（信号与信息处理专业论文）双通道信号的最小平方卷积反演算法研究.pdf

旧。l ! 人学颂j 学0 论文 双通道信号的最小平方卷积反演算法研究 信号与信息处理专业 研究生魏榕导师舒勤 卷积反演研究一直是信号处理技术中的热点。它广泛应用于众多的科学研 究和工程实践领域，特别是地震信号处理，通信、雷达信号处理，医学信号处 理等方面，是信号复原和摸式识别的重要工具。 卷积反演是卷积的逆运算。在数学上，已知一序列和卷积和，来求解另一 序列的过程，我们称之为卷积反演。到现在为止，国内外许多文献提出了不同 的卷积反演方法。卷积反演有两类基本方法：一类是在时域运用卷积公式直接 求解，另一类是频域方法。其中比较重要的是时域循环卷积法、逆滤波、z 变 换、d f s 法、迭代法、最小平方法等。 由于在应用过程中，已知的序列是离散有限信号，它的值在时域或者频域 可能出现相当小或者是零值时，我们所求解的卷积反演结果必然会出现相当大 的值或无穷的情况，这时就出现了所谓的“病态问题”。为了解决这一问题，众 多专家学者提出了许多优良的解决方案。 本文以卷积的理论基础作为铺垫，提出卷积反演的概念。然后介绍了反卷 积的应用领域和研究背景，以及反卷积运算过程中出现病态问题，并概括论述 了几种比较典型的卷积反演方法，特别是最小平方误差卷积反演方法。 本文的工作是在双通道信号的模型中，研究最小平方卷积反演算法。 关键词：卷积反演病态问题最小平方卷积反演算法 婴土叁兰竺! 兰坚丝茎 l t h er e s e a r c ho f l e a s t s q u a r ea l g o r i t h mf o r d e c o n v o l u t i o n i nt w oc h a n n e l s m a j o r ：s i g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g g r a d u a t e ：w e ir u n g s u p e r v i s o r ：s h uq i n t h er e s e a r c ho fd e c o n v o l u t i o na l g o r i t h mi sah o tp o i n ti nd i g i t a ls i g n a l p r o c e s s i n gf i e l d i th a sb e e nw i d e l ya p p l i e di ns c i e n c er e s e a r c ha n de n g i n e e r i n g p r a c t i c ea r e a s ，s u c ha ss e i s ms i g n a lp r o c e s s i n g ，c o m m u n i c a t i o n ，r a d a rs i g n a l p r o c e s s i n ga n dm e d i c a ls i g n a lp r o c e s s i n g a n di ti sa ni m p o r t a n tt o o lf o rs i g n a l r e c o v e ra n dm o d e lr e c o g n i t i o n d e c o n v o l u t i o ni st h ei n v e r s ea l g o r i t h _ mo fc o n v o l u t i o n i nm a t h e m a t i c s ，w ec a l l t h ep r o c e s st h a tk n o w nt h ec o n v o l u t i o na n do n es e r i a lt oc a l c u l a t et h eo t h e rs e r i a l d e c o n v o l u t i o n t h e r eh a v eb e e ns e v e r a ld i f f e r e md e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m si nl o c a l a n df o r e i g nr e s e a r c hp a p e r st i l ln o w i ng e n e r a l t h e r ea r ct w ok i n d so f b a s i cm e t h o d t oc a l c u l a t ed e c o n v o l u t i o n o n ei sd i r e c t l yu s i n gt i m e - r e g i o nc o n v o l u t i o ne q u a t i o n s t o c a l c u l a t e ，t h eo t h e ri sf r e q u e n c y - d o m a i