（光学工程专业论文）hht理论在路面不平度信号中的应用研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 路面不平度激励是车辆振动系统的主要输入，研究路面不平度的统计特性对 车辆振动系统特性的研究具有重要意义。本课题作为国家8 6 3 项目中国典型 道路路面谱重构理论与方法及其仿真验证的主要研究内容之一，利用非平稳信号 处理方法m f r 方法( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ，希尔伯特黄变换1 ，研究影响 实测路面功率谱密度的因素。 研究了路面不平度信号中趋势项的去除方法。利用经验模态分解( e m p i r i c a l m o d ed e c o m p o s i t i o n ，简称e m d ) 将信号分解为一系列固有模态函数，在此基 础上，提出一种基于相关系数矩阵判断准则的经验模态分解去除趋势项的方法， 并利用仿真信号和实测路面不平度信号验证该方法的实用性。 研究了路面不平度信号中噪声的去除方法。鉴于传统的小波阈值去噪方法中 小波基函数和阈值函数等参数的选择具有不确定性，提出了一种基于经验模态分 解小波阈值去噪方法。采用离散傅里叶逆变换方法生成路面不平度纯净信号，添 加随机噪声，分别利用基于经验模态分解小波阈值方法和小波方法进行处理，结 果显示基于固定门限准则( s q t w o l o g ) 的经验模态分解小波硬阈值法去噪效果最为 理想。同时，对路面不平度模拟信号和实测信号，采用不同的基函数来验证其对 小波阈值和经验模态分解小波阈值去噪方法的影响，结果发现基于经验模态分解 小波阈值去噪方法能够弱化小波变换中基函数对阈值去噪的影响。利用该方法对 实测路面数据对进行去噪分析，结果表明该方法的去噪效果良好。 以实测路面数据为例，对比了四种不同功率谱估计方法，结果表明加窗平均 周期图法能够兼顾方差和分辨率的要求。 编制相关程序，提取路面高程数据，采用基于经验模态分解的相关系数矩阵 方法去趋势项，设计出有限脉冲响应滤波器，对数据进行滤波；采用基于经验模 态分解小波硬阈值方法去噪，然后对预处理后的数据进行功率谱估计，从而实现 了对原始数据进行处理的整个过程。 关键词：功率谱密度，h i l t ，趋势项，去噪，经验模态分解 江苏大学硕士学位论文 r o a dr o u g h n e s sw a st h em a i ni n p u to fv e h i c l ev i b r a t i o ns y s t e m t h e r e f o r e ， r e s e a r c h i n go hb a s i cs t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so f r o a dr o u g h n e s sh a dag r e a ti m p a c to n v e h i c l ev i b r a t i o ns y s t e m t h i si s s u ea sac o m p o n e n to fn a t i o n a l8 6 3p r o j e c 卜一t h e m e a s u r e m e mo fc h i n e s et y p i c a lr o a d sp o w e rs p e c t r u md e n s i t ya n dr e s e a r c ho ft h e a p p l i c a t i o ns y s t e m ，c o m b i n i n gw i t hn o n - s t a t i o n a r ys i g n a lp r o c e s s i n gm e t t l o d h i - i tt h e o r y ( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ) ，w o d dr e s e a r c ha n yf a c t o mi n f l u e n c e dp o w e r s p e c t r a ld e n s i t y i tr e s e a r c h e df i e n dr e m o v a lo f r o u g h n e s ss i g n a l t h es i g n a lw a sd e c o m p o s e di n t o as e r i e so fi n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n sa n dr e s i d u ea n dp r o p o s e dam e t h o dt or e m o v e t r e n d sb a s e do nc o r r e l a t i o nm a t r i xb ye m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o 玛a n di d e n t i f i e d p r a c t i c a b