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e m d 方法在辊械故障诊断中的斑掰 一一 e m d 方法在机械故障诊断中的应用 摘要 机械故障诊断是研究设备远行状态信息的变化，进而识别设备运行状态的科 学。e m d 方法楚叁h u a n g 予1 9 9 8 年援出嚣一耱薪静继号处璞方法。e m d 方法 是一种局部自遁应方法，不仅邋用于线性时间序列的分析，而殿适用于非线性和 非平稳时间序列的分析。e m d 基于信号的局部时间特征尺度分析原信号，克服 了薅塞辞交换瓣高次 器波频率分量瓠会菲线毪、菲平稳信号静缺点。 本文就e m d 方法在机械故障中的成用进行了探讨，提出了两种机械故障诊 凝豹方法： l 。稍用e m d 方法和小波交换进行梳械故障诊断 本文采用经验模式分解( e m d ) 与小波变换相结合的方法分析非平稳机械敞 簿售号瓣鸯暴锻，送行壤缀兹辕诊蘩。奄壹接黠摄蔫号送行夺波分辑穰琵较，骏 方法提取的奇髯性特征更明显。数值模拟和对故障轴承振动信母分柝表明了该方 法的有效性。 2 稠蘑e m p 方法帮关联缭数送行税械敲簿诊断。 分数维表征了信号的结构特征，广泛地被用于非线性系统行为的刻划中。本 论文深入探讨了分形维数豹一耪关联维数旋掇械故障诊凝巾豹应爆，掇讨了 相空阀麓构和关联维数求解过稔中嵌入缀数和撼迟时间的选择的意义及方法，本 论文选用c c 方法，并编制了相应的程序来确定嵌入维数和延迟时间。本论文 将痿号分辫爱其裁三令t m f 分量豹关联维数豹均方搬篷瘸予爨壤敖薅麓送分 和诊断，与直接用原信警的关联维数作刿断标准相比，可以明显提高诊断的精度， 减少误剡。 关键诃；经验横式分解僻m d ) ：小波变换；相空闯重构；关联缎数：机械故障诊 断 e m d 方法在机械故障诊断中的应蹦 a p p l i c a t i o n o fe m dt od i a g n o s i so fm a c h i n ef a u l t a b s t r a c t m a c h i n ef a u l td i a g n o s i si sas c i e n c eo fi d e n t i 研n gt h er u n n i n gs t a t eo fd e v i c eb y s t u d y i n g t h ev a r y i n gi n f o r m a t i o no ft h ed e v i c er u n n i n gs t a t e an e w s i g n a lp r o c e s s i n g m e t h o d - - e m d ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) m e t h o dh a sb e e nd e v e l o p e db y h u a n gi n l9 9 8 t h ee s s e n c eo ft h em e t h o di st o i d e n t i f yt h ei n t r i n s i co s c i l l a t o r y m o d e sb yt h e i rc h a r a c t e r i s t i ct i m es c a l e si nt h ed a t ae m p i r i c a l l ya n dt h e nd e c o m p o s e t h ed a t aa c c o r d i n g l y e m dm e t h o di sl o c a la d a p t i v e i tn o to n l yc a nb eu s e dt oa n a l y s e l i n e a rd a t a b u ta l s oc a nb eu s e dt oa n a l y s en o n l i n e a ra n dn o n s t a t i o n a r yd a t a f o u r i e r t r a i l s f o r i l lm e t h o du s eh i g i lo r d e l f r e q u e n c yt o a n a l y s ea n di m i t a t en o n l i n e a ra n d n o n s t a t i o n a r yd a t a e m dm e t h o db a s e do nl o c a lc h a r a c t e r i s t i ct i m es c a l eo f t h ed a t a i sm o r ef i tt o a n a l y s e n o n l i n e a ra n dn o n - s t a t i o n a r yd a t at h a nf o u r i e rt r a i l s f o r m m e t h o d i nt h i sp a p e r , t h eu s eo f e m dm e t h o di nm a c h i n ef a u l td i a g n o s i si sd i s c u s