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共振原子体系光学瞬态过程理论研究 博士生：王干全 导师：周建英教授 捅要 本文研究y a g 基质材料中稀土离子e r 3 + 、n d 3 + 的光谱性质 和光在共振一维介质、二维平面波导中的传播特性。 e r 3 + 由于能产生上转换荧光而受到重视，本文用有一定延时 的双光束激光激发e r 3 + ：y a g 固态样品，同时测量样品的线性荧 光和上转换荧光强度；理论上用b l o c h 方程描述激发态吸收上转 换过程，通过数值方法解b l o c h 方程，得到与激发态吸收过程相 关的各能级粒子数布居随时间的变化关系，由于粒子数布居对时 间的积分结果和荧光强度成正比，因而可以计算出荧光强度。对 于有一定延时的两柬光，用此方法可得到荧光强度随延时的变化 关系，即相干光谱。相干光谱的计算结果和实验结果一致。 在n d 3 + ：y a g 晶体中，晶格的振动对n d 3 + 的光谱性质会产生 影响，这种影响可以用b r o w n 振子模型描述。本文用b r o w n 振子 模型研究 f a g 基质材料中n d 3 + 4 f 电子跃迁的电子一声子相互作 用过程，详尽推导了电子声子耦合的表达式，模拟了n d 3 + ：y a g 的激发光谱，得出了电声耦合常数和声子频率等参数；用这些参 数计算时间分辨的荧光相干光谱，结果与实验结果一致。结果表 明，4 f 电子一声子的耦合属弱相互作用。 第i 页 第i i 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 光在介质中传播，光场由m a x w e l l 方程描述，介质的极化由 b l o c h 方程描述。本文用数字方法联立解m a x w e l l 方程和b l o c h 方程，得出如下规律：单束光在一维介质中的传播规律( 如2 丌 脉冲将以时间孤子的形式传播) 和文献的结果相同。对于有一定 延时且符号相反的两束2 丌脉冲光在介质申传播时，脉宽小的光 束将赶上并超过脉宽大的光束，在两束光重叠的时候，会形成光 强很大的脉冲；光在二维平面波导中传播时，光场的形状将发生 变化：光场包络在时间和空间两方面都会展宽，如果光与物质的 相互作用强烈，光场的形状将发生分裂。影响光与物质相互作用 强度的因素有偶极矩、样品中共振粒子的浓度，光场的频率等。 关键词：稀土离子；上转换；线性荧光；上转换荧光；激发光 谱；相干光谱；b r o w n 振子；电声耦合；m a x w e l l 方程；b l o c h 方 程；有限差分；2 r e 脉冲；孤子 t h e o r e t i c a ls t u d yo nt h et r a n s i e n t o p t i c a lp r oc e s s e so fr e s o n a n ta t o m s y s t e m s p hdc a n d i d a t e ：w a n gg q s u p p e r v i s o r ：p r o f z h o uj ，y a b s t r a c t t h eo p t i c a l p r o p e r t i e so fr a r em e t a li o n s i ny a gb a s e sa n d t h el i g h tp r o p a g a t i n gc h a r a c t e r i s t i c si n1 - d i m e n s i o n a lm e d i aa n d2 一 d i m e n s i o n a lw a v e g u i d e sw e r es t u d i e di nt h i st h e s i s s t u d yo fe r 3 + i o n sh a sr e c e i v e dm u c ha t t e n t i o nb e c a u s et h e y c a np r o d u c eu p c o n v e r s i o n i nt h i ss t u d y 】d u a l l a s e rp u l s e sw i t h v a r i a b l ed e l a yw e r eu s e dt oe x c i t ee r a + ：y a gs o l i ds t a t es a m p l e ， w i t ht h el i n e a rf l u o r e s c e n ts t r e n g t ha n du p c o n v e r s i o ns t r e n g t hb e i n gm e a s u r e ds i m u l t a n e o u s l y t h e o r e t i c a l l ye x c i t a t i o ns t a t ea b s o r p t i o nu p c o n v e r s i o np r o c e s sw a sd e s c r i b e db yb l o