（理论物理专业论文）高聚物能带的对称性及光诱导下的反向电荷转移.pdf

摘要 高聚物作为种新型材料，受到了科学界和工程界的广泛关注。对导电 高聚物的研究已持续了2 0 年，取得许多研究成果。其重要性得到了n o b e l 奖的肯定。随着超快激光器的出现，对高聚物光电性质的研究成为新的热 点。 本文主要研究了两个问题：1 基于s s h 模型给出了高聚物价带和导带对 称性的解析证明。2 基于s s h 模型和扩展的h u b b a r d 模型，利用绝熟近似 和平均场近似，对已知的高聚物链中的光诱导极化反转现象做进一步研究。 动力学驰豫的模拟结果显示了在双激子的形成过程中，电荷出现反向转移现 象：正电荷的移动方向与外电场反向相反。我们还研究了电子相互作用对结 果的影响，并计算了体系稳定时电荷转移的总量。 关键词高聚物，对称性，反向电荷转移 墨呈奎耋型兰堡圭兰堡耋兰： a b s t r a c t p o l y m e r s ，o n eo ft h ek i n d so fm o s tp r o m i s i n ga d v a n c e dm a t e r i a l s ，d r a wal o t o fa t t e n t i o nf r o ms c i e n t i s t sa n de n g i n e e r s r e s e a r c h e so fp o l y m e r sh a v eb e e n s p a w n i n gn u m e r o u si m p o r t a n ta c h i e v e m e n t s ，o n eo fw h i c hw a sg r a n t e dn o b e l p r i z ei n2 0 0 0 r e c e n t l y , f e m t o s e c o n dt e c h n o l o g ym a k e si t p o s s i b l e t o e x p e r i m e n t a l l yi n v e s t i g a t et h ee x c i t e ds t a t e so fp o l y m e r s ，t h u sp r o d u c i n gan e w p r o s p e r o u sf i e l do fo p t o e l e c t r o n i cp r o p e r t i e so fp o l y m e r s t h i sa r t i c l ep r i m a r i l yi n v e s t i g a t e st w op r o b l e m s ：1 b a s e do ns s hm o d e l ， w ep r e s e n tt h ea n a l y t i cd e m o n s t r a t i o no fs y m m e t r yo fv a l e n c eb a n da n d c o n d u c t i o nb a n do fp o l y m e r 2 i no r d e rt ou n d e r s t a n dt h ei n v e r s i o no fs t a t i c p o l a r i z a b i l i t yo fap o l y m e rc h a i n ，w es t u d i e st h ed y n a m i c a lp r o c e s so ft h ec h a r g e t r a n s f e ri nt h ep o l y m e rc h a i ni n d u c e db ya ne x t e r n a le l e c t r i cf i e l ded u n n g f o r m i n gt h eb i e x c i t o n ，b a s e do n s s hm o d e l ，e x t e n d e dh u b b a r dm o d e l