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应用山路引理求证微分方程解的存在性硕上论文 摘要 微分方程解的研究一直以来都是人们最为关注的研究领域，大部分微分方 程都是从实际问题中抽象建模而成的，所以我们在研究微分方程问题的时候， 讨论其解的存在唯一性有着基础性的意义。其中，关于非线性微分方程有无解， 其解是否存在唯一，解的稳定性如何，一直是个难题。微分方程边值问题的弱 解就是其相应泛函的临界点。在线性方程情形，其弱解就是使相应泛函取极小 值，而在非线性方程情形，其相应泛函可能既没有上界，也没有下界。范猛， 王克嘲1 清晰地介绍y o s h i z a w a ，m a s s e r a 利用推广的b r o u w e r 型不动点理论和 l i a p u n o v 法等理论把微分方程周期解的存在性和解的有界性建立了联系。 对于表征硬弹簧振动和牛顿运动的d u f f i n g 方程的周期问题，因涉及的领 域广泛，众多学者对其进行了深入研究，得到了一系列重要而深刻的结果t 3 1 - i u l 。 随着现代数学理论的不断发展，人们提出了许多研究微分方程周期解存在性的 方法和工具。如抽象代数引理和傅里叶级数，非线性泛函分析，临界点理论， 迭合度理论，最优控制论，大范围反函数理论等。 1 9 7 3 年，a m b e o s e t t i ，r a b i o n o w i t z 和e k e l a n d 提出著名的山路引理， 山路引理给出了求证其对应泛函的l 临界点的方法，从而成为研究非线性微分方 程边值问题的重要引理。本文主要运用山路引理的方法，分别尝试证明d u f f i n g 方程2 万一周期解的存在性和非共振椭圆型方程解的存在性，使得常微分方程中 的证明方法和理论得以向椭圆型方程领域扩展。 本文的主要研究成果是： 1 利用变分方法将一类无阻尼d u f f i n g 方程的周期边值问题转化为与之等价 的非线性泛函的临界点问题，并利用山路引理证明这类d u f f i n g 方程2 兀周 期解的存在性。 设条件( i ) 一( i v ) 满足： ( i ) g ) c ( 尺；r ) 并存在l a 2 ) ，使 l g ( “) f a + b l u l 8 ，口 o ，b 0 。 1 ( h ) 存在6 ( o ，：1 ) 及必 o ，使 z g ( 甜) = 【g ( s ) d s 6 z 辔( 材) ，v i “( ，) f m ，f o ，2 z 】。 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕+ 论文 ( i i i ) 下面两个极限式成立， 1 i 珥趔：0 ，对( 翟，) r 【o ，2 万】一致； o _ ” 甜 l i m 幽：佃，对( 甜，f ) r 【o ，2 7 r 】一致。 o _ 。 掰 ( ) 口( f ) 有界。 则d u f f i n g 方程材。( f ) + g ( “) = e ( t ) 存在2 7 r 一周期解。 2 证明一类具有d i r i c h l e t 边界条件的非共振二阶椭圆型方程在( ( q ) ) ”空间 上弱解的存在性问题。本文考虑l a p l a c e 算子的特征值问题，首先在每个有限 维的步上，应用山路引理，证明在有限维子空间上，此类非共振椭圆型微分方 程弱解的存在性，然后推广到( r ( q ) ) “空间上证明其弱解的存在性，并由此推 出具有d i r i c h l e t 边界条件的非共振二阶椭圆型方程弱解的存在唯一性。 考虑类非共振椭圆型方程： _ 材一v g ( u ) = f ( 础) ，( w ) q = o ，7 r 0 , r c 】；( 1 ) 【 u ( x ， 2 0 ，【x ，”诱2 其中一= 一( 导+ 熹) ：d ( 一) c ( r ( q ) ) ”j ( r ( q ) ) ”是l a p l a c e 算子， g c z ( r 一，r ) ，分别用v g 和( 害罢) 表示g 的梯度和h e s s i a n 矩阵， u l i 删j f c ( q i ，r ”) 。并假设成立l g ( c o , ) d f 2 m j j l 鸭1 2 d q 。 