（光学专业论文）基于囚禁离子系统的量子态制备和测量.pdf

i 摘摘 要要 量子信息是量子理论与信息科学相结合的产物。量子信息技术有望成为 21 世纪 的重要高新技术，使信息科学从经典时代跃向量子时代。为了进行量子信息处理， 我们必须构造能对量子位操作的量子硬件。自 1995 年 cirac 和 zoller 提出了囚禁离 子量子计算方案以来，基于囚禁离子的量子信息的理论和实验有了长足的发展。利 用离子与光场的相互作用，实验物理学家可以精确的操控囚禁离子的内部电子态和 振动量子态，从而实现所要完成的量子信息处理任务。本文主要研究了多个囚禁离 子量子态的制备、存储以及囚禁离子运动的 wigner 特征函数的直接测量。本文的 主要内容包括以下部分： (1) 囚禁离子系统的理论基础。首先介绍了离子的囚禁和冷却，在离子的囚禁 中我们介绍了囚禁离子的 paul 阱和 penning 阱，在离子的激光冷却中我们介绍了多 普勒冷却和边带冷却，然后介绍了基于囚禁离子系统的量子信息进展。 (2) 多个囚禁离子纠缠态的制备及存储。我们提出了用两束激光照射离子来实 现多离子的纠缠态的制备方案。利用同样的方法，我们实现了纠缠态的存储并数值 模拟了囚禁离子系统与外部环境耦合对我们操作带来的影响。 (3) 囚禁离子运动的 wigner 特征函数的直接测量。我们用两束激光囚禁激发离 子的上下振动边带，提出了 wigner 特征函数的直接测量方案。而且这种模型还可 以扩展到两维的情况。 关键词：关键词：囚禁离子，激光冷却，量子计算，纠缠态，分布函数，wigner 函数 ii abstract quantum information is the combination of quantum theory and information science. quantum information technique is expected to be one of the most important high and new technologies in the 21st century and will bring information science to a new era. in order to deal with quantum information, the device manufacture for manipulating quantum states is necessary. since cirac and zoller proposed the scheme of quantum computation in ion trap in 1995 year, the theory and experimentation of quantum information in ion trap have been developed. in this dissertation, we study the preparation and storage of entangled states for multiple trapped ions and scheme for direct measurement of wigner characteristic function for motion of single trapped ion. the main contents are as follows: (1) the theory of the ions trapping system. we introduce the ions trapping and cooling first. in the part of the ions trapping, the paul trap and penning trap are presented. in the part of the ions cooling, the doppler cooling and webbing cooling are given. then we show the development of quantum information in ions trapping system. (2) preparation and storage of the entangled states of multiple trapped ions. we propose a scheme of the entangled states preparation of multiple trapped ions by using two laser beams excite the ions. utilizing that method, we realize the storage of entangled states and numerical analyse the influence