（应用数学专业论文）具时滞及脉冲作用的生物动力系统的研究.pdf

摘要 摘要 种群动力学是生物数学的一个重要分支本文在传统常微分模型的基础上， 讨论加入了脉冲和时滞作用的种群动力学模型本文中所讨论的内容简单安排 如下： 第一章简单介绍种群动力系统的发展概况，并给出本文所要做的主要工作 第二章研究一类具阶段结构及捕食者有脉冲扰动的食饵一捕食者模型( 其中 食饵幼体有父母照顾) ，利用脉冲比较定理讨论食饵灭绝周期解的稳定性和系统 的持续生存，利用数值模拟揭示系统的复杂动力学行为，并分析阶段结构对系统 复杂动力行为的影响 第三章讨论一类具时滞的食饵一捕食者系统的稳定性：时滞广泛存在于生物 种群的活动中，时滞在生物动力系统中有着重要的作用，它可能会影响到正平衡 点的稳定性由r o t h h u r w i t z 判据讨论系统正平衡点的存在性和稳定性 第四章讨论一类具时滞及修改的h o l l i n g - t a n n e r 食饵一捕食者系统的h o p f 分支：利用特征方程讨论正平衡点的渐近稳定性运用h o p f 分支理论，以时滞f 为参数给出系统发生h o p f 分支的条件：利用规范型定理和中心流形定理，计算出 h o p f 分支在分支临界值z ；处的性质运用数值模拟揭示系统正平衡点的局部稳 定性以及由h o p f 分支产生的复杂动力学行为 关键词：食饵- 捕食者系统；阶段结构；脉冲；时滞；灭绝；持续生存；h o p f 分支；分支方 向 u a b s t r a c t a b s t r a c t p o p u l a t i o nd y n a m i c si s av e r yi m p o r t a n tb r a n c ho fb i o m a t h e m a t i c s i nt h i s p a p e r ，t h ep o p u l a t i o nd y n a m i c sm o d e l sw i t hi m p u l s i v ea n dt i m ed e l a yo nt h eb a s eo f t r a d i t i o n a ld i f f e r e n t i a lm o d e lh a v eb e e nc o n s i d e r e d t h i sp a p e ra r r a n g e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h ed e v e l o p m e n to fp o p u l a t i o nd y n a m i c ss y s t e ma r eg i v e n ， a n dt h em a j o rw o r ko ft h i sp a p e ri si n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , ad e l a y e ds t a g e s t r u c t u r e dp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht h e i m m a t u r ep r e ya r et a k e nc a r eo fb yt h e i rp a r e n t sa n db i o l o g i c a lc o n t r o ls t r a t e g i e s ( t h a t i s r e l e a s i n gn a t u r a l e n e m i e sa td i f f e r e n tf i x e dt i m e ) i sc o n s i d e r e d b y u s i n g c o m p a r i s o nt h e o r e m ，t h e e x i s t e n c eo f t h e g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l y s t a b l e p r e y e r a d i c a t i o np e r i o d i c s o l u t i o nw h e nt h en u m b e ro fr e l e a s i n gn a t u r a le n e m i e s m o r et h a ns o m ec r i t i c a lv a l u ei