a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o na n dh - fa p p r o x i m a t i o n t h et i m ed e p e n d e n c eo ft h e c h a r g ed i s t r i b u t i o ni nt h ec h a i nr e v e a l st h a tt h ec h a r g et r a n s f e ri sb a c k w a r d ：t h e p o s i t i v ec h a r g es h i f t s i nt h eo p p o s i t ed i r e c t i o no ft h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l d i n a d d i t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h ei m p a c t so fe l e c t r o ni n t e r a c t i o na n dc a l c u l a t et h et o t a l a m o u n to fc h a r g et r a n s f e r k e y w o r d sp o l y m e r , s y m m e t r y , b a c k w a r dc h a r g et r a n s f e r i i 复旦大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 9 7 4 年，日本人白川英树( h s h i r a k a w a ) 首次制备了聚乙炔薄膜 1 。像 普通的高聚物，它是一种绝缘材料。1 9 7 7 年，白川与a m a c d i a r m i d 和a h e e g e r 的合作研究有了新的突破：通过掺杂，聚乙炔的导电率增加了十二个数 量级，成为良导体 2 。他们三个人也因此分享了2 0 0 0 年的n o b e l 化学奖。此 后，又出现了数十种导电高聚物。导电高聚物是一种有广泛应用前景的新型材 料。一方面，它既具有金属的高导电率，又有聚合物本身的可塑性，是一种颇 有前途的有机导体。另一方面，它的导电率对掺杂浓度非常敏感。通过适量的 掺杂，可以将其制备成半导体。用有机材料代替硅作为新一代的半导体原料是 现今科学界的热门研究课题。 在对导电聚合物导电机理的研究过程中，实验上发现了一些奇异的现象。 其中之一是载流子有电荷而没自旋。这意味着载流子并非通常导体和半导体中 的电子和空穴。聚乙炔中载流子是什么成为一个问题。1 9 7 9 年，苏武沛， s c h r i e f f e r , h e e g e r 合作提出了孤子( e = 土1 ，s = 0 ) 理论，成功地解释了载流子 的电荷自旋关系【3 ，4 】。文章中的s s h 模型也成为了后来研究导电高聚物的标准 模型。1 9 8 1 年，d c a m p b e l l 等人将极化予( e = 1 ，s = 1 2 ) 和双极化子 ( e = 2 ，s = 0 ) 的概念引入非简并基态的导电高聚物中【5 ，6 】。之后，还出现 了孤子品格【7 】和呼吸子【8 】等概念。 另一方面，1 9 9 0 年j ，h b u r r o u 曲e s 等人在p p v 中实现了电致发光【9 。这 种材料可制成大面积柔性的发光显示板，具有很大的应用价值。为了解释其发 光机理，研究者对高聚物的激发态作了大量的研究。而费秒激光器的出现更是 复旦大学理学硕士学位论文 大大推动了这类研究的进展。首先是实验上发现高聚物中的光致激发态主要是 激子 1 0 】。1 9 9 8 年，v i k l i m o v 等人又在稀释的p p v 溶液中观测到稳定的双激 予，其寿命为1 0 4 秒左右【1 1 。最近，孙先生在p r l 的文章中指出一种新奇的 光诱导极化反转现象，即高分子链吸收光子受激后其电偶极矩反转 1 2 。