（应用数学专业论文）正交插值尺度向量构造算法.pdf

摘要 本文研究如下形式的正交、插值尺度向量构造算法 圣( m - 1 p ) = ( 5 0 ，p ，6 0 p ，乩p ) r 其中尺度向量圣= ( 九，一1 ) t ( c 1 ( ) ) r ， 风) 是7 , d m m d 的完备代表集合，m 是元素为整数的dxd 的矩阵。本文在介绍了正交、插值尺度向量构造算法之后，又研 究了该类算法构造出来的正交、插值尺度向量缺乏对称性，更进一步地得到了对称的 正交插值尺度向量的必要条件；还得到了如下结果：设圣= ( ，办一，) t 是细分方 程( 1 1 ) 的连续的规范化解，且面具满足( 2 1 ) 式，则有虫是插值的充要条件是c a s c a d e 算 法收敛。 关键词：插值，正交，面具，尺度向量，对称 i h p a p e r w eh a v e s t i g a t et h eo r t h 。g o n a ii n t e r p 。l a t i n gs c a l i n gv e c t o r s , 诚c h h a s t h ef o r m 圣( m 一1 j d ) = ( 6 0 p ，南，p ，一。，p ) t ， w h e r et h es c a l i n gv e c t o r s 圣= ( 4 0 ，一1 ) tb e l o n g st o ( l 1 ( 础) ) r ，t 胁 i s t h ec o m p l e t es e to fr e p r e s e n t a f i v e so fz d m z d ，a n dm i sd di n t e g e rm a t r i x a f t e r m t r o d u c i n g 龀a l g o r i m mf o rc o n s t r u c t i o n o fi n t e r p o l a t i n gs c a l i n gv e c t o r s ，w eo b t a mm a t t m s d0 fo r t h o g o n a li n t e r p o l a t i n gs c a l i n gv e c t o r sc o n s t r u c t e db y t h ea l g o r i t h mc a nn o t b es 砌m e t r i c ，m o r e o v e r ，w eo b t a i nm en e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rc o n s t m c t i n gs y m m e m c o r m o g o n a l 试t e r p o l a t i n gs c a h n g v e c t o r s w ea l s oo b t a i n ：l e t 西= ( 九，咖一1 ) 1b e t h e n o r m a l i z e ds o l u t i o no fr e f i n e m e n te q u a t i o n ( 1 1 ) ，a n d i ft h em a s ko f ( 1 1 ) s a t i s f i e s ( 2 1 ) ， t h e n 西i si n t e r p o l a t i n gi fa n do n l yi ft h ec a s c a d ea l g o r i t h mc o n v e r g e s k e yw o r d s ：i n t e r p o l a t i n g , o r t h o g o n a l ，m a s k , s c a l i n g v e c t o r s , s y m m e t 巧 i i 第1 章插值尺度向量相关概念和结果 10 1 引言 小波分析于2 0 世纪8 0 年代开始有了很显著发展；经过许多专家、学者近三十年的 研究，小波的理论越来越成熟，其应用也越来越广泛。小波理论由二进扩张的尺度函数 发展到一般整数扩张矩阵的尺度向量；小波的应用领域也包括了信号处理、图像处理、 数值计算方面的应用等。在信号处理中，s h a n n o n 采样定理保证了频谱有限信号可以由 离散的采样值完全重构( 在一定的条件下) ，s h a n n o n 采样定理所采用的尺度函数是一 个无限支集、衰减比较慢的正交、插值尺度函数。正交、插值尺度函数( 向量) 的优点是 函数的重构系数可以由采样值给定，无须计算内积；在信号处理过程中，支集无限的尺 度函数意味着整个时间域信息都被用到，这不利于信号的局部分析，且给处理带来了麻 烦。由此专家们很希望能找出一个紧支、正交、连续的插值尺度函数，但很不幸的是： 在变量是一维情形中，满足紧支、正交的插值尺度函数有且仅有h a a r 尺度函数 3 1 1 ，但 是，它不连续。