of the coupling of this model with the surroundings. (3) direct measurement of wigner characteristic function for motion of single trapped ion. in our scheme of direct measurement, the trapped ion is driven by two laser beams with different frequencies tuned to the first lower and upper vibrational sidebands. this model can also be extended to the two-dimension case. key words: trapped ion laser cooling quantum computation entangled state distribution function wigner function 1 1 绪言绪言 1.1 量子信息概述量子信息概述 量子信息是以量子力学基本原理为基础的，它以微观体系的量子态作为信息载 体，通过量子系统的各种相干特性如量子并行、量子纠缠以及量子不可克隆等性质， 进行计算、编码和信息传输的全新信息方式。信息论是 1948 年美国工程师香农 （shannon）创立的1，从此信息学作为一门独立的学科而发展起来。信息学主要由 信源信宿处的信息处理和信道的传输两部分组成，就信息处理而言，传统的信息处 理主要是依赖于半导体材料的应用，如最初的电子管、晶体管到大规模的集成电路 都是利用了半导体材料，虽然半导体的特性是用量子力学描述的，但是信息处理的 过程都是微小电路完成的，是用经典物理学描述的，就信息传输而言无论是无线电 信号还是点对点的宽带光缆或者普通电线，信息都是以电磁波或者电流的形式传递 的。因此信息的传输是用经典的电磁定律描述的。所以我们用的计算机都是经典的 信息处理器。现在为了提高计算机微处理器的速度，单位面积（体积）上集成的元 件数目大量增加，这样当二氧化硅表面的电路线度小到电子大小的尺度时，电路中 的电子行为将不再服从经典力学规律。因此，突破这种尺度极限是当代信息科学所 面临的一个重大科学问题。量子信息的研究就是利用量子力学规律，发挥量子相干 特性，以一种新的方式来进行计算、编码以及信息的传输，就像量子物理学取代经 典物理学一样，建立在量子力学基础上的量子信息学终将会取代建立在经典物理学 基础上的经典信息学。而由爱因斯坦，波多斯基，罗森（einstein, podolsky, rosen） 所引出的“纠缠态”概念，正是整个量子信息学的基础。 量子信息论主要包括两个部分：量子计算和量子通信。 量子计算 20 世纪后半叶随着计算机的普及，人类进入了信息时代，计算机元器件越做越 小芯片集成度越来越高，集成电路技术接近其极限，而且元器件变得非常小时必须 用量子力学进行描述。八十年代初，有物理学家证明一台计算机原则上可以以纯粹 的量子力学方式进行运行，但是当时没能找到实际的系统进行量子计算机的实验， 而且不清楚量子计算机解决数学问题是否比常规的计算机快，所以很长一段时间一 2 直没有进展。直到 1994 年,由于美国电话电报公司贝尔实验室的一位科学家提出使 用量子计算机可以很容易的进行大数的因式分解，比传统的计算机快得多，从而引 起了人们的极大关注和研究。量子计算机本质上是利用了量子相干性2，量子态的 可叠加性，量子计算机对每一个叠加分量实现的变换相当于一种经典计算，所有这 些经典计算同时完成并按一定的概率叠加起来，最终给出输出结果，这种信息处理 的方式叫量子并行处理3。量子并行处理大大提高了量子计算机的效率4,从而能完 成经典计算机很难完成的工作。但是，在实际系统操作中量子相干性很难保持。在 量子计算机中，量子比特不是一个孤立的系统，是与外界环境有相互作用的，从而 引起消相干。相干性的丢失就会导致运算出错，除了消相干引起的量子错误外，量 子操作中的误差也会导致量子错误。对于核心的消相干问题，迄今最有效的克服方 法就是量子编码。 主要的量子编码方案有： 量子纠错码、 量子避错码和量子防错码5。 现在量子计算机正在如火如荼的进行着，但是到现在为止，世界上还没有真正意义 上的量子计算机。不过总体来讲，对于实现量子计算机已不存在原则性的困难，按 照现在发展的速度，相信会有一个光明的前景。 量子通信 量子通信是借助量子态作为载体进行信息传递的。1993 年 bennet 等人在 prl 上提出了量子隐形传态的方案6：将某个粒子的未知量子态传送到另一个地方，把 另一个粒子制备到这个量子态上，而原来的粒子仍留在原处。其基本思想就是，将 原物的信息分成经典信息和量子信息两部分，将它们分别由经典通道和量子通道传 送给接收者。经典信息是发送者对原物进行某种测量而获得，量子信息是发送者在 测量中未提取的剩余信息。