（应用数学专业论文）模糊随机更新过程的相关理论.pdf

五邑大学硕士学位论文 摘要 众所周知，1 9 6 5 年z a d e h 提出模糊集的概念 1 l ，1 9 8 1 年k w a k e m a a k 提出了模 糊随机变量的定义1 2 1 ，1 9 8 2 年k r u s e 研讨了独立同分布的模糊随机变量序列的强大 数定律f 3 】。基于模糊理论，最近模糊随机更新理论也随之发展起来。 模糊随机变量是概率空间到模糊变量集的隶属，基于模糊随机理论，本文介绍 了在概率空间r q ，厂，尸j 下讨论的独立同分布的时间间隔序列的模糊随机更新过程。 给出了模糊随机更新过程的定义、更新过程所满足的更新方程，时间间隔序列的分 布函数和模糊随机更新变量之间的关系；模糊更新方程的建立，同时也给出模糊更 新方程的性质：随机基本更新定理、模糊随机b l a c k w e l l s 更新定理、模糊随机关键 更新理论、模糊随机交错更新定理、模糊随机有酬更新定理和模糊随机延迟更新理 论、模糊随机e r l a n g 更新理论。 关键词：模糊集；模糊随机变量；更新过程；模糊随机更新过程 五邑大学硕士学位论文 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r , f u z z yr a n d o mv a r i a b l ei sam e a s u r ef u n c t i o nf r o ma p r o b a b i l i t y s p a c e ( ( 2 r 。p ) t oac o l l e c t i o no ff u z z yv a r i a b l e s b a s e do nt h ef u z z yr a n d o mt h e o r y , w e i n t r o d u c et h ec o n c e p to ff u z z yr a n d o mr e n e w a lp r o c e s s e s ( f r r p ) w h i c hw e r eg e n e r a t e d b yas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ( i d d ) f u z z yr a n d o mi n t e r a r r i v a l t i m e s a d d r e s ss o m ep r o p e r t i e so fr e n e w a lp r o c e s s e sg e n e r a t e db y ( i d d ) f u z z yr a n d o m i n t e r a r r i v a lt i m e s t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee x p e c t e dv a l u eo ft h ef u z z yr a n d o m r e n e w a lv a r i a b l ea n dt h ed i s t r i b u t e df u n c t i o n so fi n t e r a r r i v a lt i m e s t h ef u z z yr a n d o m r e n e w a le q u a t i o ni sp r o v i d e d f u r t h e r m o r e ，f u z z yr a n d o me l e m e n t a r yr e n e w a lt h e o r e m ， f u z z yr a n d o mb l a c k w e l l sr e n e w a lt h e o r e m ，f u z z yr a n d o mk e yr e n e w a lt h e o r e m ，f u z z y r a n d o ma l t e r n a t i n gr e n e w a lt h e o r e ma r eg i v e n f i n a l l y f u z z yr a n d o mr e w a r dr e n e w a l t h e o r e ma n df u z z yr a n d o md e l a y e dr e n e w a lt h e o r e m ，f u z z yr a n d o me r l a n gr e n e w a l p r o c e s sa l s oe s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：f u z z yr a n d o mv a r i a b l e ；r e n e w a lp r o c e s s e s ；f u z z yr a n d o mr e n e w a l p r o c e s s e s l i 本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师指导下独立完成，完成论文所用的 一切资料均已在参考文献中列出。 