（固体力学专业论文）冲击载荷作用下结构的动力响应分析.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 在爆炸、撞击等强渤载蘅豹作用下结掏将表现出与准静态情形缀不稽同 的力学行为。由于外加的裁荷随时间变化褥很快，结构的变形也变化得很快， 惯性力的作用将不可忽略。本文对结构受冲击载荷作用下的动力响应做了一 螺磷究，归纳起来主黉蠢以下三个方匿。 1 。任意净蠢载瑟佟翔下，篱支粱瑟露蔽交形豹动力确敝褥往。采瘸爨 黧性假定，忽略应变强化效应和应变率的散应并考虑由于有隧变形而导致的 轴力的影响，研究任意时间历程冲击载葡作用下简支粱的塑性动力响应问 题。采用矩形形状的屈服条件，并将粱的邀动依照塑性铰的不间分为四个不 麓黥玲致，其中纂一耧雾瑟玲葭为蕈铰逡动搂式，第二器第三验毅为嚣铰运 动模式。最后给出了饺意时刻梁的运动状态和变形状态的解析表达式。 2 损伤材料的动力响应特性。研究了工程材料在动力载衙下损伤演化 的计冀模型，提出了一般材料在各向异性损伤状态下的两种幼力损伤模型。 繁一秘鼓有效应力瓣舔效馕静幂函数为鏊勰，第二季孛鞋损伤殿燹缝释放率为 蕊獭。通过数值分褥磷究了损伤结摘元佟的动力确应静特性。 3 汽车碰撞槽型粱结构桥梁的数值模拟。以邓洲桥为研究对象，建立 脊限元模型进行汽车碰撞仿真分析。全筒分析桥梁的结构和磁撞特征之后， 掇如了对邓洲桥和汽攀有限元模型的简化方案。采用美国a n s y s 公司的有 袋元较箨a n s y s l s d y n a 对毯蓬过程遴纷数篷蒺蘩分撰，移裂了蓬壹点 附近混凝土、普通钢筋以及预应力钢筋的威力及位移随时阍的变化规律，同 时得到了全桥在碰撞腐孵间的应力分布规律和碰撞结束前全桥的变形规律。 关键逮：冲击载萄；幼力响应；塑性铰；有限元法 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t w h e ns u p p o r t i n g s t r o n g l yd y n a m i cl o a d s ，s u c h a s e x p l o s i v el o a d sa n d i m p u l s i v el o a d s ，t h es t r u c t u r e sw i l ls h o wd i f f e r e n tm e c h a n i c sc h a r a c t e r sf r o m s t a n d i n gq u a s i - s t a t i cl o a d s t h ed e f o r m a t i o no ft h es t r u c t u r ec h a n g e sv e r yf a s ta s t h el o a d sc h a n g ew i t ht i m e t h ee f f e c to ft h ei n e r t i af o r c ec a n tb ei g n o r e d t h e d y n a m i cr e s p o n s ef o rt h es t r u c t u r e ，s u s t a i n i n gi m p u l s i v el o a d ，h a sb e e na n a l y z e d a c c o r d i n g t ot h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t si nt h ep a p e r 1 t h ed y n a m i c p l a s t i cr e s p o n s eo f t h es i m p l e - s u p p o r t e db e a m c o n s i d e r i n g o ft h ef i n i t ed e f o r m a t i o nu n d e ra r b i t r a r yi m p u l s i v el o a d t h ed y n a m i cp l a s t i c r e s p o n s ef o rap i n n e dr i g i dp l a s t i cb e a ms u b j e c t e d t oa l l a r b i t r a r yi m p u l s i v e d i s t r i b u t e dl o a dw a si n v e s t i g a t e d t h ee f f e c to fs t r a i nh a r d e n i n ga n ds t r a i nr a t e s e n s i t i v i t yw a si g n o r e d t h ey i e l d i n gc u r v ew a sa s s u m e d t ob er e c t a n g u l a r t h e w h o l ed y n a m i cr e s p o n s ep r o c e s sw a sc l a s s i f i e da sf o u rs t a g e s ，i nw h i c ht h ef i r s t