电偶 极矩反转现象为制备两态的分子开关提供了新的思路。基于s s h 模型，我们 进一步研究了激子形成双激子的动力学驰豫过程。动力学模拟结果显示了电荷 反转的过程。如果实验能观察到此电荷反转现象，则提供了光致极化反转的证 据。 塞呈查兰! 塑望圭兰堡篓兰： 第2 章高聚物的能带对称性 2 1 一维高分子链简介 聚乙炔是一种化学结构简单的高分子链，我们以它为例子来讨论高分子链 的结构。聚乙炔链有很多c h 单元组成。每个碳原子有四个价电子。其中三个 组成s 口2 杂化轨道，一个与氢原子形成共价键，另外两个与相邻的碳原子组成 盯键，这些盯键构成聚乙炔的主链。剩下的一个价电子是2 p ：轨道。正是这个 非定域的厅电子对聚乙炔链的导电性起到主要作用。 由于碳原子和氢原子的相对位置可有不同排列，聚乙炔有几种同分异构 体。最主要的是反式聚乙炔和顺式聚乙炔，其结构如图1 所示。 反式聚乙炔 图1 hh 广、 一k l 一 hh 顺式聚乙炔 从图中可看出，交换反式结构的单双键并不会改变体系的能量。所以反式 聚乙炔有两个能量最低的相，即基态简并。这种结构上的对称性导致了p e i e r l s 相变。晶格自发的形变使得周期变为原来的两倍，即二聚化。二聚化在费米面 附近打开一个能隙并降低了体系的总能量，同时二聚化也使得费米面和布里渊 复旦大学理学硕士学位论文 区边界重合。这正是反式聚乙炔的基态是绝缘体而非导体的原因。反观顺式聚 乙炔，其结构并无此种对称性，所以并不会发生二聚化，是基态非简并的体 系。 2 2s s h 模型 为了理解导电高聚物的导电机理，h e e g e r 等人提出了s s h 模型。此模型将 仃电子视为原予内部的定域电子，而用紧束缚近似处理石电子，得到的哈密顿 为： h=h e + h 曲 。= 一一口( “。 j v 肿= 里2 ( “。 飞) z + 筝。i 2 式中各项的意义为：也是单电子能量的总和，h 。是晶格动能及势能 t o 是电子在近邻格点之间的跃迁能，g 是电子一晶格耦合常数，“。是第n 个格 点的位移， 口是晶格常数，k 是晶格弹性系数，凹是原予基团质量，c j 。和 c 。分别是自旋为s 的电子在第n 个格点上的产生和湮灭算符。 必须注意的 是，此哈密顿量并没有考虑电子的库仑相互作用。考虑库仑相互作用后，多体 关联会使得体系较为复杂。h e e g e r 他们还提出用序参量丸= ( 一1 ) “。代替“。来 描写格点的位移。这样做的好处是丸并不像“。那样随1 1 的变化而剧烈的变化， 它可以更好的描述二聚化的两个相。纯的出现也为连续化的t l m 1 3 模型打 下了基础。 基于这个简单的模型，得到了一系列能够被实验所检验的结果。二聚化的 能隙巳2 1 4 e 矿，孤子能隙e ，= o 4 e 矿 + f 。+ ( 一1 ) 一+ b ( j ，+ ：。) + = ( 一：) y ，一， r 。 yr ，一 ，。 l 。，+ ( 6 ) ( 7 ) 若有条件硝= 正。，并考虑到( 一1 ) 2 “1 = 1 ，得： r 。+ c 一，一，一 + 2 ，+ 1 ( z c 庐，+ 。十庐。，+ 7 r 。 】，f 一。一， c 8 ， 一 r 。+ c t ，- i + 2 1 一+ 2 - ibc 妒，+ + 妒j 一。，+ e 。 y ? ，一，+ ； = ( 一s ：) yf ，r 整理、得： + ( 一1 ) “ k ( “，+ ，) + + ( 一) 2 1 9 ( + 】+ 。) + + ( 一1 ) 。 b ( ，+ i - 1 ) + ( 9 ) + 一 ( ( 一 一 j p r y j盯，j儿盯， e e f f o 0 f f r，rl 一 一 复巨大学埋学硕士学位论文 对比( 6 ) 和( 9 ) ，可得比r = 坛一，即格点上的展开系数关于中心对称。这正是没 有外场时，哈密顿量中心对称的结果。 用数值模拟寻找稳定态时，不仅要解电子本征方程，还要用到晶格自恰方程 基于以上结果，我们可以证明下一步迭代将给出对称的位形。 自恰方程： 九吨r ( - 1 ) ”警障莓z 蔬z 知+一专莓毒莓瓦以+ 。 