五邑大学硕士学位论文 引言 自z a d e h 教授提出了模糊集理论，模糊数学不是让数学变得模模糊糊，而是让 数学进入模糊现象这个客观存在的领域，用模糊数学的方法去描述模糊现象，揭示 模糊现象的本质和规律。 概率论的产生，把数学应用范围从必然现象扩大到偶然现象，而z a d e h 提出的模 糊集理论把传统数学从二值逻辑的基础扩展到连续值上来。模糊集理论广泛用于各 种领域并在应用中得到进一步的发展。模糊变量是模糊集理论的另一个重要概念， 它在模糊集理论中的所起的作用类似于随机变量在概率论中所起的作用。对于模糊 变量的期望值，大部分学者把它定义为一个模糊数或模糊区间。在一个过程( 或系统) 中由于模糊性和随机性常常同时存在，甚至难以区分，因此，模糊性和随机性必须 同时考虑。随机模糊理论和模糊随机理论是两种同时处理模糊性和随机性的理论， 它们可以看作是模糊集理论和概率论的推广。模糊随机变量是模糊随机理论的一个 重要概念。 伴随着模糊集理论和模糊随机理论的发展，更新理论也由随机环境推广到其它 不确定环境。 在随机过程中对p o i s s o n 过程一种自然的推广是考虑时间间隔相互独立同分布 的，但分布函数任意的计数随机过程，这样的计数过程称为更新过程。更新理论包 括普通更新过程，延迟更新过程，有酬更新过程，交错更新过程等过程。普通更新 过程的点间间距通常是一系列相互独立同分布的随机变量，它可以说是研究更新次 数与点间间距的理论。p a l m ，w o l d ，f e l l e r ，s m i t h 和t a k a c s 等人对更新理论作出了 重要的贡献。f e l l e r t 4 】研究了单位时间平均更新次数的渐近行为，利用更新方程和 l a p l a c e 变换给出了初等更新定理。b l a c k w e l l 5 】【6 1 研究了固定时间段内平均更新次数 的渐近行为，给出了非格子点间问距的b l a c k w e l l 出更新定理。进一步，f e l l e r m 】【i i j 给 出了格子点间间距的b l a c k w e l l 更新定理。为了计算联系于更新过程的某事件的概率 或某随机变量的数学期望，s m i t h 7 】给出了非格子点间间距的s m i t h 关键更新定理。 随机过程的比较被广泛应用于概率论中。w h i t t t 8 1 和m i l l e r 吲对普通更新过程的比较 进行了讨论，给出了一些有用的结论。 经典更新过程的一个基本假设是点间间距为相互独立同分布的随机变量( 除第 一个点间间距有可以不同的分布) 。在缺乏大量数据或信息的情形下，通常无法应用 2 五邑大学硕士学位论文 统计方法对这些点间间距的分布类型或其中的参数进行合理有效的估计。这种情况 下，经典更新理论将不再适用，从而有必要提出新的更新理论。将模糊集理论和模 糊随机理论应用到更新过程，本文提出了一套新的模糊随机更新理论，包括模糊随 机普通更新过程、模糊随机交错更新过程、模糊随机延迟更新过程、随机模糊有酬 更新过程、模糊随机e r l a n g 更新过程。 全文构思如下： 第一章，给出了本文所需要的一些理论基础，介绍了模糊集、模糊随机变量及 其期望。 第二章，建立了模糊随机更新过程的定义，并给出了模糊随机更新过程期望的 概念，建立了模糊随机更新方程。 第三章，介绍了模糊随机更新过程的几个性质定理。 3 五邑大学硕士学位论文 第一章预备知识 本章主要回顾一下研究模糊随机更新过程涉及的理论基本知识。 1 1概率空间 随机实验的基本结果彩，称作样本点，随机实验的所有结果组成的集合称为这 个实验的样本空间，记为q 。 定义1 1 1 设臼是一个样本空间( 或任意一个集合) ，厂是刃的某些自己组成的 集合族，如果满足 ( 1 ) q 厂? ( 2 ) 若a 厂，则a = q a 厂? ( 3 ) 若4 厂，n = l 2 ，则u4 ef n = l 则称厂是盯代数，( q ，厂) 称为可测空间，厂中的元素称为事件。 