i l i t yo ft h em e t h o dt h r o u g ht h ea n a l o ga n dr o u g h n e s so ft h er o a ds i m u l a t i o n a n a l y s i s i tr e s e a r c h e dn o i s er e m o v a lm e t h o do fr o u g l l n e s ss i g n a l d u et ot h ef a c tt h a t b a s i cf u n c t i o na n dt h r e s h o l dp a r a m e t e r so ft r a d i t i o n a lw a v e l e td e - n o i s i n gm e t h o d w e r eu n c e r t a i nt os e l e c t t h i sp a p e rp r o p o s e dam e t h o de m d - b a s e dw a v e l e tt h r e s h o l d d e n o i s i n g a d o p t i n gd i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r mt oo b t a i nr o a dr o u g h n e s ss e r i e sa n d a d d i n gr a n d o mn o i s e ，u s i n ge m d - b a s c dw a v d e tt h r e s h o l dd e - n o i s i n ga n dw a v e l e t d e n o i s i n gm e t h o d st op r o c e s s ，i tw a ss h o w e dt h a tt h e r e s u l tw a sp e r f e c tb y e m d - b a s e dw a v d e th a r d t h r e s h o l d d e - n o i s i n g b a s e do nf i x e dt h r e s h c r i t e r i o n ( s q t w o l o g ) m e a n w h i l e ，a s f o rr o u g h n e s sa n a l o gs i g n a l sa n dm e a s u r e d s i g n a l s ，u s i n gd i f f e r e n tb a s i sf u n c t i o n st ov e r i f yt h ei n f l u e n c et ow a v e l e tt h r e s h o l da n d e m d - b a s e dw a v e l e tt h r e s h o l dd e - n o i s i n g ，i tw a sf o u n dt h a te m d - b a s e dw a v e l e t t h r e s h o l dd e - n o i s i n gm e t h o dc o u l dw e a k e ne f f e c t so fb a s i sf u n c t i o nt ot h r e s h o l d d e n o i s i n g u s i n gt h i sm e t h o dt om e a s u r e dr o a dr o u g h n e s sd a t a , t h er e s u l ts h o w e d t h a tt h em e t h o dw a ss t i l lb e s t t a k i n gm e a s u r e dd a t aa sa l le x a m p l e ，c o m p a r e df o u rd i f f e r e n tm e t h o d so fp o w e r s p e c m a ne s t i m a t i o n ，t h er e s u l t ss h o w e dt h a tw i n d o w e da v e r a g ep e r i o dg r a mm e t h o d 江苏大学硕士学位论文 c o u l dt a k ei n t oa c c o u n tt h ev a r i a n c ea n dr e s o l u t i o nr e q u i r e m e n t s o r g a n i z i n gp r o g r a m ， e x t r a c t i n gr o a ds u r f a c ee l e v a t i o n , u s i n gt h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n tm a t r i xb a s e do n e m dm