（信号与信息处理专业论文）基于bandelet变换的图像压缩传感.pdf

基于b a n d e l e t 的图像压缩传感摘要2 0 0 5 年，d o n o h o 和c a n d e s 提出的压缩传感理论( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 在信号处理史上是一个里程碑，是一个具有划时代改革的理论。该理论突破了奈奎斯特定理的限制，解决了信号处理的瓶颈问题：采样频率至少是原始信号带宽的2 倍才可以完整精确无损失的将原始信号从采样信号中恢复出来。压缩传感理论是一种新兴理论，直接压缩数据而不经过中间的采样n 个值的阶段，在原理上压缩传感的先验知识是信号稀疏性或可压缩性，而不像奈奎斯特定理仅仅将信号带宽作为先验知识，这一点为降低信号测量成本提供了可能。在图像的压缩传感理论中稀疏表示是很重要一部分。传统的图像压缩传感多使用小波变换对信号进行稀疏表示。而小波变换不能够利用信号本身的几何特性，并不能实现最优的稀疏表示，导致压缩传感重构也得不到最优效果。针对以上问题，经过对多种稀疏表示的研究与分析，本文提出了基于b a n d e l e t 变换的图像压缩传感，将b a n d e l e t 变换引入到图像的压缩传感中。b a n d e l e t 变换是近年来刚刚展开研究的一种图像表示方法。它能充分利用图像的几何正则性，自适应的对正则惶图像实现最优的稀疏表示，解决了在图像的压缩传感中，由于稀疏表示问题存在的重构质量偏低的现状。所提出算法的过程如下：首先，从稀疏表示、测量矩阵和重构算法三个方面分析了图像压缩传感的有关理论和数学基础。其次，分析了小波变换和b a n d e l e t 变换等在图像稀疏表示的特点，为将b a n d e l e t变换引入到图像压缩传感提供理论依据。最后，提出基于b a n d e l e t 变换的图像压缩传感的具体内容以及实施步骤，并且对该算法进行了仿真实验，经过对实验结果的分析，并且和与基于小波变换和d c t 变换的图像压缩传感在视觉和p s n r 进行了数据对比，证实了本文提出方法的优越性，尤其适用于灰度分布较规则的图像压缩传感中。针对纹理丰富的图像，将c o n t o u r l e t 变换引入到图像的压缩传感中，并进行了实验仿真和结果分析。关键词：b a n d e l e t ；小波变换；稀疏表示；压缩传感哈尔滨工程大学硕士学位论文基于b a n d e 】e t 的图像压缩传感a b s t r a c ti n2 0 0 5 c a n d e sa n dd o n o h op r o p o s e dc o m p r e s s i v es e n s i n gt h e o r yw h i c hi sam i l e s t o n ei nt h eh i s t o t h et h e o r yb r e a k t h r o u 曲t h e1 i m i to fn y q u i s tt h e o r y i ts o l v et h es l g n a lp r o c e s s l n gb o t t l e n e c k ：s 锄p l i n g 疗e q u e n c yi sa t1 e a s tt w i c ea sm a n va st h eo r i g i n a ls l g n a l 1 士1 tc a nb ec o m p l e t ew i t h o u tl o s so fp r e c i s eo r 逗i n a ls i g n a l疔o mt h es 锄d l i n g 0 0 m p r e s s l v es e n s m gt h e o r yi san e wt h e o r ) ，w h i c hc o m p r e s sd a t a s 、v h i l es a m p l i n g i td o e sn o tn e e dc o m p r e s sa r e rs 锄p l i n g p r i n c i p l eo fp r i o rk n o w 】e d g ei su s e di nc o m p r e s s i v es e n s m gt 上1 a ts l g n a l1 ss p a r s eo rc o m p r e s s i b i l i t y i ti sd i f - f e r e n tf r o mn y q u i s tt h e on rw h i c ho n l 、ru s e sb a l l d w i d t ho fs i g n a la si t sp r i o rk n o w l e d g e i tp r o v i d e st h ep o s s i b i l i 妙t or e d u c et h ec o s to fs i g n a lm e a s u r e m e n t s p a r s e1 sav e r y1 m p o n a n tp a r ti nt h ei m a g ec o m p r e s s i v es e n s i n gt h