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硕上论文具有凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 摘要 无套利资产定价一直是金融学研究的重要问题之一，其研究成果颇为丰硕。 近年来，国内外学者将其注意力主要集中在单期及多期证券市场中成比例交易费情 形下的资产定价问题的研究上，给出了成比例交易费情形下的无套利资产定价模式。但 对于具有凸交易费的多期证券市场中的无套利资产定价以及对于“无套利原理”可能的 进一步扩展等问题，就我们所知，其研究结果相对较少。本文拟就这两个问题展开研究。 首先，将经典无套利原理给予扩展，构建了“几乎无套利定价 模式，并初步研究 了一些“几乎无套利模型 的特征， 其次，应用凸集分离定理和次微分等知识，将单期存在凸交易费摩擦的证券市场中 的无套利资产定价理论推广到多期证券市场中，给出了类于比例交易费情形下无套利定 价的对应结果。 本文所得结果是新的，其中，部分结果可视为对现有无套利资产定价的一个自然推 广，具有一定的经济意义。 关键词：无套利资产定价，几乎无套利定价，成比例交易费，凸交易费，单期证券 市场，多期证券市场 a b s t r a c t硕 ：论文 a b s t r a c t t h ea s s e tp r i c i n go fn o a r b i t r a g eh a sa l w a y sb e e no n eo fi m p o r t a n tt o p i c si nf i n a n c e ，a n d t h e r ea r em a n yr e s e a r c hr e s u l t s i nr e c e n ty e a r s ，s c h o l a r sf o c u st h e i ra t t e n t i o no nt h ei s s u eo fa s s e tp r i c i n gw i t ht h e p r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t si ns i n g l ea n dm u l t i - p e r i o ds e c u r i t i e sm a r k e t ，a n dh a v eg i v e ni t s m o d e lo ft h en o a r b i t r a g ea s s e tp r i c i n g h o w e v e r , a sf a ra sw ek n o w n ，t h er e s u l t so f n o a r b i t r a g ea s s e tp r i c i n gt h e o r yw i t hc o n v e xt r a n s a c t i o nc o s t sf o rt h em u l t i - p e r i o ds e c u r i t i e s m a r k e ta n dt h ep o s s i b l ef u r t h e re x p a n s i o nf o rt h e ”n o a r b i t r a g ep r i n c i p l e a r er e l a t i v e l ys m a l l t h e s et w ot o p i c sm a i n l yw i l lb es t u d i e di nt h i sp a p e r f i r s t l y , t h e ”a l m o s tn o - a r b i t r a g ep r i c i n g ”m o d e li sd e f i n e da sa ne x t e n s i o no f t h ec l a s s i c a l n o - a r b i t r a g ep r i n c i p l e ，a n ds o m ep r o p e r t i e so f ”a l m o s tn o a r b i t r a g em o d e l ”a r eo b t a i n e dh e r e s e c o n d l gt h ep a p e ri st op r o m o t eas i n g l ep e r i o da s s e tp r i c i n gt h e o r yo fn o a r b i t r a g e w i t i lc o n v e xt r a n s a c t i o nc o s t sf u n c t i o nt ot h em u l