（信号与信息处理专业论文）不同阵型下doa估计算法和陈元缺损时陈列性能的研究.pdf

不f 司阵型下d o a 估计算法和阵元缺损时阿列忖! 能的石j 1 究 一- 一_ _ - 一 捅要 阵列信号处理技术是信号处理领域一个重要分支，在众多应用领域中成为核心技 术及主要发展方向，如雷达领域中的相控阵技术、通信领域中的智能天线技术以及电 子对抗领域中的超分辨测向技术等。其中超分辨阵列测向算法是阵列信号处理领域究 的热点问题，主要解决空间信号的高精度角度估计问题。因此，本文结合“十一五 预研项目，主要研究不同阵型下的空间信号角度估计和阵元缺损时阵列性能的问题。 首先，针对均匀直线阵列，研究了一种基于d f t 的最小范数方法。由于经典的 m u s i c 方法需要对阵列数据进行特征分解和谱峰搜索，因此算法计算量较大。使用 d f t 变换矩阵与阵列协方差数据相乘来代替特征分解过程，同时利用最小范数的方法 修正噪声子空间或者信号子空i 日j 的基，使阵列流型空间与噪声子空间具有更好的正交 性。这样，与经典m u s i c 算法相比，减小了算法计算量，同时精度也得到了保证。 其次，针对均匀圆形阵列，研究了一种基于e s p r i t 的快速d o a 算法，并与模式 空间下的e s p r i t 算法进行了性能对比。圆阵m u s i c 算法需要对俯仰角和方位角二维 角度空间扫描，访算量巨大；模式空间下的e s p r i t 算法是一种闭式算法，计算量小， 但是精度没有圆阵m u s i c 算法高；而基于e s p r i t 的快速d o a 算法，首先通过e s p r i t 算法完成算法粗估计，再通过m u s i c 算法局部搜索得到最终估计结果。这样，基于 e s p r i t 的快速d o a 算法保证了估计精度，同时有效的降低了算法计算量。 最后，研究了在实际应用中，阵列阵元出现缺损对不同阵列的阵列方向图造成的 影响。如果是均匀线阵，当缺损阵元位于不同位置时，对阵列的影响是不同的，等效 于阵列的阵列阵型发生了变化；同理分析了均匀圆阵的不同位置阵元缺损对阵列的产 生的影咐。显然，由于圆阵的中心对称特性，圆阵阵列的抗毁性优于线性阵列。 关键词：d o a ，最小范数，均匀线阵，均匀圆阵，阵元缺损 哈尔滨下程人学顶十学位论文 a b s t r a c t a r r a ys i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n o l o g yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fs i g n a lp r o c e s s i n g ，a n db e a st h ec o r et e c h n o l o g ya n dt h em a i nd i r e c t i o no fd e v e l o p m e n ti nm a n ya p p l i c a t i o na r e a s ， s u c ha s p h a s e da r r a yt e c h n o l o g yi nr a d a rf i e l d ，s m a r ta n t e n n at e c h n o l o g yi n c o m m u n i c a t i o n sa n dh i g h r e s o l u t i o nd i r e c t i o ne s t i m a t i o ni nt h e f i e l do fe l e c t r o n i c c o u n t e r m e a s u r e s a n dh i g h 。r e s o l u t i o nd i r e c t i o ne s t i m a t i o na l g o r i t h m si sah o ti s s u ei na r r a y s i g n a lp r o c e s s i n gr e s e a r c h ，m a i n l yt os o l v et h eh i g h - p r e c i s i o na n g l ee s t i m a t i o n s ow e i n v e s t i g a t et h ea n g l ee s t i m a t i o ni nt h ed i f f e r e n ts h a p e so ft h ea r r a ya n da r r a yp e r f o r m a n c e w i t hd e f e c ta r r a ye l e m e n t s ，i nc o m b i n ew i t ht h es p e c i f i c e l e v e n t hf i v ey | e a r ，r e s e a r c h p r o j e e t f i r s t l y , f o ru n i f o r ml i n e a ra r r a y , am i n i m u mn o r mm e t