（应用数学专业论文）基于arcgis固体矿产储量估算系统.pdf

摘要 基于a r c g is 固体矿产储量估算系统 作者简介：谢箭，男，1 9 8 2 年1 2 月生，师从成都理工大学郭科教授， 2 0 0 8 年6 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。 摘要 地质统计学是固体矿产储量估算的基础，并已发展成为储量估算的行业标 准，以地质统计学为核心的固体矿产储量估算软件是近年来固体矿产储量估算领 域的研究的热点问题。 本文首先介绍了地质统计学的基本理论以及组件式g i s 的技术，然后详细介 绍了基于a r c g i s 储量估算系统的开发与实践。g i s 的技术优势，不应只局限于 空间数据采集、存储、管理、显示与输出一体的数据流程，更应体现在其信息综 合、空间分析、预测预报和辅助决策能力上。将地质统计学的分析方法与g i s 软 件包相链接，将地质统计学方法融合为g i s 的空间分析方法，只有这样地理信息 系统在地质统计学技术的补充下，才能更好的为决策提供依据。为此本文利用 觚g i s 平台，借助于其强大的空间分析功能，采用组件式技术编写了固体矿产 储量估算系统，并以驱龙多金属矿数据资料为依据，计算出了驱龙铜钼矿的资源 量，与s d 软件计算出的结果对比，充分说明了该系统的可行性。 本文给出了钻孔的空间分布图、矿体的空间形态、铜钼矿空间品位变化图、 铜矿品位一吨位关系图，以及最后的铜钼矿储量估算结果。 关键词：储量估算，a r c g i s ，空间分析，组件技术 成都理工大学硕士学位论文 b a s e do na r c g i ss o l i dm i n e r a lr e s e r v e se s t i m a t i o ns y s t e m i n t r o d u c t i o no fm ea l l t h o r ： x i e j i a l l ，m a l e ，w 嬲b o mi nd e c ，19 8 2w h o s et u t o r w a sp r o f e s s o rg u o k e h eg r a d u a t e d 丘o mc h e n g d u u n i v e r s i t ) ，o f1 e c h n o l o g yi i l m a t l l e m a t i c a lo f 叩i p l i c a t i o nm 句o ra n dw a sg r a i l t e dt 1 1 em a s t e rd e g r c ei i lj u n e ，2 0 0 8 a b s t r a c t g e o s t a t l s t l c ss o l i df o u n d a t i o ne s t i m a t e d 耐n e r a lr e s e r v e s ，a n di th 醛d e v e l o p e d 抽t 0t l l ei i l du s _ n ys | 咖1 d a r df o re s t i m a t i n gr e s e r v e s ，g e o s t a t i s t i c st om a n ya s 1 ec o r eo f 也es o l i dm i l l e r a lr e s e r v e se s t i m a t e sa n d 恤d e v e l o p m e mo fs o r w a r e 咖蹦l y m a ：t l l r e i nt h i s p 印e r ，n l eg e o s t a t i s t i c s ，a n dt h eb a s i ct h e o r y o fg i st e c l l n 0 1 0 醪 c o m p o n e n t ，锄dm e nd 删l so fm ee s t i m a t e dr e s e r v e sb a s e do na r c g i ss y s t e m d e v e l o p m e n ta n dp r a c t i c e g i ss u p 硎o r i t yi 1 1t e c h n o l o g y ，n o to i l l yi ns p a t 词d a t a a c q u i s i t i o n ，s t o r a g e ，m 锄a g e m e n t ，d i s p l a ya n do u t p u to fd a t an e 笋a t i o np r o c e s s ， m o r ci n f o m a t i o ns h o u l d b e r e n e c t e di ni t s c o m p r e h e n s i v e ，s p a t i a la 1 1 a i y s i s ， f 0 r e c a s t i n ga n dd e c i s i o ns u p p o r tc