s t a g ea n dt h ef o u r t ho n ea r es i n g l ep l a s t i ch i n g em o d e ，a n dt h es e c o n da n dt h e t h i r d s t a g e a r et w op l a s t i ch i n g e sm o d e ac l o s e df o r mf o rt h ev e l o c i t ya n d d e f o r m a t i o no ft h eb e a mw a so b t a i n e d 2 t h ed y n a m i c r e s p o n s e f o rt h ed a m a g e ds t r u c t u r a lc o m p o n e n t s a c o m p u t a t i o n a lm o d e lf o rt h ed a m a g ee v o l u t i o no fe n g i n e e r i n gm a t e r i a l su n d e r d y n a m i cl o a d i n gw a sa n a l y z e d t w om o d e l sf o rd y n a m i cd a m a g ee v o l u t i o no f m a t e r i a l si ng e n e r a la n i s o t r o p i cd a m a g es t a t ew e r ep r e s e n t e d ；t h ef i r s to n ew a s b a s e do np o w e rf u n c t i o no ft h ee f f e c t i v ee q u i v a l e n ts t r e s sa n dt h es e c o n do nt h e d a m a g e s t r a i ne n e r g yr e l e a s er a t e t h ed y n a m i c r e s p o n s eo fd a m a g e ds t r u c t u r a l c o m p o n e n t s h a v eb e e ns t u d i e d n u m e r i c a l l y 3 t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fp r e s t r e s sr e i n f o r c e dc o n c r e t eu - s h a p e d b e a mi m p a c t e db yv e h i c l e t h ep r o j e c to fd e n g z h o ub r i d g eu s i n gp r e - s t r e s s t t 武汉理工大学硕士学位论文 r e i n f o r c e dc o n c r e t eu s h a p e db e a ms t r u c t u r ew a s c o n s i d e r e d ，u s i n gf i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s s o f t w a r ea n s y s l s d y n at om a k e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n a p r e d i g e s t e dc a rm o d e la n dar e a s o n a b l eb r i d g em o d e lw e r ep r e s e n t e da f t e rt h e b r i d g es t r u c t u r e sa n dt h ec o l l i d i n gc h a r a c t e r sw e r ea n a l y z e d t h es t r e s sa n dt h e d i s p l a c e m e n to ft h ec o n c r e t e 、b a r 、p r e - s t r e s sb a rc h a n g i n gw i t ht i m ew e r e p r e s e n t e d t h es t r e s s o ft h ew h o l eb r i d g ea tt h et i m eo ft h ec o n t a c ta n dt h e d e f o r m a t i o no ft h ew h o l e b r i d g ea tt h ee n do f t h ec o n t a c ta l eo b t a i n e d k e yw o r d s ：i m p u l s i v el o a d ，d y n a m i cr e s p o n s e ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o d i i l 武汉理工大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 概述 在爆炸、撞击等强动载荷的作用下结构将表现出与准静态情形很不相同 的力学行为。