（应用数学专业论文）广义凸函数的若干性质及其应用.pdf

摘要 函数的凸性是证明不等式的重要工具凸函数定义中x , y ，2 三个变量适当选取几 个或全部，就可以构造一系列重要不等式不仅如此，由凸函数理论发展起来的凸分 析，还是逼近论、控制论、系统理论、运筹学、数理经济、工程技术等众多学科的重 要理论基础之一，现已发展成为一门独立的数学分支 本文在凸函数理论基础上，重点研究了广义凸函数：9 凸函数，r 一平均凸函数 和凸函数的有关单调性质及其不等式理论中的应用 全文分为两章 第一章分为三个部分，第一部分引进了基本概念；第二部分将跚。型不等式推 广到矽凸函数类上，作为应用，也考虑了r a d 0 型不等式在，平均凸函数的情况： 第三部分利用，一平均凸函数的基本理论、判定定理研究了有关，一平均凸函数的几 个单调性质及其应用 第二章分为两个部分，第一部分研究了广义凸函数的积分不等式的推广问题；第 二部分研究了，一平均凸函数的h a d a m a r d 型不等式的加细问题 关键词：广义凸函数；伊凸函数；，一平均凸函数：j e n s e n 型不等式；h a d a m a r d 型不 等式 s o m ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n a n di t sa p p l i c a t i o n s a b s t r a c t c o n v e x i t yo ff u n c t i o ni s a l li m p o r t a n t a p p r o p r i a t ev a l u e sf o r t h r e ev a r i a b l e sx , y ，2 t o o lt op r o v ei n e q u a l i t i e s s e l e c t i n gs o m e o fc o n v e xf u n c t i o nd e f i n i t i o nc a ns t r u c t u r ea s e r i e so fi m p o r t a n ti n e q u a l i t i e s m o r e o v e r , c o n v e xa n a l y s i s ，w h i c hd e v e l o p s f r o mt h e 也e o r yo fc o n v e xf u n c t i o n , i so n eo ft h ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a lb a s e sf o ra p p r o x i m a t i o n t h e o r y c y b e r n e t i c s ，s y s t e m st h e o r y ，o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dm a t h e m a t i c a le c o n o m y ， e n 西n e 甜n ge t a 1 n o w a d a y sc o n v e xa r l a l y s i sh a sd e v e l o p e di n t oa l li n d e p e n d e n t b r a n c ho f m a t h e m a t i c s b a s e do nt l l et h e o r yo fc o n v e xf u n c t i o n , t h i st h e s i sf o c u s e so ng e n e r a l i z e dc o n v e x 如n i 砸o n ：矽c o n v e xf u n c t i o n , ，m e a nc o n v e xf u n c t i o na n dm o n o t o n o u sn a t u r e o ft h e c o n v e xf u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o n si nt h ei n e q u a l i t i e s t h i st h e s i sf a l l si n t ot w oc h a p t e r s t h cf 叔c