t i - p e r i o ds e c u r i t i e sm a r k e t ，a n dt og i v et h e c o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o nw h i c hi ss i m i l a rt ot h er e s u l tw h e r et h et r a n s a c t i o nc o s t sf u n c t i o ni s p r o p o r t i o n a lb yt h es e p a r a t i n gt h e o r e m o fc o n v e xs e ta n ds o m ek n o w l e d g ea b o u tt h e s u b d i f f e r e n t i a l t h e s er e s u l t sp o s e di n t h i s p a p e ra r en e wa n dh a v ec e r t a i ne c o n o m i cs i g n i f i c a n c e a m o n g ，t h ep a r t i a lr e s u l t sc a nb er e g a r d e da san a t u r a le x t e n s i o nf o rt h ee x i s t e da s s e tp r i c i n g t h e o r yo fn o a r b i t r a g e k e yw o r d s ：a s s e tp r i c i n go fn o - a r b i t r a g e ，a s s e tp r i c i n go fa l m o s tn o a r b i t r a g e ， p r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t sf u n c t i o n , c o n v e xt r a n s a c t i o nc o s t sf u n c t i o n , o n ep e r i o d s e c u r i t i e sb u s i n e s s ，m u l t i - p e r i o ds e c u r i t i e sb u s i n e s s 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学 位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布 过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均己在论文中作了明 确的说明。 研究生签名：垄g 牛 孵多月垆 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上 网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权 其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：立睁鼻毕 协年钿矽日 硕十论文具有凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 1 引言 1 1 理论背景 周知，资产定价的两个基本方法是现代的无套利方法和传统的均衡方法。 e m o d i g l i a n i 和m m i l l e r 1 】在2 0 世纪5 0 年代后期研究企业资本结构和企业价值关 系时最先提出了无套利分析方法的基本思想，由此诞生了一种新的金融学研究的基本方 法无套利分析方法。这一方法的出现标志着金融学在研究方法上完全从经济学的供 给和需求的均衡分析方法中独立出来，也被认为是现代金融学在方法论上的一次革命。 从此，无套利假设成为金融学研究的一个基本假设，无套利思想为如何在不确定条件下 对资产进行有效地配置这一金融学基本问题提供了一个有利的分析方法。后来，许多学 者对这一方法加以应用、发展和完善，逐步形成了它的方法论体系无套利均衡分析。 在金融学研究中，对某项资产头寸进行估值和定价的分析方法是将这项资产的头寸 与市场中其它金融资产的头寸组合起来形成一个在均衡市场中不能产生无风险利润的 组合，由此测算出该头寸在市场均衡时的价值，即均衡价格。当市场不处于均衡状态时， 价格就会偏离由供给和需求关系所决定的价格，套利机会随之出现，但投资者对套利机 会的追求将推动市场重新建立新的均衡。市场均衡时无套利机会是无套利均衡分析( 严 格说，应称为“无套利机会的均衡分析”) 的依据。