接收者在获得这两种信息之后，就可以制造出原物量子 态的完全复制品。这个过程中传送的仅仅是原物的量子态，而不是原物本身。发送 者可以对这个量子态一无所知，而接收者是将别的粒子处于原物的量子态上。原物 的量子态在此过程中已经破坏。1997 年年底奥地利研究组最先在实验上成功演示了 量子隐形传态，论文发表在自然上，引起了学术界的极大兴趣7。此后，若干 研究组在实验上相继实现了这种量子隐形传态。量子隐形传态是量子通信最基本的 过程。基于这种过程人们提出了量子因特网的构想。量子因特网是用量子通道来联 络许多量子处理器，它可以同时实现量子信息的传输和处理。量子因特网相比经典 因特网具有安全保密性，可实现多端的分布计算，而且能有效的降低通信复杂度等 一系列优点。现在人们正致力于研究量子网络的关键技术，如高纠缠源、纠缠操作 3 和纯化、量子中继和量子处理器等。相信不久的将来会有一种新的通信方式，而且 一旦实现便会有极大的情报甚至国防意义。 量子信息作为新兴交叉学科的诞生，无疑为微观领域技术的发展指明了方向， 而且反过来也丰富了量子力学的研究内容，使人们对基本物理学规律有了新认识。 总之，量子信息技术有望成为 21 世纪的重要高新技术，使人们进入一个全新的量 子时代。 1.2 本文的研究目的、内容、方法和结论本文的研究目的、内容、方法和结论 通过前面我们对量子信息的概述，量子信息有着美好的前景，当然也存在着很 多的困难。自从 cirac-zoller 模型提出后，离子阱中的量子计算有了长足的发展。 其中，比较重要且已经取得的成就有：1995 年实现了使用运动态和内态做量子比特 的受控非门8；同年，vogel 等人研究了单离子与两束行波激光作用的 jaynes- cummings 模型动力学9；1997 年，吴颖教授研究了在单束驻波光照射下单离子的 jaynes-cummings 模型动力学10；1999 年 sorensen 等人提出了利用热囚禁离子实现 量子计算的方案11，2000 年该方案得到实验验证12；2002 年简化的受控非门获得 成功13；在实验中实现和观察 bell 不等式的违背14；产生了六个、八个离子的最大 纠缠态15,16；逻辑量子比特的消相干自由子空间获得实验证实17；2003 年实现了 d- j 算法的演示实验18。但是还有很多等待研究的问题，如：实现量子纠错编码；实 现容错的量子逻辑操作；实现两逻辑量子比特的操作；产生两逻辑量子比特的 bell 不等式；产生三逻辑量子比特的 ghz 态；使用四个或更多的逻辑量子比特实现最 大纠缠态；使用逻辑量子比特实现简单的量子算法；使用逻辑量子比特实现容错的 量子算法以及信息传递，等等。 消相干问题是使用囚禁离子量子计算的一个主要障碍。由于随机涨落的电场引 起的运动态消相干需要被遏制。对于 raman 跃迁，我们需要大的精细结构分裂来避 免由于自发辐射导致的消相干。另外，激光的强度和相位涨落也会导致消相干。这 些方面已经有了一些研究19,20，但是还有待深入。 囚禁在离子阱中的离子包含着两个基本的量子系统：一个是内部电子态所构成 的两能级系统，一个是外部自由度所构成的准简谐运动系统，利用适当的激光场相 互作用，这两个子系统能够以各种方式进行耦合，从而极大丰富了系统动力学特性 4 并扩充了相关研究内容。 离子阱技术的发展使得人们不但可以对囚禁离子的内部自由度进行精确的操纵 和控制，而且对外部振动自由度也能进行类似精确的控制。迄今为止，人们提出了 各种方法以实现运动的数态，相干态，压缩态，薛定谔猫态，以及其它一些量子态 21-25，并且在实验上已经成功制备出了这些态26-28。不但如此，人们还能对囚禁离 子振动运动的量子态进行测量，实现振动量子态的重构29,30。 我们的主要工作体现在第四章和第五章。在第四章中，我们提出了用两束激光 照射离子来实现多离子的纠缠态的制备方案。使用同样的方法，我们提出了通过囚 禁离子系统的演化来实现纠缠态存储的设想，并数值模拟了囚禁离子系统与外部环 境耦合对我们操作带来的影响。在第五章中，我们用两束激光囚禁激发离子的上下 振动边带，提出了 wigner 特征函数的直接测量方案。而且这种模型还可以扩展到 两维的情况。 5 2 离子的囚禁和冷却离子的囚禁和冷却 自原子的发现以来，人们就一直非常渴望观测到单个粒子的行为，探索物质的 基本结构和运动规律。为了探索研究原子，分子和离子等微观粒子的内部结构和运 动规律，操作和控制单个微观粒子，就需要一个与外界隔离的环境，使微观粒子的 运动不受外界环境的影响。随着用于离子囚禁的离子阱和激光冷却技术的不断发 展，使实现这种隔离环境成为可能。离子阱在光谱学、量子光学以及频标等研究领 域的应用上取得了重大的进展，不仅使光谱学的某些领域发生了革命性的变化，而 且为多种形式的原子体系量子态的制备和精密测量创造了条件，同时在检验物理学 基本定律测量物理常数等基础研究和高性能频标研制等应用方面取得了令人瞩目的 成就。