c he q u a t i o n ，w h i c h w a ss o l v e dt h r o u g hn u m e r i c a lm e t h o d s ，a n dp a r t i c l ep o p u l a t i o nd i s t r i b u t i o n so fv a r i o u se n e r g yl e v e l s v a r y i n gw i t ht i m ea n dr e l a t e d t oe x c i t a t i o ns t a t e a b s o r p t i o nw e r eo b t a i n e d t h ei n t e g r a t i o no f t h e s ep a r t i c l ed i s t r i b u t i o n so v e rt i m ei s p r o p o r t i o n a lt of l u o r e s c e n t s t r e n g t h ，a n dt h ef l u o r e s c e n ts t r e n g t h sc a nb ec a l c u l a t e d f o rt w o p u l s el a s e re x c i t a t i o n ) t h ev a r i a t i o no ff l u o r e s c e n ts t r e n g t ha st i m e ， 第i i i 页 t h a ti s t h ec o h e r e n c es p e c t r o s c o p yc a nb eo b t a i n e dt h r o u g ht h e a b o v em e t h o d f o rc o h e r e n c es p e c t r o s c o p y ，t h ec a l c u l a t e d r e s u l t w a sc o n s i s t e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t i nn d a + ：y a gc r y s t a l ，t h ev i b r a t i o no fl a t t i c e w o u l da f f e c tt h e o p t i c a lp r o p e r t i e so fn d a + ，w h i c hc a n b ed e s c r i b e dt h r o u g hb r o w n i a no s c i l l a t o rm o d e l i nt h i st h e s i s ，e l e c t r o n p h o t o ni n t e r a c t i o n s o fn d a + 4 fe l e c t r o nl e a pi ny a g b a s ew e r es t u d i e du s i n gb r o w n i a no s c i l l a t o rm o d e l ，t h ee x p r e s s i o no fe l e c t r o n p h o t o nc o u p l i n g w a s d e r i v e d e x c i t a t i o ns p e c t r o s c o p yo fn d 3 + ：y a gs i m u l a t e d ，a n ds u c h d a r a m e t e r sa sc o e f f i c i e n t so fe l e c t r o np h o t o nc o u p l i n 9 1p h o t o n f r e + q u e n c i e sw e r eo b t a i n e d 。w i t h t h e s ep a r a m e t e r s ，t i m e r e s o l v e df l u o r e s c e n tc o h e r e n c es p e c t r o s c o p yw a sc a l c u l a t e d ，w h i c hi sq u i t ec o n s i s t e n tw i t he x p e r i m e n t a lo n e i tc a nb ec o n c l u d e d t h a t4 fe l e c t r o n p h o t o nc o u p l i n g i sw e a ki n t e r a c t i o n w h e nl i g h tp r o p a g a t e si nm e d i a ，l i g h t f i e l dc a nb ed e s c r i b e d 。