第二节 二重积分(直角坐标)的计算部分内容09-4-2.doc

第二节 二重积分的计算(直角坐标部分)剩余教学过程：一、利用直角坐标系计算二重积分1先对后对的二次积分假定, 且,其中: ,则 .结论：二重积分必须转化为二次累次积分进行计算. 2先对后对的二次积分.其中:, .例3 化二重积分为二次积分(写出两种积分次序).(1)解为矩形区域,所以 .(2)是由轴,及围成的区域.解 则.若将表示为,则 . (3)是由轴,及围成的区域.解若则.若则 .(4)是由轴,圆在第一象限的部分及直线围成的区域.解若且及，则.若则 .(5)是由轴与抛物线在第二象限的部分及圆第一象限部分围成的区域.解若将表示为及则 .若将表示为则 .3型区域与型区域(1) 型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时 .(2) 型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时. (3) 对于任意区域,可将分成若干个型与型区域后分别积分： .注意：选择计算顺序非常重要.例7 (1)(01.6) 求二重积分的值,其中是由直线,及围成的平面区域.解积分区域可表示为,于是 .(注意一重积分的对称性)(2) 解.练习:选择合适顺序计算下列积分1),其中是由直线和轴围成的区域.解:将分成,又在上是的偶函数,且关于轴对称(与均关于轴对称).2) 解: 4交换积分顺序上述的积分使我们看到积分顺序很重要，以下以实例说明如何交换积分顺序.例8交换二次积分的次序: (1) 解积分区域为,积分区域还可以表示为,于是 原式.(2) 解积分区域为,，积分区域还可以表示为 ,于是 原式.（3）(02.3) 交换积分次序: .解积分区域可表示为,其中 ,也可以表示为,故 .（4）(92.3) 交换积分次序: .解积分区域可表示为, 故.例9 求证:提示:交换积分次序.解二重积分中的积分区域为 ,区域还可以表示为 ,于是 即 .例10(88.4) 求.解积分区域可表示为,(初等函数的原函数不是初等函数).例11(1)计算,是由直线及抛物线围成的区域.提示:此题若选用型区域上的积分则无法计算出这个二重积分.解取型区域，则区域可表示为, .(2) 计算,是由直线及及轴围成的区域.（此题若选用型区域上的积分则无法计算出这个二重积分.）解：选用型区域上的积分(3) 计算解：例12(06.7) 计算二重积分,其中是由直,所围成的平面区域.分析：注意积分的顺序，使其计算简单解区域可表示为,故 .例13（本题满分07.3.11分）设二元函数 计算二重积分，其中【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简.【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的部分. 设 , ,.因此 .【详解2】记，则=【评注】被积函数包含时, 可考虑用极坐标较容易；解法二在计算积分时, 利用了将区域转化为区域D减去,而后面这两块区域均方便积分.例14 某城市受地理限制呈直角三角形分布,斜边临一条河.由于交通关系,城市发展不太均衡,这一点可从税收状况反映出来.若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系,则位于轴和轴上的城市长度各为16km和12km,且税收情况与地理位置的关系大体为(万元/平方千米),试计算该城市总的税收收入.解：该城市三角形区域如图, 总的税收收入为(万元).二、二重积分的几何应用例15（1）求由,圆柱面 及抛物面 围成的曲顶柱体体积. 解：另解：.（2）求由曲面 与所围立体的体积.解 几何体的顶为 ，底为 ，两曲面在xoy平面上的投影区域为 ，故 所求几何体的体积为 .例16.计算下列曲线所围成的面积：(1), 解由,所围成的区域可表示为,区域的面积为. (2),解由,所围成的区域可表示为,区域的面积为 .例17.计算下列曲面所围成的立体的体积: (1),解这是求以为顶的曲顶柱体的体积.积分区域为,所求体积为 .(2), 解这是求以为顶的曲顶柱体的体积.积分区域为,所求体积为.（3）求以平