h o db a s e do nd f ti sr e s e a r c h e d s i n c et h ec l a s s i cm u s i ca l g o r i t h mr e q u i r e se i g e n v e e t o r sa n ds p e c t r u mp e a ks e a r c h ，t h e c o m p u t a t i o no ft h ea l g o r i t h mi sl a r g e t h ep r o c e s so fe i g e n - d e c o m p o s i t i o ni si n s t e a do ft h e p r o d u c to fd f tm a t r i xa n da r r a yd a t am a t r i x ，b a s i so fs i g n a ls u b s p a c ei sm o d i f i e db y m i n i m u mn o r mm e t h o di nt h es a m e ，s ot h en o i s es u b s p a c ea n da r r a ys p a c e sh a v eb e t t e r o r t h o m e t r i c t h e nt h e a l g o r i t h m h a v el e s s c o m p u t a t i o nb e t t e rp e r f o r m a n c et oc l a s s i c a l g o r i t h m s e c o n d l y , f o ru n i f o r mc i r c u l a ra r r a y , aq u i c kd o ae s t i m a t i o na l g o r i t h mb a s e do n e s p r i ti sg i v e n ，c o m p a r e dw i t he s p r i ta l g o r i t h mi np a t t e r ns p a c e b o t ht h ea z i m u t ha n d e l e v a t i o na n g l en e e dt ob es e a r c h e df o rt h em u s i ca l g o r i t h mi nu n i f o r mc i r c u l a ra r r a y , a n d t h ec o m p u t a t i o ni sl a r g e t h ee s p r i t a l g o r i t h mi np a r e r ns p a c ei sac l o s e d - f o r ma l g o r i t h m ， s oi th a sl e s sc o m p u t a t i o na n dl e s sp e r f o r m a n c e b u tt h eq u i c kd o ae s t i m a t i o na l g o r i t h m b a s e do ne s p r i tr o u g h l ye s t i m a t et h e a n g l e sb yt h ew a yo fc l o s e d f o r me s p r i t a l g o r i t h m ，a n dt h e nt h ef i n a le s t i m a t e sw i l lb eg o tt h r o u g ht h ep r o c e s so fl o c a ls e a r c hb yt h e m u s i ca l g o r i t h mu s e df o ru n i f o r mc i r c u l a ra r r a y t h er e s u l ti st h a t t h eq u i c kd o a e s t i m a t i o na l g o r i t h mb a s e do ne s p r i th a v eh i g h r e s o l u t i o na n g l ee s t i m a t i o na n dl e s s c o m p u t a t i o ni nt h es a m et i m e f i n a l l y , t h ee f f e c to fa r r a yp a t t e r nw i t hd e f e c ta r r a ye l e m e n t si np r a c t i c ea p p l i c a t i o ni s r e s e a r c h e d i nt h ec a s eo fu n i f o r ml i n e a ra r r a y , t h el o c a t i o no fd e f e c ta r r a ye l e m e n