令聃= 卅+ 半，吒+ 半2 丸，z o + 型= z 0 ，得： ， m + 一 。 二! ：!p ” 小站，( - 1 ) ”+ 半警陲气。气。一舞毒弘。1 。o ) 令m 呻一肌，并利用关系z 0 = z ；，一，( 一1 ) 2 “= 1 得： 如也。一c 1 ) - ”毕2 相等陲o 一舞害髀。 ) 令聊。- - ) 聊+ 1 ，得： 1 + 广。 t 。+ 矿耐心2 ( 一1 ) “一2 警l 善莩z o z o + t - 专莓等莩z 。s z 。s + ，l “3 对比( 1 1 ) ，( 1 3 ) ，就可得到结果以= 。所以，下一次迭代的初始位形也是刈忡 的。综合电子本证方程和晶格自恰方程的对称性，最终将得到一个对称的稳定 复旦大学理学硕士学位论文 第3 章反向电荷转移 3 1 光诱导的极化反转 我们首先分析磁化与极化的相似和区别。在磁场作用下，体系的响应可分 为两种：对本身带有磁矩吖的分子，其磁矩将向磁场方向偏转，即泡利顺 磁性；而对于本身不带磁矩的分子，其产生的感应电流环的磁矩方向与圩相 反，即朗道逆磁性。然而在电场的作用下，无论是带不带电偶矩，其感应的电 极矩都将偏向电场方向e ，即如果体系处于基态，极化率总是正的。这种电与 磁的不对称源于麦克斯韦方程组中没有磁单极。然而，对于激发态，情况就不 一定如此。在高聚物链的激发态中可以出现负极化现象。 利用简单的量子力学微扰理论【1 5 ，可得到中。态对体系极化率的贡献为： 旷荟掣 ， p t 。u” 对于基态，电子由低能级到高能级依次填充，这决定了我们将所有占居态的 口。加起来后，体系的极化率一定为正。假设有两个局域态。和。的能级s 。 和钆( s 。 岛) 靠得很近。此时，起决定性作用的o 。态的贡献使口。为负而起 决定性作用的o 。态的贡献使吼为正。所以对某些o 。被占据的激发态，其总 的极化率可以是负值。分析指出 1 6 ，当激发态是激子时，总的极化率是正 值，而当激发态是双激子时，总的极化率是负值。所以，如果用光子激发激子 复旦大学理学硕士学位论文 形成双激子，极化方向会反转。如下图所示： p h u _ p 3 2 电荷反向转移的动力学模拟 + 光诱导的极化反转给我们提供了一种制备光控二态开关的途径。但仅知道 极化率的正负是不够的，我们要揭示光激发后，电荷反转所需的时间。为了进 一步揭示光诱导后高分子链中的电荷转移，我们模拟了链中价键和电荷的动力 学演化过程。 考虑一条n 个碳原子组成的共轭高分子链，在链长方向上加有外电场e 。 体系的哈密顿量为 1 7 ： h = h ：4 - hp h 七h = 一 屯+ ( 一1 ) “ a ( 。+ 妒。+ ，) + r 。】 ( c i c 。+ c ：，c 。) + 。e e ( ”一竿皿 ， = 等砂吨。2 + 等驴 h ，。= 丢u ( c ：，c 。 ，一尹1 + y 至k r 扣o c 。一圭)一 n i5 叫 - l、1；，_-t -lloli 兰呈查兰矍兰丝圭兰堡墼兰 其中，h 。是单电子能量的总和，日肿是品格动能及势能，h 。是电子相 互作用，t 。是电子在近邻格点之间的跃迁能，口是电子一晶格耦合常数，t 。 是非简并基态的能量禁闭常数，丸是晶格序参量，e 是外电场强度，口是晶格 常数，足是晶格弹性系数，m 是原子基团质量，u 表征同一格点上两个不同自 旋电子的相互作用，v 表征近邻格点上的电子的相互作用，。和c 。分别是自 旋为s 的电子在第1 1 个格点上的产生和湮灭算符。注意，在电场能项中，我们 没有考虑格点偏离平衡的位移，而用a 晶格常数来表示格点之间的距离。这是 因为从数量级上估计，偏离平衡的位移“。要远远小于，故忽略之。 由于高分子的能带宽度远大于电子相互作用，这意味着其并不是强关联体 系，可采用h f 近似来处理关联h e 一。( 见附录一) 。 知道哈密顿量后，既可求解定态s c h r o d i n g e r 方程： 爿i 收) = 1 ) 展开i ) = z 二。i ? ，司，代入本征方程，两边再左乘( j ，si ，可得 复旦大学理学硕士学位论文 啦。= 怍耐一舵1 矿降i 矗。i2 + 弘i 一聃z 卜一竿十： 一卜c 川唬峨一翻+ 圭y ( 莓z 。