h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s p a r tii n t r o d u c e st h eb a s i cc o n c e p t s p a r ti i e x t e n d sr a d ot y p ei n e q u a l i t i e s t o 9c o n v e x f u n c t i o n f o ra l la p p l i c a t i o n , t h e c o 璐i d e 麒c i o ni sa l s 0t a k e ni n t or a d ot y p ei n e q u a l i t i e so n ，m e a n c o n v e xf u n c t i o n p a r t mu s e st h et h e o r ya n dj u d g m e n tt h e o r e mo f ，一m e a nc o n v e x f u n c t i o nt os t u d yc o n v e x n y o ft h e 厂r e c a l lc o n v e xf u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o n s t h es e c o n dc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot w op a r t s p a r ti s t u d i e ss o m eg e n e r a l i z a t i o n q u e s t i o r 坞o ft h ei n t e g r a li n e q u a l i t i e s0 1 1g e n e r a l i z e dc o n v e x f u n c t i o n p a r ti is t u d i e st h e r e f i n e ! n e n ti s s u e so fh a d a m a r dt y p ei n e q u a l i t i e so n ，m e a n c o n v c gf u n c t i o n k 州o r d s ：g e n e r a l i z e dc d n v e x f u n c t i o n ；缈c o n v e x f u n c t i o 刀? ，m 啪嬲加砒疗? y e m e nt y p ei n e q u a h t i e s ；h a d a m a r dt y p ei n e q u a l i t i e s a p p l i c a n tf o rm a s t e rd e g r e e ：b a ot u y a a p p l i e d 删岫棚删 ( c 。l i e g e 。fm a n i a r m i c sa n dc o m p u t e r $ c i c n c e , i n n e r m o n 鲈t i au n v c r s i t yf o rn a t i o n a l i t i 岱删i 0 2 8 0 4 3 c l i 叫 u 内蒙古民族大学硕士学位论文作者声明 本人声明：本人成交的学位论文时本人在导师指导下取得的研究 成果。对前人及其他人员对本论文的启发和贡献已在论文中做出了明 确的声明，并表示了感谢。论文中除了特别加以标注和纸屑的地方外， 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果。 本人同意内蒙古民族大学保留并向国家有关部门或资料库送交 学位论文或电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权内蒙古民族大 学可以将本人学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 6 月，协日 内蒙古民族大学硕士学位论文 第一章与广义凸函数有关的几个函数的若干性质 在本章中，我们主要讨论与9 凸函数、，平均凸函数及凸函数有关的函数单调 性质及其应用问题具体有： 1 9 8 4 年，胡克【i 。