（控制理论与控制工程专业论文）基于lmi的非最小相位系统鲁棒控制器设计.pdf

堆fl m i 的1 r 艟小相p 系统柞柞柠制措设计 摘要 具有非最小相位环节的系统称为非最小相位系统，非最小相位环节会对控制 系统的稳定性和其他性能指标产生不利的、有时是非常严重的影响，因此对非最 4 , 十t i 位系统的研究具有十分重要的理论意义和实际工程应用价值，也受至了控制 理论研究者的广泛关注。另外，由于实际工程系统的动态性能十分复杂，很难完 全准确地建立被研究对象的精确数学模型，通过各种简化和逼近方法建立的系统 近似数学模型，与实际对象的行为特征存在一定的差距，这些差距可以看作是系 统数学模型的一种不确定性，这种不确定性有时会造成所依赖的控制理论和据此 而设计的控制器失效。因此，对于不确定非最小相位系统研究的理论意义和实际 应用价值都十分重大。 鲁棒控制理论是研究不确定系统控制器设计的有效方法，近2 0 年来一直是控 制领域的研究热点。目前关于鲁棒控制的研究结果主要集中在含有不确定项的确 定性模型系统上。本文主要研究含有参数不确定性的非最小相位系统，在研究系 统的不确定时，不但要求系统渐近鲁棒稳定，而且需要系统有一定的鲁棒性能， 如果不考虑系统的性能指标，针对系统的不确定性设计的鲁棒控制器可使系统镇 定，但是系统的鲁棒性能可能很差，这样就不能达到系统的设计要求。因此，必 须综合考虑系统的鲁棒渐近稳定和鲁捧性能。所以，本文对含有参数不确定的非 最小相位系统进行保性能的鲁棒控制器的设计。在对系统进行保性能的鲁棒控制 器的设计过程中，本文采用静态输出反馈的控制方式，由于静态输出反馈实现的 低成本和高可靠性，因此更具有研究意义。 本文利用l y a p u n o v 稳定性第二方法，结合线性矩阵不等式( l m i ) 以及矩阵 分析等工具，研究了非最小相位系统的保性能鲁棒控制问题。 本文的研究主要工作和研究内容： ( 1 ) 对不含时滞的参数不确定非最小相位系统进行保性能鲁棒控制器研究和 设计。在保性能鲁棒控制器的研究和设计过程中，本文采用了静态输出反馈，利 用线性矩阵不等式的方法给出了保性能鲁棒控制器存在的充分条件和其设计过 程，并给出了系统的最小性能指标上界。并通过实例仿真验证了该控制方法的有 效性。 ( 2 ) 对含有时滞环节的参数不确定非最小相位系统进行保性能鲁棒控制器研 郑州人学t 学嘶ii 论文 究和设计。在保性能鲁棒控制器的研究和设计过程中，本文采用了静念输出反馈 利用线性矩阵不等式的方法给出了保性能鲁棒控制器存在的充分条件和其设计过 程。并给出了系统的最小性能指标上界，通过实例仿真验证了该控制方法的有效 性。 关键词非最小相位系统，时滞系统，保性能鲁棒控制，静态输出反馈 璀fl m i 的1 r 艟小扪p 系镜竹恃柠：州器瞪i 卜 a b s t r a c t n o n m i n i m u mp h a s e s y s t e m ，p o s s e s s i n gn o n m i n i m u mp h a s ep a r t s ，i se s s e n t i a l ， f r o mb o t hp e r s p e c t i v e so f t h e o r ya n dp r a c t i c a lp r o j e c ta p p l i c a t i o n ，o nw h i c ht h e r e f o r e e x p e r t sp u tm u c he m p h a s i s i na d d i t i o n ，b e i n gc o m p l e x ，t h ed y n a m i cp e r f o r m a n c eo f p r a c t i c a lp r o j e c ts y s t e mm a k e s i th a r dt ob u i l dt h ea c c u r a t em a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rt h e o b j e c t ，b e c a u s ec e r t a i na m o u n to f d i f f e r e n c e se x i s tb e t w e e nt h eo b j e c ti t s e l f a n dt h e a p p r o x i m a t em a t h e m a t i c a lm o d e l sc o m i n gf o r mt h es i m p l i f i e dm e t h o d s t h ed i f f e r e n c e s ， s e e na sk i n do f u n c e r t a i n t y , m a k et h ec o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o l l e rb a s e do ni t u n a v a i l a b l e t h e r e f b r e ，t h er e s e a r c hi n t ou n c e r t a