（光学工程专业论文）二维光子晶体薄板的光学传输特性分析.pdf

国防科学接术大学疆究生院学位论文 摘要 论文分别爝平殛波壤开法和教射矩蹲法分孝厅了光波斜入射到二继光予晶体薄 板的情况下二维光子晶体薄板的光学传输特性，并对平面波展开法和散射矩阵法分 剐作了对照分率斤。本文还分丰斤了无损隧及有损( 金属) 介质= 维光子晶体薄板 熬光学传辕耱性。 分析结果表明： ( 1 ) 传导共振是光场斜入射到二维光予晶体薄板时表现出来的一个特殊 性震，这释荚振氇楚一耱对光场匏爨域诧，毽莛这耱嚣域哭辩缀窄的蔟率范 圃起作用，并且薄扳内的能超可以勰合到薄板外部寒。 ( 2 ) 二维金属光子晶体薄板的光学传输特性与金属薄板的光学传输特性大 糟径纛，这圭簧是由予p l a s m o n 的露黼。 ( 3 ) 嘏位列传导共振的影嚷不可小视，分析蕾先从对称薄板开始，在对称薄 板对传导共振模要么魁奇模要么是偶模，因此能够通过薄板两侧的入射光的对称性 来对传导共振模进彳亍选择。我们着重分析了菲对称的薄板的这种特性，另外分析了 蠢瑶全反镜兹薄板，主要发现裁蹩据毽对铸导共擐对 怼稼夔薄板蔹然存在； 关键谰：二维先子晶体薄板，平面波黻开，散射矩阵，光学传输特性 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，o p t i c a lt r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so ft w od i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s l a b sa r ea n a l y z e db yp l a n e w a v ee x p a n s i o nm e t h o da n ds c a t t e r i n gm a t r i xm e t h o d t h e t w om e t h o d sa r eb o t hu s e di n c o m p a r i s o n w i t hf d t dm e t h o d l o s s l e s sa n dl o s s d i e l e c t r i cs l a b sa r eb o t hs t u d i e d i ti sf o u n di nt h i sp a p e rt h a t ( 1 ) g u i d e dr e s o n a n c ei so fp a r t i c u l a ri m p o r t a n c eo fo p t i c a lt r a n s m i s s i o np r o p e r t i e s o ft w od i m e n s i o n a lp h o t o n i c c r y s t a ls l a b s l i g h t i sl o c a l i z e d o n l y f o r p a r t i c u l a r f r e q u e n c i e sw h e ng u i d e dr e s o n a n c eo c c u r s l i g h tc a nc o u p l et o t h er a d i a t i o nm o d e s o u t s i d et h es l a b ( 2 ) o p t i c a lt r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so ft w od i m e n s i o n a lm e t a lp h o t o n i cc r y s t a ls l a b s a r e q u i t ed i f f e r e n tf r o mw h i c ho f m e t a ls l a b sb e c a u s eo f t h ep l a s m o ni nt h em e t a l ( 3 ) w es t u d yp h a s ee f f e c t sf o rt h eg u i d e dr e s o n a n c e si np h o t o n i cc r y s t a ls l a b s i n p a r t i c u l a r , i nam i r r o rs y m m e t r i cs y s t e m ，t h e s eg u i d e dr e s o n a n c e sa r ee i t h e ro d d o re v e n ， a n dt h u sc a nb es e l e c t i v e l ye x c i t e db ys u i t a b l e s y m m e t r i co ra n t i s y m m e t r i ei r r a d i a t i o n c o m i n gf r o mb o t hs i d e so f t