（概率论与数理统计专业论文）两类半参数统计模型中的估计方法.pdf

摘要 摘要 变系数模型( v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l ) ( 也称为函数系数模型f u n c t i o n a l c o e f f i c i e n t m o d e l ) 是一般线性模型的一种有用推广。由于变系数模型能够涵盖许 多常见的模型，因而引起了许多统计工作者的研究兴趣。变系数模型既部分保留 了非参数回归的特点，又具有结构简单、模型容易解释等优点，因而在生物、医 学医药研究、经济金融等领域的统计分析中得到了广泛的应用。 本文尝试用小波方法对变系数模型进行研究。小波作为一种技术，最初主要用 于地震数据分析，后来随着其理论的发展，在图象处理、信号分析、数据压缩等 方面也有了广泛的应用。但小波应用于统计还是上世纪九十年代初的事，由于小 波理论为数理统计工作者提供了强有力的新技术，具有种种优良性，因而在统计 领域得到了广泛的重视与应用，尤其近几年小波在统计学的应用方面的有关研究 有了飞速的发展。 本文首先研究了h a s t i e 和t i b s h i r a n i ( 1 9 9 3 ) 提出的变系数模型，运用小波方 法建立了未知系数函数以及模型误差方差的估计量，并讨论了这些估计量的渐近 性质。本文还讨论了另一类非参数估计问题，课题来源于复旦一瑞士再保险研究 基金和国家自然科学基金项目，我们的研究结果为老年互助保险项目的研究提供 了一种切实可行的方法。本课题旨在注重理论和实践相结合，体现学科的交叉与 融合。以下是备章的主要内容介绍 本文第一章简略回顾了统计模型的发展与演变，主要介绍了变系数模型的几种 不同形式以及相关的各种估计方法，并列出了已有的一些研究成果，同时指出了 摘要 变系数模型在实践中的可行性与广泛性。同其它方法相比，小波方法有许多优点 比如相对于正交级数估计，它对待估函数的要求较低，而得到的大样本性质较为 理想。小波还具有能十分精确地描述出复杂曲线局部特征的能力，因而受到许多 工程师、数学及统计工作者的广泛关注。因此本论文的第二、第三章将使用小波 估计方法，与此相关在本章简略介绍一些小波的有关知识。存这一章的最后阐述 了论文的土要研究内容和结果，并作了小结。 本文的第二章讨论如下形式的变系数模型： _ y = 届( r ) + + 岛( ，) 十f 其中y 为响应变量，x = ( 鼍，o ) 7 和f 为协变量，p 为随机误差，且e ( e ) ；o e ( e - ) = 0 2 只( f ) ，= l ，p 为未知的非参数函数，不失一般性，假设岛( ，) 的 定义域为【o ，1 】。口2 是未知参数。该模型可以看作是一般线性模型的推广，它允 许回归系数为某一回归变量f 的函数，只( ) 能够比较详细地刻画出与f 的相互 关系。另外由于屏( ) 为一般的非参数函数，回归模型的偏差显著地减少，有力 地避免了“维数祸根”现象。本文假设回归变量x 是随机设计，而t 是固定设计 的情况下，将非参数回归小波的估计方法推广到上述变系数模型，建立了函数系 数 只( f ) ，= i ，p 的小波估计并在较弱的条件下得到了估计的强一致收敛性 和渐近正态性。 本文第三章讨论了上述变系数模型误差方差的估计问题，提出了误差方差口2 的小波估计，并证明了它的大样本性质，同时还构造了v a r ( p 2 1 的小波估计群r 证明了群的弱相能并龇得出掣与( 0 ，吼这一结果硼 于构造口：的大样本区间估计或对矗2 进行大样本检验。在相同的模型下，与已有 的研究结粜相比较，我们对待估函数的要求较低，而得到的估计性质较为理想， 摘要 并且研究的结果可用于统计目的，这是有实际意义的。 本文第四章讨论了老年互助保险项目研究中生存函数的估计问题。课题的背景 源于保险精算，在老年互助保险中，需要估计健康寿命( 能自理) 、半自理状态 寿命及完全不能自理状态寿命的生存函数，能够知道的信息是只有在6 0 岁虬后 的各个状态的样本，而要估计的是在6 0 岁以前的某个有限生命区间内各状态的 生存函数。其特殊性在于样本取值区间与生存函数的考察区间并不一致因此通 常的经验分布方法并不完全适用。 设鼻，x ：，x 。是来自f ( 功的独立样本，当h x ) 的泛函形式未知，但可用 【o ，1 上的多项式最x q x 逼近时，郑租康( 1 9 9 5 ) 已提出一种混合矩估计 方法，并建立了估计量的强相合性，只是郑祖康( 1 9 9 5 ) 的方法假定分布函数的 支撑集为【o ，1 1 ，限制了它的应用范围。本文讨论f o ) 的泛函形式未知，但经过 l o g i t 变换后可用多项式逼近的情形，这就去掉了关于支撑集为【o ，l 】的限制。设 f ( x ) 有密度函数j r ( 力，且存在某个r 1 ，( r 未知) ，使得 k s 端= a 0 十叩一t + 钏z ) 其中z 0 ，0 ，c ( 。，) 。由最小二乘估计的思想，我们得到了逼近多项 式的系数 喁，q ，d ， 的估计，进一步得到了分布函数，“) 的估计量，并且证明 了系数估计 也，画，匆 的一致收敛性和分布函数估计户( x ) 的一致收敛性。我 们在主要讨论分布函数f ( x ) 的同时，也得到了其密度函数，( x ) 和失效函数且( x ) 的非参数估计及其相应的大样本结果。模拟结果显示估计是理想的。 本文最后作了总结与展望。 关键词：变系数模型，小波估计，函数系数，一致收敛性，l o g l t 变换 2 0 0 0 西文数学分类号；6 2 f 1 2 ，6 2 g 0 5 ，6 2 g 2 0 ，6 2 3 9 9 。 