（光学工程专业论文）往复轴磁性液体密封机理及实验研究.pdf

往复轴磁性液体密封机理及实验研究 摘要 摘要 f 磁性液体是伴随着高科技发展而产生的一种新型的功能材料，在许多 方面具有其它材料难以实现的功效，尤其是在密封应用领域。往复轴动密 封是密封的主要形式之一，随着人们对往复轴动密封性能要求的不断提高， 现有材料难以满足需要，于是本世纪八十年代初期，科学家们提出了一种 全新概念的动密封技术往复轴磁性液体密封技术。往复轴磁性液体密 封技术无论在理论上还是实验中都处在探索阶段a j 本论文的主要任务就是 对磁性液体在往复轴密封方面应用而进行的基础性理论探索和实验研究。 在第一章中，作者在搜集了大量国内外资料和现有文献的基础上，对 磁性液体的各项物理性能和应用优缺点作了概括性的论述，同时还论述了 往复轴磁性液体密封的发展及原理。使读者对磁性液体和磁性液体往复轴 密封的概念、发展现状有一个清晰的认识。广 在第二章和第三章中，作者在对磁性液体密封结构进行了深入的理论 分析的基础上，对现有的计算机密封磁场计算程序进行了改编。，并且为程 序增添了许多新的功能，使程序运行更快，使用更方便，更易于维护。4 在第四章中，作者着重讲解了磁性液体往复轴实验台的设计和要求。 在设计中，提出了一些新的结构和设计方案，并且附上了实物照片和结构 简图及系统原理图。 在第五章中，作者在实验台上进行了实验研究，记录了实验数据和实 验现象，并且对实验数据和实验现象进行了深入的分析，总结出了可能造 成往复轴磁性液体密封件密封失效的主要因素。 总之，作者在往复轴磁性液体密封的理论和实验上做了的这些工作， 是对今后往复轴磁性液体密封的设计和应用有意义的指导。 关键词：雀复轴密封、磁性液体密封、磁场强度计算、往复轴密封实验台 ! 堡蔓塑壁堡鎏堡宣垫垫堡丝塞堕竺壅!j 堕一 a b s 7 r i t a c t m a g n e t i cf l u i di sa n e ws o r to ff u n c t i o n a lm a t e r i a l ，w h i c hi sc o m ei n t ob e i n g w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h eh i g h t e c h i th a sm a n yg o o df u n c t i o n st h a to t h e r m a t e r i a l sd on o th a v e ，e s p e c i a l l yi nt h ef i e l do fs e a l t h ed y n a m i cs e a lo ft h e r e c i p r o c a t i n gs h a f ti sa m a i nf o r mo fs e a l b u tw i t ht h ei n c r e a s i n gc a p a b i l i t i e so f t h ed y n a m i cs e a lo ft h er e c i p r o c a t i n gs h a f tt h a tm a l lr e q u i r e d ，t h em a t e r i a l si n e x i s t e n c ec o u l d n tm e e t s oa tt h eb e g i n n i n go ft h e1 9 8 0 s ，t h es c i e n t i s t sp u t f o r w a r dan e wc o n c e p to fd y n a m i cs e a lt e c h 1 h em a g n e t i cf l u i ds e a lo ft h e r e c i p r o c a t i n gs h a f t n o wb o t ht h et h e o r i e sa n dt h ee x p e r i m e n t so fa p p l y i n gt h e m a g n e t i cf l u i ds e a l w i t ht h er e c i p r o c a t i n gs h a f ta r es t i l la tt h ee x p l o r i n gs t a g e t h em a i nt a s k so ft h i sp a p e ra r ee x p l o r i n gt h ef u n d a m e n t a lt h e o r i e so f a p p l y i n g t h ed y n a m i cs e a lo ft h er e c i p r o c a t i n gs h a f ta n d e x p e r i m e n t i n g o nt h e m i nt h ef i r s t c h a p t e r , t h e a u t h o r r e s a m p t i v e l y d i s c u s s e st h e p h y s i c a l p e r f o r m a n c e sa n dt h ee x c e