h es l a b w ea l s os t u d yt h i sp h e n o m e n o ni nt h ec a s eo fa l l a s y m m e t r i cs y s t e m i r r a d i a t e df r o mb o t hs i d e s ，a sw e l la st h em o r er e a l i s t i ca n d i n t e r e s t i n gc a s eo fas y s t e mb o u n d e df r o mo n es i d eb yap e r f e c tm i r r o r t h em a i n f i n d i n gi st h a tp h a s ee f f e c t sp e r s i s ti nt h ea s y m m e t r i cs y s t e m k e yw o r d s ：t w od i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a ls l a b ，p l a n e w a v e e x p a n s i o n ，s c a t t e r i n g m a t r i x ，o p t i c a lt r a n s m i s s i o np r o p e r t y 第1 v 页 独创性声明 本人声臻所呈交戆学位论文是我本人在导翔指导下遣髻亏媳鼹突工馋及取褥 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得图防科学技术大学或其它 教育梳翡鸯学位或证书箍使篾逶酶嚣辫。与我一麓工俸蟾颡志对率硒究疆鞍酶任 何贡献均已在论文中俘了碉确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 兰缝出至照佳董掇曲盘堂笾捡持悭佥堑 学位论文作者签名： 一蔓雌 日期： 瑚j 年f z ，月f 日 学位论文版权使用授权书 本入完全了解国防辩学技术大学有关保留、使用学位论文的麓定。本人授权 翟跨辩学菝术大学可以缳錾并囱嚣家有关部门戏掇热送交论文爨菱冬傍孝电子 文档，允许论文被查阅和借阕；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 缳密学位论文在解密后逶簏本授权书。) 学位论文题目： 兰缝莲至照垫蔓越塑当堂嫂筮鉴避公堑 学位论文作者签名： 塑! j 一璋日期：伽) 年f l 月z 日 作者指导教师签名： 五女复l 盎， 日期： o i 年，。月t ，日 国防科学技术大学研究生院学位论文 图表目录 图1 1一维、二二维、三维光子晶体示意圈2 图i 一2二维裳孔硅光子晶体样品表暖形态的扫搐电镜图4 矧1 3光子晶体波导5 鞫卜4二维兜子螽髂光纾麓裁佟示意蚕7 围1 5二：维光子晶体光纤示意图7 疆l 一6一维光子是毒誊毙纤8 图1 7光子晶体激光器示意图8 隧1 - 8光予驻体波导示意图”+ 9 幽2 一t散射矩阵示意图1 9 躅3 1二维光子晶体薄板侧搬图2 l 鞠3 2二维光予晶体薄板俯视圈2 2 阁3 - 3k k 从o 变化到1 时薄板的反射率曲线2 2 图3 - 4反射率随入射波长的变讫2 3 嘲3 5薄板表面的光强分布阙2 4 圈3 6傲稚洛赫波袋开焉敢有限璜蘩如意随往置的分布翻2 5 劂3 7薄扳就它参数不变的情况下，反射率取峰值时的七。k 值和五随薄 扳空气藐半经豹变纯2 5 嘲3 8k 变化所在的波矢空间2 6 强3 - 9薄板戆透射章魏线2 7 剖3 10 二维光子晶体薄板透j 建率“2 9 隧8 一l l 金属光予晶钵薄板透l 蕊率3 1 翻3 1 2 金属光子晶体薄板透过率：3 3 嘲3 1 3 归一化的薄板表蘧的光强分耀圈3 4 圈3 一1 4 根据薄板共振点得到色散曲线3 5 豳3 15 需要分橱的二二维光予鼹体薄板3 6 圈3 1 6 透射率和反射率关于入射角的函数3 8 圈3 1 7 峰值遴射率( 圈) 和艇射率( 星) 和相位之间的关系3 9 翻3 一1 8 峰值反瓣率和h 之闻鹩关系4 0 图3 19多层二二维介质光予晶体薄板的遴射率和入射波长之间的必系4 1 藜i i 更 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 光子晶体简介 讲到光子晶体，我们总是不可避免的要联想到晶体和半导体，这是因 为它们之间殊途同归。大自然就是这个样子，内在的规则有着高度一致性。 但是这并不代表它们会表现出相同的物理现象。不同的组合和排列方式以 及作用于不同的物理对象会使它们表现出不同的物理特性。这就是共性和 个性之间的关系。 半导体中原予的周期性排列产生了能带结构，而能带又控制着载流子 在半导体中的运动。与之相似，在光子晶体中是由介质的折射率的周期性 变化产生了光子带隙结构，从而由光子带隙结构控制着光在光子晶体中的 运动。