e o r y t h et h et r a d l t l o n a 上8 p a r s er e p r e s e n t a t i o nu s ew a v e l e tt r a n s f o n l lg e n e r a l l y b u tt h ew a v e l e tt r a n s f o r mc a j l tu s et h eg e o m e t 巧c h a r a c t e r i s t i co fs i g n a l ，s oi tc a nn o ta c h i e v et h eo d t i m a ls d a r s e 乙o m p r e s s l o ns e n s l n gr e c o n s t r l l c t i o na l s oc a n l tg e tt h eb e s tr e s u l t sw i t hw a v e l e tt r a n s f o n n 上no r d e rt os o l v et h ep r o b l e ma b o v e i m a g ec o m p r e s s e ds e n s i n gb a s e do nb a n d e l e tt 阳n s 士o md o m a ml sp r o p o s e da f t e rr e s e a r c h i n gv a r i e t ) ，o fs p a r s er e p r e s e n t a t i o n b a n d e j e tt r a n s t o r m1 8am a g er e p r e s e m a t i o nm e t l l o du n f 0 1 d si nr e c e n ty e a r s i tc a nm a k ef l l l lu s eo ft h eg e o m e t r yo ft h e1 m a g ea c h i e v et h eo p t i m a ls p 打s er e p r e s e n t a t i o n i m a g ec o m p r e s s e ds e n s i n gb a s e do nb a j l d e l e tt r a l l s f o r md o m a i ns 0 1 v et h ep r o b l e mi ni m a g ec o m p r e s s i v es e n s i n gt h a 【t h er e c o n s t m c t i o ni sw e e kb e c a u s eo fs p a r s er e p r e s e n t a t i o n t h ea l g o r i t h mi sp r o p o s e df o n v a r dt h ep r o c e s si sa sf 0 1 1 0 w s ：f1 r 8 to fa 1 1 ，i m a g ec o m p r e s s e ds e n s i n gt h e o r ya n dt h ef o u n d a t i o n so fm a t l l e m a t i c sa r er e s e a r c h e d i ti sd i v i d e di n t ot h r e ep a n s ：s p a r s er e p r e s e n t a t i o n m e a s u r e m e n ta n dr e c o n s t r u c t i o n 。ih e n c h a r a c t e r i s t i c so fw a v e l e tt r a n s f o h na n db a l l d e l e tt r a n s f o n ni nt h ei m a g es d a r s er e p r e s e m a t l o na r ea n a 】y z e d i tp r o v i d et h e o r e t i c a lb a s i sf o rb a n d e l e tt r a n s f o mi n t oi m a g ec o m p r e s s i o ns e n s i n g f1 n a l l ) lc o m p r e s s e ds e n s i n gb a s e do nb a n d e l e tt r a l l s f o md o m a i na r ep r o p o s e d t h es l m u 上a t l o ne x p e n m e n ta r e rt h ea n a l y s i so fe x p e r i m e n t a lr e s u l t s ，a n da n da n db a s e do nw a v e l e tt r a n 8 f o n na n dd c tt r a n s f o mc o n t o u r l e tt r a n s f o 瑚d o m