（应用数学专业论文）一类具有星形结点的三次微分系统的拓扑结构分类.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 多项式微分系统在生态学、生命科学、生物化学等领域中有广泛应用，国内外 许多学者对其进行了深入研究，尤其是对一些特殊的微分系统的全局拓扑结构获得 了较好的结果如右方无公因式的具有星形结点的二次系统的有限远奇点只有鞍 点、结点和半鞍结点，系统没有极限环，全局相图有且只有1 7 种不同的拓扑结构 但对于具有星形结点的三次微分系统，通过具体求奇点并判断其拓扑性质不仅相当 复杂、而且十分困难，所以至今尚无一般结果本文首先证明了平面三次微分系统 的一些性质，研究了切向量场及其诱导向量场的性质，借鉴和利用了文献 1 和 2 关于向量场与平面向量场流之间的拓扑关系等研究方法，讨论了一类具有星形结点 的三次微分系统轨线的全局结构，按照拓扑结构进行分类，证明了该系统具有2 6 种不同拓扑结构的全局相图，并给出了全部2 6 种不同的拓扑结构相图。 关键词：平面三次微分系统；星形结点，诱导向量场；拓扑结构分类 硕士学饭论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t 强em u l t i n o m i a ld i f r e n t i 啦s y s t e 越量l a sw i d e s p r e a da p p l i e 蕊i o ni ne c o l o g yd o m a 主n s ， l i f es c i e n c e s ，b i o c h e m i s t r ya n ds oo n m a n yd o m e s t i ca n df o r e i g i ls c h o l a r sh a v em a d e r e s e a r c ho n 沁a i l dp a r t i c u l a r l y ，h a v eo b t a i n e ds o m eg o o dr e s u l t so n 哲o b a lt o p o l o g i c a l s 弧c t 毽羚o fs o 怒es p e e i 鑫董重量妇嫩i 越s y s 融珏s 粥纛鑫ss q u 鑫跫s 曲s y s 铝m s 诚i c 巍k v e 懿琵 t y p ep o i n ta n dn o n c o m m o nf a c t o ro nt h er i g h t ，i t sl i m i t e df 打s i n g u l a rp o i n t so i l l y c o n t a i nt h es a d d l ep o i n t s ，t h ep o i n t sa 1 1 dh a l fs a d d l en o d e s ，t l l es y s t e md o e sn o th a v e l i m i t e dc y c l e ，t h eo v 瞅l ls i 镪a t i 豫曲a s ed i a g r a 嫩量l a v eo m yt nl7 黼so fd i 胝n t t o p o l o g y b u tr e g a 越i n gt ot h r e ed i f 凳r e n t i 蠢s y s t e mw h i e hh a ss t a r 啪ep o i l 如也r o u 垂 a s k st l l es i n g u l a rp o i n ts p e c i f i c a l l ya n dj u d g e si t st o p 0 1 0 9 i c a lp r o p e n yi sq u i t cc o m p l e x 砒l dd i m c u l te x 切e m e l y ，也e r e f o r eu n t i ln o wt h e r ei ss t i l ln og e n e r a lr e s u l t s o m ep r o p e n i e s o fc 曲i ed i 蠢e 辩礁羹s y s t e 瞄a 愆鲢羚她基f 建l y ，鞠d 氇鼹凌ep 羚p e 斑o so f 搬。纨g e 鲑 v e c t o r f i e l da l l di t si n d u c e dv e c t o m e l da r ea l s op r o v e d t h em 妇m e t h o d d e v e l o p e db y t h ea u _ t l l o r si n 【1 】a n d 【2 】a r ea p p l i e dt os t u d yt 1 1 et o p o l o g i c a lr e l a t i o n s h i pb e t 、e e nt h e i n d u c e dv e c t ) m e l da 傩t h e 丑o w o f 毫量地q u a 蕊cv c c 镪r f i e l d 。