a p a b i l “i e s g e o l o g i c a lm e t l l o d sa n ds t a t i s t i c a l a n a l y s i ss o 行w a r ep a c k a g eg i sl i i l k ，g e o s t a t i s t i c sg i si n t e g r a t i o no fs p a t i a la i l 2 l l y s i s m e 也o d s ，也eo i l l yw a yg e o 铲a p l l i ci 芏1 f 0 珊a t i o ns y s t e mt e c h n o l o g yi i lt h e s u p p l e m e n t a 巧g e o 蛐l t i s t i c s ，a i i dt 0b e t t e rp r 0 v i d et h eb 嬲i sf o rd e c i s i o n - m a 虹n g t l l i s p 印e rl l s i n g m c g i sp l a t f 0 珊w i mi t sp o w e r f h l s p a t i a la n a l y s i s 劬c t i o i l s ，t l l e p i e p a r a t i o no fat e c h i l i c a lc o n l p o n e n to fs 0 1 i dm i n e r 甜r e s e r v e se s t i m a t e s ，a n dq u l o n g p o l 肿e t a l l i cm i l l ed a t aa st h eb a s i s ，c a l c u l a t e dt l l eq u l o n gc o p p e ra i l dm o l y b d e i m m m i i l ea b u n d 趾c e ，a n ds ds o 砸ec a l c l l l a t e d 也er e s m t s o fc o m p a r i s 呱f h l l y d e m o 璐仃a t e dm ef c a s i b i l 毋o ft h es y s t e m 1 蛔聊o r d s ： r e s e r v e se s t i m a ：t e s ，a r c g i s ，s p a t i a la n a l y s i s ，c o m l ) o n e n tt e c h i l o l o 野 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑理王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：泽岛 学位论文版权使用授权书 r 月咖日 本学位论文作者完全了解盛整理王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛都理王太堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：物 学位论文作者导师签名： 年 s 勇 日 第1 章绪论 第1 章绪论 随着各行各业对g i s 的广泛应用，人们越来越希望在一个统一的g i s 软件包 界面下同时完成各种各样的空间分析，因此将传统的空间分析方法与g i s 相结合 一直受到关注。当前g i s 技术的发展已经走过了以空间数据为中心的应用阶段， 逐步进入以决策支持为特征的应用时期。g i s 的技术优势，不应只局限于空间数 据采集、存储、管理、显示与输出一体的数据流程，更应体现在其信息综合、空 间分析、预测预报和辅助决策能力上。将地质统计学的分析方法与g i s 软件包相 链接，将地质统计学方法融合为g i s 的空间分析方法，只有这样地理信息系统在 地质统计学技术的补充下，才能更好的为决策提供依据。利用三维地质建模与可 视化技术进行固体矿产储量估算是一个较复杂的系统工程，是根据勘查工程获取 的信息对矿床的矿体形态、矿石质量、品位、伴生元素分布、矿石量、金属量进 行科学的估算。 1 1 研究背景 利用计算机信息技术提升和改造传统的地质矿产勘查技术水平，对于提高矿 产储量估算和管理的智能化和自动化水平，提高工作效率，具有重要意义。随着 计算机图形学技术、三维g i s 技术和数据库技术的迅猛发展和日渐成熟，将三维 g i s 技术、三维地质建模及可视化技术与固体矿产储量估算相结合，形成先进实 用的储量估算软件是目前国内地学信息研究的重要方向之一。而矿山行业也迫切 需要一个集三维矿体建模及可视化、矿山信息管理等功能于一体的三维g i s 应用 软件系统。 驱龙斑岩铜钼矿床位于世界主要斑岩铜矿成矿域之一的特提斯喜马拉雅成 矿域的冈底斯c u 、m o 、p b 、z n 、a u 、f e 成矿带，大地构造位于冈底斯念青唐 古拉板片次级构造单元冈底斯陆缘火山岩浆弧之东段。冈底斯念青唐古拉板片 南界为雅鲁藏布江结合带，北界为班公湖怒江结合带。