sp r o v e d t h ec o n d i t i o n sf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h e s y s t e ma r eg i v e n n u m e r i c a ls i m u l a t i o np r o v e dt h ea c a d e m i cr e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r , t h es t a b i l i t yo fad e l a y e ds t a g e s t r u c t u r e dp r e d a t o r - p r e y m o d e li sc o n s i d e r e d d e l a yi se x i s t e dp o p u l a r l yo nt h ea c t i o no fp o p u l a t i o n s ，a n di t o p e r a t e di m p o r t a n tr o l ew i t hp o p u l a t i o n s ，i tm a yb ea f f e c t t h es t a b i l i t yo fp o s i t i v e e q u i l i b r i u m b yu s i n gr o t h - h u r w i t zc r i t e r i o nd i s c u s s i n gt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo f p o s i t i v ee q u i l i b r i u m i nt h el a s tc h a p t e r , am o d i f i e dh o l l i n g _ t a n n e rp r e d a t o r - p r e ym o d e li ss t u d i e d b ya n a l y z i n gt h ea s s o c i a t e dc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ，i ti sf o u n dt h a th o p fb i f u r c a t i o n o c c u r sw h e nfc r o s s e ss o m ec r i t i c a lv a l u e t h es t a b i l i t ya n dd i r e c t i o no ft h eh o p f b i f u r c a t i o na r ed e t e r m i n e db ya p p l y i n gt h en o r m a lf o r mt h e o r ya n dc e n t e rm a n i f o l d z h e o r e m f r o mc a l c u l a t e ，t h ec h a r a c t e r so fh o t b i f u r c a t i o no nt h ec r i t i c a lv a l u er j a r eo b t a i n e d b yu s i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o ne x p l a i n e dt h es t a b i l i t yo fap o s i t i v e e q u i l i b r i u m ，a n dt h er i c hd y n a m i cb e h a v i o r s o fh o p fb i f u r c a t i o n k e yw o r d s ：p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ；s t a g e - s t r u c t u r e d ；i m p u l s i v e ；t i m ed e l a y ； p r e y - e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o n ；p e r m a n e n c e ；h o p fb i f u r c a t i o n ； d