i nn o n - m i n i m u mp h a s es y s t e mp l a y sa l l i m p o r t a n tr o l ei ne x a m i n i n gt h et h e o r e t i c a li n f l u e n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e i nr e c e n tt w od e c a d e s ，a sa ne f f e c t i v ew a yt os t u d y i n gt h ed e s i g no f u n c e r t a i n s y s t e mc o n t r o l l e r , r o b u s tc o n t r o lt h e o r yi sh o tt o p i ca l la l o n gi nt h ec o n t r o lf i e l d a t p r e s e n t ，t h er e s u l to f r o b u s tc o n t r o ls t u d ym a i n l yf o c u s e so nt h ec e r t a i nm o d e ls y s t e m w i t hu n c e r t a i n t y t h ep a p e rd i s c u s s e st h eu n c e r t a i ns y s t e m sp e r t u r b a t i o n ，w h i c h r e q u i r e st h ea p p r o x i m a t er o b u s ts t a b i l i t ya n dr o b u s tp e r f o r m a n c e o n l yi nt h i sw a y c a n t h es y s t e mr e a c ht h er e q u i r e m e n to f s y s t e md e s i g n ，t h u s ，a p p l y i n gg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lt ot h es y s t e mc o n t r o lp r o v e sa l la d v i s a b l ec h o i c e s t a t i co u t p u tf e e d b a c kc a l lb e a d o p t e d , c o m p a r e dw i t hd y n a m i co n e d u et ot h el o wc o s ta n dh i g hs t a b i l i t y t h ep a p e rd e a l sw i t hg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o li nn o n m i n i m u mp h a s es y s t e mb y e m p l o y i n gl y a p u n o v ss e c o n dm e t h o da n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a l o n gw i t h m a t r i xa n a l y s i s , e r e 1 1 帕r e s e a r c hd e s i g n so f t h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) a n a l y s i sa n dg u a r a n t e e dc o s tr o b u s tc o n t r o ld e s i g no f n o n - m i n i m u mp h a s e s y s t e mw i t h o u tt i m e q e l a y s t a t i co u t p u tf e e d b a c kc a nb ea d o p t e di nt h ec o u r s eo f r e s e a r c h i n ga n dd e s i g n i n gg u a r a n t e e dc o s tr o b u s tc o n t r o l l e r , a n dp r e s e n t st h ee x i s t e n c e s u f f i c i e n tc o n d i t i o na n dd e s i g np r o c e d a r eo f g u a r a n t e e dc o s tr o b u s tc o n t r o l l e r u p p e r b o u n do f s y s t e ml e a s tp e r f o r m a n c ei n d e xi sa l s op r e s e n t e da