为了找到同时满足紧支、正交、连续的插值尺度函数，一些专家和学者 做了一些推广，并取得一些成果。主要有两种推广，第一种是将s h a n n o n 尺度函数所 采用的2 - b a n d 推广到m b a n d ，文献 2 8 1 对于m 4 做了研究，文献 1 7 1 给出了m - - 4 的 例子，文献【4 】给出了m = 3 的例子；第二种是用尺度向量来代替尺度函数，文献 1 9 1 和文 献 2 1 1 分别对于变量为一维和高维的结果和例子，另外，文献1 3 2 也对变量为一维的情形 做了研究，并指出这种尺度向量缺乏对称性。 本文在第一章中介绍了一些与插值尺度向量( 函数) 相关的小波主要概念和一些重 要的结果。第二章介绍紧支、正交、连续的插值尺度向量的构造算法以及相应的插值小 波基的构造。第三章将证明这类插值尺度向量缺乏对称性，这也是本文的创新。 1 2 多尺度分析与细分方程 多尺度分析方法( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简称m r a 方法) 是s m a l l a t 在1 9 8 8 年 提出的，它实质上是构造s h a n n o n 小波基方法的抽象和推广。下面给出多元多尺度分析 的定义是s m a l l a t 提出m r a 的自然推广。它正是由尺度向量产生小波的理论基础。 定义1 1设 y j b z 是空间l 2 ( r d ) 的一个闭子空间列， k b z 被称为l 2 ( r d ) 的 一个多尺度分析，如果 k ) j z 满足下面四个条件： ( 1 ) 巧c + 1j z ( 2 ) ny j = d ) ，o = l 2 ( r d ) j zj z 1 2第1 章插值尺度向量相关概念和结果 ( 3 ) f ( x ) k = 争f ( m x ) + 1 ，歹z ( 4 ) 存在r 个函数a ( z ) y o ，使得 也( z q ) ，i = 0 ，1 ，r 一1 ) 是的标准正交 基。 如称为尺度函数，y j 称为逼进空间。由( 1 ) 可以令是巧关于巧+ 1 的正交补空 间，即 + 1 = v jow j 则对于任意的歹z ，有上w 并且l 2 ( 酞d ) 能分解成空间的正交和，即 l 2 ( r d ) = o 肌2o 肌1ow oow 1o o = q z w j m ( 1 ) v f ( x ) 巧则f ( x ) y j + 1 ，特别地，也( z ) v o 专九( z ) ，这表现为下面 将介绍的细分方程。 细分方程是小波分析中的核心方程，通过多尺度分析便可以构造好的小波，而细分 方程的解如果有好的性质并再加上其他的条件就可以构造多尺度分析，从而构造了小 波，对我们的研究起着至关重要的作用。这里介绍一般的细分方程。 定义1 2 设西：= ( 粕，办一1 ) t 其中r 为正整数，也( z ) l 2 ( 剌) ，( i = 0 ，r - 1 ) ，且满足下面的方程( 1 1 ) ： 垂( z ) = a ( q ) 圣( m z q ) ， ( 1 1 ) a e z d 其中a ( q ) 是r 阶实方阵，m 是元素为整数的方阵，且满足l i m 一m 枷= 0 。我们 称a ：= ( a ( q ) ) a e ( z 一1 为细分方程( 1 1 ) 的面具，称m 为细分方程( 1 1 ) 的扩张矩阵，细分方 程( 1 1 ) 的解向量圣称之为r 一尺度向量，也称西是( a ，m ) 细分的。 为了讨论细分方程( 1 1 ) 的解，我们通常对细分方程( 1 1 ) 的面具加上限制条件，例如 衰减性或紧支性( 矩阵序列满足a ( q ) 0 的q 个数是有限的，就称矩阵序列是紧支的； 若i _ 取习弓可是紧集，称向量垂( z ) 是紧支的) 。本文假定细分方程( 1 1 ) 的面具是紧支 的，且记m ：= id e t ( m ) i 。对细分方程( 1 1 ) 两边同时取f o u r i e r 变换有 壶( u ) = l 。a ( e - - i m - t w ) 毒( m t u ) ( 1 2 ) 这里记z ：= e 也= ( e - i w ，e 一蝴) ，并引入多重指标记号：ipi ：= p 1 + ，+ p a l ， p ! ：= p 1 1 砌! ，矿：= x ”1 1 z 记a ( z ) 为矩阵元素是a i ，j ( 名) ：= a n ( t ，j ) z q 的矩阵， 其中a a ( i ，歹) 是a ( q ) 的( i ，j ) 位置元素。则记( 1 2 ) 式中a ( e m 一1 u ) 为a ( z ) ，并称a ( z ) 是 面具的符号( s y m b 0 1 ) 。 浙江大学硕士学位论文 3 1 1 1 1 1 1 _ - ! ! ! ! ! ! ! ! ! - _ _ - ! ! ! ! ，_ - ! 