（应用数学专业论文）声波与热传导方程反问题的研究.pdf

摘要 摘要 反问题的研究是数学物理学中个较新的研究领域声波反散射问题是一一类 典型的反问题，它是由散射方程的解来确定散射区域或其它定解条件( 例如系 数) 声波反散射问题被证明是不适定的，t i k h o n o v 正则化方法被广泛的应用 于解决该问题本文对声波反散射问题及热传导方程反问题进行了研究 对声波阻尼边界条件反问题，首先，采用单、双层位势组合作为h e l m h o l t z 方程散射解的逼近，对声波阻尼系数进行了反演，得到了较好的数值结果，并 对解的收敛性给出了证明；其次，对声波阻尼区域进行了反演，对解的收敛性 给出了证明，数值结果表明该方法精确易行；再次，采用单层位势同时对声波 阻尼系数及区域进行了反演，也给出了证明及数值实例，得到了较好的数值结 果；最后，用h a n k e l 函数线性组合对声波阻尼系数及区域同时进行了反演， 并给出了数值实例通过数值计算可以看出h a n k e l 函数线性组合方法在数值 计算方面比单、双层位势组合方法简单，计算量小，但是后者比前者更精确 对裂缝阻尼边界条件反问题，采用单、双层位势组合对系数及区域同时进 行了反演，用t i k h o n o v 正则化方法将该问题转化为极小化问题，用拟牛倾法求 解此问题，从而得到阻尼系数及区域的数值结果，此方法不需在每步迭代过程 中求解正问题的解及其偏导数，因此简单易行 讨论了在某时刻温度分布已知的情况下，求解热传导方程第二类边值问题的 初始条件反问题在给出解的存在性与惟一性证明的基础上，采用t i k h o n o v 正 则化方法将其转化为非线性最优化问题，并用梯形公式对积分离散化进行数值求 解数值模拟结果表明该方法既可行且有效 关键词：远场模式，t i k h o n o v 正则化方法，h e l m h o l t z 方程，h a n k e l 函数，热 传导方程 西北大学硕士学位论文 r e s e a r c ho ni n v e r s ep r o b l e mo fa c o u s t i c sa n d h e a te q u a t i o n a b s t r a c t t h ef i e l do fi n v e r s ep r o b l e mi sa r e l a t i v e l yn e wa l e ao fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s r e s e a r c h t h ei n v e r s ea c o u s t i cp r o b l e mi sa t y p i c a li n v e r s ep r o b l e m ，w h i c ht a k e s t h ea n s w e ro fs c a t t e r i n gf u n c t i o na si t ss t a r t i n gp o i n tt of i n dt h es c a t t e r i n gf i e l d a n dt h eo t h e rc o n d i t i o n sf f o re x a m p l et h ec o e f f i c i e n t ) i ti sr e a l i z e dt h a ti n v e r s e s c a t t e r i n gp r o b l e m sw e r ei u - p o s e da n dt h et i k h a n o vm e t h o di su s e dt os o l v ei t i nt h i sp a p e r ，t h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sa n dt h ei n v e r s ep r o b l e mo fi n i t i a l c o n d i t i o no ft h eh e a te q u a t i o na r es t u d i e d f o rt h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sw i t hi m p e d a n c eb o u n d a r yc o n d i t i o n ， f i r s t l y , t h ec o m b i n e ds i n g l ea n dd o u b l el a y e rp o t e n t i a l sa r eu s e dt oa p p r o a c ht h e s c a t t e r e dw a v e si no r d e rt od e t e r m i