e t h o dt or e m o v et r e n d s ，d e s i g n i n gf l r t i t ei m p u l s er e s p o n s ef i l t e r , d e n o i s i n gb y e m d - b a s e dw a v e l e th a r d t h r e s h o l dm e t h o d ，a n dt h e np r o c e e d i n gp o w e rs p e c t r u m e s t i m a t i o n ，i tw a st h ew h o l ep r o c e s so fh a n d l i n gr a wr o a dr o u g h i l e s sd a t a k e yw o r d s ：p o w e rs p e c t r a ld e n s i t y , i - i t , t r e n d ，d e n o i s i n g ，e m d 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文。 保密口 本学位论文属于，在年解密后适用本授权书。 不保密围 学位论文作者签名：杨隽嗣指导教师签名： 旧移年细v b e 年6 只踟 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容以外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：柏易肿 日期：孵钿e l l 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究的目的和意义 第一章绪论 随着汽车的普及，汽车用户对汽车舒适性、操纵性、安全性等方面的要求越 来越高；虚拟样车技术是汽车研发过程中的关键技术之一，而虚拟路面是汽车虚 拟设计的重要组成部分。为提升我国汽车技术的核心竞争力，国家提出以完成中 国典型汽车道路谱采集，建立中国典型汽车道路谱数据库，形成中国典型汽车道 路谱统计特征的重构方法和道路路面模型，开发出道路谱再现软件为目标的汽车 基础共性技术项目计划。 汽车是一个复杂的动力系统，由路面不平度激励所引起的振动不仅影响汽车 的行驶平顺性、操纵稳定性以及燃油经济性和汽车的运输效率，也影响到零部件 的疲劳寿命。汽车及零部件道路振动环境试验可分三类：实际使用道路试验、汽 车试验场道路试验和室内道路模拟试验【1 】o 室内道路模拟试验是在对零部件的工 作工况下的载荷进行采集、处理及分析的基础上，得到所谓的“载荷谱。试验 时以载荷谱通过道路模拟试验设备再现的“人工环境来完成对零部件的试验， 其试验结果与零部件在工作工况下的承受工作载荷( 或称载荷谱) 的试验结果等 效。因此，室内道路模拟试验需要输入可用的路面模型来模拟真实路面的状况， 而路面模型的建立要求对实测路面不平度数据进行深入细致的研究。因此，研究 路面不平度及其基本统计规律与车辆振动系统特性具有同等重要的意义。 作为国家8 6 3 项目中国典型道路路面谱重构理论与方法及其仿真验证子 课题研究内容的重要组成部分，本论文重点研究中国典型路段路面不平度数据预 处理方法，为再现三维虚拟路面做准备，同时为构建中国典型道路路面谱数据库 奠定基础。 h h t 理论作为一种新的信号处理方法，以其独特的优势已经应用到许多工程 领域，本文对h h t 理论在公路领域的应用进行更深层次的研究，把h h t 理论的应 用拓展到路面不平度信号的预处理中，从而服务于项目需求，为得到更好的路面 统计特性奠定基础。 江苏大学硕士学位论文 1 2 国内外研究现状 路面不平度序列是随机过程，工程上常用路面功率谱密度函数 2 ( p o w c r s p e c t r a ld e n s i t y ) 表达路面不平度的统计特性。路面不平度序列通常是通过安装在 车辆上的多功能激光路面检测仪等测量设备采集获得，由于采集过程中车辆处于 动态行驶状态，不可避免存在随机性和不稳定因素，如轮压、车重、行驶速度和 发动机振动频率等，另外，对于水泥砼路面、接缝构造的影响也不容忽视。所以 使得测量的路面不平度数据掺杂噪声，为获得清晰、平稳和真实的不平度数据， 需要对采集的样本进行去噪处理。 在随机信号中，存在的线性项或缓慢变化的、周期大于信号采样长度的成分， 被称为趋势项。产生趋势项的原因大致有两类：一类是测量系统或采样系统仪器 仪表的性能漂移、环境温度等条件等变化造成的【3 】，另一类则是原始信号中原本 包含的成分所致。路面不平度信号的趋势项是由测试仪器的漂零和路面本身的纵 向走势引起。由于趋势项在时间序列上表现为一种线性的或缓变的趋势误差，使 得时域中的相关分析或频域中的功率谱密度函数产生畸变，甚至使低频谱完全失 去真实性【4 】。为得到较好的路面不平度功率谱估计，就必须准确消除路面不平度 信号中趋势项。 小波分析方法因其优良的时频局域化特性而在信号去噪领域中得到广泛的应 用，其典型方法是基于正交小波变换的阈值去噪方法。其主要包括软阈值法，硬 阈值法。硬阈值可以很好的保留信号的局部特征，但滤波结果会出现伪吉布斯现 象。软阈值滤波结果相对平滑，但会造成边缘模糊且过度平滑等失真现象。