（信号与信息处理专业论文）emd和小波变换在奇异信号分析及机械故障诊断中的应用.pdf

摘要 、0 目 平稳信号分析是信号处理的研究热点之一。对机械设备的非平稳 信号进行分析研究，以便对机械故障进行早期诊断，从而有针对性地进 行维修，对于设备的安全运行是非常重要的。 小波分析具有良好时频分辨力，在非平稳信号分析中得到广泛应用。 经验模式分解( e m d ：e m p i r i c a lm o d ed e c o m 口o s i t i o n ) 引入了内在模函数 ( i m f ：i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) 的概念，是近年提出的一种分析非线性、 非平稳信号的方法n 本论文基于经验模式分解方法和小波变换对非平稳信号进行分析研 究，并对内在模函数判断标准进行了修f ，缩短了经验模式分解的时问。 信号的奇异点通常包含了机械故障信息，本文利用提取内在模函数 包络的方法进行信号奇异性检测，与直接提取信号包络方法相比较，该 方法能更清晰地获取信号的奇异特征。同时，使用小波变换进行信号奇 异性分析，也有效地识别出信号的奇异特征。 本文还分别利用经验模式分解方法和小波变换方法对故障电源风扇 进行分析，两种方法都清晰地提取出了机械故障特征信息，表明基于经 验模式分解的分析方法在机械故障诊断方面具有良好的应用前景。 关键词：经验模式分解，内在模函数，小波变换，奇异性，故障诊断 a b s t r a c t n o n s t a t i o n a r y d a t a a n a l y s i s b e c o m e sc o m m o na l l o v e rt h ew o r l da s s c i e n c ea n dt e c t m o l o g y a d 、a t l c e s w a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e e na p p l i e d t o m a n vr e s e a r c hf i e l d s f ori t s g o o dt i m e f r e q u e n c y r e s o l u t i o na l s o ，an e w m e t h o dw h o s en a m eise m d ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) f o ra n a l y z i n g n o n l i n e a ra n dn o n s t a t i o n a r y d a t ah a sb e e nd e v e l o p e d i t i n t r o d u c e st h e i m f ( i n t r i n s i c m o d ef u n c t i o n ) b a s e do nl o c a lp r o p e r t i e s o fs i g n a l t h i s d i s s e r t a t i o nf o c u s e so nu s i n g e m dm e t h o da n dw a v e l e t t r a n s f o r mt o a n a l y z en o n s t a t i o n a r ys i g n a l ，a n d m o d i f i e st h ej u d g e m e n ts t a n d a r d f o r i m f t h em o d i f i c a t i o n r e s u l t si n l e s st i m ec o n s u m e d u r i n gs i g n a l p r o c e s s i n g s i g n a ls i n g u l a r i t yp o i n t o f t e ns h o w su s e f u li n f o r m a t i o no ft h es i g n a l t h er e sl 1 1 t so fr e s e a r c ho ns i g n a ls i n g u l a r i t ys h o wt h a te n v e l o p ea n a l y s i s b a s e do ne m d g i v en 、o r e d i s t i n c ts i n g u l a r i t yc h a r a c t e rt h a ns u c he n v e l o p e a n a l y s i st h a t i s n tb a s e do ne m d a l s o ，w a v e l e tt r a n s f o r mc a n d e t e c tt h e s i g n a ls i n g