n et h ei m p e d a n c e t h en u m e t i c a lr e s u l t sa r e b e t t e ra n dt h ec o n v e r g e n c ei sp r o v e n s e c o n d l y t h es h a p ei sd e t e r m i n e da n dt h e c o n v e r g e n c ei sp r o v e u t o o t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h i sm e t h o d i sb o t h a c c u r a t ea n ds i m p l et ou s e t h i r d l y t h es i n g l el a y e rp o t e n t i a li su s e dt of i n db o t h t h es h a p ea n dt h ei m p e d a n c e t h ep r o o fa n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r e 百v e na n d t h er e s u l t sa r eb e t t e r f i n a l l y , t h ec o m b i n e d 日a n k e lf u n e t i o ni su s e dt od e t e r m i n e t h es h a p ea n dt h ei m p e d a n c e t h en u m e r i c a lr e s u l ts h o w st h a tt h ec o r n b i n e d h a n k e lf u n c t i o nm e t h o di sm o r es i m p l et h a nt h ec o m b i n e ds i n g l ea n dd o u b l e l a y e rp o t e n t i a l sm e t h o db u tt h el a t t e ri sm o r ea c c u r a t e f o rt h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sw i t hi m p e d a n c eb o u n d a r yc o n d i t i o no f c r a c k ，t h ec o m b i n e ds i n g l ea n dd o u b l el a y e rp o t e n t i a la r eu s e dt oa p p r o a c ht h e s c a t t e r e dw a v e si no r d e rt od e t e r m i n et h es h a p ea n dt h ei m p e d a l i c e t h et i k h a n o v m e t h o di su s e dt oc o n v e r tt h i sp r o b l e mt ot h em i n i m i z ep r o b l e ma n dt h ei m i t a t e n e w t o nm e t h o di su s e dt os o l v ei t t h i sm e t h o dd o e sn o tr e q u i r et h es o l u t i o nt o t a n do u l o va te a c hi t e r a t i o ns t e d s oi ti ss i m p l et ou t h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h es e c o n db o u n d a r yc o n d i t i o no fh e a te q u a t i o nc o n - s i d e r e di nt h i sp a p e ri st od e t e r m i n et h ei n i t i a lc o n d i t i o ni ft h et e m p e r a t u r ed i s - t r i b u t i o ni n s i d ead o r a a i na r ek n o w na ts o m et i m e b u s e do nt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s sp r o o fo