（光学工程专业论文）一种求解大不确定性问题的区间优化方法及应用.pdf

摘要 不确定性广泛地存在于工程问题中，不确定性优化算法的研究对于产品的不 确定优化设计及应用具有重要意义。概率优化和模糊优化需要大量的不确定信息 以构造变量的精确概率分布或模糊隶属度函数。然而对很多的工程结构优化问题， 获得足够的不确定性信息往往显得非常困难或成本过高，这便限制了这两类方法 的适用性。区间优化是一类相对较新的不确定优化方法，它利用区间描述变量的 不确定性。因此，只需要较少的信息即可获取变量的上下界，在不确定性建模方 面，区间优化方法具有很好的方便性和经济性。 本文主要针对不确定参数同时存在于目标函数和约束的区间优化问题进行了 研究，发展了一种适用于求解大不确定性问题的区间结构优化算法，应用该算法 对某型商用车车架进行了不确定优化设计，开发了基于区间的不确定优化设计软 件。本文的主要研究内容包含以下几个方面： 首先，提出了一种适用于求解大不确定性水平问题的区间优化算法。该算法 在每一迭代步将非线性区间优化问题转换为线性区间优化问题，基于子区间分析 方法获取目标函数和约束函数的响应区间，进行求解得到当前设计域最优解。算 法通过设计向量及设计步长的变化实现设计域的不断更新，直至收敛。 其次，针对某型商用车汽车车架，建立参数化的有限元模型，求解其结构刚 度和强度。考虑因制造工艺引起的材料参数不确定性，基于区间分析方法对其进 行不确定性分析。将本文提出的高效的区间优化算法应用于考虑材料不确定性的 该型商用车汽车车架的优化设计，车架刚度得到了明显的改善。 最后，基于混合编程技术开发了区间不确定性优化设计软件v 1 0 。该软件使 用f o r t r a n 语言编制算法内核，使用v c + + 语言编制用户软件界面。该软件界面友好， 操作便捷。工程技术人员无需花费大量的时间与精力在算法本身，只需在建立优 化问题后，按照软件使用说明建立任务卡，即可完成整个优化设计工作。 关键词：区间结构优化；区间分析；混合编程技术；大不确定性；序列线性规划 i i ab s t r a c t u n c e r t a i n t yw i d e l ye x i s t s i np r a c t i c a l e n g i n e e r i n gp r o b l e m s ，a n ds t u d y i n gt h e a l g o r i t h m so fu n c e r t a i no p t i m i z a t i o ni s o fi m p o r t a n c ef o ru n c e r t a i no p t i m i z a t i o n d e s i g no fp r o d u c t s p r o b a b i l i s t i co p t i m i z a t i o na n df u z z yo p t i m i z a t i o na r et w ot y p e so f u n c e r t a i no p t i m i z a t i o nm e t h o d o l o g i e s ，i nw h i c hag r e a ta m o u to fu n c e r t a i ni n f o r m a t i o n i s r e q u i r e dt oc o n s t r u c tt h ep r e c i s ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n so rf u z z ym e m b e r s h i p f u n c t i o n s u n f o r t u n a t e l y , i to f t e ns e e m sv e r y d i f f i c u l to rs o m e t i m e se x p e n s i v et o o b t a i ns u f f i c i e n tu n c e r t a i n t yi n f o r m a t i o n ，a n dh e n c et h e s et w ot y p e so fm e t h o d sw i l l e n c o u n t e rs o m el i m i t a t i o n si na p p l i c a b i l i t y t h ei n t e r v a ln u m b e ro p t i m i z a t i o ni sa n e w l yd e v e l o p e du n c e r t a i no p t i m i z a t i o nm e t h o d ，i nw h i c hi n t e r v a li su s e dt om o d e lt h e u n c e r t a i n t yo fav a r i a b l e t h u st h ev a r i m i o nb o u n d so ft h eu n c e r t a