其独特的大地构造位置， 以及中生代以来南北两大板块之间裂离、俯冲、碰撞作用引起的强烈火山岩浆 活动和复杂的地质构造演化历程，造成了地球圈层间物质、能量交换，并伴随着 复杂的成矿作用。 驱龙铜( 多金属) 矿的矿体总体上为隐伏一半隐伏矿体。地表除在z k 7 0 1 与 z k 0 0 3 、z k 4 0 2 钻孔附近地段见矿化体出露外，其它地表未见矿化体出露。在 成都理工大学硕士学位论文 1 5 勘探线2 0 勘探线之间，沿平面、垂直方向上均连续为一体，矿体在深部形态 上为一不规则柱状体。 1 2 研究现状 地理信息系统( g i s ) 是2 0 世纪6 0 年代以来迅速发展起来的地理空间信息处 理技术，它以地理空间数据为基础，采用地理模型分析方法，实施提供各种空间 的动态的地理信息。现已涌现出a r c i n f 0 ，t i g s ，s i c a d ，m a p i n f o 等一些有 代表性的软件。在这些软件中，三维地质实体或属性体以二维形式表示，即采用 具有矢量数据结构的点、线、多边形或具有栅格数据结构的像素来表示：地形模 型以网格表示，以数字高程模型d e m 处理第三维坐标一高程坐标；专题图被数 字层代替，借助数字联合记录和计算机辅助叠置分析，可以有效地改进不同专题 图的空间分析；利用拓扑和属性信息完成查询、搜索、空间分析等操作。现实世 界中的地物一般是三维实体，即在高度、宽度以外还具有深度信息，如果能把深 度信息表示出来，则将大大增强图像图形的真实感，丰富内涵信息。随着g i s 应 用研究的深入，地学空间的二维信息的局限性日益显现出来，诸如采矿、地质、 石油等领域越来越迫切的需要从真三维空间分析处理问题。人们将三维地质信息 的表达称为三维地学模拟，它是由勘探地质学、数学地质、地球物理、矿山测量、 矿井地质、g i s 、图形图象学、科学可视化等学科交叉而形成的一门新学科。1 9 9 4 年6 月，d y n 锄i cg h p l l i c s 公司推出了e a d t l l v i s i o n 2 o 空间地质模型系统。儿c a n 软件是另一个真三维空间信息软件，广泛地应用于矿业环境与市政管理、三维空 间信息模拟、可视化及分析。软件的核心功能是：地质建模；矿业设计与规划； 矿业生产资源开采；地质统计学；地下水模拟。国外矿山地质储量三维分析软件 已形成了价格昂贵的计算机软件系统，如澳大利亚的见c a n 、美国的 d a t a m i n g 和e v i s i o n 等。中国目前尚无自主开创的产品，长此以往，将会在 该领域受到国外公司的牵制。现在勘探技术的发展以及g i s 数据库信息的积累， 使得地学空间信息( 点、线、面、体) 三维可视化成为地学信息研究的热点，也 是目前中国该方面发展的主要瓶颈，其在地质、采矿、地下空间利用的国计民生 重大领域中有着广泛的应用价值，具有及其重要的意义。 进入2 0 世纪8 0 年代以来，克里金估计技术的理论和应用得到了前所未有的蓬 勃发展。首先，它被广泛应用于采矿业，此外也被应用于农业、林业、水文、环 境保护、地质、地球物理和地球化学等部门和领域。国际矿业界也把地质统计学 作为矿山地质储量计算的标准方法，所有三维可视化软件都包括了地质统计学的 2 第l 章绪论 内容。 中国的数学地质专家在地质统计学储量计算方面也做了大量的工作，中国地 质调查局李欲伟研究员领导开发了，x 勘查评价储量计算软件，在地矿勘探工作 中得到应用。北京科技大学侯景儒教授也开发了三维地质统计学的程序。这些工 作完善了储量科学计算地质统计学方法，为我们的工作奠定了基础。因此，有必 要也有可能研究和开发中国自主产权、实用的地学空间信息三维计算机模拟与可 视化计算机软件系统。 1 3 主要研究内容 地质统计学理论自产生到现在已经历了几十年的发展，其在固体资源储量估 算领域的理论也已相当完善，所以本文主要从理解和运用的角度出发，以驱龙铜 多金属矿区资料为依托，以觚g i s 技术为手段，以克立格理论为基础，进行储 量估算实践。本文主要做的工作包括： 1 ) 基于觚西s 组件技术编写固体矿产资源储量估算系统。 2 ) 运用固体矿产资源储量估算系统对驱龙铜钼矿原始数据资料进行入库管理 以及数据分析。 3 ) 运用固体矿产资源储量估算系统对驱龙铜钼矿床数据进行变异函数分析。 4 ) 运用固体矿产资源储量估算系统对驱龙铜钼矿床数据进行克立格估值。 5 ) 运用固体矿产资源储量估算系统对驱龙铜钼矿床进行储量估算。 6 ) 绘制了矿区勘探线剖面图，品位吨位关系图等图件。 1 4 取得的主要进展和成果 本文采用觚g i s 组件技术编写固体矿产资源储量估算系统，借助于觚g i s 强大的空间分析功能，通过驱龙铜多金属矿的储量估算实例，计算出了驱龙铜钼 矿的资源量，并与s d 软件计算的结果对比，误差很小，证明了该系统的可行性 与有效性。 主要成果：矿山地形模拟图 铜矿矿体三维图 绘制了钻孔分布图 铜钼矿品位水平剖面图 成都理工大学硕士学位论文 部分勘探线品位纵剖面图 铜品位吨位关系图 铜钼矿储量估算结果 4 第2 章地质统计学的基本理论 第2 章地质统计学的基本理论 2 1 区域化变量 所谓区域化变量是指以空间点x 的三个直角坐标( x 。