（应用数学专业论文）几何函数理论中的一些新子类.pdf

扬州人学硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究 成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研 究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声 明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：王皱 签字日期：2 亨年可月 f 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本 人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信 息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。 学位论文作者签名：互敏 签字日期：2 珊方年豸月) 叶日 、j 导师签名： 训协 签字日期：2 旃年占月肜日 于敏：几何函数理论中的一些新子类 中文摘要 在s r u s c h e w e y h 利用h a d a m a r d 积定义了解析函数的r u s c h e w e y h 导数 1 后， 许多学者相继研究了与r u s c h e w e y h 导数有关的单叶或多叶的解析函数类，如g o e l 和s o h i 2 ，n o o r 3 ，y a n g 和l i u 4 等近年来，基于不同的线性算子，某些p 叶解析函数类或亚纯函数类的性质和特征被广泛研究，如s r i v a s t a v a 和 p a t e l 5 ，l i u 和s r i v a s t a v a 6 ，7 等 本文的主要内容分为两个部分即第一部分“与超几何函数相关的亚纯函数的新 子类”和第二部分“一类具有r u s c h e w e y h 导数的解析函数”这两部分分别研究了 亚纯函数和解析函数的新子类的各种性质 在本文的第一部分中，我们利用超几何函数，只( q 。，q ：q 。；属，履展；z ) 定义 了p 叶亚纯函数( q ，；届，危；z ) ，即 ( q ，q 。；儡，凤；z ) = z 。只( q l ，q 。；属，凤；z ) ， 并利用亚纯函数( q 。，q ：；儡，色熊；z ) 定义了作用于亚纯函数类的线性算子 砟职。( q ) ，即令，表示形如 厂( z ) = z p + z ”p ( p = 1 ，2 ) ) ， 且在去心单位开圆盘d 上解析的p 叶亚纯函数类，其中 d = z ：z e c ；0 i z | 1 ) = u o ) 利用h a d a m a r d 积定义线性算子日m ，( q ) ：p 一p 如下： h p 弘，( q ) 厂( z ) = ( q ，a ：；属，岛凤；z ) 木厂( z ) ， 其中“秒表示h a d a m a r d 积或卷积 扬州大学硕士学位论文 首先，利用算子以雕( q ) 和解析函数的从属关系，我们定义了亚纯函数类 础( g ，j ，q ，；办) ，和巧，。( r ；q ，s ，q 。；乃) ，研究了这几个函数类的各个包含关系并给出 了当乃( z ) = 岩差( 一l b 彳1 ) 时相应的结论和推论同时考虑了在积分算子 e ，尹作用下，函数类硝( g ，s ，q ；办) ，巧，。( g ，s ，q ；办) ，的不变性并且讨论了亚纯函数 类肚( g ，s ，q ；乃) ，k 础( g ，s ，q ；办) 的卷积性质 其次，研究了函数类q p ( g ，s ，q ，；么，b ) 中系数为正实数的函数类 q ；( g ，s ，q 。；4 ，b ) ，给出了函数厂( z ) ( 厂( z ) p ) 属于q ；( g ，s ，q 。；彳，b ) 的充分必要 条件，还考虑了函数类q ；( g ，s ，q 。；么，b ) 中函数的一阶导数模的估计及其星像函数和 凸像函数的半径 最后，研究了f ( z ) ( ( z ) p ) 的邻域性质和部分和性质考虑了s ( z ) 的6 一 邻域与函数类q p ( g ，s ，q 。；么，b ) 及q ；( g ，s ，q 。