ti s d i f f e r e n t ，t h er e s u l to fa r r a yp a t t e mi sd i f f e r e n t ，e q u a lt ot h ea r r a ys h a p ei sd i f f e r e n t i nt h e 不同阵型fd o a 估计算法和阵元缺损时阵列性能的研究 i i i i i i i i 萱i i i i i i a i mit m 一i i_ i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 宣i i i i i i i i i i i i i s a m e ，i nt h ec a s eo fu n i f o r mc i r c u l a ra l r a y , t h el o c a t i o no fd e f e c ta r r a ye l e m e n ti sd i f f e r e n t ， t h ee f f e c to fa r r a yp a r e mw i l lb ed i f f e r e n t b u tt h eu n i f o r mc i r c u l a r a r r a yh a v e g e o m e t r y - s y m m e t r i cp r o p e r t i e s ，t h a ti st h ee f f e c to fa r r a yp a r e mi ss a m eb yr o t a t et h e p a t t e r nw h e nd e f e c ta r r a ye l e m e n ti sd i f f e r e n t s ot h ee f f e c to ft h eu n i f o r mc i r c u l a ra r r a y p a r e mw h e na r r a yh a sd e f e c ta r r a ye l e m e n ti ss m a l lt h a nu n i f o r ml i n e a ra r r a y k e yw o r d s ：d o a ，m i n i m u mn o r m ，u n i f o r ml i n e a ra r r a y , u n i f o r mc i r c u l a ra r r a y , d e f e c t a r r a ye l e m e n t 第1 帝绪论 i i i i i i i i 萱i i i i i i i i t ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 宣 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 阵列信号处理在近3 0 年来是一个迅速发展的领域，在雷达、声呐、通信、电子对 抗、地震信号处理、语音信号处理、射电天文等领域都得到了广泛应用，并逐渐成为 众多应用领域中的核心技术及主要发展方向，如雷达领域中的相控阵技术、通信领域 中的智能天线技术、电子对抗领域中的超分辨测向技术以及语音信号领域中的麦克风 阵列技术等技术。 近年来，随着通信领域中无线通信技术的飞速发展，移动通信用户数量快速增加， 数据传输速率和通信流量不断提高，人们对通信系统资源的要求也越来越高。然而， 在通信系统物理层，时域、频域和码域经过几十年的充分挖掘后几乎发挥到了极致， 进一步大幅提升的空间较小。但是，在空间这一维度还有很大的开发空间，因此空间 资源的开发和利用成为人们瞩目的焦点。智能天线、自适应天线阵等技术应运而生， 逐渐成为各类通信系统的关键技术之一，例如我国具有自主知识产权的t d s c d m a 标准中就采纳了八阵元的自适应阵列。此外，在军事通信领域中，随着无线通信环境 的日益复杂，多天线阵列技术也被广泛应用，如机载预警雷达、舰载雷达等【i 2 】。 阵列信号处理是利用多个空间上离散的传感器组接收目标发射的信号，并从中提 取与目标相关的信息，同时抑制噪声和干扰或不感兴趣的信号。与一般的信号处理方 式不同的是，阵列信号处理要求布置在空间不同位置的传感器是按照一定规则分布的， 即传感器阵列具有一定的几何结构，这样就可以利用阵列的空域特性来增强信号或有 效提取信号的空域信息。因此阵列信号处理也常称为空域信号处理。 阵列信号处理的主要两个研究方向分别是自适应空域滤波和空间谱估计。自适应 空域滤波是通过对阵列各阵元加权实现空域滤波，以达到增强期望信号、抑制干扰的 目的。空| 白j 谱估计侧重于研究天线阵列估计空间信号的多种参数的能力，其主要目的 是估计信号的空域参数。正如时域频谱表示信号在各个频率上的能量分布一样，空间 谱表示信号在空间各个方向上的能量分布。因此，根据信号的空间谱，就可以得到信 号的波达方向( d i r e c t i o n o f - a r r i v a l ，d o a ) ，所以空间谱估计也常称为d o a 估计【3 1 。