苎! ! ! ! ! ，! ! ! ! ! ! ! ! ，_ _ _ _ ! ! ! ! ! ! ! = = = ! ! ! ! ! ! ! = = ! ! ! = = = = = 2 = = = 丁一。= = 为了叙述的方便，下面先引入一些记号，记r ：= p o ，肪一1 ) 是z d m z d 的完备 代表元集合，且p o = 0 ；记扈：= 凤，赫一1 ) 是z d u t z d 的完备代表元集合，且 茄= 0 ；记g ( 俨) 为元素是三角多项式的所有7 r 矩阵的集合。 如果垂满足： = c 5 0 ，p 况j ( 1 3 ) 其中 为l 2 内积，我们称圣是正交的，如果c = 1 我们称西是标准正交的。雪的正 交性可以通过它所满足的细分方程以及转移算子来刻画，下面的定理( 1 4 ) 给出了中是正 交的充要条件。 定理1 3 ( c a b r e l l i ，h e f t ，m o l t e r 1 ) 设r 一尺度向量所对应的细分方程( 1 1 ) 的面具是 紧支的，且a ( 1 ) 有特征值入1 = m ，l 入2l ，i l ， q ：= 器o m - ( j + 1 ) x j ：x j 【一，】d ，坳z + 注：对于不满足定理1 3 中的面具支集要求( 被包含于 0 ，】d ) 的紧支面具仍然满足定 理1 3 的( 1 ) 。 4第1 章插值尺度向量相关概念和结果 1 3 稳定性与插值性 r 一尺度向量的整数平移的稳定性( 下面简称稳定性) 是小波的一个重要概念，它是构 成正交基的必要条件。由于r 一尺度向量由a ( z ) 决定，稳定性很自然要求对a ( z ) 做限 制( 定理1 6 ) 。 定义1 5如果存在常数0 c d o g ，使得 m 一1m lm 一1 c 彬n 幢| i 略九( 一酬至：d 膨n 幢 ( 1 5 ) n = 0 n = 0 口z d n = 0 对于所有的护，u m 一1 1 2 ( ) 成立，则称西= ( ，一1 ) t 是2 2 整数平移稳定 的，简称稳定的 定理1 6 ( j i a n g 1 8 ) 设垂是满足细分方程( 1 1 ) 紧支稳定的尺度向量，且细分方程面 具是紧支的，则1 是矩阵熹a ( o ) 的单根，其它的特征根的模严格的小于1 。 引理1 7 ( j i a ，m i c c h e l l i 1 3 ) 紧支、连续的尺度向量的整数平移是线性无关的，则 尺度向量是z 2 整平移稳定的 经典的s h a n n o n 采样定理保证了：在采样密度不小于n y q u i s t 密度的条件下，有限 带宽信号可以由一致采样精确重构。而这些采样与插值有着密切的联系，由此可见插值 性有很大的应用价值。本文介绍的插值是s h a n n o n 插值尺度函数的一种推广。 定理1 8 ( j i a 1 6 ) 设中= 九，办一1 ) 是一个由有限个紧支集的口( r d ) ( o p ) 函数组成的集合，则o ，办一1 的整数平移是p 一稳定的充要条件是：对于 比r d ，序列( 饥( 4 - 2 丌卢) ) 胀( 名) a ，南= 0 ，7 一1 是线性无关的。 定义1 9称西是插值的，如果它连续且满足( 1 6 ) 式， ( m 一1 p ) = 如。，卢，v p z d ，0 n 0 ，定义 瓯( 西) ：= ( d i i s ( 中) nl 2 ( ) 】为空间s ( 圣) nl 2 ( ) 的 一伸缩空间。如果 9 毫0 ) i i ，一gi i 萨d ( 胪) ，h _ 0 ，l 2 ( 卑) ， 则称圣或s ( m ) 有k 阶逼近阶。 定义1 1 3假定中是紧支的，如果所有次数小于k 阶的多项式都能被垂的整数平移 线性表出，即cs ( 圣) ，就称圣有k 阶精度。 定义1 1 4 如果存在一个序列 钆口i p z 宰，ipl k ，y o o ) ，且对弘z 宰， lpi k ，跏r 满足 ( 一1 ) m ( ( m 1 - l p r 4 - 一3 ) , , a p + tm p ) 批一p ：m ( p ，) 蜘 0 l ，p# e z d l p l = i i 其中数m ( 肛，) 是由 坐坐= m ( p 川鲁，比 i p l = l v i 唯一决定的，我们称尺度向量的面具( a p ) 口z a o ( z d ) r r 关于扩张矩阵m 满足k 阶和 规则。 下面的定理给出了逼近阶、精度与和规则之间的联系。 定理1 1 5 0 i a 1 4 1 )设圣是紧支的，且其分量护( 剧) ，( 1 p o o ) ，假设序列 ( 五( 2 7 r 卢) ) 口z a ，i = 0 ，r 一1 是线性无关的，则对于正整数k ，下列条件等价。 ( 1 ) s ( m ) 有k 阶逼近阶。 6第1 章插值尺度向量相关概念和结果 ( 2 ) 2cs ( 垂) 。 注：由定理1 丽得定理1 1 4 在圣的整平移稳定的条件下仍然成立。 定理1 1 6 ( j i a , j i a n g 1 1 )设圣所对应的细分方程( 1 1 ) 的面具满足k 阶和规则并且 蚤( 0 ) 珈= 1 ，则西有k 阶精度。 