fs o l u t i o n ，t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o di su s e dt oc o n v e r t t h ep r o b l e mw i t hn e u m a nb o u n d a r yc o n d i t i o n si n t oan o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b - l e m a n di n t e g r a lo p e r a t o ri sd i s e r e t i z e db yt r a p e z o i d a lr u l ef o ra na p p r o x i m a t i o n s o l u t i o n n u m e r i e a le x a m p l e ss h o wt h a tt h i sm e t h o di sb o t ha c c u r a t ea n ds i m p l e t ou s e i i a b s t r a c t ( 英文摘要) k e y w o r d s ：f a rf i e l dp a t t e r n ，t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，h e l m h o l t ze q u a - t i o n ，h a n k e lf u n c t i o n ，h e a te q u a t i o n i i i 西北大学硕士学位论文 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被套阅和借阅。学校可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩r 4 或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论 文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 论文作者签名：盎釜互勤指导教师签名：杰垒! 鳖 年占月争日矽- 年孑月乒日 fj 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北人学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 论文作者签名：卒仑4 荔 参月乒 口 第一章引言 1 1反问题的提出 第一章引言 随着社会的发展和科技的进步，很多应用中的难题不能通过传统的科学研 究去解决，它们向数学家们寻求新的解决方法比如要探求不能触及到之处的 物质变化规律，根据特定的功能对产品进行设计，按照某种目的对流程进行探 制，在工业生产中希望得到某种新材料等等由此，在数学中派生出一个新兴的 分支学科一一反问题研究在实际应用中，经常会遇到这样的问题：作为代表某 种物理场的微分方程的解，不仅知道它们应取的初、边值，而且还可观测到解 ( 场) 的某些进一步信息，但是反映场源结构性质的某些物理参数或几何参数 却作为未知量出现在微分方程的系数中，或出现在微分方程的右端部分，或初 边值条件中，要求利用解的进一步附加信息去反求这些未知参数这就是数学物 理方程反问题 反问题的研究是一个新的研究领域，它源于六十年代t i k h a n o v 的基础性 论文反问题的求解中包含了微分方程的数值解法，最优化方法及概率统计等方 面的许多思想和技巧近年来，计算数学在计算机技术飞速进步的基础上，结 合解决科学与工程中的计算问题，构造和发展新型算法，取得了丰硕的成果， 也为解决反问题提供了重要的条件反问题是从各个领域，各个学科的实际需 求中提取出来的，因此反问题研究是一门交叉性学科，解决反问题必须进行跨 学科、多领域的携手合作能行提出一个归纳到数学范畴，具有可行条件的反 问题，不仅需要一定的数学理论水平，而且要掌握某个领域或学科的专业情 况，这是反问题研究的重要前提作为数学的一门新兴学科，反问题与人类的 生产、生活密切相关反问题的出现，为传统的数理方程的研究开辟了新的领 域，也推动了数学研究者积极参与和解决生产和生活中的问题 1 2声波反散射问题研究现状 声波反散射问题是一个典型的数学物理反问题声波反散射理论的大晕研 究工作是近几十年的事，由于利用介质外部的测量信息去重建介质内部结构， 材料无损探伤，医学成像，声纳，雷达，地质勘探和医疗诊断等领域的迫切需 要，声波反散射问题的研究具有广泛的应用前景但是由于反散射问题的不适 定性和非线性性，长期以来该理论的发展都处于停滞状态，直到二十世纪八十 年代，随着计算机的出现和发展，大规模的数据计算成为可能，这为反问题的 发展创造了条件 