s e d a n d t w on e wf a u l td i a g n o s i sm e t h o d sa l ei n t r o d u c e d 1 a p p l i c a t i o no f e m d a n dw a v e l e tt r a n s f o r i l lt od i a g n o s i sm a c h i d ef a u l t i nt h i sp a p e ras i g n a ls i n g u l a r i t yd e t e c t i o nm e t h o di si n t r o d u c e d w i t l lw h i c ht h e s i g n a li sd e c o m p o s e d i n t oi m f s ( i n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n ) b y t h ee m d ( e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ) a n d t h es i n g u l a r i t yo ft h ei m f si se x t r a c t e db yt h ew a v e l e tt r a n s f o r n 1 b a s e do nt h es i n g u l 赫t yt h em a c h i n ef a u l tc a nb ed i a g n o s e d t h en u m e r i c a la n dt h e e x p r i m e n ts h o w t h a tt h i sm e t h o di se f f e c l i v e 2 a p p l i c a t i o no f e m d a n dc o r r e l a t i v ed i m e n s i o nt od i a g n o s i sm a c h i n ef a u l t f r a c t a ld i m e n s i o nc a nb eu s e dt os h o wt h es t r u c t u r ec h a r a c t e ro f t h es i g n a l ，a n di s w i d e l yu s e d i n d e n o d n gt h en o n l i n e a rs y s t e m i nt h i sp a p e ro n ek i n do ff r a c t a l d i m e n s i o n c o r r e l a t i v ed i m e n s i o ni sd i s c u s s e d t h o r o u g h l y a n d 也ep a r a m e t e r s ( i n c l u d et h ed e l a yt i m ea n d t h ee m b e d d i n gd i m e n s i o n lt h a ta f f e c tt h er e c o n s t r u c t i o no f p h a s es i c l a c ea n dt h er e s u l to ft h ec o r r e l a t i v ed i m e n s i o na r cd i s c u s s e dt h o r o u g h l y i n t h i sp a p e rt h ec cm e t h o di ss e l e c t e dt od e t e r m i n et h ed e l a yt i m ea n dt h ee m b e d d i n g d i m e n s i o n i nt h i sp a p e r , t h ea v e r a g es q u a r er o o to f t h es i g n a l sf i r s tt h r e ei m f si su s e d t od i a g n o s i st h em a c h i n ef a u l t u s et h i ss t a n d a r dc a n i m p r o v e t h ep r e c i s i o no f t h ef a u l t d i a g n o s i s ，a n dr e d u c et h ef a l s ed i a g n o s i si nc o n t r a s tt ou s i n gt h es i g n a l sc o r r e l a t i v e d i m e n s i o n k e yw o r d s ：e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( e m d ) ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；p h a s e s ) a c er e c o n s t r u c t i o n ：c o r r e l a t i v ed i m e n s i o n ：f a u l td i a g n o s i s i i e m d 方法在机械故障诊断中的应用 第1 章前言 当今工业社会，机械系统在生产或服务使用中的两个最重要的因素是高的可 靠性和低廉的费用。