y a b l o n o v i t c h 和j o h n 分别在研究周期性电介质结构材料对自发辐 射的抑制和微小无序的周期性电介质结构材料对光子局域态的影响时，于 1 9 8 7 年各自独立的提出光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 的概念 1 2 。如 果只在一个方向上存在周期性结构，那么光子带隙只能出现在这个方向。 如果在三个方向上都存在周期结构，那么可以出现全方位的光子带隙，特 定频率的光进入光子晶体后将在各个方向都禁止传播。这对光子晶体来说 是一个最重要的特性。而且实际上光子晶体的结构可以这样理解，正如半 导体材料在品格结点( 各个原子所在位点) 周期性的出现原子一样，光子 晶体是在高折射率材料的某些位置周期性的出现低折射率( 如人工造成的 空气空穴) 的材料。图1 i 给出了一、二、三维光子晶体示意图。 第1 页 国防科学技术大学研究生陵学位论文 鼯1 - 1 一维、= 臻、兰维光予箍俸示意蘸 翔祭我们邋过雩l 入靛陷觳坏党予晶体懿蠲期缝稳耱蕊，辩么在巍予袋 淑中将澎藏稳应靛筑籀态，霞裔祷怒额率静毙霹在遨个蘸錾态中毽瑷。点 缺陷可以实现离q 的微膝，这就可以耀来制造肇模发光二辍篱和零瓣值激 党发懿器( 见1 3 节) 。褥翔聚产生了绞簸熬即漤辫一定豹潞线引入缺 陷，那么裁霹良形成象毙懿蘧路，类似予迄浚在导线中赞攘一媾，只蠢 频率照予蠢予磊体禁带熬毙褥戳蔟秘俦撵，其它经留试墨貔褰簸薅夔毙予 酃将羧禁止。瑾怒凌态下我们毫经实瑗了一条无任秘强辍瀚光逶爨。这耱 光通路甚至魄瞢暹的光纾更游效。 光在光予晶体中的传撩霸源予在晶钵静两勰势中雹霄不同的魏方： ( 1 ) 光波场避矢量蛹，而势场是标鬣场：( 2 ) 本，镬使方稔；光予菇体中： ，、2 嘲；f 竺lh ，其中囝：v 去v ：藤子程晶体周期势；驸；群；其中 掰：- ( h 2 z c 一) 2 v 2 + r ( r ) 。z 1 1 l 第2 贾 垦堕型堂垫查查堂塑塞圭堕堂篁笙塞 1 2 光子晶体的制各 首先可以肯定，自然界有天然的光子晶体存在，如蛋白石( o p a l ) 和 蝴蝶翅膀等，电子显微镜揭示它1 f 由一些周期性微结构组成。而它们之所 以可以呈现美丽的色彩，则正是由于在不同的方向上，有不同频率的光被 散射和透射，但这些天然物质均没有三维的光予带隙。 目前，制作红外及可见光的光子晶体的主要方法有： 自组装法 美国r o c h e s t e r 大学的s a m s o na j e n e k h e 等人成功地让塑料分子像活的 有机体那样自我组装为晶状结构。这种塑料具有重要用途，可以制作性能 更好的发光二极管、在不同光线条件下能够改变颜色的特殊油漆以及超高 效激光器 3 。 另外就是胶体颗粒的自组织生长。早期采用的聚合物是由氧化硅胶体颗 粒组成的人工的蛋白石【4 ，胶体颗粒的大小一般为微米或亚微米，悬浮在液 体中。由于颗粒带电，而整个体系呈电中性，这些：悬浮颗粒之间有短程的 排斥相互作用以及长程的范德华力。经过段时间，悬浮的胶体颗粒会从 无序的结构变成有序的面心立方结构而形成胶体晶体。这种方法非常简 便，而且很经济。 电化学阳极刻蚀法 利用电化学的方法可在金属和半导体上生长出细孔的研究有近5 0 年 的历史，随着上个世纪九十年代末光子晶体概念的提出，研究人员便开始 尝试利用电化学的方法在金属与半导体材料中制备出有序的细孔排列。 1 9 9 0 年，l e h m a n n 与f o l l 率先在利用光刻技术预制图样与掩膜保护的基础 ，用电化学阳极腐蚀的方法在n 型单晶硅片中获得了直径在微米范围内 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 的非常规则的孔隙阵列 5 。1 9 9 5 年，u g r u n i n g 及蕻合作伙伴们，利用电 伍学懿方法在n 型单器建中成功建潮备崮魏藤半经终为5 2 u r n ，魏潦深霞 约为3 4 0 u m ，带隙中心波长约在4 0 u m 处的二维大孔硅光予晶体6 1 ，并于 次年稍蚤了带潦中心波长约在5 u m 处静二缭大孔硅先子鑫体样品【7 j ”诧羚， 近年来还发现在铝与其他些半导体如i n p 、g a a s 与g a p 等也可用电化 学的方法生长出微米尺寸的细孔【8 一1 0 。与其他制餐光子懿体的方法相比， 电化学方法具有技术门槛不赢、工艺过程容易控制、易制蠢高深霆比( n 2 0 ) 的二维光子晶体等优点。图1 2 为张晚云( 国防科大理学院光予晶 体礤究中心) 鼹电化学法制褥鲶二缭宏孔硅光子晶体样品裘嚣形态戆拯撼 电镜图 1 1 。 匿1 - 2二维宏孔硅光予晶体样品表鬣形态蛇翔拯皂镜圈 糖缨粼镪法 精缨妻镶法主要是剥矮黧大蕊模集藏亳鼹( v l s i ) 工蕊中静窝分鬻率 光刻拽术与精细蚀刻工艺来制各三维与二维通讯波段的光予晶体。其主要 工艺流程包括： 1 ) 晶片凇餐：分子束外延、热氧化、( 低压) 化学气楣淀积、晶片键 合等： 2 ) 预制晶梅花样：电子寒壹写残涤紫羚光刻： 3 ) 转换晶格花样：( 化学辅助) 反应离子刻蚀、等离子体刻蚀等等。 4 ) 群品魑理。 