对于变量是一维的情况( 即d = 1 ) ，有更精细的结果，即定理1 1 7 。d a u b e c h i e s 尺度 函数( d = 1 ，r = 1 ) 所对应的细分方程( 1 1 ) 的面具有如下性质a ( u ) = ( 1 + e 2 7 r i w ) k r ) ，其 中k 是指和规则的阶数。定理1 1 7 也有类似的结果，可以认为它是d a u b e c h i e s 尺度函数 的自然推广。 定理1 1 7 ( p l o n k a 2 5 )( p l o n k a 分解定理) ：设西是紧支的r - 尺度向量，且设 也，i = 0 ，r l 的整平移是s ( 圣) 的一组线性无关基，则圣具有k 阶逼近阶的充要条 件是a ) 的元素都是l a u r e n t 多项式，且存在向量狮形，珈0 ，( f = 0 ，k 一1 ) ， 对于所有n = 0 ，k 一1 有下面两式成立。 n ( ) ( 犰) t ( 2 旷“( d 州a ) ( o ) = 2 一n ( ) t ， ( r ) ( 玑) t ( 2 ) 胁( d n - k a ) ( 丌) = 0 r 1 = 0 更进一步地存在着矩阵a ，z = 0 ，k 一1 ，使得a ( z ) 有如下分解： a ( z ) = 而1 g ( z 2 ) g 一。( z 2 ) 钆( z ) 硭。簖1 ， 这里的a ( z ) 是元素为一个l a u r e n t 多项式的矩阵。 1 5 平衡、连续性 平衡是多小波的一个重要概念，它体现了( 单) 小波与多小波的区别。在离散小波变 换过程中，( 单) 小波的低通高通滤器能够保持零化多项式，但是多小波的低通高通 滤器不一定具有这个性质，即使多小波有一定的精度，为此在多小波中引入了平衡来保 证这个性质。本节将给出插值尺度向量精度与平衡之间的关系。 定义1 1 8 正交7 一尺度向量西相对于集合 岛，矗一1 ) cr d 是k 阶平衡的，当 且仅当 ( ( p + 岛) a ，( p + 矗一1 ) n ) 圣 一p ) 盘i ，v a z 宰，iqi k 7 a。b：=(二a二n三b二a二12三b)j二a：l,。三b 段：= 仍万石，瓦砂一p ：lpl 后，歹= 2 ，r ) u 盯一p ：ipi 2 k 第2 章插值算法 2 1 算法成立的必要性 在介绍算法之前，我们先通过前一章介绍的重要结果导出构造插值尺度向量的必要 条件。而这些必要条件通常会对面具产生一些限制：有了这些限制，我们可以来设计面 具，进而通过细分方程( 1 1 ) 解出尺度向量，这些就是本章第二节介绍的算法；虽然有尺 度向量构造出来了，但是我们还必须检测它的充分性，这就是本章第三节将要介绍的； 最后，将介绍由上面构造的插值尺度向量通过m r a 构造插值小波。( 下面的各定理、引 理、算法除了特别说明以外，均来自于k o c h 【1 9 】【2 0 】【2 1 】) 。 下面介绍必要条件，首先由插值条件( 1 6 ) 有下面的引理成立，它会使得a ( z ) 具有特 殊的形式。 引理2 1设p 南m z d ，且m = ld e t ( m ) l ，则插值的m 一尺度向量所对应的细分方 程面具必须满足： 。龆乃一m 一。p 。= 南，a & ，j ，v a z a , 0 i ，歹 m ， 这里的a 。( i ：= ( a ( p ) ) i j 由引理2 1 可知a ( z ) 具有如下形式： a ( z ) ：z - 小0 y ：n ( 0 m 1 i 21 1； 。 ； i ( ) z 胁一1 a ( m - 1 1 ) ( z ) a ( r a - l , r a - 1 ) ( z ) 注：当m = 2 时，选定r = o ，力，则a ( z ) 有如下表达式 心卜粥) ( 2 2 ) 如果d = 1 ，则( ( 2 2 ) 中p = 1 下面的结果是由正交性得到的，即由定理1 4 的( 1 ) 导出的，记p 的等价类为纠，这里 仅对r = m = 2 分析。 定理2 1 设a ( z ) 是2 一尺度向量所对应的细分方程( 1 1 ) 的面具标记，则a ( z ) 满足定 理( 1 4 ) 的( 1 ) 的充要条件是下面两式成立， n ( o ( z ) 1 2 + lo ( o ( e 2 7 r m 川p z ) 1 2 = 2 8 ( 2 3 ) 浙江大学硕士学位论文 9 对于某个q h ，有 o ( 1 ( z ) = 士z 口a ( o ) ( e 2 丌m 川声z ) ( 2 4 ) 特别地，当尺度向量是标准正交，且d = 1 时，o ( o ) ( z ) 系数满足：m a x 一j ：a i ，哟o ) 是奇数。 