l l e n c eo fa p p l i c a t i o n so f t h em a g n e t i cf l u i da f t e rh e c o l l e c t e dl o t so ft h ei n f o r m a t i o ni nh o m ea n da b r o a d i nt h em e a nt i m e ，h ea l s o d i s c u s s e st h ed e v e l o p m e n ta n df u n c t i o n so ft h em a g n e t i cf l u i ds e a l s ot h e r e a d e r sc a nk n o ww h a ti sm a g n e t i cf l u i da n dm a g n e t i cf l u i ds e a l i nt h es e c o n dc h a p t e ra n dt h et h i r dc h a p t e r , t h ea u t h o rc o m p i l e st h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o dp r o g r a mt oc a l c u l a t et h em a g n e t i co nt h eb a s eo f a n a l y z i n gt h e s t r u c t u r eo ft h em a g n e t i cs e a l a n dm a n yn e wf u n c t i o n sa r ea d d e dt ot h ep r o g r a m t om a k ei tr u n n i n gm o r eq u i c k l y , u s e dm o r ec o n v e n i e n t l ym a dm a i n t a i n e dm o r e e a s i l y i nt h ef o u r t h c h a p t e r , t h e a u t h o r e m p h a s i z e s o nt h e d e s i g n o ft h e e x p e r i m e n t a lr i go fm a g n e t i cf l u i ds e a lo far e c i p r o c a t i n gs h m t h e r ea r em a n y n e ws t r u c t u r e sb e i n gb r o u g h tf o r w a r d t h ea u t h o ra l s og i v e sm a n y p h o t o e sa n d s k e t c h e so f t h o s en e ws t r u c t u r e st or e a d e r si nt h i sc h a p t e r i nt h ef i f t hc h a p t e r , al o to fe x p e r i m e n t so f m a g n e t i cf l u i ds e a la r ed o n eo n t h er i g a f t e ra n a l y z i n gt h ed a t aa n d p h e n o m e n a o ft h o s ee x p e r i m e n t s ，t h ea u t h o r c o n c l u d e st h em a i nr e a s o n st h a tm a k et h em a g n e t i cf l u i ds e a l i n gd i s a b l e i ns h o r t ，w h a tt h ea u t h o rd o e si nt h i s p a p e r c a l ld i r e c tt h e d e s i g na n d a p p l i c a t i o no fm a g n e t i cf l u i ds e a lo f a r e c i p r o c a t i n gs h a f ti nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：r e c i p r o t a t i n gs h a f t ，m a g n e t i cf l u i d ，m a g n e t i cf l u i ds e a l ，a n d m a g n e t i c c a l c u l a t i o n i i 往复轴磁性液体密封机理及实验研究 第一章前言 第一章前言 第一节磁性液体 磁性材料科学是材料科学的一个分支，和整个科学一样，磁性材料近 几年也有很大的发展。磁性材料从晶体结构来看可分为晶态材料和非晶态 材料。晶态材料又可细分为单晶材料和多晶材料。从化学成分来看又分为 金属材料( 合金或金属间化合物) 与氧化物材料，从形体来看，又可分为 块状与膜状。