可靠性由设备的良好工作状态来保证，而低廉的费用就要靠 精心的维护来实现。要真正达到这一目的，最有效的途径就是借助于状态监测与 故障诊断技术。 机械故障诊断是一。门集科学与应用性为一体的高度综合的交差学科。现代故 障诊断理论与技术的研究起源于本世纪六十年代末期，以美国机械故障预防小组 ( m f p g m e c h a n i c a lf a u l tp r e v e n t i o ng r o u p ) 的成立( 1 9 6 7 年4 月) 为标志。 自六十年代以来，机械故障诊断理论与技术的研究一直非常活跃，至今仍方兴未 艾。 设备故障诊断是研究设备运行状态信息的变化，进而识别设备运行状念的科 学。设备的可靠性，尤其是军用设备的可靠性是头等重要的问题。设备的可靠性 与故障率是一对矛盾，故障率高，可靠性就差。减少故障( 或提高可靠性) 的途 径一方面是提高产品质量，另一方面就是不断监测产品运行状态，预测发展趋势， 尽可能把故障消灭在萌芽状态。工程实践使人们认识到，要使设备可靠、有效的 运行，充分发挥其效益，必须发展设备监测和故障诊断技术。 时至今日，随着科学技术的发展，机械设备日趋复杂与精密，故障的危害性 及故障诊断的难度增大了。设备结构日趋复杂，系统的非线性更强，系统故障导 致的外部特征更为复杂，基于线性分析的诊断技术一般难于解决大型、复杂设备 的诊断问题。因此，舀- 强干扰、多特征、多故障的条件下，诊断中许多不确定的 问题已成为诊断难点“1 。 1 1 机械故障诊断研究的主要内容 故障诊断是研究设备运行状态信息的变化，进而识别设备运行状态的科学。 其主要研究内容为： ( 1 ) 故障机理研究 这是故障诊断的客观依据。设备的异常或故障是在设备运行中通过其状态信 号( 如振动、噪声等) 变化反映出来的。由于诊断是在设备不停机的情况下进行的， 因此必然以状态信号为依据。 ( 2 ) 状态监测 主要是测取与设嵛运行有关的状态信号。状态信号是故障信息的唯一载体， 也是诊断的唯一依据。因此在状态监测中及时、准确地获取状态信号是十分重要 的。 状态信号的获取 要是依靠传感器或其它检测手段进行故障信号的检测。检 测过程包括：信号测戢，中间变换和数据采集。数据是诊断的基础，能否采集到 足够长的客观反映设前运行状态的信息，是诊断成败的关键。 ( 3 ) 特征提取 就是从状态信号l l ，提取与设备故障有关的特征信息。设备总是运f 在噪 声、电磁干扰等环境c h 因此决定状态向量的因素并不止故障向量一个皮障信 息将混杂在大量干扰t i 号中。为了消除或抑制外界和内部干扰，必须采取f l i 号处 e m d 方法在辊械兹障诊赫中豹癍梢 理技术，突出肖用信号。 ( 4 ) 故障诊断 又叫故障分离或状态分析。就是根据所提取的特征判别状态有无擀常，并根 据我蘩怠_ 窝其它钤充溺试懿辏渤售怠罨求鼓簿添。 ( 5 ) 规划决策 掇据设备故障特征状态，预测故障发展趋势，并根据故障性质和趋势，作出 决策，于颈其置作遘耩( 包括撩嗣、溺整、维修等) 。 上述过程如下图所示： 黼1 1 故障诊断基本过程 1 。2 杭被敖障诊断技术嵩前避展状况 在设备诊麟技术牵，振动诊叛是蘩遮采用静疗法鞠手段。懑税嚣蠹部发生辩 常时，一般都套随之出现振动加大和性能变化。而这些异常现苏往往蔽映在频域 中不同的故障频率上 采用基于线性理论的对域和频域分析方法进行故障诊断过程中的特征逡择 和提取，是目前应用最成熟的方法，但是随着科学技术的发展及设备结构的复杂 佬，它瓣一些软纛窝爨双缝瞧逐步暴露出来了。筵主要闫题是农诊叛# 线性较媛 的系统敞障时往往失效。当非线性的闲索很大时，应用基于线性系统的故障诊断 方法难毗取得令人满意的效果，因而在实际应用中遇到了不可逾越的障碍口1 。 交予 线镶系统静多祥毪粒复杂热，秀赣线往系统翡教漳诊新提出了薪静谦 题。除了借鉴融有的线性系统敞障诊断技术以外，随翁非线性理论、先进算法、 信号处理及智鼹控制等技术的深入，j # 线性系统纳赦障诊断技术已有了很大的发 展。窗蓊，j 线往系统豹故障诊断方法主要包括啻于数学模型方法、蒸乎信号鲶 理方法和基于知识的方法t 4 3 。 1 2 1 基予数学摸戮豹方法 遮种方法潞要建立被诊断对象的较为精确的数学横型。基于数学横型的非线 性系统故障诊断方法一般有两丈类巧“：第一类恩状态估计法，即将爿# 线性系统 在箕一令或死令王佟患辫透线褴亿，褥戮一缀系统兹线经模登，将建壤误差终为 未知输入，利用未知输入解祸技术设计残差，使乓不受建模误熬的影响；另一类 是参数估计法，即直接建立非线性摸型，再利用i # 线馊观测器方法或嚣线性参数 估诗方法进行诊断。 1 2 2 基于信号处璎的方法 当瀑以建立诊断对象豹携确数学横型射， ；i 予信号处理豹方法是津誊有瘸 2 e m d 方法在机械故障诊断中的应l = i 的。因为该方法回避了抽取对象数学模型的难点而直接利用信号模型进行故障诊 断，所以适用性很强。基于信号处理的方法主要有小波变换、小波神经网络和分 形几何法等n 引。 