图1 3 为袁晓东( 国舫科大理学院光予晶体研究中心) 用反应离子刻 鹑4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 蚀制得的光予晶体波导的扫描电镜圈 1 2 】。 图1 - 3 党子晶体波导 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 3 光子晶体的应用 自从光子晶体的概念在1 9 8 7 年由y a b l o n o v i t c h 和j o h n 分别各自独 立的提出来 1 2 至今，才不过短短的1 6 年，但是人们已经利用其中的 原理提出了一些光予晶体器件，这些光子晶体器件一经问世，便初试锋芒， 向传统器件发出了挑战。 光子晶体的一个实际应用是在微波天线方面。针对工作的微波频段可 设计出需要的光子晶体，并让该光子晶体作为天线的基片。工作的微波波 段落在光子晶体的禁带中，因此基底不会吸收相应频率的微波，实现了无 损耗全反射，把能量全部发射到空中。这种设计不但可以应用于微波天线， 也可以用来手机的辐射防护装置。 光子晶体在光子器件上的成功应用主要包括以下方面 光子晶体光纤 传统的光纤是利用全反射的原理来进行光的传输的，这就要求光芯的 折射率比包层的折射率要高，并且要求光的入射角大于临界角。在传统光 纤中，不同波长的光对光纤来说对应于不同的色散，并且传统光纤的损耗 也比较大，而光子晶体光纤在这些方面都有显著的优势。 英国的p r u s s e l l 1 3 等人玻璃棒依次堆在一起组成六角阵列，然后 在1 8 0 0 到2 0 0 0 度下熔台从而形成直径约微米量级的蜂窝结构，见图卜4 。 也可以在光子晶体光纤引入缺陷( 例如空气孔) 用来传导光束。与传统的 光纤完全不同，在这里传播光是在空气孔中而非氧化硅中。这种光纤不仅 可以传导光波，也可以用来传导大分子，其意义显而易见。 第6 页 吲防利学技术大学研究生院学位论文 图1 - 4 二维光子晶体光纤的制作示意图( a ) 由玻璃棒堆积成的按 光子晶体光纤的宏观结构；( b ) 在1 8 0 0 到2 0 0 0 度下玻璃棒堆变软；( c ) 拉制成光纤。 图1 - 5二维光予晶体光纤示意图 ( a ) 单模实心的光子晶体光纤扫描电镜图 ( s e m ) ；( b ) 红绿激光在( a ) 结构中传播的远场图：( c ) 光子晶体光纤的近场双折 射s e m ；( d ) 光予晶体光纤的零级色散s e m ；( e ) 光子晶体光纤第一个禁带的s e m ； ( f ) ( e ) 被白光激发时蓝色模式的光学扫描图( 0 m ) ；( g ) 空心光子晶体光纤禁带s e m ； ( h ) ( g ) 的近场o m ( i ) 加覆盖层的空心光子晶体光纤，可以传导白光。 另外种光子晶体光纤就是m i t 的工作人员制作的维光子晶体光 纤1 1 4 ，光在这种光纤里被全方向反射，这种光纤传输光的孔径较大，可 以传输大功率的c o ：激光。 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( a )( b ) 图1 - 6一维光子晶体光纤( a ) 空心一维光子晶体光纤中支持的传导模式图；( b ) f j $ 空心一维光子晶体光纤传导大功率c 0 2 激光在金属上画图- 低阈值激光发射器 在光子晶体晶格中引入一些缺陷就可以生成光子带隙中的缺陷模式， 图1 5 给出了0 p a i n t e r 等人设计的一种光子晶体激光器 15 。这种激 光器发出的光可以直接耦合到光子晶体器件( 例如光子晶体光纤) 中去， 对光集成器件来说意义明显。 图1 _ 7 光子晶体激光器示意图 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 宠子菇俸波簿 传统的分藏波导可以支持直线传播的光，但在拐兔处会损失能量。理 论计辫表明，光子晶体波导可以改变这种情况。光子晶体波导不仅对直线 路径露虽对转角都有穰离鹣效率，强 卜】绘出题楚a & t e k i s 等人怼波导摸 式的分析示意图 1 6 。 ( a ) 圈1 - 8 光子晶体波导示慧胬( 8 ) 波导内翡场匿( b ) 渡露的髓带鞠 蠢予鑫体超援镜 鬻规的棱镜的对波长棚近的光几乎不能分开。但用光子晶体做成的超 棱镜的分开能力比常规的鼷强1 0 0 到1 0 0 0 倍，体积只宵常规的酉分之 太小。拯对波长为i jo 微米和0 + 9 微张的薄豪光，零援的棱镜几乎不能将 它们分开，但采用光子晶体超棱镜后可以将它们分开到6 0 度。这对光通 添中懿信息处理有燕要豹意义。 黛9 页 国防科学技术火学研究生院学位论文 竞予鹣傣攘振爨 鬻规的缡扳器体积较大，不容易实现光学集贼。最近发现可以用二维 光予晶体来制作偏搋器。这种光子晶体偏振器有传统的偏振器所没有的优 点：体积缀小，缀褰易在s i 冀土集成或纛接在s i 基上铡或。 第1 0 受 国防科学技术人学研究生院学位论文 1 4 课题简介 二维光子晶体薄板是近来研究的热点，但对其研究主要集中于其在平 面内对光的约束作用，对于光波斜入射的情况研究较少。