（大地测量学与测量工程专业论文）铁路线路平面平顺性拟合及线间距计算模型研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 曼曼曼n l一一 一一一 一一m 鼍曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼寰 摘要 客运高速化和货运重载化已是当今铁路运输发展的两个重要方向，两者对线路的 平顺性均有较高的要求。由于多年运营，铁路既有线线型已经发生形变，线路的平顺 性遭到破坏，严重制约着铁路的通行能力，因此，必须通过一定的测量方法，利用优 化的数学模型，对既有线进行改造以恢复其平顺性( 即既有线整正) 。 线间距计算是铁路在设计、施工、运营中均会涉及到的基础计算。为减小设计线 ( 第二线) 在施工中对既有线( 基础曲线) 运营的影响，保证设计线( 第二线) 运营后的 行车安全，需要计算既有线( 基础曲线) 同设计线( 第二线) 的线间距。 既有线整正计算模型主要包括渐伸线法和坐标法。本文对坐标法整正既有曲线、 拟合既有线的实际线形做了一些研究。依据既有线外业测量数据，提出了基于最小二 乘法的分段拟合数据处理模型。该模型以类似g p s 数据处理中的“差分法”进行数据筛 选分段，利用最小二乘法进行分段拟合，进而求定曲线的综合要素以计算整正拨距值。 现阶段常用的线间距计算模型主要为三角分析法，但三角分析法的一些局限性影 响了其应用范围。本文研究了一种新的线间距计算模型基于曲线元的坐标法计算 模型。该模型首先计算同曲线只有一个交点的直线与曲线的交点，然后依据线间距的 定义，将线间距计算简化为既有线( 基础曲线) 上的点同过该点的法线与设计线的( 第 二线) 交点构成的线段长度计算。 根据文中所涉及的算法，利用微软的c 群语言编制了既有线整正和线间距计算数据 处理软件。该软件作为铁路勘测数字化采集系统的重要组成部分，在西南地区多条既 有线改造工作中得到了应用。实例应用表明，本论文所提出的算法正确，精度较高。 关键词既有线；最小二乘原理；分段拟合；线间距；曲线元 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t h i g h s p e e dp a s s e n g e rt r a n s p o r ta n dh e a v yf r e i g h tt r a n s p o r ti st w oi m p o r t a n td i r e c t i o n s i nr a i l w a yt r a n s p o r t i n gt e c h n o l o g yd e v e l o p m e n t ，b o t ht h es m o o t h n e s so ft h er a i l w a yl i n e h a v eh i g h e rd e m a n d h o w e v e r , a f t e ry e a r sb yy e a r so fo p e r a t i o n ，e x i s t i n gr a i l w a yl i n e sw e r e n os m o o t h e r t h e r e f o r e ，w es h o u l dp r o c e s s i n gs u r v e yd a t at or e s u m et h er a i l w a yl i n es m o o t h b yu s i n go p t i m i z e dm a t h e m a t i c a lm o d e l ( a d j u s t i n ge x i s t i n gr a i l w a y l i n e ) t h er a i l w a yl i n es p a c i n gi st h eb a s ec a l c u l a t i o ni nr a i l w a yd e s i g n ，c o n s t r u c t i o na n do p - e r a t i o n i no r d e rt or e d u c et h ei n f l u e n c eb e t w e e nd e s i g nr a i l w a y ( e x p a n d i n gr a i l w a y ) c o n s t r u c t i o na n de x i s t i n gr a i l w a yo p e r a t i o n ，w es h o u l dc a l c u l a t et h er a i l w a yl i n es p a c i n g ，a n dt o m a k es u r eo ft h et r a f f i cs a f e t yw h e nt h ee x p a n d i n gr a i l w a yb e g i nt oo p e r a t i o n ，w ea l s on e e d t oc a l c u l a t et h er a i l w a yl i n es p a c i n g h o wt oa d j u s te x i s t