f i n a l l y ，也eg l o b a lt o p o l o g i e a l c l a s s i 蠡c a t i o n sf o fac l a s so fe u b i e 戎髓f e n t i a ls y s t e m sw i 也s 鼍e l l e r d ea f e 咖d i e d ，趣 t o p o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o n sa r ea l s og i v e n i ti ss h o w nm a tt h e r ee x i s te x a c t l y2 6d i s t i n c t 9 1 0 b a lp h a s ep o r t r a i n so ft h ec u b i cd i 肫r e n 廿a ls y s t e m s ，a n dt h e s e2 6d i s t i n c tg l o b a lp h a s e p o 蠢蹦纛s 曩l 弓a | s op q v i d e d k e y w o r d s ：c u b i cd i f | f e r e n t i a ls y s t e m s ，g t e l l c rn o d e ，i i l d u c e dv e c t o r f i e l d ，9 1 0 b a l t o p o l o 瘿c a lc l a s s i ：f i e a 蛀o n s ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 谬游 1 日期：加砖年j 月纠名 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者 日期 导师签名： j 友善宴 嘛和0 3 年3a 1 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童途塞握童卮溢卮! 旦兰生；g 兰生；旦三生筮查! 作者签名： 日期：伽莎 导师签名：欣告乒 日期：m 孑年占月 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 己l吉 丁i嗣 有关多项式向量场的全局分析，就是既要了解该向量场在全平蘧的几何性质， 又要了解该向量场在无穷远处的几何性质，这样我们就能知道该向量场的全局几何 性质而了解向量场在无穷远处的几何性质是非常必要的，它可以对分界线的走向 和闭轨线的存在性等提供有用的信息。 时彦谦先生在文 4 j 中详纲介绍了具有星形结点的二次系统豹全局拓扑结构， 通过对有限奇点和无限奇点( 运用庞加莱变换) 的几何性质的研究，得到结论：右 方无公因式的具有星形结点的二次系统的有限远奇点只有鞍点，结点和半鞍结点 系统没有极限环全局相匿有且只有王? 静不慝的拓扑结构。 张兴安先生在文 1 中详细讨论了r 3 中拟齐次多项式向量场的全局几何性质， 通过引入切向量场、并寻找拟齐次向量场和切向量场的拓扑关系而得到一系列有用 的结果还在文 2 中给出了r 3 中类二次齐次向量场的大范围几何性质，如存在不 变锥面的充要条件，至少有王8 种不同的全局拓扑等价类的条件 对于具有星形结点的三次微分系统，通过具体求奇点并判断其拓扑性质不仅相 当复杂、而且十分困难，所以至今尚无一般性的结论本文将借鉴和利用文献 1 和 文献 2 关予切向量场与平面向量场之闻的拓扑关系的研究结果和方法，对一类具 有星形结点的三次微分系统的全局拓扑结构进行研究首先探讨该类三次微分系统 的简单性质；然后讨论切向量场及其诱导向量场的性质、以及与平面向量场的流的 拓扑关系；最后运用这些关系和性质推出该类三次微分系统把赤道作为闭轨线的条 件和该系统的全蜀棚图，并徽出图彤和进行分类 通过研究，我们得到了一类具有星形结点的三次微分系统把赤道作为闭轨线的 条件，证明了该系统具有2 6 种不同拓扑结构的全局相图，并给出了全部2 6 种不同 的拓扑结构相图 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节平面向量场及其诱导向量场 给定r 2 中的三次微分系统 出 d t 咖 d t = x + 口l x 3 + 口2 2 2 y + 口3 拶2 + 口4 j ，3 = x + z ( x ，y ) = y + 6 i x 3 + 6 2 工2 y + 6 3 砂2 + 6 4 y 4 = 少+ 厶( x ，j ，) 易知原点0 ( o ，o ) 为其不稳定的星形结点 此外，系统( 1 ) 还有下列性质： 若a ( q ，b ) 为系统( 1 ) 的奇点，则a ( 一q ，一b ) 也为系统( 1 ) 的奇点 证若a ( q ，b ) 为系统( 1 ) 的奇点，则有q + f ，( q ，b ) = o ，b + f 2 ( q ，b ) = 0 所以有( 一q ) + f 。