u l a r i t yc l e a r l y m a c h i n ef a u l ti sd i a g n o s e dw i t he m d a n dw a v e l e tt r a n s f o r ms e p a r a t e l y b o t ho ft h e mc a n d e t e c tt h em a c h i n ef a u l t d i s t i n c t l y i t s h o w st h a t e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n h a v eag o o da p p l i c a t i o np r o s p e c ti nm a c h i n e f a u i td i a g n o s i s k e yw o r d se m d ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) ；i m f ( i n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n ) ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；s i n g u l a r i t y ；f a u l td i a g n o s i s 顾士掌位论文；e m d 和小波变换在奇异信号分析发机械救障诊断中的心用 日u舌 信号分析与处理是信息科学的重要理论基础和分析手段，傅立叶 ( f o u r i e r ) 分析是最常用也是最主要的线性平稳信号分析处理方法。然而 在许多科学领域的科学试验和工程测量中，普遍存在着非线性、非平稳 信号，这使得传统的线性、平稳信号模型已不敷应用。为准确获得非线 性、非平稳信号的特征信息，人们开始将注意力转向此类信号的分析与 处理研究上。近十几年来，有关非线性、非平稳信号分析与处理的理论 方法已有了长足发展0 1 。 对于线性平稳信号或短时间内线性平稳的信号，经典信号处理技术 ( 即时域分析和频域分析) 是有效的。但对于非线性平稳信号，必须研究 其在时域和频域中的全貌和局部性质，即既要把握信号总体特征，又要 深入到信号局部中分析信号的非平稳性，爿。能准确理解信号的实际物理 意义。这便是时频分析”1 ( t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ) 方法的思想。时频分 折方法分为两种：线性和非线性。信号的线性时频分析主要有小波变换 ( w t ：w a v e l e tt r a n s f o r m ) 、短时傅旱叶变换( s t f t ：s h o r tt i m ef o u r i e r t r a n s f o r m l 和g a b o r 展开三种形式“。信号的非线性时频分析主要有 w i g n e r v i l l e 分布、c o h e n 分布等二次时频分析方法。最常用的有三种： 短时傅罩叶变换，w i g n e r v i l l e 分布和小波变换“1 。 短时傅里叶变换是研究非平稳信号广泛使用的方法，其基本思想是 将时间信号加时间窗，然后将时f b j 窗滑动做傅立叶变换，得到信号的时 变频谱。因此短时傅里叶变换也只是局部平均，即用时间窗的一段信号 来表示它在某个时刻的特性，而且窗越宽，时间分辨率越差，但为了提 高时1 8 j 分辨率而缩短窗宽时，又会降低频率分辨率”1 。魏格纳分布定义 为信号中心协方差函数的傅立叶变换，它具有许多优良的性能，不用选 择窗函数，对瞬时频率和群延时有清晰的概念，但也存在交叉项干扰和 负能量谱“1 。，j 、波变换比短时傅罩叶变换优越之处在于其时间分辨率在 高频时变得非常细，频率分辨率在低频时变得非常好，对于由短时高频 母! 上学位论文：e m d 和小波变换在奇异信号分析及机械故障诊断中的应用 成分和长时低频成分组成的信号可以有非常好的分析结果。但从本质上 讲，小波变换是以傅里叶变换为基础的，它也被称为变窗口的傅里叶变 换。上述方法对信号进行处理分析时均是以傅里叶变换为基础的，没有 根本解决傅立叶变换在分析非平稳信号时的局限性“。 h u a n g 提出利用经验模式分解( e m d ：e m p i r i c a m o d ed e c o m p o s i t i o n ) 分析非线性、非平稳信号的时频分析方法”。经验模式分解基于信号局 部特征时间尺度从原信号中提取出若干个内在模函数( i m f ) 。且i m f 为 单分量信号，则可以通过分析 m f 的瞬时频率来表征原信号的频率含量， 避免了傅里时变换中需使用许多谐波分量表达非线性、非平稳信号的不 足。同时，分解出的各个i m f 分量包含了原信号的部分信号信息，使得 与原信号相比【m f 分量相对简单。