在学位论文的目录前 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 反问题 第1 章引言 自2 0 世纪6 0 年代以来，在地球物理、生命科学、材料科学、遥感技术、 模式识别、信号( 图像) 处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中都 提出了“由效果表现( 输出) 反求原因，原象( 输入) ”的反问题，通称“数学物理 反问题”。由于此类问题有着广泛而重要的应用背景，其理论又具有鲜明的新颖 性i 挑战性，因而吸引了国内外许多学者从事该项研究。迄今，它已发展成为 j l 彳j 交叉忭的计笄数学、应用数学和系统科学中的一个热门学科方向。 反问题是相对于正问题而苦的。一般的，对于两个相关问题，如果其中一 个问题是( 或部分是) 另一个问题的结论，则称这两个问题是互逆的。通常， 将其中一个研究的较早、发展的较成熟的问题称为正问题，而另一个问题相应 的称为反问题。例如：在初等代数中，已知方程求解方程的根，若称其为正问 题，那么由方程的根求出方程的系数就是代数方程的一类反问题；在矩阵论中。由 已知矩阵求特征值也对应着它的反问题已知特征值求矩阵；对于微分方程 l 町，t 求满足方程初始条件与边界条件的解是正问题，已知或部分已知微分方 程的解，反求微分方程如系数、右端项、定解条件和定义域等未知成分，这类问题 通常称之为微分方程的反问题。 例1 1 地质勘探中的反问题 假设在地球表面上的某直线上测得x 处的引力竖直分量厂0 ) ，而地面下深 度为h 的线密度为p ( s ) ，那么由万有引力定律： 。i ； 厂o ) - t c - p g 岫 【( x 一5 ) 2 + 2 】2 其中k 为引力常数。 在地质勘探中，通常根据地球表面测量到的数据，对发生在地球内部的地 质行常所在位置、形状和某些参数加以确定。此处的反问题是已知厂o ) 的数据， 确定线密度p ( s ) 。 武汉理工大学硕士学位论文 例1 2 物理中的反问题 设一质量为朋的质点在重力的作用下从高度为h 的点p 1 处，沿着铅直平面 中的曲线r 无摩擦地滑到高度为0 处的点p o 。正问题是：给定曲线f ：石- ，( y ) ， 确定质点由点p l 滑落到点既处的时间丁；反问题是：假设测得质点由任一高度h 滑落到点p o 处所需时间为f - r ( h 1 ，确定曲线r 的形状。 在曲线r 上任取一点p ，坐标为( ，( _ ) ，) ，y ) ，由能量守恒定律： 一1 m v 2 + m g y 。m g h 2 从而可得质点的速度为： “ 鲁- 厕 故质点由p 。点处滑落到点p o 处所需时间为： m ) i j ：孺茜尹j ： 如果令庐( y ) 一1 + ，b ) 2 ，妒( ) - 4 - 磊r ( h ) ，那么这里的反问题可表述为： 妒( ) 已知，妒( y ) 未知，求解a b e l 积分方程： r ? 当y 妒( j i i ) jo 万。”7 例1 3 数值微分问题 给定可积函数，o ) ，f 【o ，1 】，求其原函数f ( t ) ，这是积分问题。相应的反 问题是已知可微函数f ( f ) 求其导函数，( f ) ，这是微分问题。微分和积分是互逆 的数学问题，如果给出了解析式，通常积分比微分困难。但是，如果给定的f ( f ) 是近似的，甚至是带有误差的离散值，这时对，o ) 作数值微分，那么这个问题 就要闲难得多。在很多的实际问题中，例如：图象处理过程中的不连续点的确 定问题：化学分析中的实验数据的波峰分离问题；a b e l 积分方程的求解问题等 都会涉及到数值微分问豚。 2 武汉理工大学硕士学位论文 数值微分问题的一般提法是：对于可微函数y - ，( f ) ，f 【口，6 】，已知f ( f ) 在 点4 一t o 1 一6 处的近似值儿，i - 0 ，1 ，2 ，其中 k f “) i s 6 ，f - o ，1 ，2 厅( d 为误差) 寻求函数f ( t ) 作为f o ) 的近似。 