如果方程( 1 ) 满足非共振条件，lj p ( q ) d q | 0 ( i i ) t h e r ea r e 6 ( o ，三1 ) a n d m o ，s u c ht h a t ， g ( u ) = 【g ( s ) a s 6 z 辔( “) ，v l “i m ，t o ，2 石】 ( i i i ) e s t a b l i s ht h ef o l l o w i n gt w of o r m u l a s ， l i m 鲤盟：0 , c o n s i s t e n c yf o r ( 甜，舴尺 o ，2 7 r 】， u - - - 0 u l i m 墨垒盟：佃，c 。l l s i s t c n c yf o r ，) r 【o ，2 万】 o _ + 。 “ t h e o r e m1 ：a s s u m et h a t e ( t ) i sb o u n d e d ，g ( u ) s a t i s f i e s ( i ) 一( i i i ) ，t h e nw eo b t a i n t h a tt h ed u f f i n ge q u a t i o n u + g ( “) = e ( t ) h a s2 r e - p e r i o d i cs o l u t i o n s i nt h et 1 1 i r dc h a p t e ro ft h i sa r t i c l e m a i n l yf o rac l a s so fd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s w i t ht h en o n r e s o n a n c ec o n d i t i o n sf o re l l i p t i ce q u a t i o n so fs e c o n do r d e rt op r o v e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e mi ns p a c e ( r ( q ) ) ”c o n s i d e rt h el a p l a c e o p e r a t o re i g e n - v a l u ep r o b l e m ，f i r s to fa l l ，w ea p p l ym o u n t a i np a s sl e m m a i ne a c h f i n i t ed i m e n s i o n a ls t e p ，t h e nw ep r o v et h a tt h ew e a ks o l u t i o no fs u c hn o n - r e s o n a n t e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni se x i s t e n c ei nt h ef i n i t e d i m e n s i o n a ls u b s p a c e ， a n dt h e nw ee x t e n dt h ec o n c l u s i o nt os p a c e( r ( q ) ) ”，t h u sw et e s t i f yt h ee x i s t e n c e o fan o n - r e s o n a n c ee l l i p t i ce q u a t i o n 谢t l ld i r i c h l e tb o r d e rc o n d i t i o no ns p a c e ( l 2 ( f o ) ”f r o mt 1 1 i sp a n ，w ec o n c l u d et h a t c o n s i d e rak i n do fn o n - r e s o n a n c ee l l i p t i ce q u a t i o n s ： 一甜一v g ( u ) = f ( x ，y ) ，( x ，y ) q = o ，万 o ，巧】；( 1 ) lu ( x ，少) = 0 ，( x ，y ) 魂 i v 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕士论文 w h e r ed ( 一) c ( r ( q ) ) ”一( f ( q ) ) “i sl a p l a c eo p e r a t o r , g c 2 ( 尺”，r ) ，v ga n d ( 娄)r e s p e c t i v e l yd e n 。t et 1 1 e 乒a d s 。