i n gr a i l w a yl i n ea n dm a k ei tt ob es m o o t h ? t h em e t h o du s e di nt h i s t h e s i si sa u sf o l l o w s f i r s t , w es h o u l dg e tt h es u r v e yd a t aa b o u tt h ee x i s t i n gr a i l w a yl i n e s ，t h e n u s i n gm a t h e m a t i c a lm e a n sd a t af i l t e r i n gs e c t i o nt of i n do u tt h ed i f f e r e n tl i n e s a f t e rt h a t ，u s e t h el e a s ts q u a r e sf i t t i n gt op i e c e w i s ef i t t i n gr a i l w a yl i n e s f i n a l l y , s e e k so u tt h ec o m p r e h e n s i v ee l e m e n t sa b o u tr a i l w a yc u r v ea n dc a l c u l a t et h er i g h td i s t a n c eb e t w e e na c t u a lc u r v ea n d f i t t i n gc u r v e t oc a l c u l a t et h er a i l w a yl i n es p a c i n g ，w es h o u l df i n dt h em e t h o da b o u tt h eo n l yo n ei n - t e r s e c t i o nb e t w e e nt h er a i l w a yc u r v ea n dl i n ef i r s t l yt h es e c o n ds t e pi st of i n dt h ep o n w h i c hi st h ei n t e r s e c t i o nb e t w e e nn o r m a l ( t h i sn o r m a li st h el i n et h r o u g ht h ep o i n tb e l o n g st o e x i s t i n gr a i l w a y ) a n dt h ed e s i g nr a i l w a yl i n e s t h e n ，t h ec a l c u l a t i o ni st r a n s f o r m e ds i m p l yt o t h ed i s t a n c eb e t w e e n t w op o i n t s a c c o r d i n gt ot h em e t h o di n v o l v e di nt h i st h e s i s ，as o f t w a r ei sp r o g r a m m e db yu s i n go f m i c r o s o f t sc l a n g u a g e t h i ss o f t w a r ei st od e a lw i t ht h ea d j u s t i n ge x i s t i n gr a i l w a yl i n ed a - t aa n dc a l c u l a t i n gt h er a i l w a yl i n es p a c i n g t h eu s i n go ft h e s es o f t w a r ee x a m p l e si n d i c a t e s t h a t t h ep r o p o s e dm e t h o di nt h i sp a p e ri sc o r r e c ta n da c c u r a t e k e y w o r d s ：e x i s t i n gr a i l w a y ；p i e c e w i s ef i t t i n g ；l e a s ts q u a r e sf i t t i n g ；r a i l w a yl i n es p a c i n g ； c u l v o de l e m e n t 西南交通大学曲南父逋大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密彤使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“扩) 学位论文作者签名：辛玉俸 日期：力删，弓 指导老师签名：动，入形订砷 日期：咖占j3 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： 1 最小二乘法的分段拟合理论用于既有线整正数据处理的研究。该方法以曲线元模 型分析铁路线形构成，根据类似g p s 数据处理中的“差分法”对测量数据进行筛选，利 用最小二乘法对铁路平面线形进行分段拟合。 