（岩土工程专业论文）群桩沉降的变分分析法.pdf

摘要 由于桩具有承载力高，变形小和施工速度快的特性，所以在土木工程中得到了广泛的应用。如 果考虑桩间土承担荷载，那么控制沉降就变得非常重要。目前分析群桩常用的相互作用系数法，由 于不能很好的考虑桩的加筋效应，所以计算得到的群桩沉降结果普遍偏大。本文根据最小势能原理 建立了一种新的群桩沉降理论，不需要对桩身进行离散，能够对大规模群桩进行整体分析。 用最小势能原理求解群桩沉降，关键是建立群桩系统中土的刚度矩阵。当地基为各向同性时， 用连续级数函数描述桩侧摩阻力分布和桩身位移，以剪切位移法为基础，建立土的刚度矩阵。当地 基分层时，采用分段函数描述群桩的桩侧摩阻力分布和桩身位移。 为了考虑桩与土和筏板的共同作用问题，在七的刚度矩阵中增加筏板下土单元对桩的作用和桩 对土单元的作用，形成桩土支撑体系中土的刚度矩阵。然后根据最小势能原理建立桩土支撑体系的 刚度矩阵，与筏板的刚度矩阵耦合，建立了桩与土和筏板的共同作用的基本方程。 当桩的上面存在刚性桩帽时，考虑桩帽下面土单元的位移相等，可以把桩土支撑体系中土的刚 度矩阵中的相关元素进行叠加，从而使矩阵的阶大大减小。由于桩帽下土单元的位移和桩项位移相 等，所以桩土支撑体系刚度矩阵的相关元素也可以进行叠加，形成桩帽和土单元的刚度矩阵。 考虑群桩分布的对称性，对桩土支撑体系中土的刚度矩阵的相关行与列进行叠加。形成对称部 分土的刚度矩阵。然后只需对对称部分的势能方程进行变分，所得到对称部分的刚度矩阵，就代表 了整个桩土支撑体系的荷载沉降性状。 关键词：变分法，分段函数，成层地基，群桩，沉降，共同作用，桩帽，对称性 a b s t r a c t a b s t r a c t p i l e si s w i d e l yu s e di nc i v i le n g i n e e r i n gw i t hm u c hi t sa d v a n t a g e ss u c ha sl a r g eb e a r i n gc a p a c i t y , s m a l l d e f o r m a t i o na n df a s tc o n s t r u c t i o n i ft h e b e a r i n gc a p a c i t y o fs o i lb e t w e e n p i l e s i st a k e ni n t o c o n s i d e r a t i o n ，c o n t r o l l i n gs e t t l e m e n tb e c o m ee x t r e m e l yi m p o r t a n t t h ec a l c u l a t e ds e t t l e m e n to fp i l eg r o u p s b yc o m m o n i n t e r a c t i o nf a c t o r sm e t h o di s l a r g ei nt h a ti tc a n n o tc o n s i d e rt h er e i n f o r c i n ge f f e c to fp i l e s i n a na t t e m p tt oo v e r c o m es o m eo ft h el i m i t a t i o n so ft h ee x i s t i n gm e t h o d s ，av a r i a t i o n a ls o l u t i o nf o rt h e a n a l y s i so fp i l eg r o u p s i s p r e s e n t e d i nt h i s p a p e r t h e v a r i a t i o n a l a p p r o a c hd o e s n o ti n v o l v et h e d i s e r e t i z a t i o no f p i l e ss ot h a ti ti sf e a s i b l et op e r f o r md g o r o u sa n dt o t a la n a l y s i so f l a r g e p i l eg r o u p s i nt h ea n a l y s i so f p i l eg r o u p sb yv a r i a t i o n a lm e t h o d ，t h es t i f f n e s sm a t r i xo f s o i lf o rp i l eg r o u p ss y s t e mi s v i t a l w h e ns o i li si s o t r o p i c t h ed e f o r m a t i o n sa n ds h e a rs t r e s s e so f p i l e sa f ee a c hb er e p r e s e n t e