b vm a x w e l le q u a t i o n ，a n dt h ep o l a r i z a t i o no ft h em e d i af o l l o w s b l o c he q u a t i o n i nt h i st h e s i s ，m a x w e l le q u a t i o na n db l o c he q u a - t i o nw e r es o l v e ds i m u l t a n e o u s l yu s i n gn u m e r i c a lm e t h o d s ，a n di t i sc o n c l u d e dt h a tt h ep r o p a g a t i n gp r o c e s s o fs i n g l eb e a ml i g h ti n 1 - d i m e n s i o n a lm e d i ai sc o n s i s t e n tw i t ht h ee x i s t i n gr e p o r t f o re x a m p l e ，2 7 rp u l s ep r o p a g a t e sa 8t i m es o l i t o n w h e n2o p p o s i t e 2 r r p u l s e so ft i m el a p s ep r o p a g a t ei n t h em e d i a ，t h eb e a mw i t hl e s s p u l s ew i d t h w o u l dc a t c hu pw i t ha n ds u r p a s st h eo t h e rw i t hg r e a t e r p u l s ew i d t h w h e n t h e s e2b e a m si n t e r s e c t ，ap o w e r f u lb e a r nw o u l d b eg e n e r a t e dl o c a l l y w h e nl i g h tp r o p a g a t e si n2 - d i m e n s i o n a lp l a n e w a v e g u i d e ，t h ef o r mo fl i g h t f i e l dw i l l c h a n g e ：t h ef i e l d w i l l g e t b r o a d e ri nt i m ea n ds p a c e ，a n di ft h ei n t e r a c t i o no fl i g h ta n dm e d i a 1 8 8 t 。n g ，t h e 靠e 】dw i l lb r e a ku p i ti s 8 h o w nt h a tt h em e d i a d i d 。l e 。m o m ，e n t ，t h e 。n 。e n t r a t i 。n s o fp a r t i c i e s ，a n dt h ef r e q u e n c yd e t u n 一 1 n gb 8 t w 8 8 nt h e f r e q u e n e i e s 。f l i g h tf i e l da n dt h em a t e r i a i r e s o n a n c e a 舱、m 。s t i m p o r t a n tp a r a m e t e r s t 。c 。n s i d e rf o rt h el i g h ti n t e r a c t i 。n w i t ht h em e d i a 黜 唧 c e u 够 出 强黧等 眦 郎 晷哳鼬蛔跚 趾c叫若 e ， u *岫邮霉 s c 止 e 舞岫一 淼纛璺l 姗 嘶_ 蓍跳砌记刚汀 恤聪础删誊_ 一：萋 e 糟 m 孔 f o k 班 慧寒 娶沁五孙一一 一 中山大学博士学位论文 y67 597 5 共振原子体系光学瞬态过程理论研究 i 中1 1 作者：王干全 导师：周建英教授 专业：光学 家重点实验室 中山大学激光与光谱学研究所 2 0 0 4 年6 月 第一章绪论 1 1 背景 自1 9 6 0 年第一台激光器问世以来，从激光技术本身到激光技术的应用， 都得到了飞速发展，其中最引人注目的有： 1 1 1 激光在信息领域的应用 信息革命，正在巨大地影响着社会的政治，经济，军事等各个领域。以光 纤技术为核心的信息传输，已成为信息革命的主要动力。在信息技术巾，光子 较电子有如下的优点f 1 1 ：光子频率商，能承载更高的信息容量；光子传递速 度快；光子在高度透明的光纤中传播损耗低；光子是中性的波色子，具有极好 的相容性，而电子是费米子，具有相斥性：光子可以用全息方式在光敏材料中 写入二维图像与三维实物的光强度、相位与偏振等信息，而电子只能在有关材 料中记入强度的信息；光子易于深入穿透光学介质、易于制作三维集成器件， 电子只能制作二维集成器件；光子町传感多种信息，具有无接触、抗电磁干扰 等特点；光子器件可以在空气中运作，而电子器件一般需要在真空密闭条件下 运作；光子可以形成极短的光脉冲可用作超快的光计算。