o ( 1 ( z ) = 士z 2 k - 1 丽f 习，忌z 注：这里我们要求n ( o ) ( z ) 不是单项式，否则所得的尺度向量不连续，且称这种不连 续的尺度向量是h a a r 型的【7 】 推论2 2 设o ( o ( z ) ：= 口z da z z p ，则 ( 1 ) ( 2 3 ) 式等价于下式 ( 2 ) ( 2 4 ) 式等价于下式 a 3 a f 3 一m 1 = 品m z d ( 2 5 ) f l e z 8 o 1 ( z ) = 士严( - - 1 ) 1 【p 】卢o p z 一 口z d ( 2 6 ) 注：当d = 1 时，设o ( o ( z ) ：= 笛。锄，o l j ( 2 3 ) 式等价于 ( n l m ，。舰( n l m ，n 。t _ _ - - ，f - 0 ，【半j ( 2 7 ) 其中尬是( k l m + 1 ) x ( k f m + 1 ) 矩阵： 肛。0k l m _ 巧小卸“h 三j - - l 渺j l ， 最后我们考虑和规则，由定理( 1 1 6 ) 和南定理( 1 1 5 ) 可知，和规则对面具的限制将会 影响到尺度向量的逼近阶和精度。为了利用和规则，必须找出定义( 1 1 4 ) 中的钆ipi k ，引理2 3 给出了钆的表达式。 引理2 3 设插值的m 一尺度向量圣满足细分方程( 1 1 ) 且面具( a p ) 口z d 是紧支的，若 面具满足k 阶和规则，则钆ipl k 满足下式 钆= ( 、( m - 川i p o ) ，半厂 1 0 注：引理2 3 对面具的影响由下面的定理2 4 给出，它的推论给出了仇= 2 时的刻 画。 定理2 4 设插值的m 一尺度向量圣满足细分方程( 1 1 ) 且面具( 郫) 氏z d 是紧支的，记 n 是( 2 1 ) 式中o j ( z ) 的z p 项系数，则面具满足k 阶和规则的充要条件是下式成立： pl k 推论2 5 设口( 1 ) ( z ) = z q 口z d ( 一1 ) 1 纠( p 即z 一卢，且假定定理2 4 条件成立则面具满 足k 阶和规则的充要条件是下两式成立： ( m - 2 p ) k 删( 一p ) 弘 ( 2 8 ) i ( m 一2 p ) 弘= p z d ( m 一1 p ) p ( 一1 ) 1 纠( 仂 、 注：对于推论( 2 5 ) 若d = 1 则结果更简洁，即面具满足k 阶和规则的充要条件是对 于p = 0 ，k 一1 ，下面两式成立： 2 一p = z ( 一2 。) 一p n 2 f 一l ( 2 ( 。一a ) + 1 ) p n 2 f + 1 ( 2 9 ) l2 一p = z ( - 2 1 1 ) 一# a 2 1 + 1 + z ( 2 ( z 一& ) ) p 0 2 z 其中a 是自由变量。 2 2 插值尺度向量算法介绍 在本节中主要是通过上一节给出的必要条件，对m = 2 的情况给出一个紧支、插 值、正交的2 一尺度向量一般构造算法，算法1 是高维的情况，算法2 是算法1 的特例， 即( d = 1 ) 的情况。 算法1 ：( 1 ) 选一个扩张矩阵m ，满足id e t ( m ) i = 2 再选一个非平凡的p ，使得 r = o ，p ) = z d m z d 成立。 ( 2 ) 设a ( z ) 的元素 o o ( z ) = o p 扩， 其中j = 【一佗，n 】dnz d ，这样选择原因是依据观察以系数a o 为对称中心有最高的正则 性。 ( 3 ) 依( 2 6 ) 式，我t j j 元素口( 1 ) 犯) 满足： n 1 ( z ) = 士严( 一1 ) 1 删。p z 口z d d + z 肛 r p m 一 尸成 一 m = 广 8一 p 一 办 一 m p m 订外 0 剃 一触 1 1 其中q h ，根据观察，选取q = p 和o ( 1 ( z ) 前面的符号为正时有最高的正则性和最短 的支集。 ( 4 ) 利用正交条件( 2 5 ) 式可以减少近一半的自由度( 即o ( o ) ( z ) 的系数) ( 5 ) 最后，利用和规则( 推论2 5 ) 产生尽可能高的和规则阶数来减少自由度。 注：算法1 将得到一个线性二次方程组，方程组变量是( n p ) 卢j ，这个方程组很难得 出解析解，因此，只能依靠数值方法来求解。对于( d = 1 ) 的情况，将有较好的算法给 出，并且最后只剩下一个自由度了。 算法2 ：( 1 ) 设a ( z ) 的元素 n + 1 + n o ( z ) = n p 护，z o = - n + u 这样选的n ( o ) ( z ) 的不为零的系数最多为2 n 一2 个，依据观察以系数a o 为对称中心有最高 的正则性，所以选择= 0 。 ( 2 ) 依定理2 1 选元素o ( 1 ) ( z ) 满足： 口( 1 ( z ) = 士z 2 忌一1 a c o ) ( - z ) ，忌z 选取忌= 0 和n ( 1 ) ( z ) 前面的符号为正时有最高的正则性和最短的支集，还2 n 个自由度剩 余。 ( 3 ) 利用标准正交条件( 2 7 ) 式可以减少一半的自由度( 即o ( o ) ( z ) 的系数) ，还有佗个自 由度剩余 ( 4 ) 最后，利用和规则( 2 9 ) 产生尽可能高的和规则阶数来减少自由度。 