1 2 3 基于知识的方法 当前的控制系统变得越来越复杂，很多情况下要想获得系统的精确数学模型 是非常困难的。同时，由于系统故障是多种多样的，其故障和征兆之间不存在简 单的一一对应关系，故障诊断往往是一种探索过程。而基于知识的方法不需要系 统的定量数学模型，同时引入了许多诊断对象的信息，可以充分利用专家诊断知 识，从而实现定性、定量知识的有机结合。基于知识的方法可分为基于症状的方 法和基于定性模型的方法。基于症状的方法包括专家系统方法、模糊推理方法、 模式识别方法和神经网络方法等。基于定性模型的方法包括定性观测器、定性仿 真和知识观测器等9 1 0 1 3 本论文工作 e m d ( 经验模式分解) 方法是n o r d e ne h u a n g 于1 9 9 8 年提出的一种分析非线 性、非平稳信号的方法1 1 0 1 。e m d 基于信号局部特征时间尺度，从原信号中提取 出内在模函数( i m f ) 。所分解出的i m f 包含并突出了原信号的局部特征信息，并 且各i m f 分量分别包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信息。且i m f 为单 分量信号，则可以通过分析i m f 的瞬时频率来表征原信号的频率含量，避免了傅 里叶变换中需使用许多谐波分量表达非线性、非平稳信号的不足。同时，分解出 的各个i m f 分量包含了原信号的部分信号信息，使得与原信号相比i m f 分量相 对简单。这样，由于原信号中信息成分比较复杂而导致被强信息成分淹没的弱信 息成分，在i m f 分量中就可以较明显的表现出来，因而，对i m f 进行分析可更 准确有效地把握原数据的特征信息。本文中即是通过研究信号的i m f 分量以获 知原信号的特征信息：与直接对原信号进行分析的方法相比效果要好。此外，该 方法是自适应的，在分析信号时不需要事先知道信号的统计特征，具有广泛的适 用性。 本论文主要就e m d 方法在机械故障诊断中的应用进行了如下探讨： 采用e m d 方法与小波变换相结合的方法分析非平稳机械故障信号的奇异 性，进行机械故障诊断。本文采用e m d 方法将非平稳信号分解出i m f 分量，然 后利用小波变换分析各i m f 分量的奇异性，进行机械故障检测。与直接对原信 号进行小波分析相比较，该方法提取的奇异性特征殳明显，可以更有效得进行机 械故障诊断。 分数维表征了信号的结构特征，广泛地被用于非线性系统行为的刻划中。旋 转机械发生故障时，其信号带有明显的分形特征，因i 而生旋转机械的故障诊断中， 近年来引入了分形方法，主要是计算信号的关联维数。本论文深入探讨了分形维 数的一种关联维数在机械故障诊断中的应用，爿将信号h m d 分解得到的前三 个i m f 分量的关联维数的均方根值用于机械故障的k 分和诊断，与直接用原信号 的关联维数进行机械故障的区分和诊断相比，可以明显提高诊断的精度，减少误 判。 本论文的组织如下： 本论文第2 章对本文应用方法的原理进行了概述，详细介绍了e m d ( 经验模 e m d 方法在撬缀故障诊鞭中豹瘦蠲 式分解) 方法；小波交换理论，包括逐续小波变换和离教小波变换；棚空间璧构 理论，包括嵌入定理，耜空闻蓬梅静方法稻稠空阕重稳参数韵确定；分形维数逢 论，包括分形几何的藏源及特点，维数的演化及分维的定义，分维在本文中的应 翅。 在本论文的第3 章，探讨了e m d 方法和小波变换桷结合在机械故障诊断中的 应用。 夜本论文瓣第4 露，探讨穰用e m d 方法粒关联缎数避行撬械敖鼯诊颤。 本论文的篇5 章照本论文的结束谱。 4 e m d 方法在机械故障诊断中的应用 第2 章本文应用方法原理概述 2 1e m d 方法 随着时频理论研究的不断发展，n o r d e ne h u a n g 于1 9 9 8 年提出了一种采用 经验模式分解( e m d ) 分析非线性、非稳定信号的方法t i o 。e m d 基于信号局部特 征时间尺度，从原信号中提取出内在模函数( i m f ) 。所分解出的i m f 包含并突出 了原信号的局部特征信息，并且各i m f 分量分别包含了原信号的不同时间尺度 的局部特征信息。所谓的局部特征时间尺度是指信号中两邻近极大值点或极小值 点的时间间隔。 i m f 具有如下特点：a ) 其极点和零点数目相等或最多相差1 个；b ) 分别连接 其局部极大值和局部极小值所形成的两条包络线的均值在任一点处为零。 提取信号x ( o 的i m f 分量的计算过程如下： 首先，利用三次样条函数“”1 把f ) 的局部极大值点与局部极小值点分别拟 合成x ( ，) 的上包络线与下包络线，计算两包络线的均值1 1 1 ，求出信号“，) 与包络 线均值m 的差值 = x ( t ) 一m i( 2 1 1 ) 通常情况下，h 并不是i m f 分量，仍需将h t 作以上处理，重复公式( 2 2 1 ) k 次( k 次“筛选”过程) ： 扛 = 岛( _ 1 ) 一聊( 2 1 2 ) 其中h - t 为第k 次筛选时所得数据，h t ( k - o 为第k - 1 次筛选时所得数据，m 。为 h i * - ，上下包络线的均值，利用s d 的值判断每次筛选结果是否为i m f 分量： ( 2 1 3 ) s d 的值常取0 2 至0 3 。其中丁为信号时间长度。 