定义1 1 2 设( q ，厂) 为可测空间，尸( ) 是定义在厂的上的实值函数，如果 ( 1 ) 任意a 厂，0 p ( a ) 1 ； ( 2 ) 尸( q ) = 1 ； ( 3 ) 对两两互不相容事件4 ，4 ，( 即当= f 时4 f 厂、4 ) 有户( u 4 ) = 尸( 4 ) i = 1i = 1 则称尸是( q ，厂) 上的概率，( q ，厂，尸) 称为概率空间，p ( a ) 称为事件a 的概率。 定义1 1 3设( q ，厂，尸) 是概率空间，x 是定义在口上，取值于实数集尺的函数， 如果对于任意实数x r ，劬：x ( 缈) x ) 厂，则称x ( r 0 ) 是厂上的随机变量，函数 尸( x ) = 尸 国：x ( 缈) x ) ，硼 x o 则称之为参数是旯的p o i s s o n 分布。 定义1 1 4 连续型随机变量的数学期望麟定义为脚= x d f ( 石) 设( 刃，厂，户) 是完备的概率空间，刃上的只取有限个值的随机变量称为简单函数， 如果存在实数，1 七以的q 的分割4 厂，l cs + ，有 e ( 1 i m ，i p f 爿乙) 1 i m ，i p f e x , l i m s u p e x , e ( 1 i m s u p 鼍) _ h 斗 n _ n _ 定义1 5 ( s t i e l t j e s 积分) 假定g ( z ) ，f ( x ) 为有限区间【口，b 】上的实值函数 a = x o 五 = 6 为 口，6 】上的一个分割，令 f ( 乃) = f ( t ) 一，( t 1 ) ，毒 而一i ，而】，l i ，穸= 眇一，y + 】_ 抄陟一y 旷 在j 与罗上的四个运 6 五邑大学硕士学位论文 算定义如f 2 + 7 = 1 x 一+ j ，一，x + + y + 】 工一y = 工一一y + ，工+ - y 一】 x 木y = 【m i n ( x y - , 工+ 广，x + y - , x y + ) ，m a x ( x y - , j c + y + ，工+ y - , 工一y + ) 】 贾矿： x - x + 】牛 三，三】，o 诺 y - , y + 】 yy 定义1 2 4 设r 力，厂，p 夕为概率空间，f ( r ) 为r 上模糊数全体，若影射 宏：q f ( r ) 满足以下条件 1 ) v 国q ，j r 缈) f f ，r 夕? 对v 口a ( o ，1 ，v 缈q ，e ( c o ) = i n f 兄) ， x , 7 ( c o ) = s u p 以( 彩) ； 2 ) x 口，x “口是f ，力，厂，尸夕上的有限实值随机变量且e ( e ) 与e ( ) 都存在。 则称映射j 为模糊随机变量。 定义1 2 5 t 搭】模糊随机变量碧的数学期望是一个模糊数荫，且 腑( f ) = s u p ，i n f2 ( a ) ) ( x ( o ，国，t r x 。立n e x = r 脚。q 设置和量是f ，力，厂，尸，j 上的模糊随机变量，定义和墨+ 丘和积2 。牛丘如下 ( 五十五) ( 功) = 五( 国) + 互( c o ) ( 五木置) ( 缈) = 墨( 缈) 木置( 国) 设置，i = 1 ，2 ，是模糊随机变量序列v 口( o ，l 】，v c o q ，x + 抽与x ”j 矗定义为 e 口 ) = i n f 毫皿 ) ，e ： ) = s u p 毫口 ) ，它们皆是独立同分布的模糊随机变量序列。 利用k r u s e 的模糊随机变量的强大数定律知有如下述定理。 定理1 2 2 设置，i = 1 ，2 ，是f ，刃，厂，尸j 上独立同分布的模糊随机变量序列，则 l i m 晤1 - - 竞2 , = 瓯 依概率处处成立。 7 五邑大学硕士学位论文 第二章模糊随机更新过程的定义及分布 2 1模糊随机更新过程的定义 在随机过程内容中，我们已经知道更新过程是齐次泊松过程的一种推广，把非 负的相互独立同分布的时间间隔序列 鼍，n = l ，2 ，) 服从的指数分布改为一般的分 布，所得到的过程称为更新过程。 定义2 1 1 对于概率空间( 刃，厂，p ) ，在模糊意义下，一个过程中的第刀一1 个事件与第，z 个事件之间的时间间隔是一个模糊随机变量忌，使得 只：刃一f ( r + ) ( 尺+ = ( o ，佃) ，其中f ( r + ) 为尺+ 上的模糊数，l 1 ，对于v 口( o ，l 】，令 兄 ) = i n 印i 置( 缈) ( f ) 口) ，x 5 ( c o ) = s u p 圳置( 缈) ( ，) 口 i = l ，2 ，构成两个相对独 立的随机变量序列，以及口一水平集 置，。