尽管 如此，该方法在路面特性研究也有一定的应用，如：盐守平f 5 】利用离散二进小波 变换对路面不平度进行多层小波时域分析、统计分析和频域分析，得到路面不平 度较为深入的结果：吕建刚【6 1 采用d a u b e c h i e s 小波分别对碎石路面反应谱和沙石 地路面反应谱进行降噪处理。目前的改进方法主要侧重于改进小波阈值函数【7 4 0 】， 所提出的新阈值函数的选取各不相同，因而方法缺乏统一性。 现有提取趋势项的方法有平均斜率法、差分法、低通滤波法及最t b - - 乘拟合 方法【1 1 】等。这些方法通常需要预先假定信号中趋势项的类型，而且有的方法还必 须具备一些先验知识，其应用都受到一定的限制；此外，当趋势项结构比较复杂， 很难判断其具体形式时，建模过程又相当繁琐，因此不具有普遍适用性。针对这 2 江苏大学硕士学位论文 一问题，张海勇【1 2 1 、陈隽【1 3 】、等提出采用一种新的数据处理方法经验模态 分解法来提取信号中的缓变趋势项，但是并没有详细给出趋势项在经验模态分解 结果中的有效组成部分。 针对目前小波新阈值函数缺乏统一性和趋势项提取方法的缺陷，本文将借助 于h h t 方法进行去噪和趋势项方面的研究。 希尔伯特黄变换( h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ) 简称h h t ，是n o r d e ne h u a n g 等人于1 9 9 8 年提出的一种非线性、非平稳信号处理方法【m 1 5 】，它由经验模态分 解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，简称e m d ) 和希尔伯特谱两部分组成，其 中经验模态分解是该方法的核心部分。 i - i h t 分析信号的过程是：首先对信号进行经验模态分解，本质上是对信号 进行平稳化处理，将信号中真实存在的不同尺度波动逐级分解开来，产生一系列 具有不同特征尺度的数据序列，每一个特征尺度序列称为一个固有模态函数 ( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，简称m 伍) 。然后对分解获得的固有模态函数分别进 行希尔伯特变换，得到每一个固有模态函数的瞬时频谱，最后综合所有固有模态 函数的瞬时频谱就得到信号的时间频率一幅度分布，即希尔伯特谱。 h i l b e r t - h u a n g 变换作为一种新的信号处理方法，该方法从根本上摆脱了傅里 叶变换的束缚，被认为是以傅里叶变换为理论基础的信号分析方法的一个突破。 该方法依据信号本身所包含的特征尺度进行分解，得到有限数目的固有模态函数， 按照此方法得到的希尔伯特谱在联合时间频率域中描述原始信号，从根本上 克服以往傅里叶分析方法所存在的弊端，同傅里叶变换相比，h i l t 方法在客观性 和分辨率方面都具有明显的优越性。h h t 方法( 也称局域波分解法【1 6 】) ，其主要 的概念性创新是基于信号局部特征的分解方法的引入，它的引入使得瞬时频率这 一概念具有实际的物理意义。 n o r d e ne h u a n g 等人在首次提出经验模态分解时，对潮汐波动信号、海啸 波信号、海洋表面高度变化等数据进行了大量的实验，证明了它的优越性。n o r d e n e h u a n g 本人除致力于期玎理论研究外，还积极地将h h t 方法引入二维数据 处理中。正是由于经验模态分解的优越性和有效性，h h t 才被人们重视。但是 h h t 提出的时间还不长，h i - i t 本身还存有一些问题，值得更深入地去研究，其 中关键的两个问题是信号包络拟合和边界效应处理。在经验模态分解方法处理信 3 江苏大学硕士学位论文 号时，拟合信号包络是得到固有模态函数的关键步骤，也是进一步进行希尔伯特 谱分析的基础。固有模态函数对边界效应的处理好坏则直接影响经验模态分解处 理信号的结果。目前国内外专家和学者主要围绕着包络拟合和边界效应问题开展 研究工作。n o r d e ne h u a n g 等人提出在信号两端分别添加一组特征波的边界效应 处理方法，并将该边界处理方法申请了美国的专利。 2 0 0 3 年，法国学者g a b r i e lr u l i n g 等人对h h t 进行了改进，在处理边界问 题上采用对边界极值点进行镜像延拓的方式来减小边界处包络拟合的误差传播， 在筛选固有模态函数分量的终止条件上对n o r d e ne h u a n g 等人提出的准则作了 相应的改进，取得了较好的成果。 2 0 0 4 年，g a g r i n 和n o r d e ne h u a n g 等人首次把h h t 理论应用到分析路面 特征上，提出通过h h t 理论可以确定路面的空间频率范围，将h h t 理论的滤波 特性应用于路面数据分析。利用h h t 理论分析两段不同路面，对两段路面特征 做以比较【1 7 1 。 2 0 0 9 年，a y a y e n up r a h 等人分别采用小波变换，傅里叶变换，h h t 方法 分析三段不同路面的加速度信号，并对三者的处理结果做以比较和分析，得出 h h t 理论具有更大的优越性【堋。 在国内，也有不少学者对其进行深入细致的研究。