注：算法2 第( 2 ) 步自由度减少是由于a ( 1 ) 有特征值0 ，2 2 3 插值尺度向量的充分性 上一节给出了满足一些必要条件的算法，为了保证算法的正确性，我们必须对充分 性进行检验。前面的算法应用的是插值和正交的必要性，所以只需要对正交性与插值性 进行检验。 对于正定性，由引理1 1 1 可知，若紧支的尺度向量是插值的，则它的整数平移是线 性无关的；再由引理1 7 可知，如果尺度向量是连续的，则尺度向量整数平移是稳定的； 再由定理2 1 、推论2 2 可知定理1 4 的( 1 ) 式成立，最后，由下面的定理2 6 可知定理1 4 的 其它几项成立，从而正交性成立。 定理2 6 ( j i a n g 1 8 ) 设细分方程( 1 1 ) 有紧支解圣，则圣稳定的充要条件是下面条件 同时满足： 1 2 ( 1 ) 矩阵1 a ( 1 ) 的普半径小于或等于1 ，且1 是单根。 ( 2 ) 熹a ( 1 ) 的特征值1 所对应的左特征向量l 满足 l 1 m a ( 2 7 r m t 历) = 三a ( 2 7 r m t p j ) = 0 ，1 歹m 一1 ( 3 ) 由1 m a 所决定的算子： 竹l 一1 1 一 t o ( w ) ：= 击a ( m 坷 岛) ) c ( m 坷 + 2 7 r 岛) ) 承砺j 石干丽1 ， j ；一- - u i b ( w + 2 r c ) c o ( r a ) ，则t 限制在上应满足：p ( t i h ) 1 ，且1 是单根，且其1 所对应 的特征向量是正的( 或非负的) 这里的定义同定理1 4 中的一样。 我们只要验证尺度向量的连续性以及( 1 6 ) 式就验证了尺度向量的插值性。连续性可 以由定理1 2 0 计算出光滑指标，如果计算出来的光滑指标大于l ，由s o b o l e v 嵌入定理可 知尺度向量连续；( 1 6 ) 式可以由下面的定理2 7 保证。 定理2 7细分方程( 1 1 ) 的面具满足( 2 1 ) 式，且c a s c a d e 算法收敛，则细分向量满 足( 1 6 ) 式。 证明：由细分方程( 1 1 ) 有 圣( 口) = a 觯( m a p ) ，o z z d 口z d 定义算子 s ( ，( z ) ) = a a f ( m x p ) ( 2 1 0 ) f l e z a 选定矗( z ) = ( y o ，口_ 1 ) t 作为迭代初始向量，设迭代一次产生 ( z ) ，迭代二次 产生 ( z ) ，如此循环产生向量列厶( z ) 如果选定的如( z ) = ( x 0 , 1 ) a ，0 ，o ) t ，则有 矗( p ) = ( 如，卢，0 ，o ) t ，p z d ，记e i 是m 阶单位矩阵的第i 列，贝j j f i t ( 2 1 ) 式有： ( m p d = 。卢 ( 胁一p ) = 。m f o ( o ) = n p t e l = e i ( 2 1 1 ) 口z d 而 ( m - 1 p ) = 0 ，p p i 所以y x ( x ) 满足插值条件( 1 6 ) 式，并且 止( m 一1 胁) = n 卢 ( 优一p ) = 。俄f x ( o ) = a p i e l = e i ( 2 1 2 ) 口z d 由此可知，每一次迭代产生的向量都满足插值条件( 1 6 ) 式，由c a s c a d e 算法收敛可知极 限函数也满足( 1 6 ) 式。 1 3 文献 2 2 1 的定理2 3 说明了尺度向量整数平移线性无关可以导出c a s c a d e 算法收敛， 而尺度向量是插值的又能导出尺度向量整数平移线性无关( 引理1 1 2 ) ，综合定理2 7 和就 得到了定理2 7 。 定理2 7 ， 设垂= ( 如，办一1 ) t 是细分方程( 1 1 ) 的连续的规范化解，且面具满 足( 2 1 ) 式，则有圣是插值的充要条件是c a s c a d e 算法收敛。 2 4 插值小波的构造 首先引入由正交的m 一尺度向量生成正交小波的一个必要条件。设标准正交m 一尺 度向量4 ( 4 ) = ( 4 0 ( 4 ) ，$ m 一1 ( ) ) t 满足细分方程( 1 2 ) ，由m r a 可以构造m 一1 个小波 向量血( ) ，1 i m 一1 并设每t ( ) 与毒( ) 满足( 2 1 3 ) 式： 每i ( ) _ 1 m b i ( e - - i m - t f ) ( 耋( m t ) ，1 i m 一1 ( 2 1 3 ) 其中，鼠( z ) ：= 鼠( ) = 陡z 。