a i nm e n t i o n e dt h ei m a g ec o m p r e s s l o ns e n s o rmt h ev i s u a la n dp s n rd a t ac o n t r a s t ，c o n 矗m e dt h es u p e r i o r i t 、，o ft h e哈尔滨工程大学硕士学位论文p r o p o s e dm e t h o di sp u tf o n a r di nt h i sp a p e r ，e s p e c i a l l yf o rt h ef a yd i s 讲b u t i o ni sm o r er u l e so ft l l ei m a g ec o m p r e s s i o ni nt h es e n s o r v e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h ea b o v et h e o r ) ，a n a l ) 7 s i sk ，w o r d s ：c o m p r e s s i v e ；i n l a g es p a r s e ；b a n d e l e t ；w a v e l e tt r a n s f o m第1 章绪论第1 章绪论1 1 研究的背景和意义1 1 1 压缩传感的研究背景和意义奈奎斯特定理指出，采样频率至少是原始信号带宽的2 倍才可以完整无损失的将原始信号从采样信号中恢复出来。这对信号处理是一种瓶颈式的约束。对信号的存储和压缩都带来了很大的负担。2 0 0 6 年，c a n d e s 和d o n o h o 提出一种具有改革性意义的数据获取方法，即压缩传感( c o m p r e s s e ds e n s i n g ) r 儿一。压缩传感理论的提出突破了奈奎斯特定理的限制。理论通过直接压缩数据而不经过中间采样n 个值的阶段获取数据。在原理上压缩传感的先验知识是信号的某种特点( 比如在小波域系数稀疏) ，而不像奈奎斯特定理仅仅将信号带宽作为先验知识，这一点为降低信号获取成本提供了可能。压缩传感使得以低于奈奎斯特采样率进行采样的信号得到完美的恢复，成为信号处理史上的一个里程碑，在信号处理方面具有划时代的意义。压缩传感理论的主要研究问题有三方面：信号的稀疏表示、信号的测量和信号的重构。首先实现信号的稀疏表示，经过降维测量获得信号的观测值，最后由数学方法实现信号的重构。压缩传感理论一经提出就引起了多个信号处理领域密切关注，如信号的分类、超分辨率雷达、信息的提取、信号的线性编码等。压缩传感理论在图像处理方面具有生命力。在可行性方面，自然界中的图像大多数具有可压缩性( 经某种变换后稀疏) ；在必要性方面，随着人们对图像质量要求的提高，若用传统的信号采集处理方法，不久的将来对硬件要求的压力在是不可承受的。1 1 2b a n d e l e t 变换的研究背景和意义在图像的压缩传感中，图像的稀疏表示是否优秀，直接关系到重构后的图像质量。图像的稀疏表示，一般使用传统的小波变换和或d c t 变换，然而小波和d c t 变换都有各自的缺点。二维离散小波只对点奇异图像能够实现优质的稀疏表示，而d c t 变换则容易出现块效应。都不能充分利用图像本身的几何特性，不能实现对图像的最优稀疏表示。因此使用小波或d c t 变换的图像压缩传感重构质量也不能达到最优。由法国学者p e i l l l e c 和m a l l a t 提出的b a n d e l e t 变换( 条带波变换) 有效地解决了上述问题。它能够利用图像的几何正则性，实现更加优质的稀疏表示。2 0 0 1 年p e r u l e c 和哈尔浜工程大学硕士学位论文m a l l a t 提出了第一代b a n d e l e t 变换，针对第一代b a n d e l e t 的b a n d e l e t s 基函数在重新构造图像的过程中会产生边缘效应和巨大的运算量使得处理过程过于漫长缺点，2 0 0 5 年p e l l l l e c 和m a l l a t 提出了第二代b a n d e l e t 变换。经过学者的研究，证明与普通小波相比b a l l d e l e t 变换在图像的稀疏表示方面表现出优势。国内对b a n d e l e t 变换的研究起于2 0 0 6年左右，最早的一篇关于b a n d e l e t 变换的文章是国防科技大学梁锐华发表的基于b a l l d e l e t 变换的图像稀疏表示及压缩编码方法研究f 3 】，之后几年里对于b a n d e l e t 变换的研究迅速增加，屈小波等人于2 0 0 7 年发表题目为“基于b a j l d e l e 变换的图像融合”的文章，并且在同年出版的超小波分析及应用【4 一书中，详细介绍了有关b a n d e l e t 变换的理论知识。在之后的几年，b a n d e l e t 变换被成功的应用在图像的压缩、去噪等方面。截止到目前，c n k i 文献库显示有关b a n d e l e t 变换的文章已经有接近1 0 0 篇。正是由于b a i l d e l e t 变换图像的稀疏表示方面的优势，使得将此变换引入到图像的压缩传感提供了可能性。