；彳，b ) 的包含关系 在本文的第二部分中，利用r u s c h e w e y h 导数定义了新的解析函数类 或，p ( 办( z ) ，p ，入) ，并在r u s c h e w e y h 导数的基础上利用h a d 硼a r d 积定义了一个新算子 磁岁，即令么p 表示形如厂( z ) = z p + t ：l k z p 般( k = 1 ，2 ) ) 且在 u = z ：h 1 ) 上解析的函数的全体，线性算子蝶n + ，p ：a p _ a p 定义为： 够纠+ k = l 等糕h 矿 、，i ，、1 ， 则当所= 一p + l ，= 1 时即为r u s c h e w e y h - 导数研究了函数类色，p ( 办( z ) ，p ，入) 的性质 及彳卢中函数在算子磁7 - 1 的作用下的各种性质 关键词：r u s c h e w e y h 导数；h a d a m a r d 积：亚纯函数；多叶函数；线性算子；积 分算子；部分和；亚纯函数的邻域：凸函数：微分从属 2 i 于敏：几何函数理论中的一些新子类 a b s t r a c t s i n c ed e f i n e dr u s c h e w e y hd e r i v a t i v eo fa n a l y t i cf u n c t i o n sb yh a d a m a r dp r o d u c tb y s r u s c h e w e y h 1 ，m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dc l a s s e so f u n i v a l e n to rm u l t i v a l e n ta n a l y t i c f u n c t i o n sa s s o c i a t e dw i t hr u s c h e w e y hd e r i v a t i v e s ( 2 - 4 】) r e c e n t l y , b a s e do nd i f f e r e n t l i n e a r o p e r a t o r s ，s o m ep r o p e r t i e s a n dc h a r a c t e r so fp - v a l e n t a n a l y t i cf u n c t i o n sa n d m e r o m o i p h i cf u n c t i o n sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e de x t e n s i v e l y ( 5 - 7 】) t h e r ea r em a i n l yt w oc h a p t e r si nt h i sw o r k w ed e a lw i t ht h ep r o p e r t i e sa n d c h a r a c t e r so ft h en e ws u b c l a s s e si nm e r o m o 枷ca n da n a l y t i cf u n c t i o n si nc h a p t e ro n e a n dc h a p t e rt w or e s p e c t i v e l y i nt h e c h a p t e r o n e o ft h i sw o r k , t h e m e r o m o 州c f u n c t i o n ( q ，啦；属，岛绣；z ) i sd e f i n e d b y h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n 。只( q ，c l l f q ；b 1 ，岛熊；z ) a s ( q ，；屈，展；z ) = z 一。只( n ，；屈，展；z ) l e t p d e n o t et h ec l a s so f m e r m o r p h i cf u n c t i o n so f t h ef o r m ( p e = l ，2 ) ) ， a n a l y t i c i n o h 1 al i n e a ro p e r a t o r g ，池) ：，_ ，i s d e f i n e d a s h p 肌。( q ) 厂( z ) = ( q 。，q ：o g q ；b 1 ，色风；z ) 木厂( z ) ， w h e r e 木d e n o t e sh a d a m a r d p r o d u c to rc o n v o l u t i o n f i r s t l y , m a k i n g u s eo ft h el i n e a r o p e r a t o r 一帛。