例1 4 信号处理中的反问题 带限( 频谱有限) 信号的重构或外推是信号处理的基本问题。所谓带限信 号的外推是指已知信号在某一区域的值，由此求出该区域以外的值。 用e 表示全体仃频谱有限连续信号的集合，设f ( t ) e 霹，已知，( f ) 在区间 【_ r ，r 】上的值。要求，( f ) 在 - r ，t 】以外的值，首先求解卷积型积分方程： + z r h ( t f ) 2 0 y f f o ) 然后根据下式： ，( f ) - r h ( t r ) z 矽f t 【刁，丁】 t 【一，+ 】 作外推，其中i l ( f f ) 竺等堑二：型为该系统的脉响应函数。 x ( t f l 例1 5 逆热传导问题 考虑一维热传导方程的初值问题： j 生8 t4 2 睾正即加缸 【“l 0 - 妒o ) 其中口为热传导系数。利用f o u r i e r 变换及其反演可得： 删一未长僻等d 亭 j 下问题：是已知妒( z ) 和口，求“o ，t ) ：相应的反问题是：已知某一时刻r 时的温 度分布“( 石，t ) i u t 0 ) 和4 ，求初始时刻的温度分布矿“) ，即求解关于矿( x 1 的第 3 武汉理t 大学硕士学位论文 。类f r e d h o l m 积分方程： 赤2 c 孵弘。学蜘州z ) 口以了j 一协严 ”八叫 很多反问题可归结于对算予方程： t x - y 的求解。算子t ：x y ，x 。y 均为度量空间，分别称为解空间和数据空间。 ru 以是积分算子，微分算子或是矩阵。所谓正问题就是已知r 和x 求y ，而反 问题则是在r 和y 已知的情况下求x ，相当于已知效果，表现，输出反求原因， 原像，输入。当r 为线性算子时，称为线性反问题；当r 为非线性算子时，称为 非线性反问题。 1 2 不适定问题 定义1 1 已知算子t ：x y ，z ，y 均为度量空间。若算子方程t x y 满足 ( 1 ) v x e x ，存在唯一的y e y ，满足t x - y ( 2 ) v ，0 ，j 6 ，0 ，只要恢- y ：b t 6 ，则有恢一屯kt 其中t x , 一y 1 ，t x 2 一y 2 则称算子方程a y 在( z ，y ) 上是稳定的。 定义1 2 已知算子t ：x l ，x ，l ，均为度量空间。若算子方程t x - y 满足 ( 1 ) ( 解的存在性) y x e x ，砂e y ，满足t x - y ( 2 ) ( 解的唯一性) 巩- y ，一y x a - x z ( 3 ) ( 解的稳定性) t x - y 在( 工，y ) 上是稳定的 则称算子方程戤y 在度量空间对( z 。y ) 上是适定的，否则称算子方程t x 一) ，在 4 武汉理工大学硕士学位论文 度量空问对( x ，y ) 上是不适定的。 显然，对于算子方程研- y 的适定性有如下结论： 定理1 1 算子方程a - y 在度量空间对( z ，y ) 上是适定的t 4 ：l ，一z 存在且 连续。 大量的问题都是不适定的。事实上，许多反问题是不适定的，这正是反问 题研究中的本质困难。 例1 6 病态线性方程组 考虑线性方程组纽。y ，其中a e r 。显然，如果h 0 ，则彳- 1 不存在， a x y 是不适定的。如果川一0 ，但是条件数耐o ) i 陋0 怕一i i t l e $ 大，此时， a x l y 的右端y 有小的扰动便会引起解的严重偏差，即解不稳定，那么a x l g y 同样是不适定的。 例1 7 第一类f r e d h o i m 积分方程 考虑第一类f r c d h o l m 积分方程 f k ( t ，s ) z ( s ) c l s - “( f )，【c ，d 】 其中k ( s ，t ) 为连续函数，u ( t ) l z c ，d 】，z ( s ) e c a ，b 】。 设z 。( s ) 是对应于右端项。