，z ，x 。) 为自变量的随机 场z ( x 。，x ，x 。) = z ( x ) 。当对它进行了一次观测后，就得到了它的一个现实z ( x ) ， 它是一个普通的三元实值函数或是空间点函数。区域化变量的两重性表现在：观 测前把它看成是随机场( 依赖于坐标( x 。，x ，x 。) ) ，观测后把它看成一个空间点函 数( 即在具体的坐标上有一个具体的值) 。 g 马特隆定义的区域化变量是：一种在空间上具有数值的实函数，它在空 间的每一个点取一个确定的数值，即当由一个点移动到下一个点时，函数值是变 化的。 从地质及矿业角度看，区域化变量具有以下几种属性： ( 1 )空间局限性。区域化变量被限制于一定空间( 例如矿体范围内) ， 该空间称为区域化的几何域。区域化变量是按几何支撑定义的。 ( 2 )连续性。不同的区域化变量具有不同程度的连续性，这种连续性是 通过区域化变量的变异函数来描述的。 ( 3 )异向性。当区域化变量在各个方向上具有相同性质时称为各向同 性，否则称为各向异性。 ( 4 )区域化变量在一定范围内呈现一定程度的空间相关，当超过这一范 围之后，相关性变弱以至消失，这一性质一般的统计方法很难识别， 但对地质采矿十分有用。 ( 5 )对于任一区域化变量而言，特殊的变异性可以叠加在一般的规律之 e 。 2 1 1 变异函数与协方差 1 变异函数( v a r i o g r a m ) 在一维条件下变异函数定义如下：当空间点x 在一维x 轴上变化时，把区域 化变量在x 与x + 办处的值z ) 与z + 乃) 的差的方差之半定义为区域化变量 z ) 在x 轴方向上的变异函数，并记为，( x ，办) ： 1 y ( x ，乃) = p ，口， z ( x ) 一z ( x + 办) 】 z 11 = 去研z ( 功一z ( x + 厅) 】2 一妄 研z ( x ) 卜研z ( x + 办) 】2 ( 2 1 ) 5 成都理工大学硕士学位论文 在二阶平稳假设下，有： e 【z ( x + 办) 】= e 【z ( x ) 】 v办 于是，式2 1 改写成下式： 1 y ( x ，办) = e z ( x ) 一z ( x + 办) 】2 ( 2 - 2 ) 从式( 2 2 ) 知：变异函数依赖于两个自变量x 和办，当变异函数，( x ，乃) 与位 置x 无关，而只依赖于分隔两个样品点之间的距离办时，则7 ( x ，办) 可改写为，( 乃) ： 1 7 ( 办) = e z ( x ) 一z ( x + 办) 】2 ( 2 3 ) z 2 协方差函数( c o v a r i a n c e ) 当随机函数中只有一个自变量x 时称为随机过程，而随机过程z ( f ) 在时刻 及厶处的两个随机变量z ( f 1 ) 及z ( ，：) 的二阶中心混合矩定义为随机过程的协方差 函数： c d 订z ( f ，) ，z o ：) 】= e 【z ( f 1 ) z 0 2 ) 卜研z ( f 1 ) 】e z ( r 2 ) 】 ( 2 - 4 ) 当随机函数依赖于多个变量时，z ( x ) = z ( x 。，x ，x 。) ，称为随机场。而随机场 z ( x ) 在空间点x 与x + 办处的两个随机变量z ) 与z + 办) 的二阶中心混合矩定 义为随机场z ( x ) 的自协方差函数： c d z ( 五) ，z ( x + 办) 】= e 【z ( x ) z ( x + 办) 卜e 【z ( x ) 】e z + 1 1 ) 】 ( 2 - 5 ) 协方差函数一般依赖于空间点x 和向量办。 当式( 2 5 ) 中办= 0 时，则协方差函数变为： c - d v z ( x 1 ) ，z ( x + 0 ) 】= e z ( x ) 】2 一 e z ( x ) 】 2 即等于先验方差函数脚【z ( x ) 】，当其不依赖于x 时，简称方差，从而有： 玩r 【z ( x ) 】= e 【z ( x ) 】2 一 e z ( x ) 】 2 ( 2 - 6 ) 2 1 2 平稳假设及内蕴假设 在地质统计学研究中是用变异函数表示矿化范围内区域化变量的空间结构 性的，要用式( 2 2 ) 计算变异函数时，必须要有z ( x ) ，z ( x + 办) 这一对区域化变 量的若干实现，而在实际工作中( 尤其是地质、采矿工作中) 只有一对这样的实 现，即在x x + 办点只能测得一对数据，也就是说，区域化变量的取值是唯一的， 不能重复的。为了克服这个困难，提出了如下的平稳假设和内蕴假设。 1 平稳嘲曼设( s t a t i o n a r ya s s u m p t i o n ) 设一随机函数z ，其空间分布规律不因平移而改变，即若对任一向量办， 关系式： g ( z l ，2 2 ，x l ，勘，) = g ( z l ，z 2 ，x l + 办，x 2 + 办，) 成立时，则该随机函数z 为平稳随机函数。确切的说，无论位移向量办多大，两 个七维向量的随机变量 z ( x 1 ) ，z ( x 2 ) ，z ( 吒) ) 和 z ( x 。