n da v a i l a b i l i t yi sc e r t i f i e d t h r o u g he x a m p l es i m u l a t i o ni nt h i sp a p e r ( 2 ) a n a l y s i sa n dg u a r a n t e e dc o s tr o b u s tc o n t r o ld e s i g no f n o n m i n i m u mp h a s e 1 1 1 j l l ；州人学t 擘坝f 论艾 s y s t e mw i t ht i m e d e l a y s t a t i co u t p u tf e e d b a c k c a nb ea d o p t e di nt h ec o u r s eo f r e s e a r c h i n ga n dd e s i g n i n gg u a r a n t e e dc o s tr o b u s tc o n t r o l l e r , a n dp r e s e n t st h e e x i s t e n c e s u f f i c i e n tc o n d i t i o na n dd e s i g np r o c e d u r eo f g u a r a n t e e dc o s tr o b u s tc o n t r o l l e r u p p e r b o u n do fs y s t e ml e a s tp e r f o r m a n c ei n d e xi sa l s op r e s e n t e da n da v a i l a b i l i t yi sc e r t i f i e d t h r o u g he x a m p l es i m u l a t i o ni nt h i sp a p e r k e yw o r d sn o n m i n i m u mp h a s es y s t e m ，t i m e d e l a ys y s t e m ，g u a r a n t e e dc o s tr o b u s t c o n t r o l ，s t a t i co u t p u tf e e d b a c k 璀十l m 的1 r 艟小相伊系统的鲁体拧制器设计 1 1 课题的研究背景 1 绪论 控制理论自2 0 世纪5 0 年代术产生以来得到了飞速的发展，在许多领域中得到 成功的应用。而在现代研究中，人们对具有不确定性的控制系统的要求已不再仅 仅局限于鲁棒稳定性，往往还希望伎闭环系统的某一主要似j 能指标达到最优或者 予以优化。对于含有参数不确定的非最小相位系统而言，保性能鲁棒控制是一种 有效的控制方法。 现代控制理论的研究大多是基于对象的一个数学模型，根据系统的性能要求， 通过对被控对象的数学模型进行分析来设计系统的控制器，进而将所得到的控制 器应用于被控对象束保证闭环系统具有所期望的性能。线性二次型最优控制 ( l q l q g ) 是一种重要的设计方法，但是该方法依赖于对象的精确模型和对系统 外部干扰的特殊限定，当对象具有不确定性或干扰特性未知时，基于这样的模型 设计的控制系统很难保证具有所期望的性能要求，甚至稳定性都会遭到破坏，这 使得最优控制在工业应用中受到很大的限制，在控制系统研究中所遇到的不确定 性主要包括结构不确定性或参数不确定性，非结构不确定性或非结构摄动。这些 不确定性是导致系统不稳定和系统性能指标恶化的主要根源之一，因此寻找控制 器使得闭环系统同时具有鲁棒稳定性和鲁棒性能，在理论和应用上都有十分重要 的价值和意义。鲁棒线性二次调节器( r l q r ) 能较好的处理鲁棒稳定性和性能问 题，并取得不少的研究成果【l j 。但是一味追求确定目标的最小值，会导致所得结 论过于保守，并且可能会破坏系统的性能鲁棒性，另一方面，集中考虑系统的最 大稳定性问题，忽视了性能和控制作用的相互关系，会不可避免地导致控制器的 高范数增益。g c c 是由c h a n g 和p a n g 2 1 5 = 1 9 7 2 年在自适应控制中首次提出来的， 主要思想是在保证闭环系统鲁棒稳定性的同时，又使得由于系统不确定性而恶化 的性能指标仍小于某一个确定的性能上界。 1 2 鲁棒控制理论的发展现状 控制系统的鲁棒性是指系统中存在摄动，即具有不确定性时，系统能保持正 郑州人擘丁辛硕卜论立 常工作性能的一种属性。关于系统鲁棒性的研究，最早可以追溯到十九世纪p e a n o 、 b e n d i x s o n 和d a r b o x 等人对微分方程解的初值和参数具有连续依赖性的工作，这 是一种无穷小的思想。鲁棒控制问题最早提出于二十世纪二十年代，它的早期研 究只限于微摄动的不确定性，即灵敏性分析，但实际上系统的参数是不能视为仅 具有无穷小摄动的不确定性，系统工作环境的变化、模型的不精确、降阶近似处 理、非线性的线性化处理等均可化为某种参数摄动，有时系统的受控对象可能有 几种不同的工作状态。当用同一种控制器来控制这种对象时，人们也把由于不同 工作状态所对应的参数差别视为一种摄动，当然这种参数的变化只能视为有界摄 动而不是不穷小摄动。