二十世纪九十年代之前，对声波反散射问题的研究大致可分为两个方面： 一是解析方法【l 】，该方法是将总体场展成f o u r i e r - b e s s e l 级数，求未知区域， 使得总体场在区域的边界上为零，这种方法只对软表面障碍有效且收敛性要求 散射波的奇点远离障碍的边界，但这对未知区域是很困难的，数值实验很难实 西北大学硕士学位论文 现：解析方法还有利用复变函数的方法，利用保形映射将未知区域映成单 位球，问题就归结为求该映射，但问题的收敛性受制于苛刻的附加条件，对于 解析函数，小的扰动都有可能破坏其解析性，数值实现几乎是不可能的_ 二是 非线性最优化方法，其理论结果似乎很完美，但数值实现也很困难，原冈足要 求从边界到远场模式这个映射的f r e c h e t 导数且每迭代一次都需要解一个正 问题，即求解一个f r e d h o l m 方程二十世纪九十年代之后，对声波反散射问 题的研究，无论在理论上还是在数值应用方面都取得了长足的进展，在这方 面，c o l t o n 、k r e s s 和k i r c h 等利用积分方程方法对反散射问题作了很深刻的 研究，得到了一些很好的结果瓯b - - 1 叫我国对反散射问题的研究较少，无论 是理论结果还是数值方法，与实际问题相结合的力度都还很有限，这是因为对 区域较理想的重建对原始数据的要求相当高，在这方面，需要解决的问题还很 多，如何降低对原始数据的要求，如何建立有效的数值方法及先验估计都是迫 切需要解决的问题 反演声波散射区域目前较为有效的方法有三种：一是c o l t o n 和m o n k 方法，通过对未知区域的估计，直接处理稳定化问题，充分利用h e g l o t z 波函数峨仉将正散射问题归结为一个最优化问题，利用拟牛顿法求解散 射场的一个近似解，再利用散射波的渐近性，得到远距离行为：远场模 式( f a rf i e l dp a t t e r n ) ，最后把远场模式当作已知信息，去解适定的反问题 二是k i r s h 和k r e s s 方法，出发点是假定在未知区域可嵌入一封闭曲面所 围成的区域，利用t i k h o n o v 正则化方法求解这两种方法均给出了数值例 子佟，化l ，对较规则的区域效果很好三是1 9 9 6 年c o l t o n 和k i r s c h 首次求解反 散射问题的一种新的方法一l i n e a rs a m p l i n g 方法对声波反散射的研究。目前 的研究方法主要是基于积分方程方法，关于这方面的研究很多g i l b e r t 和x u 主要针对有限海洋问题研究了如何利用远场模式反求系数和区域等问题并给出 了一些数值例子 1 0 一剐，虽然他们的研究只限于理论方面，但为将声波反散 射理论应用于海洋问题提供了一种可行途径 利用积分方程来反演区域或边界条件中的相关系数优点在于：对问题的唯 一性和稳定性容易得到证明，但不同于正散射问题，通常的反散射问题既是不 适定的又是非线性的，其中由远场模式确定散射波这个问题是不适定的，而对 于寻求散射区域，使得总体场满足边界条件这个问题是非线性的就数值计算 而言，不适定性带来的困难更为明显，这给理论研究和数值应用都带来了很大 困难，正因为如此，反散射问题的研究远不如正散射问题那样成熟和完善，还 有大量的问题需要解决r a m m 在1 9 8 6 年至1 9 9 0 年先后发表了多篇论文，主 要研究系数反问题，讨论了解的唯一性和稳定性c o l t o n 等人利用远场模式研 究了声波和电磁波反问题 3 1 t i k h o n o v 正则化方法瞄l 】和拟解方法【2 瑚被广泛 地应用于反问题当中，特别是正则化方法显示了其强大的活力，解不适定问题 的正则化方法是1 9 6 3 年前苏联数学家a ht i k h o n o v 院士提出来的，其后他和 他的学生们在这方面作了许多工作，1 9 7 4 年t i k h o n o v 等人合著的不适定问 题的解法出版，它系统地总结了正则化方法及其理论，正则化方法一直被认 为是一种求解不适定问题的有效方法 2 第一章引言 1 3 声波障碍反散射问题 首先，假定入射波是时间调和声波t = e i k z ，其中k = u c i 是波数，u 表示频率，岛表示声波在均匀介赝中的传播速度，d 表示传播方向，那么在非 均匀介质中声波散射问题可归结为求总体场让使得 a u + 七2 几( ) u = 0 ，i n 驴，m = 2 或m = 3( 1 1 ) u ( z ) = e h 。+ 3 ( 功( 1 2 ) 熙r ( 筹砘u 卜o ，i n r 3 ( 1 3 ) 熙( 百a u 一删) = o ，i n r 2 ( 1 4 ) 其中r = ，n = c 3 c 。