o ) 的一个解，那么z 2 ( s ) z a s ) + _ v s i n ( m s ) 是对应于头 端项“：( f ) - “。( f ) + 吖k ( t , s ) s i n 细s ) 出的解，其中为常数。 阮叱虬：- i j 矿旷i ( ) s i n ( 一s ) d s 】2 以 ； l l z 一z 2 i i 。【。】一，m 日。a ，x 。，ns i n ( 仃s ) l l n i 当秽充分大时，j b ，- - 1 2 忆可任意小，但8 毛- z 2 1 1 c 扣朋- i 1 ，这说明解是不稳 定的，从而第一类f r e d h o l m 积分方程是不适定的。 例1 8l a p l a c e 方程c a u c h y 问题 考虑下列两个初值问题： 5 武汉理工大学硕士学位论文 其中a 为参数a “。o ，) ，) 一。是问题( 1 ) 的解；：o ，_ ，) - i 1 竿s i n 缸是问 题( 2 ) 的解。按最大模的意义，两个问题对应初值之差的模为南，当i a j 充分 人时，击可以充分小。而当川充分大时，只要3 x n 1 i , ，y - 0 ，两个问题对应 l i 的解之差的绝对值就可以取到很大的值，对应的模就不可能任意小。因此这个 问题的解是不稳定的，从而是不适定的。 定理1 1 设t ：x y 是紧算子，z ，y 为口空间，d i m x - 或d i m y ，则 r 没有有界逆。 定理1 1 说明了线性紧算予方程是不适定的，从而第一类积分方程( 包括 f r e d h o l m 积分方程和v o l t e r r a 积分方程) 一般是不适定的。 6 柚警 磷御 国 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章算子方程的广义解 2 1m o o r e - p e n r o s e 广义逆 算子方程投- y 是适定的要满足解存在且唯一，在许多实际问题中可能会出 上见及。y 没有解或解不唯一的情况，此时重新定义算子方程t x - y 的解使得解存 在且唯一。 定义2 1 设丁：x y 是有界线性算子，x ，y 均为h i l b e l t 空间，考虑算子方程 t x - y ，记s - x e x | l 盼e l l - 卿l 盼一) ，吁，若s 非空，则s 中的元即为 t x - y 的最小二乘解。s 中存在唯一的元取到最小模，这个元称为方程a y 最 小模最小二乘解( 或m o o r e p e n r o s e 广义解) ，记为x + 由y x + 确定了y z 的一个算子r + ：r + y - z + ，t + 称为r 的 m o o r e p e n r o s e 广义逆，t + 的定义域为d 仃+ ) - r ( r ) + r f ) 1 虽然通过引入m o o r e p e n r o s e 广义解，一些紧算子方程t x y 的解的存在性 和唯一性问题得到解决，但是解的不稳定性依然存在，解的不稳定性是不适定 问题的最困难之所在。 2 2 线性紧算子方程的广义解的不稳定性 定义2 2 设x ，y 均为h i l b e r t 空i b j ，t ：x y 是紧算子，f r 的所有非零特征 值按递减顺序排列为( 每一个特征值按其重数重复) ： 2 乏如2z 九2 七 7 基堡矍兰盔兰堡主堂垡堡奎 t 为对应的单位特征向量，取_ ) ，。巩，则协称为丁的奇异值， ，而，y 。) 称为t 的奇异系。 在，的奇异系“，而，咒) 中，“，两两正交，忙8 - l ，且 炒析- ( 丢巩，砉巩) 。毒( 甄t 取) - 仃，毛) - 瓴，毛) - 1 ， ，) 。畴巩，毒孜，) 去 ，及，) 者仃玩 ) 一砉“ ) - 。， 显然，的奇异系 ，t ，y i ) 具有以下性质： ( 1 ) 九一0 ，如果t 有可列个非零的特征值。 ( 2 ) 一- ( 3 ) 仁， 构成爿的正交规范系，f t s p a n x - 口) 15 ( 4 ) y r ，构成y 的正交规范系，i j ls p a n y i - 承巧 定理2 ，1 ( s v d 定理) 设石，y 均为h i l b e r t 空间，t ：x l ，是紧算子，r 的奇异 系为( ，y ，) ，p ：x 一口) 是正交投影，则 x - o ，x 。) x i + i x ，垤z t x o ，毛) ) ，溉z 丁y - 艺 o ，y 。k ，砂】， 证明：( 1 ) 由h i l b e r t s c h m i d t 定理知 工o ，气k + o x ，魄x 其中q ：j - * n ( r + 丁) ，事实上，p = q ，即仃丁) n v ) 。 也n ( t r ) ，则r t z - 0 ，而( 娩，r z ) 一( r t z ，z ) 一o ，故恐一0 z ( d ； 8 武汉理上大学硕士学位论文 义比口) ，则t z - 0 ，故r t z 一0 z e n ( t t ) 。从而n ( t t ) - n ( t ) ，即 有： z - o ，t k + i x ，v x e x ( 2 ) 由( 1 ) 可知： a - r ( o ，t k ) + t p x = 芝o ，x 1 ) t x , = o ，t 抄t ， 即有：a o ，t ) ) ，t ，坛工 ( 3 ) v y y ，t y e x ，由( 1 ) 知： r y - ( 丁y ，t k + 刀) ，= ( ) ，t x ；k + it y = ( ) ，y ，k + 刀) ， 而( 刀y ，z ) 1 ( y ，t e z ) 1 ( y ，o ) - 0 ，v z z p t + y 1 0 ，故有： 丁+ y - ( y ，y ；k ，v y e y 定理2 2 ( r i e s z - f i s h e r 定理) 设日均为h i l b e r t 空间，他) 是其标准正交系，则 ( 1 ) ( n - ，4 z ，吒，) ，2 一z 4 一e i 收敛 ( 2 ) 若善4 ，q 收敛，记善4 i 岛一z ，则吼一o ，岛) ，且 z 蚶- 蜥 证明：c ，注意到i 薹f 三8 2 。薹一1 2 成立，结合日与z 2 的完备性知： ( 4 l ，4 2 ，o 0 4 一) f 2 口f e i 收敛 _ ( 2 ) 吒一( 口i 吒，岛) ，h i ，令辟_ + ，即得 口f1 0 ，e i ) 同时易知 令n _ + ，即有： | 一耋4 ；巳l - i n l 2 一砉p ，1 2 斜2 - 2 9 武汉理工大学硕士学位论文 定理2 ，3 p i c a r d 定理) 设x ，y 均为h i l b e r t 空间，t ：z y 是紧算子，r 的奇 聊砉学，y y e d 证明：若y e d ( t + ) ，则有戤+ - 毋，工+ - r + y 仃) 1 ，其中p ：y 一藏孬为 2 正交投影。由于聊月“ _ ( f ) 1 t 则工+ 。善 + ，而k ，善陋+ ，刮 0 为常数， 则对t i k h o n o v 泛函 ，。 ) 一盼一y h 2 + a 蜥 存存唯一的，e x ，使得 ，。( x 4 ) ，。o ) ，v x e x 且j 。是方程丁+ 及+ 暇。t 。y 的解。 证明：( 1 ) 首先证明，的存在性。 由于j 。0 ) 一0 a 一) ，0 2 + 口2a 0 ，则- ，。 ) 必有下确界，不妨设 d 。磐j a o ) 武汉理工大学硕士学位论文 由f 确界定义，v n e n ，玉z ，使得 d - ，。d + 言 注意到由平行四边形等式有 ，。( ) + ，。k ) = 恪一y 8 2 + 口恢8 2 + i 降。一y i l 2 a t l x u 2 = 昙。矿瓴+ ) 一2 y n 扩瓯一毛) | 1 2 ) + i 1 。( i b + 卜慨一0 2 ) = z ，。