1 2 压缩传感的研究现状加州理工大学的e c a n d e s 和加州大学的t t a o 在一个实验中受到启发，于2 0 0 5 首次提出重构信号的理论。这个理论虽然并不是一经提出就是一种十分精确和完善的信号处理体系，但是它的意义在信号处理上却十分重大的。经过进一步的研究分析，2 0 0 6年2 月，e c a l l d e s 和t t a o 对这个理论进行了理论分析和实验研究，在此理论上做了进一步的完善，并且撰写了有关压缩传感的第一篇论文【2 1 ，在文中完整的论述了使用少量的频域数据完整的重构出原始信号的方法。随即，斯坦福大学的d d o n o h o ，以“压缩传感”( c o m p r e s s e ds e n s i n g ) 为名发表论文【1 1 ，这篇文章首次使用压缩传感这个名字，也是首次明确的指出奈奎斯特所提出的采样数量的限制并不是必须的。该文章发表在2 0 0 6 年i e e e 上。在此之后，压缩传感理论引起的一大批学者的关注。之后的几年里，研究压缩传感的先驱者们，大力对这个理论进行推广，出现了很多教程性的文章，使得更多的学者对此产生兴趣，为之后至今的几年里压缩传感理论的深入研究和发展作出不可磨灭的贡献。之后不久，压缩传感的发起人又进行了更加深入的研究，证明使用随机投影的方式可以用远远少于原始信号数量的观测值下，几乎接近完美的恢复信号。之后他们围绕着这个理论发了多篇文章进行多方面的研究，使得压缩传感的理论在短短几年中日趋完善。第1 章绪论关于压缩传感理论的研究，国内从2 0 0 7 年开始有学者开始研究。一些高校的课题组也开始关注这个领域。比如哈尔滨工业大学、西安交通大学等大学等开始着手研究压缩传感理论。随着理论知识的累积和项目的开展，期望有更多的机构、学者以及高校加入到压缩传感领域的研究中来，为推动这一理论的日趋完善添砖加瓦。在我国，压缩传感的理论研究得到了国家的鼓励和大力支持。自从2 0 0 8 年以来，国家越来越重视这一领域的研究工作，并启动了相应的基金支持。到2 0 0 9 年，已经有2 0 余项项目通过审批，得到自然科学基金的支持。截至到2 0 1 1 年已有6 0 多项有关压缩传感的项目通过了审批。在专利申请方面，自从2 0 0 8 年以来国内很多学者开始陆陆续续的申请有关压缩传感的专利。已有不少的专利申请通过了审核。这说明，中国的压缩传感的理论研究已经有一定的成就，在压缩传感的改进和应用层面已经完成了大量的研究任务。随着更多的学者加入到研究压缩传感理论的队伍中来，相信相关成果会不断增长。在应用方面，r i c e 大学根据压缩传感理论，发明设计了“单像素相机”；2 0 1 0 年8月r a d i o l o g y 发表了题目为压缩传感改进小儿m r j 成像的文章1 5 j ，文中描述的压缩传感改进的m r 设备已经成功应用于医学研究中；压缩传感理论还被应用于天文学成像上，解决由于天气原因，上机时间不长，地球自转等造成原始数据的不完整或者干扰；在线性编码上，压缩传感可以解决比特流部分信息丢失或者被破坏的问题。压缩传感的研究蓬勃发展。它能够影响信号处理中如此之多的领域，其潜力实在是振奋人心。相信随着对压缩传感理论的进一步研究，压缩传感造福人类生活指日可待。1 3 本文要解决的问题压缩传感理论在信号处理方面有巨大的潜力。在图像的压缩传感理论中稀疏表示是很重要一部分。在使用小波变换及d c t 变换等传统方式的图像压缩传感中，由于小波变换不能够利用信号本身的几何特性，不能实现最优的稀疏表示，导致压缩传感重构也得不到最优效果。需要解决以上问题，对图像进行适合的稀疏表示就尤为重要了。本文将把b a n d e l e t变换引入到图像的压缩传感领域，预期利用b a n d e l e t 变换能利用图像本身几何正则性进行图像表示的优势，提高对图像压缩传感的重构质量。以解决在图像的压缩传感中，由于稀疏表示问题存在的重构质量偏低的现状。哈尔滨工程大学硕士学位论文1 4 论文主要研究内容及章节安排压缩传感是近些年来出现的一种关于信号获取的新理论，它开辟了一条新的途径，使我们可以通过远少于“必须”采样数的观测值来获得信号的全部信息。b a n d e l e t 变换能充分利用图像内在的几何形状，实现对比小波变换更加稀疏的图像表示。本论文将b a n d e l e t 变换引入到压缩传感理论，将其应用于图像的压缩传感。由针对纹理丰富的图像提出c o n t u r l e t 域的压缩传感。本文共分为四章，内容安排如下。第一章介绍了压缩传感和b a l l d e l e t 变换研究的背景及意义、以及其研究现状，提出了图像压缩传感中存在的问题，并且简单说明本文解决方案。第二章分析了小波变换的图像处理方法，以及小波变换存在的问题。重点分析了b a i l d e l e t 变换，以及与小波相比，在图像稀疏表示方面的优势，为本文提出的基于b a n d e l e t 变换的图像压缩传感的提出提供了可行性依据。并且介绍了轮廓波变换为以后的对比算法提供理论依据。第三章重点介绍了压缩传感理论，将压缩传感理论分为稀疏表示，测量，重构三个方面作重点说明。第四章为本文章的核心部分，本文将b a n d e l e t 算法引入到图像的压缩传感中，b a n d e l e t 算法可以自适应地跟踪图像的正则方向，提高了对图像的稀疏表示能力，从而提高了压缩传感重构后的图像质量。