nm e t h o d t h em o r ei m p o r t a n t d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m sa m o n gt h e s ea r et i m e d o m a i nc i r c l ec o n v o l u t i o nm e t h o d i n v e r s ef i l t e r , zt r a n s f o r m , d f tt r a n s f o r i l lm e t h o d , a l t e r n a t i v em e t h o d , l e a s t - s q u a r e m e t h o da n ds oo n i na p p l i c a t i o np r o c e s s ，f o rt h ek n o w ns e r i a li sd i s c r e t el i m i t e ds i g n a l ，a n di t s v a l u em a yb ez e r oo rf a i f l ys m a l li nm a g n i t u d e ，t h er e s u l to fd e c o n v o l u t i o nw e c a l c u l a t e dw i l la p p e a rf a i r l yg r e a to ri n f i n i t e a tt h i sm o m e n gi ta p p e a r s “i l l p o s e p r o b l e m t or e s o l v et h ep r o b l e m ，m a n yr e s e a r c h e r sp r e s e n t e ds o m e9 0 0 ds o l u t i o n s w ed e s c r i b e dt h ec o n v o l u t i o nt h e o r ya sm a t t i n gi no u rp a p e r , p r e s e n t i n gt h e c o n c e p to fd e c o n v o l u t i o n w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n da p p l i c a t i o n f i e l do fd e c o n v o l u t i o n ，t h e nc o n c l u d i n gs e v e r a lt y p i c a ld e c o n v o l u t i o nm e t h o d s ， e s p e c i a l l yt h el e a s t - s q u a r ed e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m 1 1 ， u i 1 1 1 卷积的概念 连续卷积的定义 我们用一个仪器来观测和记录一个物理现象和过程时，所得到的观测和记 录不仅仅反映物理现象和过程，还反映( 包括传输线路和记录介质) 的特性。 仪器系统的非理想特性会使得到的观测和记录降质。这种降质的机制在数学上 用一个叠加积分来描述i l 】： y ( f ) = s 厅( 船) x ( r ) 办卜( r ) ( 1 - - 1 ) 式中，x 0 ) 是原有的物理量；y ( f ) 是获取的观测；矗( f ；f ) 表示观测仪器在 r 时刻的脉冲响应；在输入端f 时刻的输入值x ( r ) 反映到输出端成为一个时间 函数矗( ，；f ) x ( r ) ；既然输入是一个时间过程，f 是一个连续时间变量，在输出 端上的任意时刻t 得到的观察应该是一个对f 的积分；s 表示记录介质或传 感元件的非线性；f ( ，) 表示的是噪声。在很多实际问题中，脉冲响应是时不变 的，f 时刻的脉冲响应函数 ( f ；r ) 只与( f r ) 的大小有关，即 ( ，；r ) = o f ) 。 如果不考虑非线性的影响，叠加积分( 1 一1 ) 变成卷积积分： y ( t ) = 厅( 卜r k ( f ) 咖+ f ( f ) ( 1 2 ) 上述介绍的是连续时间卷积，在本文中研究的是离散时间卷积。 离散卷积的定义 函数z 【州】和五【础】的离散卷积是 删1 1 lj 、学颂f 学位论z 六【删】= 川，州m ( ”一所) 爿 = z 【删1 正【州】 ( 1 1 ) 其中4 表示采样间隔，珊是求和过程中使用的伪标号。 上式定义为离散卷积和。只有当两个离散时间函数的采样间隔相等时，对 两者做离散卷积运算才有意义。同时，做离散卷积运算得到的离散变量函数也 具有相同的采样间隔。