是折射率，c 表示声波在非均匀介质中的传播速度，u 5 称为散射波，( 1 3 ) 和( 1 4 ) 称为s o m m e r f e l d 辐射条件对不可穿透障碍d ，正 散射问题可归结为求解札满足 a u + k 2 n ( z ) u = 0 ，i n 缈d ，m = 2 或m = 3 ( 1 5 ) n ( z ) = e i h 。+ u s ( z )( 1 6 ) 让= 0 o n a _ d _ 0 。n o d 舅+ 认( 咖_ 0 。n o d ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 恕( 筹以u 。) _ 0 ，i n 舻 ( 1 1 0 ) 熙( 百0 u 一 u 。) = o ，i nr 2 ( 1 1 1 ) ( 1 7 ) 表示软表面障碍，称为d i r c h l e t 边界条件f 2 4 l ，物理学上可解释为总体压 力在障碍边界上等于零( 1 8 ) 表示硬表面障碍，称为n e u m a n n 边界条件， 是o d 的单位外法线向量，物理学上可解释为声波沿法向的速度在障碍边界上 等于零( 1 9 ) 表示阻尼边界条件，其中a 是阻尼系数 反散射问题是已知远场模式“。和入射波，求解散射区域或阻尼系数，归 结为求解算子方程 f ( o d l = u o o 3 西北大学硕士学位论文 首先注意到反散射问题的存在性问题这个提法本身就是不准确的，因为在求解 反问题时，由于原始数据本身就不准确，往往使得问题在常规意义下不可解， 因此止确的提法应是如何定义反问题的解并稳定化这个反问题，进而求得其近 似解 将反问题线性化是研究反散射问题的一种途径，这种方法将反问题归结 为求解一个第一类积分方程，对问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 利用b o r n 和r y t o v 方法， 对d i r i c h l e t 边界条件可利用k i r c h h o f f 或物理光学逼近方法使反问题线性化， 最初这种方法很有吸引力，这是由于数学上的简单性，但该方法忽略了反散 射问题非线性这个基本的特钲，因而使得解很难反映出问题的真实特性，这 方面工作可参考【2 3 】不采用线性化方法而研究反散射问题，最早的结果是 由i m r i a l e 和m i t t r a 给出的【i l ，8 0 年代初出现了很多重建区域的方法，这些 方法的共同特征是将反散射问题化为一个非线性最优化问题，不足之处是每迭 代一次都需解一个正问题，计算量很大，k i r s c h 和k r e s s 与c o l t o n 和m o n k 分 别给出了重建散射区域的方法【6 ，7 ，儿，1 2 1 ，避免了以上不足，也较容易作数值实 验，是目前认为较好的重建散射区域的方法这两种方法的共同特点是将障碍 反散射问题分为两步：首先处理一个线性不适定问题，再处理一个适定的非线 性问题本文主要采用k i r s c h 和k r e s s 方法，下面给出此方法的简要介绍 假定事先知道未知区域d 的一些信息，设d 包含一个封闭曲面r 所围成 的区域d r ，且k 2 不是负l a p l a c e 算子的特钲值 对于散射波矿，寻求一个单层( 或单、双层) 位势逼近 r 钍5 ( z ) = f妒( ) 垂( z ，y ) d s ( y ) 州加厶础) 雩岩蛐h 叩r o d 妒( 坍汕， 其中圣( z ，! ，) 是h e l m h o l t z 方程的基本解1 2 l ，妒( 鲈) l 2 ( o d ) 为密度函数 散射波矿有以下渐近性 州加等扣卅。( 耕巾i - 一o o ， 因此，对应于散射波矿的远场模式为 乱。( 圣) = 了e - 丽i 7 4f r o i e - i e u q 。( 洲) 或 ( ) ：与娑：( 胁，( ) + 町) 。粕”毋( ) d 蛳 ( ) 。专丽厶( 膀”( ) + 町) 8 。黼。8 ( 9 ) + 对给定的远场模式t 。o ，解第一类积分方程 f 妒= 乱。，( 1 1 8 ) 第一章引言 通过解方程( 1 ，1 8 ) 求得密度妒，即求得散射场矿的一个逼近屹，然后寻求未 知区域d 或未知系数a ，使得+ u ：( “表示入射波) 满足边界条件，即在某 个允许的集合上，求解极小化问题，从而得到散射区域或系数的一个逼近 1 4不适定问题的解法 反散射问题可归结为求解第一类算子方程问题，而第一类算子方程被证明 是不适定的正则化方法就是对不适定方程建立一个稳定的近似解的方法本 节介绍求解不适定问题的正则化方法 下面引入正则化理论以下定义、定理参考【2 0 | 定义1 1 ：设k ：ucx y ，其中x ，y 是赋范空间方程k x = y 是适定 的，是指k 是双射，且k _ 1 ：y u 是连续的，否则，称为不适定的 由以上定义可知，不适定方程有三种类型： k 不是满射，即存在y y ，对任意z u 有k x y k 不是单射，即存在u ，口u ，且u 