i nv a r i a b l e sa r eo n l y r e q u i r e d ，w h i c h c a nb eo b t a i n e d t h r o u g h o n l yas m a l la m o u n to fu n c e r t a i n t y i n f o r m a t i o n o nt h ea s p e c to fu n c e r t a i nm o d e lc o n s t r u c t i o n ，t h ei n t e r v a lo p t i m i z a t i o n m e t h o dh a sa na d v a n t a g eo fc o n v e n i e n c ea n de c o n o m y i n t e r v a lo p t i m i z m i o np r o b l e m si nw h i c hu n c e r t a i np a r a m e t e r se x i s ti nn o to n l yt h e o b j e c t i v ef u n c t i o nb u ta l s o t h ec o n s t r a i n t sa r es t u d i e di n t h i s p a p e r a ne f f i c i e n t a l g o r i t h mi sd e v e l o p e df o rs o l v i n gp r o b l e m su n d e rh i g hu n c e r t a i n t y , a n dt h e ni t i s e m p l o y e dt od e a lw i t ht h eu n c e r t a i no p t i m i z a t i o no ft h ef r a m eo fac o m m e r c i a lt r u c k a nu n c e r t a i n o p t i m i z a t i o n s o f t w a r eb a s e do ni n t e r v a l o p t i m i z a t i o n m e t h o di s d e v e l o p e df i n a l l y a sar e s u l t ，t h ef o l l o w i n gs t u d i e sa r ec a r r i e do u ti nt h i sd i s s e r t a t i o n ： f i r s to fa l l ，t h i sp a p e rp r e s e n t sa ne f f i c i e n ta l g o r i t h mf o rs o l v i n gn o n l i n e a ri n t e r v a l n u m b e ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hh i g hu n c e r t a i n t y n o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s a r ec o n v e r t e dt ol i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sa te a c hi t e r a t i o ns t e p b a s e do n s u b i n t e r v a l a n a l y s i sm e t h o d s ，r e s p o n s e i n t e r v a l so ft h eo b je c t i v ef u n c t i o na n d c o n s t r a i n t sa r eo b t a i n e d i ti st r a n s f o r m e di n t oad e t e r m i n i s t i co p t i m i z a t i o np r o b l e m a n dt h e n ，t h eo p t i m i z a t i o nr e s u l t si nt h ec u r r e n td e s i g nd o m a i na r eo b t a i n e d b yu s eo f c h a n g i n go ft h ed e s i g nv e c t o ra n dd e s i g ns t e p ，t h eu p d a t i n go ft h ed e s i g nd o m a i ni s a c h i e v e du n t i lt h a tt h ea l g o r i t h mi sc o n v e r g e d s e c o n d l y , t h ec o m m e r c i a lv