2 基于曲线元坐标法的线间距计算模型研究。该方法利用铁路曲线的空间位置关系， 以铁路外直线同铁路曲线交点算法为基础进行两线的线间距计算。 3 既有线整正数据处理及线间距计算软件的研制。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明。 本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本人承担。 学位论文作者签名：手勿p b 甄：泖。6 | 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 研究背景与意义 第1 章绪论 既有铁路改造的原因很多，但一般都是因为铁路运能不能适应运量增长的需求而引 起的【1 1 。 铁路运输是我国最主要的运输方式，其承载了大部分的客运和货运运能；铁路的发 展同国家经济的发展息息相关。但现阶段我国铁路运需矛盾非常突出，主要表现为铁路 运能不足，对国民经济发展带来了负面作用。因此，提高铁路的通行能力，延长铁路的 通行里程成为现阶段铁路建设的一个重要任务【2 】。 尽管新建铁路是提高铁路运能的一项重要方法，但新建铁路投资大，周期长，无法 在短期内有效提高铁路运力。对既有线进行维护与改造可在短期内有效地提高机车的通 行能力，是一种提高既有线运力的切实可靠且周期短、见效快的方法【2 1 。 从世界铁路发展大趋势来看，以先进技术为依托，不断提高列车运行速度，是发达 国家在铁路运营中的共同选择。铁路提速所产生的影响和带来的变化，不仅推动了铁路 基础设施的改善、技术进步的加快和服务质量的提高，而且有力地促进了铁路的改革和 发展，进而提高了铁路的运力【3 】。 在既有线提速过程中，列车的运行速度与线路平、纵断面的轨道结构、机车、车辆 等因素密切相关。随着铁路的发展和新设备的使用，机车、车辆己不是主要的制约因素。 目前我国既有线的提速，关键的控制因素就是线路平、纵断面的轨道结构【4 】。因此，对既 有线进行改造，恢复其线路的平顺性，成为铁路提速的一个重要方法。 既有线整正牵涉面广，劳动强度较大，数据处理较复杂。如何充分利用现有的测量 条件，以传统理论为基础并对其做出改进，快速地给出维护与改造中的数据依据就成为 既有线改建过程的关键。其中，如何利用测量数据快速准确的拟合线路的实际线形，是 既有线整正的核心问题。 增建第二线也是提高铁路运力的一项重要措施。我国很多干线铁路已经陆续铺设为 双线，但仍旧有部分铁路在单线状态下运行。因此，既有线增建复线( 第二线) 工作仍 相当繁重。修建第二线工程投资比较大，在选择增建第二线作为加强既有线通行能力时， 需要有充分的论证。 为保证既有线的通过能力和行车安全，第二线在施工时必须尽量减少对既有线的影 响。因此，依据数学模型手段，使用计算机技术自动计算两线线间距便有了一定的现实 意义。 本课题拟在整正拨距工作量较小的前提下，对既有线平面线形进行最佳拟合，从而 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 实现既有线改造；在提供基本起算数据的基础上自动计算两线线间距；该工作可极大的 方便铁路设计单位、养护部门的设计、既有线养护和改造工作，减少养护和改造过程中 内业数据处理的工作量，具有较大的现实意义。 1 2 国内外研究状况 既有线平面线形决定了线路的平顺性，进而影响着铁路的通行能力。实践证明，线 路平顺性越好，列车在行车时便越稳定，其行车时的安全运营速度也越高。对既有线进 行测量，拟合其实际线型以恢复线路的平顺性( 既有线整正) ，成为提高铁路运营速度， 进而提高既有线运力的一种重要方法。 实际生产中常用的既有线线形整正测量方法有下面三种 5 】：偏角法、置镜中线上坐 标法、置镜中线外坐标法( 上述三种方法也是某铁路设计单位现阶段所采用的方法) 。 偏角法以经纬仪( 或全站仪等测角仪器) 为主要测量仪器，主要获取点位相对于置镜点 的角度信息；置镜中线上坐标法和置镜中线外坐标法以全站仪为主要测量仪器，获取点 位的坐标信息。无论哪种方法，其第一步都需要确定线路固定里程点的位置( 即外业拉 链) 。这些方法外业劳动强度较大，效率较低，尤其是偏角法、置镜中线上坐标法，其 测量时需在既有线上设站，测量同时既有线仍正常运营，测量过程中安全性得不到保证； 同时，为不妨碍既有线的正常运行，必须在列车经过时撤离铁路中断测量，测量的连贯 性不好，重复设站频繁，数据质量也得不到保证。 确定既有线线形的计算方法主要分为两大类【67 】：一类是在传统的算法上发展，以 点位的角度信息为起算数据，主要依据渐伸线法；另一类以点位的空间坐标为起算数据， 利用点位的空间几何关系，采用坐标法。 渐伸线法是既有线整正计算中一种常用的方法，也是一种近似计算，其方法严密程 度较差，且有一定的适用范围【7 】；坐标法的理论严密，公式推求准确，测量计算精度较 高 6 j ，改进后可应用于任意里程坐标数据的处理，但计算复杂，工作量较大。 随着铁路大提速的实施，铁路行车速度普遍提高，行车间隔缩短，铁路工务及勘察设 计部门越来越重视现场勘察及养护人员的工作效率和人身安全，并对日常的养护管理提 出了更高要求。作为线路日常养护和既有线改建设计的一个重要环节，曲线拨距计算问 题很早就得到大家的重视，也提出了很多的计算方法。