a b s t r a c t a b s t r a e t v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l ，a l s ok n o w na sf u n c t i o n a lc o e f f i c i e n tm o d e l i sa u s e f u le x t e n s i o no ft h eg e n e r a ll i n e a rm o d e l s i n c ev a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e lc a n c o v e ral o to f o t h e rm o d e l s ，i th a sa t t r a c t e dt h ei n t e r e s to f m a n ys t a t i s t i c a lr e s e a r c h e r s v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sn o to n l yr e t a i n s p a r t i a l l y t h ec h a r a c t e r i s t i c so f n o n p a r a m e t r i er e g r e s s i o n ，b u ti sa l s os i m p l ei ns t r u c t u r ea n de a s yt oe x p l a i n ，w h i c h h a sl e dt oi t se x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni ns t a t i s t i c a la n a l y s i si nb i o l o g y , m e d i c i n ea n d m e d i c i n a lr e s e a r c h ，e c o n o m i c sa n df i n a n c e t h i sp a p e rc o n d u c t sr e s e a r c ho nv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e lv i aw a v e l e tm e t h o d a sa t e c h n i q u e ，w a v e l e tm e t h o dw a sf u s t m e di nt h ea n a l y s i so f s e i s m i cd a t a w i t hi t s t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t ：t h em e t h o dh a sb e e na l s of o u n de x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni n i m a g ep r o c e s s i n g ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n dd a t ac o m p r e s s i n g t h ee a r l y1 9 9 0 sh a s w i t n e s s e dt h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e tm e t h o di ns t a t i s t i c a ls t u d i e s s i n c ew a v e l e t m e t h o dp r o v i d e sa f l l m e r f u ln e wt e c h n i q u ef o rs t a t i s t i c a lr e s e a r c h e r sa n dh a s d e m o n s t r a t e di t sv a r i o u sa d v a n t a g e s ，i t h a sb e e nh i g h l yv a l u e d , a n dr e c e n ty e a r s ，i th a s b e e nr a p i di n c r e a s ei nt h en s eo f w a v e l e tm e t h o di na p p l i e ds t a t i s t i c a ls t u d i e s t h i sp a p e rf i r s ts t u d i e st h ev a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e lb yh a s t i ea n dt i b s h i r a n i ( 1 9 9 3 ) ，a n de s t a b l i s h e su n k n o w nf u n c t i o nc o e f f i c i e n t sa n dv a r i a n c ee r r o re s t i m a t o r , a n dd i s c u s s e sa s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fe s t i m a t o r s t h ep a p e ra l s od i s c u s s e sa n o t h e r t y p eo fn o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o n t h i sr e s e a r c hw a sf i n a n c e db yf u d a n s w i t z e r l a n d r e i n s u r a n e ef u n da n dt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a f i o no fc h i n a , a n do u f r e s e a r c hf i n d i n g sh a v ep r o v i d e dap r a c t i c a lm e t h o df o rr e s e a r c hi nm u t u a li n s u r a