2 0 0 2 年，盖吲1 9 】等人针 对样条包络均值算法、连续均值筛法和自适应时变滤波法在构造均值曲线时都只 利用信号的极值点、而没有考虑极值点之间的信息问题，提出局域中值定理分解 方法，得到较好的局部均值，并采用波形匹配的方法有效地抑制边界效应，提高 数据分解精度和时频分辨率。同年，钟佑明等人针对固有模态函数的描述性定义， 借助振动信号模型建立固有模态函数的数学模型，并用该模型论证固有模态函数 局部对称性的必要性和用极值点拟合信号包络线的合理性【刎。同时在深入研究固 有模态函数的均值点与信号的极值点之间的关系的基础上，他们提出并证明了准 稳定点原理，并基于该原理提出稳定点均值筛法，即两点拉直法和两点短样条法， 提高了经验模态分解的速度，但是得到的分解精度并不很高。2 0 0 5 年，黎洪生 等人提出了通过添加极值点和对称延拓相结合的方法抑制端点效应问题【2 1 1 ，虽然 该方法没有考虑到随着固有模态函数分量不断地提取，残余分量将可能出现极值 点不足的情况，但仍不失为一种较好的边界效应处理思路。上述这些边界效应处 4 江苏大学硕士学位论文 理方法的提出为经验模态分解方法的工程应用奠定了较好的基础。 2 0 0 6 年，中国铁道科学研究院陈宪麦博士针对轨道不平顺数据的特征，采 用希尔伯特黄变换的方法做了比较详细的分析。结合实例，详细阐述h h t 方法 在分析轨道不平顺检测数据中的应用情况，并得出许多有用的结论i 捌。如：采用 h h t 方法能够很好的辨识轨道不平顺中包含的正、余弦型不平顺、指数衰减型 不平顺等波形。固有模态函数能够逼真的重建原信号，表明其具有良好的重构性 能和分解性能，这对实际应用有重大意义。目前的轨道谱分析方法，能够从波长 和幅值两个方面较好的描述轨道不平顺状态，但不能细致的区分不同波长成分的 特征和识别提取不利波长，而利用h h t 方法，可以很好的解决此类问题。 h i l b e r t h u a n g 变换局部性能良好而且是自适应的，对稳态信号和非平稳信号 都能进行分析【韧。该方法自提出以来己用于许多工程领域中，如非线性系统分析、 地球物理学例，风速分析、水波分析、桥梁健康监测、机械故障诊吲2 5 1 、稳态 识别、模态参数识别、图像压缩、图像纹理分割、语音增强及语音检测、生物医 学、非平稳金融时间序列分析、地震信号分析阁、天文气候学、非平稳信号的瞬 时频率估计、白噪声特性研究、白噪声的去除、振动信号趋势提取、以及汽车动 态称重等等。随着国内外学者对h h t 的深入研究，它必将会有更广阔的应用前 景。 1 3 本文研究的主要内容 本文结合h h t 自身的特点，围绕h h t 理论在路面不平度信号分析中的应用 进行研究，主要研究内容如下： ( 1 ) 根据经验模态分解的性质，提出一种基于相关系数矩阵判断准则的经 验模态分解去除路面不平度信号趋势项的方法。利用经验模态分解法将信号分解 为一系列固有模态函数及余项，通过分析余项和趋势项的差别，依据相关系数矩 阵判断某一固有模态分量是否属于趋势项。同时，用仿真信号和实测路面不平度 信号验证了该方法的实用性。结果表明基于相关系数矩阵判断准则的经验模态分 解去除趋势项方法具有更高的精度和可靠性。并且用v c + + 和m a t l a b 混合编 程技术编制了相应的软件。 ( 2 ) 研究了h h t 理论在路面不平度信号去噪方面的应用。采用离散傅罩叶 5 江苏大学硕士学位论文 逆变换的方法生成路面不平度纯净信号，通过添加随机噪声来模拟实测路面序 列，分别利用几种方法进行去噪处理，对比去噪前、后信噪比、均方误差、功率 谱密度，结果表明基于固定门限准则( s q t 咖l o g ) 的经验模态分解小波硬阈值法去 噪效果最为理想。并利用实测路面数据对该方法进行验证分析，结果表明该方法 的去噪效果仍为最佳。 ( 3 ) 对比分析了四种古典功率谱估计方法，并以实测路面数据为例，分别 进行功率谱估计，结果表明加窗平均周期图法能够兼顾方差和分辨率的要求。结 合实测路面不平度信号，借助m a t l a b 软件，编制了相关程序，提取路面高程 数据。采用基于相关系数矩阵的经验模态分解方法去除趋势项，并设计了有限脉 冲响应滤波器对数据进行滤波，采用基于经验模态分解小波硬阈值方法去噪，然 后对预处理后的数据进行功率谱估计，结果表明，用加汉宁窗平均周期图法可以 得到较好的路面不平度功率谱估计。 6 江苏大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章h i l b e r t - h u a n g 变换理论 n o r d e neh u a n g 等提出的称之为h i l b e r t h u a n g 变换的信号处理方法被认为 是近年来对以傅里叶变换【2 7 删为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。该 方法将时域信号经过经验模态分解，得到一组固有模态函数( i n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n , 简称i m f ) ，再进行希尔伯特变换。它依据数据自身的时间尺度特征进 行分解，无须预先设定任何基函数。