( 缈) = 爿乞( 缈) ，叉：( 彩) ，i = 1 ，2 ， 根据强大数定律得到 ! 骢吉善e 口= 瓯口舰吉善e ：= 瓯： 对于一个独立同分布的模糊随机变量序列 置，丘，只，) 而言，令豆= 爱 对v 口( o ，1 ，国1 2 ，z n ，定义如下 口( 彩) = i n f f i 最( 国) ) 口 s 篡( 国) = s u p p l 或( 缈) o ) 口 因此口一水平集 ( 爱( 缈) ) 。= 【口( 国) ，s 篡( 缈) 】 令 虻+ ) = s u p 以l 嚣( 缈) f 虻( f ) = s u p 刀i 口( 国) f ) ( 2 1 1 ) 定义2 1 21 1 5 1 在模糊意义下，一个随机过程中的第甩一1 个事件到第聆个事件出 现之间的时间间隔是一个模糊随机变量只，z 1 。若 置，爱，兄，是独立同分布 的模糊随机变量序列，则模糊随机过程 ( f ) ，t 0 被称为模糊更新过程，其中 五邑大学硕士学位论文 一 、 ( f ) = s 黑。徊：( ，k 心( ，) 】) a e ( o ，i 】n 口 ”“1 2 2 模糊随机更新过程的数学期望 在讨论模糊更新过程的数学期望之前我们来看看在概率间下，经典的更新过程 ( f ) 的几个性质一 若 以，n 1 为独立同分布的随机变量序列，( f ) 为它的分布函数，则 引理2 2 1 对v t 0 ，有 m ( f ) = e ( f ) 其中m ( t ) = e ( f ) ) 为更新函数n ( t ) 的数学期望，e ( f ) 是f ( t ) 的n 重卷积。 弓i 理2 2 2 若v t o ，f ( ) 1 ，贝4 m 盟 一 1 一f ( f ) 引理2 2 3v t 0 ，m ( t ) 满足下列更新方程 r e ( t ) = f ( f ) + j ：m ( t u ) d f ( u ) 现在我们来求p ( t ) 的分布，首先注意到模糊更新过程是一个计数过程，并有如 下一个重要的关系：到f 为止的更新次数大于或等于玎，当且仅当在t2 _ 前或在时刻f 发生第n 次更新，即 ( f ) ，z ) = 砖f ) n ( t ) = n ) = t 最+ l _ ： 最f ) - 一 最+ l f 从而得到 p n ( t ) = n ) = p t = p 最f ) _ 。p 瓯+ l f 让e ( f ) 表示瓦 ) 的分布函数，巧( f ) 表示( 国) 的分布函数，则有下面的一 个定理 定理2 2 1 n ( t ) 为模糊随机更新过程，则 研( 纠_ 三喜f ( e 。( r ) + e ：( f ) ) d 口 9 五邑大学硕士学位论文 这里口( o ，1 】，最。( f ) 和f c ( t ) 分别是c ( f ) 和e ( f ) 的r t 重卷积。 在证明此定理之前先介绍两个定义 定义2 2 1m 1 1 7 1 在可能性空间( o ，尸( o ) ，p o s ) ，如果v 口( 0 1 】，( j ) 口= 【彳。，以”】， 则它的期望值可定义为 e ( 贾) = 了1f 瞰+ x “。】d 口 其中e ，髟分别代表模糊变量ji 拘i 2 7 口一悲观值和口一的乐观值。 【2 5 2 6 我们假定f ，q ，厂，p 夕是概率空间，f 是在可能性空间( o ，p ( o ) ，p o s ) 下模 糊变量集簇，定义模糊随机变量是函数x ：口专f 为b o r e l ， p o s x ( m ) b ) 为撕隶属函数。 下面让贾为定义在概率空间f ，q ，厂，尸) 下的模糊随机变量，则它的期望值可定义 为 定义2 2 2 1 在概率空间f ，刃，厂，尸夕下，如果j = s u p 缸r ) 为模糊随机变 一e ( o ，1 1 ，1 4 “ 量，则它的期望值定义为 昱( 贾) = 吉f 瞅e ) + e ( 霹) 】d 口 、 下面给出定理的证1 明 证明 因为 贾，碧：，毫，) 是独立同分布的模糊随机变量序列， 虻( ，) = s u p ，2 i 。( 国) s o i ” = s u p ，2 l e ：f ) ii = 1 所以虻( f ) 为一更新过程。 