6 刍夕记乞= e 一1 + 2 丌m _ t 剐，显然有匈= z 定理2 8 ( c a b r e l l i ，h e i l ，m o l t e r 2 ，s h e n 2 7 ) 若墨( ) = ( $ o ( ) ，参m 一1 ( ) ) t 满足细 分方程( 1 2 ) ，且 咏) = 去鼠( e 一旷t ) 毒( m 坷舭i i n 一1 ， 则量i ( ) 是多小波的充要条件是( 2 1 4 ) 成立 p ( z ) 雨1 = m 2 k ( 2 1 4 ) 其中： p ( z ) a ( z ) b 1 ( 名) b m l ( z ) a ( 一1 ) b 1 ( 1 ) b m 一1 ( 一1 ) 在本章第二节中构造了插值尺度向量，接下来的定理给出了构造插值正交小波的可 能性，同时也给出了具体的构造方法。 定理2 9 设圣是一个满足整数平移正交的2 一尺度向量，且设b ( z ) 是满足定 理2 8 中的条件设皿是插值的，即( m ( 一1 ) p ) = ( 晶，p ，如，) t , v f l z d 则( 2 1 4 ) 满足的充 要条件简化为 比卜( z 鬻) d d 角 如；“ 别 跏 1 4 注：这里只 推论2 1 0 2 5 例子 在这- d , 节 圣! 【2 1 1 。这里 能给出的不是标准正交小波，我们还必须标准化 设定理2 9 的条件和结论都成立，则以是标准正交的多小波。 里，我们引入了一个定义在譬上正交、插值的2 一尺度向量的例子记为 则有坞z 2 = ( i ，歹) t 下面的表( 2 1 ) 和表( 2 2 ) 给出了一个正交、插值尺度向量的面具，面具的n = 2 ，可以 计算a ( 西；) = 1 3 5 4 9 ，即它是连续的。它的图像以及所对应的插值小波图像可以在下一页 中找到。 表2 1 ：s t r u c t u r eo f ( o a ) a j ，n = 2 表2 2 ：c o e f f i c i e n t so f ( n a ) a j ，n = 2 尸 、j 1 一 1 = 1 1 l研 = 坞 训 = 了 + k 卜 z 一21 0 12 2 e - d 2b l 1 - e - d l一6 0a l- c 1 0 而6 0n oc 0 - d 2 1 - b l a 2 c o - d 1 一2 0 3c 1如 a 0 8 4 3 2 9 4 0 4 6 8 3 3 1 4 4 7 e 1 b o 3 3 8 9 2 1 6 8 7 2 0 5 9 0 5 2 e 1 d o 4 9 3 2 0 2 9 2 6 2 3 5 0 0 0 7 e 2 n 1 1 3 5 8 8 1 6 7 4 1 7 8 4 7 1 2 e 1 b l 9 7 5 2 0 7 6 0 6 2 5 2 2 1 8 3 e 4d l4 2 4 9 5 6 7 1 5 9 3 1 1 0 5 1 e 2 0 2 1 8 0 5 6 7 1 1 1 0 6 0 7 6 2 1 e 2 c o 1 2 3 2 7 9 5 9 5 5 1 8 7 4 0 7 e 1d 26 8 2 4 6 2 1 0 3 0 3 8 9 5 5 6 e 3 n 3 2 7 6 7 5 6 7 8 8 2 3 0 7 8 8 6 e 3 e l 1 9 3 6 7 7 7 5 4 8 8 5 6 0 1 1 e 2e1 7 3 7 8 9 8 6 3 7 1 5 6 9 5 8 e 2 堑兰查兰堡主兰堡鎏奎 一一 !一堡 第3 章对称性 3 1 插值尺度向量缺乏对称性 对称性在小波实际应用中有很重要的作用，它能使问题求解简便。在 3 2 1 中，对于 d = 1 ，m = 2 的情况进行了研究，并得出了相应的插值尺度向量不具有对称性，这里的 对称性是指下面定义所给的对称性。 定义3 1如果函数f ( x ) 满足下面的等式，当取正号时我们称f ( x ) 关于c 对称，取 负号时称，( z ) 关于c 反对称且称c 为( 反) 对称中心。 f ( 2 c x ) = 士厂( z ) 对于向量的情况，它的对称是指每一个分量满足( 反) 对称性，即 五( 2 g z ) = 士五( z ) 其中q 可以不相同。 我们总希望插值尺度向量的对称中心是插值节点，下面的定理3 - 2 推广了文献 3 2 1 的 结果，同时也得到了插值尺度向量不具有对称性。 定理3 2若正交的插值2 一尺度向量西= ( 粕，矽1 ) t 满足细分方程( 1 1 ) ，面具紧 支，且ld e t ( m ) i = 2 ，若q p 1 2 m p 1 或0 2 m - 1 p ，1 则它不可能关于插值节点 m p i ，i = 0 ，1 对称。 