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 2 空间谱估计的国内外研究现状 ， 常规波束形成法是早期的基于阵列的d o a 算法，也称b a r t l e t t 波束形成法。这种 方法是传统时域傅里叶谱估计方法中的一种空域简单扩展形式。与时域的傅里叶限制 一样，阵列角度分辨力受限于空域傅里叶限制，即一个波束宽度内的多个空间目标是 不可分辨的，而空域傅里叶限制就是阵列的物理孔径尺寸，通常称为“瑞利( r a y l e i g h ) 限”。所以提高空间处理精度的有效方法就是增大天线孔径，减少波束宽度。然而在实 际应用中，通过不断增加天线孔径来提高空间精度是不现实的，通常阵列确定后其物 理孔径就是确定的，从而其角度分辨率也是有限制的。但是2 0 世纪6 0 年代以来，高 分辨d o a 估计技术成功突破了瑞利限的限制，可大大改善空间信号的角度估计精度 及其它相关参数的估计性能。 空间谱估计的研究工作自2 0 世纪6 0 年代开始，一直持续至今，依然是信号处理 领域一个活跃分支。在空间谱理论发展的过程中，从对信号处理的角度来看，现有的 主流算法大致可以分为以下三类，线性预测类算法、子空间分解类算法以及子空间拟 合类算法。 2 0 世纪6 0 年代以来，线性预测类算法具有代表性的算法有p i s a r e n k o 的谐波分析 法、1 9 6 7 年b u r g 提出的最大熵法( m a x i m u me n t r o p ym e t h o d ，m e m ) 和1 9 6 9 年c a p o n 提出的最小方差法( m i n i m u mv a r i a n t em e t h o d ，m v m ) 1 4 j 。这类算法突破了b a r t l e t t 波束形成算法的局限性，提高了d o a 估计的精度和空间角度分辨率。但是这些基于 线性预测模型的非线性估计方法均假设信号的谱为连续谱，同时对应空域信号处理中 则为假定信号源在空间中是连续分布的，信号是空间平稳的随机过程等等。然而，这 样的假设在大多数空间谱估计中是不成立的，因而这些方法具有很大的局限性。 2 0 世纪7 0 年代末，空间谱估计取得了大量的研究成果，有大量文章在国际相关 学术会议以及重要学术期刊上都发表。特别是s c h m i d t 等人提出的多重信号分类算法 ( m u l t i p l es i g n a l sc l a s s i f i c a t i o n ，m u s i c ) p 】，实现了向现代超分辨率测向技术的飞跃。 子空间分解类算法可以分为两类，一类是以m u s i c 为代表的噪声子空间类算法：另 一类具有代表性的是r o y 等人提出的旋转不变子空间算法( e s t i m a t i o no fs i g n a l p a r a m e t e r sv i ar o t a t i o n a li n v a r i a n c et e c h n i q u e s ，e s p r i t ) 【6 】。子空间分解类算法的特 点是通过对阵列接收数据进行数学分解( 如特征分解、奇异值分解和q r 分解等) ，将 阵列的接收数据划分为两个互相正交的子空间，分别是与阵列流型空间一致的信号子 空间和与信号子空间正交的噪声子空间。子空间分解类算法就是利用两个子空间的正 2 第l 章绪论 i i i i i i i i i i i i i - - i i 一i i i 交特性构造出尖锐的空间谱谱峰，进而可以精确的估计出d o a 角度，大大提高算法 的空间分辨力。 以m u s i c 算法为代表的子空间分解算法包括m u s i c 、求根m u s i c ( i b o t m u s i c ) 法【7 1 及最小范数法( m i n i m u m n o r m a lm e t h o d ，m n m ) 【8 1 等。由于m u s i c 算法需要对 角度空间进行谱峰搜索，因此算法计算量大，求根m u s i c 则把谱峰搜索的过程转化 为求多项式根的问题，因而减少了计算量。而由于信号子空间和噪声子空间是由有限 个阵列接收数据估计得到的，因此估计的信号子空间与噪声子空间不会完全正交，最 小范数法则通过修正估计的噪声予空间或者信号子空间改善两个估计子空间的正交 性，从而获得较好的d o a 估计结果以及更高的空间角度分辨率。 以e s p r i t 算法为代表的一类子空间分解算法包括最d x - - 乘e s p r i t ( l e a s ts q u a r e e s p r i t ) t 9 1 、结构最d , - 乘e s p r i t ( t o t a ll e a s ts q u a r ee s p r i t ) t 1 0 1 、酉e s p r i t ( u n i t a r y e s p r i t ) 法【l l 】和加权e s p r i t ( w e i g h t e de s p r i t ) 1 2 1 。与m u s i c 算法不同的是，e s p r i t 算法不需要严格知道阵列的几何结构，因此对阵列校正误差不敏感。