所以根据引理2 2 1 有 e e n ：( t ) - - e 口( f ) 同理 研孵( f ) 】- ：( f ) 月= l 再根据定义2 2 2 ，得 1 0 五邑大学硕士学位论文 研( f ) = 三f ( 喜乓以) + 喜e ：( 啪d 口 = 吉f ( 口( f ) + e = r ( f ) ) d 口 推论2 2 1 v t o ，巧( f ) 0 ，有 e n ( t + s ) 卜e ( f ) 】1 + e ( s ) 证明 因为对于v 口( o ，1 】，v t 0 ，s 0 ，( f + j ) ，n ( t ) 为模糊随机更新过程， 所以 n ( t + s ) = 虻0 + s ) ，二o + s ) ， ， n ( t ) = 【虻( f ) ，孵( 明 所以根据定理2 3 1 ，有 e 二( f + s ) ( 国) 卜e 三( f ) ( 缈) 1 + e 【三( s ) ( 国) 】 e ? o + s ) ( 缈) 卜e ：o ) ( 国) 】1 + e ：0 ) ( 彩) 】 因而，根据定义2 2 2 研霜( ) 卜研贾 圭j ( 研二( ) ( 训一研二( 缈) 】 + e n 7 0 + s ) ( 彩) 一e 三o ) ( 力) 】) d a 虿1 ( ( 1 + 研虻( s ) ( 缈) ) + ( 1 + 研虻+ ( s ) ( 缈) 】) ) d 口 = 1 + 研对( j ) 】 1 2 五邑大学硕士学位论文 第三章模糊随机更新过程的若干更新定理 3 1模糊随机基本更新定理 引理3 1 1n ( t ) 为更新过程，一概率1 有 业专上 t e x i 定理3 2 i t 例 贾。，l 1 为独立同分布的模糊随机变量序列，( f ) 为模糊随机 更新过程，则对于v f 0 ，则有 因而对v e t ( o ，1 】，有 证明首先对 c a ( o ，1 】，v t 0 ，由( 2 1 1 ) 得 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 4 ) 竖盟：竺丝 l 竖丝生竺丝盟!( 3 1 5 ) 虻( f ) 一昵( f )k ( f ) + 1 圮( f ) 因为 只，z 1 同分布，即有置，口= 置，口- - - o o 所以 ，口= 掣= m ( r ) 瓯： 当t 专时屺( ，) - - - o o ，由( 3 1 5 ) 可得( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 。类似的过程可以 证明( 3 1 2 ) 和( 3 1 4 ) 同时得到 一口 i 芦去壶 一 一 华荽卜 南南 一 旦一 半掣 m 蝴 m h h 耋h 五邑大学硕士学位论文 l ，i mn ，( t ) = l ，i r a 。州s u p 心 口华，华， _ 口器缸。亳，去。 = ：l e x i 引理3 1 2 ( 基本更新定理) 以，以l 为独立同分布的随机变量序列，( f ) 为 随机更新过程，则对于专时有 旦盟专上 t e x i 定理3 2 2( 模糊基本更新定理) 兄，甩1 ) 为独立同分布的模糊随机变量序列， ( f ) 为模糊随机更新过程，则对于v 卜o o 时有 旦盟j 三 t e x i 证明因为二( f ) ，孵( ) 为更新过程， 所以由引理3 1 2 知 e n d ( t ) 专l 。 t 磷： 型_ 二l 所以掣= 【业t ，塑t 毒，寿 = 壶 f乜z1也五1乜五1 3 2 模糊随机关键更新定理 定义3 2 1非负随机变量x 称为非格点的，若d 0 ，满足 p ( x = n d ) = 1 引理3 2 1 【2 2 】( b l a c k 更新定理) 设f ( x ) 为非负随机变量的分布函数，若f 是非 格点的，则对v s o 有 l i m ( 研删卜研批) 】) = 壶 。t t 1 1 4 五邑大学硕士学位论文 足埋3 2 1 删 义。，忍l 为独立同分布的模糊随机变量序列，v 口( o ，l 】，国口， 。( 缈) 和矸：( 缈) 的分布函数是非格点的，则对v s 0 1 ，有 l i m ( t - ，o o 聃( f ) 】- 酗】) _ e ( 奢 y 证明 因为墨。( 彩) 和墨：( 彩) 的分布函数是非格点的，对v 口( o ，1 ，根据引理 3 2 1 有 1 i m ( 研虻( h 顶训以【啦) ( 训) 2 面赫 l i m 研k ( h 烈彩) 】以 孵( 荆】) 2 面高 ， 一 。y， 1 l 再叔据定义( 2 2 8 ) 得 h m ( 研o + s ) 卜目( f ) 】) t - - o o = 三f ( 研m ( f + 趴训一研三( 训+ 研孵( f + 烈训一研孵( 训) d 口 专丢fc 赢面+ 南，比 姐( 却 引理3 2 。