因此，传统的用于敏感性分析的数学方法已无法应用，必 须采用能适合于大范围分析的方法和理论。因此，现代鲁棒控制p “1 的重要特点就 是讨论系统性能非微有界不确定性摄动下的保持能力。 在二十世纪六十年代河后发展起来的以l q g 最优控制理论为代表的现代线性 系统理论，是在基于时域概念的经典控制理论基础上发展起来的，它以状态空问 方法为主，研究控制系统状念运动规律，并实现最优化设计。在此期n j ，由于反 馈控制系统的分析和设计更多地使用状念空自j 矩阵方程，主要的研究包括基于状 念空自j 模型的能控性和能观性分析方法、l q r 、l q g 、k a l m a n 滤波器方法，极点 配置方法和基于状态观测器的反馈控制方法。然而，这些理论与方法完全依赖于 描述被控对象动态特性的数学模型，理论及设计方法在实际的被控对象上能否得 到实现完全取决于对象数学模型的精确程度。数学模型成为连接理论世界和工程 实际的关键桥梁。然而，由于客观实际中不可避免地存在着各种不满足理想假设 条件的不确定因素，因此想获得精确的数学模型几乎是不可能的，事实上现代控 制理论一直得不到广泛的工程应用也j 下是这一原因。现代控制理论的这一局限性 促进了鲁棒控制理论的发展。1 9 7 2 年鲁棒控制这一术语首次出现在d a v i a o n 7 1 的论 文中。鲁棒控制思想在经典控制理论中是以稳定裕度来衡量的，但由于这种基于 频率判据的概念只适用于单输入单输出系统，随着系统本身的复杂化，它的应用 受到了限制。到二十世纪八十年代，关于控制系统的鲁棒性的研究引起了高度的 重视，鲁棒控制的研究热头仍有增无减。 从六十年代以后通过结合实际工程问题和数学理论，鲁棒控制理论取得了令 人瞩目的成果。国内外控制学者从各个不同的角度来探索适用于大范围不确定性 分析的理论和方法。在线性时不变系统的范畴内，现代鲁棒控制研究的三个主要 方向1 5 】：( 1 ) 基于输入输出描述的风，控制理论，是设计控制器在保证闭环系统各 回路稳定的条件下使外输入的输出的传递函数的皿，范数取极小值的一种优化理 论方法【9 】。由于非结构型摄动的鲁棒控制问题可化成风，控制问题，因而以。在控 辑十l m f 的1 广最小柯伊系统f i 荇捧拌制器醴汁 制界受到很大的关注。z 乙理论以及一些共同发展起来的理论，如理论【9 j 【1 0 1 等， 经过众多学者的努力已经取得了丰富的成果；( 2 ) 多项式代数方法，即研究区渊 多项式和区白j 矩阵的稳定问题，是受俄国数学家k h a r i t o n o v 工作的推动而发展起 来的1 8 】。k h a r i t o n o v 指出，任何一个系数独立取值于区徊j 的区自j 多项式族，其全族 h u r w i t z 稳定等价于由这些区间端点按一定规则构成的四个多项式的稳定。在区问 多项式稳定性方面其他重要的成果有棱边定理及盒子定理等。而在区间矩阵的稳 定性分析方面还没有十分出色的结果：( 3 ) 状念空间模式下的鲁棒性分丰厅与镇定， 主要基于l y p u n o v 函数的方法，通过选取特定的l y p u n o v 函数束考虑鲁棒性分析 及鲁棒镇定问题，由于它是一种不依赖于特征值的方法，因而讨论的摄动不局限 于系统定常摄动。 在实际系统中，当考虑系统不确定时，使得闭环系统同时具有稳定性和鲁棒 性能问题，在理论和应用这两个主要方面都具有十分重要的意义和价值，但是， 由于一味追求确定目标的最小值，从而导致所得结论过于保守，且破坏了系统的 性能鲁棒性，注意点集中在考虑闭环系统最大稳定性的问题上，忽视了性能和控 制作用的相互关系，因而不可避免的导致了高范数增益问题。因此，对含有不确 定性的被控对象的保性能鲁棒控制的研究就非常有理论和实际的意义。 1 3 不确定系统的保性能控制发展现状 线性二次型最优控制( l q ) 是控制系统综合的一种重要方法，由于运用该方 法得到的控制系统具有许多优良特性，因此在实际中被广泛采用。线性二次型最 优控制的应用要求有一个精确的数学模型，如果系统模型的参数存在摄动，即使 是微小的摄动，根据标称系统模型综合得到的最优控制器也往往不能保证闭环系 统具有期望的性能，甚至系统的稳定性都难以保证。因此，对于一个具有不确定 参数的系统和一个给定的二次型性能指标，尽管由于模型的不确定性，不能设计 一个控制器，使得闭环系统的性能指标值最小化，但能否设计一个控制器，不仅 使得闭环不确定系统二次稳定，而且对所有允许的不确定性，闭环系统的性能指 标值不超过某个确定的界，这正是由c h a n ga n dp a n g 【2 1 提出的不确定系统保性能 控制( g u a r a n t e e dc o s tc o n t r 0 1 ) 的思想。对这一问题c h a n ga n dp a n g 作了初步探 讨，并给出了一种保性能控制率的设计方法。这一方法具有以下几个特点：( 1 ) 由于不确定性丽导致的系统性能衰减不超过一个确定的上界：( 2 ) 保性能控制器 可以通过一个r i c c a t i 型方程的正定解构造得到；( 3 ) 如果系统模型中不含不确定 参数，那么保性能控制设计就降为标准的二次型最优控制设计问题。因此，保性 郑州人学t 学顺i 论文 1 i 罡曼寡! 