db yaf i n i t e s e r i e sw i t has e to f u n k n o w nc o n s t a n t s b a s e do nt h es h e a rd i s p l a c e m e n tm e t h o d ，t h es t i f f n e s sm a t r i xo fs o i l i sc r e a t e d i nl a y e r e ds o i lp i e c e w i s ef u n c t i o ni sn e e d e dt os u b s t i t u d ef o rt h et w of i n i t es e r i e s c o n s i d e r i n gt h ei n t e r a c t i o no fp i l e - s o i l s h a r ，t h es t r e s s e sa n dd i s p l a c e m e n t s o fs o i le l e m e n t sb e t w e e n p i l e s i si n c o r p o r a t e di nt h es t i f f n e s sm a t r i xo fs o i lo fp i l eg r o u p s ，s ot h a tau e ws t i f f n e s sm a t r i xo fs o i lo ft h e p i l e - s o i ls u p p o r t e ds y s t e mi sc r e a t e d b yt h ec o u p l i n go ft h es t i f f n e s sm a t r i xo f t h ep i l e - s o i ls u p p o r t e d s y s t e mb a s e do nt h ep r i n c i p l eo f m i n i m u mp o t e n t i a le n e r g ya n dt h es t i f f n e s sm a t r i xo fr a rb a s e d0 1 1t h e r e c t a n g u l a rp l a t e si nb e n d i n g , t h e b a s i ce q u a t i o no f p i l e - s o i l - s h a f ti sc r e a t e d i nap i l e - s o i ls u p p o r t e ds y s t e mw h i c hh a sr i g i dc a p so nt h et o po fp i l e s ，t h ed e f o r m a t i o n so fs o i le l e m e n t s u n d e ro n ep i l ec a pa r ee q u a l a sar e s u l t , t h ei n t e r r e l a t e de l e m e n t si nt h es t i f f n e s sm a t r i xo fs o i lo fp i l e s o i l s u p p o s e ds y s t e mc a nb ei n c o r p o r a t e d a n dt h ei n t e r r e l a t e de l e m e n t si nt h es t i f f n e s sm a t r i xo fp i l e 。s o i l s u p p o r t e ds y s t e mc a na l s ob ei n c o r p o r a t e df o r t h ed i s p l a c e m e n to n t h et o po f p i l ei se q u a lt ot h a to f t h es o i l e l e m e n t su n d e rt h es a m ep i l ec a p f i n a l l y , t h es t i f f n e s sm a t r i xo fp i l ec a p - s o i le l e m e n t sb e t w e e np i l ec a p si s a r e a t e d i nt h ev a r i a t i o n a lm e t h o dt h es y m m e t r yo fp i l e sa n ds o i le l e m e n t sc a l lb et a k e ni n t oa c c o u n t e d a c c o r d i n gt o t h es y m m e t r y , t h ea d d i t i o no fs o m er o w sa n