第2讲 分段函数及函数的单调性.doc

第二讲 分段函数及函数的单调性一.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论常见的命题类型有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题二.函数的单调性1.单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)_，区间D叫做函数yf(x)的_.2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值三.题型详解题型一分段函数的函数求值（域）问题1.已知函数f(x)则f的值是_2. 若函数f(x)=x2+1, x1lgx, x1，则f(f(10)=（）Alg101 B2 C1 D03.设定义在N上的函数f（x）满足f（n）= 试求f（2002）的值.4.设函数f(x)则f(f(2)_，函数f(x)的值域是_题型二 分段函数的自变量求值问题1已知f(x)，若f(a)，则a_.2.已知函数f(x)且f(a)2，则f(7a)()Alog37B C D3.已知函数f(x)若f(1)，则f(3)_.题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题1.已知函数f(x)若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_2.已知函数f（x）=则f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.题型四.常见函数的单调性一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。题型五.判定函数的调性1.f(x)图像 如图所示，请写出f(x)的单调区间2.判断下列函数的单调性(1)y=x+（x0）；(对勾函数)(2) 设函数f（x）（ab0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性.（真分数的性质）(3) 讨论函数f（x）=（a0）在x（1，1）上的单调性.(分类讨论)(4) 指出函数y=log3（x22x3）的单调区间，指出函数y的单调区间。题型六 函数单调性的简单应用1.函数f(x)的最大值为_2.已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(e)，则a，b，c的大小关系是_.3.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(x-2)f(1)的实数x的取值区间是_.4. 已知函数f(x)若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值区间为_函数单调性的应用(1)求函数值域、最值；(2)比较大小；比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间