本文的重点则恰 恰是光波斜入射到二维光子晶体薄板的光学传输性质，其中包括无损以及 有损介质二维光子晶体薄板。本文用了两种方法平面波展开求解法 1 7 和 散射矩阵法 1 8 对这一问题进行求解，并对这两种方法进行了对比，指出 了这两种方法各自的特点。在研究过程中，发现光波斜入射至二维光子晶 体薄板时传导共振( g u i d e dr e s o n a n c e ) 是薄板的一个特殊性质，我们对 这一性质又进行了仔细的研究。根据共振点我们可以得到相应二维光子晶 体薄板的能带图。我们亦研究了金属二维光子晶体薄板的光学传输性质。 金属二维光子晶体薄板的光学传输性质与金属薄膜的光学传输性质大相 径庭，表现出了不同于以往的独特性质。这些问题也还需要在今后的工作 中进一步的仔细研究。另外我们研究了相位对传导共振的影响，发现可以 通过控制入射光的相位来对控制薄板内的共振的激发程度，这一发现也有 一定的意义，我们期望利用这种性质来制作新型的光学器件。 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章理论模型 从1 4 节的课题简介可知，我们需要解决的问题是研究光波斜入剩到 二维光子晶体薄板时的传输特性，为了研究这一特性，本文用了两种方法 即平面波展开求解法 1 7 和散射矩阵法 1 8 对这一问题进行求解。 2 1平面波展开求解法 要解决光波斜入射到二维光子晶体薄板时的传输特性我们首先从 m a x w e l l 方程出发，m a x w e l l 方程始终是我们处理电磁场问题的出发点， 本文亦不例外，下面首先给出m a x w e l l 方程： v h ( r ，) = d ( r ，r ) + j o t v e ( r ，r ) = 一面c ab ( r ，f ) ( 2 1 1 ) v h ( r ，r ) = 0 v d ( r ，r ) = p 对许多电介质材料，下列假设有很好的近似，( a ) 空问无自由电荷和 电流( 无光源) ，所以p = 0 、j = 0 ；( b ) 介质是线性媒质；( c ) 各向同性 不均匀介质( 但对某一区域为各向同性均匀介质) ，所以e ( r ，f ) 和d ( r ，f ) 由 一个标量e ( f ，f ) 来联系：d ( r ，f ) = s ( r ，t ) e ( r ，r ) ：( d ) 非铁磁材料：= 1 ( 高斯 单位制下) 。 把场展开成一系列的谐波模式从而把时间变量分离开来，即： j h ( r ，r ) = h ( r ) e x p ( 一f 耐( 2 1 2 ) 【e ( r ，f ) = e ( r ) e x p ( 一i c o t ) 则m s t x w e l 方程组变为： 第1 2 页 l 堕兰_ 堂生查蔓堂婴壅圭堕堂生堡壅 v h ( r ) = 一蛔s o e e ( r ) v e ( r ) = f 掣o h ( r ) v h ( r ) ：0 ( 2 1 3 ) v s o c e ( r ) = 0 消去e ( r ) 得： v ( 击v 心卜， ( 2 1 4 ) 考虑二维光子晶体中的本征模式：在理想二维光子晶体中，考虑到磁 场在x y 平面内仍具有分立平移对称性，因此每一个本征模式都可写成 h 。h ，e x p ( _ + j f l z ) ( p = x ，一) ，代入方程( 2 1 4 ) 可以得到 f v p + 七2 十v pi n e v p x h p = 2 h 。 ( 2 1 5 ) 其中t 2 = f 詈 2 。方程( 2 1 5 ) 的解对应的就是理想二维光子晶体的本征 c 。一“。1 、“ 模式。 这里顺便补充一下，如果p = o ，则方程( 2 1 5 ) 表示波矢k 在z 方 向上没有分量的模式，可改写为： t 1v p + v ；孑1x v p x 巩= 詈) 2 ( 2 ) 冈为f ( r ) = f ( r + r ) ( 2 1 7 ) 其中r 是晶格常数，占( r ) 可以用b l o c h 波展开： 占( r ) = s ( g ) e x p ( i g r ) ，( 2 1 8 ) 磁场也用b o c h 波展开： h = e x p j ( g ，+ k p ) ，o ，( 2 1 9 ) 其中g ，是倒格矢。将( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) ， ( 2 1 9 ) 代入( 2 1 6 ) 便 可以得到波矢k ，和频率脚之间的色散关系，即我们经常看到的二维光子晶 第1 3 百 国防科学技术大学研究生院学位论文 体的能带图。这也说明= o 其实是方程( 2 1 5 ) 一个特例。 卜面我们接着求解方程( 2 1 5 ) 。将h 、g 、i n f 分别用b l o c h 波展开， 其中h 可写成： h = h “，e x p j ( g ，+ k p ) r p + 脾j k c t + h 6 ，e x p j ( g ，+ k 。) - r p 一伽一j k c 明 ( 2 ，1 1 0 ) ( 2 1 1 0 ) 带八方程( 2 1 5 ) ，可得2 的一组本征值和相应的一系列本 征矢。