fga n dh e s s i 锄m a t r i x ，c ( 磊，r 一) 0 u i u l j a l s 。w es u p p 。s e l 肛( ) d q l 0 称为阻尼系数，- 2 p 9 。是与速度成正比 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕士论文 的阻尼力。 1 9 1 8 年，d u f f i n g 建立了表征硬弹簧振动的二阶微分方程： x 。+ 2 t t x + ；x + 印；x 3 = a c o s q t 其中一面x 和一印；x 3 为恢复力，- 2 p x 是与速度成正比的阻尼力，a c o s q t 是一 个强迫震荡。 2 0 世纪4 0 年代，l o t k a ( 1 9 2 5 年) 和v o l t e r r a ( 1 9 2 6 年) 奠定了种间竞争关 系的理论基础，他们提出了种间竞争方程( l o t k a v o l t e r r a 方程) ： 了t i n , = a l n l 一, 6 , n 2 ； 击 了d 9 2 ：- a 2 n 2 + 反1 = + 拶1 ， 西 1 这是描写生态系统中相互作用的两个生物群体变化的简单模型，其中m 和 表示两种生物群体的数目，和a ，分别表示两种生物的增长率和递减率，两 者均为正的常数，屈和及分别表示两种生物之间的相互作用，它们也均为正的 常数。 天体力学，机械振动，电力系统，生态系统，经济领域以及工程技术中的 许多问题往往都可归结为寻求以微分方程为数学模型的周期解。微分方程周期 解的存在性一直受到人们的普遍关注，许多学者对微分方程周期问题进行了广 泛和深入的研究。早在十九世纪四十年代，p o i n c a r e 就研究了三体运动的周期 问题。二十世纪六十年代，y o s h i z a w a , m a s s e r a 利用推广的b r o u w e r 型不动点 理论和l i a p u n o v 方法等理论把微分方程周期解的存在性和解的有界性建立了 联系。众多学者对无线电传输中的非线性振荡周期问题，表征弹簧振动和牛顿 运动的d u f f i n g 方程的周期问题等进行了深入的研究，得到了系列重要而深 刻的结果。随着现代数学理论的不断发展，人们提出了许多研究微分方程周期 解存在性的方法和工具，如k a m 理论，非线性泛函分析，临界点理论，迭合 2 应用山路引理求证微分方程解的存在性 硕上论文 度理论，最优控制论，变分法等。 研究物体运动规律的力学中有许多基本问题可以归结为共振和非共振的微 分方程的周期轨道问题。在过去的3 0 年里，国内外许多学者讨论了牛顿类 ( d u f f i n g 类) 运动方程及其衍生的各类方程的初边值问题，这类方程解的存在 性一直是一个研究热点。牛顿类方程源自非线性摄动守恒系统，这类方程表示 的质点受守恒内力和周期外力作用。 1 9 6 9 年，l a z e r 和s a i l c h e z 【1 】运用b r o u w e r 不动点定理证明了牛顿方程 “沁) + v g ( u ( t ) ) = p ( t ) ( 1 ) 在以下条件正) 下存在2 7 r 周期解， 口) 存在整数n 0 ，实数鲰和n + l ，使得n 2 抵p n + 1 ( + 1 ) 2 和 鲰l ( _ 0 2 _ g ( a ) ) n + 1 厶对所有的口r 一成立。 o u 。o u 这里g ：r “一只有连续的二阶偏导数，p ：r ”专r 是连续的、2 ，r 一周期的。 但是，这个存在性定理的证明是基于d o l p h 2 1 的一个定理的轻微修改以及 b r o u w e r 不动点定理，并不能得到解的唯一性结论。 1 9 7 3 年，l a z e r 3 1 基于两个基本的抽象代数引理和傅立叶级数的基本性质证 明了满足以下条件( l ) 时，方程( 1 ) 的解是唯一存在的。 ( l ) 存在实常对称矩阵彳，b ，使得彳( 霎罢堕) b ( v “r 一) ，且如果 u h f u h a 如九和“心心分别是a ，b 的特征值，那么存在整数m o ， k = 0 ，1 ，2 ，”，满足条件m 2 九心 0 , b 0 。 ( i i ) 存在6 ( o ，去) 及m 0 ，使 g ( “) - fg ( s ) d s 5 u g ( “) ，v u ( t ) l m ，te 0 ，2 万】。 ( i ) 下面两个极限式成立， 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕士论文 l i m 丛生：o u - - - o u l i m 堕尘：佃 “+ + ” u ( ) e ( t ) 有界。 