口使得k u = k v k _ 1 不连续，即方程k x = y 的解不连续依赖于数值y 本文考虑第一类线性积分方程的解，因此，在没有特殊声明的情况下， 都假定算子是单射的线性紧算子则对任意y k ( x ) ，第一类算子方 程k x = y 的解是唯一的假设算子方程k x = y 右端项y y 有扰动矿y ， 即存在6 0 使得 恬一胡l 6 成立 正则化方法的主要目的是求解其扰动方程k x 6 = 矿但由于矿不一定包 含于k 的值域k ( x ) ，因此一般情况下此方程是不可解的作者希望得到一个 近似解一x 来逼近精确解z ，且要求连续依赖于y 6 因此，必须找到 一个无界线性算子冗：y x 来逼近的逆算子k _ 1 ：k ( x ) 一x 于是， 引入以下正则化序列定义 定义1 2 ：假设k ：x y 是有界线性算子，其中x ，y 是赋范空间，算子k 是单射，有界线性算子序列几：y x ，o t 0 ，使得吼k 逐点收敛，即 a l i 。r a o r 。, k x = 。， 比x 则r 。称作算子k 的正则化序列，参数口称作正则化参数 正则化序列的构造方法比较多，简便而又经典的方法是通过奇异系统建立 起来的，首先引入奇异值的定义及奇异值分解 定义1 3 ：设x 和y 是h i l b e r t 空间，k ：x y 是紧算子且有对偶算 子k + ：y x 自共轭算子k + k ：x x 的特征值序列，i n 的平方 根胁= 瓦称为算子k 的奇异值 5 西北大学硕士学位论文 显然，如果k k x = 妇，则a ( z ，z ) = ( k k x ，z ) = ( k x ，k x ) 20 ， 即a 0 因此+ k 的特征值都是非负的 定理1 1 ：设k ：x l ，是紧算子。k ：y x 是其对偶算子，肛12 “22 船0 是算子k 的按照其大小关系编号的正奇异值序列，则存在正交系 统( 墨) cx 及( 驰) cy ，对任惠i n 有以下关系 k 瓤；胁玑k y i = 地甄 系统( 斑，筋，执) 称为k 的奇异系统对每个。x 有以下奇异值分解 z = 如+ x i ) z i x o 州柳， i e n 其中n ( k ) 表示算子k 的零空间对任意k x k ( x ) 有奇异值分解式 k x = m ( e x i ) y i 坨v 根据以上定理，可得到关于正则化序列的构造定理 定理1 2 ：设k ：x y 是紧的且有奇异系统( 以，如，雏) ，存在双变量函 数q ：( 0 ，0 0 ) ( 0 ，i i k i i 】一r ，若函数q 有以下性质 对所有口 0 及0 p 0 及0 p i k i i ，存在c ( q ) 使得i q ( 口，l c ) p ， 对所有0 0 有 i l u l l 。舻sc l l 妒l l * , o d 在区域d 的边界上有 u ( z ) = 厶劬) 坼，舭咖) ，x eo d 警( 加厶咖) 帮d s ( 坍刊1 ，z o d 其中 等( 小= l i n ：。( 巾) ，g r 池( 姓枷( 硼) 被认为在边界上一致收敛，其中积分是不定积分 双层位势t ，( 。) 可以连续地从d 拓展到面，从舻面拓展到r 2 d ，且有 咄加f o o d 劬) 雩等蜊土形1 乩z o d 其中 口士( 。) ：22 i _ m o4 - h r , ( 。) ) ， 8 第一章引言 此积分是不定积分双层位势的法向导数有如下关系 恕。 嘉( 计州圳一嘉( z - h v ( 圳) - o z o d 对于妒不连续时的情形，引入以下算子 ( s i p ) ( z ) = 2 二 j 8 d ( k 妒) ( 。) ；2 j o d ( 妒) ( z ) ：2 j o d 垂( z ，) l p ( y ) d s ( ) ， z o d 雩群删咖) ，z o d 雩岩删如) ，z o d 其中l p l 2 ( a d ) ，此时单双层位势有如下跳跃关系 定理1 6 ：设a d 是c 2 类的，妒l 2 ( a d ) ，则以妒为密度的单层位势u ( z ) 在 区域d 的边界上有 期。厶阻( x 4 - h u ( 圳一( 刚( 圳2 州z ) = o ，z 刨d l i m 伽f 隐z 枷( 圳一( 跏( 班酬2 蜊_ o ，x e o d 以妒为密度的双层位势( z ) 在区域边界上有 a 。i m + 0 刖f 2 ”( x 4 - h u ( z ) ) 一( k 帅) 千妒。) 1 2 d s ( z ) = o x ec o d 觑厶i 嘉( x + h u ( 圳一嘉( z 咖( 硝d s ( 垆。