( 一，一b ) = 一q + ( 一1 ) 3 f 。( q ，b ) = 一 q + f 。( q ，b ) = 0 ， ( 一b ) + f ：( 一q ，一b ) = 一b + ( 一1 ) 3 f ：( q ，b ) = 一 q + f j ( q ，b ) = 0 故a ( 一q ，一b ) 为系统( 1 ) 的奇点 由此即知，系统( 1 ) 的非原点的有限奇点只能为2 ，4 ，6 ，8 个，从而系统( 1 ) 的有限奇点只可能为1 ，3 ，5 ，7 ，9 个 为了进一步研究系统( 1 ) 的全局扑结构，我们作变换 1 ( x ，y ) = r ( u ，v ) 或( “，v ) = 二( x ，y ) ，( x ，y ) r 2 一 o ) 即j x = ，“ 【y = n ， ，其中，= 厢 则伺 鲁= 吉 r 妄一x 吾心去+ y 警l = 专c ，2 一x 2 ，去一专砂老 面27 r 面叫7 【弘i + j ，。言l 2 7 ( 厂吖) 。瓦一7 砂云 = 专( y 2 妄一矽等) = 专b 2 + y 2 z ( 毛力一砂2 一坜( 而力】 = 专【y 2 石( x ，y ) 一砂厶 ，少) 】_ 吉【，2 v 2 五( ，甜，w ) 一，2 圳厶( ，“，w ) 】 = r 2 u 2 f l ( u ，v ) 一r 2 u v f 2 ( u ，v ) = r 2r f ，“】v ) 一l 】( 1 l f ，“1 v 、+ v f “lv 1 、 2 x 少 l一，1一厂 = = 甜 v ，、 或 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 去= 专卜害一y 吾心妄+ y 戋i = 专l 一秽妄+ c ，2 一y 2 ，老l 瓦27 r 云一j ，+ + ( 弘i + y 言l 2 7 i 一秽。面+ ( 广一y ) 云 = 专矽妄+ x 2 = 专 _ 尹2 掰擎籍+ 磊泓，烀) ) + 尹2 + 五( 州) 】 = 吾b 2 v 饼( ) 卅 2 以( 则) 】 = ，2 籍惦( 嚣，v ) 狂2 五 0 所以f ( x 。，y 。) = f ( 入x 。，入y 1 ) = ( 入x 。，+ f 。( 入x 。，入y 。) ，入y 。+ f z ( 入x 。，入y 。) ) = ( 入x l + 入3 f 。( x l ，y 1 ) ，入y l + 入3 f 2 ( x l ，y ，) ) 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 ( 入x l 一入。x l ，ay l 一九。y 1 ) = 入( 1 一入) 。( x l ，y 1 ) 即向量f ( x 。，y 。) 与向量画平行 从而k ( 或l o e ) 是一条不变射线 因r ( ；，歹) = ；z ( ；，歹) + 歹以( ；，歹) 2 寿h 爪低】= _ 脊一赤 由系统( 2 ) 中第三个方程得 警办2 产捌小2 一寿2 斋( | 娜一， 等= 旁= n 矧2 + c 唧c 一静 故t 一时，- 2 斗例1 2 ，即1 1 罂，( f ) = 蚓i 亦即 1 1 巴b o ，x o ) ，y 0 ，) ) = ( x l ，j ，1 ) = e 卜 推论1 如果e ( x 。，y 1 ) 是向量场f ( x ，y ) 的一个非原点的奇点，而且g = 志，则 炉0 射线k 。也是f ( x ，y ) 的一条不变射线 结论4 设g = ( u ，v 。) 是切向量场q ，( u ，v ) 在圆s 上的一个奇点，则射线k 上有 向量场f ( x ，y ) 的一个奇点，当且仅当r ( g ) 0 ； 当r ( g ) o 时，对于任( x 。，y 。) l o 。，1 i m g ( ，) ，y ( f l ，x o ) ) = ( g ，o o ) 证明充分性若g = ( u 。，v 。) 是q t ( u ，v ) 在圆s 上的一个奇点且r ( g ) 0 即 曼长：j 二：姜敬：i j 三吕且r 。) = r 。，v ，) o 因f g 。，y 。) = g 。+ 石g 。，y 。l y 。+ 办g ，y 。) ) = 0 l + z 以“1 ，见，l l a ，l + 以以“l ，力v 1 ) ) = 0 甜。+ 刀z 0 。，v 。l 元h + 刀 ，v 。) ) = 0 ”。+ 刀甜。r 0 。，v 。) ，力v 。+ v 。r 0 。，v 。) ) = 0 + 刀尺0 。，v 。”0 。