+ 乃，z ( x 2 + 办) ，z ( k + 而) 有相同的分布律。通俗地说，在一个均匀的矿化带内，z ) 与z + 办) 之间的相 关性不依赖于它们在矿化带内的特定位置。这种平稳假设至少要求z ( x ) 的各阶 矩均存在且平稳，而实际工作中却很难满足。在线性地质统计学中，我们只需假 设其1 、2 阶矩存在且平稳就够了，因而提出二阶平稳或弱平稳假设。 当区域化变量满足下列两个条件时，称该区域花变量满足二阶平稳： 6 第2 章地质统计学的基本理论 ( 1 ) 在整个研究区内，区域化变量z ( x ) 的期望存在且等于常数： e 【z ( x ) 】- 朋( 常数) vz ( 2 ) 在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函数存在且平稳： c d v 【z ( x ) ，z ( x + 忍) 】= e z ( x ) z ( x + 办) 卜朋2 = c ( ) v 工v 厅 当办= o 时，上式变成： 多碲【z ) 】_ c ( 0 ) vx 即它有有限方差。 上述各式中c d l ，( ) 及c ( ) 表示协方差，哳( ) 表示方差。 协方差平稳意味着方差及变异函数平稳，从而有关系式： c ( 办) = c ( 0 ) 一y ( 办) ( 2 7 ) 2 内蕴假设( i n t r i n s i ca s s u m p t i o n ) 在实际工作中，有些协方差函数不存在，因而没有有限先验方差，即不能满 足上述的二阶平稳假设，例如一些自然现象和随机函数，他们具有有限离散性， 即无协方差及先验方差，但却有变异函数，这时，我们可以放宽条件，如只考虑 品位的增量而不考虑品位本身，这就是内蕴假设的基本思想，当区域化变量z ( x ) 的增量z ( x ) 一z 伍+ 厅) 满足下列两个条件时，称该区域化变量满足内蕴假设： ( 1 ) 在整个研究区内，随机函数z ( x ) 的增量z ( x ) 一z + 厅) 的数学期望为 o ： e 【z ( x ) 一z ( x + j l z ) 】= o vx ，v 厅 ( 2 ) 对于所有矢量的增量z ( x ) 一z o + 乃) 的方差函数存在且平稳，即： y 撕【z ( x ) 一z ( x + 办) 】= e z ( x ) 一z ( x + 办) 】2 = 2 7 ( x ，办) = 2 y ( 办) vx ，v 办 即要求z ( z ) 的变异函数y ( 办) 存在且平稳。 内蕴假设可以理解为：随机函数z ( x ) 的增量z ( x ) 一z + 厅) 只依赖于分 隔它们的向量厅( 模和方向) 而不依赖于具体位置x ，这样，被向量分割的 每一对数据【z ) ，z + 厅) 】可以看成是一对随机变量 z ( 工。) ，z o ：) ) 的一个不 同实现，而变异函数y ( 办) 的估计量7 。( 7 2 ) 是： 1i 塑) 7 ( 炉赢挈z ( t ) 乇( p 纠2 q 。8 式中，( 乃) 是被向量厅相分隔的实验数据的对数。 如果随机函数只在有限大小邻域( 例如以口为半径的范围) 内是平稳的( 或 内蕴的) ，则称该随机函数服从准平稳( 或准内蕴) 假设，准平稳或准内蕴假设 是一种折中方案，它既考虑到某现象相似性的尺度( s c a l e ) ，也顾及到有效数据 的多少。实际工作中，可以通过缩小准平稳带的范围6 而得到平稳性，而结构函 数( 协方差或变异函数) 只能用于一个限定的距离6 ，例如界限6 为估计邻 域的直径，也可以是一个均匀带的范围，当 6 时，区域化变量z ( x ) 和z + 办) 就不能认为同属一个均匀带，这时，结构函数c ( 办) 或7 ( 办) 只是局部平稳的，所以， 我们把只限于6 范围内的二阶平稳称为准平稳，把只限于6 范围内的内 蕴称为准内蕴。显然平稳假设和内蕴假设可以理解为一种相对的概念。 7 成都理工大学硕士学位论文 2 1 3 估计方差 任一估计方法，由于估计时所采用样品与被估计块段的大小并非严格相等， 从而使被估块段的实际值与估计值不同，即产生了估计误差，一个储量估算方法 的可靠程度就是根据该方法所包含的误差大小来衡量的。最好的估计方法应该是 误差最小的方法。 设有一个矿床被分成大小相等的以x 瓜= l ，2 ，) 为中心的个块段，令每 一块段的实际品位为z ( x ，) ( 扛1 ，2 ，) ，而用某种方法估计出z ( t ) 的估计品位 为z + ( x 从江1 ，2 ，) ，这时就有估计误差： 即 尺( x ，) = z ( x 。) 一z ( x f )( f = 1 ，2 ，) 可以证明，若z ( x ，) 是二阶平稳的话，尺( x ，) 也是二阶平稳的，因而 研尺( x 。) 】聊e + ( 常数) 而且有有限方差，且平稳： 盯；= 砌札z ( d z ( x ) 】 = e 尺( x ) 】2 一朋；) 当然，我们总是希望估计方差的平均值与实际值的平均值相同，即： e 【r ( x ) 】= e 【z ( x ) 一z + ( x ) 】 = e 【z ( x ) 卜e z ( 功】= 聊一所= o 换句话说，不希望有系统误差( 即无偏性) 。 