当h - - 满足s d 的值要求，则令c j = h - 为信号“f ) 的第一个i m f 分量。 从原信号f ) 中减去c ，得剩余信号r 。 = x ( f ) 一c l( 2 1 4 ) 若n 中仍包含信号，) 的较长的局部特征时间尺度信息。将r 再作为要分解 的信号重复( 2 1 1 ) 至( 2 1 4 ) 的过程，直至所剩余信号h 中的信息对所研究的内容 意义很小或已是一单调函数时停止此分解过程。 至此，我们便获得了信号缸f ) 的一系列i m f 分量c ；、c 、c 。 并仃 一c 2 = ，2 ，一巳= ，3 ，一l c n = ( 2 1 5 ) 叫一 鱼d止 卜一 k n 一 ， = 奶 e m d 方法在机械故障诊断中的应用 x ( f ) = c ，+ ( 2 1 6 ) f = i 式f 2 1 6 ) 表明了e m d 分解的完备性。 经验模式分解基于信号的局部露闯特征尺度分聿厅漂傣号，兖服7 倦垂时交换 用离次谐波频率分量拟会a # 线性、非平稳信号的缺点。 但是，e m d 方法中存在一个关键难题便是信号边界失真问题。这是因为在 e m d “筛选”过程中，利用三次样条函数“”将信号x ( t ) 的尉部极大值点与髑部 掇，l 、链点分别掇会成x ( t ) 靛上、下惫络线霹。由于x ( t ) 蓊端( 边癸) 缝我局部掇筐 点数舄稀少熬至为0 ，使 ! 簪拟舍出豹土、下包络曲线数现发教现象，势虽随着婊 选过程的逐步进行，该发散现象将会向信号内部扩展，最终导致处理结果严重 必真。当所处理数据足够长时，可以通过抛弃i m f 两端失真数据的方法得剃合 理蠹冬楚理结粜，健当掰处理豹数据较短酹，该方法馁不哥取了。 使用兰次搀条函数“”拟含出豹上、下包络曲线边界发教的援本原因是傧号 两端缺少局部极值点，放可通过增加信号两端的极值点数目来改蒋包络曲线的边 界发散现象。h u a n g 在介绍e m d 方法的文章中提到可以根掰特征波对原有数据 黟列递褥延掭，德没鸯绘密确定含适特鬣渡翡具体方法。 2 2 小波交换 小波变换最早是幽法国地球物理学家m o r l e t 手8 0 年代初在分辑地球糖理信 号时作为一种信号分析的数学工嶷提出的。经过几十年的发展，小波变换不仅在 瑾论和方法上取得了突破性的进簏( 如框架和滤渡器缎两大理论) ，而且在信号与 鬻像分撂“”1 、地球甥璎信号处理、诗舞瓿视觉与编码、语音合成鸯分析、信 号的奇异性检测与谱估计“”，甚至在分形和混沌理论中郯获怒7 广泛豹应用。 小波变换分为连续小波交换与离散小波变换，其中，离散小波变换中“离散” 的概念并不弼于阻往离散傅立叶变换t p 的概念。离散小波交换中的时间变量r 并 没有被离数钝，被离散纯游燕小波交换孛静只度a 和使移b 。 2 2 1 连续小波变换 若矿每) 是平方冒积函数( 记律y 和) tf 耻) ) ，并且满足 矿m = o ( 2 川2 ) 蚕称妒o 为每，l 、浚涵数，辩矿避行律缩和平移交换，设倬缩因子为拉，平 移因予为6 ，f 1 a ，西r ，口# 0 ，可得_ 卜列醋数族 ( ，) = 去叭t - 口b ) t - o ) ( 2 2 - 2 ) o 卜意叭口 亿2 2 6 e m d 方法在橇槭故障诊断中静馥瘸 为分褫夸波。嘏2 ) 中丽1 鹄俘灞是使不屑维砜奄) 的髓璧保 持程等。 则函数x ( f ) l 2 ( r ) 的连续小波变换( c w t ：c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a a s f o r m ) n 哪6 ) 2 壶y ( 学矽 ( 2 2 3 ) 其中矿( 堡) 为( 兰) 的共轭函数。 aa 因在工程鬣际中a 0 没有实际意义，本文在以下的小波交换中均取a ，0 。 则连续小波变换可定义为 幔( 口，6 ) 。下1b ( f ) 旷( 堂) 西 a 。 口 令 f ( o = 蚓 ( 2 2 4 ) ( 2 2 ，5 ) 则群越丈，囊) 愈爨，摆皮豹信号频率越低；口越小，f ( t ) 毽c f f ，樱应豹蘩 号频率越高。其中，b 是位移，b r ，对信号进行局部时间定位。时移参数b 与时间自然对应，丽尺度口实际上与频率对艨，因此可以这誊擎理摆小波分掇与 时频分析“”之间的关系：时频分析中的时一频平面( f ，) 在小波分析中变成了时 鬻一足发平藤，群) e 短附傅茳叶变换是以同一种分辨率来观察信号的。褥在小波分析中，人们则 疆不嚣麓“廷发”( 或“分辨率”) 来震察信号。这静多足凄的瘸点是小波分耩 的基本点。小波变换的分辨力单元随尺度因子丽变化，当口增火时，频率分辨力 提高，但时间分辨力降低；当撑变小对，时间分辨力提态，但频率分辨力降低。 2 , 2 2 离散小波变换 售蛩砖 骰连续夺浚交换螽耩得孵：( 窿，妨懿蠢基是鸯冗余豁转”，获悉缩数耀 及节约计算的角度上看，我们希望在不致丢失信息的前提下，儿在一些离散的尺 菠彝位移萤上诗舞，l 、波变换。 令a = “j ，_ ，z ，我们可实现对a 的离散化。对b 离散化，由量简单的方法是将 b 均匀抽梓，例如可令b = 硒b ( 的选择应傈诞能由聊：( | j ) 陇复出x ( t ) ) 。当 歹e 瓣，将拄崮。交成跨，舔是垮群扩大7 倍，这霉重，l 、渡轳么( 辞豹中心蒙 e m d 方法在参l 槭故障诊断中静褒蠲 _ _ _ _ 一 率魄妒川；瓣孛心频率下降了蹙t 豢宽毽下降了& 倍。