，v ) = 阢+ 刀尺 ) 】g = 五【1 + 名r g ) 】g 由r ( g ) o 知：方程名+ 力r ) = o 有唯一正根九2 了i 轰孬，并且g t ，y - ) = 九g 是向量场f ( x ，y ) 的奇点 必要性若e = ( x ，y 1 ) 是向量场f ( x ，y ) 的一个非原点的奇点，则由结论3 及其证 明知：g - 高舢t ( u ，v ) 在圆s 上的一爪奇点且r 幢) o 当r g ) 0 时，有( 2 ) 得警= 2 【l + ，2 尺 ) 】 故l i m ，2 0 ) = ，从而1 i m ，o ) = ，l i m ，o ) g = ( g ，o o ) 推论2 设g 是q ，( u ，v ) 的一个奇点，则在k 或l 0 1 上，要么同时存在，要么同 时不存在f ( x ，y ) 的奇点 结论5 设1 1 是切向量q ，( u ，v ) 在圆s 上的任意一条非奇点的轨线，则扇形c ( i 、) 是向量场f ( x ，y ) 的不变扇形 结论6设q ，= g 。，a ，= g ：，r = ( u ，v ) l ( u ( t ) ，v ( t ) ) s ，t r ) ，则 1 ) 当r ( g 。) 0 时，存在f ( x ，y ) 的奇点e - ，使得对v ( ，y 。) c ( r ) 有 1 i m g 0 ，x o ) ，y ( f ，y o ) ) = e l ； 2 ) 当r ( g 。) o 时，对任( x 。，y 0 ) c ( 1 1 ) 有l i m g ，) ，y ( f ，) ) = ( 蜀，o 。) 注： q ，( 或a ，) 表示轨线r 的( i ) ( 或q ) 极限集； ( g 。，o o ) 表示f ( x ，y ) 在无穷远处的一个奇点 c ( r ) = r ( u ，v ) ir o ，( u ，v ) r ) 表示一个顶点在原点，以切向量场的整轨 线i 、为底的扇形 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 推论3r 2 中向量场f ( x ，y ) 存在同宿轨线( 即q 。= a 。= e ) 的充分必要条件是切 向且场q t ( u ，v ) 存在同宿轨线卿q r - a r _ g ) 且r o ，其中g 2 南 由此，我们可以得到扇形域中的轨线图 q ) r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 ；r 。( g 。) 0 ，r ( g ：) 0 ； r ( g 。) 0 ，r ( g ：) 0 g l o o 9 2 结论7 设1 9 = 1 9 ( f ) 是切向量场q ，( u ，v ) 在圆周s 上周期为t 的闭轨线，记 w = x ( ( t ，x 。) ，y ( t ，y 。) ) it r ，( x 。，y 。) c ( e ) ) ，那么 1 ) 当er p g 粉 o ，p 0 ，p z 一4 r = q = 0 肌= 半庐警一半小一等； 删2 胪c + 吉 扣刚一去 去粕c s = 1 6 r ( p 2 4 r ) 2 一q 2 ( 4 p 3 1 4 4 p r + 2 7 q 2 ) 此时，系统( 1 ) 的拓扑结构图为图1 圈1 2 1 ( u ) = 0 有唯一实根 2 1i ( u ) = 0 有一个二重根r 在直线l 。上的奇点为( r ，1 ) ，相应的单位圆上的奇点为g 。= 器，g ：= 一g - 此时，警= 也心- ，) 2 劬2 + 夕甜 l o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 若一b 。 0 即b 。 0 ，则直线l 。= ( u ，v ) iu r ，v = 1 ) 上的结构为 l 1 r 相应地在单位圆上的结构： 当r ( g 。) 0 时为图2 1 ( 1 ) ；当r ( g 。) 0 ； 当a l = 1 ，a 2 = - 2 ，a 3 = 3 ，a 4 = 2 ；b l = b 2 = b 3 = _ b 4 = - 2 时，r ( 9 1 ) = 2 0 故此情形中的两种结构图是存在的 还有，当a l = o ，a 2 = 1 ，a 3 = - 2 ，a 4 = 2 ；b l = - 1 ，b 2 = b 3 = b 4 = o 时，尺( 9 1 ) = 一去 “ l ，3 + 6 2 ，2 + 如，+ 蚕4 ) ：山也 岛 加一詈 口4 、 。”专1 从而有( 丢么：一素管) 箨2 + ( 弓坞一丢4 鸣) 越+ 么。一去4 4 兰。 即吾彳：一素管= 丢鸣一言彳。一：= 彳。一去么。彳，= o 亦即么：= 詈管，呜= 去鬈，么= 去4 故i ( u ) = o 有一个4 重根的充要条件是系数a ；，b ；( i = l ，2 ，3 ，4 ) 满足条件： 此时，= 铲如一掣 口l 一6 2 4 6 l 震( 9 1 ) = 尺( g ：) = l 劾l ( 1 + r 2 ) ，2 = 警3 = 等 6 抚4 6 l 1 + ，2 岛警岍 屯一群2 6 6 l ( 3 掰l 也一2 露2 趣+ 3 群3 魂+ 9 6 1 6 4 ) 1 2 ( 车) 吩等叫 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = 蒜高卜，瑙：”m + 缸也n 击“也，3 故当3 口。