i r e c t i o no fh o p fb i f u r c a t i o n 1 1 i 目录 目录 第1 章引言1 1 1 概述一一1 1 2 本文主要工作4 第2 章具阶段结构及捕食者有脉冲扰动的食饵一捕食者模型5 2 1 模型的建立5 2 2 预备知识7 2 3 全局吸引9 2 4 持久性1 1 2 5 数值模拟1 5 第3 章具时滞的食饵一捕食者系统的稳定性1 7 3 1 模型的建立1 7 3 2系统平衡点分析1 7 3 3 数值模拟2 0 第4 章一类具时滞及修改的f l o l l i n g - t a n n e r 食饵一捕食者系统的h o p f 分支2 2 4 1 模型的建立“2 2 4 2 预备知识”2 3 4 2 1h o p f 分支的存在条件2 3 4 2 2h o p f 分支方向、分支周期解的稳定性2 4 4 3 系统平衡点的存在性及稳定性”2 5 。 4 4 h o p f 分支方向- 。- 2 7 4 5 数值模拟o 3 4 第5 章结论3 8 致 射”3 9 参考文献4 0 攻读学位期问的研究成果4 3 i v | 第l 章引苦 1 1 概述 第1 章引言 生物数学是介于生物学与数学之间的边缘学科它用数学方法研究和解决 生物学中存在的问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研列1 1 它又是在 生物学的不同领域中应用数学工具对生命现象进行研究的学科种群生态学是 生物数学的一个重要分支，它是- - 1 7 研究种群的生态学，即以某地区的一个群体 作为研究对象，来研究种群数量动态与坏境相互作用关系的科学 种群生态学起源于人口统计学、应用昆虫学和水产资源 学l o t k a y o l t e r r a ( 1 9 2 5 ，1 9 2 6 ) 的模型是理论生态学的一个罩程碑，并由此进 入了黄盒时代2 0 世纪上半叶由- - f 7 以描述为主的学科发展成为- - 1 7 实验性的、 定量的、理论性的学科1 9 5 7 年冷泉港的国际会议有关种群调节理论的讨论，标 志着种群生态学已成为生态学的主流此后，随着生态系统生态学的发展并成为 主流，种群生念学在理论上、方法上仍是生态学中最为发展、最为活跃的一个领 域种群作为一个系统，它与物理环境相互作用，其时空动态规律和调节机理，其 遗传组成和进化、行为适应等的深入研究是了解群落和生态系统的结构、功能、 动态和调控的基础 动力学方法在物理中已是人们熟悉而常见的方法，这个方法是否适用于来 研究某些生命现象? 早在2 0 0 多年前就有人开始作这方面的尝试最早的典型例 子是m a l t h u s 的人口模型他在1 7 8 8 年出版的人口论中提出了著名的人口 指数增长模型【2 1 ： d n - ( t ) ；( f ) d 产 其中o ) 是t 时刻人口的总数，是人口自然增长率m a l t h u s 的人口模型与1 9 世纪以前欧洲一些国家和地区的人口统计数据可以很好的吻合，但此后具有很 大偏差原因是m a l t h u s 并没有考虑到人口的增长会受到社会、经济、环境等其 他因素的影响，实际上人所生存的环境中资源不是无限的，因而人口的增长也不 可能是无限的于是1 9 3 8 年y e r h u l s t 提出用l o g i s t i c s 模型【3 l 第1 章引言 查。穰i 一一x 、i i 穰一i 斑 k 来描述人口或者其他生物种群的增长，其中厂是m a l t h u s 的人口模型中的种群的 内廪增长率，k 为环境的容纳量( k 0 ) ，即所考虑的环境中最多能允许生存的 种群数量( 或密度) 1 9 2 1 年美国种群学家l o t k a 在研究化学反应和意大利数学家v o l t e r r a 在 1 9 2 3 年考虑鱼类竞争时分别独立提出l o t k a v o l t e r r a 系统【4 5 1 鲁叫f ) ( 口一) ， 警啪) ( 舭卅， 其中x ( f ) ，y ( t ) 分别表示被捕食者和捕食者种群在t 时刻的密度，a 表示被捕食者 种群的内廪增长率，b 表示捕食者对被捕食者的捕食率，k 表示捕食者种群的捕 食转化率，d 表示捕食者种群的自然死亡率 l o t k a - v o l t e r r a 系统在研究生物的种群关系上取得了很大的成功，受到了 众多生物学家的关注，在此研究的基础上产生了许多新的数学模型在捕食一被 捕食系统中，捕食者对被捕食者的捕食能力，我们称为功能反应函数，它是指捕 