第三章 多维随机变量及概率分布.doc

第三章 多维随机变量及概率分布3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（Xx,Yy）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。记作（X，Y）F（x,y）。（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。因为X+，Y+即-X+，-Y+，分别表示必然事件，所以有XFx（x）=P（Xx）=P（Xx，Y+）=F（x,+）YFY（y）=P（Yy）=P（x+，Yy）=F（+，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（xi，yj），（i，j=1，2，），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（xi，yj）（i，j=1，2，），（X，Y）在各个可能取值的概率为：PX=xi,Y=yj=Pij（i，j=1，2，），称PX=xi,Y=yj=Pij（i，j=1，2，）为（X，Y）的分布律。（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）pij0（i，j=1，2，）；（2）反之，若数集Pij（i，j=1，2，）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。例3-1设（X，Y）的分布律为求a的值。解由分布律性质知，则6a2+a-1=0，（3a-1）（2a+1）=0，解得或（负值舍去），所以。由（X，Y）的分布律可求得它的分布函数F（x,y），实际上例3-2设（X，Y）的分布律为求：（1）PX=0；（2）PY2；（3）PX1，Y2；（4）PX+Y=2。解：（1）X=0=X=0,Y=1X=0,Y=2X=0,Y=3，且事件X=0,Y=1，X=0,Y=2，X=0,Y=3两两互不相容，所以PX=0=PX=0,Y=1+PX=0,Y=2+PX=0,Y=3=0.1+0.1+0.3=0.5.（2）Y2Y=1Y=2=X=0，Y=1X=1，Y=1X=0，Y=2X=1，Y=2，且事件X=0，Y=1，X=1，Y=1，X=0，Y=2，X=1，Y=2两两互不相容，所以PY2=PX=0，Y=1+PX=1，Y=1+PX=0，Y=2+PX=1，Y=2=0.1+0.25+0.1+0=0.45.（3）X1，Y2=X=0，Y=1X=0，Y=2，且事件X=0，Y=1，X=0，Y=2互不相容，所以PX0，y0时，当x0或y0时，f（x,y）=0 F（x,y）=0，从而例3-7设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y）=a（b+arctanx）（c+arctan2y），-x+，-y+.求：（1）常数a,b,c；（2）（X，Y）的概率密度。解：（X+,Y+）是必然事件F（+,+）=P（X+,Y+）=1X-与Y-都是不可能事件。所以F（-，y）=P（X-,Yy）=0,F（x,-）=P（Xx，Y-）=0F（-,-）=P（X-,Y0，如果二维随机变量（X，Y）的概率密度为则称（X，Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X，Y）在D上服从均匀分布），记作（X，Y）UD。看其两个特殊情形：（1）D为矩形区域axb.cyd.此时S=（b-a）（d-c）（2）D为圆形区域，如（X，Y）在以原点为圆心、R为半径的圆域上服从均匀分布，则（X，Y）的概率密度为例3-8设（X，Y）服从下面区域D上（如图3-3所示）的均匀分布，其中D:xy，0x1，y0.求PX+Y1。图3-3解（1）如图3-3，D的面积S=，所以（X，Y）的概率密度为（2）事件X+Y1意味着随机点（X，Y）落在区域D1:x+y1，0yx上，则定义3-7若二维随机变量（X，Y）概率密度为（3.1.6）（-x+，-y0, 20,|1，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（1，2，）.二维正态分布N（1,2,）的图形是图3-4的曲面。图3-4下面讨论连续型随机变量（X，Y）的边缘分布。定义3.8对连续型随机变量（X，Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X，Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为fx（x）（或fY（y）求出：公式证明因为X的概率密度为同理可得例3-9设（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D:x2y，0x1，y0，求（X，Y）的边缘概率密度fX（x），fY（y）。解（X,Y）的概率密度为区域D的面积则（一）求fX（x）（1）x0时，f（x,y）=0,（2）0x1时，（3）1x时，f（x,y）=0,（二）求fY（y）（1）y1时，f（x,y）=0, fY（y）=0（3）0y1时，例3-10设（X，Y）服从D上的均匀分布，其中D为x轴，y轴与y=2x+1围成的三角形区域，求（X，Y）的边缘概率密度。解：D的面积，（X，Y）的概率密度为（1）（X，Y）关于X的边缘概率密度为当时，f（x,y）=0fX（x）=0；当时，当x0时，f（x,y）=0fX（x）=0即同时（X，Y）关于Y的边缘概率密度为例3-11设（X，Y）的概率密度为求解3.2随机变量的独立性3.2.1两个随机变量的独立性同事件的独立性一样，随机变量的独立性也是概率统计中的一个重要概念。我们从两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。