( o q ) a n d t h e p r i n c i p l e o f s u b o r d i n a t i o nb e t w e e na n a l y t i cf u n c t i o n s ，w ei n t r o d u c ea n di n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n g s u b c l a s s e so f t h em e r o m o r p h i c a l l yp v a l e n tf u n c t i o nc l a s s p ： 3 p z 心 + p z = z ， 扬州大学硕士学位论文 p ( g ，s ，q 。；j i z ) ，k p ，t ( g ，s ，q ，；办) ，k 时( 叩；g ，s ，a 。； ) f u r t h e r m o r e ，s o m ec o n c l u s i o n sa r ea c q u i r e dw h e nw ec o n s i d e r 办( z ) = 篙( - 1 b a 1 ) s o m ep r o p e r t i e so fc l a s s e s 硝( g ，s ，a l ；h ) ，k p ，( g ，s ，q l ；办) a r eg i v e n o ft h e i n t e g r a l o p e r a t o r 只a l s o ，w e o b t a i nt h ec o n v o l u t i o n p r o p e r t i e s o f 砧( g ，s ，a l ；h ) ，k p ，。( g ，s ，q ；办) s e c o n d l y , t h e c l a s s q ；( g ，j ，q 1 ；彳，b ) o f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s i n q p ( g ，s ，q 1 ；么，b ) ，w h o s e c o e f f i c i e n ti s p o s i t i v e ，i si n v e s t i g a t e d t h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ff ( z ) f a l l i n gi n t o q ；( g ，s ，q ；么，b ) i s o b t a i n e da n dt h er a d i u so f s t a r l i k ef u n c t i o n sa n dc o n v e xf u n c t i o n sa r ea l s oc o n s i d e r e d f i n a l l y , p r o b l e m si n v o l v i n gg e n e r a l i z e dn e i g h b o r h o o d s a n d p a r t i a l s u m so f m e r o m o 平h i c f u n c t i o n si n c l a s s p a r e d i s c u s s e d , t h er e l a t i o n s h i p o ft h e 万一n e i g h b o r h o o d so f 厂( z ) a n dt h ec l a s s e s a l s oc o n s i d e r e d q p ( g ，s ，q l ；么，b ) ，q ；( g ，s ，q l ；么，b ) a r e i nt h ec h a p t e rt w oo ft h i sw o r k , an e ws u b c l a s s 最，i ，( 办( z ) ，p ，入) o fa n a l y t i c f u n c t i o n sb yr u s c h e w e y hd e r i v a t i v e si sd e f m e da n ds o m ep r o p e r t i e so f 或，p ( 办( z ) ，p ，入) a r eo b t a i n e d l e t a p b et h ec l a s so ff u n c t i o n s ( z ) = z p + a k z 计( ke = 1 ，2 ) ) ， k = 1 w h i c ha r ea n a l y t i ci nt h eo p e nu n i td i s ku ac e r t a i nl i n e a ro p e r a t o r 磁y 一：a p _ a pi s d e f m e da s ( p + 刀) 。