曼鼍曼量曼曼鼍皇量曼曼皇曼曼! ! 曼篁曼鼍! 蔓! 曼曼曼! 曼曼曼皇曼鼍! 曼曼曼曼曼曼皇蔓量! 兰鼍皇曼曼皇曼! 蔓皇曼皇曼曼鼍曼曼皇量舅篁 能控制可以看成是线性二次型最优控制向不确定系统的推广，故有些学者将其称 为鲁棒二次型最优控制问题。 随着对参数不确定系统鲁棒二次镇定的问题所研究所取得的进展，二次镇定 的处理方法被用来研究不确定系统的保性能控制问题。对一类具有范数有界时变 参数不确定性的线性系统和一个给定的二次性能泛函，p e t e r s e na n dm c f a r l a n e t “】 推广了二次稳定性概念，引进了二次保性能控制的概念。进而，证明了二次保性 能控制率的存在性等价于一个带参数的r i c c a t i 型矩阵方程正定解的存在性，并在 该r i c c a t i 型矩阵方程有证定解得情况下，给出了用这个证定解矩阵束构造二次保 性能控制律公式。同时，把闭环系统的性能上界表示成了r i c c a t i 型矩阵方程中待 定参数的一个凸函数。由此可以进一步得到闭环系统性能界最小化的二次型保性 能控制律。p e t e r s e na n dm c f a r l a n e i 的研究结果使得不确定系统的保性能控制问题 研究有了一个突破性的进展。f i s h m a n 坦l 等进一步提出了不确定系统最优保性能控 制问题的线性矩阵不等式处理方法。这种方法的好处在于可以将其他的性能要求 和约束条件结合在一个统一的凸优化问题中，从而应用现有的凸优化技术可以设 计满足其他性能要求和约束条件的最优保性能控制律。 1 4 线性矩阵不等式方法的发展现状 在线性系统的鲁棒控制系统的理论基本成熟后，人们便寻找更为方便有效的 解法。线性矩阵不等式方法即为近年得到大力发展和应用的方法之一。 动态系统分析的l m i 方法可以追溯到1 0 0 多年j j 。1 8 9 0 年l y a p u n o v 在他出 版的被称为l y a p u n o v 理论的著作中。提出了微分方程 磊d 工( f ) = 出( ，) 的稳定条件：当且仅当存在对称j 下定矩阵p = p r 0 ，使得下面的不等式成立 a 7 p + p a 0( 1 2 ) 所谓线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xl n e q u a l i t y , 简称l m i ) 是指一个具有以下 形式的矩阵不等式 f ( x ) = 五十玉巧 o ( 1 3 ) i = 1 其中工是一个其元素为( i = l m ) 的未知向量，只是给定的对称矩阵，显然矩 阵不等式( 1 - 3 ) 表明f ( 工) 是负定的，f l q 于 f ( x ) 0 ，向量工的集合是凸的，这样 堆叶二l m f 的1 r 塌小相p 系统的铧捧拧制嚣设计 任何其有这类约束和凸优化指标的鲁棒控制问题都可以简化为一个凸优化问题。 凸优化问题的特点是其最优解为全局的，而且存在着求最优解的有效算法。 在鲁棒控制理论中有两个重要的方程( 或不等式) 即l y a p u n o v 方程( 或不等 式) 和r i c c a t i 方程( 或不等式) ，其形式为 a 7 p + p a + q = o ，或一7 p + p a o a 7 p + p a + p r p + q = 0 ，或a 7 p + p a + p r p 0 时， 可以利用矩阵s c h u r 补的性质将其变形成l m i 。 l m i 发展的第二个罩程碑是在二十世纪4 0 年代。当时，前苏联科学家l u r e 、 p o s t n i k o v 及一些学者将l y a p u n o v 方法应用于控制工程中的一些典型问题，尤其是 当执行机构具有非线性时的系统稳定性，虽然他们没有形成精确的矩阵不等式， 但是所提出的稳定性准则具有l m i 的雏形。“l y a p u n o v 理论可以应用于控制工程 中的重要问题”这一想法使l u r e 、p o s t n i k o v 等人受到启发。将l y a p u n o v 理论应 用于解决实际工程问题，解决l m i 问题的思想可以归结于利用手工分析式的求解， 当然其应用仅限于( 如二、三阶系统) 。 l m i 发展的第三个旱程碑是在二十世纪6 0 年代。p o p o v 、y a k u o v i c h 以及其它 学者利用正实( p o s i t i v e r e a l p r ) 引理简化l u r e 问题，应用图形准则进行求解， 产生了p o p o v 判据。这种判据可以应用于高阶系统；但不适用于多非线性系统。 从l m l 在控制理论的发展观点看，y a k u o v i c h 、p o p o v 等人的贡献在于给出了利用 图形方法解决l m i 问题。 7 0 年代，一些学者认识到l m i 问题不仅可以通过图形方式获得求解，而且可 以通过求角孚代数g i c c a t i 方程( a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n - a r e ) 获得求解。1 9 7 1 年 一些学者得到求解典型l m i 的方法，如图形法以及l y a p 啪o v 函数方法。