n c e f o rt h ee l d e r l y t h i sp a p e rt r i e st oc o m b i n et h e o r yw i t hp r a c t i c e a n dr e a l i z e st h ec “) s s c o n n e c t i o n o f d i f f e r e n t d i s c i p l i n e s t h e m a j o r c o n t e n t s o f e a c hc h p t e ra r e a s f o l l o w s ： c h a p t e ro n es u m m a r i z e st h ed e v e l o p m e n ta n de v o l u t i o no f s t a t i s t i c a lm o d e l s ，w i t h e m p h a s i so nv a r i a t i o n so f v a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l sa n dr e l a t e de s t i m a t i o nm e t h o d s r e s e a r c ha c h i e v e m e n t sa r eo u t l i n e d ，a n df e a s i b i l i t ya n de x t e n s i v e n e s so ft h e i v a p p l i c a t i o no fv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l a l ed o c u m e n t e d c o m p a r e dw i t ho t h e r m e t h o d s ，w a v e l e tm e t h o dh a sm a n ya d v a n t a g e s f o re x a m p l e ，c o m p a r e dw i t h o r t h o g o n a ls e r i e se s t i m a t i o n ，w a v e l e t m e t h o dh a sal o wd e m a n do nf u n c t i o n , w h i l et h e l a r g es a m p l er e s u l t i n gi sm o r es a t i s f a c t o r y w a v e l e tm e t h o dc a na c c u r a t e l yd e s c r i b e t h el o c a lf e a t u r e so fc o m p l e xm l r v e s , w h i c hh a sc a u g h tt h ea t t e m i o no fm a n y e n g i n e e r sa n dr e s e a r c h e r si n m a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s t h i sc h a p t e rw i l lg i v ea g e n e r a li n s t r u c t i o nt ow a v e l e tm e t h o ds oa st ol a ya b a s i sf o rc h a p t e r st w oa n dt h r e e i nw h i c hw a v e l e tm e t h o dw i l tb ee m p l o y e di na n a l y s i s a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r , m a j o rr e s e a r c hc o n t e n t sa n d r e s u l t sa r ee l a b o r a t e d ，a n das u m m a r yi sg i v e n c h a p t e r t w o d i s c u s s e s t h e f o l l o w i n gv a r y i n g c o e f f i c i e n t m o d e l ： y = 届o ) + 十j ，以o ) + p w h e r ey i sr e s p o n s ev a r i a b l e ，x = b ， ya n d fa r ec o v a r i a b l e s ，fi sr a n d o m e r r o r , w h e r e a s e ( 。) = o ，e ( e 2 ) = 莎2 。饵( ，) ，j = l ，p j a r eu n k n o w n n p a r m e 妇f t m c t i o n s ，w i t h o u t l o s i n gg e n e r a l i t y , l e t t h e d o m a i n o f 岛( ，) b e 【o ，l 】 口2i sn i l k n o w np a r a m e t e r t h i sm o d e lc a l lb es e e ni t sa ne x t e n s i o n o fg e n e r a ll i n e a r m o d e l ，w h i c ha l l o w sr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n tt ob et h ef u n c t i o no f ar e g r e s s i o nv a r i a b l e t 廖( ) i sa b l et od e s c r i b ei nd e t a i