( ，) 。 ( p + 朋) 。( 1 ) 。 a k g t 仲 t h e n 磁y i sr u s c h e w e y h d e r i v a t i v ei nc o r d i t i o no fm = 一p + la n d ，= 1 s o m e 4 一 + p z = z ，i ， 一 p + ，磷 王敏：儿何函数理论中的一些新子类 p r o p e r t i e so f c l a s se ，p ( 办( z ) ，肛，入) i sg i v e n w ea l s oo b t a i n t h ep r o p e r t i e so fa j 口i n c o n n e c t i o nw i t ht h eo p e r a t o r d 拶一 k e y w o r d s ：r u s c h e w e y hd e r i v a t i v e s ；h a d a m a r dp r o d u c t ；m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s ； m u l t i v a l e mf u n c t i o n ；l i n e a ro p e r a t o r ；i n t e g r a lo p e r a t o r ；p a r t i a ls u m s ；n e i g h b o r h o o d so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；c o n v e xf u n c t i o n s ；d i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n s 5 1 扬州大学硕士学位论文 1 与超几何函数相关的亚纯函数的新子类 1 1 引言 令p 表示形如 厂( z ) = z p - ke 口n z ”一p ( pen = 1 ，2 ) ) ， ( 1 1 1 ) 且在去心单位开圆盘d 上解析的亚纯函数类，其中 d = z ：z e c ；o z l 0 ( z u ) 对于单位开圆盘u 上的解析函数厂( z ) ，g ( z ) ，如果存在一个u 上的解析函数 w ( z ) 使得1 w ( z ) i 1 ，厂( z ) = g ( w ( z ) ) ( z u ) ，则称厂( z ) 从属于g ( z ) ，记为f g 或厂( z ) g ( z ) ( z u ) 特别地，如果g ( z ) 在u 上是单叶的，则 厂( z ) _ g ( z ) ( z u ) 厂( o ) = g ( o ) ，f ( u ) cg ( u ) 在本文中，我们设p ，k ；局仨石；气= e l , k ( g ，s ，；z ) ：i 1 厶k - i6 。j p 砟岛，( q ) 厂( z ) = z p + ( 厂p ) ( 1 1 9 ) 显然，当七= 1 时厶，。( g ，s ，q ；z ) = h p 取，( ) 厂( z ) 近年来，很多文章研究了不同的亚纯函数类的各种性质，如s f i v a s t a v a , y a n g 与 x u 11 ，l i u 与s r i v a s t a v a 6 ，1 2 ，u r a l e g o d d i 与s o m a n a t h a 1 3 ，1 4 等在本文中，我们利 用线性算子h p 崩。( q ) 及解析函数之间的从属关系定义几个新的p 叶亚纯函数的子 类 定义1 1 函数厂( z ) p 如果满足 7 一 扬州大学硕士学位论文 一亟鼎 办( z ) ( z u ) p f ，女( g ，j ，q ；z ) 、7 其中乃( z ) p ，厶，。( g ，s ，；z ) o ( z 6 d ) ，则称厂( z ) 础( g ，j ，q ；忍) 在定义1 1 中若令七= 1 ，办( z ) = 暑老( 一l b 彳1 ) ，则有 定义1 2 函数厂( z ) ee ，如果满足 一甏p h 丧a 黜 丝吼1 ) f ( z l + b z p ，g ，( ) _ 一。， 其中彳，b 满足一1 b a 1 ，则称厂( z ) q p ( g ，s ，q ；彳，b ) 定义1 3 函数厂( z ) p 属于q ，( g ，s ，e q ；a ，b ) 并且厂( z ) 形如 ( z ) = z 叩+ a nz ”， 则称厂( z ) q ；( g ，j ，；彳，b ) 定义1 4 如果函数厂( z ) ee p 满足 一 冀嬲 乃( z ) ( z u ) ， p 苫p ，女l g ，j ，口1 ；z j 对某个g ( z ) 础( g ，s ，o q ；h ) 成立，其中h ( z ) p ，g 础( g ，s ，c z l ；z ) 的定义如( 1 1 9 ) 式， 则称厂( z ) k p ，女( g ，s ，q ；乃) 定义1 5 如果函数厂( z ) 。