针对纹理丰富的图像提出了c o r 衄l e t 域的压缩传感，并进行了实验仿真和数据分析。第2 章从小波变换到b a n d e l e t 变换第2 章从小波变换到b a n d e l e t 变换2 1 小波变换一个信号能用几个正弦和余弦函数之和来表示，这就是傅里叶理论中的傅里叶展开式。但傅里叶分析无法满足非平稳信号分析，因为非平稳信号分析需要表述信号的时频局域性质，而傅里叶分析是采用全局变换，只能完全在时域或频域。小波分析方法的诞生是对傅里叶分析的根本性的改革，由于小波分析和好的克服了傅里叶分析的缺点，并且拥有傅里叶分析不具有的很多优点，于是小波分析的理论在短时间内得到了迅猛发展，而且迅速地将应用扩展到各个信号处理的领域。m a l l a t 算法是小波交换的主要算法，以法国科学家s t e p h a n em a l l a t 的名字命名，此算法是他在1 9 8 8 年构造正交小波的时候提出的，在其中他还从空间上形象的说明了小波的多分辨率的特征，首次提到了多分辨率。2 1 1 连续w a v e l e t 变换在傅里叶变换中，用不同频率和幅值的正弦或余弦波的和表示一个信号。我们将正弦波函数称为傅里叶变换的基函数。与此类似，在小波变换中小波也可以作为基函数。这些小波是原始的小波作缩放和移位以后得到的。因此小波变换的本质是傅里叶变换的变型，只是变换基是经过了某种变换的。连续小波变换的表达式为：c ( j c 口彪，p o s 豇f d 船) = i厂o ) 缈( s c 日彪，p d s i f j o 胛，f ) 坊( 2 1 )在上式中厂( f ) 为原始信号，缈是小波基。c 是经过小波变换得到的一系列的小波系数。这些系数是缩放和位移的函数。若要进行小波变换的逆变换，则小波变换需要遵守如下的条件：q = e 瞥伙。( 2 2 )条件表明：能用作小波基的函数沙( f ) 必须满足妒( u = 0 ) = 0 的条件，即满足( ，) 为均值为零的震荡波形，沙( ) 具有带通性质。2 1 2 离散w a v e l e t 变换在计算连续小波变换的时候，实际上也是用离散的数据进行计算的，只不过所用的平移参数和缩放因子比较小，我们可以想象的出，连续小波变换的数据量一定是大到无哈尔滨工程大学硕士学位论文法接受的，计算时间也是长的无法接受。为了解决数据量过大和计算时间过长的问题，我们对缩放因子和平移参数都作处理，选择2 7 的倍数作为缩放因子和平移参数。使用这样的缩放因子和平移参数叫做双尺度小波变换。这是离散小波的一种形式。离散小波变换通常就是指的双尺度小波变换。使用滤波器是执行离散小波变换的方法。这个方法是m a l l a t 发现的，因此将这个方法称为m a l l a t 算法。这个方法在本质上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中，我们称这种方法为双通道自带编码。离散小波变换可以表示为低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树，原始信号通过这样一对滤波器的时候被称为一级分解。进而将信号进行迭代分解，即多级分解。二维小波变换的m a l l a t 示意图如图2 1 所示。二维小波滤波器是可分离的滤波器，二维信号经过分解以后可以形成四个子带，将低频子带继续分解，从而得到不同分辨率结构。图2 1 小波变换的二维m a l l a t 分解算法图2 2 是c i r c l e 图像的分解层数为二层的小波分解演示图。( a )原图( b ) w a v e l e t 变换系数分布图2 2 图像的小波分解演示图c 女m 。石鼻肌刀七朋，。扩七朋”2 1 3 小波变换的特点傅里叶级数是一个不随时间变化的常数。即傅里叶变换只适合处理平稳信号，对于频谱随时间改变的非平稳信号处理不尽人意，甚至会出现错误。而在实际的信号中，如语音信号、图像信号等，频率成分不可能是一成不变的，大多数信号的频率成分在不同的时刻呈现出不同的状态。这个时候如果使用傅里叶变换，求出结果是整个时间域上的频率平均，若想得到某个时刻的频率成分是不可能做到的。小波变换的提出使得以上的不足得以解决。小波级数是关于时间和频率两个变量的函数。它不像傅里叶级数一样是个常数。这样就使得小波变换不仅有时问指标而且有频率指标。因此小波变换可以处理非平稳或者时频突变的信号。并且小波变换的支撑域为紧支撑，那么如果要求取一个信号某时刻不同频率的小波时，就不必对整个时域进行小波分析，只需要在所求取时刻两端附近进行分析即可。小波分析的时频宽度可根据信号频率作出调整在信号的低频段变宽，高频段变窄，这正是优良的时频分析特性的表现之一。对图像信号进行二维离散小波变换，可以得到成四个频带，高频部分( 包括水平方向、垂直方向、以及对角线方向) 和低频部分。继续分解低频部分，如此信号将被继续分解为多个子图像信号，这些子图像信号有不一样的分辨率、不一样频率特性以及不样的方向特性。用这种方法可以实现同时处理低频的长时特征和高频的短时特征，并且可以有效克服傅立叶分析在处理二维信号时存在的缺点，使得二维图像信号的分解更为人的视觉所接受，以达到数据压缩的要求。二维小波变换的低频数据经过进一步的划分得到下一级的小波变换数据。