市场的效率越高，均衡得以重建的 速度也就越快。在金融市场中，市场参与者对风险偏好的差异很大，但是只要套利机会 出现，所有的投资者都会抓住此机会去获取无风险利润，不管参与者个人的风险偏好如 何，所以套利机会消失后出现的均衡价格与参与者的风险偏好没有关系。所以无套利均 衡抓住了金融市场均衡最为本质的特征。 由市场的供给和需求关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，很多参与者就会 调整自己的行为使市场再次均衡，但是每位参与者在此过程中仅能对自己的供求状况做 有限的调整，由此可看出供需均衡是市场参与者共同作用的结果。而在金融市场中，一 旦出现套利机会，不管投资者的风险偏好如何，他们必然都会尽可能大的构筑套利头寸， 推动市场重新处于均衡当中，从理论上讲，因为市场允许卖空，所以仅要少数几位套利 者存在，就可以使市场重新建立均衡。这是无套利均衡和经济学中的供需均衡的基本不 同之处。因此，由无套利均衡所产生市场推动力要比供需均衡所产生的市场推动力强的 多，这也就表明金融市场的效率要比其他的商品市场和服务市场要高得多。金融市场的 这种特性决定了对它采用的研究方法要有别于其他市场。 由于无套利均衡思想在现代金融研究中所表现出的优越性，使得无套利均衡思想普 遍被用于解决处于金融学研究核心地位的资产定价问题，已经取得了丰富的研究成果， 其中r o s s 2 】，m e r t o n 和s c h o l e s 3 分别给出的套利定价理论( a p t ) 和期权定价理论 1 i 引言硕l ：论文 ( o p t ) 是两个突破性的成果，并且m e r t o n 和s c h o l e s 也因他们的这个著名的 b l a c k s c h o l e m e r t o n 期权定价公式而获得1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖。至今，在无套利原 理下，具有相对较简单摩擦的各种证券市场中的很多资产定价理论都已经被建立，这些 理论对现实资本市场中的资产定价有较强的指导作用，但由于实际金融市场情况的复杂 性，使得我们有必要追求建立高质量刻画实际市场的模型，并得出其下的资产定价理论， 这也就要求我们在已有理论的基础上继续用无套利的方法来完善这些定价定理，逐步建 立贴近实际证券市场的数学模型，应用各种数学和经济理论分析出在其下定价定理，只 有这样才可以通过给予证券更准确的定价束减少实际金融市场存在的各种风险，使其处 于相对较平稳有序的状态中。本文主要将在已有的资产定价模型和方法的基础上探讨相 对更一般的具有凸交易费的多期证券市场中的资产定价基本定理其中，其中，凸交易费 是针对存在的上升的边际市场影响费用提出的。当假设市场不存在或存在成比例的交易 费时，就忽略了实际金融市场中存在的上升的边际市场影响费用。在现实的市场中，交 易费用包括佣金、市场影响费用和借空费用。边际市场影响费用是随它的交易金额的上 升而上升的，事实上，对某一给定的证券来说，随着投资者对它交易量的不断增大，他 的这一行为对整个金融市场的影响的明显程度也越来越强，特别是当交易量达到较大时， 可能会使得此证券产生价格的剧烈波动，进而对金融市场的稳定性构成威胁，而凸性的 市场影响费用可通过增大成本来抑制投资者的这种大交易量的投资活动，进而防范这种 风险的发生。当投资者卖出不属于自己的资产时，他就需要付出卖空费用，由于借空会 存在不能平仓的风险，所以边际借空费用也是上升的。如果假设某一给定证券需要缴纳 的佣金与它的交易金额成证比，那么综合起来，投资者对某一固定证券的整个交易费就 是他交易金额的凸函数。 另外，r o s s 2 在创建a p t 基本原理时针对无穷市场、无穷连续时间和无穷资产的 情形给出了“大 无套利市场的系列模式，在其下的渐近无套利资产定价也越来越受到 人们的关注，并且已形成渐近套利定价体系。 1 2 研究现状 由于本文下面所要讨论的主要问题中的资产数量和状态均是有限的，所以整篇文章 中若没有特殊说明，都认为是在有限资产、有限状态下进行的。 作为现代金融学核心的资产定价理论在无套利方法下取得了丰富的研究成果。根据 交易期可分为单期交易、多期交易和连续交易模型下的，根据状态的不确定性可分为有 限状态和无限状态下的无套利资产定价理论，其中以单期有限状态下各种摩擦的资产定 价理论最为完善，用到的主要数学理论是上述凸分析理论中的凸集分离定理和凸锥分离 定理。由于本文所要讨论内容所需，下面主要列出单期和多期有限状态下的研究成果， 也是较简单的两种模型下的，它们是讨论其它复杂模型下资产定价的基础。 