这样，由于原信号中信息成分比较复 杂而导致被强信息成分淹没的弱信息成分，在i m f 分量中就可以较明显 的表现出来，因而，对 m f 进行分析可更准确有效地把握原数据的特征 信息。本文中即是通过研究信号的i m f 分量以获知原信号的特征信息， 与直接对原信号进行分析的方法相比效果要好。此外，该方法是自适应 的，在分析信号时不需要事先知道信号的统计特征，具有广泛的适用性。 本论文的主要工作： 对经验模式分解的“筛选”过程中内在模函数判断标准进行了修f 利用经验模式分解检测信号的局部奇异性 利用小波变换检测信号的局部奇异性 利用经验模式分解进行机械故障诊断 利用小波变换进行机械故障诊断 2 顶 一学位论文：e m d 和小渡变换在奇异衍寸分析发机城放障诊断中的府用 i i 第1 章信号分析方法概述 傅立叶频谱分析为一经典信号处理技术，在信号分析与处理技术中 长期占主要地位。它使得人们可以分别在时域与频域内观察信号，加深 了对信号的理解。但对于非线性、非平稳信号，人们需要在时一频域内分 析其信号特征爿能直观准确地理解信号信息。这就需要对其进行时一频分 析，最常用的时一频分析方法有三种：短时傅罩叶变换，w i g n e r - v i l l e 分 布州和小波变换”1 。近来，h u a n g 又提出了一种分析非线性、非平稳信 号的方法：经验模式分解方法。 1 1 傅立叶变换 法国著名数学家傅立叶于18 2 2 年提出的傅立叶分析”理论结合 19 6 5 年美国b e l l 实验室的c o o l e y 、t u k e y 两位工程师提出的快速傅立叶 变换即f f t ：，使得傅立叶分析成为理论分析和数值计算的重要工具， 并在信号处理方法中长期处于主要地位。 傅立叶变换建立了信号从时域到频域的变换桥梁，而傅里叶反变换 则建立了信号从频域到时域的变换桥梁“，这两个域之恻的变换7 , j 一一 映射关系。其定义如下： 对任意信号厂( r ) el 2 ) 有 ，( ) = 广f ( t ) e 一d t ( 1 1 1 ) 厂( ，) = 去f 矿咖 ( i i 2 ) 式( 1 ，1 1 ) 为傅立叶正变换，式( 1 1 ，2 ) 为傅里叶反变换，两者构成了傅 立叶变换对。 出式( 1 1 1 ) 可以看出傅立叶正变换用5 e 穷时陋j 区问上的复f 弦基函 3 数和信号的内积描述了信号的频率分布。由式( 1 1 2 ) 可以看出傅立叶反 变换用无穷多个加权正弦波的叠加来表示信号_ ，( f ) 。因而，对于分析非 线性、非平稳信号时傅立叶分析方法存在以下不足之处= 。： 问题一 由于f 弦波为光滑函数“：，用其描述具有局部突变现象的 非线性、非平稳信号时，需要由许多谐波分量来表达，造成频域内信号 带宽增大，难以直观的反映非线性、非平稳信号。“j 的实际物理意义。 问题二对于时变的非平稳信号，由于傅立叶f 变换是在整个时间区 间上的积分平均，不能反映出信号频率随时i b j 变化的局部特征。 因而，傅立叶变换虽然在分析线性、平稳信号时有不可代替的优势， 但当分析非线性、非平稳信号时，却表现出它的不足之处。为更直观准 确地反映菲线性、非平稳信号的物理特性，人们希望在分析此类信号时 不仅能获知它们的频率内容，还能获知其频率随时问的变化情况，即所 谓的时频分析“。 1 2 短时傅立叶变换 在信号的时频分析中，使用最早的是由g a b o r 提出的短时傅里叶变 换”( s t f t ：s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 。连续时问信号x ( f ) 的短时傅立 叶定义如下： s 册”蛳，w ) = 【卜0 p + 卜，灌一1 d t ( 1 2 1 ) 其中，+ ( t - t ) 为，( f 一r ) 的共轭函数。它是以t 为中心的时窗函数。 山式( 12 1 ) 可见，信号x 0 ) 对于时矧t 的短时傅里叶变换就是x o ) 乘上 一个以，为中心的时窗函数r t ( c - t ) 所做的傅罩叶变换。亦即为使变换具 有时域局部性，它先将信号x ( t ) 加时间窗r ( ，) ，然后将r ( t ) 滑动做傅旱叶 变换，这样便得到信号的时变频谱或短时谱s 丌冲( f ，f ) 。因此，短时傅 单叶变换是用时间窗的一段信号来表示它在某个时刻的特性。 显然，短时傅立叶的时阳j 分辨率与时窗宽度直接相关，时窗越宽， 时间分辨率越差，时窗越窄，时间分辨率越好。 时窗函数r ( f ) 的中心e ( r ) 和半径( r ) 分别定义为 荆= 学 删= 学 ( 12 2 ) ( 1 2 3 ) 数值2 p ) 称为时窗函数r ( f ) 的宽度。 设e ( w ) 5 窗函数r ( f ) 的傅立叶变换，类似于式( 1 2 2 ) 与式( 1 23 ) ，频窗 函数尺( w ) 的中心e 恹) 和半径a ( r ) 分别定义为 e(r)=可fo w l e ( w ) f w ( 1 24 ) 小，= 世警业 ：s ， 数值2 ( 尺) 称为频窗函数矗( w ) 的宽度。 