1 和w a n gc h u n g l i e 悖1 同时研究了凸函数的r a d o 型不等式，2 0 0 3 年，王成良在文【2 0 】中把文 1 8 ，1 9 的结果推广到凸函数乘积形式的r a t i o 型不等式本 文用简单证明方法，把文 1 s - - 2 0 篚j 结果推广到伊凸函数类上；同时，还把文【2 2 】 ( d r a g o m i r ，1 9 9 2 ) 的结果推广到，平均凸函数类上 文【l ，p 3 4 8 - - p 3 8 l 】中介绍和归纳了各种凸函数及其相关性质，且文【l ，p 3 5 0 定义 了肘凸函数，文【l ，p 3 5 3 定义了g 凸函数近几年，许多学者讨论和研究了膨凸函 数、g 凸函数和9 凸函数及其有关性质7 - 1 1 1 广义凸函数的概念和几个引理 文中所涉及的函数均为足上的实值函数记p , o = 【0 ，佃) ，疋= ( o ，佃) 设( 工) 为 区间ic 尺上的函数，记，= 扩o ) i 工e ， ，用弓表示0 的内点的集合( 无内点时哆= ) 显然，当( x ) 为区间，c r 上的正值函数时，有0c 墨 在此特别说明的是，我们用，。1 ( x ) 表示可逆函数( 工) ，c r ) 的逆函数，其目 的在于区分函数幂厂7 0 ) 的记号( 如，= 一1 时) 记 设厂( 工) 为区间，c 墨_ i z i 拘i e 值函数，r ，x t j ， 0 ( j = l ，2 ，刀) ，且丑= l ， j = l 坂u o ) 厶，) = ，一、形 l 厂7 ( 毛) l ， t = l 一 兀厂 ( 而) ， i l i ，o ( 1 1 ) r = 0 2广义凸函数的若干性质及其应用 特别，当f ( x ) = x 时，有 肠刀( x ，五，) = f ，疗、彤 lz 五i x r ) l ， f = l 夕 i n l _ 2 ， i = l 厂0 ( 1 2 ) 厂= 0 由文 1 , p 5 8 或文 3 , p 1 0 2 可知，当一 s 0o = l ，2 ，刀) ，记 乃：圭( j ：1 ，2 ，刀) ，那么，对任意的刀：2 ，3 ，有 枷咿互侣酬跏小 7 i 1 制n - i n 内蒙古民族大学硕士学位论文 2 0 0 3 年，文【2 0 】对凸函数的r a d o 型不等式( 1 1 4 ) 进行了推广，得到了乘积形式的 一般结果 下面我们把上述结果推广到9 凸函数类上 定理1 2 2 设，c r 为区间，厂( 工) 为，上的函数，i c j ，lc j ，缈( x ) 为j 上 的严格单调函数，且厶c ，对任意的而，和， 0o = 1 ，2 ，刀) ，记 t j 壹( ：l ，2 ，力) ，定义函数 ， f 伽，= 喜尹c 八_ ，一乙9 ( 厂( 缈( 1 ( 专喜认， ) ，刀= ，2 ， ( i ) 若厂( x ) 在，上关于烈z ) 是凸( 凹) 函数，且9 ( 力为严格递增( 递减) 函数，贝d j f ( n ) 是关于甩的单调递增函数，即对任意的刀= 2 ，3 ，有 f c 刀，= 喜9 c 厂c ”一- 9 厂( 缈( 。( 专窆i - i 缈c 薯， i - i 、上_，j 新胞沪和m 。( 去跏毛) ) = 州，刈m ， ( i i ) 若f ( x ) 在，上关于吵( 曲是凸( 凹) 函数，且缈( 功为严格递减( 递增) 函数，则，( 刀) 是关于力的单调递减函数，即不等式( 1 1 5 ) 中反向不等号成立 证只i l 正f ( x ) 在，上关于烈z ) 是凸函数，且9 ( x ) 为严格递增函数的情况对任意 的疗= 2 , 3 ，由定理1 2 1 ，有 f c 刀，= 喜，烈厂c 薯，一乏伊( 厂( 9 ( 。( 丢喜认而， ) 扣llt、j 。埘， = 善n - 1 烈厂+ 乙毗”一瓦伊( 厂 ( 每( 去莩纛，) + 乏北，) ) 6 广义凸函数的若干性质及其应用 如h 彤c 一睁m 叫嘴叫鹏形c 圳 = 善n - 1w 伊m 一忙莩叫肛玑 证毕 推论1 2 1 设厂( 工) 为区间，c 足上的，一平均凸( 凹) 函数，厂尺，r o ，对任意的 毛i 禾u t , o ( i = 1 ，2 ，刀) ，记乃：壹，j ( ，：1 ，2 ，刀) ，定义函数 m 印h h 厂陋观删二， ( i ) 若( 工) 为，上的，一平均凸( 凹) 函数，且， o ( r o ( k = l ，2 ，m ；i = 1 ，2 ，一) ，记= 圭飞( 七：1 ，2 ，m ；j ：l ，2 ，刀) ，定义函数 g c 刀，= 再k - 喜- i 烈石c ，一f l k = l 趸9 五 卅( 专喜气认吒， ，刀= ，乙， i ，iii l i ljj i 内蒙古民族大学硕士学位论文 7 若石( x ) 在厶上关于烈工) 是凸( 凹) 函数( 七= 1 , 2 ，朋) ，且伊( x ) 为严格递增( 递减) 函数， 则g ( 玎) 是关于刀的单调递增函数，即对任意的刀= 2 ，3 ，有 ，= 婚州黾 电k - 砭9 m 。