这一点与建立在先验性的谐波基函数和小波 基函数上的傅里叶分解与小波分解方法具有本质性差别。 2 2h i l b e r t h u a n g 变换相关理论 2 2 1 固有模态函数 该方法将时间信号经过经验模态分解，成为一组固有模态函数，再进行希尔 伯特变换，得到信号的时间一频率幅值谱。h u a n g 等人提出固有模态函数 的概念，要满足以下两个条件： ( 1 ) 在整个信号范围内，其极值点数目和过零点数目必须相等或至多相差 一个； ( 2 ) 信号上任意一点由局部极大值点确定的包络线和由局部极小值点确定 的包络线的均值为零，即上包络线和下包络线相对于时间轴局部对称。 2 2 2 经验模态分解算法 固有模态函数是由经验模态分解得到，h u a n g 把这个固有模态函数的提取过 程命名为筛过程( s i f t i n gp r o c e s s ) 。文献【1 4 】给出筛选过程的详细步骤： 假设待分析的时间序列为x ( t ) ，找出x o ) 所有的极大值点并将其用样条函 数插值成为原数据序列的上包络线o ) ；找出z ( f ) 所有的极小值点并将其用样 条函数插值成为原数据序列的下包络线e m j m ( t ) ；上下包络线的均值为原数据序列 的平均包络线帆0 ) ；将原数据序列z o ) 减去该平均包络线后即可得到一个去掉 低频的新数据序列h x ( t ) ； 7 江苏大学硕士学位论文 扣，= 盟半 亿1 ， l z ( f ) 一m 。( f ) ：噍( f ) 一般来讲，啊 仍然不是一个平稳数据序列，如果啊 满足以上两个条件： 则啊( 力为第1 个i mf ；如果啊 不满足上述条件，则继续对啊 重复上述筛 选过程。为此需要对它重复上述处理过程。重复进行上述处理过程k 次，直到 所得到的平均包络值趋于零为止。这样就得到了第一个分量c 1 0 ) ：即 j t ，卜- ( ) 一所t ，t ( ) = 魂- ( ) ( 2 2 ) 【c 。( f ) = h ( f ) 第一个固有模态函数分量代表原始数据序列中最高频的组成成分。将原始数 据序列x ( f ) 减去第一个分量c 1 0 ) ，可以得到一个去掉高频组成成分的差值数据 序列吒o ) 。对o ) 进行上述平稳化处理过程可以得到第二个固有模态函数分 量c ：p ) ，如此重复下去直到最后一个差值序列o ) 不可再被分解为止，此时 q ) 代表原始数据序列的均值或余项： o ) 一c 2 p ) = 吃o ) r 一，o ) 一c ：o ) = 乞o ) ( 2 3 ) h u a n g 将这样的处理过程形象地比喻成“筛 过程。最后，原始的数据序列 可由这些固有模态函数分量c j ( f ) 以及均值或余项厶q ) 表示： x ( f ) = c ) + o ) ( 2 - 4 ) 其中各个固有模态函数分量c 1 0 ) ，q o ) c n q ) 分别包含信号不同的时间特征 尺度，其尺度依次是由小到大。因此各个分量就相应包含从高到低不同的频率段 成分，每一个频率段所包含的频率成分也都不相同，且随信号本身的变化而变化。 从经验模态分解过程可以看出，通过层层筛分，可以使波形轮廓更加对称， 同时消除模态波形的叠加。经验模态分解方法也可以看成是一个不断滤波的过 程，首先分解出高频分量，然后对低频分量进一步进行分解，直至满足分解停止 条件。经验模态分解的算法流程图如图2 1 所示： 8 江苏大学硕士学位论文 图2 1经验模态分解算法流程图 f 远2 1 t h ef l o w c h a r to fe m d 2 2 3 希尔伯特谱 经验模态分解方法是基于信号的局部特征时间尺度，将信号自适应地分解为 若干个固有模态函数分量和一个残余分量，使得瞬时频率具有实际的物理意义， 从而可以通过希尔伯特变换计算出每一个固有模态函数分量的瞬时幅值与瞬时 频率。在希尔伯特谱分析中，该残余分量通常被略去。对式( 2 - 4 ) 中的每个固 有模态函数分量g o ) ( f = 1 ，2 ，哟分别作希尔伯特变换： = 丢p e 咎佑协叫 ( 2 - 5 ) 霄“t l 9 江苏大学硕士学位论文 其中p 为柯西主值。由c a t ) 和s i ( t ) 可以构成解析信号 z i ( t ) = g ( f ) + j s i ( t ) = a j e 鹏p ( 2 - 6 ) 得到固有模态函数分量c i ( t ) 的幅值函数为： a i ( t ) = 【e 2 0 ) + s 2 0 ) 】互 ( 2 7 ) 和相位函数为： = 一( 器) 协8 ， 由于经验模态分解得到的每个固有模态函数分量c i ( t ) ，可看作为一个单分 量信号，因此可以定义c i ( t ) 的瞬时角频率w i ( t ) 为： m o ) = 了d o i ( t ) ( 2 9 ) 其相应的瞬时频率为： 删= 去警 协 从而c a t ) 可表示为： c o ) = r e a i ( t ) e j 2 ”j 五。弦】 ( 2 一i i ) 时变幅值a ；( f ) 的时频分布定义为分量c a t ) 的希尔伯特谱，记为： h i o ，厂) = a i o ) ( 2 - 1 2 ) 最后再对整个信号x ( f ) 进行整体希尔伯特谱分析。