6 。6 ，一4 6 1 6 ：6 ，+ 1 3 6 7 6 。+ 三争( 口。一6 ：) 2 + 杀( 口。一6 ：) 3 o 时，在单位圆上 的拓扑结构图同2 1 ( 1 ) 5 当3 口。6 。6 。一4 6 1 6 2 6 ，+ 1 3 6 7 6 。+ 三争( 口。一6 ：) 2 + 素( 口。一6 ：) 3 o ； 当a l = 一5 ，a 2 = - 5 ，a 3 = 一5 ，2 l 4 = l ；b l = b 2 = i b 3 = b 4 = 一1 时，r ( 9 1 ) = - 2 o 3 i ( u ) = 0 有两个不同实根 3 1 i ( u ) - 0 有两个单根r ，r ：( r ， r ：) 仕且线l i 上伺苛点0 r 1 ，1 ) ，0 r 2 ，l ，利世阴早位圆上伺苛点 g ，：善垒皇；，g ；：一g ，i ：1 ，2 1 + 此时，譬= 一6 l 。 一吒) 一恐) 2 + p 掰+ g )( p 2 4 9 0 臣h ， o 刚存盲绋i 。卜的结构为 l 1 r 1r 2 相应地，在单位圆上的结构： 1 3 硕士学戗论文 m a s t e r st h e s i s 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o 时为图3 1 ( 1 ) ；当r ( g 。) 0 ，r ( g ：) o 时为图3 1 ( 2 ) ； 。k处 、7 y 圈3 。l ( 1 ) ，八 厂夕亨 c心2 、 蛋3 。l ( 2 ) 当r ( g ，) 0 ，r ( g 。) o 时为图3 1 ( 3 ) ；当r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( 9 2 ) = 三 o 当b ；= 一l ，b 2 = ，一3 ，b 3 = 一王，b 乒一2 ：a ，= l ，a 。= 一羔，氇3 = 一3 ，a t = 2 时 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s r ( 9 1 ) = 一 o ，r ( g ：) = 一詈 。 ( d 当b 。= 一1 ，b 2 = b 3 = b 4 = o ：a 。= 一2 ，a ：= 0 ，a 。= 一1 ，a 4 = 2 时， r ( 酣= 一吾 o ，r ( 9 2 ) = 一詈 o 故此情形中的4 种结构图是存在的 3 2i 卸有网个二重根r ，r 2 0 即b ， o ，则在直线l 。上的结构为 i1 相应地，在单位圆上的结构图： 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o 时为图3 2 ( 1 ) ；当r ( g ，) o ，r ( g ：) 0 时为图3 2 ( 2 ) ； k 、 刊 _ 、l 沙 厌捌 噫到 圈3 2 ( 2 ) 硕士学饭论文 m a s t e r st h e s i s 当r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 时同图3 2 ( 2 ) ；当r ( g 。) o ，r ( g 。) o ： 当b l 一1 ，b 2 = b f 0 ，b 。= 一2 ：a l = a 2 = 一a 3 = 0 ，砒= 1 时 震( 9 1 ) ：一丢 o ： ( 多当b 1 = 一1 ，b 2 = b 3 = b 4 = o ：a l = a 3 = o ，a 2 ：一2 ，a l 4 = l 时， r ( 9 1 ) ：丢 o ，火( 9 2 ) ：一丢 o ： 当b l 一王，b 一2 ，b 产b 产0 ：a l = 毽产一2 ，8 产0 ，a 严王时， r ( 9 1 ) = 一吾 o ，r ( 9 2 ) ：一丢o 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 此时系统( 1 ) 为 = x 一2 x 3 2 x 2 y 十j ，3 = y x 3 2 x 2 y 它的5 个有限奇点为 t ，c 。，。，a e l ，l ，a c l ，l ，艿( - ：! 笋，等) ，8 ( - ! 笋，- 孚 4 i ( u ) = 0 有三个不同实根 设三个实根为r ；，r 轴r 。( r ； r ： o 即b ， o 则在直线l ，上的结构为 l ， r 1r 2r 3 相应地，在单位圆上的结构图： 董) 当r ( g ，) 0 ，r ( g ：) 0 ，r ( g 。) o 时为图4 圭( 1 ) ； 2 ) 当r ( g 。) o ，r ( g ：) 0 ，r ( g 。) o 时为图4 1 ( 2 ) ； 1 7 硕士学饭论文 m a s t e r st h e s i s 3 ) 当r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) o 时为图4 1 ( 3 ) ； 4 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 时为图4 1 ( 4 ) ； 灏哇。