光子晶体薄板中的场可写成这些本征模式的叠加( 因这组解具有正 交完备性) ，薄板上下边界面的入射光、反射光和透射光在x y 平面内的磁 场分量可分别作1 3 1 0 c h 波展开： h 爹= h e x p j ( g + k p ) o 一，口。一j k c t ( 2 1 1 】) f h 夕= h _ e x p j ( g + k ，) r p + ，口：。z j k c t ( 2 1 1 2 ) h p 。= h ke x p j ( g + k ，) o 一，口。一j k c t ( 2 1 1 3 ) 其中 口：。，。2 = k2 s 。，。一i g 。+ k p i2 】 ( 2 1 1 4 ) 其中上标“”、叫、“”和下标。一分别表示入射、反射、透射、上表面和衬 底。由于磁场满足v h = 0 ，已知h 。，可以解出h ：。另外利用麦克斯韦方 程组可以计算出e 的各个分量。将电场也按上述形式用 3 1 0 c h 波展开。由 于电场，磁场都要满足在在薄板两个边界面上切向方向连续的条件，因而 可以建立方稗绍： h 孑+ h 夕 z = l 1 2 = h ，p h i ：。，： e ：。+ e 罗i ，。，：= e 孑i ，。，： h 1 z = - l 2 = h ，p h 。b 。 e 7i 一，：= e ? 一。 将电磁场的展开式代入上式，便可解出电磁场每个分量的的振幅，从而也 就解出了二维光子晶体中薄板中的电磁场。 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学饪论文 2 2鼗莉矩阵法 散射矩眸法的主爱特点是将二维光子晶体薄板的入射波、反射波和遮 射波的振幅直接由一个散射矩阵连超来。二维光予晶体薄板可以蹙单层， 也司以是多层。对于确定的入射光鞠薄板，其教射矩阵也是确定的，这样 可以计算光波斜入射到二维光子晶体薄板的反射率和透射率。下面给出其 淫论搂壅。 暇设场的时间谐波分量为e x p ( 一f 纠) ，m a x w e l l 方程可以写成： f v h = 一f d e v e = i c o * t 。h l v h 2o i v c o c e = 0 经过归一化处理，或者讲燕标度不变佳藤疆， f v 董董= 一括e 1 | v e = l e 0 2 1 4 将磁场，s 分裂翅b l o c h 波袋开，褥到： h ( r ，z ) = h k ( g ，z ) g “q ” 手( g ) = 了1 胁( r ) m a x w e l l 的分量形式可以写成： ( 2 ，2 1 ) 可以得到： ( 2 ，2 ，2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 斌h ：( = ) 一h y ( z ) = 一f 如；。 域( z ) 一最a ：( = ) = 一f 蠡，( z ) ( 2 2 5 ) 遮以( z ) 一f ，( z ) = - i 鸯e ：( ：) 和 f ，口，( z ) 一口：( ：) = i c 0 2 h z z ) g ；( 力一菇；岛= i a ) 2 h ，国 ( 2 2 6 ) f ；，8 。( z ) 一f ，p ：( z ) = i c 0 2 h ；( z ) ，若，是对角矩阵，并且( t ) 。= ( 以+ g d ，( e ) ，。j = ( 女，十q ) 筻1 5 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 征水斛方程时，由- 费满足万程：v h = 0 ，这时f i 可以写成这样。_ 种形 式： h c r ，z ，= 善 丸c g ， t 一吉c e 。+ g 。，； + 丸c g ， 萝一吉c t ，+ g ，； “k + g ) r + m ( 2 2 7 ) 可以证明，磁场的散度等于零。那么磁场关于z 向的分量可以写作： 一( z ) = 丸i + 丸多一i 1 ( t ，丸+ g ，九) 。 e w ： ( z z s ) 电场分量可以写作： e ( z ) 2 吉 k ，t ，丸+ ( q 2 + k y k y ) o y p k t ，丸+ ( q 2 十k ，女，) 蛾p + 口k 。丸一，移p e q ： 将电场和磁场带入上式，我们可以得到： 脚2 以= 启，私，+ 审( g2 + ，k ；) k + 阮氐一女，枷，k 2 办= k 。秕，+ 本( g2 + 女，) k + 隗，k ，一女，识k 其中开= 1 占。 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ：； 9 2 + 。巧k x k 吒x 瓮笔 + f 尼- 。k 极x o k y 勺- k 辑y t t k 。 ( 蠹 = 2 ( 象 ( 2 2 1 2 ) 这是一个求解本征值得问题。 帅= ( ，k 嵫 一悠，搿 一 ( 2 2 1 3 ) 上式可以写做： h ( 9 2 + k ) + k 】= 国2 或者 第1 6 页 国防科学垫查叁堂婴塞生堕堂笪笙奎 一一 f ( 功2 一k ) 一k 庐= 9 2 ( 2 2 1 5 ) 这是求解本征值q 的问题。