则d u f f i n g 方程”。( f ) + g ( ) = e ( t ) 存在2 万一周期解。 2 证明一类具有d i r i c h l e t 边界条件的非共振二阶椭圆型方程在( ( q ) ) ”空i 司 上弱解的存在性问题。本文考虑l a p l a c e 算子的特征值问题，首先在每个有限 维的步上，应用山路引理，证明在有限维子空间上，此类非共振椭圆型微分方 程弱解的存在性，然后推广到( r ( q ) ) ”空间上证明其弱解的存在性，并由此推 出具有d i r i c h l e t 边界条件的非共振二阶椭圆型方程弱解的存在唯一性。 考虑一类非共振椭圆型方程： j 一”一v g ( u ) = f ( x ，y ) ，( x ，y ) q = o ，7 r o ，7 r 】；( 2 ) 【 u ( x ，y ) 2 0 ， ( x ，y ) 执2 其中一= 一( 等+ 熹) ：。( 一) c ( r ( q ) ) “( r ( q ) ) ”是l a p l a c e 算子， g c ：( r 一，r ) ，分别用v g 和尝) 表示g 的梯度和h e s s i a n 矩阵， u h p u j fe c ( f i ，r ”) 。并假设成立jj p ( 鸭) d 叫m 期蛾1 2 d q 。 如果方程( 2 ) 满足非共振条件，lj p ( 魄) d 叫m 朋嚷1 2 d q ，对任意 u ( r ( q ) ) ”，满足u = v + c o k ，( ，耳，z ) ，则方程( 2 ) 存在唯一弱 解。 1 4 预备引理 本文在b a n a c h 空间考虑问题，设e 是实b a n a c h 空间，i ：e - - r 是c 1 泛函， ( i ) 若f ( u 。) = 0 ，则称是，的一个临界点。 6 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕士论文 ( i i ) 如果 ce ，( ) 有界，( 材。) j0 蕴含 有收敛子列，则称 泛函， ) 满足p a l a i s s m a l e 条件，简称尸s 条件。 在文献心7 3 中有如下结论，本文将其作为引理使用。 引理1 乜7 3 若o p g ，且i q l ，则口( q ) cp ( q ) ，且0 厂虬- n 。( f qj ) ，g 。 引理2 心7 1 设“孵p ( q ) ，则存在c = c ( n ，p ) ，使得 j l u l l p - o i l y 4 p ， n - p ll s u p 甜怿l q m p 刀o ( 当p 0 ，存在6 0 ，使得对于 口，b 】中 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕士论文 的任意一组分点：口q 6 l 哆 6 2 包6 ，只要( 匆一口j ) s u p l e ( t ) i ：t r ) ，甜d ( 3 ) 我们知道，如果没有其它附加条件，( 3 ) 并不能保证方程( 1 ) 存在周期解。 后来r e i s s i g 跚在胛2 兄s 璺型p o ) ( i i ) 存在6 ( o ，i 1 ) 及必 0 ，使 g ( 甜) = r g ( s ) 出6 曙( “) ，v i 掰( ，) j m ，f 【o ，2 z r ( l i i ) 下面两个极限式成立， l i r a 型：o l i m 丛生：恂 - + + o 甜 ( ) p ( f ) 有界，即存在常数川 0 ，使得i p ( f ) | 肌。 定理1 假设上述条件( i ) 一( i v ) 满足，则d u f f i n g 方程 ( 9 ) ( 1 0 ) ( 8 ) 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕上论文 甜。( f ) + g ( “) = e ( t ) 至少存在一个非平凡的2 万一周期解。 证明：只需证明泛函i ( u ) 存在临界点，即泛函l ( u ) 满足山路引理的全部条件。 首先，证明i ( u ) 满足p s 条件。 设 ( mc 叫。，l ，( “。) i c ，( 力= 1 ，2 ，) ，( ) 专臼，( 在噬。中。要证 ( r ) ) 有收敛的子列，只需证( 材。( ) 在胃中有界( 因为 ( ) ) 在琏。中绝对连续) 。 