dc o l u m n si ns t i f f n e s sm a t r i xo fs o i lo f t h ep i l e s o i ls u p p o r t e d s y s t e mc o r r e s p o n d i n gt ot h ec o m p o n e n t so f t h ec o n t r i b u t i o no fe a c hp i l ec a nb ec a r r i e do u t t h u s ，an e w s t i f f n e s sm a t r i xo n l yf o rt h ep r o p o r t i o no fs y m m e t r yi sc r e a t e d p e r f o r m i n gv a r i a t i o no f t h ef u n c t i o no f t h e p r o p o r t i o no fs y m m e t r y , t h e s t i f f n e s sm a t r i xw h i c hc a np e r f e c t l yr e p r e s e n tt h eb e h a v i o u ro ft h et o t a l p i l e - s o i ls u p p o r t e ds y s t e m i se s t a b l i s h e dq u i c k l y k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a la p p r o a c h p i e e e w i s ef u n c t i o nl a y e r e d s o i l p i l eg r o u p s s e t t l e m e n t i n t e r a c t i o n p i l ec a ps y m m e t r y i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名： 庄群 j 日期：妒，红7 4 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名： 1 毛嗽 导师签名：疋氨毳日期：；哟午 绪论 o 1 概述 在软土地基中采用桩基础具有悠久的历史。早在史前的新石器时代。人类就已经成功地在湖泊 和沼泽地里以木桩搭台修筑房屋。随着科技的发展以及实践水平的提高，桩基型式和材料都得到不 断完善，并且在建筑工程、交通土建等土木工程领域被广泛地应用。 当前我国的高速公路建设正处在快速发展阶段，一些早期修建的高速公路也由于不能满足交通 的需要而开始进行拓宽施工。这些高速公路大部分修筑在东部沿海诸省，在这些省份，软土地基的 分布非常广泛。软土地基的特点就是强度低、压缩性高，所以在上面修筑路堤或建筑物需要对其进 行加固以提高承载力。由于桩具有施工速度快、承载力高及变形小的优点。所以各类桩体在高速公 路地基处理中得到了广泛的应用，其中包括水泥搅拌桩等柔性桩和预制管桩等刚性桩。如果地基内 存在深厚软土层，则控制沉降尤为重要。 在建筑工程中，除了端承桩和土体极软弱的情况外，出于经济考虑，通常让承台下土体分担部 分荷载。近年来又提出了疏桩基础及减少沉降量基础的概念。疏桩基础理论的实质就是1 1j ：既要最 大限度地发挥单桩的承载力，并达到控制沉降的目的，又要充分发挥天然地基表层土的承载能力， 达到疏化桩基的目的。当考虑桩间土承担一部分荷载时，沉降就成为一个控制条件，从而桩基的沉 降计算也变得非常重要。 桩基的广泛应用促进了桩基沉降计算理论的研究和发展。p o u l o s 总结前人的研究成果，在文献 2 中系统分析了计算群桩沉降的弹性理论法，首次提出用相互作用系数法计算群桩沉降；o t t a v i a n i 在文献 3 中用有限元法分析了群桩中的应力和变形的分布：r a n d o l p h w r o t h 在文献 4 中首次提 出用剪切位移法分析群桩沉降；c h o w 在文献 5 中用弹性理论分析单桩沉降，用剪切位移法计算桩 与桩的相互作用。形成了一种混合法，使群桩沉降计算的运算量大大减小；s h c n 在文献 6 中首次 引入变分法分析群桩沉降。 虽然国内外对群桩沉降已经进行了大量的研究，提出了很多理论。但由于桩周围岩土介质和群 桩中桩与桩之间相互作用的复杂性，群桩的沉降理论还有待于完善。弹性理论法、剪切位移法和混 合法都是建立在相互作用系数法基础上的，由于它们不能考虑群桩的加筋效应，所以群桩沉降计算 结果普遍偏大。为了在分析群桩沉降时能够很好地考虑桩的加筋效应，最好的方法就是对其进行直 接完整地分析。目前能够对群桩进行整体分析的只有有限单元法和变分法。但有限单元法的计算量 非常大，对计算机的内存要求很高，所以目前还是难以应用到实际的桩基工程中去。s h e n 的变分法， 较好的解决了计算量问题。