张相福教授提出的拨距图逼近法 及路肩外任意点置镜的曲线测量和计算方法较早时期就在各铁路局得到应用，这些算法 基本上采用渐伸线原理，测量受行车干扰较大，不适合提速条件下的曲线拨距计算。国内 外的许多专家从基于坐标测量的角度提出很多算法。全站仪整体坐标优化法、直角坐标 法计算曲线拨距等方法，虽然采用了基于坐标测量和计算的思路，但未见在现场的应用报 道，且算法设计的精度不能保证【8 】。 当前计算线间距的主要方法为三角分析法【_ 7 1 。三角分析法的理论依据为：根据两曲 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼蔓曼曼曼曼皇! ! ! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇! 曼曼曼曼曼曼邑曼量曼曼曼曼曼曼曼寡皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼i ii 曼量皇曼皇 线的平面关系，利用三角几何的方法来计算两线的线间距。该计算方法存在大量近似计 算，精度不高，且利用该方法编制计算程序复杂，难度较大。因此，对线间距计算模型 进行优化，编制自动化计算软件，便有了一定的现实意义。 1 3 本文的主要研究内容及章节安排 1 3 1 主要研究内容 本课题理论与实际相结合，拟在整正拨距工作量较小的前提下拟合出最符合路线实 际情况的平面曲线线型，自动优选曲线要素：利用初始的曲线要素自动计算两线线间距。 本课题外业测量数据获取手段为上文中介绍的测量模式，无需对已有测量模式进行改变， 符合测量员已有的操作习惯；此外，论文所提出的算法经过改进可提供对任意里程 坐标测量数据的计算支持。 以上述计算方法作为理论基础，以c 撑语言作为开发工具，在微软m i c r o s o f tv i s u a l s t u d i o2 0 0 5 平台下进行软件开发，编制了一套既有线整正的数据处理及线间距计算数 据处理软件。软件开发成功后，在多条线路改造工作中使用以验证计算模型的正确性。 1 3 2 章节安排 本文首先阐述课题的研究背景与意义，接着简略介绍相关研究的国内外现状；结合 生产单位的实际需要，提出本文的论题及主要研究内容。 第2 章介绍铁路曲线的线形构成及任意里程处点位坐标的计算以及线路外点位对 应线路里程计算的方法。具体内容包括：各种曲线元组合下铁路曲线要素( 对称曲线、 非对称曲线) 的计算；曲线元法任意里程点坐标及切线方位角的计算；线路外点位对应 线路里程的计算等。 第3 章对既有线的线形拟合方法做了一些研究。该拟合方法不仅提供了对既有外业 测量方法( 上文所提及的三种外业观测方法) 的数据处理支持，改进后还可对任意测量 方法所获得的里程坐标数据进行线形拟合。具体内容包括：渐伸线法曲线要素拟合； 坐标法曲线要素拟合。 第4 章对铁路线间距的计算方法进行了一些研究，具体内容包括：线间距的定义、 直线与曲线交点的计算以及铁路并行双线线间距的计算。 第5 章简略介绍了铁路勘测数字化采集系统及既有线整正数据处理、线间距计算模 块。该系统为笔者和莫春、王宜军等人共同编制，编制完成后己推广至某设计单位大规 模使用。此章重点介绍了依据文中所提及理论编制的既有线整正数据处理及线间距计算 程序。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼量暑曼曼曼量曼蔓曼曼曼曼曼! 曼曼鼍曼曼曼曼鼍曼舅寰暑i i 一 ； 一 一 i 曼 文章最后对论文中提到的铁路平面线形拟合方法和线间距计算方法进行分析总结， 并在此基础上提出不足与展望。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章线路坐标及线外点位对应线路里程的计算 铁路线路中心线是一条空间曲线，在处理时习惯采用水平面及铅垂面分别投影后进 行处理，投影后得到线路的平面曲线和纵断面。 铁路线路平面曲线按其构成可分为三种类型：圆曲线，直线，缓和曲线。圆曲线主 要应用于线路走向发生转变的地段，缓和曲线主要为平缓线路由直线到圆曲线转变的过 渡，使铁路线形更加平顺一】。三种线形进行组合，便组成了形形色色的铁路线型。 铁路平面和纵断面是一个整体，两者共同决定了线路的平顺性。本文所提及的既有 线线形拟合，均指平面线形的拟合。 2 1 线路曲线要素及点位坐标的计算 2 1 1 缓和曲线 当列车由直线段进入圆曲线时，由于其行驶方向的变化，会产生背离转向方向的离 心力，危及列车的运营安全及旅客的舒适度。因此设计铁路线形时，需根据列车运行时 速设计与之相匹配的超高( 外轨轨面高程大于内轨轨面高程) ，利用列车自重抵消或部 分抵消其离心力。为了解决超高引起的外轨台阶式升降，需引入缓和曲线以平稳过渡。 同时，当列车由直线进入圆曲线时，由于列车的惯性，车轮对外轨内侧产生冲击力。加 入了缓和曲线，便可实现超高的平稳过渡以及减少列车行车时对外轨内侧的冲击力【9 1 。 1 、缓和曲线的性质 缓和曲线是直线同圆曲线之间( 或两曲率半径不同的曲线之间) 的过渡曲线，其曲 率半径按一定的规律变化；直线端( z 日) 其半径为8 ，与圆曲线相接处( 册，) 其半径 为圆曲线的半径r 。缓和曲线任意点的曲率半径p 与该点到曲线起点的长度成反比，既： 1 p 。c 了或p l = c ( 2 一1 ) 式中，c 是一个常数，称为缓和曲线半径变更率。 