2 硕上论文具有凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 在无摩擦市场中，r o s s 2 率先提出了无套利资产定价定理的基本思想，并随后在文 献【4 】中以单期模型的形式明确阐述了资产定价基本定理，即无套利机会等价于严格正的 状态价格的存在性，如果市场是完全的，则这个状态价格是唯一确定的，文献 5 7 】也给 出了相关的研究：后来，d y b y i g 和r o s s 8 又首先给出了连续时间下的资产定价基本定 理：无套利机会基本上等价于风险中性测度的存在性，这方面的主要文献有【9 1 0 ，事 实上，之后对无套利资产定价研究的大多文献都集中在连续时间的定价问题上。近年来， 作为证券衍生品的很多保值工具的出现使得连续时间下对其无套利定价成为人们研究 的热点，陈莹等【1 l 】，b r i k e 和p i l z 1 2 给出了较新期权定价的研究成果。 由于在现实金融市场中存在多种无法回避的像买卖价差、交易费、各种税收、交易 量限制和交易的最小单位限制等的摩擦，所以，近年来对有摩擦证券市场的无套利资产 定价的研究越来越受到关注。g a r m a n 和o h l s o n 1 3 将r o s s 2 的资产定价基本定理拓展 到成比例交易费的市场中，用状态价格的存在性刻画了这一情形下的无套利条件； p r i s m a n 5 利用最优化方法刻画了有税收市场的无套利，并对这种存在税负的证券市场 提出了无套利资产定价的一般框架；s c h a c h e r m a y e r 7 】，j o u i n i 和k a l l a l 1 4 1 5 】分别研究 了具有卖空约束和买卖价差的证券市场上的资产定价理论；李仲飞，汪寿阳 1 6 ，d e n g xy 等 1 7 1 8 考虑了存在买卖价差、成比例交易费两种摩擦的会融市场模型，利用最优 化形式刻画了强、弱无套利的条件，可以使得投资者根据线性规划在多项式时间内的可 解性来识别套利是否存在，还利用凸分析理论得出了资产定价定理，推广了文献【2 】， 1 3 】， 【1 6 】，【1 9 】已给出的有关离散金融市场的许多结果，并且证明了发现一个套利机会是强 n p 难解问题；g u a s n i 1 0 ，2 0 ，c h u n f a n gy a n g 2 1 对存在成比例交易费用的投资组合和 无套利资产定价进行了深入的研究；d e r m o d y 和p r i s m a n 2 2 建立了存在边际递增的交易 费的市场模型，证明出此情形下的资产定价基本定理；余湄、董洪斌、汪寿阳【2 3 讨论 了在d e r m o d y 和p r i s m a n 2 2 中的凸交易费的基础上加入了凸税收摩擦时的无套利资产 定价定理，另外研究了无套利机会的凸规划及用一个对偶规划问题来刻画无套利。夏淼 【2 4 将文献 1 6 1 模型中的交易费用函数推广到一般的情况，其中，交易费函数在买入资 产时是单调增函数，在卖出时是单调减函数，得到了用单位交易金额上确界和下确界表 示的无套利的一个充分条件。 d o n a l i d 和w e m e r 2 5 把有限维空间上的套利延拓到无限维空间上，证明了存在一 个价格系统，使得市场上任何一个投资者都没有套利机会的结论；f u l v i o 2 6 在有限维空 间下用线性规划和鞅方法刻画了存在买卖价差情况下的套利条件，得出了不存在套利机 会等价于一个线性规划问题存在最优解，并且通过对偶规划，证明了不存在套利也等价 于u f ( u n d e r l y i n gf r i c t i o n l e s s ) 状态价格，并给出了将u f 状态价格如何转化为状态价 格的方法，这样使已得出的在所有资产中都存在正买卖价差且红利可在投资过程中支付 的结论得以推广。 3 1 , - j i 言 硕1 ：论文 在经典文献中，利率的期限结构理论是无套利均衡分析的一个重要领域，它是用无 套利原理来为债权型资产定价。利率的期限结构是对债权型金融产品( 下称债券) 的利 率和它的到期期限之间关系的概括，这旱的利率一般指无风险零息票债券的到期收益 率，由于到期收益率会因到期期限的不同而不同，从而形成利率的期限结构。 金融中的一个基本问题是现金流的估值问题，采用的是经典的现值原理，即任何一 项资产的当前价值等于其产生的未来现金流的折现值之和，其中的折现因子就是利率的 期限结构。估计利率期限结构的模型有离散时间模型和连续时间模型两种，研究它们采 用的一个基本方法就是无套利均衡方法。一个经典的理论：无卖空限制的无摩擦市场存 在利率期限结构当且仅当市场是无套利的，使得无套利方法被普遍的应用到利率期限结 构的研究中，特别是用来研究摩擦市场中的利率的期限结构。很多学者对其进行了讨论， 研究的重点就是无套利与利率期限结构存在性的关系。 