睡州，) ) ) g ( 疗) = 兀k 伊( 五( 黾) ) - 兀砭9 i 以i 一) l 手k 9 ( ) l | i t lf - l lilio i 扭i，fj 露k - 伊魄魄”诹1 9 m 1 ( 亡薯帆) = 棚印 il i l i iiii 上j l ljji 证由已知条件和定理1 2 1 ，有 喜气姒c 删印1 陆喜慨) ) ) ，a 一墟， 从而利用不等式( 1 1 2 ) ，对任意的力= 2 ，3 ，可得 ，= f i k 。l 赫t = l 删一扣i t - m 。匕喜帆，) ) liii tl - ljj j 2 婚嘶沪州五p ( 等融帆寺) ) 舸，n - !、 2 兀i k 认兀( ) ) + i 烈以( ) ) i i t - l ，i 诉忡叫融叫_ ，) -h矗陲气地国乙文五p(去薯气呶，)=g(nk-i- k - 叫 气地) ) - 兀乙圳五矿) l 艺气呶) = 一1 ) 1l l iii i 。i 。 。j jj 证毕 推论1 2 2 设( 工) 为区间，c 足上的，平均凸( 凹) 函数，rej l c ，o ，对任意的 毛，和，f o ( i = 1 ，2 ，刀) ，记乃：壹( ：l ，2 ，刀) ，定义函数 竺j 义曲晒骰阳看干性质及其应用 二二二二= = 二- 一 酬刀j 2 n主t-i彳ch，一flk=lk=i t - k f ( 专喜气) ；i ，刀= 幺， i l i i lji 若厂( 工) 为上的，平均凸( 凹) 函数，且， o ( ， 0 和勺 0 ( f = l ，2 ，m ；j = l ，2 ，一，刀2 ) ，记 乃：兰，：f ( 待1 州2 ，小；：1 2 一，疗) 。， l ，s o ， ，暑i 则对任意的刀= 2 ，3 ，有 婚节一再瓦睡叫r i j - i 赫j - i 弧，皓扣) ， 1 3 ，平均凸函数的几个凸性质 在本节，讨论了，一平均凸函数的积分所确定的函数的凸性质及相关问题主要 把文【2 2 】等的结果推广到，平均凸函数类上，作为应用，得到了一个积分不等式 文【1 2 】研究了函数f ( x ) = r 们) 出在，= 【口，6 】s ( 0 ，佃) 上的凸性质，我们研究了 ，i 一平均凸函数中0 ， o ，则当o ， l 时，函数，( 对= r ( ，) 西在，上也是，平均凸函数 内蒙古民族大学硕士学位论文 9 证由引理1 1 1 知，函数，( 工) 为，上的，平均凸函数的充要条件是对于任意 x ，0 厂 0 ，r 7 【o ，b 7 一口，】， 厂7 ( c 6 7 f 7 ，；i ) - 厂7 ( c 口7 - ，7 ，；：) ! ；，。7 t 矗，_ r 厂c 西， 证令五- - - - a ，而= 6 ，由j e n s e n 型不等式，有 1 0广义凸函数的若干性质及其应用 水，+ ，7 ，；卜m ，一b - a - t ，) ， 相加上面的两个式子得 ( c 6 7 - f 7 ，；! ) ，7 ( e c z 7 r ，7 ，；) ：；厂7 c 口，- 厂7 c 6 ， 证毕 定理1 3 3 设( 曲为区间【a , b 】c 足上的，一平均凸函数( ，0 ) ， 毛【口，6 1 ( i = l ，2 ，l ，刀2 ) ，o 厶一is 0 2s 乞 0 【i = l ，2 ，刀，刀2 2 j ，0 o ls ，一一2s s ，2 ，i i ，j l l u h 弘7 吖m 卜彳+ 莩( 卅 下面把文【2 2 】的一个结果推广到，平均凸函数类上： 定理1 3 4 设八工) 为区间【口，b c 足上的，平均凸函数，re 足，定义函数 = 击r 厂l ( i x + ( i - t ) i 华) 卜一n 吼 m 埘 南 2 膨 南 2 m ， 。 厂 有理同 内蒙古民族大学硕士学位论文l l = 南r ( “c - 卅夕矿卜一限玑 柳 ( i ) h ( t ) 是【0 ，1 】上的凸函数： 伍) ，( r ) 是【o 1 】上的凸函数，且关于，= 三对称，即对任意的，【o ，1 】，有 ，( ，) = 尸( 一f ) ，又f ( ，) 在 。