e h i c l ef r a m e sp a r a m e t i r cf e m m o d e li sc o n s t r u c t e d t h es t r u c t u r a ls t i f f n e s sa n ds t r e n g t ho ft h ec o m m e r c i a lv e h i c l ei ss o l v e d c o n s i d e r i n g t h em a t e r i a l u n c e r t a i n t yi n t r o d u c e dd u r i n g t h e m a n u f a c t u r i n gp r o c e s s ，i n t e r v a l s t r u e t u r a la n a l y s i si sp e r f o r m e db a s e do nt h ei n t e r v a ls t r u c t u r a la n a l y s i sm e t h o d t h e i i i s u g g e s t e do p t i m i z a t i o n m e t h o di n t h i s p a p e r i s e m p l o y e d t o i m p l e m e n t t h e o p t i m i z a t i o nd e s i g no f t h ec o m m e r c i a lv e h i c l e ，a n dt h es t i f f n e s si si m p r o v e do b v i o u s l y f i n a l l y , t h es o f t w a r en a m e di n t e r v a lu n c e r t a i no p t i m i z a t i o nd e s i g nv e r s i o n1 0 i s d e v e l o p e d t h eo p t i m i z a t i o na l g o r i t h mi sa c h i e v e db yu s eo f f o r t r a nl a n g u a g e ，a n dt h e s o f t w a r ei n t e r f a c ei si m p l e m e n t e dt h r o u g hv c + + l a n g u a g e t h e r ea r et w om a i n c h a r a c t e r i s t i c so ft h i s s o f t w a r e ：f r i e n d l yi n t e r f a c ea n dc o n v e n i e n ti m p l e m e n t a t i o n w h e nu s i n gt h es o f t w a r e ，t h ee n g i n e e r sd o n th a v et os p e n dm u c ht i m eo nt h e o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ，a n dj u s tn e e dc o n s t r u c tt h eo p t i m i z a t i o nt a s kc a r df o l l o w i n g t h em a n u a l k e y w o r d s ：i n t e r v a ls t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ；i n t e r v a la n a l y s i s ；u n c e r t a i n t y ； s e q u e n t i a ll i n e a rp r o g r a m m i n g i v 第1 章绪论 1 1不确定优化问题研究意义 优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低工程造价的一 种行之有效的设计方法，同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱 出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率n 1 。优化设计对 于系统性能的提高、能耗的降低、资源的合理利用及经济效益的增长均有显著的 作用乜1 。工程结构中的优化设计方法一般是基于确定的结构参数和确定的数学模 型，并借助于经典的确定性优化方法进行求解n 1 。然而，在许多工程实际问题中， 经常存在着结构的几何误差、材料制造、安装、测量的误差，工作条件的变化， 材料的老化，维修参数的不确定性等等。虽然在多数情况下这些误差或不确定性 可能很小，但是这些误差或不确定性结合在一起可能使系统响应产生较大的偏差， 尤其是在复杂的多构件系统中。