此外，我们总是希望上述大多数误差的绝对值要小一些，并且在某一确定值 周围波动，即估计误差的分布具有较小离散性： 仃；= y 咖 z ( x ) 一z ( x ) 】o 令z ( x ) 为一个二阶平稳的随机函数，其期望为朋，协方差为c ( 厅) ，变异函 数为，( 办) ，且只依赖于向量办。 经过推导，估计方差的计算公式如下： 盯；= 石( 矿，y ) + 否( 1 ，v ) 一2 石( 矿，1 ，) 上式可用平均变异函数表示如下： 盯；= 2 歹( 矿，) 一歹( 矿，矿) 一歹( 1 ，v ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 式( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 中c ( y ，) 及y ( y ，分别代表当矢量的两个端点各自独立 地扫描过待估域矿及信息域v 的协方差函数平均值及变异函数平均值；c ( v ，v ) 及 ，( 1 ，v ) 分别代表当矢量的两个端点各自独立地扫描过任两个信息域v 的协方差函 数平均值及变异函数平均值；c ( 矿，矿) 及厂( 矿，矿) 分别代表矢量两个端点各自独立 的在待估域y 扫过时的协方差函数平均值及变异函数平均值。 当估计量是加权平均值时，估计方差的公式可表示如下： 畦= 否( 矿，y ) + 以乃石( ，1 ，j ) 一2 否( 矿，v ，) ( 2 1 1 ) f = l ，= 1 i = l 式中的1 ，1 ，表示信息域，y 表示待估域，以，五，为v ，1 ，的权系数。 或 以= 2 丑歹( y ，v ，) 一歹( y ，y ) 一以乃- ( v ，_ ) ( 2 - 1 2 ) 8 2 1 4 离散方差 第2 章地质统计学的基本理论 令y 是以点x 为中心的开采面，并将其分成以x ，为中心的个大小相等的生 产单元v ( x 从f = 1 ，2 ，) 。 矿= 1 ，( 墨) = v 一 现在让我们把1 ，离散成若干个y 点，其品位为z ( y ) ，则每个以点x ，为中心的 单元v ( t ) 的平均品位是： z v ( 一) = 三f z ( y ) 咖 v ，( ) 以x 为中心的开采面y 的平均品位是： 显然，这个品位 方差表示： 1 ，( 班专善 地) - z 删2 的离散程度可用其 ( 2 1 3 ) 当x 固定，则z ，( x ，) 与乙( x ) 均为随机变量，而s 2 ( x ) 也是一个随机变量，从而可 以讨论它的数学期望。至此，我们可以定义离差方差如下：在区域化变量z ( y ) ( 点 品位) 满足二阶平稳假设条件下，把随机变量s 2 ( x ) 的数学期望定义为在开采面矿 内个生产单元v 的离差方差，记为d 2 ( v y ) ： d 2 ( v 矿) = 研s 2 ( x ) 】 或 d 2 ( v 矿) = c ( 1 ，v ) 一c ( y ， d 2 ( 1 ，y ) = 厂( y ，y ) 一c ( v ，1 ，) 9 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ) j 力 l r q 八 乙 z 值日哟 菇一 i i 它 砂 耐 、 9 纠 - 一， ， z ，一 ，乙 1 一矿 = = x “ 乙 乙 值 、， 2 o矿 z一 、，0瞳 。汹 一 ，i e = 到得 导推过经 成都理工大学硕士学位论文 2 2 变异函数结构分析 为了表征一个矿床中金属品位等特征量的变化，经典统计学通常采用均值、 方差等参数，这些统计量只能概括该矿床中金属品位等特征变量的全貌，却无法 反映其局部的变化特征。例如，方差是随机变量z ( x ) 与其均值聊之差的平方的 数学期望。方差大，表明z ( x ) 在该矿床中变化大。然而，方差却无法回答对于 矿产储量计算甚为重要的局部范围和特征方向上地质特征的变化。 地质统计学在经典统计学的基础上，充分考虑到地质变量的空间变化特征 相关性和随机性，并以反映地质现象区域化的随机函数变异函数作为工具，来 研究矿业中的各种问题。由于变异函数能反映区域化变量的空间变异结构，特别 透过其随机性反映区域化变量的结构性，因此，变异函数也称为结构函数( s 咖c 嘶 1 1 m c t i o n ) 。 2 2 1 变异函数及变异曲线 我们可以把一个矿床( 或矿带、或其它任何一个地质体等) 看成是空间中的 一个域矿( 图2 1 ) ，y 内的许多值则可以看成是矿内一个点至另一个点的变量值， 如图中z ，x + 办为沿x 方向被矢量厅分割的两个点，其观测值分别为z ( x ) 及 z + 厅) ，该两者的差值【z ( x ) 一z + 办) 】 或 z ( z ) 一z + 办) 】2 一o x 图2 1 域v 内的变量图 就是一个有明确物理意义( 地质意义) 的结构信息，因而可以看成是一个变量。 如果沿x 方向有被相同矢量办分割的许多对点时，即可得到上述一组差值， 而该差值的平方的期望即为变异函数： 2 7 ( 办) = e z ( x ) 一z ( x + 乃) 】2 vx 在内蕴假设下，上述期望值研z ( x ) 一z + 办) 】2 仅仅依赖于分割它们的距离h 和 方向口，而与所考虑的点x 在y 内的位置无关。