对于任何一个二维光子晶体薄板，总可以求出 本征值口和对应的本征矢，将它们作为一组基，薄板中的场口j 以用这组基 薄板中的磁场可以看作是前向波和后向波的叠加： ( ： = 莓( c e “。a 。一e ( d 一斗玩， ( 2 2 1 6 磁场平行分量可以写成： 忡) ：巾沙( z ) 口一f ( d z ) 胡 ( 2 2 17 我们得到电场的形式为： 隧 = 球牡隈麓心吃n 删刊， 1 ( 2 2 1 8 ) 电场平行分量： = 莓咖2 + k ) 考( e i q ：a n - - e i q ( a - z ) 以) 妲r2 1 9 州z ) _ ( 0 ) 2 - k ) m 考a 钡阳) 川 骂成矩阵形式： ( z ：夸 = ( 2 苫中q 一m 2 ；k 西9 f 2 2 2 0 ) ) ( 麓，。h 恐0 ( 2 2 2 1 ) 关于散射矩阵： 对于不同层薄板前向波和后向波的振幅可以用散射矩阵联系起来： 盼踟，盼总蹴) 2 2 2 ) 其中s 是散射矩阵，如图示，和，代表第f 和f ，层介质，f 和岛分别 第1 7 页 星生型兰皇型堂婴塞生堕堂垫丝塞 是第，屡的前内波和詹向波的振幅。敝射矩阵将a t 、岛和，6 f 联系起来， 而传输矩阵将q 、q 和岛、岛联系起来，正是围为如此，散射矩阵法的数值稳 定性要比传竣艇阵法好缮多。 稼z 、 ， 挽 q l 。 良+ 垂2 - 2 教射雉簿示蠢鬻 篱离波窝蓐蠢渡静燕粳有以下关系： 毒q ) = ，e z ，；+ t ，( ：岛。) = ( 2 ：2 ( ：岛+ ，) 由场存边界厦的连续性可以得到： 其中： ? ( f ，z + 1 ) = 掰i4 m s 以如下形式给出： s i i ( ? ，十1 ) = ( 一石s l2 ( ，z ) ，2 1 ) _ z s l ，( r ，) s ：够，串1 ) = ( 毛一z s 。鬈，) 乏，) 一5 ( z s ：( ? ，) 五：一，) z + 岛l ( ，+ 】) = 曼。( ，) 毛l 最l ( ，+ 1 ) + s 2 ；( 六印 s 2 2 ( f ，l + 1 ) = 是2 ( 7 。，) l 】q 2 ( f 。，+ 1 ) + $ 2 2 ( ，) 2 + 摇此我们西经得到了散射矩阵的每个元，那么计算场程二维光予晶体 薄板的传输问题也就成为可以实现的枣情了。 第1 8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 3 平面波展开求解法与散射矩阵的比较： 从前面的分析可知，平面波展丌求解法与散射矩阵法都是从m a x w e l l 方程出发在频域范围内对电磁场的求解，因而从根本上讲二者是同根同 源，只是表现形式不同而已。不同的外在表现决定了它们各自的特性。在 式( 2 1 5 ) 中，对介电常数的展开涉及到对f 和i n s 的b l o c h 波展开，这 种展开总会存在截断误差。但是s 和l n 8 的截断误差是不同的，这两种误差 之间没有固定联系，因而对计算结果的影响具有不确定性。散射矩阵法中 只涉及到对s 的b l o c h 波展开，计算结果的误差只与s 展开以后求和得到的 介电常数和问题中的介电常数差有关。或者漉所得到的计算结果就是问题 中换作以s 展开以后求和得到的介电常数的问题的精确解。而平面波展开 求解法并不具有这一特性。另外从计算结果看，散射矩阵法的收敛特性也 是相对好一些。 第1 9 页 国防科学技术火学研究生院学位论文 第三章一些计算结果 3 1 关于平面波展开求解法计算结果分析 自从y a b l o n o v i t c h 和j o h n 在1 9 8 7 年提出光子晶体的概念以来 1 、 2 ，人们对它的光学特性进行了深入的研究，发现可以用它制作许多新 颖的光学器件( 可参考文献 1g 、 2 0 ) 。但是制作三维光子晶体却面临 巨大的挑战，制作二维光子晶体则要求制出的晶体在第三维上足够长，而 在第三维上具有有限厚度的二维光子晶体薄板因其制作相对简单，可用传 统的薄膜沉积和刻蚀的方法实现，因而引起人们的普遍关注。薄板一般是 被周期性打孔的高折射率材料，生长在低折射率衬底上或悬空( 见图3 1 ) ， 在第三维靠折射率导引来约束光不向外辐射。 近来对它的研究多集中于用其制作光集成器件的机理例如薄板中的 导模 2 1 、薄板波导中的导模 2 2 以及如何从外部将光耦合到薄板的波 导中 2 3 2 4 等方面。d ，m w h i t t a k e r 等研究了平面波斜入射到光子晶体 薄板时发现对于某些特定的入射角会出现极强的反射和透射 17 儿1 8 。本 文用场连续性方程计算的方法对此现象的机制进行了进一步分析；并且发 现对某一特定入射角不同频率的光反射率不同，利用薄板的这一特性可制 作窄带滤波器等器件。 图3 - 1 二维光子晶体薄板侧视图 第2 0 页 国防群学技术大学研究生院学位论文 圈3 - 2 _ = 维光子晶体薄板俯视图 下面对具体问题进行计算：光子晶体薄板的结构为圆柱彤空气孔 ( s m l ) 构成的三角格子，如匿( 3 - 2 ) 示，薄板s = 1 2 光波觚空气中斜 入射副薄板袭葱，( 如图3 一l 示) ，入射波为t m 平面波( 磁场分量平行 于x y 平面) ，入射方向在x y 面内的平行分量沿f o k 。