此时，上式可以表示为 石b 1 = 石【所m ( 胆一所) = _ _ 】正n 1 ( 1 _ 4 ) 设系统为一离散系统，激励为一序列x ( 疗) ，系统的单位冲激响应为h ( n ) ， 则系统的零状态响应y ( 肝) 与厅( 盯) 的卷积，即翻 y ( 胛) = 工( 栉) ( 以) = x ( m ) h ( n - m ) ( 卜5 ) 1 1 2 卷积的性质 卷积是一种数学运算，它有很多重要的性质，也就是运算规则。下面介绍 的卷积性质都是基于卷积积分是收敛的( 或存在的) 基础上的。这时，二重积 分的次序是可以交换的，导数与积分的次序也可以交换。离散卷积同连续卷积 一样，满足交换律、结合律以及分配律。 时移 x ( n - n o - r ) = x j ( 玎一) 而( 珂一玛) = 而( 一) 而( n - n o ) = 五( n - n o q ) x z ( ”) = 耳( f ) x z ( 1 1 - n o - n i ) ( 1 q ) 此式表明，如果激励五( 玎) 作用于冲激响应为 ( 蹭) = 恐( h ) 的系统之零状态 响应是咒( ”) = x ( h ) ，那么延时为的激励作用于冲激响应延时为啊的系统，与 延时为码的激励作用于冲激响应延时为n o 的系统，其零状态响应应该相同，其 延时为( n o + 啊) 。 2 阴f 1 入学颂 学位论文 交换律 五( ”) t 恐( ”) = 而( n ) * x i ( 以) 说明两信号的卷积积分与次序无关。 分配律 五( 行) + 屯( 盯) 而( 押) = 毛( 疗) 玛( 圩) + 而( 行) 而0 ) 它的物理含义是，假如x 3 ( 疗) 是系统的冲激响应，置( ”) 和如( n 1 是激励， 那么上式表示几个输入信号之和的零状态响应将等于每个激励的零状态响应之 和；或者假如而( 咒) 是系统的激励，而而( n ) + x 2 ( 阼) 是系统的冲激响应 ( ) ，那 么上式表示，激励作用于冲激响应为h ( n 1 的系统产生的零状态响应等于激励分 别作用于冲激响应为啊( 珂) = 玉( i ) 和岛( 聍) = 屯( 圩) 的两个子系统相并联所产生 的零状态。 与冲激函数的卷积 x ( ”) 艿( 行) = 占( n ) x ( ”) = x ( 胛) ( 1 。9 ) 此式表明，某函数与冲激函数的卷积就是函数本身。一般地，我们使用冲 激函数进行时间序列的采样。 ” ， 一 唱 卜 一 ( ( 1 、学够p 学位论史 2 1 卷积反演的概念 离散卷积方程j ，0 ) = 而o ) x 0 ) 描述了一个线性时不变系统输入、输出和单 位冲激响应之间的关系，假定x o ) 为系统输入激励信号，而) 为系统输出响应， 厅0 ) 为单位冲激响应，如图2 1 所示： “”，y ， h ( n ) 图2 1 ( 1 ) 已知工0 ) 、，o ) ，求解 0 ) ； ( 2 ) 已知 0 ) 、j ，0 ) ，求解x 0 ) ： ( 3 ) 已知j ，0 ) 及部分工如) 、，l ，求解工、厅如) ； ( 4 ) 已知y 0 ) ，求解工o ) 、| 1 2 0 ) 。 以上四类统称卷积反演。当前讨论最多的是第一和第二类h 3 辑牾4 6 , 4 7 1 。 它们足卷积中最基本、最重要的部分。其中第一类是系统辨识问题，第二类是 信号恢复问题。两类解法相同。 2 2 卷积反演的应用 卷积反演是信号处理技术的重要分支。它广泛应用于科学观测以及信息获 取、传递等众多应用领域，是信号处理技术研究和发展的重要工具。 卷积反演是普遍用于地震数据处理的一种方法。它压缩所记录的地震图中 4 盟_ 叁兰竺! 兰竺垒兰 基本的微波，削弱反射现象和短期的混叠。从而，它增加地震图的分辨率，产 生更清晰可辨的地震波截面1 “。 图2 2 未经卷积反演处理的地震曲线与经过卷积反演处理的地震曲线 不同类型的卷积反演用于信号处理的不同领域。 当系统特性已知的时候，确定性卷积反演( d e t e r m i n i s t i cd e c o n v o l u t i o n ) 用于分离记录系统的影响。如果在水层中传播的时间和海底的反射率已知的话， 这种类型常用于从水层里分离经多次反弹波形的环形小波。 对于地震信号而言，以往的滤波器到目前为止没有得到很好的应用，所以 卷积反演呈现自然的统计特性。因为从信号源中提取的内嵌的小波在每个反射 界面重叠，而且数据的自相关性可以从这些重叠的信号中捕获，用来设计逆滤 波器，所以我们需要考虑地震采集数据的自相关性。自相关性可能需要通过很 多次窗口进行估计，以便适应内嵌的小波在地壳中传播时形态的不断变换。这 称为适应性卷积反演( a d a p t i v e d e c o n v o l u t i o n ) 。 峰值卷积反演( s p i k i n gd e c o n v o l u t i o n ) 使内嵌的小波变窄，让它尽可能接 近于尖峰形。数据的频域带宽限定了信号窄化的可能性。因为它尝试达到一种 平稳的或者白频谱，所以也叫做白化卷积反演( w h i t i n gd e c o n v o l u t i o n ) 。这种 5 婴型叁! 