专 上为减函数，在 圭，1 上为增函数，并且 删s u p 川) = 即) = 刑= 击b - b , 广i b 八x 逑，l q o j l 口 即垆料而1 r r ，r 降炉 证对任意的兄 0 ，1 】，f l ，t 2 【0 ，1 】，因为厂( x ) 为 口，剀上的，一平均凸函数，从而， = 击扩陋仆砚y 们m 蚴，半冲 = 击p “卜，半 + 0 _ 小叫h ：，半冲 s 击r h h ，华小卅小叫心，半册 = 力日弛) + ( 1 一五) 日也) ， f ( a t , + ( 1 一力) ，2 ) 2 而1r ( ( 州l 卅咖，+ ( 1 讹+ ( 1 卅洲) ；卜 2 南r ( 和+ ( 1 - 训+ ( 1 叫( + ( 1 - ，2 ) y 7 ) ) 刁蚴 12 广义凸函数的若千性质及其应用 南r 卜州训y 7 小卅厂陋邮吲) ；卜 = 肛“) + ( 1 2 ) f ( t 2 ) ， ， 所以函数日( ，) f r 是鸭1 1 的凸函数，且显然有f ( ，) = f ( 1 - ，) ，即f ( ，) 关于i 1 对 称又对任意的，【0 ，1 】，有 删= 南r r 厂t x + ( 1 - 棚7 ) ；卜 = 由难l t x + ( 1 - t ) y ) ；m ( ( 1 卅“叫卜 上( b - a ) 2rr 厂陋h 矿吩h y ) ) ；a y 二而1 m 7 ( ( 竿) ；a y 吲 设o ， j 三 ) 世业罂趔； ( 2 - 1 0 ) ( i i ) 当缈( x ) 为j 上的严格递减函数时，有 伊( ( 9 ( 。( 牮) ) c ，；石了兰；忑万r 9 c c 工，缈，c 工，出 ( ) 世业墨趔( 2 1 1 ) 证在不等式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 中进行积分变换即可证得不等式( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 证毕 推论2 1 2 2 3 1 设( 工) 为区间，= 【口，卅c 足上的，一平均凸( 凹) 函数，且，r 则 ( i ) 当， 0 时，有 厂 ( 半咖芍南p y 芈；亿 ( i i ) 当厂= 0 时，有 i n ( ( 瓜) ) 耸) 而r 三i i l m 油轮) 扣m ) ；( 2 1 3 ) 1 8 一墨鱼里墼墅重堡堡些墨些里 一 l _ - l _ 一一 ( i i i ) 当r 0 ，且厂( x ) 为，上递增的厂一平均凸函数时，有 ( 击胁进州( 篇炉眵南) ； ( i i ) 当， o 。且八x ) 为，上递增的坩均凸函数时， 任取黾= 口+ 生( 6 一口) ( 七= 1 ，2 ，刀) ，那么，有。 疗 击恕等- a 荟n ( 口+ 告c 胁，) 7 = 击扣= 丽b r + t _ a r + l ，乩5 ， 利用式( 2 15 ) 、算术平均几何平均不等式以及厂( x ) 的单调递增性，得 水批井p c 砖h 扣妒- 州 所d i 有 内蒙古民族大学硕士学位论文 j 1 9 小篇炉眵击) 根据推论2 1 1 ，结论成立证毕 例l 设y 工 0 ， 1 ，则 一yr+i-xr+!(蝣yy-xx三x-yi)o,-x)e )， ( ，+ 【j 一一7 定理2 1 5 设厂( 力为区间，= 【口，6 jc 足上的，一平均凸函数，o ，g ( 工) ，p ( x ) 为【口，卅上的正值可积函数，且c l ，则 小譬丁 文警 ； 证因f ( x ) 为 口，6 】上的，一平均凸函数，所f ( x ) 在，。内连续，那么对任意的 刀+ ，刀2 ，毛= 口+ 告( 6 一口) ( 七= l ，2 ，刀) ， j e n s e n 不等式，有 ( l ( g ( 石) ，五，厂) ) 乙( 厂( g ( x ) ) ，2 ，) ， ( 2 1 8 ) 其中五= 掣( 七= 1 ，2 ，刀) ， 又由于 善盹) r p ( x ) 出= 。l i m b - 刀a 西p ( 吒) ，r p ( z ) g r ( x ) 出= l i m 。b - 仃a 捌p ( ) 9 7 ( 砟) ， r p ( m ( 圳出= 规等喜p ( 洲似( 删 对不等式佗1 8 1 两边求极限，得 故不等式( 2 17 ) 成立证毕 警 - 弋r p ( 舳j 广义凸函数的若干性质及其应用 2 2 ，平均凸函数的h a d a m a r d 型不等式的加细 1 9 9 8 年，文【2 4 】中有一个h a d a m a r d 型不等式： i 芈一上b - a 出卜型掣 其中厂，( x ) 在【口，纠上可积，l f ( x ) i 为【口，川上的连续凸函数 2 0 0 0 年，文【2 5 】中给出了一个h a d a m a r d 型不等式 。