，z o d 1 6 本文主要工作及安排 本文的研究工作主要包括以下几个方面的内容： 1 用单、双层位势组合对声波阻尼系数进行了反演 2 用单、双层位势组合对声波阻尼区域进行了反演 3 用单层位势同时对声波阻尼系数及区域进行了反演 4 用日n n 知d 函数线性组合对声波阻尼系数及区域进行了反演 5 用单、双层位势组合对裂缝阻尼系数及区域进行了反演 6 讨论了热传导方程第二类边值问题的反问题 9 西北大学硕士学位论文 本文对所傲的反问题，均进行了收敛性证明文中所举的具有代表性的数 值例子的求解，是应用f o r t r a n 语言程序来完成的从而本文的求解方法从理 论上和实践上都得到验证，其准确性和可行性是显而易见的 本文的章节安排如下： 第一章：绪论介绍了课题提出的意义，分析了反散射问题领域国内外研究 现状，由此确立了本文的研究内容 第二章：声波反散射问题的数值方法利用单双层位势组合对声波阻尼系 数及区域分别进行了反演，利用单层位势对声波阻尼系数及区域同时进行了反 演，利用h a n k e l 函数组合对声波阻尼系数及区域进行了反演，并给出了理论 证明及数值实例 第三章：利用单、双层位势组合对裂缝阻尼系数及区域进行了反演，并给 出了理论证明及数值实例 第四章：热传导方程反问题的数值解法对热传导方程第二类边值问题初始 条件反问题进行了讨论，并给出了理论证明及数值实例 第五章：结论给出了本文的主要研究结论以及对今后研究工作的展望 1 0 第二章声波反散射问题的数值方法 第二章声波反散射问题的数值方法 2 1声波阻尼系数的反演方法 2 1 1 引言 在文f 4 0 】中，采用单层位势对散射波进行逼近，由给定散射波的远场模式来 反演阻尼系数而本文运用单层与双层位势组合对散射波进行逼近来反演阻尼 系数 考虑在均匀介质中传播的声波，此声波碰到障碍d 发生散射设dcr 2 为 一单连通区域，o d c 俨设入射波为平面波u ( z ) = e x p f i k x 0 1 ，z 畎2 ，其 中k 0 是波数，o l 是入射角记总体场t = + 矿，其中札。表示散射波，总 体场满足阻尼边界条件正散射问题是求俨( r 2 - b ) nc ( r 2 d ) 满足 乱+ k 2 u ；0i n r 2 面( 2 1 ) 嘉栅a = o o no d ( 2 2 ) 熙锕筹以u 弘o r _ | 叫( 2 3 ) 其中表示单位外法线方向，a 为声波阻尼系数，( 2 3 ) 称为s o m m e r f e l d 辐射 条件将满足辐射条件的h e l m h o l t z 方程的解称为辐射解 散射波t a 具有渐近性质 3 2 1 蜊= 嘉扣动倒高，) 仁a ， 在所有童= 南方向一致成立我们称t 。( ) 为散射波u 8 ( z ) 的远场模 式( ，o rf i e l dp a t t e r n ) “。具有积分表示 ”( 动；丽e i ”4 小坳) 考署一警e 一搪恤，童鲍( 2 5 ) 在本文中始终用q 表示单位圆 对问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，有定理： 定理2 1 ：【翩设i m ( a ) 0 ，o no q d ，则问题( 2 ，1 ) 一( 2 3 ) 存在唯一解相对 于最大模范数，解矿在r 2 d 上，矿的各阶导数在r 2 百的任一闭子集上连续 依赖于边界数据 塞些叁兰堡圭兰丝堡圣 2 1 2 重建方法的数学分析 设r e 2 是包含在区域d 内的封闭曲面，并假定在f 所围成的区域 内，k 2 不是负l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 特征值用单、双层位势的组合 出) = 上蛐) 雩著d s ( 沪i 叶z 她陬帕，c el 2 ( r ) ( 2 6 ) 来逼近散射场矿，其中 垂( 训) = ：硪1 ( k l z 一i ) ，z y 表示日e z m h o 拓方程的基本解，毹1 表示第一类。阶日n n 蠡d 函袅由 而e i k l x - y l = 舞e - 妣， ；= = = = = ；。c f z 一j 川 哿= 丽e i k l z t ；篆( e - 舭- e l 呐懈砌) ) e 一胁v 在童= 南方向一致成立，u ( ) 有如下渐近性质 啦，= 舞卜多删孙一o o 在所有岔= 啬方向一致成立知札( z ) 的远场模式为 u 。( ) = 丽e - i 4f r ( k 奎扩( ) + q ) e i 艋+ 9 ( g ) d s ( ) ( 2 1 1 ) 因此。对给定的远场模式，需要求解下列积分方程 ( f ) ( ) = t 。