食者在单位时间内捕获被捕食者的平均个数，这也是决定系统动力学性质的一 个重要指标1 9 5 9 年，h o l li n g 6 】在实验的基础上提出了三类功能反应函数，这使 得原来的l o t k a - v o l t e r r a 模型更贴近实际，但是这三类功能反应函数在第一象 限内都是单调递增的，然而进一步的实验表明，当被捕食者的密度达到一定水平 时功能反应不再单调递增，为了描述这种非单调反应，生物学家又提出了许多新 的非单调的功能反应函数，例如：b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能反应函数 【7 ，8 1 ，h o l l i n g t a n n e r 功能反应函数【9 1 1 l 等 时滞广泛存在于生物种群的活动中，具时滞的生物系统反映的是：t 时刻的 运动变化规律，不仅仅取决于f 时刻本身，还受到t 时刻以前某些状况及因素的 影响数学家们把这种事物的变化取决于当前状态，又依赖于过去状态的一类方 程称为时滞微分方程近年来，将时滞引入l o t k a - v o l t e r r a 系统的研究又使人 们在应用现代微分方程理论的同时，发现了更加丰富多彩的时滞动力学行为 a 2 1 4 1 在经典的微分方程理论中，系统本身的状态是依时间而连续的但是，自然 2 第1 章引言 界中的许多实际问题在发展过程中常常出现短暂时问内的扰动作用，这种扰动 作用是瞬时改变系统的状态，如癌细胞的放疗和化疗、疫苗的接种、投放天敌和 喷洒农药杀死害虫或者生态环境的巨变对种群的影响等的，都呈现出一种瞬动 的形态若仍沿用连续动力系统去刻画这种现象，显然不太合理和准确因此，分 析这种变化过程中的特征和规律时，往往要研究不连续的动力系统，及脉冲微分 方程系统正是由于这种系统的状态在瞬间发生很大的变化，导致系统的解不连 。 续，因而使得研究脉冲动力系统较之连续系统更加困难脉冲微分方程是描述某 些运动状态在固定或者不固定时刻的快速变化或者跳跃，它是对自然界发展过 程更真实的反映近年来，已经有一些学者对脉冲微分方程进行了研究，并形成 了一些基本理论1 1 5 砌】，例如：文献1 1 9 2 3 1 研究了周期解的存在性和稳定性当前， 讨论脉冲微分方程在各个领域或者各个学科的应用仍具有较高的理论价值和较 深远的意义 种群动力学中有很多自然现象和人为因素的作用都是可以用脉冲来描述的：律 某物种的出生是季节性的，例如，有些鱼类是集中在某一季节产卵的，这样必然 会引起种群数目，尤其是幼年种群数目在短时间内的剧烈变化其次，物种的迁 。， 移也可能是脉冲的，如某些鱼类或鸟类会每年在固定的时候突然迁徙到其他地一謦 方，也势必会引起这些生物所处的局部环境中物种数目的瞬间巨大变化人们在 开发和利用生物资源时，种群数目发生瞬间变化的现象普遍存在例如在渔业资 源生产中，鱼苗的投放和鱼的收获也都不是连续发生的在农业生产中，经常利节 用定期喷洒杀虫剂或者在某一固定时刻投放天敌来治理害虫，从而引起害虫与 天敌数在瞬间发生剧烈变化，所有这些人为活动都是不连续的脉冲实施的在传 统的控制策略指导下，化学控制是防治害虫最常用而又最重要的方法往往是通 过喷洒杀虫剂的方式来消灭害虫，使害虫数量急剧下降而且成本较低又不会造 成太大经济损失但是，化学控制可能会带来一系列新的问题，如：污染环境：浪 费人力、物力及时间：杀虫剂在杀死害虫的同时也杀死了有益昆虫这样就会造 成害虫失去了天敌而不断使用杀虫剂的恶性循环，使害虫产生抗药性，从而更加。 难以控制 当今人类的环保意识逐渐增强，环境保护是人类生存所急需解决的问题为 此，在害虫防治方面，除了采用化学防治外，我们更注重采用生物防治，即人们有 目的性的引入或者培养一类或几类天敌来控制某种害虫，目的是将害虫控制在 一个不造成经济损失的水平之内在自然界中，几乎每种昆虫都有其天敌，而天 3 第l 章引言 敌往往是捕食者，寄生虫或是病原体出于利用生物防治技术可以避免使用化学 杀虫剂减少对环境的污染而倍受人们的关注和青睐，因此，越来越多的学者致力 于害虫治理的生物控制，用脉冲微分方程来描述固定时刻脉冲释放天敌的害虫 防治策略研究脉冲作用下害虫的灭绝性及系统的持续生存，周期解的存在性及 稳定性，并利用计算机模拟来揭示脉冲作用下系统蕴含的复杂动力学行为 1 2 本文主要工作 本文在上述介绍的基础上，研究具时滞及脉冲作用的生物动力系统，具体包 括以下内容： 具阶段结构及捕食者有脉冲扰动的食饵一捕食者模型：阶段结构在一定的程 度上影响着种群的灭绝和持续生存，考虑种群的阶段差异更具有实际意义并且 有些种群的幼体需要父母照顾，在缺少父母照顾的时候往往会有一定的死亡，本 