s 击r 删出一厂( 字) 等帅， 其中f ( x ) 为【口，刎上的可微凸函数，m = s u pi f ( ，) i 佃 ，一口l 2 0 0 2 年，文【2 6 】中给出了式( 2 1 ) 的一个推广： 厂( m + o - p ) b ) 丽p r f ( x ) d x + 等p ) f f ( x ) d x s ( 口) + ( 刊m ) ，( 2 2 ，) 其中厂( x ) 为i k f f i a ，b l i 奎续的凸函数，f = p a + ( 1 一p ) b ，p ( 0 ，1 ) 2 0 0 7 年，文( 2 7 1 q h 给出了一个h a d a m a r d 型不等式： 。s 石p ；r f 而( x ) d x + ( 1 - - p 万) f 矿f ( x ) d x 一八即+ ( 1 一p ) 6 ) p ( 1 一p ) m ( 6 一口) ( 2 2 2 ) 其中厂( 工) 为【口，纠上的可微凸函数，甜= s u pi 厂( f ) i 佃，f = p 口+ ( 1 一p ) b ，p e ( o , o t l l a 6 l 下面把不等式( 2 19 ) 和( 2 21 ) 进行推广，得到了不等式( 2 2 2 ) 的对偶形式： 定理2 2 1 设f ( x ) 为区间，= 【口，b 】c 足上的可微凸函数，且满足 m = s u pi f ( f ) i + ，孝= p a + ( 1 一p ) b ，p ( o ，1 ) ，则 f | 口- 6 l 。 。 。月厂c口，+c-一p，厂c6，一,prf(x)dxi+可(1-p)ff(x)dx p ( 1 一p ) m ( b 一口) ( 2 2 3 ) 内蒙古民族大学硕士学位论文2 l 证对式( 2 2 3 ) 中的积分作变量替换，可得 r 八z ) 玉三( f 一口) f 厂( 讲+ ( 1 一f ) 乎) 廖= ( 1 一d p 一口) f 厂( ( ( 1 一，) 口+ 学) ) 田， f 厂( x ) 出= p 一参) f ( 蟛+ ( 1 - ，) b ) d t = p ( 6 一口) f 巾f + ( 1 一，) 6 ) d r ， 把上面的两个式子相加，可得 丽p r f ( x ) d x + 害：p f f ( ( 1 - t ) a + t ( ) d t + ( 1 - p ) r 。孝+ 。一，6 ，西 应用拉格朗日中值定理，可得 厂( x ) 一厂( y ) = ( ，7 ) ( x y ) ，x ，夕【口，b 】，7 介于x ，j ，之间， 所以由已知条件和上述，有 。旦厂c口，+c一p，c6，一。i。p。一fpf，。(6x一)a口xi+一(1-p)f f ( x ) d x = p f ( 厂( 口) 一熙1 一f ) 口+ f f ) ) 出+ ( 1 p ) f ( 厂( 6 ) 一厂( r 孝+ ( 1 一，) 6 ) 净 p r l ( 厂( 口) 一厂“l f ) 口+ f 孝) ) 印+ ( 1 一p ) r l ( ( 6 ) 一几孝+ ( 1 一f ) 6 ) 肛 - m j ：( p l 口一( 1 一j 1 ) 口一t e l + ( 1 一p ) i b 一蟛一( 1 一t ) b i ) d t = 肘f ( ( 乡一口) + ( 1 一p ) t ( b f ) 弦= p ( 1 一p ) m ( b 一口) 。 故不等式( 2 2 3 ) 戎立证毕 则 推论2 2 1 设厂( x ) 为区间【口，6 】上的可微凸函数，令m = s u pi ( ，) l o ( i - - 1 ，2 ，刀) ，记 。b 而7 忍= 讳( 七= l ，2 ，珂) 孝= 型i 一，则存在历( 1 槐刀一1 ) ，且满足r j l l 一 【。，】【口，6 ，】，使得 r 片 只一 ，l l 一 e p , r 7 ( 毛) 竺 一 只 v i 一弘jp ij u j 证由而 x 2 s 毛及其不全相等可知存在所( 1 册 n - 1 ) ，使 p t x ；p t x ? 