如果能在信息传输 和信息处理中使用全光器件，将在现在的基础上大大提高信息的传输和处理速 度，因此，实现全光器件的理论和实践研究是当今光学研究领域的热点。l i u c 2 - 5 1 等报道了光子晶体中使光脉冲减速、停止、储存的方法，显示出制造 和电容相对应的“光容”的可能性，而利用激光的相干特性，使用相干控制的 方法实现全光开关的设想则早有报道6 ，7 1 。虽然要实现这些设想还有相当长 的路程，但随着科学的发展稷技术的进步，从设想到实现设想之闯的时间总是 越来越短。 第l 页 第2 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 1 1 2 激光在量子控制方面的应用 量子信息学中，量子态可以作为信息单元，量子信息用量子态表示8 1 。 根据量子力学的测量理论，对量子力学系统的测量必然使系统状态按一定几率 退化为系统的某一个本征态，因而对量子态的控制不能用经典控制的理论和方 法。量子控制的目标是根据需要，在预定的时间t 内，使系统从初始量子态 妒( 0 ) 到达目标态妒( 丁) 。由于激光是相干光，激光脉冲瞬时功率高，聚焦能力 强，易操作，能够与一些量子系统发生量子相干，因而作为研究量子控制的理 想工具，广泛应用于量子力学系统的捕捉、冷却、观测和控制【9 。 1 1 3 化学反应的激光相干控制 过去对化学反应的控制是通过宏观方法，如控制温度、压力、使用催化剂 等。在激光发明后，由于激光是相干光，具有强度高、频率可以和分子中某些 化学键的振动频率相匹配的特点，人们希望通过激光选择性激发而斩断分子中 的某些化学键，从而实现分子的“剪裁”，这就是选键化学1 0 1 。由于分子能 级结构的复杂性，分子中的化学键的不独立性，使得对某个化学键激发的能量 很快的转移或再分配到其他的化学键上去了，因而直到现在还鲜有成功例子。 虽然如此，若能在该领域取得突破，将在化学化工、生物医学等领域产生重大 影响，前景十分诱人，因而也是当前的热点之一。 1 2 本文的基本内容 本文第二章介绍量子力学的基本原理以及一维、二维偏微分方程的数字解 法，为后面几章作准备。 第三章介绍光与物质相互作用的密度矩阵理论，推导存在局域场时密度矩 阵元随时间变化的微分方程，通过数字方法解常微分方程，计算般情况下以 及存在局域场情况下密度矩阵元随时间的变化关系。 第四章讨沧e r 3 + ：y a g 晶体中的光谱性质。用速率方程理论研究e r 3 + 中 线性荧光和上转换荧光的激发光谱，通过比较线性荧光和上转换荧光谱，得 出线性荧光谱中的烧孔是线性荧光和上转换荧光竞争的结果。本文用四能级 第章绪论第3 页 b i o c h 方程方法研究e r 3 + 的线性和上转换荧光的相干光谱，通过不同延时时线 性荧光和上转换荧光相位的不同，提出了实现光开关的设想。在荧光上转换的 研究中，一般只是用速率方程研究激发光谱，确定稀土离子中与产生荧光有关 的各能级的寿命，未见过用飞秒相干光谱研究荧光上转换现象。 第五章讨论凝聚态中中心离子吸收谱线增宽的机理，用b r o w n 振子模型 计算n d 3 + ：y a g 晶体中，存在电声耦合作用时n d 。+ 离子的激发光谱和相干光 谱。从实验激发光谱图中确定了电子吸收峰和附属于电子吸收峰的声子峰的位 置，从而确定声子频率。用计算的激发光谱模拟实验激发光谱，得到了电声耦 合常数、电子退相时间、声子退相时间。文献中尚未见到将b r o w n 振子模型 用于凝聚态中的报道。 第六章讨论光在介质中的传播。文献中讨论光在介质的传播时，一般讨论 k e r r 介质，相当于三阶极化时的情形，本文联立解m a x w e l l 和b i o e h 方程， 得出光在一维介质和二维平面波导中的传播规律。 第七章是总结和展望。 第二章基本理论与方法 2 1 量子力学的基本假设 波粒二象性以及随之而来的测不准关系是宏观物体和微观粒子共同遵守的 规律，对于宏观物体，由于其质量大，体积大，速度低，其d eb r o g l i e 波波长 相对于物体的大小来说可以忽略，因而可以忽略测不准关系产生的影响，表现 为粒子性，其坐标、速度等物理量具有确定值，可以通过坐标、速度等物理量 描述其状态，通过这些物理量随时间的变化描述状态随时间的变化，这就是牛 顿力学。对于微观粒子，由于具有显著的波动性，坐标、动量等物理量般不 具有确定值或者不同时具有确定值，因而描述微观系统就不能援引描述宏观系 统的牛顿力学方法，而采用以s c h r 6 d i n g e r 方程为基础的、以算符和几率为特 征的量子力学方法。概括的说就是f 1 1 1 5 1 ： ( 1 ) 每个可观测的物理量，对应于一个线性自轭算符f 线- 陛自轭算符具有 如下性质：其本征函数构成正交、归一、完备的集合) 。 ( 2 ) 微观系统的状态用状态函数表示。单纯从状态函数并不能知道某个 物理量的值，只有将该物理量对应的算符作用于状态函数后，如果：f a ) 结果 是常数和状态函数的乘积，则对于这个状态，某物理量具有确定值。称这个 状态为该物理量的本征态，这个常数为该物理量的本征值；f b ) 结果不是常数 和状态函数的乘积，则这个状态就不是该物理量的本征态，对于这个状态，该 物理量没有确定的值，不过这个状态函数可以展开为该物理量本征态的线性组 合( 因为物理量的本征态构成完备集合) 。 ( 3 ) 对于处于某个状态的系统测量某个物理量，如果：( a 1 状态是该物 理量的本征态，则测量的结果就有确定的值，也就是本征值，测量的过程不 会影响系统的状态：( b ) 状态不足该物理量的本征态，则测量的结果没有确定 第4 页 第章基本理论与方法第5 页 值，将以一定的几率得到该物理量所有本征值中的一个，测量过程也使得系统 状态退化为该本征值对应的本征态，也就是说测量过程破坏了系统状态。此 后，若再对该系统测量这个物理量，不管测量多少次，都将得到确定的值， 就是第一次测量得到的本征值，状态也不会改变，就是该本征值对应的本征 态。测量结果中，得到某个本征值的几率，就是系统状态展开为本征态线性组 合时，该本征值对应的本征态的组合系数的平方( 假定己对本征态作了归一 化) 。 ( 4 ) 两个物理量( a ，b ) 同时具有确定值的条件是其对应的算符( a ，雪) 对 易，即： a ，雪】兰a 雪亩a = 0( 2 1 1 ) 2 2 力学量和状态函数的表示 在量子力学中，每个力学量都用线性自轭算符表示，求力学量算符的方法 是将力学量表示为坐标、动量的函数，然后将坐标和动量变换为相应的算符 ( 坐标q 的算符就是自身，动量p 的算符为i 5 善) 。 哿 描述系统状态的函数可以是实函数，但更常见的是复函数，在用矩阵的形 式表示的时候，系统的状态函数表示为希尔伯空间的矢量a 。由算符的本征矢 量张成的空间称为表象空间。虽常见的表象有坐标表象和动量表象。 系统的力学量由力学量算符和状态函数共同决定，当系统的力学量随时 间变化时，有三种等价的描述方法【1 6 ，其一是让力学量算符不变，状态函数 随时间变化，这就是s c h r s d i n g e r 绘景：其二是让力学量算符随时间变化，状 态函数不随时间变化这就是h e i s e n b e r g 绘景；其三是将力学量随时间的 变化部分归于算符随时间的变化，部分归于状态函数随时间的变化，这就 是相互作用绘景。当h a m i t o n 算符包含时间时，用相互作用绘景比较方便。 假定系统的h a m i t o n 算符包含未微扰算符岛和系统与外场的相互作用项 “希尔伯空删：由力学量本征态作为基矢量构成的空间。 第6 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 h i ，日= h o + h ，则s c h r s d i n g e r 方程为： 。矗警= 劫 形式上可以解方程( 22 1 ) ，得： 妒( z ) = 妒( o ) e x p ( 一i i ：i t 7 1 ) = 砂( o ) e x p 一i ( 岛4 - 取) t h 】 力学量a 的期望值为： ( a ) = 砂a 妒+ d r 对于s e h r g d i n g e r 绘景，( 2 2 。3 ) 式为： ( a ) = 妒( ) + a 砂p ) d r 对于h e i s e n b e r g 绘景， ( 2 23 ) 式为： a ) = 妒( o ) + a 圩妒( o ) 打 式中a 日= e x p ( ；膏t ) a e x p ( 一；疗t ) ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 23 ) ( 22 4 ) ( 2 25 ) 在相互作用绘景中，( 2 23 ) 式为： ( a ) = 厂砂，( t ) + a ，妒，( t ) d r ( 2 26 ) 鉴篓銮嚣舢 z 卅 a ，一p ( i 辄) a e x p ( 一；蔚) 卜叫 可以看出，在三个绘景中，力学量的期望值的计算式都来自于( 2 2 3 ) 式，因而三个绘景是等价的。 第：章撼木理论与方法第7 页 2 3 d y s o n 展开 鲁= ；( f ) “， ( 2 a 2 ) d t 。 。7 世f 。 2 乱f 一：，：；一。l 铭，。“矿d 。1 ( 2 33 ) 二r c - 1 _ 影吣，奶 一。刮 扎m ，7 ) = m 7 ，t 7 ) = 1 ( 2 34 ) 吡卵= 1 一；z 。帅，) 奶 ( 2 3 司 u ，( z ，= 一；z 。( t t ) 出t + ( ；) 2 f t t d hz “k ( t ，) ( t 。) 出。( 。) = ，+ , r l ( 一无儿nt 出z 麓广如m ) 喇帅。) ( 2 3 7 ) 第8 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 2 4 量子力学关于一维线性谐振子的处理方法 的恢复力，= 一( 口一q e 。) 的作用而往复振动的物体。式中女为力常数，吼。为 ”1 石 ( 24 1 ) 忙k q d q = o q k q d q = l k q = 渺1 2 ( 2 a 。) t 2 扣22 壳矿 ( 2 4 3 ) h = 去p 2 + 互1 删2 q 2 ( 2 则) 同的是此时p ，q 分别是动量算符( 一危嘉) 和位移算符( g ) 。且两者满足对易关 b 唯+ 弩， 皿。， 卜偿知 弘虫叫 容易验证： b ，州= i “，g 】三p q q p 。