丁x m + x n ) + 三口肛，+ 矗8 2 + j l a l k 一9 2 2 d + 昙口k 一0 2 即三口k 一8 2 l ，) + ，。o 。) 一2 , t i 1 + 三 这说明 工) 是基本列，由x 的完备性，饥) 收敛，设一矿t 再一+ * ，则 ，。0 4 ) 。世，a ) ( 2 ) 再证明工。的唯一性。若x 使得- ，。( ) 。磐，。o ) ，那么 吾“肛。一8 2 ，。 “) + ，。) 一嬲= o 即得工o - x 4 。 ( 3 ) 最后i i e n x 。是方程r t x + a r - t y 的解。若- ，。0 8 ) 。磐，。，考虑 天j 二t 尺的函数 。f ( 0 t j 。g 4 + 拓) ，娩x ， 厂( f ) 在t 。0 处取得最小值，故，( o ) 一0 显然 ，( f ) ，。 4 ) + q 肛8 2 + a o z 8 2 弘2 + 【口( r x 。一) ，) + 假8 ，2 ) + g ，z a x 4 一y ) + a r 4 ) p 从而 ，( o ) 一口+ ( 戥4 一y ) + t z r 4 ，z ) + 0 ，t ( t x 4 一y ) + a x 。) - - - 0 ，v z z 武汉理工大学硕士学位论文 圾z ；丁( r x 。一y ) + 0 9 , f 4 ，即有 0 t ( t x 。一y ) + 西48 2 - o r t x 4 + 饿4 t y 定理3 4 设z ，y 均为h i l b e r t 空间，t ：x y 是线性紧算子，考虑方程 t x y 设其右端出观测得到的观测值为) ，。d 口+ ) ，且抄- y 。8 s6 ，凡为t i k h o n o v i 则化方法。 ( 1 ) 若方程a - ) ，的解工+ - t z r ( t ) ，z e y ，且e ，则选取正则参数 口( d ) 一c 言，( c ，o 为常数) 即有误差估计 。y 。一工+ - o ( a j ) ( 2 ) 若方程a - y 的解x + - t + 娩月口z ) ，z s x ，且s e ，则选取正则参 数a p ) 一c ( 争；，( c ，o 为常数) 即有误差估计 忙。y 。一z + l o ( a j ) 证明：正则解见y j 与精确解工+ - t + y 之间的误差为 。y 忙丽1 6 + i i o , - r d 且i r r o y - x j 1 2 = 薹【可 ，p ；) 一，】2 b + 1 2 ，其中日 ，弘) - i 譬 ( 1 ) 若善+ t z r ( t ) ，贝0 i i r o - ，- x 1 1 2 。薹嗉) 2 n 刮2 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 s 薹( 寿) 2 胁t 2 。薹( 羔) 2 m _ 2 嘲i 刊s - 厄t 4 - 2 棚有i 口l i k o y - x l l 五2 e 从而o r o _ ) ，- t y l l s 丽16 + 延2e ，选取郇) - c 昙，即知 慷y 。一石+ 0 - o i ( 2 ) 若工+ i 丁t z r ( t t 1 ，则 i i r o - ，- x r 2 。薹嗉) 2 s 薹靠2 - 薹c 霸2 臆到l 矧晡l 口+ p i 旷t z ，t 1 2 j o ，r t x ；) | 2 1 0 ，t _ 2 恢) ，一善+ c a e 从而忙。y 。一丁+ y l 习1 吾6 + 以，选取口) c ( 争；，即知 2 i 陋。y 。一x + 0 - o ( a j ) 武汉理工大学硕士学位论文 3 3 2l a n d w e b e r 迭代法 l a n d w e b e rj 下则化方法对应的正则化算予为凡：y x 三 凡y 曼生旦弛y ，y ，况 镯 弘i 如果取口! ，n e n ，则有 n r y 。篁生垦型鲨r ( ) ，只k 爿肌 事实上，此时r 。