短时傅罩叶变换得到时窗 e ( r ) + ，一p l e p ) + ，十p ) 】和j 频窗 e ( 尺) + w 一( 尺l e 恤) + w + 即) 中信号的局部信息，即信号在时一频窗 e ( r ) + f 一( r l ( r ) + t 十( r ) 】 e ( r ) + w 一( r l ( r ) + w + ( r ) 中的局部化 信息。选定时窗函数r “) 后，这个时一频窗是一个边与坐标轴平行、形状 与( ，w ) 无关的矩形，它具有固定的面积4 l x ( r ) a ( r ) 。对于短时傅立叶变换 的时一频分析能力，可使用时一频窗矩形的形状和面积4 ( r ) ( r ) 来衡量。 在时一频窗的形状固定不变时，窗口面积越小，说明它的时一频局部化描 5 述能力就越强，窗口面积越大，说明它的时一频局部化描述能力就越差。 当然，要得到尽量精确的时一频局部化描述，自然希望选择使时一频 窗面积4 ( r ) ) 尽量小的窗口函数。但是，不确定原理”晓明这种潜力 是有限度的。 若令，与a w 分别表示短时傅立叶的时间分辨率与频率分辨率，则由 不确定原理有 ，w 当( 】2 6 ) 、 这样，不可能存在既是短时宽又是窄带宽的窗函数。在实际应用中， 或者以低的时间分辨率换取高的频率分辨率，或者以低的频率分辨率换 取高的时间分辨率。3 。一个信号的频率与它的周期长度成f 比，则对于 高频信息，时间间隔要相对的小以给出比较好的精度，而对于低频信息， 时问问隔要相对的宽以给出完全的信启、，亦即可使用一个灵活可变的时 间一频率窗，使在高“中心频率”时自动便窄，而在低“中心频率”时 自动变宽。 虽然短时傅罩叶变换通过加窗处理实现了信号的局部分析，但对于 窗函数内的信号，它仍是使用傅罩叶变换进行分析，并且位于窗函数内 的信号不一定为平稳信号，因此它不能完全克服傅旱叶变换分析非平稳 信号时存在的问题( 见1 1 节中问题一) 。 1 3 小波变换 小波变换最早是出法国地球物理学家m o r l e t 于8 0 年代初在分析地球 物理信号时作为一种信号分析的数学工具提出的。经过几十年的发展， 小波变换不仅在理论和方法上取得了突破性的进展( 如框架和滤波器组 两大理论) ，而且在信号与图像分析”“1 、地球物理信号处理、计算机视 觉与编码、语音合成与分析、信号的奇异性检测与谱估计”“，甚至在分 形和混沌理论中都获得了广泛的应用。 6 小波变换分为连续小波变换与离散小波变换，其中，离散小波变换 中“离散”的概念并不同于以往离散傅立叶变换中的概念。离散小波变 换中的时f 目变量，并没有被离散化，被离教化的是小波变换中的尺度日和 位移b 。 1 3 1 连续小波变换 若【r ) 是平万口 积函数( 0 己作0 ) l 2 ( r ) ) ，并且满足 p ( f 功= 0 ( 1 3 1 ) 则称y ( f ) 为母小波函数，对y 0 ) 进行伸缩和平移变换，设伸缩因子为 a ，平移因子为b ，且口，b r ，a 0 ，可得下列函数族 5 南c 半， s 2 ， 砜一( 油分析小波。虮3 2 冲丽i 的作用是使不同“值砘一 能量保持相等。 则函数x ( ，) l 2 ( 尺) 的连续小波变换( c w t ：c o n t i n u o u s w a v e l e t t r a n s f o r m ) n 暇垆丽1 聃弦( 竿卜 。， 其中( 尘尘) 为_ ；f ，( 尘) 的共轭函数。 以d 因在工程实际中d 0 。则连续小波变换可定义为 7 ( 1 3 4 ) 以 堂。 砂“ 广- 上l 萼 = 的嘿 令 硕士学位论文：e m d 和小波变换在奇异信号分析及机械故障诊断中的应用 厂0 ) = f 二f ( i 35 ) a 则日越大，厂0 ) 愈宽，相应的信号频率越低；c t 越小，厂( f ) 越窄，相 应的信号频率越高。其中，b 是位移，b r ，对信号进行局部时间定位。 时移参数b 与时间f 自然对应，而尺度a 实际上与频率对应，因此可以 这样理解小波分析与时频分析”32 ”之间的关系：时频分析中的时频平面 ( ，f ) j d 5 小波分析中变成了时间一尺度平面，口) 。 短时傅立叶变换是以同一种分辨率来观察信号的。而在小波分析中， 人们则以不同的“尺度”( 或“分辨率”) 来观察信号“。这种多尺度的 观点是小波分析的基本点。小波变换的分辨力单元随尺度因子而变化， 当a 增大时，频率分辨力提高，但时间分辨力降低；当a 变小时，时间分 辨力提高，但频率分辨力降低。 13 2 离散小波变换 信号x ( ，) 做连续小波变换后所得f 嘎( 口，b ) 的信息是有冗余的”。，从压 缩数据及节约计算的角度上看，我们希望在不致丢失信息的前提下，只 在一些离散的尺度和位移值上计算小波变换。 令d = 口：，z ，我们可实现对a 的离散化。对b 离散化，最简单的方 法是将b 均匀抽样，例如可令b = k b o ( b o 的选择应保证能由暇( ，k ) 恢复 出x ( f ) ) 。当j 0 时，将a 由a d 。1 变成刮时，即是将a 扩大了倍，这时 小波_ 】f ，m ( f ) 的中心频率比l ；f ，川。( ，) 的中心频率下降了倍，带宽也下降了 倍。