l ( 3 ) 图t1 “) 5 ) 当r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 时为图唾1 ( 5 ) ； 6 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g ：) 0 ，r ( g 。) o 时为图4 1 ( 6 ) ； 爨哇。l ( 5 ) 图4 i ( 6 ) 7 ) 当r ( g 。) o ，r ( g ：) o ，r ( g 。) o 时为图4 1 ( 7 ) ； 8 ) 当r ( g ，) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( 9 2 ) = 2 o ，尺( 9 3 ) = 寺 o ； 当b l = 1 ，b 2 一b 4 = o ，b 3 = 2 ；a l a 2 = 1 ，a 3 = 一1 ，a 4 铷时 1 露( 9 1 ) = 一音 o ； 二 二 当b l = 1 ，b 2 _ 2 ，b 3 卸，b 4 - 1 ；a l = 3 ，死2 - - l ，a 3 = 一2 ，2 l 4 = 0 时 r ( 9 1 ) = l o ，r ( 9 2 ) = 一1 o ，r ( 9 2 ) = o ，r ( 9 3 ) = 一寺 o ； 二二 当b 1 1 ，也锄，b = 2 ，k = 一l ；a l = a f l ，嬲= 一2 ，瓠卸时 r ( 9 1 ) = 尺( 9 2 ) = 一l o ，r ( 9 3 ) = o ； 当b l = 一1 ，b 2 一2 ，b 3 - b 4 = 0 ；a l = a 2 = a 3 = 1 ，a 4 ：铂时 12 震( 9 1 ) = 一言 o ，霆( 9 2 ) = 绣震( 9 3 ) = 一吾 o ； 二 二 当b l = 1 ，b 2 = b 3 = o ，b 4 一l ；a l l ，a 2 = 一l ，a 3 2 ，2 l 4 = o 时 r ( g 。) = o ，r ( g 。) = r ( g 。) = 一1 0 ： 当b ；= 。l ，境= ，b = l ，b 霉= - l ；a l l ，a 2 = o ，a 3 2 ，a 4 = o 时 11 r ( 9 1 ) = 一言 o ，r ( 9 2 ) = 一l o ，r ( 9 3 ) = 一去 o 即b 。 0 ，则在直线l 。上的结构为 r 1r 2 r 3 相应地，在单位圆上的结构图： 当r ( g ，) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 1 ) ； 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 时同图4 1 ( 3 ) ； 同图4 1 ( 1 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 时同图4 1 ( 2 ) ； 当r ( g 。) o ，r ( g ：) 0 ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 4 ) ； 同图4 1 ( 2 ) 同图4 1 ( 3 ) 9 3 群芯 步除 潋讵膨 同图4 。l ( 4 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 当r ( g 。) 0 ，r ( g ：) o ，r ( g 。) 0 时同图4 1 ( 5 ) ； 当r ( g 。) 0 ，r ( g ：) o ，r ( g 。) 0 时同图4 1 ( 7 ) ； 同图4 1 ( 5 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 6 ) ； 当r ( g 。) o ，r ( g ：) 0 ，r ( g 。) 0 即b 。 0 即b 。 o ，则在直线l 。上的结构为 次b 相应地，在单位圆上的结构图： 当r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 时同图4 1 ( 1 ) ； 当r ( g ，) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 3 ) ； 饥3 ， 同图4 1 ( 1 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 4 ) ； 当r ( g ，) o ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 2 ) ： 同图4 1 ( 4 ) g 善 同图4 1 ( 3 ) 同图4 1 ( 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 当r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 7 ) ； 当r ( g 。) 