，满足 一77二z丢fpikj(iq孑,-s厕,a,+i；z)一(1一巧)主嬲 叫， 8 王敏：几何函数理论中的一些新子类 对某个万( 万 o ( z e u ) ，如果q ( z ) 在u 上解析且g ( o ) = 办( o ) ，则 g ( z ) + j 器 办( z ) ( z u ) = ，g ( z ) 五( z ) ( z e u ) 引理1 2 1 6 设矗( z ) 为u 上的解析的凸函数且单叶，w ( z ) 在u 上解析且满足 r e w ( z ) 0 ( z u ) ，如果q ( z ) 在v 上的解析且q ( o ) = 办( o ) ，则 q ( z ) + w ( z ) z q ( z ) 乃( z ) ( z u ) jq ( z ) h ( z ) ( z u ) 引理1 3 1 7 令口 1 ，f ( z ) r ( 口) ，g ( z ) s + ( 口) ，则对于u 上的任一个解析函 数f ( z ) ，有上孕( u ) c 历( f ( u ) ) ， ( 1 2 1 ) 其中( f ( u ) ) 表示f ( u ) 的凸闭包 王敏：几何函数理论中的一些新子类 1 3 函数类的包含关系 定理1 1i 发h ( z ) p 且满足 i 沁 乃( z ) ) o ) ( 1 3 1 ) 如果厂( z ) 础( g ，j ，瞒+ 1 ；向) ，厶，。( g ，s ，q ；z ) o ( z d ) 贝l jf ( z ) 础( g ，s ，q ；办) ， 其中f p 女( g ，s ，呸；z ) p h ( 1 1 9 ) 式所定义的 证明设厂( z ) 础( g ，s ，+ 1 ；厅) ，则 一李粤导黑 办( z ) ( z u ) (132)1 矾。女( g ，s ，吼+ ；z ) 、 7 利用( 1 1 8 ) 与( 1 1 9 ) 式可得： ( + p ) ，。( q , s , a l ；z ) + 彰，。( q , s , 0 6 ；z ) = 导否k - i 彬彬旃。( q + 1 ) 厂( z ) 令q ( z ) = 一 = q ，i ( 9 ，s ，口。+ 1 ；z ) 形，。( g ，s ，a t ；z ) p f ，。( g ，s ，q ；z ) ( 厂( z ) p ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 则g 【z j 在u 上解析且g 【o ) 2 1 由( 1 3 3 ) 与( 1 3 4 ) 瓦口j 得： l , k ( 州z ) g ( z ) = 一堕p 厶，tq , s , a i + 地) + 警f p 如；z ) ( 1 3 5 ) 对( 1 3 5 ) 式两侧微分可得： 北，+ 离一烈筹嵩 3 由( 1 3 2 ) 式可得： 北) + 羔“ ( 1 3 7 ) 由( 1 3 1 ) 式及引理1 1 可得：g ( z ) _ 办( z ) ，即厂( z ) 础( g ，j ，q ；向) 在定理1 1 中取尼= 1 ，办( z ) = 笔老( 一1 b 彳1 ) 则可得： 推论1 1 设彳，b 满足一1 b 彳1 ，五i + 百a 。) ，则 q 。( g ，s ，q + 1 ；么，b ) cq 。( g ，s ，a q ；a ，b ) 扬州大学硕士学位论文 1 2 _ 一 定理1 2i 发h ( z ) p 且满足 r e 办( z ) ) o ) ( 1 3 8 ) 如果 s ( z ) k 础( g ，s ，q + 1 ；办) ， 对应的 g ( z ) 硝( g ，s ，+ 1 ；办) ， 且 g p ，。( g ，s ，q ；z ) 0 ( z d ) 则f ( z ) k p ，。( g ，j ，；办) ，其中g 础( g ，s ，q ；z ) 如( 1 1 9 ) 式所定义的 证明f j 之f ( z ) k p ，。( g ，s ，+ 1 ；乃) ，即 一二兰乏生今凳熙 乃( z ) ( z u ) ( 1 3 9 ) p g 础【g ，s ，q + 1 ；z ) 、7 其中g ( z ) 时( g ，s ，+ 1 ；办) ， 由定理1 1 可矢hg ( z ) 础( g ，s ，a l ；h ) ，即 缈( z ) = 一i z g i p ：, k i ( 鬲q j , s 丽, c q ；z ) 乃( z ) ( z e u ) 从而r e 删小掣 令g ( z ) = 一j 嬲( z u ) ( 1 3 。