由于外加的载荷随时间变化得很快，结构的变形也变化得很快， 惯性力的作用将不可忽略，需要按照弹塑性动力学的原理和方法来求解结构 的动力响应历程。在许多工程领域中已经提出了大量的这类结构塑性动力学 问题，或者叫冲击结构动力学问题。事实上，从日常生活中的螂头敲击钉子， 直到复杂的核电站的安全防护，都有这类问题。高速公路的发展和汽车事故 的增加，使人们越来越关心在碰撞事故条件下车辆结构的耐撞性和乘员的安 全性，船舶与桥梁、海洋平台的碰撞，飞机与飞机驾驶舱玻璃的碰撞，太空 中高速运动的碎片与航天器之间的碰撞，坠落的飞机与核电站安全壳的碰撞 等等，都是在设计中必须考虑的。对于化工厂和核电站，必须防止由于可能 发生的爆炸事故以及高能流体的泄漏，对管道系统、设备和厂房所造成的灾 难性后果。在动力金属成形中，通过恰当控制的爆炸和冲击使工件达到预期 的形状。在国防工程中，无论是拦截敌方导弹，还是潜艇和地下工程的核防 护，都提出许多冲击结构动力学的课题。冲击结构力学研究的对象包括许多 许多由不同材料制成的、几何形状千差万别的结构，外载的时空特征和碰撞 速度范围也都有极大的差异；在结构的响应过程中可能出现极为复杂的力学 现象，如几何的大变形、大转动，高应变率下材料的性能的变化，以至于结 构的撕裂和破坏等等。因此，不可能( 也没有必要) 去探究实际工程结构的动 力响应的所有细节；作为一门科学，冲击结构动力学只能( 也应当) 是对构件 的几何形状，材料性能和外载特征进行必要的理想化，建立恰当的力学模型， 武汉理工大学硕士学位论文 并通过对这些力学模型的透彻研究来揭示冲击载荷作用下结构动力响应的 主要特征，同时发展相应的理论、计算和实验方法，为分析更复杂的动载下 的行为提供依据和工具。 常用的第一个理想化是将外载作用下结构内波的传播同结构的总体响 应区分成两类各自独立的问题。当外载突然施加到物体或结构上时，它所产 生的扰动必然首先以弹性波或塑性波的形式在物体或结构内传播。如果外载 发生显著变动的特征时间( 例如外载上升到最大值所经历的时间，或载荷脉 冲的长度) 远小于波在物体的特征尺度所需要的时间。那么物体在这一尺度 上的应力和变形的不均匀性是不可忽略的，因而需要考虑波效应。 常用的第二个重要的理想化是在求解强动载荷作用下的结构动力响应 时，把结构假定为由理想刚塑性材料制成的。这样做不仅忽略了材料的弹性， 而且也忽略材料的应变强化效应和应变率效应。这样做的背景和依据是，在 强动载荷作用下被考察的结构通常要经历相当大的塑性变形，因而外载做的 功绝大部分转化为塑性变形，因而外载做的功绝大部分转化为塑性变形能从 而被耗散掉，只在很小一部分转化为弹性应变能；于是，忽略掉弹性变形及 相应的能量对于上面提到过的那些总体量的估算不致带来很大的误差，却可 以大大简化问题的数学提法以利于求解。 关于刚塑性动力响应的第一项工作是由l e e 和s y m o n d s 在1 9 5 2 给出的。 在这项工作【1 】中，他们分析了一根两端自由的直梁在中点受到一个三角形脉 冲作用时的刚塑性动力响应。l e e 和s y m o n d s 的这项开创性工作，不仅揭示 了不同范围的外载可以导致不同的响应模式，而且事后被证明为极其重要的 概念一移行塑性铰，简称移行铰。 p a r k s l 2 1 于1 9 5 5 年研究了一根悬臂直粱在端部受到一个质量为g 、初速 度为v o 的刚性块撞击后的动力响应问题。由于假定刚性块撞击后始终粘附 在梁的端点、随粱一起运动，所以这个问题等价于一个直梁与集中质量组成 2 筑汉莲工大学硕士学犍论文 的力学系统在初始时刻给熬中质量以初速度v 0 的问题，如图1 - 1 所示。 p a r k s 假定，撞击发生尉宵一 移行铰 个移行铰从撞击端出发商粱攘帮 逐灏移韵。霰定t 露亥l 移行铰位 于h 点，它距梁端的距离怒s ( 0 ， 则如图1 - 1 所示，h a 段绕h 点作 刚体转幼，问对h b 段保掩静止 豳1 1p a r k s 问题 不动。它获馁定豹这魏璃艨壤式终峦是否满是念帮动力学方程积剐魏送条传 来蕊阻梭核。 p a r k s 解尽管只是对悬臂梁承受撞击的具体问题的解，但它对结构刚塑 性动力响应问题却具有很大的代表性和普遍意义。首先，在力学模泓和相应 的数学方法上，值褥注意鲍建： 1 ) 蠹予专砉精授缓定为聪慧阐鳖洼熬，结祷两不设浚弯弹毪区，掰怠辇性 区被集中化了：在梁中塑性隧集中于一个或数个离散的截面( 塑性铰) ，其它 区域皆保持为刚性，这使得结构变形、运动的力学模型都有了极大的简化； 2 ) 从数学上看，塑性铰楚粱的运动参量发嫩弱间断的奇异点【”，可以证 饔，在麓瞧铰楚垃移窝速度後绦拷连续，麓率农鼗定铰楚是露耀懿，建移学 铰处则仍连续，无论是驻定铰还是移行铰，角遮度都一定有间断； 3 ) 结构的刚塑性动力响应可以区分为两个阶段，第一个阶段以移行塑性 铰为特征，第二个阶段则是速度的空间分布不随时间变化的模态邋勘； 4 ) 凌移毒亍铰玲段无藏捌簧处理一个交质量侮系翡动力学蠲题，敷将 归结为一个非线性零微分方程缓的求解。 