但它只能用于均质地基，而且当考虑桩与士和筏共同作用时，由于桩间 土单元的数量随着群桩规模的增大，会迅速增加，其计算量也是非常大的。 本文研究的目的就是建立一种既有合理的精度、计算工作量又少，适于大规模群桩沉降分析的 方法。同时这种方法还能考虑地基土的成层性和桩与土和筏板的共同作用问题。应用这种方法指导 工程设计，可以动态控制桩与土所承担的荷载或者桩与土的位移差，从而优化设计。 o 2 本文主要内容 ( 1 ) 用连续级数函数分别模拟均质土中群桩的桩侧摩阻力分布和桩身位移：用w i n l d c r 弹簧模 拟桩周土对桩的作用，然后以剪切位移法为基础。建立了群桩系统中土的荷载位移关系式。以此为 基础得到群桩系统的总势能方程然后对其进行变分，根据最小势能原理得到群桩桩顶的刚度矩阵。 ( 2 ) 当地基土分层时，考虑桩侧摩阻力分布的不连续性和层与层之间的独立性。采用不连续分 段函数进行模拟。无论地基土成层与否，桩身位移都是连续的。为了降低描述函数的阶，本文采用 分段函数模拟桩身位移，但需考虑其连续性。为了形成参数一位移关系式的方便与桩侧摩阻力分布 函数相对应，先用不连续分段函数模拟每层土中的桩身压缩量。然后把这些函数与桩端位移参数叠 加就形成了描述群桩桩身位移的连续分段函数。得到了桩侧摩阻力分布函数和桩身位移函数后，和 计算均质土中的群桩沉降一样，利用变分法得到群桩桩顶的刚度矩阵。 ( 3 ) 为了考虑桩士共同作用，需要求出桩土支撑体系的刚度矩阵。和分析群桩时一样，先选取 合适的函数描述桩侧摩阻力分布和桩身位移。不过在形成参数一位移关系式时耍考虑桩间土单元与桩 的相互作用。然后在群桩总势能方程里加入桩间土的做功，就得到了桩土支撑体系的总势能方程。 对其变分后得桩土支撑体系的刚度矩阵。分析桩对桩间土单元的作用时，利用剪切位移法里的衰减 函数计算桩身位移对桩间土单元位移的影响。在分析桩间土单元对桩的作用时，用等面积圆形均布 东南大学硕士学位论文 荷载代替方形土单元上的荷载，然后利用分层弹性体系理论计算桩间土单元的受力变形对桩身的影 响。如果桩土支撑体系上面有筏板，比如建筑上的低承台或路堤下面的加筋垫层，这时就变成了桩 与士和筏板的共同作用问题。对筏板进行薄板有限元离散，然后根据薄板单元和桩与土单元之间的 对应关系，把薄板的刚度矩阵和桩土支撑体系的刚度矩阵进行耦合，就得到了桩一土一筏板系统的总 刚度矩阵。 ( 4 ) 利用群桩分布的对称性简化计算。把对称性引入群桩沉降理论，使得大规模群桩的计算可 以在瞬间完成。即使考虑桩与土和筏板的共同作用，计算量也非常小。考虑对称性以后，计算量大 大减小，所以在用分段函数描述群桩的桩侧摩阻力分布和桩身位移时，为了提高模拟的精度，可以 把桩身分很多段，而不必担心由此带来的巨大计算量。 ( 5 ) 根据群桩的对称性和弹性力学问题解的唯一性，在求联系群桩桩侧摩阻力函数的参数、桩 端应力及桩间土单元上的应力与桩身位移、桩端位移及桩间士单元位移的关系式时，可以只计算两 部分元素，一是涉及对称部分桩与桩及桩与土的相互作用的元素；二是涉及对称部分外部桩和土对 对称部分桩与土作用的元素。通过进一步简化，群桩的沉降分析不但计算量非常小，而且存储量也 非常小。 2 第一章群桩沉降理论综述 第一章群桩沉降理论综述 1 1 概述 分析群桩沉降一般专指桩的沉降，当桩和桩间土共同承担上部荷载时，就需要分析整个桩土支 撑体系的沉降。桩士支撑体系的沉降计算理论包括群桩沉降计算理论和桩间土与桩的相互作用问题， 其中最关键的是群桩的沉降计算理论。如果上部荷载是通过筏板传递给群桩和桩间土，就变成了桩 与土和筏板的共同作用问题。 所有关于群桩沉降的特点，都是相对于单桩来说的。在荷载传递与变形过程中，群桩的沉降变 形性状远比单桩复杂。从沉降的发展机理和对其上面结构的影响来说，两者有着不容忽视的差别， 具体可归纳为以下几点i l 儿p w ： ( 1 ) 群桩沉降变形中群桩效应表现的非常突出和重要。在单桩荷载相同的条件下，由于群桩中 的应力叠加，使得群桩的影响深度和宽度远大子单桩，从而使群桩的沉降量远大于单桩。尤其是大 规模群桩，其长期沉降量要几十倍于单桩。群桩中桩与桩之间的相互作用使桩身产生了附加桩侧摩 阻力和附加桩端阻力，改变了桩侧摩阻力和桩端阻力的大小、发展过程，以及桩侧摩阻力的分布， 使上部总摘载通过桩将其相当大的一部分直接传递到了地基深处。对于路堤荷载下的群桩和低承台 群桩来说，上部荷载是由桩和土共同承担的。上部结构、桩和土三者之间存在着非常复杂的共同作 用过程，这进一步增加了群桩沉降变形的机理的复杂度。 ( 2 ) 群桩沉降的影响因素远比单桩多，而且影响两者沉降的主要因素也不相同。除了几何尺寸、 有关参数、施工工艺和流程、工程地质条件、荷载大小和持续时间外，承台形式和群桩的规模等因 素也对群桩沉降产生很大的影响。对于影响单桩与群桩沉降的主要因素来说，前者主要受桩侧摩阻 力的影响，而后者的沉降在很大程度上与桩端以下土层的压缩性有关。 ( 3 ) 单桩沉降受桩的形状影响，而群桩沉降与桩的形状无关。 ( 4 ) 单桩的最大桩侧摩阻力在较小的桩土相对位移时就充分发挥，而群桩的最大桩侧摩阻力则 需要较大的桩土相对位移才能充分发挥。 ( 5 ) 群桩沉降的组成也与单桩不同。除了桩身弹性压缩引起的桩顶沉降、桩侧剪应力引起的桩 端沉降和桩端应力引起的桩顶沉降外。还包括由桩间土反力引起桩端沉降。 在工程实践中，群桩沉降分析不是单纯指计算群桩的最终沉降量，它具有广义性。一般情况下， 群桩沉降分析包括： ( 1 ) 分析从施工开始到完工以后很长时间内各个不同受力阶段( 包括在设计应力作用下) 完整 变形其中包括回弹与再压缩阶段、附加压力阶段和满载使用阶段的长期变形。 ( 2 ) 分析整个上部结构的平均沉降、各不同部位的差异沉降( 包括各桩之间的差异沉降) ( 3 ) 分析地基与基础接触面上的应力与变形以及基底以下各不同深度的相对位移。 ( 4 ) 在群桩沉降分析中。要考虑与沉降有关的一系列因素，并协调它们之间的关系，例如基础 宽度与沉降变形之间的关系、承载力与群桩沉降的关系等。 ( 5 ) 在大规模群桩基础设计中。群桩沉降分析实际上包括桩与土和上面的结构物这一统一系统 的变形分析，也就是要考虑桩土的共同作用问题。 基于对群桩沉降的内容和机理的认识，国内外针对群桩沉降的计算方法做了大量的研究，提出 了一系列的计算理论。其中应用最广泛的是p o u l o s ( 1 9 6 8 ) 所建立的弹性理论法，该法现在已经形 成了一个弹性理论体系，并被许多规范所采用。下面就对国内外关于群桩沉降计算理论的发展现状 加以总结。 1 2 群桩沉降计算理论研究现状 目前关于群桩沉降计算方法非常多。但总的来说可以归纳为三大类，包括简化和经验法、弹性 理论法、剪切位移法、混合法、数值分析法和变分法。下面就每一类方法作一简单介绍。 1 简化和经验法l 】 7 1 嗍例 关于群桩沉降计算的任何方法，都存在或多或少的简化。简化法是为了取得实用上的方便和缩 短计算时间根据经验对常规计算方法的概念和过程做适当的修正。简化和经验法主要包括：等代 墩基法、简易理论法和半理论半经验法。 东南大学硕士学位论文 ( 1 ) 等代墩基法 该计算模式将地基内的群桩和桩间士体看作是一个等效实体基础，在此等代墩范围内桩间土不 产生压缩变形，然后按照扩展基础的沉降计算方法来计算群桩的沉降。建筑桩基技术规范( j g j 9 4 9 4 ) 建议，对于桩中心距小于或等于6 倍桩径的桩基，可采用等效作用分层总和法计算其晟终沉 降量。等效作用面位于桩端平面，等效作用面积为桩承台投影面积。等效作用附加应力近似取承台 底平均附加压力。等效作用面以下的应力分布采用各向同性均质直线变形体理论。这种方法认为群 桩的最终沉降量就是等效作用面以下土体的最终沉降量，并采用分层总和法计算其沉降量。等代墩 法计算简单、参数选取容易，所以至今仍在使用，特别在小桩距的情况下有一定的精度。 为了消除上述假定对沉降估算结果的影响，人们在计算模式上采取了许多措施来修正估算值， 这些措施包括：1 ) 变动假想实体基础底面的位置，以考虑桩间土的压缩变形：2 ) 为了考虑群桩外 围剪应力的扩散作用，从群桩桩顶外围按应力扩散角口向下扩散，增大假想墩基底面的面积。3 ) 提 出和发展了地基士中附加应力计算的一系列方法和模式。 ( 2 ) 简易理论法 当桩很长，特别是超长桩时，假想实际基础类似一根大直径的摩擦端承桩。由单桩荷载传递机 理知，当桩周面积大大超过桩底面积时，大部分荷载将由桩侧摩阻力承担。设上部荷载和基础重量 之和为f ，桩群外围总剪力为l 当p r 时，可以采用实体深基础的假设计算群桩沉降。当咫r 时， 实体深基础的假设就不再适用了。这时可以把桩基看作复合地基。采用下面的方法计算群桩沉降。 群桩的最终沉降量分两部分： s = s + s 。 ( 1 2 1 ) 式中，昂为桩的压缩量，按材料力学里的杆件压缩计算；墨桩端平面以下土体的压缩量，按分层总 和法计算。 ( 3 ) 半理论半经验法 杨敏等( 1 9 8 9 ) 根据上海地区桩基的试验研究、_ 【= 程实践以及均质土层中群桩的p o u l o s 弹性理 论解，提出了桩基沉降的半理论半经验法公式： 耻耻掣石面c e同 z 氐一 o 4 c + ”蛾6 一弘；2 ) “ 式中， p _ 一作用在基础上的总荷载。 毋一基础的等效宽度； 岛、脚一分别为桩土共同作用的弹性模量和泊松比 摊、江分别为桩数和桩径： c l 桩基沉降系数； 爿一基础面积减去群桩的有效受荷面积； m ，桩基沉降的经验修正系数。 2 弹性理论法口l 弹性理论法认为士体是理想的均质、各向同性半无限空间体，并假定土体性质不因桩体的存在 而发生变化。具体方法就是对桩体进行离散，采用弹性半无限空间体内部荷载作用下的m i n d l l n 解 计算土体位移应用差分形式表示桩身基本微分方程，然后根据桩土位移协调的假设，建立静力平 衡方程，求得桩体位移和桩侧摩阻力分布。 p o u l o s ( 1 9 6 8 ) 系统论述了计算群桩沉降时采甩的相互作用系数法。假定弹性地基中有两根完 全相同的桩，桩f 和桩 并且它们具有相同的桩顶荷载j p ，如图1 2 1 所示。类似于弹性理论法的单 桩沉降理论，将两根桩分别离散成相等的”个单元。由于两根桩完全相同，所以桩身位移和桩侧摩 阻力的分布也完全相同，故其中一根桩的桩侧土单元位移向量的计算式为： 式中 舨 ：粤盯，】。 