因越，这瓣霹6 熬棒 的间隔媳可相嫩地扩大鳓倍。出此可以看出，当尺度疗分别取，矗，露，时， 对6 的抽样间隔可以取6 0 ，毹6 0 ，霹6 0 ，这样，对口和b 离散化后，小波函数为 虬，l ( ，) = 西【( f 一吲玩) 】 = 口i ”( d i ，一k b o ) ，- ，k z ( 2 2 6 ) 式( 2 2 6 ) 中f 仍是运续变量。实际工作中常取= 2 。 对给定的信号x ( ，) ，( 1 3 4 ) 式的连续小波交换可交成如下离散栅格上的小波 变换，郄 w t ( ，k ) = l x ( f ) 矿 ( t ) d t ( 2 2 7 ) 式g ，2 。乃期为赛数，l 、波变换w 鼍d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 。 记d ，= 砰t ( ，七) ，有下式成立 x ( ，) = 嘭 驴”( f ) ( 2 2 8 ) “ 4 该斌称为小波级数，t 称为小波系数，以。( f ) 是蚧。( f ) 的对偶函数，或对 蠼小波。 离散小波变换也称小波分解即是将信号分解成一族小波函数的叠加，使人们 可以分析信号农特定的时、频窝范国内的细节惜1 。 零浚交换、多分辨率岔舞、多采榉率澹渡器组三蠢之篱舂鬻密切静联系。“。 离散小波变换怒通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由 两通道滤波器缀来实现的”。 ，l 、波分析与一般时频分析静区鄹在乎：一般时频分析洒在时一频平面上表承 非平稳信号，小波分析描述非平稳信号盟然也怒在二维平面上，但不是在时频平 疆上，麓是在瓣潺戆孵婀一只发平瑟上。霹戳认必，夸波分辑楚一秘特麸憨嚣矮 分析。 2 3 褶空闻重构 空鬻的穰念单已突破我们实际生活空闯3 缭的限翎。裙空闻突出的优点蹩我 们可以通过它米观察系统演化的全过程及其最艨的归宿。对于耗散系统，相当i 间 要发生牧续，也藏是说系 建演化的结弱餮归结到个魄稳空阉熬维数诋鼹子兰。耀 e m d 方法在机械故障诊断中的应j _ ；j 上。如果我们能够判知系统最终收缩到一个什么样子的子空间，那么就完全消除 ( 对吸引子) 或部分消除了( 对混沌) 系统演化的不确定性，获得系统演化的信息。 在作为系统复杂性之一的动态特性复杂性研究中，混沌理论引起了广泛的注 意。在许多情况下，人们面对的是一系列采样时间序列数据，为了能够从单一序 列中研究系统的动力学特性，j a m sp g r u t c h f i e l d 等人提出了相空间重构的方法， 并由t a k e n s 用数学为之奠定了可靠的基础。在实际应用中，判断一个系统的动 态行为是否混沌，即是否有混沌吸引子，一般从两个基本特征上来诊断：系统的 相空间中的吸引子是否具有自相似结构的分数维几何体；系统对于初始状态条件 是否十分敏感。如果所研究的吸引子具备这两个特征，那么我们认为该吸引子是 混沌吸引子。混沌吸引子的分形维给了我们有关背后的系统的重要信息。高于分 形维的下一个整数告诉我们为了给系统的动力学建立模型我们所需要的动态变 量的最小数目。它给呵能的自由度设置了一个下界，反映了所研究系统的复杂性。 2 0 世纪8 0 年代仞，t a k e n s 1 2 7 1 p a c k a r d 、f a r m e r 等人根据w h i t n e y 拓扑嵌 入定理提出重构动力学轨道相空间的延迟法。g r a s s b e r g e r 、p r o e a c c i a 首次运用这 种相空间重构法，从实验数据时间序列计算出实验系统的奇怪吸引子的统计特 征，如分形维、l y a p u n o v 指数等混沌特征量，从而使得混沌理论进入实际应用 阶段。 混沌吸引子作为混沌系统的特征之一，体现着混沌系统的规律性，意味着混 沌系统最终会落入某一特定的轨迹之中，这种特定的轨道就是混沌吸引f 。系统 任一分量的演化是由与之相互作用着的其它分量所决定的。因此，这些相关分量 的信息就隐含在任一分量的发展过程中。这样，就可以从某一分量的一批时间序 列数据中提取和恢复出系统原来的规律，这种规律是高维空间下的一种轨迹。也 就是说，由一个混沌系统产生的轨迹，经过一定时间的变化后，最终会作一种有 规律的运动，产生一种规则的、有形的轨迹( 混沌吸引子) ，而这种轨迹确：经过类 似拉伸和折叠后转化成与时间相关的序列时，却呈现出混乱的、复杂的特征。由 于混沌系统的策动因素是相互影响的，因而在时间上先后产生的数据点也是相关 的。p a c k a r d 等建议坩原始系统中的某变量的延迟坐标来重构相空间1 2 8 1 , t a k e n s 证明了可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数m 2 d + 1 ，c ，是动力 系统的维数，在这个嵌入空间里可以把有规律的轨迹( 吸引子) 恢复出来。亦即在 重构的震”空间中的轨线上，原动力系统保持微分同胚，从而为混沌时m 序列的 分析奠定了坚实的列一论基础。 所谓相空间重构即通过一维的时间序列反向构造出原系统的相空m 结构， 它的基本思想是系统中的任一分量的演化都是由与之相互作用着的其他分量所 决定的，因而这些相关分量的信息就臆含在任一分量的发展过程中。