下面举例说明一些存在不确定性的工程实际问题： ( 1 ) 计算模型的不确定性h 咱1 。由于实际工程材料的复杂性，不论采用何种本构 理论和强度准则都难以绝对准确地反映材料的本构关系和破坏特征。至今，人们 已经提出许多本构模型和强度准则，不同的模型反映的侧重点各不相同，如混凝 土的最大拉应力准则、四参数准则等，但不同准则计算出的结构有可能相差很大。 比如d p ( d r u e k e r p r a g e r ) 准则或m c ( m o h r c o u l o m b ) 准则都可以来模拟岩体 的破坏，但很难说哪一种准则对于岩体的数值计算是十分准确的。计算模型的不 确定性已经在国际上受到重视。 ( 2 ) 在对齿轮进行动态分析时，由于齿轮的结构复杂性、齿轮变形等因素带来 的轮齿啮合误差，包括齿距偏差、齿形偏差以及齿距和齿形偏差造成的传动误差 等，是齿轮啮合过程中主要的动态激励之一h 1 。 实际工程中的不确定性因素主要有：物理的或固有参数的随机不确定性、知 识不足引起的不确定性因素、统计的不确定性。其中，物理的或固有参数的不确 定性大体包含以下几个方面：材料常数、结构形状、边界条件、结构的阻尼等。 一般来说，材料的弹性模量，泊松比，质量密度等主要由于制造环境，技术条件， 材料的多相特性等因素引起；几何形状和支撑位置的不确定性来自于安装和制造 误差或工作条件的变化；而结构阻尼，摩擦系数以及非线性特性则来源于结构的 复杂性随1 。知识不足引起的不确定性则主要包含两大类：一类属于和结构模型直接 相关的模型不确定性，另一类则属于对未来状况的不可预见性。统计的不确定性 主要有：统计方法处理工程中的不确定性问题、背景噪声的存在引起的不确定性。 事实上，绝大多数的工程实际问题或多或少的含有这些不确定性因素。过去，工 程设计人员为了处理上的方便，优化模型都是以设计变量和其他参数的名义值为 基础，并借助于经典的优化方法来完成。然而，其求解的结果极有可能偏离系统 的最佳性能3 。对于不确定系统的优化设计，需要通过不确定性优化方法进行建模 和求解，才能获得更为可靠的设计参数。不确定优化理论的研究和应用，将为社 会发展带来巨大的效益，以工业生产为例，企业可借助不确定性优化技术提高产 品可靠性，满足生产安全规范，减少对环境的破坏，从而适应复杂多变的市场环 境，创造更为可观的经济效益。为此，不确定性优化理论和方法的研究具有非常 重要的现实意义。 1 2国内外研究现状 不确定性优化问题的研究始于上世纪五十年代，b e l l m a n 和z a d e h n “1 1 1 ， c h a r n e s n 2 3 等人做了开创性的工作。概率、模糊和非概率优化是三类主要的不确定 性优化设计方法。概率和模糊优化是研究较多，也较为成熟的两类不确定性优化 方法。概率优化理论基础是概率论和随机规划，在概率优化中，不确定参数被视 为随机变量，需要构造不确定参数的精确概率分布；模糊优化是基于模糊集理论 和模糊规划发展起来的一类不确定性优化方法，不确定参数被视为模糊集，需要 构造模糊隶属度函数。区间优化是非概率不确定性优化方法之一，也是相对较新 的一类不确定性优化设计方法，它在区间数学n 3 1 及区间规划结合基础上发展而来。 在区间优化中，使用区间来描述不确定参数，因而在构造不确定性模型时，只需 要获得不确定参数的上下界。正因为在建模时方便、经济、快捷等优点，近年来， 区间优化设计方法正逐步受到重视。 1 2 1 概率优化方法 概率优化问题在上世纪五十年代i 扫d a n t z i g n “1 5 3 和b e a l e n 阳提出，他们将线性规 划应用于航线班机最优次数的设计，提出了有补偿的二阶段优化问题，在优化过 程中考虑客流量为随机变量。c h a r n e s n7 3 等提出了概率约束规划模型，研究了炼油 厂的生产和存储问题。在6 0 年代和7 0 年代，概率优化的模型、方法、理论和应用 都得到了快速的发展。近年来，概率优化理论被广泛地应用到工程结构可靠性优 化设计中，相关的研究成果和文献n 卜2 们众多。t s o m p a n a k i s 等乜提出一种稳健且高 效的方法求解大规模的可靠性结构优化设计问题。p a p a d r a k a k i s 等心2 1 使用神经网络 和m o n t ec a r l o 方法进行基于可靠度的结构优化设计。s h a v e z i p u r 等乜3 1 提出一种概率 优化方法求解m e m s 可调电容器问题，优化问题的目标是考虑制造误差的情况下 最大化产品的屈服应力。 1 2 2 模糊优化方法 模糊优化与概率优化主要的差别在于不确定参数的建模方式。在概率优化中， 不确定量是由离散或连续的概率分布函数来描述的；而在模糊优化中，将不确定 量看做模糊数，将约束看做模糊集。可以允许约束有一定程度的不满足i 将约束 的满足程度定义为约束的隶属度函数。 自从b e l l m a n 和z a d e h “刀提出模糊决策以来，模糊规划不论是在理论研究还是在 应用方面都得到了长足的发展。针对不同的实际问题，许多学者提出了各种解决 方法，不同的决策问题和决策者可能有不同的决策方法和偏好。