钒惺哥叫q 名零百矿， - 一 打_ 彘 v i 、， l - ， 内蒙古民族大学硕士学位论文2 3 d 令p = 罟，记孝7 = p u o + ( 1 一p ) v o ，那么由定理2 2 2 和，一平均凸函数的定义，可 疗 得 厂降；=厂7(cp7+c-一p，v07，；) ( 1 一p ) ( v 0 7 - u 0 7 ) 。帅唧o , fl t 工7 l _ 肛 + 二：二二一 p ( v o ，一7 ) p ( 厂( ) ) 7 + ( 1 - p ) ( f c v o ) ) 7 = p f 7 只薯7 ，= l 己 p p , f 7 ( 而) 生盘 ：二! 只己 + ( 1 - p ) f 7 一己 t 一 一 b j c f 7 j = m + 1 只一己 一 b 7 ( ) pp p 一打庸 证毕 把本文定理2 2 1 推广到，平均凸函数类上可得： 一 e p , s ( 五) = 上- 上一 定理2 2 4 设厂o ) 为区间【口，6 】c 足上可微的，一平均凸函数，足，且满足 m = s u pk 厂( ，) ) ，l 佃，对任意的p “1 ) ，记孝= p a 7 + ( 1 一p ) b 7 ，则 l e 【口- 6 l l i 。旦厂，。口，+ 。一p ，厂，。6 ，一 ；鐾其一 s m “l p ) 6 一朋) + f 丽p 而m r ”夕，叫工；卜 2 4 广义凸函数的若干性质及其应用 一；踹- a ( 6 h i 一( p 口7 + ( 1 一p ) 6 7 ) 孚) ( 2 2 6 )烈l + ，x 6 7 7 ) l v、7 j 7 f 7 ( 工； 出= c f 7 一口7 ，f 厂7 ( c 口，+ c 一，f 7 ，；) c 办 邓叫扎f 小- 州彬，；卜， f 7 ( x ；) d x = ( b - 孝，f 厂7 ( c r f 7 + c 一，6 7 ，；) 办 = p c 6 7 一口7 ，f 厂( c 蟛7 + c - 一，6 ，； 田， 。 。厂，口、+ 仃一，r 6 、! 篁二：( x ； 出c ，一p ，f 厂7 ( x i 出 怄( 口) + ( 1 一p ) f ，( 6 卜f 赫一而茅 s p r f 厂7 c 口，一( 厂( c c ，一，口+ 蟛，；_ ) ) f d r + o - p ) f f 厂7 c 6 ，一( 厂( c 砖7 + c t 一，6 7 ，；) ) 7 卜 坳f ( ( ( 1 叫口7 + 学) ；一口户卅一p 渺f ( 6 一( 蟛+ o 叫6 7 ) ；卜 = m ( o - p ) b - p 口) + 刁i i ；灭( ( 朋7 + ( 1 一p ) 6 ) 孚一口h 1 ) 一j 乏踹- a ( 6 h l 一( p 口+ ( 一p ) 6 7 ) 等) 夕( 1 + ，) ( 6 7 ) i 、1 、 ，7 。7 j 。 下面把不等式( 2 2 2 ) 推广到，平均凸函数类上，可得：。 定理2 2 5 设厂( j ) 为区间【口，b ier + 上可微的，一平均凸函数，疋，且满足 m = s u p 1 【厂( f ) 引 ，对任意的p ( o ，1 ) ，记f = p a 7 + ( 1 一p ) b ，则 t t l a b 】i i 。绻+ # 丫( 、( p a r + ( 1 - p ) b r ) ；) ( 1 一p 多7 一口7 ) p ( 6 7 一口7 ) 一 、j m f ( 2 p 一1 ) ( p a ，+ ( 1 一p ) 6 ，) 1 内蒙古民族大学硕士学位论文 两篙两p + o 训尸叫+ 1 ) + 害p 一( 脚，+ ( 1 刊6 ，) 孚 ( 2 2 7 ) p ( 1 + r x b 7 - a 7 ) l 、。 、17 。7 j 、 7 最后，我们将把文【2 8 】主要结果推广到，平均凸函数类上 引理2 2 1 嗍设g ( x ) 为区间【口，6 】cr 上的连续函数，且r g ( x ) 出= 0 ，则存在 口( 。等) ，使得 g 降一口) + g 睁+ 口) 一o 定理2 2 6 设厂( z ) 为区间【口，b c 足上的，平均凸函数，疋，定义函数 即m 7 ( 华卅 ( 半+ 工计斗半 ， 姗蝴椎 o 竿卜增溅 证对任意而 0 半 ，且而 而，当取五= 百x 2 - x 1 时，有 华一卜五半一而卜1 a 2 b ) ， 华”降+ 而h 半一而) ， 因o 2 = x 2 如- o q 0 ，则存在 口( o t b r _ a r 厂) 使得对任意的卿川和y 卜半 ，有 厂( ( 半啦m 华卅v ( 半 斗陋计厂陋 = 而1 叫斗= 岛p 以， 州 剥 冲 斗陋井厂陋y 棚 丛尘：塑 2 证先证不等郁加，中的口的存在性，即存在口( o ，竿) ，使得 ( 2 3 0 ) ， _ 矿一 得 尘： 聪陋 加 刖 = 叻 ， 2 y 姐 f 内蒙古民族大学硕士学位论文 三 ，r ( ( 半一口1 r + ， ( 华卅 - 上b - a p 睁他3 ， 实际上。