但是e s p r i t 算 法需要构造阵型相同的子阵，从而利用相同子阵的不同子空间具有旋转不变的特性来 估计d o a 角度的，因此e s p r i t 算法的阵元利用率不如m u s i c 算法【1 3 , 1 4 1 。 从2 0 世纪8 0 年代开始，出现了众多子空间拟合类算法，比较有代表性的算法有 最大似然( m a x i m t u nl i k e l i h o o d ，m l ) 算法1 1 5 1 、加权子空间拟合( w e i g h t e ds u b s p a c e f i t t t i n g ，w s f ) 算、法t m 】等。最大似然参数估计类方法是参数估计理论中一种典型和实用 的估计方法，它包括确定信号下的条件最大似然算法和随机信号下的无条件最大似然 算法。1 9 8 8 年，z i s k i n gl 与m a xm 讨论了将最大似然参数估计方法应用于波达方向 估计，但是由于方向估计似然函数是非线性的，因此求解最优解需进行多维搜索，计 算量巨大，难以实用化非常困难。所以，后续有关最大似然算法的研究集中在算法的 估计性能和算法的实现上，以大幅减少运算量【1 7 1 。w s f 算法按子空间特性不同可分为 两类：信号子空间拟合算法和噪声子空间拟合算法。子空间拟合类算法最终都可以归、 结为多维参数的优化的问题，所以最大似然算法的实现过程和加权子空间拟合算法的 实现过程可以通用：虽然子空间拟合算法具有运算量大的缺点，但与子空间分解类算 法相比，其估计性能优良，特别是在低信噪比、小快拍数数据的情况下，此类算法比 m u s i c 等子空间分解类算法性能好得多。另外子空间拟合算法的一个优点是在相干源 情况下仍能得到有效估计，而此时子空间分解类算法若不对阵列接收数据作特殊处理 则估计失效。 以上是从对信号处理的角度对主流空间谱估计算法的介绍。在空间谱估计技术的 哈尔溟工程大学硕十学位论文 i fi l li ii 发展过程中，相关的理论和算法还可以从以下几个角度来考虑，一是信号源是否相干 【1 8 1 ；二是阵列阵型的几何结构，常用的阵型有线阵，圆阵【1 9 , 2 0 】，l 阵【2 l 】，交叉阵瞄】， 双平行阵2 3 , 2 4 1 ，矩形阵瞄1 等；三是宽带信号的空间谱估计【2 6 】：四是多维空间谱的估计 l 2 7 ，2 羽。目前针对一维参数的d o a 估计的研究已得到广泛研究，在很多应用场合也取 得了较好效果，而多维的空间谱估计是一个更贴近实际的问题，包括方位角和俯仰角 联合估计的问题，方位角和频率联合估计的问题 2 9 , 3 0 , 3 1 l ；最后还有些其他问题，例 如近场信号【3 2 l ，非圆信号【3 3 】等特殊环境下的空间谱估计。 尽管空间谱估计的理论发展非常迅速，但是现有的高分辨d o a 算法的运算量偏 大，对处理系统的运算要求较高。文献【3 4 】利用信源分布的先验信息来降低阵列输出 数据向量的维数，从而减少算法计算量。文献 3 5 1 给出了一种基于多级维纳滤波的快 速子空间拟合算法。文献 3 6 ，3 7 是探讨了快速d o a 算法的硬件实现。减少算法的运 算量，提高低信噪比及小快拍数情况下的d o a 估计性能，增强算法的实时性、鲁棒 性，降低实现复杂度将是空间谱估计技术的重要环节f 3 8 彤】。因此，d o a 算法的快速实 现及实时实现的软硬件设计问题是一个研究热点。 奎3 论文的主要工作及内容安排 本文的工作结合。十一五”预研项目，主要研究超分辨d o a 估计快速算法，包 括一维线阵d o a 估计的问题，二维圆阵d o a 估计的问题以及阵列中阵元缺损对阵列 造成的影响。论文共五章，具体内容安排如下： 第一章为绪论。首先对论文的背景和意义进行了简要的介绍；对国内外d o a 估 计算法的研究情况进行了必要的说明；最后对论文的主要工作及内容安排做了介绍。 第二章是空间谱估计基础知识该章介绍了d o a 估计中基于线阵和圆阵的常用 的窄带模型；详细的介绍了子空间分解类算法中最具代表性的算法m u s i c 算法和 e s p 赳t 算法。 第三章是针对不同的阵型快速d o a 估计的研究。对于均匀线阵，将m u s i c 算法 中特征分解的过程以与傅里叶变换矩阵代替，从而减少计算量，接着生成噪声子空间 或者信号子空间用于d o a 估计。最后对算法进行了性能仿真与分析。 对于均匀圆阵，通过变换矩阵，使圆阵的阵列流型也具备范德蒙德矩阵形式从 而可以应用e s p r i t 算法。接着，给出一种基于e s p r i t 的圆阵快速d o a 估计算法 最后，仿真了快速算法和模式空间下e s p r i t 算法并进行了性能比较 4 柔1o - 绪论 萱i i 一i i i i i i i i i i i i 宣i i i i i i i i i i i i 第四章主要分析阵元缺损的情况对阵列造成的影响。在实际应用中，阵列存在阵 元缺损时，对阵列性能造成多大影响是一个很实际的问题。该章讨论了阵元缺损对均 匀线阵和均匀圆阵这两种阵型的阵列方向图造成的影响。 最后一章对本文的工作进行了总结，并给出了有待进一步深入研究的方向及内容。 哈尔滨工程大学硕士学伊论文 第2 章空间谱估计基础 空间谱估计是利用空间阵列实现空间信号参数估计的技术。