2 以，鼹1 为独立同分布的随机变量序列，它的分布函数是非格点 的，五( ) 为黎曼可积，则 刚雄叫施( 耻j c o 静 定理3 2 2 只，甩1 ) 为独立同分布的模糊随机变量守列，j j l ( f ) 为黎曼可积， v 口( o ，1 ，彩刃，墨。( 缈) 和e ：( 国) 的分布函数是非格点的，且h ( t ) d t f 1 ) 肌一曲饱 虻( 坝训外币bf 琊进( v ? 乞 因l l ：gv t m a x ( ，t 2 ) 有- o f h ( t - 石) 饱 虻( x ) ( 彩) 】+ f 乃。一z ) 把 m ( x ) ( 国) 】 姗壶胁，西+ 壶腓，办 由f a t o u 引理 烛i n ff ( j i c 五( f 一工) 鲤 k ( 工) ( 缈) 】+ f ( 卜z ) 埘盯( 石) ( 缈) 】 j el i mi n 坟f 乃o - x ) d e n ：( z ) ( 彩) 】+ fj i l o 一工) 把 ? ( z ) ( 缈) v 口 和 。l ，i r a 。s u pf ( f 乃。一z ) 把 虻( 工) ( 彩) 】+ f 办一工) 饱 ：( x ) ( 缈) 】矽口 1 6 五邑大学硕士学位论文 因此 f 受s u p ( f ( f z ) 以 k ( x ) ( 彩) 】+ f h ( t 一工) d e n 7 ( x ) ( 彩) d d 口 l i r a ( ：h ( t - x ) 捌k ( x ) ( 缈) 】+ f 矗( f x ) 扭【孵( j ) ( 缈) 】) = 五丽1j c d 五( r ) 出+ 至丽1 j c oj i l ( r ) 出 因而有 j 骢导ff h ( t x ) d ( e 【k ( x ) ( 缈) 】+ e n t ( x ) ( 缈) 】) j 岱 = 吾f ；鳃( f 五( f 一功扭 虻( x ) ( 彩) 】+ f h ( t - x ) 把 ：( x ) ( 国) 】) d 口 2 三f ( 瓦乏袅丽j c o 办( ：) 西+ 丽1 j c o 办o ) 出) d 二 = 壶肌) 疵 注：假如 j 。，咒1 为独a l 同分布的模糊随机变量序列， v 口( o ，1 】，彩口， k 。( 缈) 和墨： ) 的分布函数是格点的，则( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 式不成立。意味着定理 3 2 2 是不成立的。 、 所以在【i 8 随机过程中更新定理是等价于关键更新定理，也就是 l i m ( 研虻p 怕) ( 缈) 卜研m ( f ) ( 缈) 】) 2 面乏面 卜p l f t l 、 熄f m x ) 把 虻( 坝国) 】2 酉乏高j c o 琊渺 和l i r a ( 研m + ( h 烈硼坷【k ( 荆d = 赢高 卜+ pt“ll 姆f 向( f x ) 把【孵( x ) ( 国) 】2 瓦丽1 f 办。渺 一船士f b _ 右 1 7 五邑大学硕士学位论文 i m 陬f + 叫以陬f ) 】) = 壶营 卜- 扣y 暗f 扣叫郴陬荆m 陬项蜊口= 壶胁) 疵 3 3 模糊随机交错更新定理 定义3 3 1f 2 0 】【2 ”一个系统只有两个状态，最初它是开的且保持开的时间为毫， 而后关闭且持续的时间为霉，之后又打开且开的时间持续为忌，而后又关闭最的时 间，如此开关交替重复下去，设随机向量 ( 只，) ，l 1 ) 是独立同分布序列，模糊随 机向量在概率空间r 口，厂，尸夕下，只，e 独立同分布，则 ( 只，e ) ，刀1 ) 叫模糊随机交 错更新过程。 对 于 v e o 亿，；( 国) = x a ( 国) ，x 嚣( 国) 】 ， 霉( 国) = 霉：( 彩) ，霉：( ) ，记 p ( ，) = 以彩臼j 时刻f 系统开着) = 巧劬力l 时刻f 系统开着) ，+ c o ql 时刻f 系统开着) 】 定理3 3 1 【2 4 1 若 ( 毫，e ) ，刀1 ，是独立同分布序列，v 口( o ，1 】，功刃 置( 国) = 墨。( 缈) ，彳艺( 国) 】，霉( 国) = 鬈二( 功) ，z ：( 国) 】，假如随机变量墨口( 彩) ，墨：( 彩) ， z ：( 缈) ，z ：( 缈) 是非格点的。e 【墨。( 缈) 】+ e 【x ：( 缈) 】 0 0 ，e 瓦：( 彩) 】+ e x ：( 国) 0 0 ，贝u l ，。i r a 。p 。 c o 刃i 时刻r 系统开着 2 面i 差 t ，i m 。+ f o eq f 时刻r 系统开着 2 面i 主羞 证明因为 ( 只，) ，n 1 ) 是独立同分布序列 所以 瓦( 国) ) ， 壤p ) ) ， 瓦( 彩) ) ， 圪( 纠) 也是独立同分布的。