文献瞳4 3 介绍了模 糊规划中的一些常用方法。i n u i g u c h i 和r a m i k 乜朝将模糊规划分为三类：带有容差的 模糊规划，带有不确定因素的模糊目标和约束、带有容差及不确定性的目标数学 规划。按照目标和约束的性质来分类，模糊规划可分为线性规划和非线性规划心6 i 。 目前，模糊线性规划的研究已趋于成熟，但是模糊非线性规划还很难找到一个行 之有效的求解方法。唐家福等乜刀基于二次规划方法就模糊非线性规划问题进行研 究和讨论。刘宝碇等乜8 3 提出了神经网络混合智能算法来求解模糊非线性规划问题。 1 2 3区间优化方法 在实际的决策问题中，要获得大量的信息以构造不确定参数的精确的概率分布 或模糊隶属度函数往往困难很大甚至根本无法获得。所以，在实际概率优化求解 中，决策者往往对随机变量的分布类型及其相应参数在一定程度上做出近似与假 设。然而，b e n h a i m 和e l i s h a k o f f 4 2 钉研究发现，不确定参数概率分布的较小误差可 能导致很大的可靠性分析偏差。然而对于实际工程问题，获得不确定参数的可能 的取值范围则相对容易地多，所需的不确定性信息也大大地减少。为此，国内外 的许多学者发展了非概率的不确定性建模手段，并在此基础上提出了相应的非概 率不确定性优化理论与方法，从而使得很多概率优化和模糊优化无法求解的不确 定性优化问题得以方便、经济地求解。凸模型优化口圳和区间优化e l 前主要的两 类非概率不确定优化方法。 在区间优化中，任一不确定参数可能的变动范围通过一区间来表示，即只需要 知道参数的上、下界，而并不需要知道其精确的概率分布或模糊隶属度函数。目 前，区间优化无论是在理论还是在应用方面都得到了长足的发展。根据目标函数 和约束的性质分类，区间优化可以分为线性及非线性优化两类。在区间线性优化 研究方面，t a n a k a 引，r o m m e l f a n g e r 口7 3 及i s h i b u c h i 印通过引入区间序关系，将区间 优化转换为确定性的参数规划。刘新旺等研究了区间数同时存在于目标函数和 约束中的情况，并提出了一种基于模糊约束可能度的求解方法。张全等叫基于概 率方法构造了一种新的区间可能度并用于求解多属性决策问题。s e n g u p t a 和p a l h 妇 对目前的区间序关系方法进行了系统的回顾和研究，并给出了两种新的排序方法。 i n u i g u c h i 和s a k a w a h 2 1 基于最大最小后悔准则，提出了基于迭代松弛算法来求解区 间系数存在于目标函数中的区间优化问题。以上的研究都集中在线性区间优化领 域，即在研究的问题中，目标函数和约束都是关于设计变量或不确定变量的线性 函数。然而，在非线性区间优化方面的研究工作在最近几年才开始展开，相关的 研究成果及出版文献较少。l e v i n h 3 1 最早从数学的角度研究了非线性区间优化问 题，通过引入区间拉格朗日函数来进行求解。马龙华h 4 3 系统地展开了非线性区间 优化的研究，提出了一种结合目标函数期望值、不确定度、后悔度的三目标鲁棒 性优化方法，在每一迭代步，通过两次对不确定变量的优化求取不确定目标的区 间。姜潮等h 明研究了不确定参数同时存在于目标函数和约束中的非线性区间优化 问题，通过引入区间序关系和可能度转换模型，将其转换为一个确定性的两目标 优化问题来进行求解。文献h “4 7 1 通过引入神经网络，近似模型管理等方法大大提 高了非线性区间优化问题求解效率。程志强等n 刚提出了区间参数描述的不确定系 统多目标优化的一般性问题，并发展了一种结合遗传算法与常规非线性优化方法 的递阶优化求解策略来求解非线性区间多目标优化问题。w u h 引从数学的角度给出 了区间值目标函数优化问题的k k t 条件，并提出了区间优化处理方法。蒋峥心1 通过 引入决策风险因子和偏差惩罚项，提出了一种含有决策风险因子的非线性区间规 划的命题形式，并采用一基于遗传算法的递阶方法求解转换后的极大极小问题。 1 3区间优化方法目前存在的问题 区间优化方法，虽然已经得到国内外学者多年的研究，但从目前的研究状况 来看，其水平仍处于探索阶段，还未形成成熟的理论体系。对于非线性区间优化 问题，其转换后的确定性优化问题通常是两层嵌套优化问题。外层优化用于设计 变量的寻优，内层优化用于求解不确定目标函数和约束在当前设计向量的边界。 两层嵌套优化造成的效率低下是非线性区间优化的研究瓶颈问题。 对于实际的工程问题，优化模型大多是基于数值分析模型，这些数值分析模 型的单次计算十分耗时，两层嵌套的效率优化往往使得设计效率无法满足设计要 求。近些年来，国内外学者致力于发展消除基于数值分析模型的嵌套优化的高效 算法的研究，通过区间分析方法来求解不确定目标函数和约束在当前设计向量的 边界，能够避免内层优化，从而提高计算效率。由于区间分析方法是基于一阶泰 勒展式，需要满足不确定性水平较小的前提条件，所以对于大不确定性水平问题， 在求解不确定目标函数和约束的边界时通常造成较大的计算误差，导致算法精度 降低。 1 4本文的主要研究内容 本文研究的主要目的是，发展一种可求解大不确定性问题的高效区间结构优 化算法，并将相关方法应用于实际工程问题中。 