但是所有这些材料都是固体材料，而磁性液体却是液态的磁 性材料，是将众多微小的铁磁性或亚铁磁性微粒高度弥散于液态载液中而 构成的一种具有很高稳定性的胶体溶液。微粒与载液通过界面活性剂浑成 的这种磁液，即使在重力场、电场、磁场的作用下也能长期稳定地存在， 不产生沉淀与分离，因此具有很高的实用性。如图卜1 所示。 1 ” 图- 一1 磁性液体的组成 磁性液体有许多优越的物理性质。由于磁性液体是一种两相混合物， 它的基本组成部分是液体载体和悬浮着的固相颗粒，因此在研究磁性液体 的物理性质时，总是假定它是一种均匀的两相混合物，和普通的两相流体 一样，其密度和粘度受两相间的混合物控制。但不同的地方在于磁性液体 的粘度还受外磁场的影响，由于磁性液体是一种可以受磁场控制的流体， 所以它的磁化性能特别重要。下面简要介绍其几个主要的物理特性： l 、磁性液体的磁特性 1 5 郎之万的顺磁性经典理论很好地描述了磁性液体的磁学性质。因为液 体中的铁磁颗粒的体积约为原予体积的1 0 5 倍，颗粒的磁性也就强多了。这 些颗粒显现“超顺磁性”，也就是说，它们具有高的饱和磁化强度，没有剩 让复轴磁性液体密封机理及实验研究 第一章前高 磁，没有矫顽力。图1 - 2 显示了某些磁性液体的典型磁化曲线。 砸加艟斯h ( k o e ) 图卜2 某些磁性滩体的磁化曲线 假定它是一个无相互作用的球形颗粒系统，液体的磁化强度就可写作： m = m s ( c o t h a - 1 a ) 式中的口= 妇3 m s h 2 4 k t ，而是饱和磁化强度为m s 的磁性液体的磁 性颗粒的体积比。 但e l m o r e 的测量结果表明，实验观察结果同郎之万曲线符合得不好， 非把颗粒尺寸的分布纳入考虑不可；c h a n t r e l l 等证明，运用对数正态型体 积分布可以得到很好的符合。 在撤去外加磁场后，磁性液体磁化强度弛豫的机理有两个。第一个磁 化强度弛豫的机理是液体中颗粒的转动，这个机理可由b r o w n i a n 转动的弥 散时间f 。来说明其特性，f 。是由下式给出的： f 。= 3 k r 矗，丁 ( 卜1 ) 式中的v 。是颗粒的体积，n 是液体的粘度。但是，在冷冻状态或在聚 合物包覆了颗粒的状态下，这一机理将会被有效地抑制住。这时的弛豫机 理就是颗粒内磁化向量克服磁各向异性而转动，涅耳首先设想了这一过程， 同这一过程相关的另个弛豫时间r 。 对于单轴各向异性材料，这弛豫时间是由下式给出的： r 。：f 。并；。x p x ( 1 2 ) 式中的x = k v p l k t = nd a k 6 k 。t 。f 。由下式给出： f o = m s 8 , r a r k ( 卜3 ) 式中的r 是旋磁比，o 是阻尼因子( 1 0 1 ) 。这里的k 是磁各向异性 常数。 在液体下，小颗粒的磁化强度发生涅耳弛豫的可能性要大一些，而大颗 粒的磁化强度发生b r o w n i a n 转动弛豫的可能性要更大一些。驰豫过程过渡 的直径d s 可由式( 卜1 ) 、式( 1 2 ) 相等得出。在固态下则只可能发生涅耳弛 豫。 2 往复轴磁性液体密封机理及实验研究 第一章j 百； 2 、磁性液体的粘度“ ( 1 ) 零磁场下的磁性液体的粘度 在没有磁场时，磁性液体显示宏观各向同性，因为颗粒的布朗运动将 使得磁晶各向异性和形状各向异性都平均为零。 若磁性液体内的固体颗粒不仅尺寸足够小，而且固相的体积分量中也 很小，这时可以假定颗粒间没有相互作用，且圆球体大小相同，在这样的 情况下，磁性液体的动力粘性系数可以按e i n s t e i n 公式计算： 叩。= 叩，( 1 + ；) ( 14 ) 式中玑是磁性液体基载液体的动力粘性系数。 对于体积分量由不很小的情况，e i n s t e i n 公式不能使用，r o s e n s w e i g 提出一种修正的办法，他假定磁性液体的动力粘性系数和固相体积分量成 二次式的关系，即 塑： 叩。1 + n 妒+ b 庐2 ( i 一5 ) 式中a 、b 两个系数可由稀疏相、及固相球形颗粒的最大密度堆彻来确 定，a 、b 的值分别为a 一2 5 和b = 1 5 5 。 在磁性液体的磁性固相颗粒的表面上都附着一层分散剂，若颗粒的半 径是r 。，而分散剂层的厚度为6 ，则其有效半径增加到f p + 6 ，于是每个颗 粒的体积从v p 。外增加到( 1 + 二) 3 ，相应地其体积分量也就成y , i i p r ( 1 + 二) 3 ，结果上式就成为： r p 堡= l + 2 5 ( i + 旦) 痧一l5 5 0 + 旦) 6 2 ( 1 6 ) m b r p ( 2 ) 有磁场时磁性液体的粘度 磁性液体在外加一个磁场后会产生磁各向异性，m c t a g n e 使用毛细管 粘度计测量过包有聚合物的钴颗粒在甲苯中的稀悬浮液置于磁场下的粘 度，实验表明，在磁场平行于剪切面时的粘度变化量大约是磁场垂直于流 动方向时粘度变化量的2 倍。 s h l i o m a s 对稀悬浮液中的磁粘效应作过理论分析，得到了磁化强度的 横向分量和纵向分量的弛豫时间同磁场强度的关系式；影响粘度的弛豫时 间是t ，t 是垂直于磁场的磁化强度的弛豫时间。 当m h k 。