这些分析 方法可以用于特殊形式的l m i 问题。 在l m i 历史中最具有实质性的阶段是在8 0 年代，这期间提出多种l m i 标准 问题的数值解方法，主要的l m l 求解算法有替代凸投影算法、椭球算法及内点法。 内点法又分为中心点法、投影法、原始对偶法，这些方法共同思路都是把l m i 问 题看作凸优化问题处理。n e s l c r o v 等对不同内点算法的计算复杂性界限给出了理论 分析从实验验证上看，目前效果最好的内点法是n c m i m s h i i 等提出的投影算法。 投影算法跟其它方法相比具有如下优点： ( 1 ) 不需要给出迭代的初始可行解。即不需要另外给出独立的算法对初始可 邦州足辛t 。了“i ! f 论史 行解进行求解： ( 2 ) 它能够扩展到求解拟凸问题，即l m i 约束下广义特征值问题； ( 3 ) 它能够充分利用有块对角结构的l m i 问题的结构信息，减少保守性； ( 4 ) 整个过程可以给以清晰的几何图示进行说明，易于理解。 1 9 9 5 年m a t l a b 推出了基于内点法的求解线性矩阵不等式问题的l m i 工具 箱，使得求解高维的l m i 成为可能。这种统一标准、统一解法的线性系统分析方 法，设计舰范的形成以及有效的数学计算工具包逐步研制成功，使得人们能够更 加方便和有效地处理，求解线性矩阵不等式，从而进一步推动了线性矩阵不等式 在系统和控制领域中的应用。 随着线性矩阵不等式i m 7 】技术的不断发展和成熟，它已成为鲁棒控制的一种 主要方法。在线性矩阵不等式使用之i j i ，绝大数鲁棒控制问题都是基于求解r i c c a t i 方程或其不等式束解决的。但是在解r i c c a t i 方程或其不等式时，有大量的参数和 乖定对成矩阵需要预先调整，有时l h j 使问题本身是有解的，也找不出问题的解。 这给实际应用问题的解决带来了极大的不便，而线性矩阵不等式方法可以弥补 r i c c a t i 方程方法的不足，它通过给出问题的凸约束条件，求解凸优化问题设计满 足性能要求的控制器。这种约束条件使得控制器设计时，得到的不仅是一个而是 一组满足设计要求的控制器，这对于求解系统的多目标控制问题是特别有用的。 常用的鲁棒控制方法如小增益定理、风的综合方法等于线性矩阵不等式技术都有 着深层次的密切关系。其中正实有界定理作为桥梁，把输入输出方法和状态空白j 连接起来。这些都为线性矩阵不等式技术在鲁棒控制问题的广泛应用提供了理论 基础。 输、输出方法 11 。 卜正实，有界实定理k 一 一，一一j ，j l 竺竺j 状态空问法 图1 1l m i 技术与一些控制原理的关系 f i g1 1r e l a t i o no f l m lt e c h n o l o g ya n ds o m c o n t r o lt h e o r i e s 一6 转卡l m 的1 r 最小桐位系统的曾捧粹制器蹬汁 对被控对象的鲁棒控制理论的研究方法，一般从时域和频域两方面入手。在 频域分析中，主要利用赋范空日j 中的算子理论进行研究，这种方法简洁、优美， 但在实际应用中，可操作性欠佳。在时域分析中，主要利用微分方程和线性代数 理论进行研究，过程庞杂，所得结果一般是基于一个或几个r i c c a t i 方程( 等式或 不等式) ，除了简单的r i c c a t i 方程，一般含有多个参数r i c c a t i 方程和方程组( 包 括单向耦合，双向耦合类型) ，目前还没有成熟的解法。此外，工程实际中对控制 系统提出的性能指标要求可能是多方面的。利用矩阵不等式( 如r i c c a t i 不等式) 求解一般只能得到满足某一方面的性能指标最优的唯一解，利用l m i 却可以分别 得到满足不同性能指标的解集，也就是说，可以将对控制系统提出的多目标性能 指标要求转化为对l m i 解集的多个凸约束，而利用凸优化方法进行求解【5 1 。基于 以上原因，线性矩阵不等式在控制系统分析、设计中的地位逐渐变的举足轻重， 并在不同的研究方向中得到广泛应用。 目i j i 在众多现有的软件之中，涉及线性矩阵不等式最为全面最为便利的是 m a t l a b 软件所提供的l m it 具箱，因此本文所涉及的工作正是基于这一工具展 丌的。 无论是在实际工业生产，还是在现实生活中，非最小相位系统无处不在，因 此对非最小相位系统的研究就显得非常重要。人们经过长期的工程实践，深刻地 认识到系统精确模型很难建立，并且基于精确模型来设计控制系统是不现实的， 控制系统的精确数学模型将很难获得。对于一个实际存在的系统，随着系统工作 条件或环境变化，系统元件的老化，元器件的零点漂移、测量噪声，系统未建模 动态时，对高阶系统的模型做降阶处理，非线性项的线性化，建模时忽略考虑的 各种干扰信号，被控对象本身的时变特性等一系列因素，造成系统模型普遍存在 不确定性。在很多情况下，这些不确定性不能视为无穷小摄动并做近似处理。因 此，在设计的未建模动态存在的情况下，使得闭环系统的性能仍然能够得到满足。 在现有的r i c c a t i 方程处理方法中，还缺乏寻找这些参数的最佳值方法，参数的这 种人为确定方法给分析和综合结果带来了很大的保守性，另外，r i c c a t i 型方程本 身的求解也存在一定的闯题。