r o s s 【2 ，4 】在离散时间模型下证明了完全的、无摩擦市场的无套利等价于唯一的利 率期限结构的存在性：h o d g e s 和s c h a e f e r 2 7 ，r o n n 2 8 】，k a t z 和p r i s m a n 2 9 讨论了与 摩擦市场中利率的期限结构相关的现金流定价问题，并分析出经典的现值理论在摩擦市 场中是不成立的；g a r m a n n 和o h l s o n 1 3 对存在成比例交易费的摩擦市场中的资产估值 问题进行了分析；p r i s m a n 5 提出了当市场存在一般形式的税收摩擦时资产定价的一般 框架；d e r m o d y 和r o c k a f e l l a r 3 0 ，3 1 】研究了存在买卖价差和税收的市场中的现金流定价 理论；d e r m o d y 和p r i s m a n 2 2 ，3 2 分析了在p r i s m a n 5 模型中加入一般交易费时市场的 现金流估值理论；j a s c h k e 3 3 给出了当债券市场存在买卖价差和成比例交易费( 买卖同 一种资产的交易费相同) 时的资产定价理论，并给出了利率期限结构的套利上界和下界； 李仲飞和汪寿阳 1 6 】考虑了具有买卖价差、成比例交易费( 买卖同一种资产的交易费不 相同) 和税收三种摩擦的债券市场模型，并在模型中加入了投资者持有的每种资产的多 头头寸和空头头寸的乘积为零这一约束，在引入了相容的期限结构后利用凸分析理论证 明了弱无套利下的资产定价基本定理，然后通过数学转换、非线性规划技术，将非线性 的最优化问题等价于没有引入约束的一个线性规划问题，利用对偶理论建立了摩擦市场 的现值原理，并且它们可由线性规划方法容易算出；z h o n g f e il i 等 3 4 】分析了在文献 1 6 】 模型中加入固定交易费的市场，这里的市场可看作一般的金融市场，而不仅指债券市场， 利用相同的方法证明了无套利和相应的一致期限结构的存在性等价，它主要来说明这种 情况下的套利和期限结构的计算问题。 上述研究成果大多是在单期下的，也是最完善的。但实际交易的过程中投资者往往 不是“买并持有”以期待得到红利形式的收入，而是随着新信息的到达，投资者通过不 断改变先前的投资策略以实现自己的预期收益，这就产生了期间交易的情况，针对这一 非常有现实意义的情况，多期证券市场的研究从单期无摩擦资产定价基本定理产生以后 也相继开始，虽然成果不太丰富，但也得出了一些有摩擦市场中资产定价定理。 4 硕上论文具存凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 h a r r i s o n 和k r e p s 3 5 最先建立了多期无摩擦市场模型，将r o s s 2 的单期离散情形 下的资产定价基本定理推广到多期中，得到无摩擦市场无套利机会等价于事件价格向量 的存在性；p h a m 和t o u z i c 3 6 建立了具有锥约束的多期证券市场中的资产定价基本定 理；z h a n g ，x u 和d e n g 3 7 证明了存在成比例交易费的多期证券市场中的资产定价基本 定理；李仲飞 3 8 1 研究了存在买卖价差、不成比例交易费的多期证券市场模型，其中交 易费有成比例交易费和固定交易费两部分，根据市场是否存在套利与固定交易费无关这 一证明所得结论，直接对存在买卖价差和成比例交易费的模型讨论，利用凸分析理论证 明了这种市场中的资产定价定理。 近年来，针对“大市场的渐近无套利下的资产定价受到人们的广泛关注，其中， “大 市场和渐近套利的概念是由r o s s 2 在创建套利定价理论时提出的，它是基于无 穷市场、无穷连续时间和无穷资产的市场情形给出的。a h 施利耶夫、史树中 3 9 对离 散和连续下渐近无套利定价理论作出了系统的阐述，另外，k l e i n 4 0 4 1 】，f o l l m e r 和 s c h e r m a y e r 4 2 给出了最近的研究结论。 无套利分析方法由于抓住了金融市场均衡最为本质的特征，已经成为现代金融学研 究的基本方法论，使其用于金融学核心问题的资产定价一直是人们研究的重点领域，并 且取得了大量的理论研究成果，而且无套利均衡分析也越来越多的应用于金融工程，已 经作为金融工程的方法论存在。 1 3 本文主要工作 单时期有限状态下的资产定价模型是较容易展丌研究的一类模型，其下的无套利资 产定价理论也最完善，其中，余湄、董洪斌和汪寿阳【2 3 利用凸分析理论建立了存在买 卖价差、凸交易费和凸税收形式三种摩擦金融市场中的无套利资产定价理论，这一摩擦情 形是目前得到的完整定价理论所处的最复杂的摩擦环境，其中凸性的交易费用函数是基 于现实市场存在的上升的边际市场影响费用提出的。 李仲飞【3 8 】研究了存在买卖价差和成比例交易费的多期证券市场中的无套利资产 定价问题。 