t 时， f 1 f b ( 麒h 岛d _ ( 卜l o ) 在这种情况下，叩，会取极限值 一 玑= 等r s i n 2 0 ( 卜1 1 ) s h i o m i s 证明，平行于磁场方向的粘度的饱和值( 叩。) 和垂直于磁场方 向的粘度的饱值( 叩i ) 分别由下式给出： oo ，7 = 叩( 1 + 百。扔，n = 叩( 1 - i - 署) ( 卜1 2 ) 式中的即可由e i n s t e i n 公式给出，因而( 叩。一功( 巩一功= 2 这个式子 和m c t a g u e 所得结果是一致的。 r o s e n s w e i g 等研究过市售的铁磁性悬浮液的粘度和施加磁场的关系， 量纲分析预言，在磁场中的液体粘度是流体动压力与磁压力的比值 l 吼m h 的函数，式中l 是切变率，吼是载液的粘度，朋是磁性液体的 平均磁化强度，而h 是施加磁场，其实验结果如图卜3 。 l n 。m h 1 0 6 图卜3 磁场和切变率对含f e ，0 。颗粒的磁性液体的粘滞度的影响 r o s e n s w e i g 等研究过高浓度悬浮液的粘度和磁场的关系，有证据表 明，当加上磁场日寸在浓悬浮液中有凝聚成簇团的现象发生，所有的切平面 受到一个有效的旋转磁场的作用，这将使情况更加复杂。 3 、磁性液体的密度f “1 磁性液体的密度可用下列表达式表述： p ，= ( 1 一痧pn f + 卯 ( 卜1 3 ) p ，= _ 上l ( 卜1 4 ) p ! 盟+ ( 1 一妒) 往复轴磁陛液体密封机理及实验研究 第一辛前。j 式中p ，为磁性液体的密度；p 。为基载体的真实密度；p 忡为固相颗 粒的真实密度；为固相颗粒的磁性液体的体积分量；妒为固相颗粒在磁性 液体的重量分量。 4 、磁性液体的光学特性“” 铁磁氧体在水中或在其它非金属性液体中的悬浮液系统的光学性质已 被人们研究过了，光学研究一般都要观察在磁场中或在梯度场中簇团的形 成，其中b i b i k 等将液体透明度的变化和凝聚过程按下式联系了起来 t = t oe x p ( - a h l ( 卜1 5 ) 式中的h 是与时间有关的吸收系数，而t 。是在零磁场下的透明度。 g o ld b e r g 等所做的进一步研究是关于放置在磁场中的磁性液体的偏光 性质，他们认为，偏振同由颗粒凝聚成链所产生的液体光学各向异性有关。 h a y e s 也观察过针状链的形成，磁场消除后，链会解体。m a r t i n e t 及d a y i e s 和l i e w e l l y n 观察过将铁氧体的非电导性磁性液体置于磁场中时所发生的 强烈的双折射现象和线性的双色性现象。在l ko e ( 8 0 k a m l ) 的磁场下，f e 、0 。 颗粒在煤油中的悬浮液的同磁场方向平行的折射率与其同磁场方向相垂直 的折射率的差的典型值为1 2 1 0 一，在磁场不高时( s m m ) ，尽管极靴的密封级数不同，但它们的耐压能力趋近于相等。密 封级数和泄漏率的关系是，随着密封级数的增加，泄漏率下降。m 】 n = 3 耐压能力p n = 2 n ；l i l “j i 书一串一一电 i i 1 图l 一8 相同行程下密封级数n 对磁性液体密封件耐压能力的影响 4 、理论分析的成果 直线运动的密封情况较为复杂，因而磁性液体动密封的动力分析比较 困难。磁性液体被拖甩出这一现象是瞬时的，同时还要需要考虑到永磁铁 产生的磁场强度的作用，因此还未建立合适的数学物理模型对直线型密封 作出正确的理论分析。实验导出拖甩力与粘膜状态的关系可以表示如下： t = uv d i 复轴舒土惮液体密封机埋及实验研究第亭前 式中t 一拖甩力；u 一磁性液体粘度；v 一是轴速；d 一是轴的直径。 由此可见，随着轴速的增加，拖甩力随着增大，磁性液体泄漏量增多。 1 9 9 0 年，前苏联学者s i e v s l n g 等人对他们的往复轴磁性液体密封 的研究进行了系统地总结，指出往复轴磁性液体密封失效是由于密封间 隙中磁性液体的变形以及磁性液体被带走而引起的，这两个因素是引起磁 性液体临界耐压能力下降和引起密封微漏的主要原因。他们在实验基础上 提出了磁性液体带定量的公式： h = e x p ( 一f f 。 ) 而，f r = v 2 b 。 其中，u 是磁性液体的动力粘度；a 是磁性液体在磁场中运动的加速 度：b 。为磁性液体的宽度：f 和f 是由实验确定的无量纲系数；其数学模型如 图1 9 所示。m ，z 77 曩o j 毙 - t7 图1 9 磁性液体变形和携带量研究模型 该研究还分析了磁性液体变形时耐压情况，数学模型如图卜1 0 所示 得出如下公式： 卸( n 2 p ( ) m 。( h l h 2 ) 卸：5u m 。( h l 一h 2 ) 印( w ：= u ( ) m 。( h l h c ) 轴是静止的， 一轴向着压差的方向运动 一轴向着与p 相反的方向运动 图卜1 0 密封齿下密封的位置和磁场强度h 的分布 往复轴磁性液体密封机理及实验研究 1 9 9 6 年，李德才对密封间隙中磁性液体的流动状态进行了显微境下的 微观观察，其微观实验台如图卜1 1 所示，发现即使往复轴运动的速度再低， 磁性液体膜与齿的接触点，磁性液体膜与往复轴的接触点都是变化的，在 一定的往复轴运动速度下、磁性液体膜的形状以及静止位置是一定的，在 不同的速度下限的变形形状以及静止位置是不同的，而且磁性液体膜在往 复轴速度作用下，静止到某一确定位置，不会因振幅的不同而不同。