其次，经与其它解的比较证实，p a r k s 解反映了结构在撞击作用下的刚 塑性动力响应的某些基本特征，例如： i ) 缡章句动力嚷应的历獠以及两个阶段所耗敝黝能量在总能量中所占的 3 兰 戴汉瑾工大学颈学使论文 比例，都取决于撞击物相对于梁的质量比： 2 ) 当撞击物很重时，粱的变形集中于支承处，这与刚塑性梁在静载作用 下的行为糨议；当撞击物缀辍对，变形更多地发生于撞击部位聪邋，即撞击 效瘦羹璇甓部性； 3 ) 粱的变形量都与能黛比成正比关系：可以说，整个动力响庶受控于质 量比和熊量比两个无量纲参数。 总的来说，在理想刚勰性的假定下，对具体的结构和具体的受躐条件， 只要会璞缝霰设豌应模式并求磐稳应兹数学方稳，藏毒可能获缮鞫题懿鞭塑 性宠全勰还有简支粱f 钔、鬻支落板1 5 , 6 1 、霹支麟投粥、和方板等。纛授的动力 响应中，塑性变形主要集中在一些驻定的或穆渤的铰线上，虽然数学处理比 梁的问题复杂，但基本概念和基本方法是一致的。 在实稼阍题中热船舶磁撞、汽车碰攮等) ，缀多碰撞过程郡燕葶孛复杂 魏 线瞧动态稿应过程，爨霄 零跨显静动力黪瞧，蠢置磋蓬区秘侔一般都 要迅逮超越弹性阶段而进入漫性流动状态，并w 雒出现撕裂、屈蟪等各种形 式的破坏或失效。对于这娥复杂的冲击碰撞过程，以动态非线性肖限元基本 理论和接触算法为基础的一批优秀的有限元软件也现了。事实证明采用这些 获謦遴行谤龚分辑爱缦磐鹣模撅洚壹终矮过程，并l 建；孛壹之爱续擒麓受力 及变形进行比较全面的分析。 1 2 研究内容和研究成果 本文主要遂行了蔽下分l 薅，采用移行铰模羹籁有疆元法努鄹对络梅静魂 力响应进行了分析，其中避采用有限元法对损伤结构的动力响应进行了分 析，最届对汽车碰撞邓洲桥采用了数值仿真分析。研究内容和研究成果主要 有以下三三个方面。 1 任何淬责载蓑 车用下，麓支粱静有限变形靛动力馥应特蛙。溪蠲涮塑 4 鼗汲毽工大学蘸学爱论文 性假定，忽略强化效应和庶变率效应并考虑由于有限变形而导致的轴力的影 响，研究任意时间历程冲击截衙作用下简支粱的魍性动力响应问题。为了简 化计算慕用矩形形状的屈服条件，并将粱的运动依照塑性铰的不溺分为四个 不嚣瓣狳段，其中第一霸露瓣羚段为萃铰运魂摸袋，燕二和第三羧敬灸嚣铰 运动模式。最后给出了任熏时刻梁的运动状态和变形状态的解祈擞遮式。 2 损伤材料的动力响威特性。研究了工程材料在动力载荷下损伤演化的 计算模粼，提出了一般材料在各向异性损伤状态下的两种动力损伤模型。第 一秘以蠢效瘟力熬等效僮瓣麟遗数为基礁，麓二秘损褒应变毵释放率为基 础。遴过数值分析研究了损伤结构元彳孛的动力响应的特往。 3 汽车碰撞预应力混凝土槽型梁结构桥梁的数值模拟。邓洲桥为预应力 混凝土槽型梁。以该桥为研究对象，建立有限元模型，进行汽车磁撩仿真分 辑。全瓣分聿厅桥梁的结搀秘磁撞特征之岳，提爨了对桥和汽车的礴黻元模型 酶篱佬穷集。采爰美国a n s y s 公司懿丈墼鸯蔽元a n s y 靳已s d y n a 孛譬接 触碰擒分析，得到了撞击点附近混凝土、普通钢筋以及预应力钢筋的应力及 位移随时间的变化规律，同时得到了全桥在碰撞之后的一瞬间的碰撞结束前 全桥的变形规律。 5 武汉理工大学硕士学位论文 第二章有限单元法的基本理论 2 1 有限单元法的基本理论 作为数值分析方法中最重要的理论，有限单元法思想的提出，可以追溯 到c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作，他第一次尝试用定义在三角形区域上的分片 连续函数和最小位能原理相结合来求解s t v e n a n t 扭转问题。一些应用数学 家、物理学家和工程师由于各种原因都涉足过有限单元法的概念。但是直到 1 9 6 0 年以后，随着电子数值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展 速度才显著加快。 现代有限元单元法第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性 力学平面问题，这是t u r n e r ，c l o u g h 8 】等人在分析飞机结构时于1 9 5 6 年得 到的成果。他们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。 三角形单元的单元特性是由弹性理论方程来确定的，采用的是直接刚度法。 他们的研究工作打开了利用电子计算机求解复杂平面弹性问题的新局面。 1 9 6 0 年c l o u g h 9 】进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元 法”的名称，使人们认识了有限单元法的功效。 四十年来，有限单元法的理论和应用都得到迅速、持续的发展。1 9 6 3 - - 1 9 6 4 年，b e s s e l i n g l l 叭，m e l o s h 1 1 1 和j o n e s 1 2 】等人证明了有限单元法是基于 变分原理的里兹( r i t z ) 法的另一种形式，从而使里兹法的所有理论基础都 适用于有限单元法，确立了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方 法，从而进一步扩大了有限单元法的应用领域。 