竺! ：! 堡堡墨 类型的卷积反演可以用于锐化噪声，特别是在高频的情况。 预测性卷积反演( p r e d i c t i v ed e c o n v o l u t l o n ) 用自相关的后段去除信号叠 加的影响。预测性是指从早先事件的信息推断即将发生的事件。这类卷积反演 中，不同的规则町以被采用，比如说量度无序的最大和最小熵。 卷积反演方法最早应用于通信、雷达、声纳和油探等方面。现在的信号卷 积反演技术已经更深入系统的发展，它的应用遍及更多科学研究和工程实践领 域。 雷达信号处理中，用于抑制噪声和干扰，抑制多径干扰和改善雷达的角分 辨率； 天线设计中，用小尺寸天线达到高的天线增益以及实现指定的天线方向性 图。 声呐信号处理中，用于抑制噪声和杂波，到达角估计，波束形成。 地震信号处理中，改善地震图的分辨率以利于解释。 振动信号处理中，用于力学结构如机械、车辆、桥梁和水坝等的振动信号 模态分析和监测。 通信信号中，均衡以克服符号间干扰，回波对消；以及谱线增强，改善光 谱、质谱仪器的分辨率。在 声学和语音信号处理中，多用于语音、声道的辨识；抑制交混回响；复原 老的声学记录。 生物医学信号处理集注中，用于心电、脑电和肌电信号分析、建模和综合。 这些应用扩展到与信号检测和处理相关的众多领域。 2 3 卷积反演的病态问题 在实际的应用中，卷积反演问题被数学分类为病态问题f 7 l 。一位解决此类 难题的先驱a n t i k h o n o v ，在他的专著【3 7 1 中描述到，“病态问题”发生在数据 或者方程是不准确的情况下，比如说，他们是近似值。从而，用这样的数据( 序 列) 或是方程( 函数) 表述的信息是不完整的。这种情况是进行实际卷积反演 运算的时候经常发生的。 在实际的测量中，不可能确切知晓时域信号的数据。由于信号的检测，采 6 竖垒! 竺三兰竺丝壅 样和获取过程，得到的信号在某种程度上和实际的时间信号不完全一致。我们 用工( ”) 和y ( 胛) 表示获取的离散信号，它们与真实传输离散信号而( ”) 和虬( ) 日j 存在如下关系式： 了( ) = x o ( ”) + ( ”) y ( n ) = 虮( ”) + 以( 行) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 这里，t ( 玎) 和只( 行) 是未知的误差成分( 时间的函数) 。用上两式卷积方 程可表示为： y ( ”) 一只( 一) = j i l ( 儿) l ( 打) 一屯( 珂) ( 2 3 ) 它的频域表达式为 r k l - r , k 1 = h k x n - x , k ( 州) 由于它的误差量( ，) 和以( f ) ( 或它们的频域变换置【t 】和e 【j j 】) 未知，所以 不可能解答上两式而获得准确解法然而，对于 ( 行) 和日【i 】来说，这些方程 可以趋近准确解： y ( ) = ( 玎) x ( 胛) ( 争- 5 ) y 【j i 】= 日吲x 【七】 ( 2 - _ 6 ) 这里 ( n ) 是日【七】的离散傅立叶反变换。 而且 日弘】= 日吲+ 皿【叫 ( 2 _ 7 ) 川明= 艺纠一驯讣置【七】 彳【明 ( 2 8 ) 假设误差成分吃( n ) 和也【七】很小，那么 ( ”) 和【j j 】可以尽量的接近真实 期望值( 心) 和风【】，即 矗( 疗) a ( 聆) 七】z 【】 ( 2 母) ( 2 1 0 ) 从另一方面来讲，由于忽略掉误差成分，在这样的近似估计中会出现较大 的误差。这种情况在文献【8 】，【9 】，【l o 】和【1 1 】中根据对近似值自然特性的研究 给出相应的解释。它的近似值在频域可以写成： 7 网i | j 大学硕l 学位论文 吣，= 端= 赫端 。型。( 2 - - 1 1 ) 州k j 在x o k 】量级相当小的区域( 在与误差成分t 【k 】同一量级) 里， x o k l = x 陋】不是很好的近似估计同样的，k 【七】= y 肛】也不是很好的近似估 计。从而，r 七】x 【_ j 】= 日【j 】离真实准确的k 【t 】，【七| - 凰【t 】相距甚远。 为了实证目的，下面考虑两种特殊的情况，x o k 】= o 和凰【】= 一以【七】。 在第一种情况下，x o n = o ，那么也期望k 【t 】= o ，从而风【七】不确定( 因为 系统在这个频率没有测试信号输入表示准确的信息) 。然而，用我们前面的近似 估计可得： 聃粥= 端 c 一， 日【七】根据误差成分可以呈现任意值。 第二种情况是五【七】= 一置弘1 。当x 【】= o 时，代入上式可得仃【七】= m 。 这种特殊的情况会出现最大可能性的错误，对日【七】来说会产生无限值或相当大 的值，而引发计算难题。 在特定的情形里，x ( ) 是离散有限信号，或x 【t 】具有有限带宽当x 【| j 】 相当小或者是出现零值时，圩【七】必然会出现相当大的值或无穷的情况我们可 以用冲激函数针_ j 】表示在用日【七】的傅立叶反变换计算离散时域矗( ”) 的情况 中，集中在x 弘】频域产生的误差分布占p 】函数的误差蜂值影响遍及整个时域 变换域。