丘， 4 ( 1 2 3 ) 第一章群桩沉降理论综述 卜一与桩i 的”个离散单元相邻的土单元位移和桩端持力层土的位移形成的n + l 维列向量： f ) 桩i 的 个离散单元与土单元接触面上的剪应力和桩端正应力组成的n + l 维列向量； 明l l 桩i 各离散单元边界上剪应力为单位1 时，在桩i 各离散单元相邻土单元上产生的竖 向位移影响系数矩阵： 脚1 r 桩，各离散单元边界上剪应力为单位1 时，在桩i 各离散单元相邻桩周土中产生的竖 向位移影响系数矩阵； 用差分形式表示桩身基本微分方程，得到桩身单元的位移向量为： 以 = 峨4 h 彳2 ，。 i 腓卜 y ( 1 2 ，4 ) 式中， 眈 桩身系数矩阵： = ( 寺粉o ，- ，0 ) 根据桩土位移的协同性知： w 。) = w e ) ( 1 2 - 5 ) 把式1 2 3 和1 2 4 进行组合可以求出桩侧摩胆力分布f r ) ，进而求出桩身位移 ) 。 求出两根桩的沉降以后，就可以进行桩与桩之间的相互作用系数的计算： p b 口2 1 p i ( 1 2 6 ) 式中，p i 为单位荷载使桩，上产生的沉降；肼为在桩，上施加单位荷载引起的桩i 的附加沉降。 加 w f = p j 0 ( 1 2 _ 7 ) ，= 1 上面关于桩基的理论是以土体均质和各向同性的假设为前提的。为了考虑土体的非均质性和各 向异性，p o u l o s ( 1 9 7 9 ) 认为土体的非均质性不影响土体在荷载作用下的应力，求取位移解时采用 位移求取点和荷载作用点处两个不同弹性模量的平均值作为土体的弹性模量，即最一所 鳓2 。 l e e ( 1 9 9 0 ) 同样认为土体的应力不受非均质性的影响，但计算日时，不仅考虑f 层和j 层的弹性模量， 还考虑其余各层的弹性模量和层厚的影响，因此更合理一些。r a j a p a k s e 【i ”( 1 9 9 0 ) 运用积分变换法 求解了基于g i b s o n 土的解析解，并将其应用于桩基计算。考虑到土的非均质性、各项异性和非线性， 洪毓康、楼晓明( 1 9 9 0 ) 通过减小桩土之间的作用范围来修正弹性理论的结果。刘前曦等( 1 9 9 7 ) 同样认为土体的非均质性不影响土体中应力的分布，应力分析采用b o u s i n e s s q 和g e d d e s 弹性理论解， 沉降计算采用分层总和法，沉降计算中假定地基为弹性半空间体，且单桩与相邻地基土位移相协调。 杨敏等( 1 9 9 8 ) 采用g e d d e s 积分求解群桩系统，将土体视为理想弹塑性体以此模拟群桩中部分桩 和土单元上的荷载达到极限荷载时的情况。( 本段文字引自文献 1 6 ) 一 f 、r 。g ) ，一 ，一 k | 图1 2 1 弹性理论法模型 图1 2 2 剪切位移法模型 东南大学硕士学位论文 b u t t e r t i e l d 1 1 ”1 ( 1 9 7 1 ) 认为p o u l o s 的几个假设，比如，桩端光滑、桩端应力和位移均布及忽 略桩侧径向力等，影响了计算的精度。因此，他对桩端单元进行了细分。考虑了不同径向距离处桩 端应力不同的情况，并引入了桩侧径向力，采用设定应力函数法进行求解。 3 剪切位移法 剪切位移法认为单桩上竖向荷载的作用使桩侧土体发生剪切变形，变形又通过桩侧周围连续环 形土单元向四周传播，并逐步衰减至变形为零。据此建立桩顶荷载和位移与桩底荷载和位移之间的 关系，从而求解单桩的沉降。r a n d o l p h & w r o t h l 4 1 ( 1 9 7 9 ) 为了把剪切位移法推广到群桩沉降的计算， 认为单桩桩侧土体发生的剪切变形通过土传播到周围邻桩时，邻桩将产生和土相同的附加沉降。如 图1 2 2 所示。根据r a n d o l p h w r o t h 模型( 1 9 7 9 ) ，由只引起的桩，的沉降为w g ( z ) ；在深度2 处 桩，的桩侧摩阻力为可( 力；由哥( 亩引起的桩i 的桩侧土单元的位移为”f 。则桩i 的沉降为： w j g ) = g ) + w oz ) = 0 ) + 0 h z ) ( 1 2 8 ) 式中蛳g ) 为桩周围土竖向位移的径向衰减函数， i n 吒i s ) l l n ( r 仉)t ( j b ) = 0 s ( 1 2 - 9 ) 【 i i = j 式中 r o 、h 一分别为桩的半径和影响半径； ，一桩间距。 群桩中，深度z 处桩i 的沉降为： w ( z ) = y f o h g ) ( f = 1 ，2 ，n p ) ( 1 2 1 0 ) 为揭示桩体存在对桩与桩之间相互作用的影响。m y l o n a k i s g a z e t a s i ”j ( 1 9 9 8 ) 把相互作用的 两根桩中的一根假定为用w i n k l e r 弹簧支撑的梁。而另一根桩对这根桩的作用看作是对梁的激励。 