1 0 ) ( 1 3 1 2 ) 贝l j q ( z ) 在u 上解析且g ( o ) = 1 利用( 1 3 3 ) 式可得： 。q , s , c t i ；z ) g ( z ) = 号如( q , s , a i + l ；z ) + ( 1 + 詈b ( q , s , a l ；z ) 3 ) 对( 1 3 1 3 ) 式两侧微分可得： g c z ，+ 嵩= 一主差毫粼c z u ， 由( 1 3 9 ) 式得： g ( z ) + 揣 厅( z ) ( z e u ) ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) 利用( 1 3 1 1 ) 与( 1 3 1 5 ) 式及引理1 2 可得g ( z ) _ 乃( z ) ( z u ) i 玫f ( z ) 巧，。( g ，s ，q ；办) ，对应的g ( z ) 硝( g ，j ，o q ；h ) 在定理1 2 中令k = 1 ，则可得： 推论1 2 设办( z ) p 且满r e 乃( z ) 。) ，则 王敏：几何函数理论中的一些新子类 一三墨雪船 办c z ，j 一三墨榴 办c z ，。 1 3 其中g ( z ) p ，1 ( g ，s ，+ l ；办) 定理1 3 设办( z ) p 且满足 r e 办( z ) ) o ) ， ( 1 3 1 6 ) 则k p ，女( 1 7 2 ；q ，s ，c f i ；h ) c 巧，( r l ；q ，j ，c r l ；h ) ( 0 7 7 1 7 7 2 ) 证明 对于f ( z ) k p ，女( r 2 ；q ，s ，c r l ；h ) ，则存在g ( z ) 硝( g ，s ，c t l ；h ) 满足 g p ，女( g ，s ，q + 1 ；z ) 0 ( z d ) 使得： 一刁：主鼍毫嬲一( 一刁：) 主嬲 办( z ) ( z e u ) c l 3 - 7 ) 由g ( z ) 础( g ，s ，q ；办) ，即 矽( z ) = 一毒嬲 办( z ) ( z e u ) ， 从而由( 1 3 1 6 ) 式可得： r e 缈( z ) 1 + 了r e ( t z l ) ( z u ) 设q ( z ) = 一 彰，( g ，j ，口l ；z ) p g 时( g ，s ，；z ) ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) ( 1 3 2 0 ) 贝l j q ( z ) 在u 上解析且g ( o ) = 1 利用( 1 3 3 ) 式可得： 跏( 州z ) g ( z ) 2 号“ 确+ 1 ；z ) + 学“ 州z ) ( 1 3 2 1 ) 对( 1 3 2 1 ) 式两侧微分可得： g ( z ) + 羔= 一 由( 1 3 2 2 ) 式及( 1 3 1 7 ) 式易得： 彤，。( g ，s ，q + 1 ；z ) p g 砧( g ，j ，a l + 1 ；z ) 。 ( 1 3 2 2 ) g(z)+：_：rlj2丽zq(z)=一刀：主鼍量渊+(一叩：)g(z) = 一仍看喜嬲一c 一，办，主躺 办c z ， c ，3 2 3 ， 扬州大学硕士学位论文 故由( 1 3 1 9 ) 与( 1 3 2 3 ) 式及引理1 2 可得 g ( z ) _ h ( z ) ( z u ) 因为o 丑 1 ，乃( z ) 为u 上为解析凸函数并且单叶，从而 7 7 2 一编二p z g 毫渊一( 1 一硗) 二p 期g吖1 时( 蚋q + 1 ；z ) 、一九7p ，( g ，s ，q ；z ) = 卺 一刁：主詈蹦一c 一班， _ h ( z ) ( z u ) 所以，i ( z ) k p ，。( r l 。；q ，s ，；办) 一zfpp,k，。_(。qg,，sj,，aql；zz)，1pgl + ( ，一卺) g ( z )础l g ，j ，q ；z ，ll7 7 2 u 7 ( 1 3 2 4 ) 于敏：几何函数理论中的一些新子类 1 4 一类积分算子 定理1 4 设办( z ) p 且满足 r e 办( z ) ) o ) 如果厂( z ) 时( g ，j ，；j i z ) ，贝l jg ( z ) 时( g ，s ，q ；厅) ，其中g ( z ) 定义如下： g ( z ) = 刍r p - 1 巾) a t 这里假设绵，。