在二维图像的小波变换中，得到的高频竖直频带中包含了竖直方向的高频信息；高频水平频带中包含了原始图像水平方向的高频信息：高频对角频带中的信息是原始图像中对角方向高频信息的表示。而低频子带的小波系数包含着图像信号的整体大致特征，低频子带的小波系数远远大于其它子带的小波系数。高频子带信息体现的是图像的纹理边缘等跟细节有关的信息，反映了细节变化。小波变换不仅具有良好的时频局部性，还具有良好的空间方向性特点。二维小波变换，依旧使用m a l l a t 算法，先用一维小波变换进行行变换然后进行列变换。小波对二维图像的分解，按照倍频方式进行的，比较符合人眼视觉习惯；因为具有正交性，使得相关性很小，因此各个分解系数是独立的。而图像的能量集中在低频部分，这样就使得能量集中了；小波变换后的图像系数有树型结构，从而形成一种“父子”关哈尔滨工程大学硕士学位论文系，也就是个给定的父系数，在同一方向上低层图像中同一位置上对应的就是其该父系数的后代系数。2 1 3 小波变换在图像处理中的不足若为维分段光滑函数，它的小波变换的逼近误差是 m - l 一加l | o m 。1 ，而傅立叶变换的逼近误差是占f m 】_ p m - 1 佗 ，也就是说小波变换能够实现比傅里叶变换更加稀疏的表示。不过，当小波变换应用到二维或者高维信号处理中的时候会遇到在以往信号处理中不曾遇到的问题。在图像中普遍存在线奇异性，二维小波基只有有水平竖直和对角三个方向，不可能无差错的表示全部的图像信息。如图2 3 ( a ) ，是二维小波来表示图像曲线的情况。图中正方形的方框表示的是二维小波基的支撑区域。随着尺度的减小，二维小波最终表现为用“点”来逼近。这时会出现很多不能舍弃的非零系数，造成稀疏性减弱。如图2 3 ( b ) 所示，长方形的方框代表着另外一种基的支撑区间，这种支撑区间更加合理，因为它的特点和原函数的边缘特性更加接近，能够用更加少的系数表示函数，实现真正的稀疏表示。这种支撑于表现了一种方向性，我们称之为各向异巾牛。( a ) w a v e l e t 对曲线的表不( b ) 多分辨率方法对曲线的表不图2 3 不同的基结构对曲线的表示正如前面所说过的，小波的分析在函数维数比较高的情况下，显得比较吃力。因为它并不能充分利用信号本身的几何特征，这将是对信息的一种浪费，因此不能够以一种最优的形式实现信号的最优的稀疏表示。因此我们亟待一种更加有效的方法解决这一问颢。第2 章从小波变换到b a n d e l e t 变换2 2 多尺度几何分析为了克服小波的缺点，人们一直致力于寻找解决问题的方法。多尺度几何分析的诞生，在信号处理方面具有重要的意义。因为它很好的解决了上述提到的小波的缺陷问题。对多尺度几何分析的研究在学术界掀起了场革命，与小波分析相比，这场新的革命同样也将深刻地影响各科学领域，它的深度和广度并不亚于小波分析。多尺度几何分析也称后小波分析，它包含了目前最新的计算调和分析和稀疏逼近的发展趋势。在数学分析、计算机视觉、模式识别、统计分析等领域，数据的稀疏表示一直是一个非常核心的问题。数据的稀疏表示，一方面可彰显数据的本质特征，另一方面也能减少存贮、处理数据所需的硬件开销。随着社会的发展，海量数据的出现使后一优势显得尤为重要。多尺度几何分析的方法有r i d g e l c t 变换、c u n ，e l e t 变换、c o n t o u r l e t 变换、b a n d e l e t 变换竺寸。在本论文中我们重点介绍有关b a n d e l e t 变换的内容，这是我们将于图像压缩传感相结合的一种多尺度的几何分析方法。在分析b a n d e l e t 变换之前简单介绍c o n t o u r l e t 变换，为后续的实验仿真提供理论依据。2 2 1c o n t o u r l e t 变换离散c o n t o u r l e t 变换是小波变换的一种新扩展，亦称为塔形方向滤波器组( p y r a m i d a ld i r e c t i o nf i l t e r b a n k ，p d f b ) 【6 j 。p d f b 变换的基函数分布在多尺度、多方向上，同时由于其具有多分辨率、多方向性、近邻界采样、局部定位和各向异性等优秀的性质，使其可以以少量系数提取自然图像中的主要特征一边缘轮廓。此变换的特点是将多尺度和方向分析分开进行。首先，进行多尺度分解来获得不连续的点，滤波器采用的是拉普拉斯金字塔( l a p l a c i a l lp y r a m i d ，l p ) 结构；其次，进行合成奇异点的方向分析，即采用方向滤波器组( d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ，d f b ) 合成为c o n t o u r l e t 系数。最后的变换结果本质上是以线段为基函数对图像进行的一种描述。c o n t o u r l e t 变换具有所谓“理想的图像表示方法”所需要的几个显著特点。首先，由于它的基在不同的尺度上，其具有较好的方向性和各向异性；其次，多尺度以及多方向和局部化在频域上的分解是c o n t o u r l e t 变换的另外一个特点。最后，可以看出c o n t o u r l e t 变换能很好的表示二维图像。c o n t o u r l e t 变换的组成框图如图2 4 所示，它将l p 滤波组和方向滤波器组d f b 相结合。