本文的整个研究内容和研究思路从以下四个方面展开： 1 ) 介绍了区间优化的一般性方法及两类区间分析方法； 2 ) 提出一种求解大不确定性问题的区间优化算法； 3 ) 某型商用车汽车车架区间结构分析及不确定优化设计： 4 ) 区间不确定性优化设计软件开发。 第2 章非线性区间优化及分析 2 1引言 对于不确定性优化问题的求解，通常是先通过数学转换模型将其转换为确定 性的优化问题，然后基于确定性的优化方法进行求解。非线性区间优化通常是通 过区间序关系和区间可能度将不确定性优化问题转换为确定性优化问题。转换后 的确定性优化问题往往是两层嵌套优化问题，外层优化用于设计变量的寻优，内 层用于求解不确定目标函数和约束在当前设计向量的区间。 嵌套优化造成的效率低下是区间结构优化的瓶颈问题，消除基于数值分析模 型的嵌套优化能够有效地提高计算效率，而区间分析方法是一种有望高效求解内 层优化的方法，通过少数次的调用数值分析模型计算获得结构的响应区间，因而 能够有效地避免结构优化时的内层优化求解。 本章介绍了一种非线性区间优化方法h 5 1 及区间分析方法们，作为本论文的研 究基础。 2 2 非线性区间优化方法 2 2 1非线性区间优化问题一般描述 一般的区间优化问题可描述为： m i ，nf ( x ) s t 蜀( x ) 岛，汪1 ，z ，x q ” 五x 墨 ( 2 1 ) 式中，x 为n 维设计向量，其取值范围为q ”。x 和x ，分别表示设计向量x 的下界 和上界。厢蜀分别为目标函数和第f 个约束，它们是关于x 的非线性连续函数。岛为 第i 个约束的容许值。 如果考虑不确定参数的影响，并且采用区间度量不确定性，则可得到一区间不 确定性优化问题： m 。i n f ( x ，u ) s t ( x ，v ) b = 酵，酽 ，i = 1 ，x q ” x l s x s xr u u 7 = 扩，u r ，配酬砰，w ，i = 1 2 ，g ( 2 2 ) 式中，厂和& 都是关于设计参数和不确定参数的非线性函数，它们都是x 和u 的 连续可导函数。为q 维不确定向量，其不确定性用一q 维区间向量u 7 描述。畔 和钟分别表示不确定参数的下界和上界。巧为第j 个不确定约束的允许区间，实 际问题中可以为实数。 u 。和u 分别定义为不确定区间的中点和半径： 咋华，儿丁w r w l ( 2 3 ) 可定义r ( w 7 ) 来度量u 7 的不确定水平： 巾) 2 呙 亿4 ， 2 2 2区间序关系及不确定目标函数处理 区间序关系通常用于判断一区间是否优于( 劣于) 另一区间，在区间优化中 常用于处理不确定目标函数。通过引入区间序关系模型，可以在优化的过程中评 价不同设计向量下目标函数的优劣，从而评价相应设计向量的优劣，进而找到最 优的设计向量。 根据决策者的偏好，文献h 4 1 总结了目前常用的区间序关系，对于最大化和最 小化优化问题，区间序关系具有如下的形式： 1 ) 区间序关系。 漩a t b t ，裟篡二。b 鬻0 b ( 默雠化亿5 ， l 彳7 刑b 7 并且仅当么7 伽 。和彳7 7 一、 i a 7 删b 7 并且仅当彳。b 。和a b w 【么。 瑚b 7 并且仅当彳。b 7 和彳7 b 7 该序关系表达了决策者对区间中点和半径的偏好。 2 ) 区间序关系皿 fa 7s 地b 7 并且仅当b 和彳r b r 【么7 从b 7 并且仅当彳从b 7 棚7 b 7 ( 最小化优化问题) ( 2 6 ) ( 最大化优化问题) ( 2 7 ) 陵a 1 l r 。b 1 b ，瓣美：己b 篡嚣b c 鼢化优化仁8 ， 【彳 衄7 并且仅当4 7 朋 7 和么7 7 一 、7 该序关系表达了决策者对区间上、下边界的偏好。 3 ) 区间序关系k 彳：kb ：薏导圣掌么：舻翼。， ( 最大化优化问题) ( 2 9 ) ia 7 ，。b 7 并且仅当彳7 。b 7 和彳。b 。 一 、7 f 彳7 ，。b 7 并且仅当4 b 和a 。b 。 【a 7 缸b 7 并且仅当4 。kb 7 税7 b 7 该序关系表达了决策者对区间下界和中点的偏好。 4 ) 区间序关系， fa 。，b 7 并且仅当a l b 工 i a 7 ，b 。并且仅当么7 ，b 7 和a 7 b 。 ia 7 ，b 7 并且仅当a b 三 l a 。 ，b 7 并且仅当a 7 ，b 7 和彳7 b 7 该序关系表达了决策者对区间下界的偏好。 5 ) 区间序关系p ia 。b 7 并且仅当a r b 只 【a 7 rb 7 并且仅当4 岛b 。和么。b 7 ( 最小化优化问题) ( 2 1 0 ) ( 最大化优化问题) ( 2 1 1 ) ( 最小化优化问题) ( 2 1 2 ) ( 最大化优化问题) ( 2 1 3 ) ( 最小化优化问题) ( 2 1 4 ) 该序关系表达了决策看对区l 司上界的偏好。 考虑不确定性因素的影响，目标函数可能取值不再为一实数，而是构成一区 间： 厂7 ( x ) = 厂( x ) ，f r ( x ) ( 2 1 5 ) 对于任意的x ，可以通过两次优化过程求解不确定目标函数的上下界，即： ( x ) = 唔n 厂( x ，u ) ，f r ( x ) = r n , 学x v f ( x ，u ) u r = u i 砰s 配钟，i = 1 2 ，g ) ( 2 1 6 ) 选用。