( g ，s ，0 6 ；z ) 0 ( z d ) 证明设厂( z ) 础( g ，s ，q ；办) ，由( 1 4 2 ) 式易得： 召二，t ( g ，s ，；z ) = 兄厶，( g ，s ，口l ；z ) 一( 力+ p ) g p ，( g ，s ，o t ，；z ) 令q ( z ) = 一 召；，。( g ，j ，喁；z ) p g 础( g ，s ，q ；z ) ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 贝, l j q ( z ) 在u 上解析且g ( o ) = 1 利用( 1 4 3 ) 与( 1 4 4 ) 式可得： “州z ) g ( z ) = 弓，七( q , s , a 6 ；z ) + 等跏( q , s , g l ；z ) ( 1 4 5 ) 对( 1 4 5 ) 式两侧微分化简得： 北) + 端一 i 扫f ( z ) 础( g ，s ，q ；办) 得： 衫，。( g ，s ，喁；z ) 斫，。( g ，s ，a l ；z ) ( 1 4 6 ) g ( z ) + 端 矗( z ) ( z u ) ( 1 4 7 ) 由( 1 4 1 ) ( 1 4 7 ) 式并利用引理1 1 得：g ( z ) h ( z ) ( z u ) ， 即g ( z ) 础( g ，s ，q ；乃) 在定理1 4 i 仅k = 1 ，而( z ) = 而l + a z ( 一1 b 么1 ) 则可得： 推论1 3 设彳，b 满足一1 b 。) ( 1 4 8 ) 如果厂( z ) 肚( g ，s ，q ；办) ，则由下式给出的g ( z ) 属于础( g ，s ，a j ；h ) ， g ，。( q , s , t z l ；z ) = ( z - 石旯+ p f ，五+ p 一1 ( ，。( q , s , a l ；z ) ) 卢衍 万 ( 4 9 ) 证明令q ( z ) = 一 召：，( g ，s ，o t l ；z ) p g 础( g ，s ，q ；z ) 贝l j q ( z ) 在u 上解析且g ( o ) = 1 由( 1 4 9 ) 式可得： c 旯+ p ，一p g c z ，= 兄( 嬲 卢 对( 1 4 1 1 ) 式两侧取对数再微分得： 心) + 篇一 z f ；，。( g ，s ，5 1 ；z ) 斫，。( ，c t 。；z ) 由( z ) 础( g ，s ，c t l ；h ) ，则 m ) + 蔫叫z ) 由( 1 4 8 ) 及引理1 1 可得 q ( z ) _ h ( z ) ( z u ) 所以，g ( z ) 础( g ，s ，a q ；h ) 下面定理的证明类似于定理1 2 与定理1 4 ，故省略 ( 1 4 1 0 ) ( 1 4 1 2 ) ( 1 4 1 3 ) ( 1 4 1 4 ) 定理1 6 设办( z ) p 且满足r e 乃( z ) ) 。) ，如果 厂( z ) x p ，。( g ，s ，a l ；h ) ，对应的g ( z ) 础( g ，j ，嘶；办) ，则下式给出的f ( z ) 属于 k p , k ( g q ；乃) 其中f ( z ) = 【_ r t a + p - , f ( ，) d r ，对应的g ( z ) = 二z 2 l + pr t a + p - l g ( r ) 衍 这里q ，。( g ，s ，；z ) o ( z d ) ，其中g p ，。( g ，s ，c r 。；z ) 如( 1 1 9 ) 式所定义的 王敏：几何函数理论中的一些新子类 1 5 卷积性质 定理1 7 设乃( z ) p 且满足 r e 办( z ) ) + 警( z 啪剐) 如果( z ) p ，( g ，s ，c r l ；h j ，g ( z ) z p r z ，”g ( z ) r ( 万) ( 万 1 ) ， 则( 厂木g ) ( z ) 础( g ，5 ，q ；乃) 证明令厂( z ) 础( g ，s ，；办) ，设w ( z ) = z p + l ，。( g ，s ，a l ；h ) 则f ( z ) = 一主嬲 办( z ) ( z e u ) 且f ( z ) 在u 上解析，f ( o ) = 1 由( 1 5 3 ) 得： 鬻训矧- 万( z 叩口 w ( z ) s ( 6 )( 6 1 ) 令g ( z ) = ( f 木g ) ( z ) 易得： ( 1 5 1 ) ( 1 5 2 ) ( 1 5 3 ) ( 1 5 4 ) ( 1 5 5 ) ( 1 5 6 ) z 川q ，。( ，o r l ；z ) = ( z p + i g ( z ) ) 木( 2 川厶，。( ，t z l ；z ) ) ( 1 5 7 ) z 胛q ，。( ，q ；z ) = ( z 川g ( z ) ) 枣( z p + 2 如t 。