根据式( 2 - 4 ) 和( 2 - 1 1 ) x ( f ) 可表示为： x ( f ) ：r e 窆q ( t ) e j 2 # l 肌) 出】 ( 2 1 3 ) i = l 同样，利用上式可以将幅值与瞬时频率随时间的变化表示在一个三维图上， 即在联合的时频平面上将幅值表示出来，这种幅值的时间一频率分布即定义为原 始信号x ( f ) 的希尔伯特幅值谱，h ( t ，厂) ，简称为希尔伯特谱。根据式( 2 1 2 ) 和( 2 - 1 3 ) ，信号x ( o 的希尔伯特谱可表示成： h ( t ，厂) = 皿( f ，) ( 2 1 4 ) i - l 定义了希尔伯特谱之后，可以利用下式定义希尔伯特边际谱： 1 0 江苏大学硕士学位论文 j i ( 厂) = 【h ( t ，f ) d t ( 2 1 5 ) 边际谱描述的是幅值在频率轴上的分布。在希尔伯特谱h ( t ，厂) 和边际谱 ( 厂) 中，在某一频率厂上的谱值所描述的意义与傅里叶谱分析完全不同：在傅 里叶谱中，在某一频率上存在着能量意味着具有该频率的正弦或余弦波存在于信 号的整个持续时间内；而在希尔伯特边际谱中，在某一频率上存在着能量意味着 具有该频率的波在信号的整个持续时间内某一时刻出现的可能性较高。因此在一 定程度上，希尔伯特边际谱具有一定的概率意义。希尔伯特谱可以看作是一种加 权的联合幅值_ 频率一时问分布，而赋予每个时间一频率单元的权重即为局部幅 值；从而在希尔伯特边际谱中，在某一频率上存在的能量就意味着具有该频率的 振动存在的可能性，而该振动出现的具体时刻在希尔伯特谱中给出。 2 2 4 固有模态函数停止条件及信号分解终止条件 本文所采用的h h t 程序是基于g r i l l i n g 的基本程序进行修改的版本。针对 筛选过程停止的条件，g r i l l i n g 在经验模态分解程序中引入一种双阈值日和皖的 判据。定义函数口( f ) 作为判定是否终止筛选过程的判据： 令： 则： = 瞳警趔 删= 鬻i ( 2 - 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中( f ) 与e r a ( t ) 分别为极大值包络曲线和极小值包络曲线，m ( f ) 为包络均 值。设定门限值1 5 l 嗍和幺，与口值，规定当口o ) 小于q 的比例达到口，i ja ( t ) 小 于岛的比例小于( 1 一口) 的值时，分解迭代终止。固有模态函数分解终止标准 选取的不同，分解出的固有模态函数的个数和振幅也不同，经仿真实验验证，在 1 5 l = 0 0 5 ，岛= 0 5 ，口= 0 9 5 时，筛选出来的效果较好。与h u a n g 的方法相比， 口( f ) 更能反映固有模态函数的均值特性，且两个条件相互补充，使得信号只能在 某些局部出现小的波动，从而保证了整体均值为零。 经验模态分解方法将信号序列分解为有限数目的固有模态函数，但也应该有 确定的信号分解终止的条件准则。信号分解的终止条件一般有如下几种： ( 1 ) 当最后一个残差或剩余分量，= l 变的比预定值小时便停止； 1 1 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 当剩余分量，：i 变成单调函数，而不能从中再筛选出固有模态函数为止； ( 3 ) 测试是否存在足够的极值点个数，通常极值点数小于3 ，则分解终止。 2 2 5 端点效应 由于信号的两端不可能同时为极大值和极小值点，因此上、下包络线会在数 据两端出现发散现象。以左端点为例，若端点为极大值，那么上包络线可把它作 为左端终点，能够约束上包络线不发生大的波动，而下包络线左端没有极小值点 存在，则无法确定包络线的终点，因而下包络线会发生大幅度摆动，给筛选过程 引入误差，并且这种迭代误差在每次求取包络线都存在，刚开始这种误差只会影 响到数据端点，随着迭代过程的不断进行迭代误差会逐渐影响到整个数据序列， 而使结果严重失真。 针对边界问题，h u a n g 等人提出在信号两端分别添加一组特征波的边界效应 处理方法，并将该方法申请为美国的专利。此外还有其他端点延拓方法，譬如： 镜像延拓方法嗍，基于神经网络延拓方法p 1 1 ，基于多项式拟合的延拓方法【3 2 】， 极值延拓法。其中极值延拓法比较有效，且算法简单，计算速度高，得到广泛的 应用。本文也采用此算法，其算法原理及具体延拓的细节如表2 1 所示。 表2 1 端点延拓法原理 t a b 2 1 p r i n c i p l eo fe n d p o i n te x t e n s i o n 江苏大学硕士学位论文 2 3h i l b e r t - h u a n g 变换的主要特点 2 3 1 完备性和正交性 信号分解的完备性是指分解后的各个分量相加就能得到原始信号的性质。根 据式( 2 - 4 ) 可知，信号可以由所有的固有模态函数分量和残差或余项完全重构 出来，并且没有任何损失。并且实践证明，对同样的数据分别用经验模态分解得 到的固有模态函数分量重构原信号和用离散小波变换展开得到的分量重构原信 号，前者的重构误差比后者的重构误差小得多，这证明h h t 方法具有完备性。 信号分解的正交性是指信号分解后得到的各个分量之间相互正交的性质。