本文拟在文献 3 8 】基础上，将比例交易费改进为凸交易费，研究了多期情形下具有 凸交易费摩擦市场中的无套利资产定价问题，并给出了 3 8 中对应结果的推广；另一方 面，对经典无套利原理给予初步扩展，构建“几乎无套利定价 模式，并给出了部分 “几乎无套利定价 的特征。 主要工作如下： l 、首先，在已有单期无套利定价理论的基础上，给出交易费函数和税收函数是单 调增函数时无套利的一个充分条件，并且对单期不同摩擦证券市场中不同形式的无套利 资产定价定理进行简单的比较分析；然后，把存在凸交易费和凸税收的单期无套利资产 5 l 引言硕i - i k 文 定价定理应用到债券市场中，给出债券的无套利定价；最后，参照经典无套利定价原理， 我们构建了“几乎无套利分析的模式，初步研究并给出了“几乎无套利分析 的一 些基本特征。 2 、将单期存在凸交易费和成比例税收的无套利资产定价理论推广多期证券市场中， 应用凸分析理论得出弱无套利( 无套利) 与非零正( 严格正的) 的事件价格向量的存在 性等价。 本文定义并做了初步研究的“几乎无套利定价 模式，可以看作是对经典“无套利 定价 的一种较合理的延伸和拓展；另外，文中考察了具有凸交易费摩擦市场的无套利 资产定价问题，研究并给出了类于文 3 8 中的无套利定价定理。 6 硕上论文 具有凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 2 预备知识 2 1 无套利定义和刻画 无套利思想首先并完全体现在对它的定义上，下面先以李仲飞【1 6 】，余湄等 2 3 】单 期有限状态存在买卖价差和成比例交易费的市场： p ，r ，刀， 为例，阐述并刻画无 套利的条件。 为方便起见，定义向量的大小关系： 对任意的y - - ( y , ，y 2 ，此) 2 ，z = ( 毛，z ：，乙) 7 r ”( ，z 2 ) ， y z c ，咒刁( f = l ，2 ，珂) ， y z y z 且y z ， 并记 y z 只 z i ( i = l ，2 ，玎) 群= y r ”：少0 ) ，心= y r ”：y o ) ， 魁= y r 1 ：y 0 ) ，砖+ = y r 。：y 0 ) 由于下面的需要，我们给出状态价格的定义。 状态价格，通俗的讲是指未来某一状态下1 元财富的当f j 价格，其准确定义如下： 定义2 1 1 【4 3 】一个状态价格向量是指这样一个向量q = ( q l9 2 ，q 。) 1 贮，满足 p = r q ，其中q ，对应第，种状态的状态价格。 在完全的市场中，当门种资产为n 个a r r o w d e b r e w 证券时，则r 为维数为，2 的单位 矩阵，通过定义2 1 1 可得p ，= q j ，= 1 ，2 ，玎，即状态价格q 是完全市场中a r r o w d e b r e w 证券在期初的价格。 我们再给出合适延拓的状态价格，它是对 4 3 1 q b 定义的状态价格的延拓。 定义2 1 2 2 3 】一个向量g 鼹( g 群 o ) ) 称之为市场的严格正的( 非零正的) 状态价格，若对所有的投资策略x r ”，7 卣f ( x ) g ( x ) 7q 。其中，厂( x ) 和g ( x ) 分别表 示期初的成本函数和期末的收益函数。 延拓的状态价格仍可认为是无摩擦完全市场下的a r r o w - d e b r e w 证券的当前价格。 定义2 1 3 2 3 】市场 p 口，p r ，五4 ， 存在套利是指如果存在投资策略x 尺”，使得 7 三塑坠型旦一一一一一 堡! ：鎏窒 。- _ - _ _ - _ _ - - l - - 一一一 7 1 f ( x ) o ，戈7 r o ， f ( x ) o 鼠r r 0 也即市场存在套利机会等价于存在投资策略x r ”，使得( 一厂( x ) ，x7 尺) 7 o 。 定义2 1 4 1 2 3 市场 p o , r ，五4 ， 存在强套利机会是指如果存在投资策略 z r ”，使得 f ( x ) 0 的投资策略z r 一，有 厂( x ) o ，且对任意满足，r = o 的投资策略x r ”，有( x ) = o ；当对任意满足厂( z ) 0 ，x r r 0 。 占+ un、 、， ， 渐近无套利在市场趋于无穷个时可允许任意小的盈利可能性，不再苛刻的要求盈利 的可能性为零。本文引入几乎无套利的思想也基于这一点，不过要选取一个固定时刻来 府用此恩担。 9 2 预备知识硕1 ：论文 2 2 凸分析的一些理论 目前所有资产定价定理的证明过程中均用到了凸分析中的凸集分离定理、锥分离定 理和次微分的知识，它们是资产定价定理得出的核心数学理论，下面将给出应用到的这 些理论。 对任何拓扑向量空间】，其拓扑对偶空间记为，。 史树中【4 4 】给出了下面线性空间的凸集分离定理。 