方向( 参蒋图3 8 ) ； 无量缁化磊的晶格鬻数盯= l ，入莉波长五= 6 8 3 1 4 0 0 ，函我半径r = 5 0 4 0 0 ， 薄叛厚z = 1 2 0 1 4 0 0 ；光子晶体薄板上表西为空气，占z l ，树底= 2 5 6 。 所计算的反射率与k 。k 的关系在圈3 中触出。可以观黎到在k 。k 取某些 特定僮时，会出现裰强的发射或透瓣。不仪如此，反射警遣强烈酶依赖予 入射波长，这种关系可以从图4 看出。 蘸3 - 3 k p 蠊从。交仡蓟1 孵薄板的展射率馥线 篇2 l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( a ) ( b ) 图3 - 4 反射率随入射波长的变化( a ) k 。k = o 0 8 9 ，a 2 为反射率为0 7 0 时 的带宽；( b ) k 。k = 0 4 2 6 ，a 2 为反射率为0 7 0 时的带宽。 第2 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 5 薄板表面的光强分布图 c a ) 薄板上表面( k 。k ；0 2 0 ) ( b ) 薄板上表面( k 。k = 0 4 2 6 ) 图( 3 5 ) 画出了归一化后薄板表面的光强分布图( 入射光强为1 ) 。 从图中可以发现，k p k = o 2 0 ，薄板表面的光强随空间位置缓慢变化，而 在k 。k = 0 4 2 6 ( 即发生强烈反射的情况) 时，薄板表面某些位置出现极强 的光强，这表明入射光激励了薄板中的本征模式，从而产生共振，同时反 第2 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 射和透劓谱中也出现典型色散型共振曲线。 图3 - 6s 做布洛赫波展开后取有限项叠加后随位置的分布圈( 实际的占应该是 空间位置的阶跃函数，如图3 - 2 示) 图( 3 - 6 ) 为占展开取有限项叠加后的s 分布图，即前面计算的结果对应 的s 应按图( 3 6 ) 分布而不是按图( 3 2 ) 分布。从图( 3 - 6 ) 中可以看出，s 有波 浪形的起伏。为了弄清反射率突然增强或减弱是否是由于这些占波浪形起 伏的周期性分布造成的，我们将s 展开项增加，则占的波浪形起伏变的更 缓，而图( 3 3 ) 中的反射率图基本观察不到什么变化，因而可以确定反射率 的突然增强或减弱不是e 展开取有限项造成的s 的起伏所引起的。 图3 - 7薄板其它参数不变的情况下，反射率取峰值时的k k 值和丑随薄板 第2 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 空气孔半径的变化( 五在图3 - 4 中定义) 对应于图( 3 - 3 ) 的第二个反射峰值，从图( 3 7 ) 可以看出，在薄板其它 参数不变的情况下，空气孔的孔半径从5 0 n m 减小到4 3 n m 的过程中，反 射率取峰值时的k 。k 值逐渐变大，五逐渐变小。 图3 - 8 ；k p 变化所在的波矢空间( 中心的六角形即三角格子的第一布里渊区 周围的六个六角形是第一布里渊区平移一个倒格矢而成- 圆c 以r o s 为半径，圆心为 r 0 点。峨s l ；女s “2 ) 由式( 2 1 1 4 ) 当口一s0 时，对应的平面波沿z 向为倏逝波，不传播能 量，只有甜 0 的项对应的波是出射波，这与所对应的计算结果是一致的。 为了将问题简单化，图( 3 - 8 ) 只画出了第一布里渊区和将其平移一个倒格 矢后的六个布里渊区a 仍对应第3 节的例子，k 。沿r 0 一k 。方向变化时 ( i o t o 的长度等于k 。) ，即瓦沿r o k 。方向移动时，与其等价的r 也沿 f k ，( i = l 6 ) 方向作等价的移动，圆c 内每个t 点对应个相应的 出射平面波，故在薄板表面反射的平面波的个数就是圆s 内丁点的个数， 所以只要控制圆的大小( 与控制第一布里渊区的大小是等价的) 就可以控 制出射平面波的个数。还可以观察到只要r o & 的长度比r 0 k 。小，则入射光 第2 5 页 国防科学拽术大学研究生院学位论文 强任意角凄入射，国菇壳为一平蠹波，荬络暴帮入鸯童光入射到没有抒孑l 的 平面上产生的反射情况完全相同，只是反射率不删而已。如果薄板的品格 常数遥大予入射波长，剐在匿c 雨有穰多r 点，反射光和透射光鲻是对应 的布洛赫波的叠加。 图3 - 9薄板的透射率曲线( 实线：薄板透射率虚线：t o 波对透射率的 贡酿点缓；t l 浚对遴射率的贡献蒜翔缓：蕈2 渡对遴射率瓣簧藏) 由前面的分析并对应前面所给例予，k 。，_ j 在鼠0 到l 的变化过程中， 薄校圭表露爨射波始终为平委波 恧在k 。，素= o ，4 4 7 3 瓣运，跌薄援下表 面出射的布洛赫波幽一个开始变成三个，如果以t o 波、t 1