( 动 ( 2 1 2 ) 其中f ：驴( r ) 一l 2 ( n ) 如下定义 ( f v ) ( ) ：! ；：( 七窑( ) + 卵) e i 艟”毋( g ) d s ( ”) ，奎q ( 2 1 3 ) ( 耶) ( ) 2 丽上( 七窑( ) + 卵) 8 “蚓8 8 ( ”) ，爹5 2 ( 2 1 3 ) 算子方程( 2 1 2 ) 是强不适定的，可使用t i k h o n o v 正则化方法求解，即对正则 化参数o 0 ，求丸l 2 ( r ) ，使得 l l 耽一u 堋2 ) + 口：( r ) ；妊钏尉一札* 嵫n ) + q ：神，( 2 1 4 ) 这样就得到了散射波的一个逼近 u ：= z 纰) 雩岩d s ( 沪i ，7 o o ( 加( 删心珐“2 ( r ) ( 2 1 5 ) 第二章声波反散射问题的数值方法 然后在一个适当的集合u 上求a ( x ) u ，使得边界条件在极小意义下满足 瞄 洲0u i + u ：) + i k a ( u 2 + ) 慨a d ) ( 2 1 6 ) 这个极小化问题的解就可作为阻尼系数a ( z ) 的个近似 定义算子g ：l 2 ( r ) 一l 2 ( o d ) ( g ) ( z ) ：= ( k i 叩s ) ( z ) ( 2 1 7 ) 其中 k ：以驴巩a d ) 肛删：= 2 z 她) 帮蛐) ，z o d s ：l 2 ( r ) + l 2 ( a d ) ，( s 咖) ( z ) ：= 2 砂( ”) 圣( z ，y ) d s ( u ) ，z o d 定理2 2 ：由俾刀定义的算子是单射的且有稠密的值域 证明：设g = 0 ，l 2 ( r ) ，则由( 2 6 ) 定义的t 是r 所围成的区域外的辐 射解，由于 _ o u + i k a “= 0 o na d 口 由d i r i c h l e t 及n e u m a n n 外j 叫题j 9 竿利l l 匪一任与j 6 竿析任得 彳0 u + i k a 让：0 在r 围成的区域外 d 由单层及双层位势的跳跃关系得 ( i k a + i q ) 毋十珊一i r k q + i k a k + k a y s 咖= 0 o i l r 萁中 c 嘶卜。南伽，雩岩蝴北o d ( 例小= 。伽) 雩岩枞z o d 令a o = 一s b ( ，一琊) 一1 ( ，+ 弼) 一1 ，其中 州删) = 磊1l o g 南，z ( s o 毋) ( z ) ：= 2 上毋( f ) ( 毛y ) d 5 ( 口) 西北大学硕士学位论文 ( 确) ( z ) ：= ( 删：；z 南知) 笃等d s ( 缈 由【3 3 j 中定理2 3 l 知丁一t o 是紧算子，因此a o ( i k 7 一却一t o ) ) 是紧 算子由r i t z e f r e d h o l m 定理，a o ( i k a + i ，_ ) i + ( t t o ) 一i y k + i k a k + 七a 耳s 】毋+ 多在工2 ( r ) 中只有唯一的平凡解，所以币= 0 这即证明了算子g 的 单射性下面证明g 的值域在l 2 ( o d ) 中的稠密性g 的共轭算子g - 为 ( g 妣) 一厶( 始) 笔等一i 批) 骊) 酢) ，y e r , ee l ：( 证明同上，可得g 也是单射，又由j 丽酉；n ( g ) 上即得结论 定义集合 u ：= a ；0 a n ，i a ( z ) a ( ) i m 2 ，z ，y o d 其中尬，是正常数 由a r z e l a a s c o l i 定理，u 在c ( o d l 中紧 将( 2 1 4 ) ，( 2 1 6 ) 结合成一个目标泛函，定义 肛( 破a ；o ) ：= i i f 一 。j 尼：( r ) + 0 0 咖0 刍( r ) + i j 嘉( + ( 一吻s ) ) + i 七a ( u i + ( k i 町s ) ) l 刍f a d ) ( 2 3 0 ) 那么阻尼系数的反演就归结为求如下极小化问题： ( ， ) i l n ：f ( r ) 。u p ( 妒，a ；n ) ) 2 1 3 收敛性分析 ( 2 3 1 ) 定义2 1 ：给定入射波及对应的远场模式u 。，对固定的正则化参数口 0 ， 一个函数k u 称为最优解，如果存在加l 2 ( r ) ，( 加，知) 使得目标泛 涵r 2 ，s o ) 达到极 p ( 如，知；a ) = m ( o )( 2 3 2 ) 其中 m ( n ) 5 ( 口，a ) e i l n f 。( r ) x u 似多，砖a ) ) 、。( 氟 + 。“ 定理2 3 ：对任意o 0 ，存在最优解a o u 证明： 由f 与g 的紧性及( 4 0 中定理3 2 的证明可得 1 4 第二章声波反散射问题的数值方法 定理2 4 ：设。是入射波“4 对应的远场模式，a ( z ) u ，则j i m m ( n ) = 0 证明：由定理2 1 ，远场模式的积分表达式( 2 1 1 ) 及g 是单射且有稠密值 域，应用1 4 0 1 中定理3 3 的证明可得 定理2 5 ：设定理2 4 的条件满足， 0 ，n = 1 ，2 ，是一收敛于零的数 列，a 。是对应的最优解，则k ( ) 一a ( z ) ，礼一c o ， 证明：因为u 是紧集， a 。) 存在收敛的了列，不妨记为 k )