( g ，s ，q ；z ) ) ( 1 5 8 ) 利用( 1 5 3 ) ( 1 5 4 ) ( 1 5 7 ) 及( 1 5 8 ) 式可得： 伊c z ，= 一主嬲= 一三芒三妻毒 云务萼 三糊 一( 矿1 9 ( z ) ) 奉( w ( z ) 7 p ) ) ( 1 9 ( z ) ) 木w ( 2 ) ( z u ) ( 1 5 9 ) 由h ( z ) 为u 上的凸函数并且单叶，由( 1 5 2 ) ( 1 5 3 ) ( 1 5 6 ) ( 1 5 9 ) 及引理1 3 得：伊( z ) _ h ( z ) ( z u ) ( 1 5 1 0 ) 所以，( 厂木g ) ( z ) 础( g ，s ，q ；办) 扬州大学硕士学位论文 堡 对于万= 0 ，万= i 1 定理1 7 可简化为下列推论， 推论1 4 设g ( z ) ez p ，h ( z ) ep 满足下面的条件： ( 1 ) z p + 1 9 ( z ) 为u 上的凸函数并且单叶， e l r e h ( z ) ) 1 + i 1 ( z e u ) ；或 ( 2 m + l g ( z ) “且r e ) ) 1 + 瓦1 ( z u ) 如果厂( z ) 时( g ，s ，q ；办) ，则( 厂枣g ) ( z ) 硝( g ，j ，a a ；h ) 下面的定理1 8 与定理1 7 的证明类似，故省略 定理1 8i 发h ( z ) p 且满足 r e h ( z ) ) l + 半( z u ；万 1 ) ( 1 5 1 1 ) 如果厂( z ) k p ，。( g ，s ，q ；办) ，对应伊( z ) ez 础( g ，s ，；办) g ( z ) p 满足z p “g ( z ) r ( 6 ) ( 万 1 ) ( 1 5 1 2 ) 则( 木g ) ( z ) k p ，。( g ，j ，q ；办) ，对应( 伊木g ) ( z ) p ，t ( g ，j ，q ；办) 推论1 5 满足下面的条件 ( 1 ) z 川g ( z ) 为u 上的凸函数并且单叶，且r e 办( z ) ) 0 ( 歹= 1 ，2 s ) ，0 b 1 首先给出形如( 1 1 1 2 ) 式的厂( z ) 属于q ；( g ，s ，q ；彳，b ) 的充分必要条件 定理1 9 设厂( z ) e p 形如( 1 1 1 2 ) 式，贝j j f ( z ) q ；( g ，j ，口，；彳，b ) 的充分必要 条件为 r 肿p ( 口。) ，z ( 1 一b ) + p ( 1 一彳) i | p ( 彳一b ) ( 1 6 1 ) 其中 叫咖嚣揣( 聊) ( 1 6 2 ) 当( z ) = z p + i ：= = 弋乙了匝盖等 兰z ”( 刀= p ，p + 卜；p ) c l 6 3 ) 时，结论是精确的 由 硼酬小吲q , s , a l ；a , b 灿。甏躺磐 0 ，从而当z 在实轴上取值时，分母总为正数在 ( 1 6 6 ) 式中令z 沿实轴趋向于1 - ，则有 f 。+ p ( q ) ( 挖+ p ) i i p ( 彳一b ) + f 。+ p ( q ) ( b 聆+ 却) 1 1 ( 1 6 7 ) n = pn = p 即r 。p ( 口。) 刀( 1 一召) + p ( 1 一彳) i f p ( 彳一b ) n = p 反之，若不等式( 1 6 1 ) 式成立，则在( 1 6 5 ) 式中取h = 1 ，则 f 唧( q ) ( 珂+ p ) 川 兰旦= 一1 一 p ( 彳一b ) + r 。+ p ( 口。) ( 砌+ 却) 1 i n = p ( z a u = z ：z c ，i z i - 1 ) ( 1 6 8 ) 由最大模原理得厂( z ) q ；( g ，s ，口。；么，b ) 易证函数( 1 6 3 ) 为极值函数从而定理得 证 推论1 6 设厂( z ) p 形如( 1 1 1 2 ) 式，如果( z ) q ；( g ，s ，c r j ；a ，b ) ，则 1i亍：=：1ji习；孑舌罢(，z 2 p ，p + 1 ，；p ) 其中r ( q ) 的定义如( 1 6 2 ) 式，当厂( z ) p 形如( 1 6 3 ) 式时，等号成立 下面我们给出q ：( g ，s ，q ；彳，b ) 的偏差性质 定理1 1 0 设( z ) q ；( g ，s ，口。；彳，b ) ，如果 e 为非降数列，则 ，一p 一p ( - = a 二_ - b ) ，p i 厂( z ) q r ，一p + 竺( 丝二皇! ，p ( 0 h = ， 1 ) ( 1 6 9 ) 王敏：儿何函数理论中的一些新子类 其e ec = r 肿p ( a i ) n (