本章主要介绍空间谱 估计所涉及的一些基础知识，从而为后续章节的算法研究和分析奠定基础。 2 1 阵列信号模型 针对不同的应用环境，信号源可为窄带信号或者宽带信号；阵列阵型可为线阵、 圆阵、l 阵以及矩形阵等；由传输环境的不同，例如多径传输，阵列可能接收到的信 号为相关信号或不相关信号；根据传输距离的远近，阵列接收信号可分为远场信号和 近场信号。考虑本文主要研究内容，作以下假设： 1 假设阵列接收信号为远场窄带不相关信号 假设信号源发出的信号为窄带信号，即信号的带宽b 远远小于载波频率f 。信号 为远场信号，即信号点源与阵列之间的距离至少大于1 0 倍波长，此时信号点源辐射的 电磁波可以近似看作平面波。若信号经过多径传输到达阵列，可能产生多个相关信号， 这时需要相关算法进行d o a 估计，本文仅考虑不相关信号入射到阵列的情况。 2 假设背景噪声为高斯白噪声 实际中阵列的噪声可能是高斯分布的，也有非高斯分布的情况；噪声也可能是色 噪声，甚至是冲击噪声。本文中研究的内容主要是针对背景噪声为高斯白噪声来展开 的。 3 无特殊说明外，假设信号源个数是已知的 信号源个数的估计也是空间谱中的一个重要问题，但信号源个数估计的问题不在 本文讨论范围内，因此如无特殊说明，假定信号源个数已知。 阵列由一组全向阵元组成，建立空问直角坐标系，阵元的位置为p 。，如图2 1 所 示。阵列阵元在位置p 。：n = 1 ，上对信号场进行空域采样。空间直角坐标系中，入 射信号的方向为u ，由于信号入射方向与信号波数方向相反，故图2 1 中，信号以一1 1 方 向入射。， 6 一 第2 章窄闻谱估计基础 图2 1 平面波入射到阵列 若信号以俯仰角0 ，方位角9 入射到阵列，则信号的方向矢量为 u = s i n o c o s s i n o s i n 孕, c o s o r ( 2 1 ) 若在参考点处，即空间直角坐标系原点处接收的信号为s ( f ) ，则阵列阵元矾处接收的 信号为s ( t 一乙) ，其中 嘻 = 一1 1 1 7 _ p n 一1 c ( s i n o c o s o - 如+ s i n o s i n ( a p ，, + c o s o p , , ) ( 2 2 )c c 7 ： 在信号源是窄带信号的假设下，信号可用如下的复包络形式表示： k 纂嚣卵硼 镇3 ， 式中彳( ，) 是接收信号的幅度，伊( f ) 是接收信号的相位，缈是接收信号的频率。在远场 窄带信号的假设下。有以下关系 j 彳( ，一f ) 彳- - “v ) 1 砸一f ) ：舛) ( 2 4 ) 【砸一f ) = 伊( ，) 、厶斗， 根据式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) ，下式成立 s ( t f ) s ( t ) e 一伽( 2 5 ) 联合式( 2 。5 ) 与式( 2 2 ) 阵列阵元n 的接收信号为 s o ( t ) = s ( t - r , ) s ( t ) e 归气，r = l ，n( 2 6 ) 同时，由式( 2 2 ) 可得 国2 一= u 1 p 。= 一u 。p 。 ( 2 7 ) c 元 一 哈尔浜工程大学硕士学位论文 i i i i i ii l 考虑阵列有个阵元，共有d 个信号入射到阵列上，在得到任意阵列阵元p 。的接 收信号后，假设阵元上噪声为以，) ，我们可以写出阵列中第刀个阵元上的接收数据为 o ) = ：l s , ( t - r ，) 十砸) ( 2 8 ) 将阵列所有的n 个阵元写成一个列向量的形式有 e x p ( 一j o j r , 2 ) e x p ( 一细巧d ) e x p ( 一j c o r 2 2 ) e x p ( - j 缈r 2 d ) ： ： e x p ( 一j m f n o e x p ( 一j t n 曲 岛( f ) 屯( f ) s o ( t ) + ( f ) n a t ) 刀( ) ( 2 9 ) 将式( 2 9 ) 用向量形式表示为 x ( f ) = a s ( t ) + n o ) ( 2 1 0 ) 式中，x 为n x l ，维向量，a 为n xd 维向量，s 为d x l 维向量，n 为n x l 维向量。a 中的每一列为阵列阵元对每一个信号的延迟，每一行为不同信号对同一个阵元的延迟。 由于中的每一列反应了阵列对一个信号的响应关系，称其为导向矢量，矩阵a 表示 了阵列与信号闻韵延迟关系，称矩阵a 为阵列流型( 导向矢量阵) 。 式( 2 1 0 ) 即为远场窄带信号下阵列接收数据模型，下面给出线阵和圆阵两种情 况的具体数学模型。 2 1 1 均匀线阵信号模型 均匀线阵( u n i f o r ml i n ea r r a y ，u l a ) 为阵列阵元等间距放置在一条直线上的阵 列，假设间隔为d 的均匀线阵共有n 个阵元，如图2 2 所示。 l y 、j dd 图2 2n 个阵元的均匀直线阵列 假设共有d 个信号入射到阵列上，信号入射方向与阵列法线方向夹角为 包乏卜9 0 。，9 0 。】