近年，囚禁离子又被广泛应用于量子计算机的研究，如量子逻辑操作、量子 计算、量子信息以及量子态的制备等方面的研究。如果量子计算机研制成功，那么 现在计算机无法解决的许多难题都将迎刃而解。 2.1 离子的囚禁离子的囚禁 离子的囚禁历史可以追溯到本世纪三十年代。1936 年，penning31在对放电过程 的研究中发现了磁场对电子的囚禁现象，但是这一技术在实际中难以直接应用。直 到 1958 年，paul32发展了四极杆质量虑通器的原理，将直流和交流电压加在一个内 表面为旋转对称双曲面的“容器”上，产生一个周期含时四极电势，这种能捕获并囚 禁带电粒子的“容器”就叫离子阱。 首先，离子阱可以提供一个超高真空的洁净环境。离子囚禁是一项利用静电场、 静磁场或射频场将离子较长时间的囚禁在超高真空的离子阱中的技术，它为研究离 子及其过程提供了一个受外界扰动非常小的洁净环境。囚禁在离子阱中的离子即使 有微扰，要么很弱，要么可以定量的知道微扰的量级从而可以进行控制。处于高真 空环境中的离子阱可以消除离子与其他原子，分子的碰撞。普遍存在的微扰是来自 于离子的 doppler 效应，但是这种效应可以通过冷却离子，特别是通过激光冷却来 减小。在微波段，离子的热运动振幅小于探测辐射的波长，则没有一阶 doppler 效 应，这就是所谓的 lamb-dicke 极限；在光频段，光谱存在一级 doppler 展宽。由于 离子所处的环境微扰很小，适当选择样品就可以得到线宽极窄的高分辨谱线，这是 6 其他系统很难实现的。此外，离子阱可以提供一个长的囚禁时间，这也是离子阱的 一个突出特征，由于离子可以长时间的被限制在一个小空间区域，所以可以长时间 地进行观察研究，因而大大提高了观测灵敏度。离子阱的另一个显著特点就是可以 选择离子的质量与种类进行选择囚禁。我们知道在离子阱中存在稳定区，所以可以 通过精确复杂的计算来使离子保持在稳定区。根据离子阱的特点我们可以适当的选 择更重或者更轻的离子，经过质量选择的囚禁离子其存贮时间比没有经过筛选的离 子的存贮时间长得多。 根据囚禁原理的不同，可以将离子阱分成两类：paul 阱和 penning 阱32,34。paul 阱是 paul 最早提出的，由于在通常囚禁原子尺度的离子实验中加在 paul 阱上的交 流 电 压 （ 亦 称 囚 禁 电 压 ） 的 频 率 处 于 射 频 （ radio-frequency, rf） 波段， 因而 paul 阱又叫四极射频离子阱， 简称射频阱。 而 penning 阱是由 dehmelt 设计的，其与 paul 阱一样的电极结构，但用一个轴向静磁场取代交变电场。离子阱 广泛地应用于科学技术研究的各个领域中，有力地促进了相关科学的发展。由于在 离子阱技术和用离子阱进行精确测量方面的杰出贡献，paul 和 dehmelt 荣获 1989 年度的诺贝尔物理学奖。下面我们分别介绍一下这两种阱。 paul 阱的基本原理是用多极电势构成一个三维势阱把离子囚禁在阱内一个特定 的区域，其电极结构和阱体构造剖面如图 2.1a，2.1b 所示。典型 paul 阱阱体的内表 面是旋转对称的共轭双曲线，通常称为环极和帽极，环极加直流电压u，帽极加交 流电压cos()vt，这样，paul阱中产生了一个周期含时四极电势35 222 22 00 cos() (2) 2 uvt xyz rz + =+ + （2.1.1） 其中为交流电压角频率， 0 r 为paul阱环极最小半径， 0 2z 为paul阱两帽极间最短 距离，离子在空间的坐标为（, ,x y z） 。 7 图 2.1a paul 阱的电极结构 图 2.1b paul 阱阱体构造剖面图 电量为e质量为m的离子在方程（2.1.1）平均受到的力为： ( , , )fegradx y z= （2.1.2） 离子在囚禁势阱中的经典运动方程为： 8 22 00 cos() 2 2 uvt mueeu urz + = = + ? （2.1.3） 22 00 cos() 4 2 uvt mzeez zrz + = = + ? （2.1.4） 其中,ux y=。 引进无量纲参数 222222 0000 168 ,2,2 2(2)(2) zuzu euev t aaqq m rzm rz = = = + 由方程（2.1.3） ， （2.1.4）可以得到标准的mathieu方程35,36,37 (2cos2 )0aq +=? （2.1.5） 式中, ,x y z=根据floquet定理，方程（2.1.5）具有如下形式的解 22 22 ( ) ki nki n nn nn aec ebec e + = =+ （2.1.6） 为了长时间的囚禁paul阱中的离子，必须使离子作稳定运动，通过稳定性分析35,36,38 方程的解（2.1.5）必须取如下形式： 22 ( )cos(2)sin(2) nn nn acnbcn + = =+ （2.1.7） 其中，是非整数实数，换回原来的量纲得： 2020 ( )cos()sin() nn nn tacntbcnt + = =+ （2.1.8） 上式中 0 2 =为离子运动的久期频率。 