因此，变异函数的定义明确如下： 变异函数是在任一方向口，相距例的两个区域化变量值z ( x ) 及z ( x + 办) 的增量的 方差，它是办及口的函数，其通式为： 2 7 ( 厅，口) = 胁【z ( x ) 一z ( x + 乃) 】 = e 【z ( x ) 一z ( x + 办) 】2 ) ( 2 - 1 7 ) 在连续情况下，式( 2 1 7 ) 写为： 1 2 以 ，口) = 吉i 【z ( x ) 一z o + 厅) 】2 出 ( 2 1 8 ) y 多 在离散情况下，式( 2 1 7 ) 写为： l o 第2 章地质统计学的基本理论 2 八吃叻2 南孕z ( 咿z ( 功】2 q 1 ” 上述各式左端的系数2 只是为了数学上推导的方便，通常将其移至右端，则以上 各式分别写成： 1 7 ( 办) = 去e z ( x ) 一z ( x + 办) 】2 1 厂( 功2 嘉j 瞄( 力一z o + i j i ) 】2 出 八功2 赢善 z j - z o j + 彬】2 式中的( 办) 是被向量j l z 相间隔的实验数据对的数目，而y ( 办) 称为半变异函数， 也称变异函数，通常我们所说的变异函数均为半变异函数。 在实践中，样品的数目总是有限的，我们把由有限实测样品值构成的变异函 数称之为实验变异函数( e x p 嘶m e i 砌v a r i o 舒锄) ，记为7 ( 办) ： 广q ) - 赢萎 z f ) - z f + 功】2 ( 2 - 2 0 ) 7 + ( 乃) 是理论变异函数值y ( 办) 的估计值。 c 。，蚴 r nh 图2 2 变异曲线图 变异函数一般用曲线来表示。它是一定滞后距办的变异函数y ( 厅) 与该办的对 应图，图2 2 是一个理想化的变异曲线图，图中的c n 称为块金效应( n u g g e te 虢c t ) ， 它表示办很小时两点间品位的变化；口称为变程( r 舭g e ) ，当乃口时，任意两点 间的观测值有相关性，这个相关性随乃的变大而减小，当办 口时就不在具有相 关性，口的大小反映了研究对象( 如矿体) 中某一区域化变量( 如品位) 的变化 程度，从另一个意义看，口反映了影响范围，例如可以用在范围口以内的信息值 对待估域进行估值。c + c 。称为总基台值，它反映某区域化变量在研究范围内变 异的强度，它是最大滞后距的可迁性变异函数的极限值，当办_ 时。 厂( o 。) = c ( 0 ) = 玩矿 z ( 石) = c + c j 即当办专o 。时，变异函数值接近于先验方差c ( 0 ) ，当无块金效应( 常数) c 0 时， c ( 0 ) = c ，当有块金效应时，c ( o ) = c + c 。；而c 称为拱高，它是先验方差与块 金效应( 常数) 之差：c = c ( 0 ) 一c n 。 尽管变异函数有助于解决一个矿床某区域化变量( 例如品位) 的变化特征及 成都理工大学硕士学位论文 结构性状，但它纯粹是一个数据的概括技术，当定量描述金矿床的特性时，有关 全矿床的变异结构还必须借助于推断，这个过程类似于用样品值构制直方图，再 从直方图推断全矿床的理论分布。如果已经绘制了实验变异曲线，那么，为了要 得到最后的结论，就必须给实验变异曲线配以相应的理论模型，这些理论模型将 直接参与克立格计算或其它地质统计学研究。 如同经典统计学那样，理论变异函数也仅仅由几个简单的模型构成。 1 球状模型 一般公式为： i o 办= o m ) = c o + c ( 黔。警口 像2 z ) 【c o + c 矗 口 该模型在原点处( 办= 0 ) ，切线的斜率为3 c 2 口，切线到达c 值的距离为 2 口3 。 c 2 、- 一 知 2 鹋ah 图2 3 切线达c 值的距离 对上述模型标准化后( 均值为o ，方差为1 ) ，这时陆【z ( x ) 】- y ) = l = c ， 式2 2 1 变成： m ，= 睁 办= 0 o 口 2 高斯模型 3 指数模型 由于本文只涉及使用球状模型，如需要其它类型，请查阅相关资料。 2 2 2 结构分析 当我们计算出实验变异曲线后，最好是用一种合适的理论变异函数y ( 办) 来拟 合它，然后就可以对所研究的区域进行分析。但是，在实际工作中区域化变量的 变化性很复杂，它可能在不同方向上有不同的变化性，或者，在同一个方向上包 1 2 第2 章地质统计学的基本理论 含着不同尺度上的多层次的变化性，因而无法用一种理论模型来拟合它，为了全 面的了解区域化变量的变异性，就必须进行结构分析。 所谓结构分析，就是构造一个变异函数模型对于全部有效信息作定量化的概 括，以表征区域化变量的主要特征。结构分析的主要方法是套合结构( n e s t 姗c t u r e ) ，所谓套合结构是把分别表现在不同距离办上和( 或) 不同方向口上同 时起作用的变异函数组合起来。 套合结构可以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表一种特定尺度 上的变异性，套合结构的表达式为： 7 ( 乃) = o ( ) + 7 l ( 啊) + + y ，( 吃) + + ( 2 - 2 6 ) 下边我们就一个方向上的套合结构和不同方向上的套合结构分别讨论。 