章考虑一类食饵幼体有父母照顾的食饵一捕食者模型利用脉冲比较定理讨论食 饵灭绝周期解的稳定性和系统的持续生存，并利用数值模拟揭示了系统的复杂 动力学行为，验证所得理论结果的讵确性 具时滞的食饵一捕食者系统的稳定性：时滞广泛存在于生物种群的活动中， 时滞在生物动力系统中有着重要的作用，它可能会影响到币平衡点的稳定性 由r o t h - h u r w i t z 判据讨论系统正平衡点的存在性和稳定性 一类具时滞及修改的h o l l i n g t a n n e r 食饵一捕食者系统的h o p f 分支：利用 特征方程讨论正平衡点的渐近稳定性运用h o p f 分支理论，以时滞f 为参数给出 系统发生h o p f 分支的条件：利用规范型定理和中心流形定理，计算出h o p f 分支 在分支临界值r ；处的性质运用数值模拟揭示系统正平衡点的局部稳定性以及 由h o p f 分支产生的复杂动力学行为 4 第2 蕈j 上阶段结构发捕食者有脉冲扰动的食锚一捕食者模喱! 第2 章具阶段结构及捕食者有脉冲扰动的食饵一捕食者模型 2 1 模型的建立 种群的阶段结构简言之就是种群的整个生命历程有这样一些互不重叠的阶 段构成：属于同一阶段内的个体具有广泛的生念相似性，然而分属不同阶段中的 个体则习性迥异种群的增长，常常有一个成长发育过程，有些种群丛蛹到成虫， 有些种群从幼年到成年，有些种群则分成三个阶段，即幼年、成年和老年在种群 的每一个生命阶段，都会表现出不同的生命特征，如幼年种群没有生育能力，捕 食能力，生存能力较弱，常具有某些类型的幼年病，容易死亡，难以作大区域性的 迁移等等：而成年种群则不仅有生育能力，捕食能力，而且生存能力较强，常有能 力作大区域性的迁移，有时也有某种类型成年特有的疾病等等也就是说，物种 在其各个生命阶段的生理机能( 出生率，死亡率，扩散率，捕食能力等) 差别比较 显著另外，成年物种和幼年物种之间还有相互作用的功能这些都在不同程度 上影响着生物种群的持续生存与绝灭因此有必要建立反映种群在各个阶段的 动力学行为的数学模型，从理论上描述具阶段结构种群的总体动力学行为 近些年来，具有阶段结构的种群动力学模型引起了许多学者的广泛关 注a i e l l o 和f r e e d m a n 在文献1 2 4 】中讨论了如下具有阶段结构的单种群模型 l 工( f ) = f l y ( t ) 一o ) 一声p 一”y o z ) ， 1y7 ( f ) = f i e y ( f f ) - r 1 2 y 飞) ，f 911 、 其中x o ) ，y ( f ) 分别代表幼年和成年种群的密度，f 是一个常数代表从幼年到成年 的成熟时问，卢， ，r 2 是正常数w e n d iw a n g 矛d s h i l ：j in a k a o k a 等在文献【2 5 】中 讨论了如下幼年捕食者由父母照顾的食饵一捕食者模型 5 ：魅 霪 第2 章阶段结构及捕食者有脉冲扰动的食饵捕食者模7 弘 塞叫6 0 一一”，) 矗去， 警l 唧卸志y 2 - d o y l - a ) y ：+ y + 2 丽y i 嗍， ( 2 1 2 ) i d y 2 一哆。一d 2 y 2 。 此模型的生物意义可见文献f 2 5 1 结合以上两个模型，考虑到有些食饵种群中的 幼年也需要父母照顾，我们建立如下的脉冲微分方程 鲁2 五( 6 0 一一岛y ) 一口( 1 t x + 2 x i 2 一r e - ”x 2 ( ) 百d x 2 - t x ：( f f ) 一如x ：y 一蝻 a 出y = 尼( + ) y 一砂 缸= 0 1 群p t n t ， ( 2 1 3 ) ( 蚜( 考) ，9 ：( 亭) ，伤( ) ) c + - - c ( t 一- t - 1 ，o 】，尺：) ，够( o ) o ，f - - l 2 ，3 ( 2 1 4 ) 其中，z ；分别代表食饵种群幼体和成体种群密度，y 代表捕食者种群密度，z 代 表食饵的幼体长成成体的时间，口，6 1 ，b ：，h ，口，k ，d ，d ：均为正常数假设对于任 意的t 0 幼年种群的出生数量和成年种群的数量成比例，且比例系数为，为 食饵种群的内廪增长率，a 为密度制约常数，岛，b 2 分别代表捕食者捕食食饵幼体 和成体的捕食率，k 为食饵转化为捕食者的转化率型毕代表食饵种群幼 x 2 + 体缺少父母照顾在单位时间内的死亡率d ：s n d ( d d ：) 分别为z ：和y 的死亡率 y o ) 一y ( t + ) 一y ( t ) 一 0 代表在t