由于f ( x ) 为【口，6 】上连续的，平均凸函数，令 g = 厂阱南叫x ；卜， x 【口7 ，6 】， 那么f g o 皿一o ，根矧舵2 存在口( o 半) ，使得 g i a r + b r h 半+ 口) = o 从而，有 厂a r + b 计而1 叭争 l l a + b 心计去叫；卜 即式( 2 3 1 ) 成立又由定理2 - 2 6 中函数f ( x ) 在o , b - a 。 上的单调递增性可知，虿等 式( 2 3 0 ) 成立证毕 定理2 2 8 设厂( x ) 为区间k ，6 1 c 足上的连续，一平均凹函数，r 1 噜 ( 口 广义凸函数的若干性质及其应用 睁夕妒7 l a + b 叫州 2 ( 2 3 1 ) 内蒙古民族大学硕士学位论文2 9 参考文献 l 匡继昌常用不等式( 第三版) 【m 】济南：山东科学技术出版社，2 0 0 4 2 王伯荚控制不等式基础【m 】北京：北京师范大学出版社，1 9 9 0 3l v l i t r i n o v i cd s ，v a s i cp m ，赵汉宾分析不等式【m 】南宁：广西人民出版社，1 9 8 6 4 t y r r e l l r r o c k a f e l l a r c o n v e xa n a l y s i s m p r i 眦啪明：p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s 1 9 7 2 5m i l z i n o v i cd s e p e c a r i c j ，f i n ka m c l a s s i c a la n dn e wi n e q u a l i t i e si na n a l y s i s 【m 】 n e t h e r l a n d s ：k l u w e rp u b l i s h e r s , 19 9 3 。 6胡 克解析不等式的若干问题【m 】武汉大学出版社，2 0 0 3 ( 9 ) ：1 2 l 1 4 0 7 张小明几何凸函数【m 】合肥：安徽大学出版社，2 0 0 4 8 胡长松，凸函数的一种推广明湖北师范学院学报，2 0 0 6 ，( 1 ) ：垂一lo 9 昊善和几何凸函数与j e 衄舶型不等式阴数学的实践与认识，2 0 0 4 ，3 4 ( 2 ) ：1 5 5 - - 1 6 3 1 0 张小明几何凸函数的一个特征性质及其应用叨湖南理工学院学报，2 0 0 3 ，1 6 ( 3 ) ：1 7 一- 1 9 ii 杨定华关于几何凸函数的不等式阴河北大学学报，2 0 0 2 ，：吃( 4 ) ：3 2 孓- 3 2 8 1 2 张小明有关几何凹函数的积分的一个猜想明青岛职业技术学院学报。2 0 0 4 ，( 3 ) ：3 4 3 5 1 3 吴善和平方凸函数与j e n s e n 型不等式川首都师范大学学报，2 0 0 5 ，2 6 ( 1 ) ：1 3 - - - 1 6 1 4 吴善和一凸函数与j e n s e n 型不等式【j 】数学的实践与认识，2 0 0 5 ，3 5 ( 3 ) ：2 2 0 - - 2 2 8 1 5 席博彦包图雅关于，平均凸函数的若干性质田敷擘的实践与认识( 待发表) 1 6 孙明保关于凸函数的双参数平均不等式阴教学的实践与认识，1 9 9 7 ，2 7 ( 3 ) ：1 9 卜1 9 7 1 7 张小明关于脯凸函数的h a d a m a r d 型不等式【j 】数学的实践与认识，2 0 0 4 ，3 4 ( 9 ) ：1 7 1 1 7 6 1 8 胡 克不等式进一步的性质【j 】，江西师范学院学报，1 9 8 4 ：( 1 ) ：1 - - 2 1 9w a n gc h u n g l i e i n e q u a l i t i e so f 龀r a d o - - p o p o v i c i ut y p ea n dt h e i ra p p l i c a t i o n s j j m a t h a n a l a p p l 1 9