实验 表明，当磁性液体量比较充足且往复轴运动速度不大时，磁性液体膜在往 复运动速度为零后，仍可以回到往复轴静止位置。当往复轴运动速度很高 时，磁性液体脱离密封齿的束缚，而被带到与运动速度方向一致的最前端 齿区及其附近，而往复轴的速度不是常数时，磁性液体膜随着往复轴速度 的变化而发生振动。这使我们很可能只根据轴速便可确定磁性液体密封性 能和使用寿命，并选择实现最佳密封效果的轴速。经初步观察和研究发现， 磁性液体膜的形状与密封齿下磁力线的形状在离密封也较远时，并不完全 复合，磁性液体量的变化也可以引起磁性液体膜厚和形状的变化，然后在 相应速度下决定出膜变形后的形状。另外，磁性液体在往复轴上粘附的膜 厚度很薄，与磁性液体密封间隙等特征尺寸相比，在进行磁性液体动力学 的理论分析时可以忽略不计。 定位蜊 | ： | 极靴 永磁极靴 定位块| i往复轴l 图1 1 1 观察磁性液体微观状态的实验台 在文献中，作者在建立上述微观实验的基础上。结合如图l _ 1 2 所尔数 学模型图，得出了往复轴磁性液体的耐压公式： p 。一p d = h ( x 。) 一h ( x b ) u ( ) m 。+ 删 去x 。，一丽丽丢阿。 式中p h - 一高压侧的压力：p n 一大气压力：x o - - - c 点的坐标；。广b 点的 坐标： h ( x c ) 一) 【c 点的磁场强度；h ( x 。) 一x b 点的磁场强度；u 。 往复轴磁性被体密封机理及实验副 究 第一苷币 一空气中的磁导率；m s - 一磁性液体的饱和磁化强度；q 磁性液 体的动力粘度；v 一往复轴的速度；h ( x 。) - - x 。点对应的磁性液 体的膜厚；d 一密封齿间往复轴的间隙；o 一磁性液体的表面张 力； 辍。 l，：l c c 7bb 7 图l 一1 2 推导往复式磁性液体密封耐压公式的数学模型 图卜1 2 中实线为轴静止时磁性液体的位置。虚线为磁性液体在一定轴 速作用下的位置。由此公式即可确定密封耐压能力的情况，并定性地判定 往复轴运动对耐压能力的影响。“3 第四节本论文的任务来源和主要工作内容 本论文的任务来源于国家自然科学基金委员会批准的国家自然科学基 金资助项目一往复轴磁性液体密封机理及实验研究。 本论文的主要工作是设计并建立往复轴磁性液体密封的刊压实验台， 并在此耐压实验台上进行磁性液体密封件耐压耐压实验研究。往复轴磁性 液体密封耐压实验要求要能研究不同齿形结构和不同齿间间距对磁性液体 密封件的耐压能力的影响；研究往复轴在同一行程不同速度的运动情况下， 速度对磁性液体密封件耐压能力的影响；研究往复轴在同速度不同行程 的运动情况下，往复行程对磁性液体密封件耐压能力的影响；研究密封极 靴在特定齿形结构和特定的齿间间隙的情况下，磁性液体密封件的最大静 止耐压能力，所谓静止耐压能力就是往复轴在静止不动的情况下，磁性液 体密封件的耐压能力。由于要在同一实验台上完成如此多的实验类型，实 验台的设计具有一定的难度。 论文的工作还包括对现有密封件有限元磁场计算程序的改造。现有密 封件有限元磁场计算程序存在一些问题，关键是它的设计不是面向对象的 往复轴磁陆液体密封机理及实验酬究 设计思路，在程序的使用和功能的增加等方面造成困难。工作要求使用当 今流行的面向对象的程序语言v i s u a lc + + 6 0 对其进行改编，同时要求增添 友好的用户界面，使使用更加方便；程序的初始条件输入、运算结果的输 出要实现于数据库连接，实现数据的方便查询、方便存取；程序设计要求 实现模块化，面向对象化，使以后增添新功能更加容易，程序维护更加方 便。 往复轴磁性液体密封机理及实验研究第一二革往复轴趔件有限重壁塑坌盟 第二章往复轴密封件有限元磁场分析 确定磁性液体密封装置中的磁场强度( 主要是指装置中极靴和密 封齿形成的密封间隙处的磁场强度) 的大小和方向，是确定磁性液体 密封装置最大耐压能力理论值的前提条件。由此才能确定该密封装置 在理论上能否满足密封要求，并还能在此基础上确定在磁性液体密封 装置中加入磁性液体量与密封最大理论耐压能力的关系。另外，确定 了密封件内密封间隙处的磁力线分布，就可以分析往复轴静止或运动 时磁性液体膜形态变化或磁性液体膜的运动状态与磁力线分布的关 系。 磁场强度的求解方法一般有图解法、解析法和模拟法。这些方法 曾有效地解决了不少问题，但它们各自存在着许多不足之处，如：图 解法要花费大量的时间，且精度不高；解析法不能求解具有任意边界 形状的实际问题；模拟法则设备制作比较费事，精度也不能保证；此 外，对于解决非线性磁场或边界介质复杂磁场的问题，这些方法都很 难奏效。【”1 磁场测量方法对于确定一般构件内磁场强度是比较有效的，但这 种方法对被测量对象的空间尺寸有一定的要求，不能对密封间隙为 o2 m m 以下的磁性液体密封件内的磁场强度进行有效测量。 随着电子计算机的发展，数值计算方法得到了广泛的应用。对于 电磁场问题的计算，尤其是非线性电磁场和边界复杂电磁场问题的计 算，数值计算方法的效果比较好。求解电磁场常用的数值解法有有限 差分法和有限元法，这两种方法都是基于网格划分的，但有限元法的 网格剖分比差分法有更大的灵活性，能较好地适应边界曲折多变的形 状，因而，再一般情况下，有限元法有较高的精度。