的形式的区间来处理( 2 2 ) 式中的不确定目标函数，以此来评价设计向 量的优劣。贝j j ( 2 2 ) 式中的不确定目标函数可以转换为如下的确定性优化问题： 呼( 厂。( x ) ，厂( x ) ) ( 2 1 7 ) 酽 和 舻口 乙妄 足 ， 么4 当当仅仅且且 并并 ， b b r r v i 彳么 ，l 式中， 厂c ( x ) ：盥掣 删：衄 q j 趵 为了后续计算的方便，可以采用线性加权法将上式进一步转换为一单目标的优 化问题： r a x i n 厶( x ) = ( 1 一) ( 厂。( x ) + 孝) 参+ ( 厂( x ) + f ) ( 2 1 9 ) 式中，以为多目标评价函数，o 1 为多目标权系数，善为保证f 。( x ) + 善和 f ( x ) + 孝非负的参数。痧和y 为多目标函数的正则化因子。 2 2 3区间可能度及不确定约束的转换 区间可能度用于定量地描述一区间大于( 优于) 另外一区间的具体程度。国 内外学者在线性区间优化的研究中，提出了多种区间可能度的构造方法。张全等h 们 首先引入概率方法，提出了一种新的区间可能度构造方法。在此基础上，文献h 们 提出了一种改进的区间可能度构造方法，该方法充分考虑区间么7 和召。所有可能位 置关系，如图2 1 所示。基于区间可能的位置关系，应用概率方法，改进的区间可 能度构造如下： p ( 么。b 7 ) = 0 ， 。5 万w r 刁_ m l 矿b r _ 了m l ， a 工b r b 工a 工 b 尺a r 万w l _ 可m l + 。5 万w r _ 刁w l ， a l b l b r a r j g f l 二_ j a f l + j m 可r _ b l 历b 可r _ m r + 。5 j x 哥r b g 面m 呵r _ b l ，a l 召l s 彳r 曰r j f 二j f + j 可历可+ o 5 。j 哥面呵 b 。s 彳“ b “ 而b r _ m r 一筹， b l a l a u b r 1 ， a r b 工 ( 2 2 0 ) 式中，彳和b 被视为区间内均匀分布的变量，且概率p ( a b ) 的值等同于可能度 p ( a 7 b 7 ) 的值。p ( a 7 b 7 ) 表示区间彳7 不大于区间b 7 的概率。a l 和a r 对应于区 间a 7 的下界和上界，和b r 分别是区间b 。的下界及上界。 一种求解人不确定性问题的区间优化方法及应用 彳工b 工占r 彳r c ) 曰工彳工 b 彳工b r 彳r b ) 么lb 工彳r召r d ) 彳r 口r 彳工彳rb lb r e )f ) 图2 1 区间彳7 和b 7 可能的六种位置关系 区间司能厦司以用于处理不等式约束，便区i 司不确定约束在某一可能度水平 下得到满足，对于式( 2 2 ) 中不等式约束岛( x ，u ) 彰，可以转换为如下的确定性的 不等式约束： 尸( ( x ) 彰) 丑 ( 2 2 1 ) 式中，五为一预先给定的可能度水平，其取值范围为o sl 。彰( x ) 为不确定约 束函数蜀( x ，u ) 在x 处由不确定性因素造成的可能取值区间： 彰( x ) = 酽( x ) ，g 产( x ) ( 2 2 2 ) 可通过两次优化求解获取岛( x ，u ) 在x 的区间： 群( x ) = r a i n & ( x ，u ) ，g f ( x ) = n 蜀( x ，u ) u e f = u l 畔啦，f = 1 2 ，g ) ( 2 2 3 ) 2 2 4 确定性优化问题及其求解 通过以上处理，( 2 2 ) 式表示的不确定性优化问题可以转换为如下的确定性的优 化问颢： 4 工 4 彳 ) r a 8 l b m 曼n xf d ( x ) = ( 1 - p ) ( f 。( x ) + 孝) 肜+ ( 厂( x ) + f ) 肜 s t p ( 彰( x ) 6 ) 五，i = 1 ，2 ，一j 五x x r ( 2 2 4 ) 为了计算方便，可以基于罚函数法进一步将上式转换为一无约束的确定性的 优化问题： n l x i x l l ( x ) = 厶( x ) + 仃毒缈( p ( g ；( x ) 吖) 一五) = ( 1 一) ( 。( x ) + 善) 参+ ( 厂( x ) + 善) + 盯窆伊( p ( 彰( x ) 6 ) 一以) s t x x x r ( 2 2 5 ) 式中，仃为罚因子，一般取较大的值，缈为罚函数，可表示如下： 伊( p ( 彰( x ) 彰) 一五) = ( m a x ( o ，一( p ( ( x ) 吖) 一以) ) ) 2 ( 2 2 6 ) 转换后的确定性优化问题是两层嵌套优化问题，其中外层优化用于设计向量 寻优，内层优化用于计算不确定目标函数和约束在当前设计向量的区间。求解式 ( 2 2 5 ) 的常规优化流程如图2 2 所示。 图2 2区间优化问题的一般求解流程 由于嵌套优化的存在，即使原不确定性优化问题是连续和可导的，转换后的 优化问题通常也是非连续和不可导的，所以传统的基于梯度的优化方法难以对其 进行有效的求解。