写出这根梁的平衡方程，如式1 2 1 1 所示，根据边界条件解方程可得到两根桩的相互作用系数： e # a p d w 五2 ( 一z ) 一k ： 2 ( z ) 一w 2 ( z ) ) = 0 ( 1 2 1 1 ) 式中 w 2 ( 亩假定为梁的那根桩的位移； w 2 ( z ) 此桩不存在时另一根桩引起的该桩桩侧土的位移： 屯桩在深度z 处的弹簧常数。 m y l o n a k i s 的结果显示，两根桩之间的相互作用系数并不等于y 知) ，而是附o 澎f 是根据式1 2 1 1 的解得出的桩的刚度和桩土相互作用对妒廊) 的影响系数系数， f ：一2 h 2 + s i n h ( 2 h 2 ) + l ) 2 s i n ，h ( 2 h x ) - 2 h 2 + 2 q c o s h ( 2 h a ) - 1 ( 1 2 1 2 ) 2 s i n h ( 2 h 2 ) + 2 q 2s i n h ( 2 h 2 ) + 4 q c o s h ( 2 厅z ) ，广1一 式中q 2 考耘，为无量纲桩底刚度；22 、i 奢，是荷载传递参数。 陈明中【1 6 】( 2 0 0 0 ) 以m y l o n a k i s 的理论为基础，把两根桩都看作是受激励的粱，同时列出两根 桩的平衡方程，解方程得到两根桩之间的相互作用的解析解。陈明中( 2 0 0 0 ) 的方程为： 解方程1 2 1 3 得 6 监删地柑 等等 。一砰。一置 性 第一章群桩沉降理论综述 pp = 导( d i + d 2 ) + 鲁( d i d ：) zz ( 1 2 1 4 ) w 2 = 等( d l n 2 ) + q - ( o , + d 2 ) ( 1 2 1 5 ) 一 。 1 垦一。( 1 + 厶) c o s h h ( f z ) 】十k bs i n h m 。( f 一= ) 】 1 。e r a ，m le ，一p m 。( 1 + 厶) s i n h “f ) + c o s h 如1 1 ) 1 e ，4 ，”：( 1 一( b ) c o s h m ：( f 一：) 】+ 。s i n h m ：( f z ) 】 j 2 一e p a p m 2e p 爿p m ：( 1 一( ) s i n hm ：o + k 6c o s h b 2 f ) 式中，m = 1 杀2 一，m ：= 1 # 2 _ ，6 是桩端与桩端之间的影响系数。 显然陈明中( 2 0 0 0 ) 的理论比m y l o n a k i s 的理论更加合理，它充分考虑了两根桩的加筋效应。 但这两种理论都不能赢接运用到群桩计算群桩沉降时仍然要用两根桩之间的相互作用系数计算桩 的附加沉降，然后根据弹性理论进行叠加。 4 混合法 为减少群桩沉降计算的工作量，自七十年代起，国内外许多学者致力于混合算法的研究。混合 法简单而言，就是以荷载传递法或其它方法计算单桩沉降，群桩则以弹性理论法或其它方法计算 ( c h o w ，1 9 8 6 ：c l a n c y & r a n d o l p h ，1 9 9 2 ) 。为将混合法应用于大规模群桩，不少学者又对其进行 了简化。如c h o w ( 1 9 8 7 ) 采用迭代法计算群桩沉降：c l a n c y r a n d o l p h ( 1 9 9 3 ，1 9 9 6 ) 采用剪切位 移法考虑单桩，以弹性理论法考虑桩与桩之间，桩与筏之间的相互作用。这些方法都大大简化了计 算，但是和弹性理论法一样，认为群桩的存在没有改变土体的性质，所以不能考虑桩的加筋效应。 为了考虑桩的加筋效应，石名磊旧( 2 0 0 0 ) 在c h o w ( 1 9 8 6 ) 的理论基础上，把桩作为杆件结 构进行一维有限元离散，把杆件结构有限单元法与荷载传递法相耦合计算单桩沉降。然后在传统的 两桩相互作用概念的基础上，讨论了桩的加筋效应，得到了邻桩的存在对受荷桩沉降的影响系数， 形成了一种群桩分析的混合法。该方法既能考虑土的非线性，同时还能考虑地基的成层性。当士为 均质土时，桩的沉降为： rr厂r 、 w = f 1 一五，) 卫尘l n l 二2i ( 1 2 1 6 ) 。 。g l j 式中乃2 去l 卜瓦l n ( s 两r o ) j 5 数值分析法 电子计算机的发展使数值分析法在群桩沉降分析中得到越来越广泛的应用a 对于群桩特性的研 究，目前较为成熟的数值计算方法有边界元法、有限单元法和有限条分法等。 ( 1 ) 边界元法 边界元法又称为积分方程法，即把区域问题转化为边界问题求解的一种离散方法。该方法可使 三维问题转化为二维问题，二维问题转化为一维问题，因此能将问题得到简化，求解规模得以缩小。 边界元法是数值计算中较为成熟的一种方法许多研究者都曾将这种方法应用于桩基沉降分析中， 如b u t t e r f i e l d & b a n e r j e e ( 1 9 7 0 ，1 9 7 1 ) 等。由于边界元法是以弹性理论为前提的，因此事实上它也 可归入弹性理论法范畴。 ( 2 ) 有限单元法 有限单元法也是数值计算中比较成熟的一种方法。由于其解决问题的可靠性和有效性t 自其问 世以来已得到了广泛的应用，在桩基工程中它也得到了广泛地推广和应用( o t t a v i a n i - 1 9 7 5 吴永 红、顾晓鲁，1 9 9 2 ；温晓贵，1 9 9 9 ) 。