1 一个方向上的套合结构 如前所述，套合结构中每一个变异函数代表一种特定尺度上的变异性，可以 是不同的模型的变异函数。例如某区域化变量在某一个方向上的变异性由 ( 办)死( 办) 及y ：( 办) 组成，( 办) 表示微观上的变化性，其变程口极小，可以近 似地看成纯块金效应： f0办：0 ( 办) 2 1c 。 厅 o 乃( 办) 代表矿层及岩层的交互现象，它可以用一个球状模型来表示，其变程为 口l 。 兀c ，： c - 哇每一吉c 鲁，3 ，。丢兰丢，口， 儿( 办) 可能表征矿化带的范围，也是一个球状模型，其变程为口：。 儿c 办，： c z c 詈 毒一三c 言，3 ， 。乏兰丢- z 于是，总的套合结构是： y ( 办) = 厂o ( 办) + 乃( 乃) + y 2 ( 办) 其中q 口，而具体表达式就是分段函数叠加表达式： 厂( 乃) = o c o + 兰c 导+ 鲁，乃一圭c 罟+ 鲁z 口la 2z 口i口i c 0 + c 1 + c 2 ( 三老一均3 ) c 0 + c l + c 2 办= 0 o 办口1 口l 口2 2 不同方向上的结构套合 以上讨论的是一个方向上各个结构的套合，当在几个方向上研究区域化变量 时，就必须研究各个方向上的变异函数或方差函数。 成都理工大学硕士学位论文 当一个矿化现象在各个方向上性质相同时称各向同性，反之称各向异性，它 表现在y ( 厅) 的不同方向上的差异。 ( 1 ) 各向异性的分类及其特征 各向异性按性质分为几何异向性及带状异向性两种。 1 ) 几何异向性( g e o m 嘶ca l l i s o 们p y ) 。当区域化变量在不同方向上能够表 现出变异程度相同而连续性不同时称为几何异向性，由于这种异向可以经过简单 的几何图形变换化为各向同性而得名。几何异向性具有相同的基台值c ( 设 g = 0 ) 而变程口不同。见图3 5 a ，不同方向上变异性之差可以用变程之比表示： k = 口l 口2 ( 2 - 2 7 ) k 称为各向异性比，它表示在儡方向上距方向上距离为办的两点间的平均变异程 度与在口，方向上距离为砌的两点间的平均变异程度相同。 a la 2h a 矿 a l a 2 h a l h a 2 b 图2 4 各向异性图 a 一几何各向异性；b 一带状各向异性 2 ) 带状异向性( z o n a ja i l i s o 仃o p y ) 。当区域化变量在不同方向上变异性之差， 不能用简单的几何变换得到时，就称为“带状异向性”，这时，7 ( 办) 具有不同的 基台c ( 图2 4 b ) 。带状异向性常出现在多层状矿区，由于矿层及夹层组成变化 显著，其矿化品位在垂直矿层面方向的变异要比沿矿层面方向大，因为在垂直方 向，除包含了与水平方向相同的那部分变异( 即各向同性部分) 外，还有在该方 向上特有的变异部分( 即异向性部分) 。设某矿区的一个区域化变量z ) 的变异 性归纳如下，沿矿层方向各向同性： 7 。( 1 办i ) = 厂( 蟛+ 彰) 垂直方向上的变异性为7 ( 办。) ，则由于多层性引起的变异性为： 儿( 九) = y ( ，) 一以( i 办i ) 从面垂直矿层方向的变异性为： 7 ( 办，) = 7 l ( 办) + y 2 ( 办。) 因此，垂直方向的变异性可以看成是各向同性部分与其余部分变异之和，其套合 结构是y ( 厅w ) = 7 l ( ) + y 2 ( k ) ，其变异图见图2 - 5 。 1 4 第2 章地质统计学的基本理论 图2 5 带状各向异性 图2 6 不同方向的变异函数 ( 2 ) 几何异向性结构的套合 我们以图2 6 和图2 7 为例来说明如何对几何异向性进行套合。若以方向 的变程口。为基础，则其余方向的变异与其相差的数值为：对于， k 1 = 口口。口q ；对于，k 2 = 口2 ；对于口3 ，k 3 = 口口嘞。把这些差 异引进理论模型中，就表现在矢量办的分量的差异上，考虑到图2 7 b 为一椭圆， 因此，只考虑长、短轴之间的差异，即和方向变异之差。 a 2 a l a j c a 一各向同性；b 一几何异向性；c 一带状异向性； 令瓯为材方向，为v 方向，且甜与v 相互垂直，这时，矢量办可以转换为： 矗= 瑶+ ( k l 办，) 2 引入变换矩阵 彳：1o l o 墨j 则 比州，= 三璇 当用球状模型拟合时，可写成： 7 ( 办) ：c 毒旦一丢( 旦) s ) zn 僻lz o 位i 若存在块金效应，上式变成： 触卜c o + c 睦丢一疑n 在新坐标j l 下，可用一个统一的球状模型来拟合这4 个几何异向模型 成都理工大学硕士学位论文 厂( 乃) = o g + 噶苦一三0 3 ， zn 俚za 征 c o + c 办= o 0 口钆 式中：办= 砰+ 砰= 瑶+ ( k 。办，) 2 ( 3 ) 带状各向异性的套合 带状异向性模型几乎可用于任一实验各向异性模型，而且应用起来方便、灵 活，由于情况多种多样，我们以最简单情况加以讨论。 假设有一个层