式2 1 称为缓和曲线的必要条件。实用中能满足这一条件的曲线较多，如辐射螺旋 线、三次抛物线等。我国铁路缓和曲线一般采用三次抛物线【1 0 】。 2 、缓和曲线任意点处坐标计算 以式2 1 为必要条件，在坐标原点为直缓点( z 矽或缓直点刁，通过该点的缓和曲 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 线在以切线为工轴的坐标系下，该缓和曲线的任意里程处点的坐标可由其泰勒展开式得： 图2 1z t t - j d 坐标系中缓和曲线上各点坐标 ( 2 2 ) 式中x 、y 为缓和曲线上任意点p 的直角坐标，为p 点到z h 点( 或h z 点) 的曲线 长；t o 为缓和曲线总长度。 当2 = l o 时，即当点到直缓点相对里程为缓和曲线长时，就得到下一个主点缓圆点 旧的坐标和方向值。此时，x = x o ，y = y o ，代入式2 2 得： h 碡+ 舞+ p 3 ， 1 i , y = 堕6 c 一3 3 2 6 5 c 3 + j 4 2 2 4 l o c s + u 圳 = 一+ + 式中，x o ，y o 为缓圆点或圆缓点( 瑚的坐标。 实际计算时，其展开式可取至第二项，既： 2 1 2 圆曲线主点要素计算 1 、圆曲线的主点 z o 一蒜 f 5 6 r ( 2 - 4 ) + 一圮知淼 + 巧。 每一 矿 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 曼曼曼曼鼍皇曼曼皇皇i i_ i ii 皇曼! 曼! 曼曼曼 u 图2 2 圆曲线 如图2 2 所示。j d ：曲线交点，即两直线i 、i i 相交的点；强直圆点，按线路前 进方向由直线进入圆曲线的分界点；q z ： 中点，为圆曲线的中点；y z 圆直点，按线路 前进方向由圆曲线进入直线段的分界点。z y 、o z 、y z 三点称为圆曲线的主点。 2 、圆曲线要素及其计算 圆曲线的曲线要素主要包括： 丁：切线长，既交点至直圆点( z 的或圆直点( 圆的长度； ：曲线长，即圆曲线的长度( 自z y 经q z 至弦的弧线长度) ； 昂：外矢距，既j d 至q z 的距离：t 、l 、e o 称为圆曲线要素； 口：曲线转角。沿线路前进方向，下一条直线段向左转则为口左；向右转则为口右； 尺：圆曲线的半径。口、r 为计算曲线要素的必要资料，需在计算前提供。 圆曲线要素的计算公式： 口 c n n i厶 口 s e c i r， 口 ( 2 5 ) 式2 5 中计算三时，口以弧度为单位。在已知口、r 的条件下，即可按该式计算曲线 要素。下文中，如未作特殊声明，口均以弧度为单位。 r r r = l l = 丁 l ，、l 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 2 1 3 带缓和曲线的曲线各主点要素计算 1 、缓和曲线的曲线要素计算 缓和曲线是在不改变直线前进方向和保持圆曲线半径不变的情况下插入到直线段 和圆曲线之间的过渡曲线，其一半长度处于原圆曲线范围内，一段位于原直线段范围内， 这样就使圆曲线沿垂直切线方向向内侧移动距离( 切垂距) ，圆心由d 移至d ，显然， d 7 0 = p s e c - 兰。 带有缓和曲线的铁路曲线由5 个主点控制了其走向，即直缓点( z 的，缓圆点， 曲中点( ，圆缓点( 珊和缓直点饵劢。曲线还有其他的一些常数，如图2 - 3 所示，其 物理含义及几何关系为： 风缓和曲线的切线角，即忉，( 或y h ) 点的切线角与z h ( 或h z ) 点切线的交 角；亦即圆曲线一端延长部分所对应的圆心角； m 切垂距，即z h ( 或舷) 到圆心d 向切线所作垂线垂足的距离； p 圆曲线的内移量，为垂线长与圆曲线半径r 之差； o 其常数的计算公式如下： 图2 - 3 曲线要素 ( 2 - 6 ) 培面生2 气 一； 嘉淼 如一豫b一2 2。一旧吾i l 獬 皮 弛 l i 吖 一 阮 风 1 = = 引 嘞 肛 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 2 、曲线综合要素计算 为计算铁路曲线各里程点处的坐标，首先必须计算出铁路曲线的基本要素。如图 2 3 所示，曲线各要素的计算公式如下： 前后缓和曲线的切线角够1 、，) ： 前后缓和曲线切垂距( m 1 、m 2 ) ： l m 1 。1 。l 。2 茎 前后缓和曲线内移量p ”p 2 ) ： 前后切线长( t 1 、t 2 ) 及曲线长( l ) ： s i n 口 卢1 一皮) + 1 1 + f 2 ( 2 - 7 ) 通常情况下，1 1 = 1 2 = f ，m 1 = m 2 = m ，l = 2 = 卢，可得曲线综合要素计算公式 如下： 三r n l r f一2 02 = = 1 2 8 口 ，i、一一 一 一矿乃一鼯砭一踮 一拍 一拍 土撇鱼撇 i i = p p ，i，、【 仅一 仅 p p等叶 互 广 + 一 + r r + + 口 l z ( 仇 m n = = = h 己l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 3 、曲线主点里程计算 风= 丽t o f of 3 仇= 22 4 0 r s f 3f 3 p = 丽一磊两两 7 1 = m + ( 尺+ p ) t 口n 昙 l = 2 1 0 + r ( 口一2 口) ( 2 - 8 ) 曲线上各点的里程一般由曲线上的已知里程点按线路走向逐点推算。