引理2 2 1 【4 4 】设彳和b 是线性空间l ，中的两个凸集，a a ，b 的代数内部b a ， a n = a ，则存在超平面可分离么和曰，即存在非零的线性函数f ，使得 v x a ，f ( x ) 0 ， b ，s ( y ) 0 对于锥p 称它是点的，如果有p n ( - p ) = o ；对集合p cy ，它的拓扑闭集记为c 护， 其生成锥为 c o n e p ：= 2 p ：五o ，p 尸) ， 其对偶锥为p + - ，：厂( p ) o ，v p p ) ， 及p 的拟内部为p “：= 厂，：厂( p ) o ，v p 烈 o ) ) 锥p 的基是p 的一个凸子集b ，且满足0 萑c l p ，p = c o n e b 。 b o r w e i n 4 5 给出了下面的锥分离定理。 引理2 2 2 4 5 】 设a 和b 是一个局部凸向量空间中的两个闭凸锥，并且b 是一个点的且 有紧基，若a n ( - b ) = 0 ) ，则存在厅b 州，使得厅a + 。 一个向量x 称为一个凸函数厂在点x 的次梯度，若 ( z ) ( x ) + ( x ，z - x ) ，比 厂在点x 的所有次梯度的集合为厂在点x 的次微分，记为可( x ) 。若是一个在实数 集尺上的真凸函数，则厂在点x 的次微分为妒( x ) = i f _ ( x ) ，工( x ) ，其中正( x ) 、工( x ) 是厂在有效域内点x 的左右导数。另外凸函数厂在定义域任意一点x 的左右导数，( x ) 、 工( x ) 一定存在。 文献 4 4 - 4 5 都对次微分理论有详细的阐述。 i o 硕上论文 具有凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 2 3 单期无套利资产定价 在无套利资产定价理论的模型中，有限状态的单期模型是最简单的，也是研究中涉 及摩擦种类最多的，所以得到资产定价定理的成果也最丰富。为了后面一些内容易于说 明，下面列出一些已有的定价定理，详见文献( 【4 ，5 ，1 3 ，1 6 ，2 3 1 ) 。 1 、无摩擦市场无套利当且仅当存在g 贮，使得 只= 乃劬，i = 1 ，2 ，刀； ( 2 3 1 ) 2 、有成比例交易费市场无套利当且仅当存在g 职，使得 b ( 1 一刀) 勺口b ( 1 + 筇) ，i - - 1 ，2 ，刀； ( 2 3 2 ) j = l 3 、有买卖差价、成比例交易费市场无套利当且仅当存在g 贮，使得 p y ( 1 - a ? ) 0 ，这与实际相符。 f ? ( t ) 表示买入誓 0 单位证券f 所需的交易费，它是交易额_ 的增函数，且 o r ( 薯) o 单位债券f 所需交易费，它是交易额的 的减函数，j lo f ? ( ) 一t ；r t ( o ) = r ? ( 0 ) = o 。 毛( 勺葺) 表示期末拥有t 单位证券f 在状态j f 下获得。薯收益所需缴纳的税收，它是 收益勺薯的增函数，且o i t ( 勺x i ) l 一 0 ， ( 3 1 1 2 ) 在( 3 1 1 1 ) 式的前一不等式两端同乘以薯0 ，在后一不等式两端同乘以薯o 得， 黔吲训) 乃= 黔一掣小射一s 删u pr f ( r , x , ) 卜 叫h 掣p 啪? 掣铲咖卅( 圳叫如 1 3 3 无套利定价模型的进一步探究与延伸硕i j 论文 黔吲训h = 舡一掣小射一骤掣卜 科忙掣b ”掣即咖婀小胞) ， p?薹-trj罢1；-；su喾pl q j ，p ? 至m t ：li 孑群 1 ，市场就不会有套利机会。 p ? ( 1 - 硝) 一嚣善。劬p ? ( 1 + 带) + 暑，f = l ，2 ，以 ( 3 1 2 m 1 4 硕士论文具有凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 l l ”、 = = r , j q j ； = l o g ，；，乃 2 - - - 2 ”、箭= 奇； 1 + 刀 “ 1 一钟7 3 3 ”、 勺g ，r , j q j 苛，苟； 6 卅、警水 否r f 吼拉m i ，- i 1 一硝 。 可以看出，除了在无摩擦、完全的证券市场中无套利是保证资产被唯一定价之外， 其余市场情形中的定价定理都说明无套利假设下资产的买卖价格均不是唯一的，原因一 方面，来自于定价定理中得出的状态价格的不唯一，另一方面也来自摩擦市场定价定理 转化后得出的上述买卖价格均在一个范围内取值，买入价有一个下确界，卖出价有一个 上确界，都是由预测的未来可能出现的价格状态和各种量化的摩擦因素决定。换言之， 均衡等价于无套利，但无套利并不意味着一定均衡。 由上述转化形式可知随着摩擦因素成比例交易费、买卖价差和交易量限制的不断加 入，无套利所要求的买入价的下确界是逐渐减小的，所以无套利的买入价范围是不断扩 大的，同样，卖出价的取值范围也是不断扩大的，虽然要求卖出价不高于买入价，但综 合起来仍然不影响上面的结论，也就是使套利机会出现的买入价卖出价的取值范围是不 断缩小的。