2 1 1 节点、单元和形函数 有限单元法的基本思想就是将连续的求解域离散为一组有限个、且按照 一定方式相互联结在一起的单元组合体。由此可见划分好的有限元模型是由 大量的、且有限个单元组成的。单元具备一般的几何形状，如线单元( l i n k ) 、 多边形单元( s h e l l ) 、实体单元( s o l i d ) 等形状，但是单元并不像几何 6 武汉理工大学硕士学位论文 模型那样是由点、线、面组成，相反组成单元的要素只有一个，即节点。从 这个意义上说，节点才是组成有限元模型的最基本的要素，事实上也正是如 此。因为在有限求解计算过程中，就是求解根据最小位能原理1 1 3 】( 其表达 式如2 1 ) 所建立刚度矩降方程，k a = p ，此方程中的未知量就是节点位移矩 阵a 。 6 兀口= o ( 2 1 ) 其中， 1 一一 矗( 亏d 耻f 5 玎5 k l f i u f y y j 丐“f d s ( 2 - 2 ) 其中d i j k l 称为弹性系数，为四阶张量： e i 、8 肼一为应力张量； u i 、 、霉一分别为位移张量、体积张量、面积张量。 由上述可知，求有限元方程得到只是基本量，即节点位移，而节点应力、 应变、单元应力、应变、变形等参数均通过基本量，根据弹性力学的三个基 本方程【1 4 推导而来，这些量我们均称导出量。那么在这一过程中，形函数 则起到至关重要“桥梁”作用。因为通过有限元方程的求解，只能得到节点 上的基本量，而在使用弹性力学的三个基本方程推导单元其他部分的基本量 和导出量时，必须通过形函数进行插值，因此形函数又被称作插值函数。 可以说，形函数选取的好坏，直接决定单元是否合理以及求解结果的精 确性，而单元之间的本质区别就是形函数的区别，因此形函数的选取至关重 要，一般选择单元形函数时要注意以下几个方面【1 5 1 ： ( 1 ) 广义坐标是由节点场变量确定的，因此单元位移函数的个数应与 节点自由度数相等。如3 节点三角形单元有6 个节点自由度( 节点位移) ， 广义坐标个数应该取6 个。 ( 2 ) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移模式中的 常数项和一次项反映了单元刚体位移和常应变的特性。当划分的单元数趋于 无穷多时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变。 ( 3 ) 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元 7 武汉理工大学硕士学位论文 的精度。一般来说对于单元边每边具有2 个端点的应保证一次完全多项式， 如图2 1 中二维3 节点单元、4 节点单元或三维4 节点单元、6 节点单元及8 节点单元。每边有3 个节点时应取二次完全多项式，如上图中的二维6 节点 单元、8 节点单元和2 0 节点单元。若由于项数限制不能选取完全多项式时， 选择的多项式应具有对称性。并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式 的次数。 3 节点 6 节点 ( a ) 二维单元 4 节点 4 节点 6 节点2 0 节点 图2 1 二、三维常用单元 2 1 2 杆单元、四边形单元和六面体单元 c o ) - 维单元 有限元分析中，虽然使用的单元可能很多，但常用的单元应该是杆单元、 四边形单元( 壳单元) 和六面体单元。 杆单元有2 个节点组成，可以是一维杆单元、二维杆单元，也可以是三 维杆单元。杆单元常被用来模拟钢筋( r e b a r ) 、桁架( t r u s s ) 、梁( g i r d e r ) 、 弹簧( s p r i n g ) 、松散的索( s a g g i n g c a b l e ) 【”】等工程结构或构件。四边形单 元多用来模拟平面问题( 平面应力或平面应变) 中的工程结构或构件，同时 也用四边形单元模拟板壳结构，因此四边形单元通常称为壳单元。杆件和板 8 g 撇笛 辱 僦 武汉理工大学硕士学位论文 壳在工程中有着广泛的应用，它们的力学分析属于结构力学范畴，因此，杆 单元和壳单元又被总称为结构单元。 六面体单元通常用来模拟结构实体，因此又被称为实体单元。在实体单 元中，还有其他单元，如三棱柱单元、金字塔单元等，但由于六面体单元形 状最为规则，在使用有限元软件建立模型时，容易划分网格，并且易于人工 控制网格的密度，这样对求解的速度和精度来说是很有帮助的，因而六面单 元最常用。 2 2 钢筋混凝土结构有限元模型 用有限元方法分析钢筋混凝土结构与一般固体力学中的有限元分析， 在基本原理与方法上是一样的。但具体分析过程中有两个突出的特点。第一 是材料关系的特殊性和复杂性，第二是有限元的离散化。因为钢筋混凝土结 构由钢筋和混凝土两种材料组成。如何将这类结构离散化，这一问题与一般 均匀连续的由一种或几种材料组成有类似之处，但也有不同点。由于钢筋混 凝土结构中的钢筋一般被包裹于混凝土之中，而且相对体积较小，因此，在 建立钢筋混凝土的有限元模型时，必须考虑到这一特点。通常构成钢筋混凝 土结构的有限元模型主要有三种方式：分离式、组合式和整体式。 2 2 1 分离式模型 分离式模型把混凝土和钢筋看作为不同的单元来处理。即混凝土单元和 钢筋单元各自被划分为足够小的单元。在平面问题中，混凝土可划分为三角 形或四边形单元，钢筋同样也可以划分为三角形或四边形单元。