n t ，l z + ( z + il2 ，3 ，) 时的天敌投放量， 丁表示投放天敌的时间间隔 6 第2 章j 乇阶段结构及捕食者有脉冲扰动的食饵捕食者模刑 2 2 预备知识 模型( 2 1 3 ) 的解z p ) = ( x ，( f ) ，x ：( f ) ，y ( f ) ) 丁是一个分段连续函数 x ：足一尺：，z ( f ) 在区间 丁，0 + 1 沙】，z z + 上是连续的，并且x o r “i ，1 i 小m z ( f ) 存 在易知模型( 2 1 3 ) 的右边函数的光滑性保证了其解的全局存在性和唯一性 1 2 6 1 以下是为了得到主要结果需要用到的引理 引理2 2 1 l z ，j 假设吖。 。使得删s 等，删s i m 川) s m 证毕 引理2 2 4 【2 8 1 考虑下面的脉冲系统 懈v ( n t ：嚣v ( n r z ) l a ：t n t 12 ， 眨2 2 ， i + ) ； +，= ，lt ， 其中d 0 ， 0 ，则系统( 2 1 3 ) 存在唯一的正周期解 f ( f ) = v p 4 ( ，t e ( n t ，0 + 1 ) r 】，n e z + ， 且该正周期解是全局渐近稳定的，其中v + 一i 髻万 对于系统( 2 1 3 ) ，显然存在f 1 z + ，t f 1 使得x ：0 一f ) = o 和屯( f ) t0 o于二竺：30 xt。nt,zxx3(t t n t ，n 。1 ，2 ，1 1 ( 2 2 3 ) i ) 一肛， 一 ，n 一1 ，一 、。 由( 2 2 3 ) ，易知( 2 1 3 ) 有一个食饵灭绝周期解 ( o ，0 ，墨( f ) ) = ( o ，0 ，工；e 。o 1 r ，t ( n t ，( ，l + 1 ) 丁 ，l z + ， ( 2 2 4 ) 且该周期解是全局渐近稳定的，其中i 考：万 8 第2 章具阶段结构及捕食者宵脉冲扰动的食饵捕食者模刷 2 3 全局吸引 定理2 3 1 假设系统( 2 1 3 ) 的任意解为( 而( f ) ，x ：( f ) ，y ( f ) ) 若 a x 蜓等型，竿) 成立，那么系统( 2 1 3 ) 的食饵灭绝周期解( o ，0 ，多( f ) ) 是全局吸引的 程 证 由于肛 旦二兰! 掣，我们可以选择充分小的。使得 厅” k ，t 七：使 。 即 y ( t ) x ( t ) 2y ( t ) - e o ，。n t 七2 ， ( 2 3 4 ) y o ) 夕o ) 一。乏彳丝! ；：一f 。全t t , n t 忍丁+ z ，咒 七： a t 考虑下面的比较系统 _ d z ( t ) r e 一z ( f 百) 一( 也盯+ d ：) z o ) ，f 忍丁+ f ，l 七：， a t 。 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 根据( 2 3 1 ) 可知旭一 七：丁+ r ) 对于所有f 七，t 使得 x ：o ) o ，存在一个正整 数足4 ( 足。t 七2 t + r ) 对于所有t k 4 t 使得_ p ) 。， 存在一个萨整数尼。，九 七。使得= 夕( f ) 一： y ( t ) 三：( f ) + s 2 令呻0 ，则 夕( f ) 一s ： 0 ，工：( 0 + ) 0 ，y ( o + ) 0 ) ，都满足聊s 乇( f ) s 了m ，ms 工2 ( f ) s 了m 和 k， msy o ) sm 成立，则称系统( 2 1 3 ) 是持久的 定理2 4 2 设 f 肛 o ，当t 充分大时，使得( 2 1 3 ) 的每_ 个正解( 毛o ) ，工：( f ) ，y ( f ) ) 都满足 ( f ) 乏q ，x 2 0 ) q , y ( t ) 乏q 证系统( 2 1 3 ) 的第一个方程可以重新写成 1 1 第2 章j 阶段结构及捕食者仃脉冲扰动的食饵捕食者模，弘 掣：r 切( r ) - d 2m ) 呲一劢d - r n 2 x ( ) 如 ( 2 4 2 ) 考虑系统( 2 1 3 ) 的任意一个币解( 五( r ) ，x ：( f ) ，y ( f ) ) 根据等式( 2 4 2 ) 可以定义 v ( t ) 为 y o ) = 工：o ) + 旭一”j ：! t - v x 2 ( “) d u ， ( 2 4 3 ) 沿( 2 ! 