一般情况下， 线路j d 里程可知，它是由前一段直线段推算所得。j d 里程得到后，便可利用其几何 关系推算出曲线各主点的里程。其公式如下： z h 里程2 ，d 里程一瓦 h y e n a 2 z h i 程a + f 1 y h m 程2 = 日飞程+ ( l f 1 一f 2 ) h z e 秸a2y h i 藕a + 1 2 如若已知其他主点里程，仍可按照各桩位之间的几何关系进行推算，此处不再累述。 2 1 4 曲线任意里程处坐标计算 铁路线路平面线形是由直线、圆曲线、缓和曲线这三种基本线型单元组合而成。至 于复曲线等复杂线型，也是由这三种线型按一定规律排列组合而成。为统一线路的坐标 计算，我们引入曲线元的概念。 假设存在一条连续的曲线，其一阶导数连续( 既切线方向连续) ，沿曲线前进方向 其曲率按一定规律由尺，渐变至尺2 。满足上述约定的曲线都可成为曲线元。 由其定义可知，直线线型为曲率半径不变的曲线元( r = ) ；完整缓和曲线是曲率 半径由尺始= 变化至尺终= 尺圆的曲线元；圆曲线为曲率半径不变的曲线元俾= r 圆， 尺丽为圆曲线的半径) 。 每个曲线元最多可由8 个参数来唯一确定：即起点里程，起点纵、横坐标，起点处曲 率半径，曲线元转向，终点里程，终点纵、横坐标，终点处曲率半径等。下面以曲线元 作为组成线路的最小单元，给出线路坐标计算的通用数学模型。 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 1 、曲线元上任意点切线方位角 设曲线元的起点么的曲率为心，桩号为k ，曲线元的终点b 的曲率为，桩号为l b ， 则位于a 点与b 点之间的，且桩号为三的任意点，的曲率k 可由下面模型求得： 妫= k a + 揣l l 一- l ( 2 - 9 ) 这里对l b 一厶与l 一“加了绝对值符号，是考虑到曲线元从起点彳至终点占的桩 号并非总是递增的，以及积分下限要小于上限等因素。显然，上式仅适用于同一曲线元， 4 、b 为该曲线的两端点，通常为该曲线元与其它曲线元的分界点，既曲线元的起终 点。 则： 由图2 4 可知： y a 图2 _ 4 曲线元 d 2 邮2 石2 艮d 。 f p = j o 忌d f x ( 2 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 这里积分上下限分别为2 = l l 一“i 、0 而不用桩号和乙，就是基于上限要大于下 限的考虑。2 = l l 一“i 表示任意点至起点彳的弧长，值恒为正。 代入积分上下限积分后有： 卢= k a l h 1 2 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 式中 。 k b k a 肚赫 若己知曲线元起点彳在线路坐标系中的切线方位角口a ，并顾及到曲线元有左偏和 右偏两种情况，则曲线元上任意点切线方位角计算通式为： 口= 干( k al + h 1 2 )( 2 - 1 3 ) 式中“- t - ”表示曲线左偏时取“一”，右偏时取“+ ”( 以下意义同) 。式2 1 0 表明，若已 知曲线元起点和终点的曲率及起点的切线方位角，即可依式由弧长z 计算出任意点的切 线方位角。 2 、曲线元上任意点坐标计算 由式2 1 0 可得任意点f 在线路坐标系中的坐标计算通式为： 应用三角函数加法定理可得： 式中 = x a + = y a + 阱麓三： ( 2 1 4 ) 对照图2 - 4 ，不难得知x 、y 表示任意点i 在以起点彳为坐标原点，以起点么的切 线方向为工轴，以与x 轴相垂直且方向指向曲线内侧( 曲线元的曲率中心一侧) 为y 轴的 局部坐标系中的坐标。公式中的士”表示曲线左偏时取负，右偏时取正( 以下意义同) 。 显然，直接求得式的积分是困难的，为此，先对c o sg ，+ h 2 ) 及s i l lg z + h 2 ) 用级 t ， m 勺 n 州 k o 千 千 h k s 江 址 上( | 宝 啷 y y + 一 一+ 啷 咖 z 戈 + + k 玖 i l = 拖k ，-il，、-i 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 数展开，然后再求定积分，即可得到曲线元以弧长，为变量的参数方程形式： x = ，一篮，s 一塾，4 + 匠二! 丝易+ 盟，s + 笙鱼! 堕：二笙j ，+ 堡垒堕：二型，s 641 2 0 3 65 0 4 09 6 0 + 茎：! 鱼! q 丝：二璺兰q 丝：茎；，+ 墨；丝二! 兰q 丝：茎；，- 。+ 茎；丝：然：二三旦丝：! ，。