paul阱的特点是没有外加磁场所引起的塞曼效应的影响，因此常用于研究与离 子内部能级结构有关的物理问题。 penning阱的电极结构和paul阱的相同，但是轴向的射频场被静磁场代替。如 果在两端电极和环形电极之间加上电压 0 u，则在中心附近形成一个三维四极场35： 9 22 0 2 0 ( , )(2) 2 u r zzr r = （2.1.9） 式中 222 000 2rrz=+。在该静电场的作用下对于带一种电荷的离子只能在一个方向上 （或者轴向，或者径向）形成束缚，而另一个方向则需要寻求另外的解决办法。 假设我们要俘获的是带负电的电子，则我们应该使 0 0u 时，才会有稳 定的解： ()() ( ) itit q tr er e + + + =+ （2.1.12） 其中 222 11 1 (),2 2 ccz + =。方程（2.2.11）的解为： ( )cos()cos() ( )sin()sin() ( )cos() zzz x trtrt y trtrt z trt + + =+ =+ =+ （2.1.13） penning阱的一个很大的优点就是没有射频加热效应，因此可以很容易地对较大 的离子云团进行激光冷却。 2.2 离子的激光冷却离子的激光冷却 激光冷却是一束或多束激光作用在离子上，使离子的动能逐渐减小的过程。我 们在量子计算之前必须制备出定义好的量子位初始态。冷离子方案中，离子的振动 （外部）和离子（内部）自由度为量子计算机提供量子位。门操作之前的激光冷却 10 就是初始化离子记录器的状态使之处于定义好的运动状态，即利用激光冷却技术将 离子冷却到集体振动基态，利用这个集体振动的单声子充当量子信息信道，在不同 的量子位间传递信息，从而实现门操作。 paul阱、penning阱有较高的阱深 （数个电子伏）可以囚禁离子，但是对于高 温的离子束缚时间短、密度小，不利于开展长时间精确的观测研究。冷却不仅可以 延长离子被囚禁的时间，大大提高观测信噪比，和测量的精确度，而且还可以消除 热运动带来的不利观测的种种因素，如多普勒效应等。激光冷却的方法很多，这里 我们只介绍两种激光冷却的方法：多普勒冷却和边带冷却39-42。 我们用激光照射原子时，当激光的频率和原子的固有频率一致时，就会引起原 子的跃迁，原子会吸收迎面而来的光子而减少动量。与此同时，原子又会跃迁而发 射同样的光子，不过发射光子的方向是四面八方的。所以，实际效果是每碰撞一次 原子的动量就会减少一点，直到最低值。这种在激光的作用下使原子冷却的方法就 是激光冷却。 在实际的过程中由于存在多普勒效应，只有当激光的频率适当减小，使之与运 动中的原子的固有频率相等时，才能使原子产生跃迁，从而吸收和发射光子，最终 使原子减速，这种方法就是多普勒冷却。离子的振动频率小于冷却跃迁线宽时（弱 束缚域） ，一般采用多普勒冷却。激光调谐至跃迁的红边带，也就是低于共振频率 区域。囚禁的运动离子吸收一个光子并任意方向自发辐射一个光子，经过多次循环 后，离子总动量为： ()() 0 absemi jj jj ppkk=+ ? （2.2.1） 0 p为离子初动量， ()abs j k和 ()emi j k代表第j次冷却循环中吸收光子和发射光子的波失。 多次循环之后离子将失去一些能量。其平均动量为： 0l ppkn=+? （2.2.2） 其中n是吸收和发射过程中的平均光子数，自发辐射的平均贡献为零， ()abs lj kk= 为激光波失。因为激光调谐至跃迁的红边带，所以离子的速率将会减小。 多普勒冷却一般是将离子预冷，把离子冷却到极限/2 b k t? ?，其中是用于 冷却的跃迁的辐射宽度，要超越这个极限进一步冷却真正把离子冷却到振动基态的 11 是边带冷却。 1,01,11,21,31,4 0,00,10,20,30,4 图 2.2 边带冷却工作原理图 边带冷却法33。图2.2显示的是0,n和1,m之间的跃迁，其中0和1是两个电 子能级，而n和m表示的是离子运动状态的声子能级。激光被调整到具有比电子跃 迁少一个声子的能量，比如，0,3状态跃迁到1,2状态。然后原子自发地衰变为较 低能量的0状态（波浪线） ，随机地（以基本相同的概率）进入0,1，0,2或0,3 状态，注意激光实际上引起所有0,n到1,1n的跃迁，因为这些跃迁的能量相同， 然而，这个过程中不影响0,0态，并且最终原子会停留在这个状态，这样就将离子 基本冷却到量子运动的基态上了。 2.3 小结小结 本章我们主要介绍了离子的囚禁和离子的激光冷却，离子的囚禁主要介绍了两 种离子阱paul阱和penning阱的原理，离子的激光冷却主要介绍了两种冷却方法： 多普勒冷却和边带冷却。接下来，我们对这两种制冷方法作了简单介绍。离子的囚 禁和冷却技术的应用促进了量子信息的相关实验研究，并丰富了量子信息的研究内 容。 