lt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n _ a n df i n a d d “i o l l ， s i n c e 只( ) i sag e n e r a ln o n p a r a m e t i l ef u n c t i o mt h e e r r o ro fr e g r e s s i o nm o d e lb n o t i c e a b l yr e d u c e d h e n c es t r o n g l ya v o i d t h ep h e n o m e l l o no f “e n r s eo f d i m e n s i o n i n t h i sp a p e r , l e t b er a n d o md e s i g n , w h i l e ，b ef i x e dd e s i g n a p p l yn o n p a r a m e t r i c g t e s s i o nw a v e l e te s t i m a t i o nt o t h ea f o r e m e n t i o n e dv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l ，w e c a l le s t a b l i s h 啪v e l e te s t i m o r i o n o f f u n c t i o nc o e f f i c i e n t s 只( ，) ，j = l ，p ，a n d c a n g e ts t r o n gu n i f o r mc o n v e r g e l l c e a n da s y m p t o t i cn o r m a l i t y c h a p t e ft h r e ed i s c u s s e sw i t he r r o rv a r i a n c e e s t i m a t i o no fv a r y h gc o e f f i c i e n t m o d e lm e n t i o n e dp r e v i o u s l y ，p r o p o s e sw a v e l e te s t i m a t i o n 最f o r e r r o rv a r i a n c e 圹2 ， dp m v e si 招l a 璎es a m 业n a t u r e 。i ta l s oe s t a b l i s h e sw a v e l e te s t i m a t i o n 群f o r v a b s t r a c t v a r ( e 2 ) ，a n d p r o v e s t h ew e a kc o n s i s t e n c e o f 谚，f r o m w h i c h 警山灿a ，t h i s r e s u l tc a nb eu s e dt oc o n s a 喀e s a m p l ei n t e r v a le s t i m a t i o no rc o n d u c tl a r g es a m p l et e s tf o rd 2 f o rs a m em o d e l ， c o m p a r e dw i t he x i s t i n gr e s e a r c hr e s u l t s ，t h i sm e t h o d h a saw e a kd e m a n df o rf u n c t i o n s t ob ee s t i m a t e dw h i l ea c h i e v i n gn l o r cs a t i s f a c t o r ye s t i m a t i o np r o p e r t y i na d d i t i o n , t h e r e s e a r c hr e s u l t sh e r ec a l lb eu s e df o rs t a t i s t i c a lp u r p o s e s ，s oi t h a sp r a c t i c a l a p p l i c a t i o i l s c h a p t e rf o u rd i s c u s s e st h ee s t i m a t i o no fs u r v i v a lf u n c t i o n si n m u t u a li n s u r a n c e f o ft h ee l d e r l yp r o j e e l ，t h ep r o j e e ls t e m sf r o mi n t e n s i v ec o m p u t a t i o no fi n s u r a n c e i nm u t u a li n s u r a n c ef o r t h ee l d e r l y , w en e e dt oc o n d u c te s t i m a t i o nf o rs u r v i v a l f u n c t i o n so fs e l f - s u s t a i n i n g l i f e s p a n , s e m is e l f - s u s t a i n i n g l i f e s p a na n d n o n - s e t , s u s t a i n i n gh 话s p a n t h eo n l yk n o wi n f o r m a t i o nt s t h es a m p l eo fi n d i v i d u a l s t a t ea f t e rt h ea g eo f6 0 w h a tn e e d st ob ee s t i m a t e di st h es u r v i v a lf