因此，这时对b 抽样的间隔也可相应地扩大倍”。由此可以看 出， 当尺度a 分别取，础，面，时， 对b 的抽样间隔可以取 o b o ，础钆，d b o ，这样，对n 和b 离散化后，小波函数为 。( ，) = 靠小￥ a g 。( ，一k a g b o ) = a g ”g ( a o t k b o ) - ，k z( 1 3 6 ) 式( 1 3 6 ) 中，仍是连续变量。实际工作中常取a o = 2 。 8 硕 学位论文：e m d 和小波变换在奇异信号分析及机械故障诊断中的心用 对给定的信号x ( f ) 2 ( 尺) ，( 1 3 4 ) 式的连续小波变换可变成如下离散 栅格上的小波变换，即 胛。( ，k ) = i x ( ，) 矿：。( ，) 础 ( 1 3 7 ) 式( 137 ) 即为离散小波变换( d w t ：d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 。 记d 。= f 仉( ，) ，有下式成立 x ( f ) = d j , k 虬( r ) ( 1 3 8 ) = 0 女 该式称为小波级数，d ， 称为小波系数，驴卅( f ) 是y 坩( ，) 的对偶函数， 或对偶小波。 离散小波变换也称小波分解即是将信号分解成一族小波函数的叠 加，使人们可以分析信号在特定的时、频窗范围内的细节。 小波变换、多分辨率分析、多采样率滤波器组三者之间有着密切的 联系“。离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨 率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的”。 小波分析与一般时频分析的区别在于：一般时频分析”6 在时一频平面 上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也是在二维平面上， 但不是在时频平面上，而是在所谓的时问一尺度平面上。可以认为，小波 分析是一种特殊的时频分析。 小波分析也被称为变窗口的傅立叶变换。其不足之处在于它并不能 完全取代傅立时变换，实际应用时可将其与傅立叶变换结合起束使用，以 便取得较好的研究结果。 1 4 w i g n e r v i i l e 分布 w i g n e r 于l9 3 2 年首先提出了w i g n e r 分布“”“的概念，并把它用于 量子力学领域。1 9 4 8 年，首先由v i l l e 把它应用于信号分析”“。因此， w i g n e r 分布又称w i g n e r v i l l e 分布，简称为w v d ( w i g n e r v i l l e r 9 顶学位论文：e m d 和小波变换n ：奇异信号分析及机械故障诊断中的应用 d i s t r i b u t i o n ) 。w v d 也被称为双线性形式的时一频分布”1 。所谓双线性形 式，是指所研究的信号在时一频分布的数学表达式中以相乘的形式出现 两次。连续时间信号x ( f ) 的自w v d 定义为： 毗w ) - x ( r + 妒( ，一妒”d r 。， 令 k o ，r ) = x ( ，+ 主 x + ( ，一主) c 。z ， 则式( 1 4 1 ) 可看成函数o ( ，r ) 对r 的傅罩叶变换。 两个连续时i n 信号x ( 0 - 与y ( t ) 的互w v d 定义为 暇，o ，w ) = x ( r + 三) - y + ( r 一三) e j _ 7 d r c a s ， 通常当不会引起混淆时，将上述两个函数都称为维格纳分布。 没x ( r ) 与_ y ( r ) 的傅里叶变换为x ( w ) 与 ，( w ) ，那么w v d 也可由下式定 义 w x , g ( w ，) = l ；o x ( w + 李 y + ( w 一言) e d 手 c ，。， 畎，( ，w ) 与肜( i v ，t ) 的关系为 以，o ，w ) = 矽n ，( w ，) ( 1 4 5 ) 上式表明两个信号傅里叶变换的w v d 可由其时间信号的w v d 中频 率和时i 日j 变量互相交换得到，即w v d 时域和频域f u l 存在对称性。 w v d 是一种重要的时频分布，它具有许多重要的数学性质，如能量 集聚性、有界性等。圳但是，由于w v d 为二次型变换，它不可避免地 出现交叉项干扰”：，阻碍了其进一步应用。同时，由w v d 定义式( 1 4 1 ) 知，它仍是以傅里叶变换为基础的，因而也不能完全克服傅里叶分析非 平稳信号的不足之处( 见1 1 节中问题一) 。 1 0 1 5e m d 方法 随着时频理论研究的不断发展，n o r d e ne h u a n g 于1 9 9 8 年提出了一 种采用经验模式分解( e m d ) 分析非线性、非稳定信号的方法。e m d 分 解基于信号局部特征时间尺度，从原信号中提取出内在模函数( i m f ) 。