12 3 基于囚禁离子的量子信息进展基于囚禁离子的量子信息进展 3.1 基于冷囚禁离子的基于冷囚禁离子的 cirac-zoller 量子计算模型量子计算模型 量子计算可以通过在线性阱中囚禁的冷离子和激光的相互作用来实现。量子门 可以通过一系列的量子化运动来冷却离子实现。在该系统中消相干是可以忽略的。 离子阱（ion trap）方案最早是由cirac和zoller43提出的，他们在1995年提出了利 用囚禁离子阱中的二能级离子作为量子比特，通过外加激光场来实现量子态的各类 变换，从而完成二比特量子逻辑门操作。 计算机的基本元素（例如比特）都是离子，每一个比特的两个态是由相应的离 子的两个内态构成的 ，可以选择每个离子的两个内部低能级态，依次记为g和 0 e和 1 e（激发态是简并的），这样张成的一个二维hilbert空间就可以提供一个 物理量子位。这样囚禁离子阱中的n个离子就能提供n个量子位，每一个比特的独 立操作是通过不同的激光和每一个离子的直接相互作用来完成的。通过控制激光频 率和脉冲的持续时间驱动离子内部态的跃迁从而实现单个量子位的转动变换。离子 之间运动的耦合是通过库仑排斥力的相互作用来实现，库仑力使离子之间分开几倍 于激光波长的距离，这就使得激光寻址访问单个离子成为可能。当整个离子阱被冷 却到轴振荡频率的“量子极限”以下时，限制在阱中的离子串的集体运动被量子化， 离子的振动对应着不同的振动模式，可以用声子数态来描述，其中频率最低的模称 为质心模。每个离子可以用不同的激光束来控制，激光束的作用不仅引起了离子内 部态的跃迁而且由于将一定动量转移给离子，这样就可能激发离子串集体振动的声 子态。即离子内态和离子集体振动的元激发声子发生相互耦合。在lamb-dicke极 限和足够低的离子密度下，激光只能改变所有模式中一个模式的跃迁。通过选择适 当的激光频率、照射角度和脉冲持续时间，可以有选择地只激发一个质心模态。这 个质心运动就可以用来充当“公共汽车”的角色，在各个离子之间(不一定相邻)传递 相互作用，从而实现任意两个比特之间的异或操作。类似的想法还可以用来实现多 比特的量子逻辑门。 未加激光场之前系统的哈密顿量为 0 h，如果用激光依次作用在离子上，很明显 13 激光不会和其他的离子发生相互作用。如果选择激光的频率为 nx = ，并且离子 的平衡点选在激光驻波的波节时，则在相互作用绘景中系统的哈密顿可以通过算符 0 exp(-)ih t(1=?)表述为： , 2 ii n qqq nn heg aege a e n =+ （3.1.1） 其中 a和a是质心模的产生和湮灭算符，是rabi频率，是激光的位相， 12 2 /(2) x kmv = ?是lamb-dick常数其中cos( )kk =，k是波失，是x轴和激 光传播方向的夹角 。(0,1) q e q =代表激光的极化方向，0q =的驻波激光导致 n g与 1 n e之间的跃迁。方程(3.1.1)可以作为一般情况下的线性阱中单个离子哈密顿量的 描述。经过仔细地分析表明只有当 22 (/2)1 x v?时方程（3.1.1）才有效。注意 lamb-dicke极限下1?。另一方面，如果激光的强度足够低那么哈密顿量的修正 项可以任意的小。 如果激光作用一段时间/(/)tkn=（例如用脉冲为k的激光） ，这个系统 的演化可以用幺正演化算符来描述： , ( )exp(. .) 2 k qi nq n uikeg aeh c =+ （3.1.2） 很容易证明这种变化下态0 n g是保持不变的，然而1 n g和0 n e都改变了： 1cos(2)1sin(2)0 0cos(2)0sin(2)1 i q nn n i q nn n gkgieke ekeiekg （3.1.3） 其中0 (1 )表示质心模的态有零个（一个）光子。 14 图 3.1.（a）线型阱中的离子同激光的相互作用； （b）离子的内部能级43。 通过如下三个步骤（见图3.1(b)）就可以实现两比特门的控制非操作： （i）偏振为0q =，初相0=的驻波脉冲作用在第m个离子上。对于这个步 骤的时间演化算符为 1,01,0 (0) mm uu。 （ii）偏振为1q =，初相0=的驻波2脉冲作用在离子n上。相应的时间演化 算符为 2,1 n u，通过旋转辅助态 1 0 n e改变了态1 n g的符号（没有作用在其它的离 子上） 。 （iii）像(i)中一样，所以整个系统的演化算符 1,02,11,0 , m nmnm uu u u可以用如下的图 解表示为： 1,02,11,0 1,02,11,0 1,02,11,0 1,02,11, 0000 00 0000 0000 0000 0110 011 mnm mnm mnm mnm uuu mnmnmnmn uuu mnmnmnmn uuu mnmnmnmn uuu mnmnmn gggggggg gegegege egi ggi ggeg eei gei ge 0 00 0 mn ee （3.1.4 ） 可以看出只有当两个离子的初始态都处在激发态的时候这种相互作用才可能改变这 个态的状态，方程(3.1.4)相当于一个控制非门。