证明：反证法，假设尺度向量关于插值节点m _ 1 胁，i = 0 ，1 对称，并设r = o ，力 由于圣满足细分方程，即 也( z ) = 粕( z ，j ) j ( m x - z ) j _ b 由( 3 1 ) 及也的对称性有 咖l ( z ) = i ( 2 m 一1 p i z ) = ，p a a ( i ，歹) 咖( 2 风一m x p ) = ，pa 卢( i ，歹) 咖( m x + 卢一2 胁+ 2 m 一1 乃) f i t ( 3 1 ) 和( 3 2 ) 式，考虑咖( m x 一7 ) 的系数有 厶( ，j ) = a 2 p t - 2 m - l p j _ q ( i ，歹) 1 6 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 浙江大学硕士学位论文 1 7 对上式两边同时乘上z 1 可得 a ( i ，歹) z 7 = a 2 m - 2 m - l p l - 7 ( i ，j ) z r = a 2 a l - 2 m - l # j - 7 ( i ，j ) 一2 p + 2 m _ 1 乃z 2 p l - 2 m - 1 乃 两边同时对，y 求和可得 写成矩阵形式为 ( a ( z ) ) “j ) = ( a ( z ) ) ( t j ) z 一 心，= 一矽0 。) 由上式和( 2 2 ) 可得 记0 = e 2 ”m - t 声由( 2 4 ) 和( 3 3 ) 可得 和 由( 3 4 ) 和( 3 5 ) 可知 即 2 m 一1 丹z 2 p l ，z 一2 m - 1 加 i 0 o ( 1 ( z ) = 士矿口( o ) ( z 口) = 士o ( o ) ( z p ) ( z p ) 2 m _ 1 p 1 d j z - 2 m - l p l ) = 土z 口+ 2 m _ 1 p 10 2 m - 1 p lo ( o ) ( z p ) o ( 1 ) ( z ) = a o ) ( z ) z 2 p l 一2 m l p l = 土z a o ( o ( z p ) z 2 p 1 - 2 m - 1 p 1 = 土z a + 2 p l - - 2 m - x p l o ( o ) ( z p ) z a + 2 m 一1 , 10 2 m 一1 p i 一 一一a + 2 p l 一2 m - - 1 p lo z 2 p l 一4 m 一1 p l 一2 q = p 2 m 一1 p l ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 上式右边是常数，左边是名的单向式，所以当q p 1 2 m p 1 或0 2 m - 1 p ，1 时， 上式是个矛盾式。特别地，当q = p 1 时，上式是个矛盾式。即当q p l 一2 m p 1 或 0 2 m - 1 p t 1 时，尺度向量不可能关于插值节点m p i ，i = 0 ，1 对称。 撕 一 磊 p 姒姒 第3 章对称性 3 2 更一般的尺度向量对称性 下面从一般的正交尺度向量导出满足对称性的充要条件，设r 一尺度向量圣的分量 晚关于互1m c i ，c i z d 这里id e t ( m ) l 不一定是2 由细分方程( 1 1 ) 可得。 饰) = p ja ( 献p ) 咖( m z p ) ( 3 6 ) = p ja i j ) ( f 1 ) a 七a u ，南) ( q ) 机( m 2 z m f l 一乜) 、 又有对称性可得 眈( z ) = 也( m - 1 q z ) = p j a ( 洲p ) 咖( q m z p ) ( 3 7 ) = p j a ( i j ) ( p ) 咖( m 一1 c j c i + m x + ) 、 7 = p ja ( t j ) ( p ) 口七a ( 川( q ) 机( m 2 z + 勺+ m f l m q q ) 由也的正交性及( 3 6 ) 和( 3 7 ) 式分别可得妣( m 2 z 一- y ) 的系数分别是( 3 8 ) 和( 3 9 ) 式。 a ( 湖( p ) a ( j 斟n m z ) ( 3 8 ) a ( i , 2 ( f 1 ) a ( j , k ) ( 3 , + m f l + c 一m q ) ( 3 9 ) 0j 1 + m b + c 一m c t 由于也在中表示的唯一性n - j n ( 3 8 ) 和( 3 9 ) 式相等。在( 3 8 ) 和( 3 9 ) 各乘以z 7 ，再对7 求 和可得 p ja ( t ，j ) ( p ) z m p ，y m pa ( 五) ( 7 一m f l ) z 1 一m p = fa ( i j ) ( z 肘) a o ，七) ( z ) p j a ( i ，j ) ( p ) z 一时p ，y + m 卢+ c j m 。ta ( 3 ，七) ( 7 + m f l + 勺一m e i ) z ，y + 卵+ c j m q z c j z m c t = 邑a ( i 5 ) ( z m ) a u 七) ( z ) 2 一c j z m q 写成矩阵形式为 a ( i , 2 ( z m ) a ( j 剐( z ) = a 似力( z m ) a ) ( z ) z - c j z m q j j a c z m ，a c z ，= iz m c l z m e t ) a c z m ，( z - - c 1 z 一钾) a c z ，p - 。， 上述过程是可逆的，从而得出下面的定理3 3 浙江大学