y = 口罗( ，一a t z ) t y ，这种正则化方法的思想可以看作是以算 。筒 子。荟( 7 4 r r ) r 作为r + 的逼近 定理3 s 薹华y 珙k = 4 磊n - 1 ( ，- a t t ，7 丁y 舒 f箭 证明：r + y f ) 。，则有r ) ，。善口) ，t 弦；，从而 口 j 薹( 1 - a t t ) 中) ，。口磊t l - 1 ( ，- a t t ) 善仃_ ) ，薯k 。嚼荟【y ，巩埘z ) 7 一 剐善磊腑 y i - a l t i z ) 7 t ：芰型蚂y ，_ ) ，k 岛“ ” 事实上，。r y 可以由下列迭代式得到： i n - 1 + a t o ，一! k 一1 ) ，x o 一0 1 9 武汉理工大学硕士学位论文 其中 为迭代次数，三起着正则参数的作用。 打 2 0 武汉理工大学硕士学位论文 第4 章l a n d w e b e r 迭代的加速与数值微分中的应用 4 1l a n d w e b e r 迭代的加速 4 1 1 理论研究 l a n d w e b e r 迭代法对于求解大规模问题是十分有利的，而且比较稳定，即使 观测误差比较大时，也可得到较好的结果。目前，l a n d w e b e r 迭代法已进一步发 展于求解非线性的不适定问题。但是，l a n d w c b c r 迭代序列收敛速度是相当慢的， 特别是当真实解的“光滑性”很差时，显得尤为突出，这成为l a n d w e b e r 迭代 j 下则化应用的巨大障碍。因此，在实际应用中，l a n d w e b c r 迭代的加速问题十分 重要。本文将给出一种新的迭代格式，这种迭代格式能够大大加快收敛速度， 有效地减少计算量。 考虑迭代格式 4 “- 4 ( ，一a t f ) + ，4 一i 易知4 。荟( ，一4 r + 丁) 。，则正则解疋y 。以q r 凡) 停止规则为 0 巩_ ) ，。一y b 忙硒( 1 - ，1 ) 第一次出现。 若记8 ，- a t t ，：= a t y 6 ，则迭代格式为。 4 + 1 - 4 b + ，4 i 则乖则解为r ) ，。一4 z ，停止规则为1 1 7 碡z 一儿忙硒第一次出现 为了加快迭代速度，考虑如下迭代： r 茹掣驯_ ， 【墨+ l - 掣 ” 其中哼2 为给定的j 下整数。由上式可知： 互- 五( ，+ 品+ + 氏) ，( ，+ 8 + + 口9 q ) - l + b + + 酽q - a , 武汉理工大学硕士学位论文 4 - 4 ( ，+ s + + 墨9 4 ) i ( “价+ 伊- 1 x ，+ 伊+ + 缈) - 1 ) t q + b + + b q - 1 1 l + u + b + + b 4 4 、b 1 + + 王+ b + + b q 4 w y a l ，+ b + b 2 + + 口矿一1 。4 ： 依此类推得4t 4 。，即 互。蔫( ，- a t t ) 以上公式大大加快了收敛速度，这种格式迭代栉次，相当于原格式迭代q “次， 这样就有效的减少了计算量。 加速后的l a n d w e b e r 迭代算法可描述为： ”给定仞值跏r l 小，其中南； 2 ) 计算互。- 互( j + 瓯+ 墨”1 ) 和瓯。- s , 4 ； 3 ) 计算一五( 口r + _ ，。) ，若满足0 一y 。8 铂( f 1 ) ，则停止计算，否则 转2 ) 。 事实上，实际问题在离散化之后，上述算法中第2 和第3 步将有更为简 单的计算，这对于计算量的减少也是有极大的帮助。 4 1 2 数值实验 为了说明本文给出的算法的有效性，考虑右端项有扰动误差的第一类 f r e d h o l m 积分方程 6 fk ( s ，f 弦( s ) d s - y ( f ) ， a t b 的求解，并且解的光滑性较差。许多反问题都可归结为此类方程，比如热传导 反问题，信号和图像处理中的反问题等等。 