所 分解出的i m f 包含并突出了原信号的局部特征信息，并且各i m f 分量分 别包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信息。所谓的局部特征时间 尺度是指信号中两邻近极大值点或极小值点的时阳j 间隔。 i m f 具有如下特点：a ) 其极点和零点数目相等或最多相差1 个；b ) 分别连接其局部极大值和局部极小值所形成的两条包络线的均值在任一 点处为零。 提取信号x ( ，) 的i m f 分量的计算过程如下： 首先，利用三次样条函数：”! 把x ( ，) 的局部极大值点与局部极小值 点分别拟合成x ( ，) 的上包络线与下包络线，计算两包络线的均值m 。，求 出信号x ( f ) 与包络线均值m ，的差值 h l = x ( t ) 一m i ( 15 1 ) 通常情况下，h 并不是i m f 分量，仍需将h 作以上处理，重复公式 ( 1 5 1 ) k 次( k 次“筛选”过程) ： h 1 女= h 眦一小l 女 ( 1 5 2 ) 其中h 。为第k 次筛选时所得数据，h 。为第k 1 次筛选时所得数据， 为h 。上下包络线的均值，利用s d 的值判断每次筛选结果是否为i m f 分量： = 砉铧 s ， 智 氘_ n 【，j s d 的值常取o 2 至0 3 。其中7 为信号时间长度。 当h 。满足s d 的值要求，则令cl = h 。为信号z ( f ) 的第一个i m f 分量。 从原信号z ( f ) 中减去c ；，得剩余信号r = x ( t ) 一c l ( 1 5 4 ) 若九中仍包含信号x ( ，) 的较长的局部特征时间尺度信息。将r 。再作 顾i ：学位论文：e m d 和小波变换在奇异信号分析硬机械故障诊断中的一，用 为要分解的信号重复【l5 1 ) 至( 1 5 4 ) 的过程，直至所剩余信号r 。中的信 息对所研究的内容意义很小或已是一单调函数时停止此分解过程。 至此，我们便获得了信号x ( ，) 的一系列i m f 分量c 。、c ! 、c 。 一o ：= t ，r 2 一c 3 = 。1 ，一】一f 。= ( 1 5 5 ) 并有 三 x ( t ) = c ，+ ( 1 5 6 ) j 式( 1 5 6 ) 表明了e m d 分解的完备性。 经验模式分解基于信号的局部时间特征尺度分析原信号，克服了傅 罩叶变换用高次谐波频率分量拟合非线性、非平稳信号的缺点。 但是，e m d 方法中存在一个关键难题便是信号边界失真问题。这是 因为在e m d “筛选”过程中，利用三次样条函数、”3 将信号x ( ，) 的局部极 大值点与局部极小值点分别拟合成工0 ) 的上、下包络线时，出于x 0 ) 两端 ( 边界) 处的局部极值点数目稀少甚至为0 ，使得拟合出的上、下包络曲线 出现发散现象，并且随着筛选过程的逐步进行，该发散现象将会向 信号内部扩展，最终导致处理结果严重失真。当所处理数据足够长时， 可以通过抛弃i m f 两端失真数据的方法得到合理的处理结果，但当所处 理的数据较短时，该方法便不可取了。 使用三次样条函数“州拟合出的上、下包络曲线边界发敞的根本原因 是信号两端缺少局部极值点，故可通过增加信号两端的极值点数目来改 善包络曲线的边界发散现象。h u a n g 在介绍e m d 方法的文章中提到可 以根掘特征波对原有数据序列进行延拓，但没有给出确定合适特征波的 具体方法。 硕士掌宣论文：e m d 和小波变换在奇异信号分析及机械故障诊断中的成用 第2 章e m d 方法中i m f 判断标准的分析与修正 在进行经验模式分解的“筛选”过程中，i m f 判断标准往往有较大 的波动，这使得在处理数据量较大的信号时，通常要花费过长的时间。 为了缩短数据量较大信号进行经验模式分解时所需时间，提高信号处理 速度，本章对i m f 判断标准做了修e 。 2 1i m f 判断标准的分析 h u a n g 在介绍e m d ；h - 法时提出i m f 的判断依据为”j = 砉学 亿， 箭 - ( f ) 、 通常s d 的值取o 2 至0 3 时，筛选出的结果为i m f 。其中h 。k 为提取 第i 个i m f 时，第k 次筛选时所得数据，h i ( k i 、为第k - 1 次筛选u , l 所得数 据。在以下实验中选择1 m f 的判断标准为o 2 l h j ( k - i ) ( 刊时， r ( ，1 ) 将取得较大值，从而导致s d 出现较大值。 在“筛选”过程中肌。o ) 与h , ( k - i ) ( f ) 均随着“筛选”次数k 的变化而 变化。而m ：( ，) 与 j k - i ) ( f ) 在某一时问点，。o 。e o ，丁d 的比值并不一定随着 “筛选”次数k 的增加而变小，甚至会出现在第k 次“筛选”时，两者 比值在任意信号时间点上都已达到较小值，而在k + 1 次“筛选”时，两 者比值却会在信号的某一时间点上出现较大值。这表现在s d 的数值变 化情况为，在第k 次“筛选”时，s d 已取得较小值，而在第k + 1 次“筛 选”时s d 却突变为一较大值。