，f = 1 ，d ，则根据式( 2 9 ) 可得均匀线阵的阵列流型为 3 0 岛 知 砌蛔：慨 啾姒 哦 以 似 雠 = ) a，o ；o 五而 h 第2 章窄问谱估汁基础 i 宣i 置i 宣i i 置i i i i i i i i i i i i f i i ii ：i 皇i i i i i i i a = l 似p ( 一，孕d s i ，l l 鼠)e x p 【一，dj l e x p ( 一_ 2 1 - r ( 一1 ) ds i n q ) a l 州一，了2 j rd s i n 岛) e x p ( 挈( 一1 ) d s i n 岛) 以 1 e 砸一_ 孥幽n o o ) 以 e x p ( - j2 - f f - 芋( n 一1 ) d s i n a o ) ，。 ( 2 1 1 ) 。从式( 2 1 1 ) 可知，均匀线阵的阵列流型具备范德蒙德矩阵形式，这种阵列流型 使得均匀线阵具有许多良好的性能，因此许多算法都是针对均匀线阵提出的。 还需要注意的是均匀线阵的阵元间距d 的选取。在d o a 角度估计中，为了避免 角度信息模糊，天线间距不能太大。两个天线之间的最短距离d 必须小于最高频率波 长的一半，下面从空间采样的观点来说明这一问题，如图2 3 所示。 l 图2 3 从至同采样角度看均匀线阵 ：t 若一个正弦波入射到阵列上，输入信号的波长为旯，沿x 轴相应的波长是 五= 南 ( 2 1 2 ) q l n 阿 为了满足n y q u i s t 采样定理，每个周期需采样两次，即相邻两个天线之间最短距离为 丸i n 时， 以( ) 0 ，因此一个半径为足、阵元为膨的均匀圆阵可激发的最大相位模式为 k 皇l i ( 1 i 表示向下取整) ，即均匀圆阵可激发的所有相位模式有 - k ，一k + l ，0 ，k l ，k ，共2 k - i - 1 个相位模式。 均匀圆阵可激发的最大相位模式k ，与入射信号波长五，圆阵半径足，以及信号 俯仰角p 有关，但是若只估计窄带信号的方位角，则俯仰角为固定值9 0 。，可激发的 最大相位模式与圆阵半径相关。同时圆阵阵元的个数选择也非常重要，阵元个数不仅 使圆阵半径受到限制，同时会影响方向图中的周期延拓分量的大小。前面已经讨论到。 期望周期延拓分量的影响越小越好，即选择合理的膨使式中的曰卅趋近于零。事实上， 只要使h + 以m 展- k 俄sk ，片o 成立，则必有厶+ 枷( ) 0 。不难发现，当m 2 k 时。就可以保证b 趋近于零。也就是说，忽略周期延拓分量后，均匀离散圆阵的方 向图有着和连续圆阵近似相同的相位模式空间。在应用圆阵的模式空间后，就可以将 圆阵变换成虚拟线阵，从而使用e s p r i t 等优良的线性算法。 2 2 经典子空间分解算法 1 9 7 9 年s c h m i d tro 等人提出了m u s i c 算法，b i e n v e n u 和k o p p 也独立提出了这 个算法这一算法开创了空间谱估计算法研究的新时代，促进了子空间类算法的兴起 与发展。而m u s i c 算法的基本思想则是将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征 分解，从而得到与信号分量对应的信号子空间和与信号分量正交的噪声子空间，然后 利用这两个子空间的正交性来估计信号参数，因此m u s i c 算法适用于所有阵型 4 6 1 。 本节将着重介绍m u s i c 算法和子空间类算法的另一类代表性算法，即e s p 砒t 算法。 1 2 第2 章宇问谱估计基础 2 2 1m u s i c 算法 由2 1 节的讨论，若d 个远场窄带不相关信号入射到个阵元的阵列上，阵列接 收数据模型为式( 2 1 0 ) ，即 x ( t ) = a s ( f ) + n ( t ) 则阵列的数据协方差矩阵为 r 。- - e x x = a e s s 片 a + n n = a r 鼯a + r 删 ( 2 2 4 ) 式中r 嚣和r 删分别为信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵。当噪声为高斯白噪声时， 则r 删= 盯2 i ，仃2 为噪声功率。因此在高斯白噪声下，阵列协方差矩阵可由式( 2 2 5 ) 重新写为 r 。= a r 鼯a + 盯2 i ( 2 2 6 ) 对阵列协方差矩阵进行特征分解有 r 。= u u h ( 2 2 7 ) 式中u 为特征矢量矩阵，为特征值构成的对角阵。在接收信号不相关的情况下， n x n 维阵列协方差矩阵r 。的秩为，不妨令个特征值组成的对角阵为 = ( 2 2 8 ) 式( 2 2 7 ) 还可以写成 r 。= u s su 多+ u u 孑 ( 2 2 9 ) 从式( 2 2 6 ) 中可知，噪声协方差矩阵对应的( 一d ) 特征值相同。将式( 2 2 0 ) 中的特征值从大到小排列如下 五如+ i = = 丸 ( 2 3 0 ) 由式( 2 2 7 ) 和式( 2 2 9 ) 可写出 s = ( 2 3 1 ) 哈尔滨工程大学硕 学位论文 _ 1 i i i i 一一i i i i i l li l ii il l l l l l li i i i i i i 宣宣嗣一 j = 如+ 2 由式( 2 3 1 ) 中大特征值对应张成的子空间u s 为信号子空间， 值对应张成的子空间u 为噪声子空间。 