， 3 6 2 8 8 0 5 0 4 0 015 8 4 0 +6 k j h 3 + k v a h - 4 2 h s k aj 1 2 + 6 0 4 8 0 19 k 4 h 4 + 1 6 k h z - 2 8 t 1 6z 3 + 笙堡骘堡，t 4 2 6 2 0 8 07 0 5 6 0 3 k j h 6 + 4 k 6 h 21 1 5 + 望3 5 ，1 6 4 l ，1 7 川5 1 1 51 2 0 08 0 6 4 06 8 5 4 4 0 、 y ：生，：+ 一h 卜蔓，一盟z s + 鲨二鱼旦丝型，s + ( h k ：- 4 h 3 ) ，+ f 丛一旦、s 232 41 07 2 0 1 6 8 f 9 6 4 0 3 2 0 ) 丛一堕丛一丛+ n f ，塑+ 旦一丛 ，l l 1 0 86 4 8 0 l2 4 0 2 4 0 0 3 6 2 8 8 0 0 l 4 4 3 5 2 0 1 3 2 0 1 5 8 4 + f 垡一塑i z + f ! 夔堡篓丝一剿1 3 + f ，兰夔堡兰堑! 一塑、 + 2 3k ：h5 + 4 0k ：日3 2 7 2 1 6 0 0 一旦7 5 6 0 0 ，1 j s + ! 茎；丝! 兰茎；丝：! 三茎i 丝：，- s 1 4 5 1 5 2 0 + 丝等5 塑4 2 2 4 塑0 型+ 笔6 5 塑318 4 型0 严+ 旦6 8 9 4 7 2 0 严 ( 2 1 6 ) 1 _ 7 式2 1 2 与2 1 3 式即为线路中线坐标计算的通用数字模型。显然，若己知曲线元起 点和终点的曲率及起点的切线方位角与坐标，即可依式2 1 2 和式2 1 3 由弧长，计算出 线路上任意里程点在线路坐标系中的统一坐标。 线路上任意里程点坐标计算 任意铁路均有曲线元按照不同顺序排列组合而成。我们可以采用下列步骤计算任意 里程点坐标： 1 ) 计算曲线要素及主点里程。 2 ) 根据式2 - 9 、式2 1 0 、式2 1 2 、式2 1 3 ，由已知点及曲线要素求出曲线各主点坐 标、切线方位角。 3 ) 将铁路线形分成五段，即始端直线、z h i - 盯段缓和曲线、i - 抒一y h 段圆曲线、 y h h z 段、终端直线( 如前后两端无缓和曲线，可将线形分成三段，其余情况类似) 。 4 ) 利用给定点的里程判断点位所处的线形单元，根据式2 - 9 、式2 1 0 、式2 1 5 、式 2 1 6 进行坐标计算。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 2 2 线路外点位对应线路里程的计算 确定线路附近的地面点与线路中线的相对位置关系，是线路测量工作中的一项基础 性工作，贯穿于线路建设的全过程。 图2 5 线外地面点同线路的几何关系 在道路设计阶段，常需确定某些重要地物与初步设计的线路中线之间的相对位置关 系，以便为线路最终设计提供准确的数值依据；道路断面测量时，也需要快速的获取所 测量的地貌点位所对应的道路断面里程；道路施工阶段，可实时测得线路边桩的坐标， 经过数学计算可获取该点距线路中线的距离，通过与设计距离比较，可迅速将所放边桩调 整到满足设计距离之处；道路竣工阶段，通过测定边线上的点，可以确定建成线路与设 计线路的偏差，从而为竣工验收提供准确的数据。整正既有曲线的工作中，也需要迅速 确定线路导线控制网中的导线点所对应的线路里程，以便对拉链后的里程进行改正。由 于确定地面点与线路的相对关系是经常性的，因此，给出其统一的计算模型是很有必要 的【13 1 。 1 、确定地面点与线路中线相对关系的方法 线路形式尽管很多，但都是由直线、圆曲线和缓和曲线构成。本文在分析时，统一 利用曲线元作为替代，这样，讨论地面点与线路中线的相对位置关系的问题便可简化为 讨论地面点与线路中曲线元的相对位置关系。 如图2 6 所示，a b 为线路中任意的曲线元，p 点为线路附近的一点。尸在曲线元4 b 上的投影为尸_ 。由图可知，p n 点的里程即为p 点对应的线路里程，即：f p = f p 。砌点 的里程为匕，贝, s j p 点的里程为：f p = “+ f 。此时，求地面点对应的线路里程问题便转化 为如何获得p 点在曲线而b 上的投影。 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 a ( p m l 图2 6 线路外任意点对应线路里程计算 本文采用趋近原理实现解算目的。如图2 6 所示，：幽点做曲线而b 的切线a 】，j 抄 点做切线a m 】的垂线，交，47 盱d 】，则d 】为彳点至线段p d 】的距离。显然，若昂点为p 在 曲线袖上的投影，则如= 0 。利用此性质，我们便可以利用逐渐逼近的方法求得尸 点在曲线元上的投影位置及其在线路坐标系中的坐标。其步骤如下： 1 ) 锄点( 曲线元起点) 为p 点在曲线袖上的投影，构建直角三角形p a d 】。 2 ) 利用三角几何关系求d ，长度。( 以线路前进方向作为基准方向，若矾御点的线 路前进方向则d 】为正，否则为负) 若i d li 0 0 0 1 ，则假设成立，退出计算。否则，计 算p 2 点线路坐标系中的坐标及其切线方位角。此时，f p = “+ d 1 ( p 2 的里程为a 点的里 程与d 】之和) 。 3 ) 假设p 2 为p 点枷上的投影，重复构造三角形p a d 2 。 4 ) 利用其几何关系求得d 1 长度。若i d 】l o 0 0 1 ，则假设成立，退出计算。否则， 重复步骤2 和3 ，直到l d n l 0 0 0 1 。 5 ) 若l d n i 0 时，表示向圆心方向整正，其方向同曲线转向也相同。 b ) 当= e 拟一e 测 0 时，表示背圆心方向整正，其方向与曲线转向相反。 3 、对上述理论的一点改进 渐伸线法整正既有曲线的重点在于圆曲线范围的确定及曲线要素的求定。