对 于经验模态分解的正交性，h u a n g 等人认为在理论上各个分量互相间都是局部正 交的，而在实际意义上也是存在的。因为每个固有模态函数分量都是上次分解的 剩余信号与其均值曲线的差，从实际意义上讲，这个固有模态函数分量与均值曲 线是局部正交的。但理论上不能严格证明，因为均值是由包络线计算得到的，而 包络线是通过拟合而来的，因此可能不是真正的均值。而且每个后续的固有模态 函数分量都是前面剩余信号的一部分，因此，经验模态分解中固有模态函数分量 正交性在理论上是不能严格成立，由于上述的近似，泄露是不可避免的。在实际 应用中，可以通过后验的方法对各个固有模态函数分量之间的正交性进行验证。 如果把式( 2 - 4 ) 中的，：l 写成c 州，那么式( 2 - 4 ) 可以写成 n + l x o ) = e c , ( 2 - 1 8 ) 对式( 2 - 1 8 ) 两边进行平方，得到： x 2 0 ) = e c , 2 0 ) + 2 g o ) c ) ( 2 - 1 9 ) i - - 1i = l1 - 1 如果经验模态分解是正交的，那么式( 2 1 9 ) 右边的交叉项应该是等于零的。 因此经验模态分解方法对信号x ( t ) 的正交性指标( i n d e xo fo r t h o g o n a l i t y ，简称 i o ) 定义为： r 厂 + 】月+ 1、 加= i c , ( o c ，( o x 2 ( f ) l ( 2 - 2 0 ) f = 0 i 篁li - - - 1 式中z 为信号的有效长度。经过大量试验证明：一般信号的正交性指标( 泄 露) 不超过1 ，对于一些长度很短的信号，正交性指标( 泄露) 可能达到5 。 江苏大学硕士学位论文 固有模态函数分量的正交性在后验与数值上也得到了检验，不过应当注意的 是，这里的正交性都是局部意义上的正交。事实上，由于数据是有限长的，即使 具有不同频率的纯粹的正弦分量也不是完全正交的。 事实上，对于多分量信号来说，严格的正交性不是必要的，在经验模态分解 方法中，每个固有模态函数分量的频率一般是非平稳的，如果对每个固有模态函 数做傅里叶变换，它们将有共同的谐波分量，因而不可能也没有必要保证严格的 正交性。 2 3 2 自适应性 用h h t 方法来分析信号，没有事先设定或附加限制，经验模态分解总是根 据信号本身特点，直接从信号本身出发对信号进行分解，自适应地将信号分解成 有限数目的固有模态函数分量。h h t 方法基函数的选择取决于数据本身，在傅 里叶展开、小波分解或其它的时频分析方法中，都采用具有确切表达式的基函数。 傅里叶分解的基函数是在时域中的连续等幅值的不同频率的正余弦函数；小波和 小波包分解的基函数是不同的小波函数，如h a a r , d a u b e c h i e s 小波函数等，并且 采用不同的小波基，分解结果会有很大的差异。h i - i t 方法与小波变换相比，没 有小波基函数的选择问题，无需考虑根据所分析信号的特点来选择小波基，或者 考虑用哪种小波基来分析信号效果会更好一些；而h h t 方法的基函数是不确定 的，在分解过程中依赖于信号本身，也就是自适应的，对于不同的信号基函数是 不同的。 2 3 3 滤波特性 通过经验模态分解，可以将信号将分解得到一系列包含从高到低不同频率成 分、具有不等带宽固有模态函数分量c 1 ，c 2 ，一q ，这些频率成分和带宽是随信号 的变化而变化的。因此可以将经验模态分解方法看作是一组自适应的滤波器，它 的截止频率和带宽都随信号的变化而变化。 此外基于固有模态函数的定义，可以通过计算函数局部极大值的方法得到函 数的平均周期( 平均周期= 数据长度局部极大值数) 。对一组均匀分布的白噪声， 分别进行经验模态分解。通过获得每一个分量的局部极值点数，计算相应的平均 周期。经过反复的试验发现：任何一个固有模态函数的极值点个数几乎是前一个 江苏大学硕士学位论文 分量的一半，平均周期是前一个的两倍，这一特征并不随数据长度的改变而改变。 通过对大量均匀分布白噪声的统计研究，仍然会得出相同结果。这表明经验模态 分解是一个滤波过程，是一个二阶滤波器。 2 4 仿真分析 针对经验模态分解过程和希尔伯特谱的实际应用，这里以仿真信号为例加以 说明。调频调幅信号是实际应用比较常见的一种信号，下面就用该类信号加以说 明，其表达式为： x = 4 s i n 0 0 a t ) + c o s ( 5 0 n t + 0 5s i n ( 3 0 z r t ) ) + 2c o s ( 2 4 0 n t ) ( 2 2 1 ) 该信号由一个基频为2 5 i - i z ，调频频率为1 5 h z 的调频波和频率分别为5 i - l z 的正弦波和频率为1 2 0 h z 的余弦波组成，采样时间为1 s ，采样频率为5 0 0 i - l z 。 下面对信号进行经验模态分解，在此只演示对原信号进行一次的迭代过程， 首先对原信号进行端点镜像延拓，提取极值点，采用三次样条曲线进行包络拟合， 得到上下包络线，求取平均包络线，如图2 2 所示；然后用原信号值减去平均包 络，完成一次迭代，给出剩余信号，如图2 3 所示。经过多次迭代，用停止条件 进行验证，最后得到经验模态分解的最终结果，如图2 4 所示。它首先把频率最 大的分量分离开来，i m f l 对应信号