3 ) 的解，求y ( f ) 的导数得 型：i r e - n r e _ 乞y ( f ) - d 2 m ) ， (244)dt “、 j 、 由引理2 2 3 ，( 2 4 4 ) 也可以写为 掣 r r 咖( 忆m ) ， ( 2 4 5 ) 出 l “、7 j “ 由定理2 3 1 的证明过程知存在一个充分小的： 0 ，当t t 。时，使得 y(，)歹(f)一：(为了方便我fl、记，7。歹(f)一f：)由于 0 使得 早b 面1e x p d t 吒 ( 2 4 6 )_ 三 。一一l 么q oj ， 一 l l 。 从而我们断言：对任给的t 。 0 ，当t 气时，l ( f ) 0 ， 当t 气时，z ：( f ) o ，对于任意的f 使得 z ：( f ) t o 掣 t o ，考虑下面的脉冲比较系统： 1 2 第2 章 贝阶段结构及捕食者有脉冲扰动的食饵一捕食者模删 f 掣。( 培帅小川， ia v ( f ) = ，f = n t ( 2 4 8 ) 根据引理2 2 4 得 1 7 ( t ) v e x p ( ( 域一d l ( 卜，z 丁) ) ，z 丁 b ：5 + d 2 又根据( 2 4 3 ) 及( 2 4 1 0 ) ，对所有的f 有 ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) 型d t r ea r t _ 也- d 2 ) 工：( f ) ( 2 4 1 1 ) 设x ：m = m i n ，昏 ，】x ：( f ) ，当f 之f ，时，可得到( f ) 砖否则，存在某一个整数r o ， 当s fs f 1 + r + t o 时，有屯p ) 镌m ，x 2t l + v + t o ) mx ；1 5 tx ；( t 1 + f + 瓦) 0 此与( + r + 瓦) r e - m r _ 也6 - d 2 删，( 2 4 1 3 ) 上式说明，当f 呻时，有y ，( f ) 呻这和y ( f ) s 华矛盾从而前面的 断言是正确的 根据前面的断言，只要考虑下面的两种情况( 1 ) 对所有充分大的t 有 而o ) 工：，则结论得证( 2 ) 对所有充分大的f 有x ：( f ) 在x ：附近振动 设鸟2 商n 萼确) ，其中吼一x 芦叫“2 ，i 我们希望得到对于充分大的r 有 x 2 ( f ) 乏q 该结论对于( 1 ) 是显然的，而对( 2 ) ，对于任意t o 满足x 2 ( f ) = x 2 ( f + 亭) = x ：rx 2 ( f ) 工：，其中t 充分大使得当f ( f f + 亭时 x ：( f ) d ，x 2 ( f ) 是一致连续的系统( 2 1 3 ) 的正解是一致有界的，gx ：( f ) 并不受 脉冲的影响从而，存在某个t ( 0 丁 i x 2o f f + 丁) 若亭 丁，结论是显然的则只需考虑丁 x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) - m 2 ， 则有比较定理知，存在互 丁，对f 互时z ( f ) 华皇 对邗砷 m 川【6 _ 掣 ，目州m 一鲁，从而 北) 警 所以系统( 3 2 2 ) 的解都落在区域d = ( x ，y ) l 脚。s zs 1 , m ：sy s m ：) ，即系 统( 3 2 2 ) 的解是有界的 下面我们讨论正平衡点e = ( x ，y ) 的局部稳定性系统( 3 2 2 ) 在平衡点 e ；仅v + 、友卜的缘件化方程为 j ( e ) ； 山纠弘广小( 1 + 钟警 对应的特征方程为 2 ；e 以76 p 以7 | | 3 a 2 + a a + ( b a + c ) p 一。7 = 0 ， ( 3 2 4 ) 川小詈+ 睁q 胪心小字+ 竽螂叫e 一 下面分情况讨论系统的特征方程 ( i ) 当z 。0 时，特征方程变为 a 2 + ( 彳+ b ) a + c z 0 ( 3 2 5 ) 1 9 第3 章具时滞及的食饵捕食者系统的稳定性 若( h 2 ) a + b 0 ，( h 3 ) c 0 ，出r o t h h u r w it z 判据1 3 2 】知，当r 一0 时( 3 2 5 ) 式的所有根有负实部因此e to ，y ) 是局部渐近稳定的 ( i i ) 当z 一0 时，讨论特征方程( 4 2 4 ) 令a i w ( w 0 ) 是特征方程( 4 2 4 ) 的一个根，比较实部、虚部得 整理得 c c o s c o z + b c o s i n w fl 2 ， ( 3 2 6 ) b a ) c o s f c s i n ；- a c o 4 + 2 一b 2 徊2 一c 2 0 ， ( 3 2 7 ) 显然方程(