筏， b 。 一t o + ( - 1 ) 7 - t 一 d 甲1 ( 善z 品五。忡。 为了研究动力学过程还需要考虑品格的运动。由于原子基团的质量比电予 大得多，可视其为经典体系，满足牛顿力学： 办( f + f ) = 办( f ) + u ，o ) a t + 2 - 笔- ( f ) 2 u ；( h f ) ：峨( r ) + 互x i 出 u f ( h ) 2 q ( ) + 瓦“出 其中m 是原子基团的质量，a t 是时间步长，谚，峨，e 分别表征第i 个 格点的位移，速度，所受力。求f 方法如下： = 一毒够i h i y ) 其中l i f ，) 是体系的本征态，而缈p l i f ，) 表示了体系的能量。对于丌链体系 为了防止链的塌缩，需要在哈密顿量中加入线性约束项： 日= 足。口( 一1 ) “( 丸“+ 丸) 世n z m 。z ，+ z ：扎一z ：一 通过计算可得到力的表达式： 复旦大学理学硕士学位论文 i 一2 a e 以5 一世( 他+ 疵) + k 口 ( ”= 1 ) f = 一2 a 蝶一一足( 妒。一。+ 。) 十k a ( h = v ) 1 2 ( - 1 ) ”口( 孵一w l 。) 一k ( 丸一。+ 2 丸+ 丸+ ) ( 1 h ) 其中形? 为键电荷密度：孵= zj ：+ 1 1 ，z ：并且需要注意n 为偶数。由 于实际体系存在能量耗散，需引入阻尼因子a ，即在力的表达式中再加阻尼项 一五。至此，给定初始态后，联立电子本征方程和晶格运动所满足的牛顿方 程即可模拟高分子链的动力学演化过程。本文研究的光激发是从激子产生双激 子的过程：激予的一个电子从y 。激发至。后的动力学迟豫过程。如图所示 c b + 也1 ) h m o g b ， - 图2 激子态和双激子态 要得到初始态激子的位型和电子态需要联立求解电子本征方程和变分法所 得到的晶格位形自恰方程 1 8 】。本文计算模型中参数的选取如下 复旦大学理学硕士学位论文 00 t o = 2 5 e v ，口= 4 1 e v a ，k = 2 1 e v ( a ) z , n = 1 0 0 口0 t 。= 一o 0 5 e v ，e = o 2 5 m v a ，a = 1 2 2 a 利用以上公式，通过计算机模拟计算，我们得到以下结果： 图3 晶格位形随时间的演化 复q 人学理学坝i 哗位论义 图4 电荷分布随时间的演化 从图3 和图4 中，我们可以看到晶格振动和电荷分布的变化都呈现相同的周期 性。这是因为绝热近似假定了电子总是处在晶格位型的本征态上，所以电子的 周期性必然和晶格的周期性保持一致。其周期大约为3 5 f s 。如果我们简化体 系，视每个格点为一个受阻尼的振子。其周期为t = 2 石船。代入原子基团 的质量和弹性系数可得5 1 f s ，以模拟结果大致相同。从图2 中可看出电荷反向 复旦太学理学硕士学位论文 转移的过程。为了更清楚地看到电荷反转现象我们作了1 0 r s 以内的电荷分布 图。如下( 图中外场方向自左向右) ： 0 妒 耠 并 o2 0 of 舯舶t q p 6 口 旦 u 爿舻 司书 0 锄柏8 01 衡 图5 电荷分布随时间的演化( u 釜2 0e v , v = o 5e v ) o 丘j 日c u 稳u 塞呈尘兰些兰竺：! i 茎堡尘兰 艳 o 雹险 蚓书 p c ) 2 拖 廿 巳 6 o暂4 0 叩 。口 习书 习 图6 电荷分布随时间的演化( u = 4 0e v , v = i 0e v ) 18 - 啦西- 母c o 墨兰奎兰矍耋耋圭兰竺兰三 由于电荷分布不均匀，电荷之间有相互作用。图5 和图6 给出了h u b b a r d 相互作用不同时，模拟演化的结果。从图中可以看出，相互作用越强，电荷转 移地越快。这正是正负电荷相互吸引的结果。 我们还计算了通过链的中点的电荷量随时间的变化： 。，2 墨- o + 4 6 - 0 b - m 8 - 1 a o5 01 0 01 s o t i m e ( 饴) 图7 转移电荷量随时间的演化 图中的负值表示电荷转移的方向与外场方向相反。