随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不 等式再次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域。 1 5 本文所作的工作及论文的组织结构 本文的主要工作是利用l y a p u n o v 稳定性第二方法、基于线性矩阵不等式方法 ( l m i ) 以及矩阵分析等工具对含有参数不确定非最小相位系统进行保性能的鲁棒 郊州人擘r 。 帕i 伦正 控制器的设计与研究。而且针对含有范数有界不确定的非最小相位系统深入研究 了系统性能指标的鲁棒控制器设计问题，并对具体算例进行了仿真。针对非最小 相位系统的特点，本文主要研究2 类非最小相位系统：l 、无时滞参数不确定非最 小相位系统，2 、会时滞参数不确定的非最小相位系统。 本文在对非最小相位系统的保性能鲁棒控制器的设计中采用静态输出反馈对 非最小相位系统进行控制，因为在许多实际问题中，不确定系统的状态往往是不 能直接测量的，故难以应用状念反馈控制律来对不确定系统进行控制。有时即使 不确定系统的状念可以测量，但是考虑到实施控制成本和系统的可靠性等因素的 影响，如渠可以用不确定系统的输出反馈能达到不确定系统的性能要求，则更适 合选择输出反馈的控制方式来实现对不确定系统的鲁棒控制器的设计。因此，对 输出反馈i 1 】的控制方式的研究就更具有实际意义。但是输出反馈控制有两种不 同的设计方法：( 1 ) 基于动态输出反馈的设计，如s h y u e ta 1 ，h a e ta i ，( 2 0 0 3 ) ；( 2 ) 基于静态输出反馈设计，在实际问题中出于静态输出反馈和动态输出反馈相比有 两个有点：( 1 ) 实现的低成本；( 2 ) 高可靠性。因此对系统采用静态输出反馈控 制方式进行研究显得更有意义。 本文共分为五章： 第一章绪论，本章主要叙述了课题的提出背景、鲁棒控制的发展现状、不确 定系统的保性能控制发展现状和线性矩阵不等式的发展现状。 第二章数学基础和预备知识，本章主要介绍了一些数学预备知识和鲁棒控制 策略的选择和线性矩阵不等式的数学知识。 第三章无时滞参数不确定非最小相位系统的保性能控制器设计，本章主要对 不合有时滞环节的非最小相位进行鲁棒控制器的研究。 第四章含时滞参数不确定非最小相位系统的保性能控制器设计，本章主要对 仅含有时滞环节的非最小相位进行鲁棒控制器的研究。 第五章总结，本章首先对作者所做工作进行了总结，指出了现在存在的不足， 接着指出了未来研究工作的重点和努力的方向。 草- i 二l m | 的什最小车f i 忙系统的竹件栉捌器改计 2 1 引言 2 数学基础与预备知识 第一章对保性能鲁棒控制理论的提出背景以及发展现状承i 线性矩阵不等式的 发展现状做了详细的阐述，并介绍了本论文的主要研究工作。本论文的主要工作 是基于l m i 方法的参数不确定非最小相位系统的鲁棒i ! l 性能控制器的设计，因而 有必要对本论文所涉及到的几个重要问题和理论基础j j i j 以介绍。本章主要对线性 矩阵不等式、重要的引理、连续系统的保性能控制和时滞系统的保性能控制。非 最小相位系统等几个方面加以介绍。 2 2 线形矩阵不等式 2 2 1 线性矩阵不等式方法介绍 所谓l m i 是指一个具有如下形式的矩阵不等式 f o ) = 咒+ 只 o ( 2 1 ) 扛l 其中工是一个其元素为玉( i = l m ) 的未知向量，f 是给定的对称矩阵，显 然矩阵不等式( 2 1 ) 表明，( x ) 是负定的，由于，( x ) o ，向量x 的集合是凸的， 这样具有这类约束和凸优化指标的鲁棒控制问题都可以简化为一个凸优化问题。 凸优化问题的特点是其最优解为全局的，而且存在有效的算法。在这里我们先介 绍一些重要的引理。 引理2 1 对于连续时问的线性系统 j ( f ) = 出( f ) ( 2 2 ) a r ”。，当且仅当存在正定对称矩阵p r “”，使得不等式( 2 3 ) 成立，系统( 2 2 ) 是渐进稳定的。 a 7 p a p 0 ( 2 3 ) 引理z 2 c s 幽耐定理，对给定的对称矩阵s = 瞪甜其峭芦x r 维 的。以f 三个条件是等价的 ( 1 ) s 0 ： ( 2 ) 墨 0 ，是2 一西墨2 0 ； ( 3 ) 最： o ，s l - s , 2 碥 o ； 引理2 3 若a r ，当且仅当存在诈定对称矩阵p r ”满足下式 a 7 p a p 0 矩阵a 所有特征值摸均小于1 。 引理2 4 若a r ”，当且仅当存在u f 定对称矩阵p r 满足下式 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) f j p 爿7 p i o ( 2 8 ) l 硎一p j 矩阵a 所有特征值模均小于1 。 引理2 5 给定适当维数的矩阵y ，d ，f ，其中y 是对称的。则 y + d f + f 7 7 d 7 0 使得下式( 2 9 ) 成立。 r + 6 d d 7 + f 一f 7 ， 0( 2 9 ) 引理2 6 闭环系统l 1 2 的所有极点在圆盘d ( g ，) 中，当且仅当存在对称萨定 矩阵p 使得( 2 1 1 ) 式成立。 