式( 2 2 9 ) 也可写作 r 。巾“，曙亦羽 在式( 2 3 3 ) 两边同时右乘u r 。u n = i vs u n = 【u 。u s u = 对式( 2 2 6 ) 做相同的处理，即同时右乘u 0 o ( 2 3 2 ) 由式( 2 3 2 ) 中小特征 ( 2 3 3 ) 孙 0 1 ( 2 - 3 4 ) i j r 。u = a l l 嚣a h u + 仃2 u | ， ( 2 3 5 ) 由式( 2 3 3 ) 和式( 2 3 4 ) 易得 a r 嚣a h u = o ( 2 3 6 ) 由于a 和r 州是满秩矩阵，因此 a h u = o ( 2 3 7 ) 式( 2 3 7 ) 表明，信号子空问中的阵列流型与噪声子空间是正交的。而经典的 m u s i c 正是基于上式提出的。 所以d o a 角度估计是在通过导向矢量噪声子空间上投影最小化搜索来实现的， 即m u s i c 算法的谱估计表达式为 刺2 而网1 2 而而1 ( 2 3 8 ) 。但是在实际应用中，考虑实际接收的阵列数据是有限的，则采用阵列协方差矩阵 最大似然估计疋来生产噪声空间o 1 4 已。已o u 厂t丁1 n b 第2 章窄间谱估计基础 食。= 二) 【) ( 片 ( 2 3 9 ) 厶 m u s i c 算法利用式( 2 3 8 ) 来进行谱峰搜索，其中没有对导向矢量有任何要求， 因此m u s i c 算法适用于所有阵型，但是缺点也很明显，谱峰搜索过程耗费大量时间， 且只能对一维空间角度进行估计。许多学者也提出了r o o t m u s i c 算法、波束空间 m u s i c 算法、约束m u s i c 算法等来降低算法计算量，提高运算效率。 综上所述，m u s i c 算法可以归纳为以下几个关键步骤： 第一步，由阵列接收数据，通过式( 2 3 9 ) 得到阵列协方差矩阵良。； 第二步，对食。进行特征分解，得到特征值和特征向量； 第三步，根据特征值生成信号子空间o s 与噪声子空间o ； 第四步，根据信号参数范围由式( 2 3 8 ) 进行谱峰搜索，得到空间谱； 第五步，确定空间谱的最值，并根据信源个数，估计出信号源角度。 2 2 2e s p r i t 算法 1 9 8 5 年，r o y ，p a u l r a j 和k a i l a t h 提出了e s p r i t 算法。该算法和m u s i c 算法是 子空间分解类的标志性算法，同时也可以说两种算法是互补性两种算法，因为m u s i c 算法利用了阵列噪声子空间与导向矢量空间的正交性，而e s p r i t 算法利用了阵列信 号子空间的旋转不变特性。下面以均匀线阵为例说明e s p r i t 算法的主要流程。 由于e s p r i t 算法最基本的前提是需要两个完全相同的子阵，假设现有一个均匀 线阵，阵元数为，间隔为d ，入射信号个数为d ，图2 5 给出了一种划分成两个子 阵的方法。 子阵1 广。_ 丫丫丫丫 4 子阵2 图2 5 均匀线阵划分为两个相同的子阵 由式( 2 1 0 ) 和式( 2 1 1 ) 可以写出两个子阵的阵列流型 a 。= 【口( q ) 口( 吼) 1 a ：= 口c 岛，p j 荨d 如岛 口c 9 。，p j 等d s i n 如 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 令 m = 讽b 一一，等“n 咖，c x p ( 一一，等执) ) 旺4 2 ) 从式( 2 4 0 ) 和式( 2 4 1 ) 可以得到两个子阵的阵列接收数据模型的关系 x l = a l s + n l ( 2 4 3 ) x 2 = a 2 s + n 2 = a 1 m s + n 2 ( 2 4 4 ) 两个子阵的阵列流型满足a ：= a 。m ，即两个导向矢量空间是旋转不变的，从而对 应的信号子空间也是旋转不变的，这就是e s p r i t 算法的核心。在得到信号子空间的 旋转信息m ，就相当于得到空间角度信息。 由前面的讨论知，阵列流型空间与信号子空间是同一个空间，即 s p a n u s = s p a n a ( 1 9 ) ( 2 4 5 ) 此时存在唯一非奇异矩阵t ，使得 u s = a ( o ) t ( 2 4 6 ) 因此两个子阵的信号子空间可以写成 吣圈= 捌 ( 2 4 7 ) 联立式( 2 4 6 ) 和式( z 4 7 ) u s 2 = u s l t 一西t = u s i 甲 ( 2 4 8 ) 则m = t 一甲t ，所以只要得到上述的旋转不变关系甲，进而可以通过特征分解求出m ， 再通过式( 2 4 2 ) 直接得到空间角度估计。 式( 2 4 8 ) 正是e s p r i t 算法的核心，如何通过式( 2 4 8 ) 求出旋转不变关系矩阵 y ，就是e s p r i t 算法如何实现了。 最小二乘的基本思想是通过校正项尽可能小，丽同时满足约束条件，由式( 2 4 8 ) 可得 m i n 8 a u s 2 1 2 ，约束条件u s l 甲= u s 2 + a u s 2 为了得到最小二乘