从图中可看出，虽然不 同的h u b b a r d 相互作用使得电荷转移的速度不同，但是当体系趋于稳定时，电 荷转移的总量却并不敏感的依赖于相互作用。为了证明此观点，我们对不同的 相互作用作了一系列的研究，如下表： 10pun01j 复旦大学理学硕士学位论文 u ( e v ) 2 0 2 5 3 o3 24 o v ( e v ) o 5o 50 50 81 o i 电荷转移量( e ) 一0 4 4 7- 0 4 5 80 4 6 80 4 7 4- 0 4 8 0 表1 不同h u b b a r d 相互作用下的电荷转移量 看了以上结果，可能有的人会觉得我们的结果有悖于通常的电荷移动规 则：正电荷移向负极，负电荷移向正极。其实这种反常的现象是一维体系特有 的自陷效应所引起的结果。由于一维的特殊性，体系晶格较容易形变，这就导 致电子和晶格偶合在一起形成集体激发，这种激发的运动规律是与裸电子的运 动规律不同的。 茎呈查兰圣兰丝圭兰堡堡兰 参考文献 1 工i t o ，h s h i r a k a w a a n d s ，i k e d a , j 。p o l m s c i ，p o l y m 。c h e m 。e d 。1 2 ，1 1 ( 1 9 7 4 ) 2 h s h i r a k a w a ，e j 1 0 u i s ，a gm a c d i a r m i d ，c k c h i a n ga n da j h e e g e r , c h e m c o m m 5 7 8 ( 1 9 7 7 ) ( 3 】w ps u ，j s c h r i e f f e ra n d a h e e g e r , p h y s r e v l e t t 4 2 ，1 6 9 8 ( 1 9 7 9 ) 4 w ps u ，j s c h r i e f f e ra n da h e e g e r , p h y s r e v b2 2 ，2 0 9 9 ( 19 8 0 ) 5 】d k c a m p b e l la n d a r b i s h o p ，p h y s r e v b2 4 ，4 8 5 9 ( 1 9 8 1 ) f 6 】d k ，c a m p b e l l ，a r b i s h o pa n dk f e s s e r , p h y s r e v b2 6 ，6 8 6 2 ( 1 9 8 2 ) 7 b h o r o v i t z ，p h y s r e v l e t t 4 6 ，7 4 2 ( 1 9 8 1 ) 8 a r b i s h o p ，e ta 1 p h y s r e v l e t t 5 2 ，6 71 ( 19 8 4 ) 【9 】j h b u r r o u g h e s ，d d c ，b r a d l e y , a r b r o w n ，r n m a r k s ，k m a c k a y , r h f r i e n d ，el b u r n ，a n d a b h o l m s ，n a t u r e ( l o n d o n ) 3 4 7 ，5 3 9 ( 1 9 9 0 ) 1 0 d wm c b r a n c ha n dm b s i n c l a i r , i nt h en a t u r eo ft h ep h o t o e x c i t a t i o n si n c o n j u g a t e dp o l y m e r s ，e d i t e db yn s s a r i c i f t c i ( w o r l ds c i e n t i f i cp u b l i s h i n g ， s i n g a p o r e ，19 9 7 ) 11 】vi k l i m o v , d wm c b r a n c h ，n ，b a r a s h k o v , a n dj f e r r a r i s ，p h y s r e v b5 8 ， 7 6 5 4 ( 1 9 9 8 ) 【1 2 】x s u n ，r 工f u ，k y o n e m i t s u ，a n dk n a s u ，p h y s r e v l e t t 8 4 ，2 8 9 0 ( 2 0 0 0 ) 【1 3 h t a k a y a m a ，yr l i n l i ua n dk m a k i ，p h y s r e v b2 1 ，2 3 8 8 ( 1 9 8 0 ) 1 4 m a n u s c r i p to f p r o f s u nx i n 1 5 k d b o n i na n dvv k r e s i n ，e l e c t r i cd i p o l ep o l a r i z a b i l i t i e so fa t o m s ， m o l e c u l e sa n dc l u s t e r s ( w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，19 9 7 ) 1 6 g u a n g - q il i ，x i ns u na n dt h o m a seg e o r g e ，m o d e mt o p i c si nc h e m i c a l p h y s i c s ，2 0 0 2 1 7 a j h e e g e r , s k i v e l s o n ，j r s c h r e i f f e r , a n dwps u , r e v m o d p h y s 6 0 ， 7 8 1 ( 1 9 8 8 ) 1 8 高聚物中的孤子和极化子，四川教育出版社，孙鑫等。 2 1 ：墨呈查耋些耋竺圭兰堡鎏兰 附录 附录一：h u b b a r d 模型的平均场近似 爿= 己，o i ，c 。一导) ( c i 一，c 。一 ) + r o i ，c 。 。 f j 。 i j 圭u 善厂抛。，一争 2 圭u 善眠厂扣一，一尹1 = 圭u i , s 氓 一一扛 其中 凡 ： j s = ( n 。一( n 。) + ( 一，) ) ( n 。一，一( n ，一，) + ( n 1 - s ) ) f j = k n 。一( 一一，) ) ( 一，；一( n ，一，) ) + ( n ，一( n 。) ) ( 一。，一，) ! ( 一，) ( ”。，。，一( n 。，一，) ) + ( 一，) ( 一，。，) j f j - k i = 1 1 ( _ ，一( ：) ) ( ；一( n 。；) ) 表征两子涨落引入近似省略此项。而( 一。) ( 一，) = j 。一 i ，) 一丢 ，代入( i ) ，可得 ；u 丢气，一扣? _ s c i _ a - - 尹i = 圭u 善m “( 一， 矿( c j ：j c 。一寺) ( c c 。一一了1 ) = y ( c h ，c 池c 。一寺c 沁c 。，； f s ， 一 。 f ， “ 其中 c i 。c ，c 二c ， = c i ；c 。( 卜c c ：i , s 一 5c i 。c 。一c i ；c ，c 沈 2c i ；一c i ，c 。，c ：h 一， 因此 y 善( c 以矗，。一上2c i + 。- 2 - c 巩+ 扣fij - = r 丕( 扛气_ ，。一+ 圭b u c 以一c 沁气。) 一瓤。c 。，： - 2 2 挑。 t 、j _ ： ( c 一4 + h ； c 一 ( i ) l 。一2 ，叫2 k 三一 n 卜f 等 i | 吖 z i ( “ u = n l、， ? 2 缸 + + j j c c + h + h c 0 一2 一2 一 一 = 。：二塑查耋垩兰錾耋鬟堡兰兰 一。， i ，j 2 弘m 屯。) 地枷。j 一7 1 i + 1 s ) + ( n 。) ) 省略涨落项，口) 得 = 。到 。饥( 。一) 如* 。) ) ( 3 ) c i * c ii , c 知o ， 3 争溉。一似。一) + ( 记。，) ) ( c 沁气， 省略涨落项，可得 2 争i s c i + 1 s ( 气；) + ( c 飘。) 一，( c i 。，