第六讲 输电线路.doc

第一节 单导线-地系统暂态过程6-1-1长输电线的稳态数学模型输电线本质上是分布参数网络元件。但当输电线较短时，把输电线的阻抗和导纳分别简单集中，当做集中参数元件处理，用型或T型等值电路来表示，通常是许可的。如果有一输电线，长度为，其单位长度线路电阻、电感、电导和电容分别是。所谓简单集中就是用图6-1中的型或T型等值电路来模拟输电线，其中的阻抗为，导纳为。对于这里的阻抗Z和导纳Y就可以应用电阻-电感串联支路和并联电容支路的数学模型。图6-1 输电线型、T型等值电路(a)型等值电路(b)T型等值电路当输电线较长时，为使计算和仿真结果精确起见，就需要计及输电线的分布参数特性，采用所谓长线模型。如图用4-1(a)中的型等值电路来表示，其参数为(6-1)如图用4-1(b)中的型等值电路来表示，其参数为 (6-2)式中、分别为输电线路的波阻抗和传播常数。6-1-2单导线-地系统的数学模型图6-2 单导线地系统及其等值微分单元(a)单导线地系统 (b)等值微分单元图6-2为一单导线线路。图中、为单位长度线路的电阻、电感，、为单位长度线路的对地电导，电容。x是从线路的一端k到微分单元dx的距离，x的正方向与电流i的正方向相同，u，i是x和时间t的函数。由基尔霍夫第一，第二定律可得到下列偏微分方程(6-3)对上二式分别对x取偏导数后，有(6-4)实际线路的参数、与变量u，i和频率有关。、与频率有关，主要是由导线的集肤效应引起的；、与电压有关，主要是由电晕效应引起的。这里讨论参数为定值的情况。对于无损线路，有(6-5)通解的一般形式可写为(6-6)，的具体形式由边界条件确定。代表沿x正方向传播的前行波，代表沿x负方向传播的反行波。6-1-3无损线路的贝瑞隆等值电路式(6-6)经整理后，有如下形式(6-7)若保证为常数，则(6-8)其含义为：如果以观察者沿的正方向以速度运动，则由于他观察到的任一时刻的均为常数，故或亦为常数。假定该观察者在时刻从k端出发，经时间(为线路的长度)后于时刻达到m端，则他在时刻和t时刻所观察到的是相同的。即(6-9)同样，若保证为常数，则(6-10)其含义为：如果一观察者沿x的负方向在时刻从m端出发，于t时刻到达k端，则他从起点到终点所观察到的也是保持不变的，故有(6-11)式(6-9)、(6-10)经整理后得(6-12)其中、是过去的记录，其公式为 由式(6-12)可画出单导线输电线路的贝瑞隆等值电路，如图6-3所示图6-3 无损线路的等值电路(a)原型 (b)等值电路6-1-4有损线路的贝瑞隆等值电路实际上，输电线路是有损的，即、不等于零。一般地说很小，忽略后所引起的误差不大，而则不一定能忽略。图6-4是计及线路电阻的一种简单处理方法，即将线路的总电阻分散在三处：线路两端各，线路中间。这种处理线路损耗的方法称为小损耗模型。研究工作表明，这种处理方法在实用上已具有较高的精度，如果将R作更多的分散，所得结果与用图6-4模型所得结果相差不大。图6-4 有损线路的等值电路(a)原型 (b)等值电路图中，分别为长度为的无损线路，其等值电路由前面所述的方法得到，图6-5所示的等值电路表示。为方便实用，还可将图6-5简化为图6-6所示的形式。图6-5 小损耗模型的等值电路图6-6 简化后的有损线路的等值电路图中等值注入电流源和等值电阻由下式给出。(6-13)6-1-5空载线路合闸于交流电源的暂态过程作为应用贝瑞隆等值电路分析输电线路电磁暂态过程的实例，这里讨论图6-7所示电路跳闸时暂态过程的计算。等值电路如图6-8。图6-7 空载线路合闸于交流电源图6-8 算例系统等值电路其中假定图6-7中的空载线路在t=0时合闸，则由基尔霍夫定律，可得下列节点方程(6-14)因此，首先算、；用式(6-14)求出、，求出电流、,再计算、。在计算过程中，、与、有关。因此，必须保存，.，各时刻的变量值。从这里可以看出，的大小受线路时间常数的限制，即。若线路很短，很小，则也应该取得很小。如果不是的整倍数，则时刻的变量可以用插值法求出。设，则(6-15)对于电压变量也有同样的插值公式。第二节 三相输电线路的暂态过程6-2-1三相输电线路的数学模型图6-9 三相输电线路的微分单元三相输电线路的微分方程(6-16)整理后有(6-17)其中 ，上述微分方程与单导线输电线路的微分方程形式相同，所不同的是，三相输电线路的方程以矩阵形式表示。对于无损线路，式(6-172)可以改写为(6-16)6-2-2相模变换三相输电线路a,b,c三相之间是彼此耦合的，式(6-16)难以直接求解，需要进行相模变换。所谓相模变换就是利用矩阵理论对上述微分方程组进行相似变换，使变换后的方程组彼此解耦，从而简化三相输电线路的求解过程。令 (6-17)其中、分别为电压、电流的变换矩阵，、分别为电压、电流变换后的量称为模量，而变换前的、称为相量。将式(6-17)代入式(6-16)中，整理后得(6-18)为使方程组解耦，需寻求变换矩阵、使和为对角矩阵。由矩阵理论可知，这种变换是存在的，且不是唯一的。若将、的各列向量分别取为矩阵LC和CL的特征向量，则、将为对角矩阵。对于三相对称系统而言，系数矩阵L、C均为对角元相等的对称矩阵，且非对角元也均相等，其形式如下 ， 这一特点给相模变换带来很大方便。由以上两式可知，LC=CL，故可以选择矩阵。矩阵T有多种形式，最为常用的一种形式为， 利用上述矩阵变换后，所得到的模量有特定含义，以电流为例，其模量为 (6-19)其中，表示以大地为回路的分量，称为地中模量，而、表示以线间为回路的分量，与大地无关，称为空间模量。图6-10是三个模量的示意图。(a)地中模量 (b)空间模量 (c)空间模量图6-10 空间模量与地中模量将T、L、C代入式(6-18)，整理后有如下形式 (6-20) (6-21)以上二式中：L+2M为单位长度线路的零序电感，记为；C+2K为单位长度线路的零序电容，记为；L-M为单位长度线路的正序电感，记为；C-K为单位长度线路的正序电容，记为。应注意，实际线路中M0，K0,即线路的零序电感L+2M总大于正序电感L-M，而线路的零序电容C+2K总小于正序电容C-K式(6-181)、(6-182)为一组彼此解耦的微分方程，可以改写为 (6-22) (6-23)6-2-3三相输电线路的等值电路前面已将互相关联的三相输电线路的微分方程变换成彼此解耦的三个模量方程。三个模量的波速、波阻抗和传播时间常数分别为 (6-24)每一模量的微分方程均与单导线的微分方程有相同的形式。根据单导线线路的贝瑞隆等值电路和计算公式，可以写出各模量的首、末端电压、电流的表达式如下 (6-25) (6-26)或简记为 (6-27)由于三个模量的时间乘数不完全相等，故上式中的并无实际意义。利用相模变换，又可将式(6-190)、(6-191)变换成相量形式 (6-28)其中式中仍无实际意义。由矩阵T、的性质可知，是一个的对称阵，即由于，可画出三相输电线路的瞬态等值电路，如图6-11所示。其中，