定义态矢 0 ()/2ge =作为目 标比特，则上述演化可以表示为： 15 mnmn gg, 0 mnmn eg （3.1.5） 这样就实现了控制非门，即当控制比特处于基态 m g时，目标比特 n 不发生变化； 当控制比特处于激发态 0 m e时，目标比特 n 发生翻转。 单比特的旋转门可简单地通过激光脉冲与某一离子的共振作用而获得 （0 n =） ，离子处于激光驻波的波腹，偏振0q =，在lamb-dicke极限下，其相互 作用表象中的哈密顿量可写为： 00 (/2) ii n nn heg ege e = + （3.1.6） 相互作用时间为/tk=（例如用k的脉冲） ，这个过程可以用下面的幺正演化算 符来表示： 0 ( )exp(. .), 2 ki n n vikeg eh c =+ （3.1.7） 所以 0 cos(/2)sin(/2), i nnn gkgieke 00 cos(/2)sin(/2), i nnn ekeiekg 这样态 mn （ ,0 , m n g e=）的整个控制非门由下面的演化获得： 1/21/2 , ()() 22 mnnm nn cvuv = （3.1.8） 即受控非门由三个脉冲实现：首先是内部状态量子比特上的一个(/2) y r旋转，然 后是两个量子比特间的一个控制z运算，最后是内部状态量子比特上的一个 (/2) y r旋转。 通过以上可知，囚禁离子系统是适合进行量子计算的，这是基于系统的消相干 效应是可以忽略的，因为离子阱量子计算机的主要优点是阱中的超冷离子处于一个 几乎与外界隔绝的空间中。由环境引起的消相干主要是由于离子内态的自发辐射和 离子运动的衰减造成的，消相干可以通过选择离子处于合适的亚稳态来抑制。原子 间的碰撞可以通过原子长时间处于低压强的状态下来控制。其不足之处就是声子的 寿命短，而且离子难以制备为运动基态。 16 3.2 基于热囚禁离子的基于热囚禁离子的 molmer-sorensen 模型模型 前面介绍了冷离子方案的量子计算模型，下面介绍一下molmer 和sorensen44-46 提出的“热”离子量子计算方案。该方案中，只要离子在lamb-dicke区域内，即离 子的空间波包的尺寸远小于激发辐射波长，此模型对离子的外部振动态并不敏感， 并且在量子门的操作过程中对振动运动态的变化也不敏感。molmer 和sorensen的 量子计算模型用到了量子力学的一些“矛盾”特性：作为信息传递媒介的振动自由度 仅仅是被虚拟布居的（在相互作用过程中的作用是虚的） 。另外，没有布局的振动 量子态跃迁路径的相干可以使得演化频率和振动量子数无关。 与cirac和zoller冷离子量子计算方案43一样，对每一个离子施加一束激光，但 是对于包含两个离子的量子逻辑门是通过失谐激光脉冲来实现的。当激光作用在第 一个离子上，选择靠近更高边带的失谐，例如，离子联合振动态和离子内部激发共 振接近的失谐。取施加在第二个离子上的激光脉冲的失谐和第一个离子的激光脉冲 的失谐相反如图3.2(a).这种激光耦合了如下态矢: 1 ,1 ggnegngeneen+ (3.2.1) 其中第一个(第二个)字母代表了第一个(第二个)离子的内态，n是相关的振动态量子 数。在边带上选取的失谐如此之大以至于中间态1egn+和1gen在整个过程中没 有布居。可以证明，内部态矢跃迁对振动量子数不敏感，而且，即使离子和环境热 库有振动能量交换的时候，此方案仍是可行的。 考虑线型阱中的两个囚禁离子，每个离子同时被两束激光所照射，如图3.2(a)。 两 束 激 光 的 频 率 分 别 与 离 子 的 上 下 边 带 接 近 共 振,并 且 有 对 称 的 失 谐 ： 1eg =+, 2eg = 。其中 eg 为离子两个内态的能级差， 1 、 2 为照射在离 子的两束激光的频率，为失谐量。这样的激光频率的选择将产生如式(3.2.1)的跃 迁。为了求出有效rabi频率，可以先写出系统与激光相互作用的哈密顿量： 0int 0 () 1 ()2 2 (. .) 2 ij egi i ia at i inii ij hhh ha a heh c + + + + =+ =+ =+ (3.2.2) 17 其中为质心模的频率，,aa + 为质心模的产生和湮灭算符。 i 是描述第i个离子内 态的泡利算符。 i 为离子i与激光耦合的rabi频率， i 为lamb-dicke参数，它代 表离子的基态波函数展宽与激光波长之比。假设 12 =， 12 = = ，且假定 离子足够冷，以至于lamb-dicke条件成立。这样我们可以将哈密顿量展开至包含 的一次幂项。 图 3.2：能级和激光失谐44。其中(a)振动量子化的两个离子被激光调谐在上下振动边带上。 (b)质心振动模中离子跃迁的两条路径。 对相互作用的离子1和2进行操作，假设 12 =， 12 = = ，选择与前 面相同的失谐，能量只在ggn和een间转换。