本次研究根据本 实验装置的自身结构特点，从电磁场理论的最基本方程麦克斯韦 方程组出发，并作出适当合理的近似处理，利用矢量磁位的意义，采 用有限元计算的方法来确定磁性液体密封装置中的磁场强度。 牡复轴磁性液体密封机理及实验研究第二章j 兰垦塑塾堡塑坚垂堕塑坌塑 第一节磁场分析的理论基础一麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是电磁场理论的基本方程，是研究电磁场的理论 基础和进行电磁场数值分析的计算基础，也是本次有限单元计算的数 学基础，它的微分分形式如下： r o 府：了+ 塑( 2 1 ) 拼 r o t $ ：丝( 2 2 ) 扰 威西= 口 ( 2 3 ) 讲话= o( 2 - 4 ) 上述麦克斯韦方程组的微分形式中，各矢量符号分别表示的物理 意义如下： 厅：磁场强尉安培米) 7 ：传导电流密剧安培米2 ) 西：电位移( 库仑米2 ) 丘：电场强剧伏特米) 雪：磁通密剧特斯拉) p ：自由电荷的体密度( 库仑米3 ) 麦克斯韦方程组是麦克斯韦在提出位移电流的假设下，全面总结 电生磁和磁生电现象后提出来的。方程组的意义如下： 方程( 2 - 1 ) 表示传导电流和变化电场是磁场的“旋涡源”，它表 示变化电场能够产生磁场这个重要的客观现象： 方程( 2 - 2 ) 表示变化磁场产生电场这个重要的事实； 方程( 2 3 ) 表示电场是有通量源的场，即电场是由电荷产生的； 方程( 2 - 4 ) 表示磁场无“磁通量源”，即磁场不可能由磁荷产生。 麦克斯韦方程是宏观电磁现象的基本规律，能适用于恒定电磁场、 似稳定电磁场和高频交变电磁场等不同情况。但在具体计算时，将遇 到许多问题。其中之一就是方程式少而求解的未知量多。因为方程绍 中共有四个方程式但却有8 个标量方程1 5 个独立的矢量分量，并且上 征复轴磁性液体密封机理及实验研究 第一章往复轴密封件有限元磁场分析 述的8 个标量方程并非全部独立，其中两个散度方程可以分别从两个 旋度方程及电流连续方程： 曲订o p( 2 - 5 ) 出 推导出来。 1 5 1 为了增加方程的数目，现引入媒质的构成关系式，这也 是表征在电磁场作用下媒质的宏观电磁特性的媒质方程： 西= s 置f 2 6 ) b = h j = 叮毳 其中：介电常数( 法米2 ) ： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 脚：磁导率( 亨米) ； 盯：电导率( 1 欧姆) 。 应当注意的是，只有在线性并且各向同性媒质的情况下，这三个 特征参数才是常数。对于非线性和各向异性的媒质，它们不是常数， 随场强的变化而变化。 麦克斯韦方程组的微分形式只适用于媒体的物理性质( 由u 、e 、 。等参数来表征) 处处连续的空间。但是实际中经常要遇到媒质的性 质在一个或多个界面处有突变的情况。因而不同媒质的分界面( 如空 气和铁的分界面) 处的场矢量也会有不连续的突变情况出现。所以对 于这些交界面上各点来说，麦克斯韦方程组的微分形式已失去意义而 必须去考虑有限空间中场量之间的关系，这种关系是由麦克斯韦方程 组的积分形式所制约的。同时，电磁场的边界条件即可由之而导出。 麦克斯韦方程组的积分形式是： 归打= f = p 靠+ 哗d g ( 2 9 ) ( f 啻。d f ：一娑：一旦f 百d i ( 2 1 0 ) ja ， ar 占 q d 毋= q = l p d v ( 2 一】1 ) p 击= o ( 2 1 2 ) 方程组中各标量符号分别表示的物理意义为 让复轴磁性液体密封机理及实验研究 第二章往复轴密封件有限元磁场分析 i ：传导电流( 安培) ； q ：区域内自由电荷总数( 库仑) ： p ：自由电荷体密度( 库仑米3 ) o ：磁通量( 韦伯) 其中，在方程式( 2 9 ) 和( 2 - 1 0 ) 中，为电磁场中任意闭合曲线， s 为由f 所界定的任意曲面；方程式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 中s 为电磁场中 任意闭合曲面，v 为由s 所界定的体积。 方程式( 2 9 ) 反映了磁场与时变电场之间的关系，其中，j 表示 j 艽 s 面内传导电流密度，半表示j 面内位移电流密度。该式的物理意义 优 是：在任意电磁场内，磁场强度沿任意闭合曲线的线积分，等于穿过 该闭合曲线所包围面的全电流。 方程式( ：2 - 1 0 ) 反映了电场与时变磁场之间的关系，其物理意义 表示：在任意电磁场内，电场强度沿任意闭合曲线的线积分，等于穿 过该闭合曲线所包围任意曲面的磁通量的时间变化率的负值。 方程式( 2 1 1 ) 反映了电场的基本性质：在任意电场内，穿过任意 闭合曲面的电位移通量，等于闭合曲面所包围的自由电荷电量的代数 和。 方程式( 2 - 1 2 ) 反映磁场的基本性质：磁感应线都是闭合的，在 任意磁场内，穿过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。 综上所述，麦克斯韦方程组和媒质方程组组合在一起，就足以求 解所需要的未知量和求解边界条件。但从计算的观点来看，极少采用 麦克斯韦方程组去直接求解，因为方程中的待求量毕竟太多。如果以 位函数来描写场，待求量的数目可以减少，较为有利。 