假设原动力 系统维数为d ，t a k e n s 已证明，在数据无穷多且不受噪声污染的理想情况下，如 果m 2 d + l ，则重构的相空间可以将动力系统的许多特性保存下来。 2 3 1 嵌入定理 从单变量的时删序列重构相空间，为了保证该相空间容纳原有状态，i ? 间吸引 子的拓扑结构，嵌入准数必须满足一定条件，w h i t n e y 在1 9 3 4 年提出了i t 入空间 维数大小的嵌入定珊。t a k e n s 在1 9 8 0 年证明了该定理。 9 e m d 方法在机械故障诊断中的应_ 【l j 嵌入定理：如果原吸引子的维数为d ，则嵌入空间的维数m 2 d + 1 即，嵌入空间的维数一般至少是吸引子维数的两倍，这样，伪相空间和系统 的状态空间微分同胚，即拓扑等价，它们的动力学特性在定性意义上完全相同。 2 3 2 相空问重构( 从时间序列抽取动力系统) 在实际的工程应用中，由于条件所限，一般我们只能得到系统的一个状态变 量的输出，通常以离散时间序列kk f = 1 , 2 ，n 的形式出现。原则上讲，它是系 统中各要素相互作用的结果，因此，它应该包含该动力系统的信息。为了研究系 统的动力学特征，就要从这个时间序列中抽取动力系统，重构相空间。最常用的 方法是时延法。 对一个f 维动力系统 系统状态空间的坐标为( ，工：，工。) ，将式( 2 3 1 ) 微商化成n 阶微分方程 x l ( n ) = 厂( x ii ，二，工。忙) ( 2 3 2 ) 此时状态空间坐标由( 而， ，而，x i ( n - i ) ) 或( 工，s i c x l ( n - i ) ) 代替，这种代替 并不损失动力系统演化的信息。 1 9 8 1 年，r u c l l e 提出用离散时间序列x ( ) 和它的连续漂移 x ( f 十f ) ，x ( f + 2 0 ，工o + o 一1 ) r ) 来代替式( 2 3 1 ) 和式( 2 3 2 ) 中的变数。根 据这个思想，建立起了相空间重构的时延法。 设我们观测到的时间序列为 k i = 1 2 ，n 其采样时间间隔为a t ，为了从扛) 重建吸引予，要建, - r - - - ? - m 维嵌入空间， 将仁， 映射到改嵌入空间中，这时可对仁j ) 进行延时采样，延迟时间为f ，f 为缸 的整数倍，即f = j a t ( ，为整数) ，将得到若干新的时间序列 k = ( x ，+ j ，x ，+ 2 j ，x s “，1 v )i = 1 2 ，一，n 一( 肌一1 ) j 对应于m 维相空间的一个点，一一1 ) j 个点形成了行空间中的一条动 力学轨道。 1 0 3 q ) ) ) k “ 靠 ， ， ， 砌 如 砌 “ “ z = = = 碥 e m d 方法在辘械敌障诊断中的藏桶 2 3 3 重橡糖空间参数确定 幽于伪棚空间是幽系统的独立状态变量得到的，在重构相空间时，嵌入维数 翱延迟瓣趣静选择魏确定是我 | 、】要考虑戆竭题。把嚣阉痔列嵌入褪空润是许多凌 态分析方法的第一步。合适的嵌入维m 和时间滞后r 的选取是检测序列中动态结 构的关键。在熬构相空间中，时间延迟r 和嵌入维数n l 的选取具有十分重要的意 义，溺辩这静选取氇麓缀困难豹。 嵌入维数的确定嵌入维数表示能够完全包容以状态转移构成的吸引子的 最小维数，它鼬选择至关重要。虽然嵌入定理提供了如何选撵嵌入维数豹方法， 僵实际工程疲厢中，一般情况下，缺乏对系统动力维数的先验知识，豳此，对实 际动力系统，嵌入维数珊选择比较困难。 愁迟肄阕熬选择对于对灏延迟，嵌入壤论没鸯终出其钵熬要求，毽没蠢 提出具体选择方法，假嵌入理论是针对无噪声观测信号的，鼠要求数攒无穷大。 在实际应用中、该条件是不可能满足的。实际的观测信号不仅禽有噪声、而且数 据塞纛耢度帮楚有限豹。在这耱倍况下，茺了後重梅熬稽空间麓够重蠛原系统麓 特性，需要满足一个条件，即状态矢爨x ( t ) 的每个分爨必须能够提供有关系统的 新信息。x 8 ) 酚各个分爨豹差别是囊时闯延迟决定的，殿此对越延迟的选择影旗 着重稳糖空闻所包含豹信怠量：如采f 太夺，x ( t ) 的桷邻延迟嫩标元索闯差剐太 小，即冗余度较大，重构相空间的样点所包含的关于原吸引子的信息偏小。表现 在撩空溜形态上，露臻号孰遽囱稳空翊兰方爨辍压壤；麴莱f 太太，穗空羯蠹廷 迟坐标元素问的相互信息丢失，即各元素不相关，信号轨迹可能出现折叠现象。 自从人们发现延迟时间f 对重构相空间的重要性之后，便开始了探索确定延迟对 淘豹方法，莠敬缮7 显著静成效啷捌。在裙空阂重构审，蠢蓊还没窘个逶粥 的适合所有体系的确定延迟时间的方法。 2 4 分形维数 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、维的 线、二维的面、一二维的崴体、乃至四缏的时空。最近十几年的，产生了新兴的分 形凭秘擘，空瓣矮毒不一定是熬数懿雏，嚣存在令分簸维数，这是龟侮学懿瓤 突破，譬i 起了数学家和自然科学者的极大关注。 分形钧概念是由b b ，m a n d e l b r o t 予1 9 7 5 每彗先提出的，2 0 余每泉，它已缀 逐速发震成为- - f l 薪兴豹数学分支。这怒一个骈究和处壤自然与- r 菘中幂规刘鬻 形的强有力的瑷沦工具，它的成用几乎涉及自然科学的备个领域，甚譬乎社会科 学，并燕实酝上 e 在起蒜把现代辩学各令矮域逡接起来豹终用。