三点法求 定的曲线半径的质量决定了整个曲线的拟合质量。本文根据其性质，在实际应用中加入 了一些小的改进。具体如下： a ) 由于曲中点位置同曲线半径无关，其里程可由下式计算得出 7 】： 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼曼皇曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼舅曼曼曼蔓i 曼曼曼曼! 曼曼蔓曼曼曼蔓曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼舅皇曼 e n l q z = 了 ( 3 1 9 ) 式中，h ：既有线小偏角法测量终点的渐伸线长度； 口：既有线的曲线转角。 利用上式求得q z 点里程后，可对圆曲线范围进行初步限定。利用曲中点里程可以 得到圆曲线的中点，进而限制三点法计算圆曲线半径的选点范围，提高计算精度。 b ) 由圆的几何图形及测量相关知识可知，用于计算的三个点，相互之间距离越大， 所拟合的圆的可靠性越高。为提高拟合精度，应选择距离较大的三个点；但同时，盲目 追求大的距离，也可能误将缓和曲线上的点做为圆曲线点进行计算，使计算结果的可靠 性变差，甚至造成错误。本文先利用曲中点位置粗选相邻六个点作为三点法的起算数据， 从计算所得的四组结果中取平均值作为曲线半径，然后将结果带入理论曲线公式中求出 各主点要素的里程，根据所求得的里程均匀选取六个点重复三点法计算，计算结果仍旧 取平均值。 6 、渐伸线法既有曲线整正计算步骤 1 ) 偏角法外业测量，获取点位的偏角信息，按照规定的格式记录测量数据。 2 ) 读取数据，计算各测点相对于线路起点的渐伸线长度。 3 ) 计算曲线终点q z 里程，并找到q z 附近等距的六个测点。 4 ) 利用三点法粗算曲线半径及前后缓和曲线长度( f 1 ，1 2 ) 、肼点和y h 点的里程。 5 1 在求得的椰、y h 点之间取等距的六个测点。 6 ) 重复步骤4 。 7 ) 利用角图解析法计算曲线要素。 8 ) 利用计算的曲线要素计算各点的渐伸线长度。 9 ) 计算各个点的拨距量。 1 0 ) 计算成果输出。 3 2 2 基于最小二乘法分段拟合理论的既有线整正计算 根据解析几何中坐标变换的理论，利用外业测量中得到的点位在大地坐标系( 或分 段线路坐标系) 中的坐标值，采用坐标法对曲线进行整正，得到适于编写电算程序、较 精确的计算方法。本方法的关键在于曲线元的分段选择及其拟合。 1 、曲线元的筛选 a ) 点位于直线段上 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 设直线上三点a ( 砀，妇) ，8 ( x 口，y b ) ，c ( x c ，y c ) ，且a b = b c 。由直线的方程y = 缸+ 6 可得： 对相邻两点求差，可得： 对一次差继续求差，可得： r l y b = x c + 心 2 ) ，c + 坛 2 i r d e t 2 x = d e t x b a 【d e t 2 y = d e t y b a 由式3 2 1 及式3 2 2 可得结论： x c x a 2 x c 一心 2 y c 一坛 2 y c 一 2 d e t x c 日= 0 d e t y c b = 0 ( 3 - 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 - 2 2 ) 位于直线元上的点，对其等距的相邻两点坐标值求差，一差为一固定常数，二差为 0 。即： ( d e t l x l2d e t l x 2 = ，= d e t l x n 一12m id e t l y l = d e t l y 2 = ，= d e t l y n 一1 = n 1d p 2 x 1 ：d p 亡2 2 2 = ，= d p 亡2 z t l z ：o 3 2 3 ) d e t a y l = d e t 2 y 2 = ，= d e t 2 y n 一1 = 0 式中m ，挖为不为零的常数，且k = m n ( 不考虑直线垂直于x 轴的情况) 。 b ) 测点位于圆曲线段 = = = = 妇 妇 妇 一 一 一 一 日 c b c z 葺 y y = l i l l = 鼬 凹 鼬 凹 z x y y c c c c e e e e d d d d ，cll 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 7 页 x 图3 - 4 圆曲线上点 设有圆曲线上四点a ( 心，y a ) ，8 ( x b ，y b ) ，c ( x c ，y c ) ，d ( x d ，y d ) 且i a b = 2 b c = 2 c d 。 d e t a l 、d e t a 2 为相邻两点构成的弦线的夹角。如图3 - 4 所示。弦a b 、b c 、c d 的斜率 为： 瞳 则相邻两弦线构成的夹角为： f d e t a l = a r c t a n ( k b c ) 一a r c t a n ( k a b ) 【d e t a 2 = a r c t a n ( k c d ) 一a r c t a n ( k b c ) 因为l