考虑到钢筋 是一种细长材料，通常可忽略其横向抗剪作用，这样，可以将钢筋作为线形 单元来处理。如此处理，可以大大减少单元数目，并且可以避免因钢筋单元 划分过细而在钢筋和混凝土的交界处用很多的过渡单元【1 。”】。 9 武汉理工大学硕士学位论文 在分离式模型中，钢筋和混凝土之间可以插入联结单元来模拟钢筋和混 凝土之间的粘结和滑移，见图2 2 。这一点是组合式或整体式无法实现的。 若钢筋和混凝土之间粘结很好，不会有相对滑移，则两者之间可视为刚性联 结，这时也可不用联结单元。 至于分离式单元的刚度矩阵，除了联结单元外，与一般的线形单元、平 面单元或立体单元并没有区别，这些单元刚度矩阵的推导可以方便地在一般 的线形的有限元资料中找到 2 0 _ 2 2 1 。 闽艘 ( - )( b ) 、 绥 鲥蟋 l 1， lii l 1 - 土，十丁联结簟元f ： llll lh l = kv 杉 lllliii l ，x 、 ( c ) 图2 2 分离式钢筋混凝土有限元模型 2 2 2 组合式模型 当钢筋和混凝土之间的粘结较好，可以认为两者之间无相对滑移，可采 用组合式或整体式模型。在组合模型中，最常用的有两种方式。第一种为分 层组合式【2 3 , 2 4 ，如图2 - 3 ，即在横截面上分成许多混凝土层和若干钢筋层， 并对截面的应变做出某些假定( 例如，应变沿截面高度为直线分布是最广泛 的一种假设) ，根据材料的实际应力应变关系和平衡条件可以导出单元的刚 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 度表达式( 包括轴向刚度和弯曲刚度) 。这种组合方式在杆件系统，尤其是在 钢筋混凝土板、壳结构中应用很广。 这一方法将混凝土分为许多条带。对于一般受弯构件来说，将混凝土分 垦寥， 武汉理工大学硕士学位论文 t 一 i s y 占： y 删 y 声 y 互 d 据 d x 拄驴 静 槲 o z a 酣a v d va x 却a w j _ 一 把 鲫 o wo u a z0 z 一陋瓿 戏中，泌】势凡 可矩阵，可表达为： 【b i 】； 豳；渡 oo 盟o d v o 业 d 嚣 盟0 噼 a n i8 n l a 三a y o 盟 娃 磊b ，壤l ( 2 ，4 ) ( 2 5 ) 囊誊耋料静应力壅交关系，交痤交麓臻褥旋力； d 一f d 】( 似一k ) ) + ( 2 - 6 ) 式中，【d 】是材料的本构关系矩阵，) 和p 。 是初应变和初应力列阵。 如无初应力和初应变，则式( 2 6 ) w 简化为： 盯) | p 水) ( 2 - 7 ) 鹕一毽o o吣一妙。 堕拓 藏汉理工大学硬学绽论文 运用虑功原理，可求得单元刚度矩阵如下： 【k 】一户r d i b i a v ( 2 8 ) 求得了尊元剐度矩阵之盾，整体刚度矩阵就可嬲单元剐度矩阵集仓蕊戏。 2 2 3 整体式模式 谯烂体式有限元模烈中，将钢筋弥散于熬个单元中，并把单元看作为 连续均匀材料，这样就可以用式( 2 - 8 ) 求单元蹦度矩阵。与分离式不阊，它求 出瓣综会滢凝蟊镶穰兔一个蕈元戆翼g 凄短簿，这一熹又与缓台式稳藤。它 与组合式的不同之点在于不怒先分别求出混凝土和钢筋对单元钢度的贡献， 然后组合，而是一次求综合的单元刚度的贡献，然后组合，而是一次求得综 合的单元刚度矩阵。因而它运用式( 2 8 ) ，不过威将其中的弹性矩障改为由两 部分缀会。其其蕊表达式为 2 5 翻： 【d 】一f 皿】+ f 破】 ( 2 9 ) 式中， d 。】为混凝土的应力应变矩阵，在混擞土开裂前可按一般均质材料 计算，舆体表达式为： 其中 【皿】| d l l 3 “ 对称 0oo ooo o0o d “0 0 d 5 5 0 d 6 d “= d ：= d ”一i i i e i i o 而- v ) r 2 - l o ) 武汉理工大举硕士学位论文 蠢n = d z ，；矗”一0 + v i x 兰l l - z v ) 小氏吨- 击 毒予混凝主懿应力纛炎关系是臻线往兹，e c 陡藏力凌态懿交佬。在混凝 土开裂后，还应考虑开裂的情况。 对于等效的分布钢筋，其应力关糸矩阵【d s 】可以按下式求得： 【皿卜墨 p x 00 0 0 0 p ，0 0 0 0 风0 00 对称000 0 o o f 2 l a ) 式中，e s 为钢筋豹弹性摸量；以，a 鄹成分别为沿x , y 和z 方向的配筋率a 若成，p ，p 。不隧，赠单元霹度将其裔番离异性程痰。 2 3 动匆学考限嚣方法麓基本格式 本节烹要是对弹性幼力学的问题的基本方程和动力学的有限元方法的 蒸搴禧式终些蘧要戆葶| 述葶瑟讨论。 三维弹性动力学的熬本方程是 平衡方程 + 正- p u i p + 球“( 在v 域内) ( 2 1 2 ) 几何方程 矗一言瓯，+ “) ( 在v 域肉) ( 2 1 3 ) 物理方程q ，一d 玎肼( 在v 域内) ( 2 一1 4 ) 逮赛条传 “；一瑗 o 的一段 梁来分析。先来推导梁的控制方程。如图3 3 在梁上取微段d 】【来分析，图 中m 、n 、o 分别表示弯矩、轴力、剪力；p f d x 表示惯性力，w 表示挠度。 卜l 水叫 图3 1 刚塑性简支梁 微段上的惯性力p 。