如果误差成分过于高，它会掩盖 ( ) 在时域的典型细节。 虽然我们这里讨论的是频域的情况，但是得出的结论在时域中同样有效。 这是因为如果没有计算误差，时域和频域的卷积反演运算在数学上是等价的， 而且可以趋近相同的确切答案，他们只是解决同一问题的两种不同途径。 从上面的讨论可知，我们遇到的问题实际上并不是卷积反演过程中的问题， 而且出现的误差主要也不是计算误差。问题出现在估值方面，而且它没有确切 的解决方案也是由于方程中假定的解决测量误差近似值估计信息的缺失。 8 这里假定x ( h ) 、y ( 疗) 、 ( 栉) 都是有限长因果序列，其长度分别为工，工。 和厶，且勺= + 厶一l 。在已知x ( ) 、y ( n ) ，求解 o ) ，或已知h ( n ) 、y ( n ) 求解x ( ”) 的过程叫做反卷积。 当前在国内外文献中，提出很多卷积反演的方法。其中基本的、比较有影 响的方法有逆滤波法湖、z 变换法1 2 6 、逆归法 2 7 1 、d f s l 2 8 矧( 离散f o u r i e r 级数) 法、广义滤波法1 3 0 , 2 5 1 、频率滤波法【3 1 2 2 , 3 3 , 3 4 1 、迭代法嘲、最小平方法【1 9 , 3 6 1 等。 卷积反演有两类基本方法：一种是在时域运用卷积公式直接求解，另一种 是频域方法。 3 1 时域循环卷积法 将卷积方程j ，g ) = ( h ) x ( n ) 改写成循环卷积的形式： y ( n ) = ( h ) 圆x ( 玎) ( 3 - 2 ) 把x ( n ) 记成它的偶序列和奇序列之和，b p i x , 。( ) + 毛，( n ) 。奇偶性是用来描述 信号在正负时日】轴上信号值关系的两个特征；任何信号工( ”) 都可以分解为偶信 9 - - h ( 以) o t ：( 珂) + ：( 珂) 再在式( 3 3 ) 两端同时卷积 t ：( 疗) 一矗：( n ) ，这样连续进行l ，次循环卷积 ( v = l 0 9 2n ，为序列y d ) 的长度，并且通过在序列后面补零使成为2 的 幂) 。 令 咒( 玎) = y ( 刀) 圆 t ，( 疗) 一毛。0 ) 固。 矗，( 行) 一工，o ) 矗( 胛) = 。( 疗) + 毛。( 砧) t 。( 门) 一艺。( 疗) 。固 王，( 玎) 一，( 押) 经过y 次连续循环卷积后， 儿( 栉) = ( ”) o ( 珂) = ( 甩) o c o j ( 聍) = c o 办( 聆) 经过y 次连续循环卷积后，等效输入序列毛( ”) 变为一个幅度为c o 的j 函数， 因此很容易得到 h ( n ) = 儿( 玎) c o ( 3 q ) 这样，通过时域的循环卷积运算就可以得到卷积反演结果。但是，有时会 1 0 婴坐查兰2 ：! 兰竺笙茎 因为c o = 0 的情况存在反演的病态问题。在文献【3 】中特别指出序列与它的双j 函数逆卷积的结果是每周期内幅度为a 和b 的一对6 函数。而且可以将双j 函 数逆用于时域循环卷积法，具体方法如下； 对循环卷积方程( 3 2 ) 两端连续进行y 次循环卷积( y = l 0 9 2n ，n 为序列 y 坼) 的长度且为2 的幂) ，但是循环周期选择为2 n 。y 次连续循环卷积后的结 果为： 儿( 珂) = 矗( 蚪) o ( 栉) = 矗( 阼) 圆 彳j ( h ) + 鼢( 一) ( 3 6 ) 因此可得 j j ( ”) = 几( 栉) l 。a ( 3 一) 式中符号只( 珂i 。表示取以( ) 的前项。这种解法克服了卷积反演的病态问题。 此种方法的基本原理来源于文献【4 8 】，而且在文献【4 9 】中作了一些修正。虽 然上述卷积运算实现卷积反演的方法可以绕过z 【七】或日【】的零点。但是，在 存在测量误差或噪声污染的情况下，用卷积运算实现卷积反演运算这一方法与 其他算法一样将产生很大误差，有时甚至造成难以接受的卷积反演结果f 4 9 】。 3 2 离散卷积反演的z 变换解法 对于离散线性移不变系统来说，具有如下关系恤1 ： - l y ( 胛) = 工仞) 办0 一所) = 厅( 盯) x ( 聆) m = o 对上式进行z 变换得： 】， 刁= 叫刁x 【z 】 当求取系统特性 ( 栉) 时，进行卷积反演运算得： 设y ( 刀) = y o ，咒，儿，以+ - 1 ) ；x ( 行) = x o ，为，屯，乜 ； 则 昨) = 器 ：等笔关豢鲜c ，叫，+ x 而+ 五z 1 + 屯z _ 2 + l z 一 。 此式表明，日( z ) 等于两个z 的降幂多项式相除，它很容易通过多项式除法运 算得到。然后通过反变换得出 ( ”) ，即： j i i ( 刀) = z 。1 日( z ) 求解z 的反变换有很多种方法，比如幂级数展开法、留数法、长除法和部 分分式展开法。 