u n c t i o n so fa g i v e nl i f ep e r i o dp f i o rt o 6 0 w h a ti ss p e c i a li st h a tt h es a m p l e - t a k i n gi n t e r v a li s d i f f e r e n tf r o mt h a tf o rs u r v i v a lf u n c t i o n ，t h e r e f o r et r a d i t i o n a le m p i r i c a ld i s t r i b m i o ni s n o tt o t a l l ya p p l i c a b l e l e t 置，x 2 ，e b ei n d e p e n d e n ts a m p l ef r o mf ( x ) ，w h e nf u n c t i o n a lf o r mo f ，( x ) i s n l l k n o w nb u ti tc a nb ea p p r o x i m a t e d w i t h p o l y n o m i a lo n 【o , 1 1 日j q x 7 ，z b e n gz u k a n g ( 1 9 9 5 ) p r o p o s e dt h em i x e dm o m e n te s t i m a t i o nt o l d e s t a b l i s h e ds t r o n gc o n s i s t e n c eo fe s t i m a t o r s b u tz h e n gz n k a n g s ( 1 9 9 5 ) a p p r o a c h a s s u n l e $ t h a tt h es u p p o as e tf o rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni so n 【o ，l 】，t h i sh a sl i m i t e di t s s c o p eo f a p p l i c a t i o n t h i sp a p e rd i s c u s s e sm l k n o w n f u n c t i o nf o r m ，w h i c hc a l l b ea p p r o x i m a t e da f t e rt o g i tc o n v e r s i o n ，t h e r e b ye l i m i n a t e st h el i m i to fs u p p o r ts e t 【o ，1 1 l e t ，o ) h a sd e n s i t yf u n c t i o n f ( x ) ，a n dt h e r ee x i s t sae e r t a i n ，1 ，( r i s u n k n o w n ) w h i c hs a t i s f i e s v i a b s t r a c t k s 端叫叩+ t t + 圳x ) w h e r ex ( d ，b ) ，( 岛6 ) c ( ，b o ) 。a c c o r d i n gt ol e a s ts q u a r ee s t i m a t i o nt h e o r y , w e c a l lg e tt h ee s t i m a t i o no fa p p r o x i m a t i n gp o l y n o m i a lc o e f f i c i e n t s ，q ，q ，o n w h i c hw eg e tt h ee s t i m a t o r sf o rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nr ( x ) ，a n dp r o v et h eu n i f o r m c o n v e r g e n c eo f c o e f f i c i e n te s t i m a t i o n 也，岛，癣 a n dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n 户( x ) w h i l ed i s e u s s k n gd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n f “) ，w ea l s og e tt h en o n p a r a m e t f i c e s t i m a t i o na n dc o r r e s p o n d i n gl a r g es a m p l er e s u l t sf o ri t sd e n s i t yf u n c t i o n f ( x ) a n d f a i l u r ef u n c h o n 丑( 习t h es i m u l a t i o nr c s d t si n d i c a t et h a te s t i m a t i o ni ss a t i s f a c t o r y l a s tc h a p t e ro u t l i n e sr e s e a r c ha c l l i e v e m e m sa n da s s u m e sr e l a t e ds t u d i e si nt h e 如t n r e k e yw o r d sv a r y i n gc o e f f i c i e n tm o d e l ，w a v e l e te s t i m a t i o n , f u n c t i o nc o e f f i c i e n t , u n i f o r mc o n v e r g e n c e ，l o g i tt r a n s f o r m a t i o n 2 0 0 0m r s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：6 2 f 1 2 ，6 2 1 3 0 5 v n 。