给出下面的过程 ( 1 )过程a 表示为 ( z 口徊) ，k ：( 缈) ) ，i 1 ( 2 )过程b 表示为 ( z ：沏) ，鬈二 ) ) ，i 1 ( 3 )过程c 表示为 ( ( 缈) ，( ) ，i 1 ) 其中e 口( 缈) ( 功) e ：( 国) ，i ：( 缈) f _ p 爿嚣( 彩) f ) 让 露( f ) = p ，时刻过程a 开着) p 2 ( t ) = p f 时刻过程b 开着 五邑大学硕士学位论文 忍( f ) = p ，时刻过程c 开着) 下证露( f ) p d t ) 最( n 每当系统打开时就说发生了一次更新，邑表示在过程a 中对之f 前或t 时最后 次更新发生的时刻，品表示在过程c 中对r 之前或r 时最后一次更新发生的时刻， ( 夕) ，矗( y ) 分别表示s , 4 ，& 的分布函数。 露( f ) = p f 时刻过程a 开着1 只= o ) + r p f 时刻过程a 开着1 只= y ) 略( y ) e ( f ) = p f 时刻过程c 开着l & = o ) + f p r 时刻过程c 开着i & = y 嚷( 少) 而 p f 时刻过程a 开着i & = o = p 墨口( 国) f i 墨口( 国) + 墨：( 国) n p f 时刻过程c 开着i & = o = p k ( 国) f l 姊( 国) + r ( 缈) f 且对y t 有 p f 时刻过程a 开着i 配= 力= 尸 一口( 国) f j ，1 瓯口( 国) + k ： ) ，一j ，) p f 时刻过程c 开着i & = j ， = 厶( 彩) f y l 易( 国) + 佛( 国) f 一力 有 尸 五。( ) ，l k 口( 国) + 巧：( 国) f ) p 墨口( 国) l 墨口( 国) + ( 彩) f ) p 巧( 彩) f l ( 缈) + r ( 缈) f 由过程c 的任意性 。 一 所以露( f ) = 巧 c o q | 时刻f 系统开着) 只( f ) = 巧+ 伽ql 时刻f 系统开着) 1 ，i m 。p 。 缈力f 时刻r 系统开着 = 面x 兰： l ，i m 。p ：+ 缈口l 时刻r 系统开着 2 面i 芝翟 3 4 模糊随机有酬更新定理 在实际中，一个过程在每次更新时相应地得到一定的“报酬”，就得到有酬的更 新过程，就简称为有酬更新过程。 ( f ) ，v t 0 为模糊随机更新过程，第0 - 1 ) 次到第以次事件的时间间隔 1 9 五邑大学硕士学位论文 只，露= 1 ，2 ，为独立同分布的，e 表示第以次更新时得到的报酬，己，万：l ，2 ，为独 立同分布的，但允许与兄相关，模糊随机向量( 丘，e ) ，力= 1 ，2 ，独立同分布 v ( ，) 令 0 ( f ) = 霉 对于v 口( o ，l 】，我们很容易证明到 噬旦) 盯( f ) e ( f ) = ，e ( f ) = 艺圪 这里e ( f ) = c 三( f ) ，c ( f ) 】，( f ) = 【二( f ) ，w o ) 】，霉= 圪，圪 引理3 4 1 脚 ( f ) ，v t o 为模糊随机更新过程，第0 1 ) 次到第刀次事件的时 间间隔，魂= 1 ，2 ，为独立同分布的，表示第，2 次更新时得到的报酬，z ，露= 1 ，2 ， 独立同分布。 c ( r ) = z ，若研x 】 0 有 矾州哪蚴 o ，j 0 有 o s 磊( 0 f ，吒( ，口 f 瓯有可t - e x , 2 碱晋+ l 和 嚣堋吼挑壶 嚣嘲吼 所以有n 2 , ( t + s 卜碱 等笋小哥 = 壶小囊o , w 堋吃+ 同理有昧m ) 口- 删口 嚣川 川 所以 研成 + j ) 卜研税( f ) 】 = 圭f ( m o + 眈+ 杉v + 眈) 如一圭f ( m ( 睨+ 孵( f ) 口) d 口 = 吾f ( 孵o + s ) 口一孵o ) 口) + ( ：+ o + s ) 口一n j o ) 口) d 口 五邑大学硕士学位论文 二= ：二二= 一一 的分布为r ( k ，五) ，则此更新流称为模糊随机e r l a n g 更新流，其 对应的更新过程称为模糊随机e r l a n g 更新过程。 