当z ( z ) 出现零点t 时，式( 3 一1 4 ) 可以写成部分分式的形式： 1 2 ( 3 一1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 一1 9 ) ( 3 _ 2 0 ) 若为双边序列时，需要根据给定的收敛域处理。假设日( z ) 的收敛域为 r i z i 疋，只是小于足以内的极点，是大于疋以外的极点，则( z ) 应写 成： 坼) 2 军尚+ ；暑 所求的h ( h 1 为 矗( 玎) = e “( 雄) 一c l r “( 一行一1 ) ( 3 - 2 2 ) it 如果收敛域没有给定，可以根据极点分布分情况划分区域讨论。这样可以 解决x ( z 1 出现零点的问题。 如果存在测量误差或者噪声污染，对z 变换求解的卷积反演也会造成比较 大的影响。文献【2 2 】中经过深入讨论指出，在采集数据x ( 甩) 和j ，( 玎) 时，希望采 集的组数尽量多，然后对它们进行统计平均，就可希望得到最接近真实值的估 值，从而得到稳定的卷积反演解。 为，、，求解 ( ”) ，且 部补零扩充成( 鸭) 点 因果序列，这时，我们可以将y ( ”) = 厅( 力) x ( h ) 理解成循环卷积，由循环卷积 定理可得： 卅端( 3 - - 2 3 ) 式中x k 】、y 【尼】和n k 】分别表示x ( 珂) 、y ( 胛) 和 ( 行) 的( 哆) 点 d f t 的正变换。 对h k 1 作d f t 的逆变换( 记作i d f t ) ，即可得 ( 疗) 。 离散傅立叶变换d f t 可用f f t 算法计算1 3 辨4 0 ，可以提高运算速度。在文 献【4 1 l 中使用数论技术和递归计算d f t 的快速算法计算频域卷积反演，它减少 了运算的复杂度，而且可以实现并行计算。文献【2 8 1 给出出现卷积反演病态问 题时的解决方案。当r k 1 = x k 1 = 0 时，用洛必塔法则等可以确定日f 七1 ，从而 可得h ( n ) 。但此种情况是比较特殊的，在实际情况中，比较常见的是x k 1 = 0 而r k 】0 的情况。在文献【5 0 】提出此时的d f t 算法。文献【2 8 】对 r f k l _ x k 1 = 0 的卷积反演问题给出的算法相对简单、运算量少，但它不适应 r x 】x 耻】= 0 的情况，文献 5 0 1 提出的算法弥补了这一不足，而且保持了原 算法的优点。 3 4 逆滤波法 由卷积方程y o ) = 矗0 ) x 0 ) 可知。1 ： x ( 肝) = y ( 玎) h 。( 胛) 1 4 ( 3 - 2 5 ) 式中z 【| j 】，y 【七】分别表示工( 疗) 、y ( n ) 的傅立叶变换，f 一1 表示逆傅立叶 变换。我们令c ( 疗) = f - 1 1 石【t 】 ，在时域存在这样的关系： 厅( 竹) = j ，( 珂) c ( ) ( 3 - 2 6 ) 然而，由于噪声对低信噪比频率部分的主要影响，使得日卜1 在此频率部分 处于模糊状态，式( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 不能直接被应用。下面是解决逆滤波 问题的多中不同方案： ( 1 ) 带通滤波 一个附加滤波器爿【_ i 】，用于限定卷积带宽。那么，逆滤波器可以表示为： c ( 珂) = a k l x k ( 3 1 7 ) ( 2 ) 维纳滤波 噪声可以建模成频谱能量密度恒定为的高斯分布。在这样的情况下， 逆滤波器可以表示为： c ( ) = ，4 k l ( x n x 【七】+ ) ( 3 - 2 8 ) ( 3 ) 整形滤波 从参考离散信号工( n ) ，计算逆滤波系数以获得估计的期望冲激响应 ( ，z ) 。 图3 1 计算逆滤波系数的自适应机制 - ? - n ：j d ( n ) 这种方法给出滤波器系数向量c ( 栉) 在离散时间域的估计公式： c = r 一1 q 这里r 是x ( ”) 的自相关矩阵，q 是x ( 仃) 与d ( 胛) 的互相关向量。 ( 4 ) 最小均方逆滤波 理想条件下的最小均方逆滤波满足下列方程： 矗( 甩) k = a s ( n - m ) 式中口是一固定尺度因数，m 是一任意延迟。上式可以写成矩阵形式： h c h l w = a d ( 3 - 2 9 ) ( 3 3 0 ) 式中h c 是一个( + 工) n 的t o e p l i t z 通道的卷积反演矩阵，d 一期望向 量。最小均方最优滤波是建立在最小均方错误概念的基础上，即 1 6 ( 3 3 2 ) 应的改变。在 王乙滤波相较于以往的滤波思想，不许要未知输入信号的统计特性，对信号 唯一的要求是能量有界，所以可以应用于信号统计特性难以精确测定的场合。 而且月：滤波可以达到估计误差的一致小，对模型不确定性和信号统计特性不 确定性部有比较好的鲁棒性嘶。 我们讨论对象为离散时变系统，它的空间状态模型描述为【5 5 1 ： 工( 后+ 1 ) = 爿( 尼) x ( i ) + 蜀( 七) “( 七) + 垦( 七) w ( 七) ， 4 0 ) = x o y ( | ) = c ( 七) x ( 七) + d ( t ) w ( 七) 这里，七【o ，n 一1 1 是一整数集，x r ”表示状态，r ”是输入，y r p 是测量输出，w r 4 是扰动输入，x o r ”是系统初始化状态。