d x 为 p ( t ) p p p 异如p 出警( 3 - 1 ) 如图2 2 ，由微段上y 方向的平衡条件有n 粤，一只一尸( f ) ( 3 - 2 ) 将( 3 一1 ) 式代入( 3 - 2 ) 式有 罢叫害_ p ( r ) ( 3 - 3 ) 微船r 的力矩平衡方程为 t t m a x tt 图3 - 2 任意冲击载荷 图3 - 3 微段上的受力图 武汉理工大学硕士学位论文 m + q 出一罢出一( 肘+ i o m 出) 一丢p ( f ) ( 出) z ( 3 - 4 3 d x魄z 由此式得到横向剪力为 q ：no w + - c ) m ( 3 - 5 ) d xd x 由式( 3 - 3 ) 可得 q = 0 p 争一y o p ( t ) d x + c 根据对称性可知，x = 0 时，q = 0 ，那么式( 2 - 5 ) 中的c = 0 ，则( 3 6 ) 可变为 q 一 p 争一y o 删出 由式( 3 5 ) 和式( 3 7 ) 有 ( 3 7 ) 警= p 害出一r 即肛詈 i5 _ j o p 可出一j 0 ，出一川i u 印 式( 3 - 8 ) 即为梁的动态塑性响应控制方程。将该方程中的各量无量纲化为 m 一帮出一f 地m o 一詈w ( 3 - 9 ) 式中m 一竺m o 为无量纲化的弯矩，其中m 。鱼 ，厅一旦n o 为无量纲轴力， 其中。a 吼h ，为材料的屈服应力，百a n w 为轴力的影响。 s 气22 初始錾件和 力界冬件 初始条件 边界条件 w l 。= 谛i 。= 0 w i 。- m l 。；0 ( 3 - 1 0 ) ( 3 - i i ) 武汉理工大学硕士学位论文 3 3 弯矩和轴力作用下的屈服条件 由于轴力和弯矩都是由法向应力分布组成，因而可以简单的拉伸理论为 基础来分析这种联合作用。考虑一承受拉伸和弯曲联合作用的矩形截面梁。 设截面为2 b 2 h 的矩形。现在按照加载过程来分析截面上的应力分布情况。 在弹性阶段，截面上的应力按线性分布，如图3 4 。按加载过程来分析截面 上的应力分布情况。在弹性阶段，截面上的应力按线性分部，如图3 - 4 ( a ) 所 示。随着载荷的增加，截面上开始出现塑性区，并逐渐扩展如图3 - 4 ( b ) 、( c ) 所示。最后截面上的应力全部到达盯。而形成塑性铰，如图3 4 ( d ) 。 由于弯矩m 和轴力n 的比值不同，中性层的位置可以变化，现在考虑 极限状态的应力分布情况。 根据图3 4 ( d ) 得 ( a ) ( b )( c )( d ) 图3 4 轴力和弯矩联合作用时的应力分布 = 2 6 q 2 亭 = 4 b h c r 亭一j 亭( 3 - 1 2 ) 其中n 。一4 b h o 。，为截面能承受的极限轴力。而 m = 2 h a ，( 一5 e h ) 1 2 h 一( 一宇 ) 】；2 b h 2 仃，( 1 一亭2 ) 一m o ( 1 一亭2 ) ( 3 1 3 ) 其中m 。一2 b h 2 盯，为截面承受的极限弯矩a 由式( 3 1 2 ) 、( 3 1 3 ) 有 2 1 武汉理工大学硕士学位论文 簧丰幽：；t0-14mn o ) 。 。7。 以上结果是按顶面发生压应力斡骰定磷褥出您。根据对称性，对予顶瑟是l 囊 成力的情况，可得 c 惫；2 一番- ， p 均 据式( 3 - 1 4 ) 、( 3 - 1 5 ) 有对于矩形截面粱，在弯矩和轴力作用下的屈服条件为 ( 簧灶瓦m _ 1 ( 3 - 1 6 ) 茂( 3 1 6 ) 表秘，嚣窝m 是二次擞羧焚蓉 ( 觅鍪3 5 ) 。菇了蕊讫瑾论分撰，壤溅麓 人的研究经验，可以嗣图3 5 中鹃邋戗矩 形屈服线来代替实际的抛物线。 l 1 王、， j j 图3 - 5 屈服条件 3 4 有限变彩时问题的解 缀照粱匏交形的不同除段，撼粱静变形分隰下西令输段：第一阶段为： 0 至t i 霹霾麦粢孛窝形或一个塑穗铰( 鲡鍪3 - 6 ) ，一壹至l 载蓊大子菜一缓： t l 至t 。对阕内在粱串部影成一个黧後嚣，塑缝嚣两端匏塑经移簿铰向支纛 方向移动( 如图3 - 7 ) ，直到载萄达到簸大傻：t 。至t 2 时闯内粱中部形成一个 骥性区，塑性区两端的塑性移行铰向粱中部移动( 如图3 8 ) ，直到移行锭黧 台在中部重新形成一个塑性铰；t 2 黧t p 时间内，绕中部塑性铰变形，赢到粱 停止运动。 武汉理工大学硕士学位论文 图3 - 6 第一阶段和第四阶段单铰模型 图3 7 第二阶段双铰运动模型 p o ) 图3 - 8 第三阶段双铰运动 3 4 1 第一阶段( o s ts t l 最s p p ) s 只) 在这一阶段，梁的速度分部表达式、加速度表达式、转角分别为 速度表达式 加速度表达式 转角 w ( x ，f ) 一吮( f ) ( 1 一季) l 带( z ，f ) ；讳j o ) ( 1 一季) l 。，。监 l ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 式中：w o p ) 为梁中部塑性铰的速度，对应的屈服条件为：0 5 m s 1 ，n = 1 ； 吣) ；- 盖彤2 一盏啪中一争百4 1 矿o ( t ) ( 3 - 2 0 ) 武汉理工大学硕士学位论文 另外由于对杯性，中心位置x = 0 处明屈服条件为：m ；1 ，n = 1 o 将( 3 1 8 ) 、( 3 - 1 9 ) 式代入( 3 - 9 ) 式有 由屈服条件可知：当x = 0 时，m = l 代入( 3 2 0 ) 式可得c = l ，则上式可变为 吣) - 1 一盖一老啪申一毒一百4 。