别易戈系很容易证明：剥十任意态函数曲 i 危口c ，g ( q 妒) + i h q o c 甄b = 一i 妒一i h q o 妒o q + i h q o 妒o q = 一z 曲 ( 2 47 ) 有( p q 一印) 妒= 即加，g 】= 一i h 第一章基本理论与方法 第9 页 睫_ 眨蚴， 第1 0 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 可以将算符b + b 的本征态记为j 诧) ，本征值记为他，则( 2 4 1 0 ) 式变为： 直j ，。) ：觑。( 札+ ；) j 札)( 2 4 1 4 ) 由于木征态6 + l n ) 和 n + 1 ) 代表一个本征态，因此 6 + l 凡) = n + 1 )( 2 4 1 5 ) 式中c 。是常数。 f 岛1 2 = ( n b b + f 札) = 礼+ 1f 2 4 1 6 ) 当c 。取实数时，有： 2 咒+ 1 f 2 41 7 1 利用( 2 4 9 ) 式可以计算出坐标算符在能量表象巾矩阵元为： 弘产川咖) = 压6 + 十嘶) = 压旷郴n ) ) ( 2 4 1 8 ) 也就是： ( 啪= 刍( 而6 k , n + l q - 佩咖_ 1 ) 2 5 微分方程的有限差分解 数字方法解微分方程 1 9 ，2 0 l ，基本方法是用差分代替微分 件和边界条件，计算需要的每点的函数值。 2 5 1e u l e r 法 对于方程， 豢一m ，札) ( 2 4 1 9 ) 通过初始条 f 2 5 1 1 当t = t o 时，札= 扎。 把d t ，d t 用差分玑a t 代替，从初始点计算第一点的函数值可以用等 式：糕= f ( t o , u o ) ， 第_ 章基木坪论与方法 第1 1 页 u o 图2 1 ：e u l e r 法示意图 f i g2 1 ：e u l e rm e t h o dd i a g r a m 即：u l = u o + f ( t o ，u o ) ( t i t o ) ，依次可以计算后面的点。写成通式就是 ( 2 ，5 2 ) 式中， 为时间的相邻采样点间隔，即步长。通过初始条件，从 t o 时的函数值呦通过( 2 5 2 ) 式计算出t 1 时的函数值“l ，然后从t 1 的函数 值“1 ，计算出t 2 的函数值“2 ，依此类推。这就是e u l e r 方法。 图2 l 是e u l e r 法示意图。从微分方程的理论可知，微分方程的通解是一 个函数族r 通过初始条件从函数族中挑选出特解。从图中可以看出，从初始时 的t o ，“o 点计算出t l 时的值为u l ，而不是精确值“( t 1 ) ，t 3 时的值为3 而不是 精确值( 如) ，计算值与精确值的误差越来越大。 一般来说，用数字方法解微分方程时，采样点不可能无限密，存在误差是 必然的，也是允许的，但不允许前面的误差引起后面更大的误差，即不允许 误差的扩散( 不收敛) 。从e u l e r 方法的示意图可以看出，e u l e r 方法不能保 证收敛。 筻! ! 基 ! 茎堡堡兰丝篁塞篁耋塑童查墅墼塑窒塑耋二：一 2 5 2 预报校正法 当把( 252 ) 式的差分格式改为( 25 3 ) 式时，有限差分可以保证收 敛。 h 。+ 1 = u 。+ 芸 ，( k ，t k ) + 厂( k + 1 ，z + 1 ) 】( 253 ) 比较( 2 52 ) 式和( 2 5 3 ) 式可以看出， ( 2 52 ) 式给出了“。+ 1 的表达式， 而( 2 53 ) 式给出的是关于。+ 1 的非线性方程( 表达式右边也出现u 。+ 。) ， 因此( 2 5 2 ) 式给出的是差分显格式，而( 2 5 3 ) 式给出的是差分隐格式a ， 一般而言，隐格式无条件收敛，而显格式有条件收敛。 ( 2 5 3 ) 式是非线性方程，可以用迭代法求解。具体说就是：先用e u l e r 法计算出札。+ 1 ( 预报) ，然后将u 。+ 1 代入( 25 3 ) 式右边，计算出新的 1 l 。+ 1 ( 校正) ，再将新的u 。+ l 代入( 2 53 ) 式右边计算出更新的札。+ 1 。如此 反复迭代。直到满足误差要求为止。写成表达式就是： 鎏iji!；!；羔2麓：)，ct。+。，“密矗， c z sa ， 2 5 3 追赶法解三对角方程组 线性方程组可以用矩阵表示为： a o = 凸 ( 2 5 5 ) 式中。，b 是一定维数的列向量，假定为礼维。b 为己知，茁为待求，爿为 n 维的矩阵。线性代数的方法解线性方程组就是要找到矩阵a 的逆矩阵 a ，然后用逆矩阵a 一1 左乘以方程( 2 5 5 ) 的两边，得到：z = a 一1 6 。求矩 8 通过u 。计算t t 。+ ，时“。+ ，只出现一次的筹分格式称为显格式多于次为隐格 式。 第_ 章基本理论与方法 第1 3 页 阵的逆矩阵有成熟的方法 2 1 】，但对特殊的方程，如方程( 2 5 6 ) ，采用特殊 的方法，可以节省计算时间和计算机存储单元。 