事实上，由条件( i ) ( i i ) 知，存在m ，鸠 0 ，使得： c ，( ) = r 。 三l 甜。1 2 一g ( 甜。) + p ( ，) “。o ) 西 筘“2 西叱，猁g ( 掰边+ 肛咖。( o a t m 扩2 破一6 r 。2 坊+ 6r 8 ( “心咖沙m ，) 净 ，吧行石 筇上e ( t ) u 。( f ) 西+ 上e ( t ) u 。( t ) d t 一心 = 哇埘r 2 。峦诫歹( 咖小( ) n 咖小胪m ： ( 1 2 ) 设，( ) o ，所以当甩哼时，有 利用h 5 1 d e r 不等式及推论，可得 ( 1 3 ) 睁渤荆破卜肌；牺订物互1 4 厩( 肌衲；， 结合( 1 2 ) 一( 1 4 ) ，有 州扣) n 2 西一m l | 1 2 4 而( ) ( 肌协j 1 一心) 1 2 应用山路引理求证微分方程解的存在性 硕十论文 成立，由( 1 5 ) 式可推得慨忆在喇。中有界。 若不然，i l u 1 j 。，：在叫。中无界，由( 8 ) 式，易得：i ：( 石+ 1 ) r ”2 防， 从而r ”豁2 国一+ ，与( 1 5 ) 式矛盾。于是，8 | f l ，2 在叫。中收敛，从而， ) 满 足p s 条件。 其次，证明存在充分小的r 0 ，使i n fi ( u ) = c ，这里r 0 “e d l j e = 红砭。| 1 - 2 。 由推论得： i ：畴+ 1 ) i l “屺 ( 1 6 ) 观察( 1 0 ) 式和( 1 6 ) 式知，存在仃 o ，使得，对于v o h 仃，有旧( 甜) l 要， 其中f 表示( + 1 ) 。 从而，有下式成立： g ( 邮；一v 小仃。 ( 1 7 ) 另一方面，由( 9 ) 式知： g ( “) 口小丙b 旷1 ，一 烈 佃 ( 1 8 ) 结合( 1 7 ) 式、( 1 8 ) 式，并注意到a + 1 o ，使得下式 成立： ，2 n g ( z f ) j u 2 + 帅n - 2 0 ，便得 型 o ， 使得。i 。n 赳f ， ) = c r o 。显然，对叫。中的零元素9 ，有，( p ) = o 。 ( 2 2 ) 再次，证明存在“。，u 。h ：1 。，qu o 的开邻域，“。毛五，使得 m a x i ( u o ) ，( ) 0 ，v t 0 ，2 z 令l l u 。 l ：= a o ，则 o 。 由条件( i i i ) 的( 1 1 ) 式知，存在“ 0 ，使得 g ( “) 尝“，v 甜 ( 2 3 ) 口0 成立。 令9 ( 考) = ，( 专“。) ，考察实函数妒( 考) ，有 9 ( 考) = ，( 考) = 丁20 i i l 2 一g ( 毒) 出+ l g ( 唢考) 破 1 4 应用山路引理求证微分方程解的存在性硕士论文 = 等一l g ( 弦+ 船) ( ) 斫 ( 2 4 ) 成立。 现取o 磊 考： 邑2 一心，v n n o ( 2 7 ) 【 邑2 一心， ( 2 7 妒( 考) = ，( 考甜。) = 兰2 一r ”g ( 毒。沙+ r ”p ) ( 考。矽 o 。 故当n 斗时，9 ( 考。) 哼棚，显然，当n 寸时，慨l | 1 2 = 考。- 专+ 0 0 。于 是，可取定某n ( 充分大) ，使域。中的元素“，= 考。u o ，满足 甜l e ，i ( u o ) 0 。 ( 2 8 ) 于是，存在，s t i 叫。，b 是的开邻域，“。哆，使得 m a x ，( ) ，( ) ) 0 。即方程( 1 ) 有2 万一周期解。 1 6 应用山路引理求证微分方程解的存在性 硕上论文 第三章应用山路引理证一类非共振椭圆型方程解的存在性 微分方程边值问题的弱解就是相应泛函的临界点。在线性方程情形，其弱 解就是使相应泛函取极小值，而在非线性方程情形，其相应泛函可能既没有上 界，也没有下界。为了研究非线性方程边值问题解的存在性，山路引理给出了 求证其对应泛函的临界点的方法，从而成为研究非线性微分方程边值问题的重 要引理。 3 1 引言 关于满足非共振条件的偏微分方程组l u + v g ( u ) = f 的d i r i c h l e t 问题，国 内外学者叫m 铲1 钔在这方面作了很多贡献。p w b a t e s n 踟对三是波动算子的情况 进行了讨论，他利用g a l e r k i n 逼近方法和m i n i m a x 原理证明了其弱解存在且唯 一。a h m a d b 3 和l a z e r h 3 分别证明了类似的二阶常微分方程组解的存在性和唯一 性。徐晶晶，周伟灿和官元红n 刚利用g a l e r k