这说明随着一些摩擦因素的逐渐加入，套利机会会逐渐减少。实际的金融市 场存在更多更复杂的摩擦，这在一定程度上也就使得套利机会更难以找到，所以实际金 融市场要比我们单纯考虑的这些摩擦下的市场在一定程度上更加平稳有序。 3 2 凸交易费和凸税收的债券定价 通常，对债券来讲，无论是一次还本付息债券还是附息债券，投资者在投资该债券 时就已知将要收到息票利息和票面额( 即现金流) 的时间和数量，并且投资者只能在它 们到期日之前进行投资。这是债券和其它有不确定收益证券( 例如股票) 的不同之处 债券作为证券的一种，理论上讲，可以完全利用单期证券市场给出的定价理论进行 定价，但由于债券有上述不同于一般不确定收益证券的特征，使得有必要对已成为众多 投资者和融资者投资对象的债券也建立一种模型，并希望在无套利思想下进行定价。很 多学者对其进行了讨论，研究的重点就是无套利与利率期限结构存在性的关系。 1 5 3 无套利定价模型的进一步探究1 了延伸 硕j ：论文 针对存在的上升的边际市场影响费用，余湄等 2 3 】研究并给出了存在凸交易费和凸 税收的风险资产定价定理。而在债券市场中，李仲飞 2 4 】也对具有成比例交易费、买卖 价差和成比例税收的现金流定价问题进行了讨论。 参照文献 1 6 1 1 2 3 给出的成比例交易费情形下无套利资产模型和定价定理，本节研 究并给出具有凸交易费和凸税收摩擦的债券市场中资产定价定理。 债券市场模型描述记号如下： r 口( 葺) 表示买入薯 o 单位债券f 所需的交易费，是交易金额p ? 一的凸函数，且 o r t ( p t x , ) o 单位债券f 所需的交易费，是交易金额 p 6 ix , 的凸函数，且o r ? ( t ) 一毛；f ( o ) = r ? ( o ) = o 。r 口= ( 砰，e ，r ：) 7 和 p = ( r ? ，r ：，1 1 ：) 7 分别表示买入交易费向量和卖出交易费向量。 乃( 勺) 表示在f 时刻拥有薯单位债券f 获得勺薯现金流时所需缴纳的税收，它是收 益吩薯的凸函数，且o 0 单位债券f 的成 本为 胞卜 2 二孑糖蒜 在投资策略x r ”下，总成本为 厂( x ) ：= z ( _ ) ， 在当前买入或卖出薯单位债券f 后，t j 时刻税后收益为 岛譬吩t z ( 乃薯) ， 投资策略x r ”在0 时刻的总收益为 定义税后收益现金流 1 6 岛：= 岛( 一) i = 0 g ( x ) ：= ( g 。( x ) ，g 。( x ) ，g 。( x ) ) 硕上论文 具有凸交易费的摩擦市场中无套利资产定价 基于上述描述我们给出单期此情形债券市场中的无套利定价定理。 定理3 2 1 债券市场 尸口，p b , r ，r 口，p ，丁) 弱无套利，当且仅当存在期限结构材k 满足 u j r , j ( 1 一乃+ 7 ( o ) ) ( 1 + r ( o ) ) ， ，；i ， ，、 ( 3 2 1 ) ( + r 抛) ) 姜( 一弓一，( o ) ) 2 证明必要性因为市场 尸口，尸br ，r ，r 6 ，丁) 是弱无套利的，所以由单期有凸交易和凸税 收市场中的无套利资产定价理论知，存在非负正的耍群“ o ) ，使得 厂( x ) 互r b c ( x ) ，v x r 肘1 ， ( 3 2 3 ) 令甜r = ( ，甜，) = 互7 b ，则由百o 知，u l u m ，进而( 3 2 3 ) 为 厂( x ) “r g ( x ) ，v xe r 肘1 ，( 3 2 4 ) 若取x = ( 1 ，o ，0 ) 群“，由( 3 2 4 ) 式得，1 z l7 1 ( 1 ，0 ，0 ) ，所以= 1 。 取x = ( o ，o ，五，0 ) 群“，且薯 0 ，i = 1 ，2 ，刀，代入( 3 2 4 ) 中，可得到， 对任意债券i 兰甜，( 而一z ( 一) ) 誓+ r ? ( 薯) ， 类比于【2 3 】的证明可知： 笔( ，一乃+ ，( o ) ) ( 峨，( o ) ) ， 取x = ( o ，o ，葺，0 ) 衅州，且毛 o ，在( 3 3 2 ) 两边同乘以薯 o ，又因为p ( 誓) 和r ? ( 薯) 分别是薯和露为 1 7 3 无套利定价模型的进一步探究强正伸硕1 ：论文 的凸函数，乃( o 薯) 是乃的凸函数，所以， 总之可得到 r 口( 一) r ：( o ) t ，r ? ( 一) r 生7 ( o ) ， 乃( 乃一) 乃+ 7 ( o ) 勺墨，乃( 薯) 乃一( o ) 一， 姜甜，( 勺薯一乃( ，；，誓) ) 萎叶，；( 一乃+ 7 ( 。) ) t ( + r ：( 。) ) 薯薯+ r ? ( 薯) ， 甜如薯一7 ：( 吩薯) ) u j r j