0 ，r ( g ：) o ，r ( g 。) o 时同图4 1 ( 5 ) ； 黼凿4 1 ( 7 ) 当r ( g ，) o ，r ( g 。) 0 ，r ( 昏) o 时同图4 1 ( 6 ) ； 巍冀( g ，) 0 ，r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 时黧图4 。圭( 8 1 ) 间图4 1 ( 6 ) 若咱； 0 ，在直线乙；上静结构为 丽圈莲。l ( 5 ) l 1 r 1r 2r 3 同图4 1 ( 8 ) 作时闻变换斑= 一馥帮可褥到与上述8 种拓扑等价的结构图。 5 i ( u ) = 0 有四个不同实根 设四个实根为r ；，r 轴r 3 ，魏( r ； r ： r 。 o 即b 。 o ，在直线乙。上的结构为 囊歉 犯炎 相应地，在单位圆上的结构图： 1 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 时为图5 ( 1 ) ； 2 ) 当r ( g ，) 3 ) 当r ( g 。) o ，r ( g 。) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 5 ) 当r ( g 。) o ，r ( g ：) o ，r ( g 。) o ，r ( 幽) o 时同图5 ( 3 ) ； 6 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( 鼬) o ，r ( g 。) o 时为图5 ( 4 ) ； 。厂 蕊忿 蹩掣 _ 9 2 羼图5 ( 3 ) 惩历 蟾裂 圈5 ( ) 7 ) 当r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 时为图5 ( 5 ) ； 8 ) 当襄( g ，) 0 ，r ( 9 2 ) o ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) 0 时同图5 ( 4 ) ； _ g髓赢 婚渺 嘲kj 嘲 1 2 图5 ( 5 ) 。，一 弋；。 勰凝 絮 澎 飞 同图5 ( 4 ) 这里，图5 ( 5 ) 是不可麓存在的。 事实上，设h ( r ) = b 。r 3 + b ：r 2 + b 3 r 十b 4 贝0 由r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 知： h ( r ，) o ，h ( r ：) 0 ，h ( r 。) o ，h ( r 。) 0 。 囊( r ) 在( r ，r 。) ，( r ：，r 。) ，( r 。，r 。) 各有一个零点 又b l o ，r 一一时h ( r ) 一十：r 一+ ，h ( r ) 一一o d h ( r ) 在( r ，+ ) 和( 一，r ) 还各有一根 这是不可能的。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 9 ) 当r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) o 时同图5 ( 4 ) ； l o ) 当r ( g ) 0 ，r ( g ：) 0 ，r ( g 。) 0 ，r ( g 。) o 时为图5 ( 6 ) ； 穗赫 逐掣 嫣飘 嗡裂 1 啭 ；厂 、 勰蒇 颧。渺 1 3 _ 7 哪 - 9 2 同圈5 ( 4 ) 1 3 ) 当l ( g ，) o ，r ( g 。) o ，r ( g 。) 0 ， 1 4 ) 当r ( g 。) o ，r ( g ：) r ( g 。) 0 时为图5 ( 8 ) ； r ( g 。) 0 时同图5 ( 7 ) ； 毫4 _ 9 4稳缀 遛雾 1 2 冠黧5 1 5 ) 当r ( g 。) o ，r ( 9 2 ) o ，r ( g 。) o ，r ( g ；) o 时同图5 ( 8 ) ； 1 6 ) 当r ( g 。) 0 ，r ( g ：) 0 ，r ( g 。) o ，r ( 9 4 ) = o ； 二二 2 ) 当b l = - 1 ，b 2 一o ，b 3 = 4 ，b 4 _ o ；a l 。一2 ，a 2 = 一5 ，a 3 一一2 ，a 4 = 0 时 气1 灭( 9 1 ) = 一三 o ，震( 9 4 ) = o ； 二二 3 ) 当b