d 2 0 ( t ) z ( 3 - 2 1 ) 根据边界条件式( 3 1 1 ) ，将x = l ，m = 0 代入上式可得 w o + o ；- 一掣 ( 3 2 2 ) 其中m 一撕瓦7 面万，根据式( 3 2 2 ) 与式( 3 1 0 ) 初始条件采用常数变易 法可得 = 亳 c o s 珂s 幻妒一p o ) d t - s i n w t f o c o s 州尸一p o ) d t 】( 3 _ 2 3 ) 将式( 3 - 1 8 ) 与式( 3 2 3 ) 可得 谛( 州) a 三! 宁【c o s 玎噍( 昂一p ) c 。s 可础+ s i n w t f o ( p o p ) s i n 毋胁】( 3 - 2 4 ) 咄扣罨等【c 。s z “( p e o ) s i n 仃耐i n 吨( p c o ) c 。s 础】( 3 - 2 5 ) 3 4 2 第二阶段( f 。墨ts t m a x ，置sp o ) s ) 在第一阶段中，随着p ( t ) 的继续增加，当达到某一量值p l ，梁中达到 塑性状态的区域不再只有一点，而在中部形成一个区域，也就是说，塑性铰 开始从中部向两边移动形成两个移行铰，x 0 ( f ) 为移行铰的位置，梁形成两 个区域，第一个区域为o s 上o ) ，m ：1 ，n ：1 ，旦兰。1 。 p * 0 ，t ) = p ( f ) ( 3 - 2 6 ) 2 4 武汉理工大学颞士学霞论文 p 谤冬， ) 。工p 囊弦管十，) ，) 一肪，f ) 一j ：p ) 如 第二个区域为! x i 急x o ，此对梁移，然是判。糕黝，总n = l ，o m 1 啉扣蛹南 式中，巩a 谛b 。 ) ，t 】即为移行铰的速度设 啪抑丢l 去l 掰- 主雌一罗一吾岛8 ) 【( 一而) 2 x + j 圆一x ) ，卜! 学w 盘+ e 当x = x o 时，m ( x ) = m o 时，可得 c ；i 1g ，p ) 【( 五一) 2 x o + 丢( 工一x o ) 3 】+ m 。 掰x ) ，一丢p 菇一确2 一三g t 擘) 一2 x + 亏1 五一善) 3 】 一靴w 魄+ _ 9 1 叫( 知+ 亏1 ( 卜订 埘。 再把边界条件当x = l 时，m = o 代入上式，研得 础，生学 落为t = t 。鼹，黧髓铰在x = o 娃，鼯氍疵p ，) 一残瓴) 壤据式( 孓2 3 ) 1 x t 时，有 ( 3 。2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 。2 9 ) ( 3 - 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 。3 2 ) ( 3 。3 3 ) ( 3 3 4 ) 露褥，兰 武汉理工大学硕士学位论文 谛。，f ) zt 。- x 。占。p ) d f + 瓤1 9 z 。) d r ( 3 - 3 5 ) w 。，f ) = 生 o r ) g 。) d f + 云上1 ( f r ) 占z ( m f ( 3 - 3 6 ) 其中9 2 p ) = ( 晶一p ) c o s ( t f 1 ) 下面来求当0s 石sx 。时梁的变形情况。取t = 烈x o ) 时( 不同移行铰所对应的时 间不同) 由式( 3 - 3 5 ) n 知 t = g ( x 0 ) 时，讹沪等昕聃) m 瓤1 咖渺 ( 3 3 7 ) 又由( 3 2 8 ) 有 谛。，r ) 一丢嵋p o ) d r + ，。) ( 3 - 3 8 ) 由式( 3 3 7 ) 和式( 3 3 8 ) 可得 删郴叫昕时m 知咖) 训一荆d r ( 3 3 9 ) 将式( 3 3 5 ) 代入式( 3 2 3 ) ，当0 s x e 时有 讹r ) - 瓤。，p 啪+ 等聃r + 丢如州r ( 3 - 4 。) 咄归缸( m + 等卜幅知k m 】 4 d 3 4 3 第三阶段( 足s p ( f ) s p m “，r s ts t 2 ) 随着p ( t ) 的减小，移行铰将向中部移动，直到某时刻t 2 又回到梁中部成 为一个塑性铰。本阶段仍将梁分成两部分来讨论。因而本阶段的分析过程和 第二阶段类似。当s xs l 时有 谛。，r ) = l 口- x 。r g - p ) + 云上。占：p ) d r 】( 3 - 4 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 毗归等l ( ( ) 啦) 虮云j ：1 ( f 叫咖m ( 3 - 4 3 ) 当05 z 5 x o 时有 吣力。如即m + 等昕删m 丢如r 】 ( 3 圳 毗f ) = 如( r _ f ) 荆机等旷) 啦m + 瓠) 咖川( 3 - 4 5 ) 3 4 4 第四阶段( p ( f ) c 最，t 2 fs f 。) 第三阶段中，随着p ( t ) 减小，移仃铰将不断的中部移动力，苴剑t 2 时刻 到达x o = o 处形成一个塑性铰。此时，开始进入第四个阶段。取x o = o ，t = t 2 ，由 式( 3