b 1c 1 0 2b 20 2 ( 25 6 ) 方程( 2 , 5 6 ) 左边的矩阵称为三对角矩阵，可以进行l u 分解： a 2l u ( 2 5 7 ) 其中 l = 岛 0 2伤 1 6 1 1 如 ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) 将矩阵a 分解为l 和u 两个矩阵后，原方程等价于； 胜： 。， 一 n 6 一 n k o 舻 0 屏 一 n 风 口 一 第1 4 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 解方程( 256 ) 就变为了曲步： 追过程：g ，= 等，玑= 半，i = 2 ，n 赶过程：z 。= ，q = y j 一易+ 1 ，j = 扎一1 ，l 上面的式子中，口，6 的计算如下： 3 】= 吣颤= 爰，阻，= 吣一吣，站名= 1 ，2 ，n 2 5 4 一些偏微分方程的有限差分解法 ( 1 ) 一维双曲型偏微分方程的差分格式 囊+ ；鲁- ，( m ，) ( 2 5 1 1 )a o ca 。、 “1 叫 ， 方程( 2 51 1 ) 中，z ，t 分别是坐标和时间变量，n ，c 为常数。方程的初 始条件： x ( z ，0 ) = 0 ，( w h e nt = 0 ) 左边界条件： x ( o ，t ) = e p 严，( w h e nz ：o ) r 反映激光的脉宽。 将需要求解的时问段( 假i r n 【t l ，t 。 ) 等分为m 段，空问段( 假设为f z l ，1 ) 等分为扎段，则： 二三三叠三：三畏二渤 z ， 如图2 2 所示。函数x ( z ，t ) 就可以用待求解区域卜交叉点的值) ( ( z ；t ，) 表 示。边界条件为求解区域对应的网格中最左边那条线上的格点的值，初始条件 就是最下边那条线上的格点的值。 第二章基术理论与方法第1 5 页 - 笺j + 1 晒 n； i 一1 df 。 ce j 一1jj + 1 tim e 图2 ，2 ：一维有限差分的网格划分 f i g22 ：g r i d so fo n e - d i m e n s i o nf i n i t ed i f f e r e n t i a lm e t h o d 分别用前向差分和后向差分8 代替方程( 251 1 ) 中x 对= 和t 的微分 方程( 251 1 ) 变为： x ( z 件1 ，t j ) x ( 蕾，岛) 似x ( ，j ) 一x ( z i ，0 1 ) 一， x ( 五会乙) ，z i + ，。；j f i x ( z , ，t j 竺；，白一，】 ( 2s ，3 ) ， x ( 五+ 1 ，屯) ，+ l ，0 】+，一1 ) ，t ，一l 】 ”“ 令z ：三t ，方程( 2 51 3 ) 变为 n x ( 五+ ，岛) ：x ( 盔，岛一，) + z 坚兰生兰妞蔓 堕丛兰王量二立型 ( 25 1 4 1 ( 2 51 4 ) 中，右边的函数中包含有待计算的点，所以 ( 1 ) 这种差分格式是隐格式，是无条件收敛的； ( 2 ) 要用预报校正法求解。 “函数 可 的一阶前向差分为：可。( z ) 丛兰掣， 后向差分 为叫z 盟等型。 第1 6 页 共振原子体系光学瞬态过程理论研究 对照图2 2 ，利用公式( 2 51 4 ) 可以从c 点计算出d 点，e 点计算出f 点的函数值。由于最下和最左两条线上的格点是己知的，因而可以计算出所有 格点上) ( 的函数值。 在上面的计算中有一个技巧上的问题：要计算图2 2 中所有点的函数值， 有两种方法，其一是根据下。条水平线网格点的值计算卜一条水平线网格点的 值，再往上计算，这种方法依次计算出在。轴不同截面处x 随时间的变化；另 一种方法是根据左边的一条垂直线网格点的值计算右边垂直线网格点的值，再 往右计算，这种方法依次计算不同时间处。轴上x 的分布。从计算角度来看， 这两种方法没有区别，数值计算类的书中多用后一种方法，但从物理学的观点 来看，人们更关心的是在介质某截面处x ( 光场变化而来) 随时间的变化，也 就是说只关心某条水平线上的网格点的值，因而从第二条水平线计算第三条水 平线的时候，就不用保留第一条水平线网格点的值，计算机只需保存最近两条 水平线网格点的值。显然，如果用第二种方法计算，就要保存所有网格点的 值，占用内存比第一种方法大得多。 ( 2 ) 二维二阶偏微分方程的差分格式 三象+ 2 【+ 籀x - ，( m ，州) ( 2 5 1 5 ) 方程( 2 51 5 ) 中，n ，c ，u 为常数；z ，z ，是坐标变量，t 是时间变 量。方程的初始条件为： z 轴的左边界条件 ) ( ( 2 ，z ，0 ) = o ；( w h e nt = 0 ) x ( o ，。，) = ) 。e 一( 2 。2 + ( z - 。o ) 2 。2 ；( w h e nz ：0 ) 式中a 是高斯光的峰宽。 第_ 章基本理论与方法 第1 7 页 t ime + f ，x ，z 一 1 a i s z 一1 l 一 一 7 i l i + f z 一1 fxz 一1，t z fz a 7 iz + 1 s 图2 3 ：二维有限差分的网格划分 f i g23 ：g r i d so ft w o - d i m e n s i o n sf i n i t ed i f f e r e n t i a lm e t h o d 嚣轴的边界条件8 ： x = 0 ；( w h e nz 0o i ? 