第二节矢量位及其微分方程 在分析计算电磁场问题时，为了求出场量( 云或豆) 与场源( p 和j ) 之间的关系，引用位函数( 或称势函数) 作为辅助量，可以减少 未知数的个数，使问题简化，有时也使物理概念更加清晰。在无旋场 ( 即旋度为零的场) 中可以采用标量位函数，而在有旋场中，则必须 采用矢量位函数。对于有电流的区域，因为r o t h = 了，属于有旋场，因 此必须引入矢量磁位j ，一般它是空间坐标和时间的函数，包含三个空 上复轴磁性液体密封机理及实验研究第二章谴复轴密封件自限儿磁场分析 、剧分量。在国际单位制中，j 的单位为韦米。 采用矢量磁位之后，应使麦克斯韦方程仍旧能满足，这只要雪和 j 之间满足 豆：v j( 2 1 3 ) 的关系，便能符合要求。因为d i v b = d i v ( r o t l ) s0 ，即表示磁通连 续的条件永远满足。 对于没有电流存在的区域，矢量磁位j 同样能满足应用。 求解具体磁场问题时，根据电流分布决定矢量磁位j ，再用( 2 1 3 ) 式求出雪，即得到解答。 为了从电流分布求j ，必须建立j 与电流之间的关系。 在磁性液体密封件中的磁场属于稳定磁场，因此进行磁场计算， 方程中不包含时变分量，故( 2 - 1 ) 式中l ，为常数，右端第二项为零。 将此式两边同乘以u 得：r o t 雪= 了。 将式( 2 1 3 ) 代入，得：r o l r o l a = f 7 。 利用矢量恒等式r o t r o t a = g r a d d i v j l v 2 j ，再引入库仑条件 vj = 0 ，则可以推导出下列矢量位函数微分方程 v 2 j = 一1 7( 2 - 1 4 ) 上式( 2 - 1 4 ) 称为线性泊松方程。 对于非线性介质，由于存在磁饱和效应，其磁导率“不是常数， 而是磁通密度后的函数。如果再假设铁磁材料为各向同性，则根据静态 磁场基本方程、介质的构成关系式和向量磁位函数j 定义式( 2 - 1 3 ) ， 即可导出下列矢量位函数方程： v x ( 去v j = 了( 2 - 1 5 ) 方程( 2 1 5 ) 称为非线性泊松方程。 下面分析一下矢量磁位j 的物理意义，我们把豆对磁场内任意以 回路f 为边界的曲面s 积分，根据前面给出的斯托克斯方程和矢量磁位 j 的定义式( 2 1 3 ) ，得通过曲面s 的磁通量： 往复轴磁性液体密封机理及实验研究第二章往复轴密封件有限元磁场分析 西= l b 由= ( r d 历) 由= 驴刃 ( 2 1 6 ) 由旋度定义可得： d a d l i m !一= m 口= b 一( 2 - 1 7 ) 血斗o a s 由此可以看出，矢量磁位j 沿任一闭合曲线的线积分等于通过以 此闭合曲线为边界的曲面的磁通量。当以该闭合曲线为边界的曲面限 定的面积趋于零时，其单位面积的线积分的极限值等于，o 历，即等于磁 通密度百的值。 根据上述说明可知，由矢量磁位j 可以确定磁通密度画，并进而 确定其它场量。在直角坐标系下，根据： 后= b ，i + b ，7 + b ；石 ( 2 - 1 8 ) 厕= 警一警卜+ 警一芸卜i 砂瑟l 反。 + ( 警一甜； 以及j 和百的关系，可得雪的各个分量与j 分量的关系 b 一：丝一丝 c o z b 一堕一丝 。 翩y3 a x b = 上一2 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 针对本有限元计算问题的求解磁场为轴对称磁场，把上面直角坐 标系下的方程转化到圆柱坐标系下有： 虱= b r c t r + b 0 5 8 + bz az 厕= ( 吾堕0 0 一堕o z ) 饵+ ( 坠o z 一等 佤 l r j 7 i加j 一8 ( 2 2 3 ) 往复轴磁性液体密封机理及实验研究第二章往复轴密封件有限霆磷场分析 + 土f 皇幽一丝1a ， ，【毋a 口 由此可得圆柱坐标下雪的各个分量与j 分量的关系： b ：三丝一监 嘞：娑一娑 耻玎掣一等)r 、凹d ， 上述关系式( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 是本次磁场有限元计算的理 论基础。 第三节电磁矢量位的边界条件 在前面通过对场量和位函数的讨论，已经给出了各种状态下电磁 场特性的数学描述。然而，实际物理问题的数学模型构造还有另一方 面，即定解条件问题。 在前面已经给出了场量和位函数的方程，这些方程均属于一元二 次线性偏微分方程，这类偏微分方程定解问题的定解条件应包含给定 待求场函数u ( x ，y ，z ，t ) 的初始条件和边界条件，而对于本次计算的静 态场函数“( x ，y ，z ) 仅有边界条件。 所谓边界条件就是指与空间坐标( x ，y ，z ) 相联系，给出场域边 界s 上的待求场函数u ( x ，y z ) 的边值，通常有下列三神情况： i 给定的边界条件是整个场域边界s 上的场函数值： 甜j 。= f ( x ，少，z )( 2 2 8 ) 此类边界条件称为第一类边界条件，与此类边界条件对应的边界 问题称为狄里赫利问题； i i 给定的是场函数在整个场域边界s 上的法向导数值： 婴l ：( z mz ) ( 2 2 9 ) 4 5 6 i 、 拟 嬲 秘 瑚 往复轴磁性液体密封机理及实验研究第二章往复轴密封件有限元磁场分析 此类边界条件称为第二类边界条件，与此类边界条件对应的边界 问题称为聂依曼问题： i i i 给定的是场域边界s 上的场函数与其法向导数的线性组合： ra ， 1 l ”+ g ( x ，y ，z ) 兰i i = f ( x ，y ，z ) ( 2 3 0 ) l o ”j 1 5 此类边界条件称为第三类边界条件，与此类边界条件对应的边界 问题称为洛平问题，通常把洛平问题化为前两种问题的和。 