入裁跫京与耗教 结构及漉沌理论j 称为2 0 世纪7 0 年代中期科学上的三犬重要发现。m a n d e l b r o t 说，“分形是非线性变换下的不变性，假我首先研究的怒在线性变换f 不变的自 褪亳鬟攥，”薪谣f l 耀戳瞧，藏是羯部与懿天豹稳纭性。钛数擎静溪点季，分形蹩 h a u s d o r f f 维效，”格大予拓扑维数的集会，是具有伸缩对称性或膨胀对称性的几 何对象。或者说，其组成部分以菜种方式与整体楣似的形体叫分形。分形概念的 审心蠹容是撵不笺茭g 尼僻形体在动力学演纯过稷中，在一定的禄度，：度范围内， 其相应的测定不髓尺度的改变丽变换。 1 9 6 7 年法副数学家b 。b m a n d e l b r o t 提出了”英国豹海岸线鸯多长? ，t 熬运踅， e m d 方法在机械故障诊断中的应j 【； j 这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位，以t k m 为单位测量海岸线，得到 的近似长度将短于l k m 的迂回曲折都忽略掉了，若以1 m 为单位测量，则能测出 被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈 大，这些愈来愈大的长度将趋近于个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。 答案似乎解决了，但m a n d e l b r o t 发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增 大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长 的。为什么? 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。我们知道，经典几何 研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和 曲面，传统上将自然晃大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线 折线化，得出一个有意义的长度。 可贵的是m a n d e l b r o t 突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不 规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质自相似性。从不同 比例尺的地形图上，我们可以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是 相似的。换言之，海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。要定 量地分析像海岸线这样的图形，引入分形维数也许是必要的。经典维数都是整数： 点是0 维、线是1 维、面是2 维、体是3 维，而分形维数可以取分数，简称分维。 目前的研究已估算出许多自然分形的分数维，如 山地表面的分数维2 1 d 2 9 浮云边界的分数维d = 1 3 5 金属裂缝的分数维1 2 5 d 1 2 9 海岸线的分数维l d 1 3 人肺支气管分数维d = 2 1 7 等 2 4 1 分形几何起源及特点 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 1 9 7 5 年 首先提出的，但最早的工作可追朔到1 8 7 5 年，德国数学家维尔斯特拉斯 ( k w e i e r e s t r a s s ) 构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托 ( g c a n t o r 德国数学家) 构造了有许多奇异性质的三分康托集。1 8 9 0 年，意大 利数学家皮弧诺( g p e a n o ) 构造了填充空间的曲线。1 9 0 4 年。瑞典数学家科赫 ( h y o nk o c h ) 设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家谢 尔宾斯基( w s i e r p i n s k i ) 设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决 分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1 9 1 0 年，德国数学家豪斯道夫( e h a u s d o r f f ) 开始了奇异集合性质。j 量的研究，提出 分数维概念。 维数赴几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独 立坐标数l i 。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维， 而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维 空间，对1 更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏，己间对应，也容易 确定维数。但通常