定理3 6 1 设p ( f ) 是 0 ，) 上的一个分布函数，对于h 0 定义 莉，：私螂也沪啪小- 一茎簪tk 南 证明因为户( f ) 是【o ，o o ) 上的一个分布函数，对于h 0 ，令 户( f ) = e ( f ) ，( f ) ，丘o ) = 吃o ) ，磁( f ) 脯 黜，：弘m 叫纠卜薹嬖南， 珊，：乒m 砥川坳m 一薹等南：n = lt 口u 所以根据定义2 2 2 元( ，_ - l e f h m + 露( ，) ：丢瞎和铲瓢川m m 一茎譬南+ 扣m 讯_ 煳m 一薹簪t k 南 h = 1 $ 2 u 五邑大学硕士学位论文 ：争薹嬖南三胁圳哪忙啪孵m 讯川瑚 ：和m 删纠n - 窆k = o 譬南开=lt： 3 7 模糊随机再生过程与其相系的模糊更新过程 定义3 7 1 【2 9 】随机过程置称为再生过程，如果存在有限值( 置) 的停时r ，使随机 过程 墨：t 0 ) 与随机过程 蜀+ ，：f o ) 同分布，且 4 + ，：f o ) 与丁独立，此随机变量丁 则称为一个再生时刻。 对于再生过程置，存在再生时刻互使随机过程掣d = = 五+ ，与随机过程五同分布， 且( 墨”) 与互独立于是( 墨”) 也是再生过程，由于它与五同分布，从而存在与互同分 布的再现时刻乏，使随机过程掣2 ) - = + ，与随机过程z 同分布，且( ( 彤2 ) ) 与互独 立于是互与石独立，如此继续下去，就可以得到独立同分布的非负的随机变量序列 z ，与它对应的就有一个更新过程f 。 z 称为再生过程z 的第，1 个循环时间，h 巾l ) 称为再生过程墨的第，1 个循环 时段。 引理3 7 1 对于再生过程置以及循环时段五，只要e f l l 厂( 置) 印 o o 就有 l i m f ( x ，) = 掣 定义3 7 2 模糊意义下随机过程只称为模糊随机再生过程，如果存在有限值 ( 暑) 的停时于，使模糊随机过程 置：f o ) 与模糊随机过程 鬈+ ，：f o ) 同分布，且 毒+ ，：f o 与于独立，此随机变量于则称为一个再生时刻。 对于模糊再生过程置，存在再生时刻霉使随机过程毫1 ) _ = 岛+ ，与随机过程墨同 分布，且( 癣1 ) 与石独立。于是( 彤1 ) 也是再生过程，由于它与置同分布，从而存在与 盂同分布的再现时刻霉，使随机过程霹2 = = 磊+ ，与随机过程癣1 同分布，且( ( 寥2 ) ) 与囊独立。于是盂与盂独立，如此继续下去，就可以得到独立同分布的非负的模糊 五邑大学硕士学位论文 随机变量序列编 ，与它对应的就有一个模糊随机更新过程砖。 有 定理3 7 1 对于模糊随机再生过程置以及循环时段霉，只要ej f li 厂( 置) p 就 ；蛩厂c 置，：丢fc 华+ 兰学，d 口 证明 由引n ( 3 7 1 ) ! 受厂( 置) = 圭f 矿( 五) ：+ 厂( 互) ：) 比 + 盟磐m e z ” 7 五邑大学硕士学位论文 参考文献 1 11 z a d e hla 。f u z z ys e t s j i n f o r ma n dc o n t r o l ，19 6 5 ，8 ：3 3 8 3 5 3 2 】w a k e m a a khk f u z z yr a n d o mv a r i a b l e s p a r t l ：d e f i n i t i o na n dt h e o r e m j ， i n f o r ms c i ，19 7 8 ，5 ：1 2 9 【3 】k r l l s er t h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e rf o rf u z z yr a n d o mv a r i a b l e j ，i n f o r m s c i ，1 9 8 2 ，2 8 ：2 3 3 2 4 1 。 4 】f e l l e rw o nt h ei n t e g r a le q u a t i o no fr e n e w a lt h e o r y m ，a n n a l so fm a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s ，l9 41 ，12 ：2 4 3 2 6 7 5 】b l a c k w e l ld ar e n e w a lt h e o r y j ，d u k em a t h j ，1 9 4 8 ，1 5 ：1 4 5 1 5 6 。b l a c k w e l ld e x t e n s i o no f ar e n e w a lt h e o r y j ，p a c i f i cj m a t h ，1 9 5 3 ，3 ：31 5 3 2 0 【7 】s m i t hw r e n e w a lt h e o r ya n di t