另外，对于内层优化，理论上可以采用常规的基于梯度的非线 性优化算法进行求解，但是由于这些算法都是局部最优算法，不同的初始条件往 往得到不同的最优值，所以一般而言很难获得不确定目标函数和约束在每一迭代 步的精确区间。然而在非线性区间优化中，目标函数和约束区间的精确求解相当 重要，它直接关系到外层优化对于设计变量的寻优。特别是将该方法用于求解工 程结构优化问题时，通常需要大量的调用结构的数值分析模型，其计算效率往往 无法满足设计要求。 2 3区间分析方法 区间分析方法用于求解结构在不确定性条件下的响应边界。它是基于区间数 学理论而发展起来的一种数值分析方法。该方法的相关研究成果 5 1 - 5 3 】已经广泛地 应用于静力学、动力学、特征值等结构力学问题的求解。通过引入区间分析方法， 能够高效地求解结构在不确定因素影响下的响应区间，从而避免区间优化中的内 层优化，消除基于真实数值分析模型的嵌套优化，提高求解效率。根据不确定性 水平的大小，区间分析方法可以分为“小不确定性区间分析方法 和“大不确定 性区间分析方法 两类。 2 - 3 1小不确定性区间分析方法 在结构分析中，由于不确定性因素的影响，结构响应( 位移、应力、应变) 的可能取值往往不再是一个实数，而是构成一个区间。 可利用如下区间向量u 7 描述不确定性参数： u 7 = 扩，u 尺 ，q = 砰，w ，i = 1 ，2 ，q ( 2 2 7 ) u 7 又可写成以下的形式t u 。= u “一1 ，l l u w = w “一1 ，1 】吖，i = l ，2 ，q ( 2 2 8 ) 式中， u c ：下u l + u r ，昕：粤竽小1 ，2 2 ，g ( 2 2 9 ) u w ：u r 了_ u l ，u 7 ：u f 了- u 一, ，f ：1 2 ，g ( 2 3 0 ) 基于( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 式，不确定向量可以写成： u = u 。+ 8 u ( 2 3 1 ) 式中， 8 u - 1 ，1 】u ”，姒卜l ，l 】吖，i = 1 ，2 ，g ( 2 3 2 ) 由于不确定参数满足小不确定性水平，可基于一阶泰勒展式获得结构响应【5 4 】： 邶m ( u 。+ 8 u m ( 旷) + 言哿o u ， ( 2 3 3 ) 基于自然区间扩展方法【1 3 】，可获得结构响应区间： 厂，) ：f ( u c ) + 羔 j = l 所以结构的相应响应区间为： f l ( u ，) = f ( u c ) 一壹 j - 【- 1 ，l 】吖 ( 2 3 4 ) 八叻州+ 嘉l ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 可以看出，若是通过区间分析方法获得结构响应区间，需要计算结构在不确 定中点的结构响应值和结构响应对于所有不确定变量的一阶梯度值。对于结构静 力学问题，可通过敏感性分析的方法直接获得结构响应对于不确定变量的一阶梯 度。对于结构动力学问题，可采用差分法，通过两次数值分析模型的计算来求解 一阶梯度。 2 3 2 大不确定性区间分析方法 区间分析方法使用一阶泰勒展式对结构响应线性近似，需要满足小不确定性 水平的前提条件。对于大不确定性区间分析问题，可以引入子区间技术【5 4 i 来进行 求解，即可以将不确定参数分为一系列小不确定性水平区间求解。 为了避免较大的不确定性水平造成区间分析方法较大的计算误差，可将不确 定变量的区间划分为多个不确定性水平较小的子区间： ( 彰) 。= 卜半咖等旧，2 ，如同 2 ，留 ( 2 3 7 ) 式中，【叫九表示第_ 个不确定变量区间叼的第f 个子区间，t j 表示叫的子区间数。 对于不同的不确定变量，可以根据其不确定性水平划分不同数目的子区间。从每 一个不确定变量的区间中抽取一个子区间，可以产生，种不同的子区间组合： ，= 6 h 。厶 ( 2 3 8 ) 对于每一个子区间，可以采用小不确定性区间分析方法获得结构响应区间： ，7 ( v q l q 一g 覃) = 【厂( u 嘭) ，厂尺( u 毛g 2 q ) ，g ：，= 1 ，2 ，t j ，y = l ，2 ，g ，i = 1 ，2 ，珂 ( 2 3 9 ) 式中，g 2 g 口表示一子区间向量，由第一个不确定变量的第g 1 个子区间，第二个 一种求解大不确定性问题的区间优化方法及应用 不确定变量的第g 个子区间，直至第g 个不确定变量的第q 个子区间组成。 基于区间集理论，可以获得结构响应在整个不确定域上的响应区间： 厂。( u 。) = m i n ( f l ( u 毛g 2 q ) ) ，m a x ( f 尺( g 2 q ) ) 】 ( 2 4 0 ) 通过上述的处理，区间分析方法可以用于处理任意大不确定性结构问题，只 是子区间划分要足够多。但也应清晰地看到，计算效率将会有所下降，因为它通 过多次的小不确定性区间分析来计算来求解结构响应，且计算的次数与不确定变 量的子区间的个数有关。 对于实际结构问题而言，“大不确定性 通常是一个相对的概念，它在绝对数 值上是较小的，因为