j ( f ) = ( 彳+ d f 薯) j ( f ) ( 2 1 0 ) l 粤一r p 竺一矿l o ( 2 1 1 ) l p 霄一q p p e te p r p 其中d ，e 为适当维数的实常数矩阵，f r “是满足f 7 f i 的未知矩阵，为适 当维数的单位矩阵。 2 2 2 线性矩阵不等式的一般表示 一个线性矩阵不等式就是具有形式 f ( x ) = 矗+ 五巧+ + o ( 2 1 2 ) 的表达式。其中工，是m 个实数变量，成为线性矩阵不等式( 2 1 2 ) 的决策变 1 0 量，x = ( j 。，) 。e r 是出决策变量构成的向量，成为决策向量，只= e 7 r ， i = o ，l ，胁是一组给定的是对称矩阵。( 2 1 2 ) 式中的不等号“ o ”指的是矩阵 f ( x ) 是负定的，即对所有的非零的向量d r “，矿f ( x ) v 0 ，或者f ( x ) 的最大特 征值小于零。 如果，( x ) 看成是从r 到实对称矩阵集= m ：肘= m 7 r ” 的一个映射， 则可以看出f ( z ) 并不是一个线性函数，而是一个仿射函数。因此，更确切地说， 不等式( 2 1 2 ) 应该成为一个仿射矩阵不等式。但出于历史原因，目静线性矩阵不 等式这一名称已被广泛接受和使用。 在许多系统和控制问题中，问题变量足以矩阵的形式出现的。例如l y a p u n o v 矩阵不等式： f ( x ) = a r x + 黝+ q 0 ( 2 1 3 ) 其中：a ，q r ”“是给定的常数矩阵，且q 是对称的，x r ”1 是对称的未知矩阵 变量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设e l ，巨，：j e 。g ：s ”中的一组基， 则对任意对称矩阵x 足，存在，t ，x u ，使得x = 气辱。因此 ，c x ，= f ( 善e = 4 7 ( 善e ) + ( 善e 一+ q = q + x j ( a r e u + 巨爿) + + ( 4 7 蜃+ 一) 0( 2 1 4 ) 即l y a p u n o v 矩阵不等式( 2 1 2 ) 写成了线性不等式的一般形式( 2 1 3 ) 。 如果在( 2 1 2 ) 式中用“”代替“ o ， ，( x ) g ( x ) 也是线性矩阵不等式，因为它们可以等价地写成一f ( x ) 0 ， f ( x ) - g ( x 、 o 。 所有满足线性矩阵不等式( 2 1 2 ) 的工的全体构成一个凸集，这就是以下的 引理2 7 。 引理2 7 m = j ：，( x ) 0 是一个凸集。 证明：对任意的 ，x 2 和任意的口( 0 , 1 ) ，由于，“) o ，( 而) o 以及f ( 工) 是一个仿射函数，故，( 口五+ ( 1 一口) 而) = 口f ( ) + ( 1 一口) f ( t ) o 所以口五+ ( 卜口) 屯，即。是凸的，从而引理2 1 1 得证。 郑州j 、擘t 学倾i 论正 2 2 3 可转化成线- i 生矩阵不等式表示的问题 系统与控制中的许多问题初看起柬不是一个线性矩阵不等式问题，或不具有 ( 2 1 2 ) 式的形式，但是可以通过适当的处理将问题转换成具有( 2 1 2 ) 式的一个 线性矩阵不等式问题。下面给出了这方面的一些典型例子3 1 。 ( 1 ) 多个线性矩阵不等式 e ( 刁 o ，只( 工) 0 ( 2 1 5 ) 称为一个线性矩阵不等式系统。引进f ( x ) = 破昭 互( ) o ，只( 工) o ，则 巧( 工) o ，e ( x ) o 同时成立当且仅当，( 工) o 。因此，一个线性矩阵不等式也 可以用一个单一的线性矩阵不等式束表示。 ( 2 ) 考虑问题 j f ( 工) o ( 2 1 6 ) l a x = b 其中的，：一是一个仿射函数，a r 和b r ”是给定的常数矩阵和向量。 出于a x = b 的解向量的全体构成了露”中的一个线性子空闻，因此可以考虑更一般 的问题： ，( 工) f ( x ) - e o + t ix o + 玉弓i - - f o + r ( x o ) + x y ( e ，) i = i = 瓦+ 玉丘+ + t 丘 = f ( j ) ( 2 1 9 ) 1 2 球 l m l 的1 r 最小拥伊糸锖c l 勺鲁棒拧：m 器设汁 其中：p o = f o + r ( x o ) ，声= ，( q ) ，= i x i ，】。注意，i 的维数要小于x 的维 数。 ( 3 ) 在许多讲一些非线性矩阵转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用 到矩阵s c h u r 补性质。 2 2 4l n i 工具箱介绍 线性矩阵不等式( l m i ) 工具箱f 2 2 埘1 是求解一般线性矩阵不等式问题的一个 高住能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示式，使得各种线性矩阵不 等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就 可以通过调试适当的线性矩阵不等式来求解对这个问题进行数值求解。 l m