矩阵 爿 ) ，马 ) ，岛( 七) ，c ( 女) ，d 积) 是七的有界函数，而且具有适度的维度。这里需 要说明的是y 被假定为与系统输入无直接关联信息的输出。扰动输入w ( 七1 被假 定为在厶0 ，n 1 1 上具有有限能量，即： = ( 矿( 后) w ( ) ) “2 o o ( 3 _ 3 4 ) f 乙卷积反演设计可划分为频域方法和时域方法，前者仅处理时不变系统， 而后者可同时处理时变和时不变系统。主要的频域方法有多项式法 1 2 ，1 3 和传 递函数法 1 6 ，文献 1 7 在k r e i n 空日j 内提出改进的多项式设计方法，通过执 行一个，谱因式分解完成滤波器的设计。h 。卷积反演的时域设计主要包括有 界实引理、微分对策和线性矩阵不等式( l m i ) 等方法。文献 5 l ，5 2 基于有界 堕型查兰堡! ：! 竺堡皇 实引理分别设计了离散时变系统的全维和降维见卷积反演滤波器；文献 5 3 中研究了具有模型不确定性的离散时变眷积反演问题，卷积反演滤波器的设计 归结为一个微分对策，微分对策的鞍点解即为待求解的滤波器；此外，在周 期信道通信的研究中，x i e 等 5 4 提出了一般结构的离散时变卷积反演滤波器 的l i 设计方法。 3 6 最小平方卷积反演算法 选取正整数| ，( l h ) ，在时域以n 为周期进行采样，记为膏( ”) ，萝( 胛) ， 石( ”) 和g ( ) ；相应地，其阶d f t 记作引七】，r k 】，日【j i 】和q 豇】。在循 环卷积过程中它其中的各序列长度保持n 点不变，由此可得： 列= x 嘲日m + q 明 ( 3 _ 3 5 ) 工= 万1 刍n - 1 陋【】1 2 = 万刍n - 1 f 】，【t 卜州女】日【七扩 ( 3 3 6 ) 由于当刀= 厶一n 一1 时，矗【行】= o ，所以对日【_ j 】存在约束条件： i o ) ：i d f t h k b ：专艺日陆矽：o ，拧：厶一1 ( 3 - - 3 7 ) 式中i d f t 表示埘叮的逆变换，阡，= p m “。 小】鬻行扫 - l h - - 一i ， c ， 作为l a g r a n g e 乘子，于是，选取日【七】的最佳估值疗陆1 ，使条件泛函 工2亩丢ly【七卜x【七】日弘+篆五【聆】亩拼。(3-39)1 n - in - i 1n1 一 最小，即可得到：降】= 上d r r n q ，式( 3 3 9 ) 中，第二项恒为零，其目 a i r k 一x 【七】日【列2 展开并合并同类项，可得： 三= 。专 j y 降1 2 + ( m 【t 卜r 陋】z 肛】) 月降卜( 【t 】一r k l x k 1 ) m 【女】+ i x k l h k 1 2 i - o ， 假定x 陋】o ，则： 工= 万| 副n - i7 ，唧一( r 【 卜中+ 降 x 【t 脚 】日【七】_ ( y 【t 卜【七胪h 矿【j | 】 + j 【j 】日【后】1 2 + i r k 一o k x k l = - l y k 一中【七】，x 降】1 2 = 百1 副n - l t 例2 一i y 【七】一。忡r 盯+ m x 【t 】片【j j 卜忡州2 ) ( 3 4 0 ) 这里，中网= n 阿扫k b ，妒k 】= z k l 表示复共轭。 显然，取膏陋】使( 3 4 0 ) 最后一项为零，即可使最小，由此可得 y 陆】= z 陆p 皿】+ m k 】x 【七】 ( 3 - 4 1 ) 三。= 万1 刍n - 1 1 y i k 1 2 一嗍一中陆弦刚 接下来给出求解上两式的不同方法。 ( 1 ) 直接法 ( 3 - 4 2 ) 比较式( 3 3 5 ) 和( 3 4 1 ) 可知，对应于百【t 】，三陋】的最佳估值 1 9 k = 万| 副n - l t y p 1 2 - 1 1 凇【后七j ) k = 专凯七m 七网1 2 k ：专昏【| 脚【女1 t 1 1 t 2 k 2 专驴【七脚时 k = 专蓦料似1 下面介绍计算五【行】的方法。由式( 3 4 1 ) 可得： 】， _ j 】x 【七】= 疗肛卜降】i x 【七】1 2 吲巾嬲 击 川小嬲 y 【印删， ( 3 _ 4 5 ) ( 3 - 4 6 ) ( 3 _ 4 7 ) ( 3 - 4 8 ) ( 3 - 4 9 ) 对式( 3 4 9 ) 两端作i d f s ，由卷积定理并注意到町万】= 五【丹】- 0 0 = o 一 厶- i ) 可得： 2 0 k = 专薹鬻挚凇】= 篓嚏m 州小互n - 1 啊_ p 小】 c 。- s 2 ， 上述过程运用y - - l 欠d f s 、三次i d f s 和一次i _ e v i n s o n 算法m 1 可以得出最 佳估值。 ( 2 ) 迭代算法【1 5 l 迭代公式如下： 以l 【j 】- 只【j 卜五( y 【七】z 陋卜i x k i 2 e 降】) ( 3 5 3 ) e 【司= d 刀 小】 ( 3 _ 5 4 ) 岫】= 器黜彳, y 1c s 一 或 t 】= 】，吲x 【女】( 或任取) ( 3 5 6 ) 式中五为收敛因子，下注角i 表示迭代次数。 迭代步骤为：将初值珥【七】代入式( 3 - - 5 5 ) 算得【门】，而后，经由式 2 1 v i i ir 1 人学啊，i 学 t 论史 ( 3 5 4 ) 、( 3 5 3 ) 可以求得。【k 】。再将何：业】代入式( 3 5 5 ) ，接下来如此 循环。其中，迭代运算由式( 3 5 3 ) 进行，但其结果只【t 】通常不满足式 ( 3 3 7 ) 的约束条件，为此 3 1 3 , 式( 3 5 5 ) 、( 3 5 6 ) 。 可以证明，只要选择五使得 专薹( t 一五i 引t 】j 2 ) | e 降卜【t 】1 2 万1 磊n - 1 i q 【t 卜陋】1 2 ( 3 5 7 ) 则z 【七】将按平方范数收敛于膏【七】，即 嫩善旧【女卜【七旷= o ( 3 5 8 ) 迭代过程要点说明： 五的选择 满足式( 3 5 8 ) 成立的a 有很多种选择。其中，最明显的是取 1 1 一a 防【七】1 2m a x 1 ( 3 5 9 ) 即取 o 1 - 2 i x k 1 2m a x ( 3 嗡o ) 式中m 砌2 m a x = o e 紧, i - o 1 2 1 。 这时，显然有1 1 一五肛【后蚓s 1 ，且其中等号不会恒成立，所以，此时式 ( 3 5 7 ) 成立。此外，经验表明，当五略大于2 陋肛旷m a x 时，式( 3 5 7 ) 往往也收敛，切收敛得更快。事实上，由式( 3 5 3 ) 可知，在收敛的前提下， 五越大收敛越快。 初值玩【七】的选择 在对选取五范围的证明过程中可知，算法的收敛与初值峨【七】的选取无 关。但初值的选择显然要影响迭代的次数。在式( 3 5 6 ) 中，取 域【i 】= y 【| i 】z 【七】的目的，就是期望减少迭代的次数。因为域【七】= y p 】x 陋】 2 2 凹 ! 人学项卜学他论文 是反卷的d f t 算法的解或苔足良好的近似值。 关于x 陋】o 的假设 在上述分析证明中，引入了z 【1 0 的假设，现证明它可以去掉。 将“ 】= 州珂】代入式( 3 3 7 ) 并交换求和次序，可得： 1 一1 2 1 一1 2 亩篆i y 【。卜科。1 日弘】| + 亩荟f 七】。【t 】( 3 - - 6 1 ) 设z 如1 = o ，由式( 3 3 6 ) 知，此时和圩喃1 无关，因而式( 3 1 1 ) 也应与灯【畸】无关，故有中喃】= o ，由此推知，由k 】x + 【毛】为有限值，即此 时式( 3 3 8 ) 仍然存立。因而，本算法仍然有效。不过此时联【后】不能取为 】， 七】x 【】，应取其他值，譬如，可取 讲长群渺卜。 ( 3 - 6 2 ) 在实际应用中，工g ) ，0 ) 和矗0 ) 通常为有限长因果序列，假设其长度分 别为t ，l y 和厶，且三，= 工，+ 厶一1 。文献h 用的是以( l ) 点周期延拓 作d j f 丁运算进行卷积反演；文献嘲出了一种新的卷积反演d f s 算法，只要求 n 厶即可，但未在最小均方误差的情况下迸行讨论。本文将选取( 厶) 进 行最小平方卷积反演的研究。 因为b 的要求是为了使时域信号i ( 疗) ，夕( 珂) ，石( 盯) 是工0 ) ，) ，( 疗) ， ( 珂) 的原样重复，没有混叠。经大量学者研究发现，仅要求n 厶也可以达到求解 厅( ) 的目的。 可以证明 4 1 ，当 2 3 阴l i 大学颀卜学 乏论文 n 厶 时，向( 玎) = s d f s 疗 k l 成立，由此可以求解 ( 疗) 。 证： 设x 【z 】，r z 】，日【z 】分别为工( 珂) ，y ( 玎) ， ( 胛) 的z 变换，令z = e ，由卷 积方程和卷积定理可得 j ，p = 日p 虹e p ( 3 “3 ) 由于在w 的任意采样点，上式均成立，因此对任意正整数和整数k ，有 y 斗争h e 专1 ( 3 6 4 ) 这里的r 卜7 争 ，日 e ，等 ，x e ，鲁 分别为y e 一 ，何 e p ，z e 一 的均 匀采样周期序列，周期为，即分别为j ( 力) ，夕( ”) ，石( ，z ) 的d f s ：j 【| j 】，矿 _ j 】， 疗【| j 】，因此，由此可以求解出满足厅( 胛) = 嬲 疗【_ j 】 的青【露】。证毕。 f 2 t l i i ! 人学坷! 学位论史 4 双通道信号的最小平方卷积反演算法 4 1 基本模型 考虑如下结构模型情形： x 1 ( n ) ) ( 2 ( n ) 图4 双通道系统模型 假定已知： 咒( 聍) ，儿o ) ，啊。( 月) ，( ”) ，吃。0 ) ，k ( n ) ； 其长度分别为，l ：，厶，厶：，厶。，k 。 求解：五( 拧) 、x 2 ( n ) 。 解： 由系统结构可得 乃( h ) = 啊1 ( 胛) 。x