从而导致s d 在“筛选”过程中s d 的取 值具有较大的波动。当所需处理信号数据量较大时，r 。( t ) 的数掘量也显 然增大。而数据量的增大即意味着r 。( t ) 1 的概率也在增大，亦即s d 处 于o 2 与o 3 间的概率在减小。假设r 。( ，) l ( 即1 ) ，则经验模式分解 “筛选”过程仍需进行，最终导致在处理数据量较大的信号时，往往花 费过长的时间。 以肌电信号x ( t ) 为分析实例，分析其在进行经验模式分解时，i m f 判 断标准s d 的变化趋势。信号工( ，) 的时域波形如图2 】所示。对其进行经 验模式分解，在提取它的前两个i m f 过程中，s d 的变化情况分别见图 2 - 2 ( a ) 、图2 - 2 ( b ) ，其中图2 - 2c a ) 表示提取x ( ，) 第一个i m f 时s d 的变化过 程，圈2 - 2 ( b ) 表示提取x ( f ) 第二个i m f 时s d 的变化过程。图中横坐标为 提取i m f 时的“筛选”次数k ，纵坐标为s d 的值。 1 4 k j 【l i i ”。”。t i m ”e f 嚣c 。篇1 ”。”。”。 图2 1 肌l 乜侪0 x ( t ) 的时域波形 f i g2 1t h eo r i g i n a ls i g n a lj ( t ) 0 0 a 111 q 口口 1 i 0 o o i 5 oo 。 1，o a t ap0 i n ，o o 【t t 2oo i + 十 1 0o l 1 i1 。 t ， 。：笋譬。l 一智一一。味_ 掣赫 s i f t i l 口t s ( b r ) 图2 - 2 ( a ) 提取信弓x ( f ) 的第一个1 m f 时s d 的变化过程 f i g2 - 2 f 8 ) t h ev a r i e t yo fs dd u r i n ge x t r a c t i n gt h ef i r s i m f 图2 - 2 f b ) 提取信呼x ( f ) 的第一二个i m f 时s d 的变化过程 g2 - 2 f i ，) t h ev a r i e t yo fs dd u r i n ge x t r a c t i n gt h es e c o n di m f 1 5 jiiiif i，li“iii，i i l l jj， l ij，7 舭jjj 4 j i j iio j lfi o - o _ n 1 4 f 叭| j 学位论文：e m d 和小波变换n 奇异信o j 分析成耵【械故障诊断中的脚用 提l i ) ( x ( 1 ) 的第1 个i m f 过程中，总共所需“筛选”次数n - 12 2 。在“筛 选”次数1 16 时，s d 的具体数值见表2 1 。 我2 - 1 提取x ( ，) 的第1 个i m f 时s d 住k = 】，2 ，1 6 时的 l 【 t a b l e2 一lt h ev a l u eo fs o a c c o r d i n gt ok = 2 f 6 k ( 1 1 ) 1 2：45 678 s i ) x 1 0 5 ) 农2 - lj = | l ，抛取笫1 个i m f 的第1 次“筛选”时，即k = 1 时， s d = 2 7 6 1 0 ，数值较大，随历曲次的“筛选”过f t ! l ，s d 数1 _ | ! 【特续增 人，”1k = 3 时，s d 达到局部极值t i3 4 7 2 7 1 0 5 ，m 、1k = 4 时，s d ij 突 然降节为1 5 1 1 0 1 ，j j 当k = 6 时，s d 义突然跳变为4 8 6 6 1 0 4 。k = 7 州 s i ) 义l 止小为1 0 5 1 0 。随后s d 义分别z l ik = 9 、k = l2 、k = 1 4 处产生跳变。 r 帅q ，i i i 劁2 - 2 ( a ) 行h i 柚：1sk 4 3 时，s dl 阶值变化比较剧烈，1r i i i 【 谯k = 10 7 处，s d 现较大的局部极位点，“j j e 川l l ls dl d c 仙均较小。 此看出，在经验模式分解过程r hs d 取值= f _ 较大波动。 提取x ( f ) 内第2 个i m f 过程中，总其所需“筛选”次数n = 2 4 9 。川理， 吲2 - 2 ( b ) 州行h j 在e m d “筛选”过程中，数值s d 有较大波动性。 2 2i m f 判断标准的修正 针对i m f 判断标准s d 存在以上问题，可以在经验模式分解过程中， 附加i m f 判断依据s d 。，印在e m d “筛选”过程中当判断依据s d 与 1 6 硕士学位论文：e m d 和小波变换扯奇异信 ，分析及机械故障诊断中的心用 s d 。中任个满足条件时便判断所“筛选”出的信号为i m f 。目的是为 减少数据量较大信号进行经验模式分解处理的时间。判断依据s d 。的选 择分析如下： 根据内在模函数的特征 1 ) 其极点和零点数目相等或最多相差1 个： 2 ) 分别连接其局部极大值和局部极小值所形成的两条包络线的均 值在任一点处为零。 