有限元法不仅可以解决线弹性问题，而且可以很方便的用于非 东南大学硕士学位论文 线弹性问题的分析；从理论上而言，有限元法还可以计及固结效应、动力效应等。此外，对于排土 桩，有限元法可有效地模拟桩基施工在原位土中产生的初始应力( i n i t i a ls t r e s s e s ) 对桩工作特性的影 响，这也是其它方法难以做到的。运用有限元分析，不仅可以对群桩进行三维分析，还可以很有效 地计及与筏板的相互作用，获知桩、土和筏应力分布。 但是，将有限元法应用于桩基分析中还是存在不少问题，比如说难以计及桩土滑移因素，运算 规模过大等等。为解决上述问题，很多学者对有限元法进行了改进。陈雨孙、周红( 1 9 8 7 ) 在桩土 之间引入了节理单元以模拟桩土之间的滑移。倪新华( 1 9 9 0 ) 采用有限元无限元耦合的方法，在应 力梯度较大的区域采用有限元离散，在应力梯度较小的地方采用无限元离散方案使计算量有所减小。 另外。还有将边界元和有限元联合求解的方法。 虽然学者们为将有限元应用于群桩分析和计算作了很大的努力，但是耍将有限元直接应用到实 际工程中去目前还是不太现实的。这是因为群桩分析的影响因素很多，且实际群桩分析还需计及土 体的非线性效应。如此大的计算工作量，在实际应用时是不可忍受的。既便如此，有限元分析还是 有其优越性和存在的必要性。采用有限元法可以分析群桩工作机理，并用其指导实际工程设计同 时有限元对于分析校核其它较简单的群桩计算方法也有很重要的意义。 ( 3 ) 有限条分法 有限条分法首先用于分析上部结构物，并取得了相当的成功。c h e u n g ( 1 9 7 6 ) 提出将有限条分 法用于单桩，以分析层状地基中单桩的特性。随后，g u o 等人( 1 9 8 7 ) 将这种方法发展成无限层法， 使其可以更有效地求解层状地基中的桩与土体的相互作用问题。在此基础上，c h e u n g e ta l ( t 9 8 8 ) 根据叠加原理将这种无限层法推广至群桩中，用以分析层状地基中群桩的特性。王文、顾晓鲁( 1 9 9 8 ) 进一步以三维非线性棱柱元模拟土体，将桩土地基分割成一系列横截面为封闭或单边开敞的有界或 无界棱柱体单元，利用分块迭代法求解桩一土- 筏系统。 6 。变分法1 6 1 s h e n ( 1 9 9 9 ) 首次把变分法应用于各向同性弹性半空间体中的群桩分析。变分法用两个有限级 数分别描述群桩的变形和桩侧剪应力分布，因而不需要对桩身进行离散，大大减少了计算量a 因此t 交分法特别适于计算大规模群桩。这是所有的其他群桩理论所不能比的。 群桩的桩侧剪应力的有限级数如下式所示： 毛厂、一l r j 0 ) = l 手l 1 2 - 1 7 ) 描述群桩的桩身位移的级数是： 如，、j 1 w 。( z ) = 岛【1 一号l ( 1 2 1 8 ) 式中，a - 0 、风分别是式2 4 1 和式2 4 2 的未知参数；而、赶分别是式2 4 1 和式2 4 2 中级数的项数。 桩侧摩阻力分布函数知道后，根据g a u s s 数值积分原理得到桩身长度上的g a u s s 点。然后通过 对m i n d l i n 解的积分得到群桩桩身g a u s s 点处土的荷载位移关系式： p = k s 】 w ) ( 1 2 1 9 ) 式中， p 是g a u s s 点上土的荷载向量： w ) 为g a u s s 点上土的位移向量； 柚是土的剐度矩阵。 根据变分原理得到群桩的总势能方程； 驴善圭m e p ( 掣卜+ 丢脚 u s ：加， + i 1f 【 w 。) 1h 汹一h ) 7 僻 把式1 2 1 9 代入上式，然后根据最小势能原理对其进行变分，得到直接联系桩顶荷载和位移的 刚度矩阵。 陈明中【1 6 1 ( 2 0 0 0 ) 应用级数函数描述桩身轴力的分布建立群桩的总余能方程a 然后根据最小 余能原理，对群桩的总余能方程进行变分，求得桩身轴力函数的参数。求得桩身轴力函数后，就可 以通过桩的基本微分方程和边界条件求得群桩沉降。为了能把这种方法应用到成层地基中，陈明中 b 第一章群桩沉降理论综述 ( 2 0 0 0 ) 又用三次样条b 分段插值函数模拟桩身轴力。然后同样根据最小余能原理求得群桩沉降。 1 3 桩土共同作用研究现状 为了充分发挥桩间土的承载能力。在桩基设计中可以考虑一部分荷载直接由桩间土承担。建筑 和桥梁工程中的低承台群桩和路堤下面的群桩都属于桩土共同承担荷载的桩土支撑系统。分析桩土 支撑系统的主要任务就是建立桩顶和桩间土单元的荷载位移刚度矩阵。 目前土体在荷载作用下的沉降计算问题，一般都采用弹性理论，并认为士体的非均质性不影响 荷载作用下土体中的应力。m # b - - 般直接用m i n d l i n 解( s h e n ，2 0 0 0 ) ，国内一般用分层总和法( 刘 前曦，1 9 9 7 ；杨敏，1 9 9 8 ) 。 建立桩顶和桩间土单元的荷载位移刚度矩阵的关键是群桩的沉降理论，然后再考虑桩问土单元 的受力