由前所述，本次有限元计算引入了磁矢量位，那么正确写出磁矢 量位在坐标系中不同媒质分界面上矢量位的边界条件，是利用矢量位 解算电磁场的前提条件。下面我们来推证用j 表示的边界条件的一般形 式。 图2 1j 的边界条件 如果我们紧贴两媒质的分界面取一个任意小回路，其高度h 为一 个高阶微量，如图2 - 1 所示，则依据斯托克斯定理，穿过此回路的通量 为 巾= l 露_ d i = ( r o t a ) ，d i = 岳a ，d t f 2 3 1 ) 因为回路高度h 为一高阶微量，故 s = h a i _ 0 中= 弘历= o 由此可得： a l l = a 2 。 ( 2 3 2 ) 即分界面两侧矢量位的切向分量相等，这是矢量的第一个边界条 件。应当注意，一般情况下a l 。爿：。，矢量磁位的法向分量并不相等， ! 垡墨塑壁丝鲨竺宣萝机理及实验研究第二章往复轴密封件有限元磁场分析 故j ，j ：。 其次，再沿上述任意回路计算磁场强度的积分回路，按照麦克斯 韦方程，有 弘历= v 哥品= 蝣+ 西 在s = h x d l o 的条件下，如果界面上有面电流密度以，且对静磁场有 罢：o ，则上式可改写为 h 2 。一h l 。( 2 3 3 ) 式中，h 2 ，- 与i n n , ，方向相同取正，h 1 f - 与i n n ，的方向相反取负， 回路，的方向由所包围的电流以按右手定则确定。 如果用矢量来记述，可写为： h 2 r t 2 + h l i = j s 式中：一为媒质1 界面的外法线方向； , 2 为媒质2 界面的外法线方向； ”l 2 - - 2 ； h 、 与，。间符合右手定则。 如果记”= t = 一”：与磁场夹角小于9 0 。的界面法线方向，并代入 疗：一1 v j ，则式( 2 3 3 ) 可改写为 “ 瓢 去( v 劫一去( v 嘲) - 1 7 ，( 2 - 3 4 ) 这就是矢量磁位的第二个边界条件。 往复轴磁性液体密封机理及实验研究第二章往复轴密封件有限元咝场分析 第四节磁场有限元分析 有了上面的电磁场理论基础，下面进行有限元分析。 一、有限元概论 有限元法 f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这个名称是由c l o u g h 于1 9 6 0 年 在其著作中首先提出。三十多年来，以变分原理为基础建立起来的有 限元法，因其理论依据的普遍性，不仅广泛地被应用于各种结构工程， 而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解 决其他工程领域中的问题，例如热传导、渗流、流体力学、空气动力 学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。 传统的有限元法以变分原理为基础，即首先把所要求解的微分方 程数学模型边值问题转化为相应的变分向题，即泛函求极值问题： 然后，利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题， 即最终归结为一组多元代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。 可以看出，有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的连续场分 割为有限个单元，然后用比较简单的插值函数来表示每个单元的解， 但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元 总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内部和边界上的单元 采用同样的插值函数，使方法的构造得到极大的简化。此外，由于变 分原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为自 然边界条件在总体合成时隐含地得到满足，也就是说，自然边界条件 将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，而唯一需考虑 的仅是强制边界条件( 第一类边界条件) 的处理，这就进一步简化了方法 的构造。由此，可以概括出有限元法的主要特点是：1 2 2 1 、 离散化过程保持了明显的物理意义。这是因为，变分原理描 述了支配物理现象物理学中的最小作用原理( 如力学中的最小势能原 理、静电学中的汤姆逊定理等) 。因此，基于问题固有的物理特性而予 以离散化处理，列出计算公式，即可保证方法的正确性、数值解的存 在与稳定性等前提要素。 2 、 优异的解题能力。与其他数值计算方法相比较，有限元法在 适应场域边界几何形状以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解 上，有突出的优点。换句话说，方法应用不受上述二