。2l ) 对于二阶导数，可以用二阶差分做近似： 象。迎止巡( 2 5 1 6 ) x 20 0 2 p 二维偏微分方程的网格划分如图23 ，在图中的六个平面中，下平面对 应初始条件，左平面对应于z 的左边界条件，前后两个平面对应于。的边界条 件，根据这些平面的网格点的函数值，通过差分方程，可以计算所需区域的网 格点的函数值。 二维偏微分方程中，使用有限差分显格式的收敛区域比一维时更小f 2 0 1 ， 因而不宜用显格式，但用隐格式时，对于二阶差分只能给出差分解满足的线 “岛斯函数只能趋向于零，不会等于零，但在误差允许的情况一f ，口_ 以把足够小的函数 值当零处理。在选择合适的中点( ) 和足够大的范围( o ，l i 后，可以使函数值在0 l 的范围外足够小而当0 处理。 第1 8 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 性方程组，如果二维坐标变量都使用隐格式，这个方程组就不是三对角的方 程组，解这个方程组将比解三对角方程组花费更多的时间。为了解决上述问 题，p e a c e m a n 和r a c h f o r d ( p r ) f 2 2 ，2 3 1 提出了交替方向隐格式的方法： ( 1 ) 把原来的一个时间步分为两个时间步，即原来的从t 计算t + 7 - 时 z ，z 平面的函数值改为从t 计算t + t 2 ，然后从t + r 2 计算t + t 时o ，z 平 面的函数值， ( 2 ) 在第一个时间步时( 从t 计算t + r 2 ) ，将一个坐标变量用隐格 式，另一个用显格式，在第二个时间步时( 从t + r 2 计算t + r ) ，将两个坐 标变量的差分格式和第一步反过来。这样既保证了数值差分使用隐格式，又可 以用较少时间解线性方程组。 ( 2 5 1 7 ) 式即为采用p r 方法时，方程( 2 5 1 5 ) 的差分格式。 ( 2 5 1 7 a ) 式为时间步的前半步( 从t 计算t + 7 _ 2 ) ，此时对z 的差分 用隐格式，对5 的差分用显格式。( 2 5 1 7 b ) 式为时间步的后半步( 从 t + r 2 计算t + r ) ，此时对z 的差分用显格式。对z 的差分用隐格式。 x 2 五2 2 x 2 7 7 2 + x 。t + 一r ，： z 2 = f ( x ，o ，z ，t ) c 乜t + + r 1 ，；2 2 x z t + ，r 2 + x t + 一r 1 ：2 j 五一 = f ( x ，z ，x ，t ) 蚴挚+ 。 。2 f 2 5 1 7 a 1 铷与磐+ 警笺萨亿，。、 令a z = c a t ( 2 5 1 7 ) 式可以变形为( 2 5 1 8 ) 式： i 南x 。t + + r 。，。2 + 五4 忑i i ：。2 c 。) x t + r 2q _ 面c ) ( 。t + 一r 。，2 ：罴( 虹，+ 煳+ f ( x , z , x , t ) 2 - 5 执 是k t + ：t = 瓦2 i 妊t + 。f + ( 是+ 志) x 等7 2 一志( 撕t + r 2 + x = 堡) f 2 5 。b ) + ，( x ，：，x ，t ) 进一步化简为： t + r ：2 + ( 警- 2 ) ) ( 骞胆幅t + r ；2 ：百2 w a x 2 i 陇，m ) + 学，( x ，讪，t ) 口丘1 9 旬 x 害2 j 1x 盟t + ”2 c a 州z ) 嚣7 2 一面c a z ( x 鬈 _ t q 吐- r 一2 x 胁1 9 b 1 + 警f ( x ，。，z ，t ) ( 25 1 9 a ) 式中，右边的两个网格点) ( 的函数值处在时间层的t 层上， 为已知。左边同一z 方向上的三个点x 的函数值处于时间层的t + r 2 层上， 为待求的格点，三个格点之间的函数值相互依赖而成为三对角方程，结合 的边界条件，使用第1 2 页介绍的解三对角方程组的方法可以解出方程。 ( 2 5 1 9 b ) 式中，右边的项中上标为t + r 2 的项是前一时间层的点，为 已知；) ( 盟。项为待求的时间层中刚计算出来的点。 二维差分问题的计算量比一维差分增加了成百上千倍8 ，因而考虑计算机 的c p u 时间时就要精打细算。有一个方法可以节省差不多一半的c p u 时 间：t 一平面上的点无需全部计算，假设时间为t 1 时光场传播到z l ，则大于 动的所有点的光场都为零，无需计算。 说明： ( 1 ) 在二维差分格式中，本文为了简洁，用t 和t + r 表示时间轴上的 某一点及下一个网格点。和z 也同样如此。把时间轴的一步分为两个半步 时，t + r 2 表示时问轴半步的位置。文献中 1 9 ，2 0 表示某个网格点的习惯方 “( 1 ) 多了一维窄问，假设这一维空间取n 个点，则计算量多了n 倍j ( 2 ) 用交替 方向隐格式时，一个时间步要分两次计算，因而计算量多了2 n 倍。 第2 0 页共振原子体系光学瞬态过程理论研究 合于初学者。 本文用x