g 盎嘻漱。 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：诧 2 0 0 6 年1 2 月8 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 4 争矿 2 0 0 6 年1 2 月8 日 第1 章引青 第1 章引言 在统计学研究中，建立合适的统计模型常常是解决问题的关键。近年来，为 了适应一些比较复杂数据的统计分析，统计工作者提出了许多十分有用的统计模 型。比如，单指标模型、投影追踪模型，可加模型，多指标模型，部分线性模型 等。其中h a s t i e 和t i b s h i r a n i t 1 ( 1 9 9 3 ) 提出的变系数模型能够涵盖一些常见的 模型，如可加模型，部分线性模型，线性模型等。并且该模型具有模型容易解释 应用广泛等特点，因而备受人们关注。本文尝试用小波方法对变系数模型进行研 究。小波作为一种技术，最初主要用于地震数据分析，后来随着其理论的发展 在图象处理、信号分析、数据压缩等方商也有了广泛的应用。但小波应用于统计 还是上世纪九十年代扔的事，由于小波理论为数理统计工作者提供了强有力的新 技术，具有种种优良性，因而在统订领域得到了广泛的重视与应用，尤其近几年 小波在统计学的应用方面的研究有了飞速的发展。 1 1 变系数模型及其估计方法概述 对来自实践的一组数据，建立合适的统计模型去解释它，并利用模型来预测未 来，一直是统计学家追求的目标。纵观各类统计模型的诞生与发展，从参数回归 模型、半参数回归模型到非参数回归模型，无一不是一个从实践到理论，再从理 论到实践的过程。 最初人们使用一元线性回归模型： y = a e + q 爿+ 占 第l 章引言 来拟合数据，其中e ( 4 0 。但是在大部分情况下，随机变量x 和y 之间并不具 有线性关系，这就带来很大的模型偏差。为了克服这一问题，人们提出了增加参 数的方法，即用多项式拟合它们之间的关系，这就是多项式回归模型： y = a o + 口i x + a 2 x 2 + - + 。x ”十 ( 11 2 ) 但是多项式回归模型也相应产生一些问题。比如多项式函数具有任意阶导数，而 要拟合的曲线如果不具有这一性质，那么模型就是不合理的；另外，多项式的阶 数p 过大则带来参数的增加和模型的不稳定性，过小则导致模型误差的增加，异 常值也会对多项式的形式产生影响等等。 为了克服参数回归模型的弱点，统计学家又研究了非参数回归模型： y = r ) + e ( i i 3 ) - z , 1 1r ( x 1 是未知函数，具有一定的光滑性 0 j 。 h a s t i e 和t i b s h i r a l f i 1 1 ( 1 9 9 3 ) 提出的变系数模型是一个很一般的模型，许多常 见的统计模型都可以视为变系数模型的特倒，比如 ( 1 ) 若岛( 弓) = 辟，即所有系数均为常数，则模型( 1 1 4 ) 化为通常的线性 模型( r a n t 8 1 9 6 6 ：r a o t o u t e n b u r g 嘲1 9 9 8 ) ； ( 2 ) 若- = c ，( c 为常数，如c = 1 ) 则第j 项变为z 的未知函数岛( z ，) ，模 型( 1 i 4 ) 化为可加模型( a d d i f i v em o d e l ，b r e i m a n f r i e d m a l l i 1 9 8 5 ， 3 第1 章引言 h a s t i e & t i b s h i r a n i 5 11 9 9 0 ) ： ( 3 ) 若玉= l ，届( z i ) = g ( “) ，只( 乙) = 岛( j = 2 ，p ) 为不全为零的常数 则模型( 1 1 4 ) 即为部分线性模型( w a h l ) a t “11 9 8 4 ，g r e e n & s i l v e r m a n l l 2 】 1 9 9 4 ) ： ( 4 ) 若p = 1 ，玉= l ，肛( z i ) = g ( “) ，则模型( 1 1 4 ) 即为非参数回归模型( h a r t w e h r l y 【1 3 】1 9 8 6 ，r i c e & s i l v e r m a n 1 4 11 9 9 1 ) 。 由于变系数模型能够涵盖许多常见的模型，因而引起了许多统计工作者的研究 兴趣，但由于存在“维数祸根”问题，模型( 1 1 4 ) 在实践中处理问题不太可行， 因此人们常常将z l ，乙取成相同的一元协变量，如表示时间( w e s t ，h a r r i s o n & m i g o n 嘲1 9 8 5 ：h a s t i e t i b s h i r a n i 1 6 11 9 8 6 ：c l e v e l a n d ，g r o o s e & s h y u 6 11 9 9 1 ) 并且针对不同的情况作了一些处理。变系数模型主要感兴趣的问题是函数系数的 估计及估计量的性质。这方面已有的一些成果介绍如下： c a i ，f a n 和y a o 1 7 1 ( 2 0 0 0 ) 讨论了模型 e ( r z = 2 x = x ) ：圭局( z ) _ ( 1 _ l | 6 ) ，d 这里 只( ) ，1 j p 是置到足的可测函数，x = ( ，昂y 。他们用局部线性方 法估计了系数函数只( ) ，j = l ，并在样本口一混合相依的条件下，给出了 估计的相合性和渐近正态性。 在样本独立的情形下，f a n 和z h a n g t ”( 1 9 9 9 ) 证聪了当函数系数具有不同光 滑度对，函数系数 岛( ) ，l j p ) 的局部线性估计达不到最优，为此f a n 和 z h a n g “1 ( 1 9 9 9 ) 提出了一种两步估计方法。若以( f ) 比其它函数系数更光滑， 则第一步先给出函数系数肛( f ) ，岛。( f