考虑第一类f r e d h o l m 积分方程 1 c l n ( t s 扣( s ) d s y ( f ) ， 2 s t 墨3 武汉理工大学硕士学位论文 当y ( f ) - 圭f 2 i n t + ( f 一1 ) 2 一( t 2 - t + l n o 一尹i 一三8 时，解为 小，- e - - $ 三三薯 似没方程右端有扰动6s i n 5 0 t ，此时求解的方程为 j ：l n ( f s ) 工( s ) d s y 6 ( f ) 2 s t c 3 其q j ) ，。( f ) 一y ( f ) + 6s i n 5 0 t ，将方程离散化为： 蓑。l n 1 ) 巾小_ j 其中_ r 。( y ( f 1 ) ，y ( t ) ) + 6 ( s i n 5 0 t i ，s i n 5 0 t ) ，毛丝坐， 。 拧珊 i 一1 ，2 ，m ，j 一1 ，2 ，n 。取坍一5 0 0 ，一- 1 0 0 ，利用m a t l a b 编程，就右端 项的相对扰动误差- 眇d y l _ ) ，0 分别为o 0 1 ，0 0 0 1 的情况进行求解， 解的相对误差记为e r r ，计算结果见表4 1 和表4 2 ： 表4 1 ( = 0 0 1 ) 加速算法迭代次数 e r r c p u 时间 q - 2 2 50 1 8 6 1o 5 1 6 0 q - 3 1 60 1 8 4 6o 5 0 0 0 q - 4 1 3o 1 8 4 70 5 1 5 0 表4 2 ( 0 0 0 1 ) 加速算法 迭代次数 p r r c p u 时间 q - 2 2 60 1 8 3 8o 5 3 2 0 q 一3 1 70 1 8 3 8o 6 0 9 0 q n 4 1 30 1 8 3 80 5 6 2 0 从计算结果中可以看出，按照本文的加速算法进行求解只需作很少的迭代 就可以得出结果，计算时间也非常少，如果利用传统的l e n d w e b e r 迭代算法求 解，所需的迭代次数和计算时间都是相当大的加速算法本质上还是l e n d w e b e r 币则化，但大大提高了计算效率。 武汉理工大学硕士学位论文 4 2l a n d w e b e r 迭代法在数值微分中的应用 4 2 1 问题描述与分析 数值微分问题就是已知函数在一些离散点处的值求函数的近似导数。微 分是不适定问题，即使当函数有很小的扰动时，其导数的误差也可以任意大， 数值微分同样是不适定的。处理数值微分问题已经有了大量的方法：差分和广 义謦分法，积分算子法，磨光法，以及基于t i k h o n o v 正则化理论的方法。对于 数位微分问题，l a n d w e b e r 迭代法同样是适用的。 假定，o ) c 1 【口，b 】，厶o ) 是f ( x ) 的近似已知函数，厶0 ) c 如，川且满足 8 ，- f , i i 。- s u pf ，g ) 一厶o ) 卜d 嗣 l 由f ( x ) 的近似已知函数兀o ) 求f ( x ) 的近似导数问题可以看作是下列v o l 蜘a 积 分方程的求解 j = z ( t ) a t 。厶o ) 一，( n ) ，x 【口，明 斟此，l a n d w e b e r 迭代法是适用的。但由此实际计算的结果发现同t i k h o n o v 正 则化一样，求出的近似导数在端点附近的情况非常差。为了解决这个问题，这 罩将求导问题转化为f r e d h o l m 积分方程 f y ( x - t ) z ( f 弦。f ， - o h ( o a t ，工【4 1 , b + l 】 的求解。其中 荆- r 器： 且l ( x ) 需满足a ( a ) - 厶p ) 一0 ，若不满足，可以考虑以 兄( x ) 。厶( x ) 一【i 垡掣( x 一。) + f 6 c a ) 代替厶0 ) 。 在实际的数值微分问题中，兀o ) 往往只是给出了在有限个点“) 厶处的 测量值 y ? ) 兰。，其中y i - f ( x