我们可推知如果e m d “筛选”过程中所得结果为i m f 分量，其上、 下包络线的均值应趋于0 ( 理想情况下等于0 ) 。则可以将e m d 筛选过程 中所得信号上、下包络线均值作为该信号是否为i m f 分量的主要判断依 据。当信号上、下包络线均值曲线幅值较小时，便判断所“筛选”出的 信号为i m f 分量。通常情况下，当上、下包络线均值曲线幅值与所处理 原信号幅值相比较小时，便认为所“筛选”出的信号分量为i m f 。则可 按如下公式定义附加i m f 判断依据 7 k o 】 冥中 e 川：型 b：，t 它为厂( ，) 的均值，作用是消除设( ，) 中的直流分量。t 为信号时问长 度，t 。为采样时间间隔。m ik 为第k 1 次筛选时所得数据h l ( k 1 ) 上下包络 线的均值。厂( f ) 的含义如下 设所需处理的原信号为x ( r ) ，提取出的x ( ，) 的i m f 分量为c ，、c ? 、c ，。 由式( 1 5 4 ) 、( 1 5 5 ) 知 r l = x ( t ) 一c l ，r e = 1 一c 3 ，r 3 = t c 3 ，= 一i c 。 ( 22 3 ) 1 7 竺：兰竺鎏兰：筌呈尘丝耋鳖窒! 至皇耋三尘錾垒：! ! 墼些兰丝耋竺至銎，。，。 则有 厶( ，) = x ( f ) ，z ( f ) = r l , o ) = t 。：，( f ) = r o ( 2 2 4 ) 简单来说，式( 2 2 i ) 表明在提取信号x ( ，) 的第一个i m f 时，数值s d a 为“筛选”过程中信号上、下包络曲线均值绝对值之和与工( r ) 均方差的 比值，在提取z ( r ) 的其它第i 个i m f 时，数值s d 。为“筛选”过程中信 号上、下包络曲线均值绝对值之和与x ( f ) 除去前面所提取出的i 1 个1 m f 后的剩余信号r 均方差的比值。 这样，在提取第i 个 m f 的“筛选”过程中，剩余信号r i 1 的均方差 是保持不变的，亦即s d 。的分母是保持不变的。则该“筛选”过程中， s d 。的变化仅取决于信号h i ( k 1 ) 上下包络线的均值m l k ，具有较小的波动 r 范围。同时，在所需处理信号的数据量很大时，也不会增加z i m 。o 】与 ( ，) 一阮( ，) 】的比值过大的概率。可缩短经验模式分解过程所需要的 t = 0 时间。而由i m f 的特点知，当m 。的幅值降低到一定程度后，便可认为 h i ( k _ 】1 为i m f 。体现在s d 。上为：当s d 。小于某一常数a 时，可判断h n k 为i m f 。本文所做实验中，令a = 0 0 0 1 。 则修正的i m f 判断标准为：当o 2 s d 0 3 或s d 。 坝l ：学位论文：e m d 和小波，变换n ：奇异信j 分析及机械故障诊断中的应用 提取x ( ，) 的第2 个i m f 过程中，总共所需“筛选”次数n = 1 3 8 。同样， 由图 2 - 3 ( b ) 可知s d 。具有局部极值点， 明显处如在 k = 3 8 ，k = 4 6 ，k = 1 0 5 ，k = 1 2 0 点，但其整体趋势是数值减少的，且其波动范围 较小。 山上可知，s d 。解决了s d 波动范围大的问题。使用s d 。作为i m f 的判断标准，可有效改善对数据量较大信号做经验模式分解时所需时间 过长的问题。 分别f j 修证| j 的i m f 判断标h es d 和修j f 后的i m f 判断标准s d 。作 为i m f 判断依据对数据量较大信号s i ( t ) ，s 2 ( t ) ，s 3 ( t ) 做经验模式分解处删。 q 】信号s l ( t ) ，s 2 ( t ) ，s 3 ( t ) 的数据点个数均为10 0 0 0 。j 叫一 s i ( ，) = s i n ( 4 0 m ) + s i n ( 1 0 0 而)，【o ，1 0 】 ( 2 2 5 ) s 2 ( t ) ，s 3 ( t ) 为两个状态不同的肌电信号。 并设t 为使用s d 作为i m f 判断标准对信号进行处理所需时m ，t 。 为使用s d 。，作为i m f 判断标准对信号进行处理所需时问。则对以上信 号采用不同i m f 判断标准做经验模式分解处理所需时间见表2 - 2 。 袭2 - 2i m f 判断标准s d 与s d 对信号做经验模式分解所需时闻比较 t a b l e2 - it i m ec o m p a r ea c c o r d i n gt os da n ds d 。 由表2 2 可知对于信号s i ( t ) m u l = f i t 。= 7 6 6( 2 2 6 ) 即对于信号s l ( t ) 使用s d 为i m f 判断依据的e m d 处理时间是使用 竺：兰竺兰三：坚22 ：鲨兰堡竺主茎篁：= = 生兰! ! 竖坚：竺竺主兰：盟 ! s d 。为i m f 判断依据的e m d 处理时问的7 6 6