假定跃迁的有效rabi频率为 ? ，通 过中间态m根据二阶微扰理论求可得： intint22 2 1 ()| 2 m ggnim een hmm hggn ee = + ? （3.2.3） 其中 i ?是作用在激发中间态m上的激光的能量。如果中间激发1megn=+或 1mgen=则： 18 2 () 2() = （3.2.4） 其中 ieg =是作用在第一个离子上的失谐。 方程（3.2.4）的显著特点就是其结果与振动量子数无关。这是因为图3.2（b） 中所示的两条跃迁路径的量子相干导致的结果。如果方案中选择离子1先被激发的 路径，式中将会出现因子1n+，如果选择另一条路径则会出现因子n。因为相反的 激光失谐式（3.2.3）中分母大小相等，符号相反，以至于两项相消所以内态的相干 演化对振动量子数不敏感。 如果对两个离子施加失谐为的激光，相反失谐的两个场，和同样的rabi频 率，在图3.2中增加了两条路径，即eg到ge也存在共振跃迁。额外加的这两 条路径的作用和最初的两条路径的贡献是一样的。方程（3.2.4）中gg和ee之间 的rabi频率唯一的改变就是多乘了因子2。由于gg和ee之间的跃迁频率与eg 到ge共振跃迁的rabi频率相反，其演化过程可以描述为： cos()sin() 22 cos()sin() 22 cos()sin() 22 cos()sin() 22 tt ggggiee tt eeeeigg tt gegeieg tt egegige + + （3.2.5） 为了证明方程（3.2.5）中的演化可以有效的抑制加热，引入一个热库，它由驰豫算 符 1 (1) therm cna=+和 2therm cna+=描述，其中表示相互作用的强度， therm n是热 平衡中的振动量子数。用蒙特卡罗波函数来分析系统的动力学特性。 19 图 3.3：加热阱中的 rabi 振荡44。左图给出了蒙特卡罗模拟结果，相邻箭头时间间隔为 39 步模 拟所耗费的时间。实曲线，长虚线和短虚线分别描述了 ,gg gg ， ,ee ee 和 , im() gg ee 的变化。其 中参数0.90 ,0.10= =，0.10=， 4 2 10 =和2 term n=。 计算结果如图3.3所示，为了表示离子被激光冷却时候的加热机制适当的选择 一个小值2 therm n=。在模拟中，平均有34个振动量子数和环境热库交换。分析表明， 尽管门的操作时间比比特之间进行通信的信道的相干时间长很多，但是量子门保持 稳定几乎没有受到影响。在molmer和sorensen的量子计算模型中，很容易同时对 不同对的离子进行操作：如果需要对( , )i j和( , )k l施加量子门操作，只需要对离子i 和j施加失谐为 ij 的激光场，而对离子k和l施加 kl 的激光场。在双光子过程中 有虚激发产生，但是不会布局到振动模式上。 另外可以证明任何量子门都可以通过单比特操作和简单的量子门实现，例如两 比特控制非操作47。在方程（3.2.5）所描述的演化下，控制非操作可以通过下面 一系列的操作实现： 1 122111 , ,p phr p h p r 和 2 p，其中r是方程（3.2.5）在时间 /(2)t= ? 时的演化， i p是第i个离子e态的/2改变， i h是第i个离子的 hadamard门变换。 20 3.3 小结小结 本章，我们分别介绍了cirac和zoller(cz)冷离子方案以及molmer和sorensen 热离子方案，在冷离子方案中运用囚禁离子阱中的二能级离子作为量子比特，通过 外加激光场来实现量子态的各类变换，从而完成二比特量子逻辑门操作。其要求参 与逻辑门操作的离子的质心振动始终处于零激发态，即声子处于真空态0，这在 实验上有很大的困难。而热离子阱方案中量子计算操作只与离子的内态有关，而与 离子的外部运动状态无关，这样，无论外态处于什么状态，离子都能进行量子计算， 在实验上避免了离子的集体振动的零激发要求。 21 4 多个囚禁离子纠缠态的制备及存储多个囚禁离子纠缠态的制备及存储 量子纠缠是存在于多子系量子系统中的一种非常奇妙的现象，其首先是由 einstein-podolsky-rosen(epr)和薛定谔注意到的一种量子力学特有的现象，即对于 一个子系统的测量结果无法独立于其他子系统的参数测量 48。这与经典物理学是非 常不同的。随着对量子纠缠的研究，人们逐渐认识到其重要性，尤其是在量子信息学 中。现在量子纠缠被用于量子密匙分配、量子浓缩编码、量子隐性传态、量子纠错码 以及量子计算等领域49,51。对量子纠缠的深入研究无论是对量子信息的基本理论还是 其应用都产生了深远的影响，纠缠态的制备与存储成了量子信息研究中的一个重要课 题，目前已经有很多物理体系被建议用于量子纠缠态的制备。由于囚禁离子的内外自 由度的耦合可以通过调节外部经典激光场加以控制以及囚禁离子消相干可以有效的得 到抑制，囚禁离子系统被广泛的应用于纠缠态的制备。 4.1 多个囚