由于d f b 只能有效的处理高频中的方向信息，而对图像中的低频信息却不能很好的处理，为了弥补这一不足，在进行d f b 变换之前，利用l p 滤波器组来将图像中高频和低频部分信息区分出来。在具体计算过程中，c o n t o u r l e t 变换在每次分解时都会哈尔滨工程大学硕士学位论文讲图像分解出一个低频分量和若干个高频分量，同时，对其中的低频部分继续进行c o n t o u r l c t 变换，这样就形成了一个迭代的运算处理过程。最终，可以很好的分解出图像中的多尺度和多个方向的信息。图2 4c o n t o u d e t 变换的组成框图若是要利用c o n 幻u r l e t 变换处理离散的图像信号，就需要逐步分离进行分解多尺度和多方向性信号的运算，这样就可在不同的尺度上简单的实现对不同数量方向上的分解，使得多尺度、多方向的分解变得更加方便和灵活。同时，如果l p 和d f b 都能够实现完全重构，那么作为两者结合的c o n t o u r l e t 变换也应该具有完全重构的特性。由于结合了l p 和d f b 变换，c o n t o u r l e t 变换具有以下几个重要特性：由于l p 支持重构，同时发现d f b 结构和c o n t o u r l e t 变换均具有可以达到完全重构的特点，这均为c o n t o u r l e t变换可以产生一个框架算子提供了依据；如果分别采用可以相互正交的滤波器组来实现l p 与d f b ，则c o n t o u r l e t 变换完全能够提供具有紧支撑的框架；c o n t o u r l e t 变换中，出于l p 分解的特殊性，所以存在冗余，且其冗余为4 3 ；如果在第，层l p 分解上使用d f b分解，分解后得到图像的尺寸大小固定；使用f 瓜滤波器对n 像素的图像进行c o n t o u r l e t分解，得出其复杂度运算量为o ( n ) 。c o n t o u r l e t 变换是由拉普拉斯金字塔变换和方向滤波器组组成的，下面我们分别介绍。1 、拉普拉斯金字塔变换【3 】。拉普拉斯金字塔( l p ) 塔形分解是一种多尺度的分解方法，可以完成图像的多分辨率表示。其分解过程如图2 5 ( a ) 所示，h 和g 分别为分析滤波器和合成滤波器，m 是采样矩阵( 整数矩阵) 。步骤如下，首先，得到源图像的一个粗尺度近似图，它是原图像的一个粗尺度低通近似图像，即通过低通滤波和下采样后分解得到的。对此近似图像进行插值、滤波，得到的结果与原图像作差，得到的一个带通图像，即是差值图像。在此基础上，继续对得到的低通近似图像进行分解，与上步进行同样的操作，再次得到差值图像，迭代进行直到完成多尺度分解。与临界采样的小波方案相比较，不管是一维还第2 章从小波变换到b a n d e l e t 变换是多维，在金字塔的每一层l p 只能产生唯一的带通图像。如图所示，z 表示原始信号，曼表示重构信号，而c 和d 分别表示低频和高频信号，最后p 用来描述低频信号经上采样和滤波操作后所生成的信号，即预测信号。cd( ：弋h 弦d一( a ) 分解结构( b ) 重构结构图2 5 拉普拉斯分解与重构按照图2 3 ( a ) 的分解结构，一级l p 分解的公式可写为：c 即 = x h 办 胁一七( 2 3 )式中x 为信号源，m 为采用矩阵，c 为经过低通滤波且c 为低频逼近信号，即经过低通滤波和下采样处理的信号。将c 进行上采样和预测滤波处理后得到的信号即为预测信号：p m = c 吲g p 一旅( 2 4 )用矩阵形式表示为：c = 放( 2 5 )p = g c( 2 6 )将上采样与下采样统设为2 抽取，设为单位矩阵，日和g 组成整体滤波器。其中，h 由低通滤波加下采样组成，g 由预测滤波加上采样组成，那么可以将通过拉普拉斯金字塔的差分信号表示如下：d = x p = z g 月戈= ( ，一鲫) z( 2 7 )综合公式( 2 - 4 ) 、( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，拉普拉斯一级分解可以表示为：防仁卜协8 ，。、一k v j 一重构部分可以写为：x = g + ( ，一g h ) d( 2 9 )过采样产生的冗余是l p 存在的缺点。所以，压缩领域中都会采用其他方法进行替换，如子带编码或小波变换。由e s l a m i 和r a d h a 提出的基于小波变换的c o n t o u r l e t 变换哈尔滨工程大学硕士学位论文( w a v e l e tb a s e dc o n t o u r l e tt r a n s f o m ，w b c t ) ，即是利用小波变换中的m a l l a t 分解来代替c o n t o u r l e t 变换中l p 分解。该方法取得了成功，尤其是在多尺度几何分析图像压缩应用方面( 下一节介绍) 。同时，我们也注意到适合将l p 用在多分辨率算法中的一大优点，即其在每一层只产生一个带通信号。采用l p 对低通信号进行下采样操作能避免产生“频率置乱”现象。如图2 6 所示，高通信号频谱由于下采样操作“折叠”成低通信号频谱。根据图能更清楚的看出，相比较子带编码或者小波变换来说，对信号进行金字塔分解和方向性滤波的c o n t o u r l e t 变换才是更为理想的设计流程。