事件Xx与Yy的积事件是Xx，Yy，Xx与Yy相互独立意味着Xx，Yy的概率等于Xx与Yy的概率的乘积，由此引入随机变量X，Y相互独立的定义。定义3-9设F（x,y）,FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（X，Y）的分布函数和两个边缘分布函数。若对任意实数x,y，有F（x,y）=FX（x）FY（y），（3.2.1）则称X与Y相互独立。（3.2.1）式等价于对任意实数x,y，有PXx，Yy=PXxPYy。由此可知，随机变量X与Y相互独立，即对任意实数x,y，事件Xx与Yy相互独立。例3-12续3.1节例3-6证明X与Y相互独立。证明：关于X的边缘分布函数为关于Y的边缘分布函数为因此对任意x,y有F（x,y）=FX（x）FY（y）成立，故X与Y相互独立。3.2.2二维离散型随机变量的独立性设（X，Y）为离散型随机变量，其分布律为pij=PX=xi,Y=yj,i,j=1，2，边缘分布律为证明略。注意：X与Y相互独立要求对所有i,j的值（3.2.2）式都成立。只要有一对（i,j）值使得（3.2.2）式不成立，则X，Y不独立。例3-13判断3.1节例3-5中X与Y是否相互独立。解（1）有放回摸球情况：因为所以X与Y相互独立。（2）不放回摸球情况：因为PX=0，Y=0X=0PY=0，所以X与Y不相互独立。例3-14设（X，Y）的分布律为且X与Y相互独立，求常数a,b之值。解：PX=1，Y=1=PX=1PY=1，PX=3，Y=1=PX=3PY=1，而故解得3.2.3二维连续型随机变量的独立性设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为f（x,y）,fX（x）,fY（y）分别为（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度，则X与Y相互独立的充要条件是：f（x,y）= fX（x）fY（y）（3.2.3）例3-15证明若（X，Y）的概率密度为则X与Y独立。证（1）（2）f（x,y）=fX（x）fY（y）X，Y独立。例3-16设X与Y为相互独立的随机变量，X在-1，1上服从均匀分布，Y服从参数=2的指数分布，求：（X，Y）的概率密度。解由已知条件得X，Y的概率密度分别为因为X与Y相互独立，所以（X，Y）的概率密度为例3-17设（X，Y）的概率密度为求：关于X及关于Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立。解（1）关于X的边缘概率密度当0x1时，当x1时，f（x,y）=0fX（x）=0,所以同理当0x1，0y1时，f（x,y）fX（x）fY（y）.所以X与Y不独立。例3-18若（X，Y）的概率密度问X与Y是否独立。解：（一）先求X的边缘密度（1）x1时，f（x,y）=0（2）0x1时，（二）求Y的边缘密度（1）y2时，f（x,y）=0（2）0y2时X与Y独立。例3-19已知讨论X与Y的独立性。解：（一）先求X的边缘密度（1）x0时，f（x,y）=0，（2）x0时，（二）求Y的边缘密度（1）y0时，f（x,y）=0，fY（y）=0（2）y0时，X与Y独立。例3-20若讨论X与Y是否独立。解（一）先求X的概率密度fX（x）（1）x1时，f（x,y）=0，fX（x）=0.（2）0x1时（二）求Y的概率密度fY（y）（1）y1时，f（x,y）=0，fY（y）=0（2）0y1时，X与Y不独立。3.3两个随机变量之和函数的概率分布3.3.1离散型随机变量的函数的分布对两个离散型随机变量的函数的分布，我们仅就一些具体问题进行分析，从中可找到解决这类问题的基本方法。【例322】设（X，Y）的分布律为求Z=X+Y的分布律解Z的可能取值为0，1，2，3，因为事件Z=0=X=0，Y=0，所以事件事件X=0，Y=1与X=1，Y=0互不相容，所以事件事件X=0，Y=2与X=1，Y=1互不相容，所以事件Z=3=X=1，Y=2，所以从而得出Z的分布律为3.3.2两个连续型随机变量之和的概率分布例3-23 设X与Y独立，且求（1）（X，Y）的概率密度。f（X,Y）。 （2）P（X+Y1）解：（1）X，Y独立 （2）P（X+Y1）两个独立连续型随机变量X，Y的和函数Z=X+Y的概率密度的计算公式为：若X，Y独立，XfX（X），YfY（Y）则有 （不证）上面公式叫独立随机变量和的卷积公式例3-24设X，Y独立，且XN（0，1），YN（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解：已知所以令 ZN（0，2）相似地，可以证明下面的结果：定理：若X，Y独立，（不证）例如在上例中，XN（0，1），YN（0，1），X，Y独立，则 X+YN（0,2）X-YN（0,2）2X+3YN（0,13）又例如 XN（3,4）, YN（1,1）,X,Y独立则 2X-YN（23-1,44+（-1）21）=N（5,17）本章内容小结（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）F（X,Y）=P（XX,YY） =P（-XX, -YY）（2）F（X,Y）的性质（）F（+，+）=1（）F（-，Y）=0，F（X，-）=0 F（-，-）=0（3）XFX（X）=F（X,+ ） YFY（Y）=F（+,Y）（二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律性质（2）X的边缘分布证明P1=P11+P12+P1N， P2=P21+P22+P2N， pm=pm1+pm2+pmn（3）Y的分布律证P1=P11+P21+pm1， P2=P21+P22+pm2， PN= P1N+P2N+pmn（4）X，Y独立的充要条件是：X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）