卜刀卜卅。刀万o w n s a m p 。e dh pll ，r i 彳_ 死万图2 6 频翠置乱2 、方向滤波器组【7 1 。在保证样本数目一致的前提下，方向滤波器组的核心问题就是将方向频率划分到所想要的精度。采样操作定义在多维采样率系统中是定义在网格上的。基于此，一个胛维的网格可用一个胛胛的非奇异整数矩阵表示。在这样的情况下，一个确定的采样网格，其表达形式往往并不唯一。x ( 玎) 进行m 抽取的表达形式如下：x d ( 胛) = x ( 锄)( 2 1 0 )抽样后样本数目减少为抽样前的的南。多抽样率维数的改变将影向抽样因子，如从一维变到二维，抽样因子由整数变成了2 2 的抽样矩阵。常见的抽样矩阵如下所示。利用r 。，r 。，足：，r ，如( 2 9 ) 所示进行采样，其模值均为1 ，因为保证了样本的数目不变，只是改变样本的位置。所以这种采样成为重采样。其中氐置= r ：最= ，! ，也就是说用民或r ：上采样，相当于用玛或r ，下采样。因此，r ，足。，r ：，玛也称为扭转采样矩阵。式2 2 5 中所示的抽样矩阵q o 与q 1 称为梅花形采样矩阵。卟m卟h协呤即q 。= ，q 。= 协( a ) 原始图像( b ) q 下采样后图像( c ) q 1 下采样后图像图2 7 经q o 和q 1 下采样前后的图像q 。和q 】为采样矩阵，它首先对图像进行采样，按照五点梅花型，随后，再进行旋转4 5 。的变换，方向顺时针或者逆时针均可。这样采样之后，只剩下原始数据量的1 2 。采用l e n a 图像为例，分别用q 0 和q l 下采样，效果图如图2 5 ( b ) ( c ) 所示。方向滤波器组最重要的一部分是五点梅花型滤波器组( q u i n c u n x ) ，它既是核心部分又是她的主要组成部分。其中，q 0 和q ，是为五点梅花型的采样矩阵。二维双通道滤波器组也是使用该采样矩阵组成，如图2 7 所示。图2 8q u i n c u n x 滤波器组j ( ) ：委 日。( 国) g 。( 缈) + h ，( 缈) g ，( 国) 】x ( )+ 昙 日。( 缈+ n ) g 。( 国) + h ，( 缈+ n ) g ，( 缈) x ( 国+ 兀)-( 2 1 3 )哈尔滨工程大学硕士学位论文其中，国= ( q ，) 。，兀= ( 刀，刀) 7 。如果要求满足完全重建，那么必须保证彳洄) = x ( 国) ，则重构条件为：h o ( 国) g o ( 缈) + h 1 ( 国) g 1 ( ) = 2( 2 一1 4 )h o ( + 兀) g o ( ) + 日】( + n ) g 1 ( 缈) = 0( 2 15 )因此如果图中的日。，日，g 。，g 1 是方向滤波器，在完全重构条件的基础上，输入信号可以在保持样本数目不变的条件分解到不同的方向。2k 。)巡澎形j 蕊，( 一，一口1图2 9 二级方向滤波器组图2 1 02 一d 频率平面分割结果在1 9 9 2 年，b a n l b e r g e r 和s m i m 引入了一种新的二维方向滤波器组，它可以最大采样并能获得完全重建。2 0 0 3 年，m i l l l ln d o 提出了一种新的方向滤波器组( d f b )的形式，这种滤波器是基于扇形q f b 滤波器而提出来的。由于其结构，它可以达到定向分割频率的目的，而其结构是通过结合旋转采样矩阵和扇形滤波器而形成的。该d f b可以有效地进行频率分割。在基础上，d f b 扩展树的规则变得更加简便。同时，由于d f b 归结为多通道的形式的特点，其结构也变革简洁。2 级d f b 的完成结构形式如图2 9 所示。方向滤波器组是将双通道扇形滤波器组进行临界抽样，并和重采样操作结合在一起，产生一个树形滤波器组，它可以将2 d 频率平面分割成如图2 1 0 所示的具有方向性的楔形结构。此时抽样和插值矩阵如下：s ：坊昭( 2 ，2 ) o 飚2 卜。( 2 1 6 )“。i 坊a g ( 2 ，2 卜1 )2 卜1 七27 1式中：，表示树形结构的级数。对5 1 2 5 1 2 的p e p p e r s 图像c o u t o u r l e t 变换，图2 1 1 为c o n t o u r l e t 变换系数分布图，对图像进行2 层分解，分别为4 方向和8 方向，l p 分解和d f b 分解分别采用“9 7 ”双正交滤波器和“p k v a 滤波器，c o n t o u r l e t 变换后子带可以是2 ”个方向。由此可以看出第2 章从小波变抉到b a n d e l e t 变换c o n t o 叫e t 变换较w a v e l e t 变换在方向性的优势，c o n t o 叫e t 变换能有效的捕获图像中的二维曲线奇异信息到不同尺度、不同方向子带中。i 。辩灌麓图露i 鎏鎏建圜蓥速薹羔：i图2 1lc 0 n t o u r l e t 变换系数分布2 2 2b a j l d e l e t 变换小波变换问世后的很多年里仍然是信号处理和图像处理中很常用的一种处理方法，然而经过前文的论述，我们知道，小波分析存在的各种缺陷，使得在小波变换在图像的稀疏表示方面并不是最优秀的。法国学者e l e p e 皿e c 和s m a l l a t 针对这些问题进行了