（固体力学专业论文）三峡升船机的浅水波位移法与保辛时程积分.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文以三峡升船机的浅水波为工程背景，提出了浅水波的位移法理论，研究了保守 体系的时程积分和非线性保辛算法，并将保辛算法应用于浅水波位移法理论问题的数值 求解中。 首先本文探讨了保守体系的时程积分，对区段内的h a m i l t o n 矩阵进行二次插值， 基于混合能的变分原理，采用时闯有限元应用辛矩阵正则变换的乘法摄动。针对非线性 微分方程，运用坐标变换，提出了求解非线性微分方程的保辛积分算法。这为浅水波位 移法理论的数值计算提供了强有力的工具。 其次系统地提出了浅水波的位移法理论。浅水波的速度分布与水深无关，位移也与 水深无关，相当于杆件的刚性横截面假定。本文采用物质坐标，用水平位移作为基本未 知量，将浅水波分析按固体力学中秆件非线性大位移问题处理。于是，分析力学的变分 原理都可运用了，这样可采用保守体系的时程积分和非线性保辛算法等有效手段进行数 值求解。 对于实际工程课题，当升船机船厢箱体晃动较大时，导致波幅较高，本文进一步考 虑垂直方向速度对动能的贡献。当箱底泥沙沉积时，本文提出了缓变水域，水底凸起或 者是凹陷的情况下的浅水波位移法理论模型。 以上的浅水波位移法理论中的有限元离散是将时间和空间分别离散。本文迸一步将 有限元分析方面，不用对时间、空间分别离散而是组成混和的时空混和有限元网格应用 于浅水波位移法理论。 上述的理论是最基本的一维模型理论。本文进一步考虑平面二维浅水波问题，二维 问题需要考虑速度势函数与雅可比行列式，势能部分的处理是关键，我们对势能部分进 行泰勒展开，有限元离散，从而得到平面问题的刚度阵，同样应用保辛算法进行数值求 解。 数值结果说明了本文模型与傈辛算法的正确位。 本文的研究工作受到国家自然科学基金( # 1 0 4 2 1 0 0 2 ，# 1 0 3 7 2 0 1 9 ，# 1 0 2 7 2 0 2 6 ， # 1 0 6 3 2 0 3 0 ) 支持和国家重点基础研究专项经费资助项目2 0 0 5 c b 3 2 1 7 0 4 的支持。 关键词：保辛；坐标正则变换；摄动；非线性方程；浅水波；位移法；混合能密度 三峡升船机的浅水波位移法与保辛时程积分 s o l v i n gs h a l l o ww a t e rw a v e sw i t ht h ed i s p l a c e m e n tm e t h o d a n dt i m ed o m a i nf e m i n t e g r a t i o ni nc o n s e r v a t i v es y s t e m s a b s t r a c t w es o l v es h a l l o ww a t e rw a v e sw i t ht h ed i s p l a c e m e n tm e t h o da n dt i m ed o m a i nf e m i n t e g r a t i o ni nc o n s e r v a t i v es y s t e m sb a s e do nt h em o d e lo ft h r e eg o r g es h i p - l mi nt h i s d i s s e r t a t i o n f i r s t , w ed os o m er e s e a r c ho nt i m ei n t e g r a t i o ni nc o n s e r v a t i v es y s t e m s t i m ei n t e g r a t i o n o fa ni n i t i a lv a l u ep r o b l e mu s e st h ef i n i t ed i f f e r e n c es e h e n l eq u i t eo f i f e l l1 1 1 ec h a r a c t e r i s t i c o fc o n s e r v a t i v es y s t e mi ss y m p l e e d cc o l 塔c r v a ：t i o n h o w e v e r , t h eu s u a lf d ms c h e m e s d i s r e g a r dt h es y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o nf o rc o n s e r v a t i v es y s t e m s 1 1 把f e mm e t h o di sn a t u r a l l y s y m p l e c t i ec o n s e r v a t i v e ，e v c nf o rp e r t u r b a t i o nm e t h o d f i r s tt h em e t h o do fc o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o na n dt h ep o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o no f m i x e d e n e r g yd e n s i t ya 心a p p l i e di nt h i s p a p e r ，w h i c hn e e do n l yf e w e rs t e p so f i n t e g r a t i o n n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e o f p r e s e n tm e t h o d s e c o n d , w ep r o v i d et h et h e o r yo fd i s p l a c em e t h o d t h eh o r i z o n t a lv e l o c i t yd i s t r i b u t i o n o fs h a l l o ww a t e rw a v et h e o r yi si n 矗= p e n 把mo nt h ev e r t i c a lc o o r d i n a t ez ，i ti m p l i e st h a tt h e h o r i z o n t a ld i s p l a c e m e n ti si n d e p e n d e n to nz t o o ，w h i c hc o r r e s p o n d st ot h er i g i dt r a n s v e r s e c r o s ss e c t i o na s s u m p t i o no ft h er o dt h e o r yi ns t r u c t u r a lm e c h a n i c s u s i n gt h em a t e r i a l c o o r d i n a t ea si na n a l y t i c a lm e c h a n i c s t h eh o r i z o n t a ld i s p l a c e m e n ti ss e l e c t e da 8t h e f u n d a m e n t a lf u n c t i o nt os o l v e , t h e r e f o r et h es h a l l o ww a t e rw a v ea n a l y s i sb e c o m e st h el a r g r e d i s p l a c e m e n tn o n - l i n e a rp r o b l e mi ns m a c t u r a lm e c h a n i c s a n a l y t i c a lm e c h a n i c sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sc a nb ea p p l i e dn o w 硼l ep o w e r f u lm e t h o d o l o g y s u c h 鸽c a n o n i c a lt r a n s f o r m a t i o na n ds y m p l e c t i ec o n s e r v a t i v ea p p r o x i m a t ef e md i s e r e t i z a t i o na n d s oo n , i sq u i t eb e n e f i c i a lt on u m e r i c a ls o l u t i o m1 1 w a t e rw a v e si nt h ep o o lo ft h r e e g o r g e s h i p l i f ta r eu s e da sn u m e r i c a le x a m p l e s ，a n dt h es y m p l e e t i cc o u s e r v a t i v et i m ei n t e g r a t i o n g i v e ss a t i s f a c t o r yr e s u l t w es h o u l dc o n s i d e rt h ec o n t r i b u t i o no fv e r t i c a lv e l o c i t yt ot h ek i n 商ce n e r g yi nt h e c o n d i t i o nt h a tt h ep o o lo ft h r e eg o r g es h i pl i f ts h a k e st o om u c h w es h o u l da l s oc o n s i d e rt h e m o d e lw h i c hh a sas l o wc h a n g eb a s ew h e ns o m es a n da n ds o i ld e p o s i t e do nt h eb a s eo f t h e p 0 0 1 f u r t h e r m o r e ，t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yi st h es a m ef o ra n a l y t i c a ld y n a m i cm e c h a n i c sa n d a n a l y t i c a ls t r u c t u r a lm e c h a n i c s 弛p a p e rp r e s e n t st h a ti ti sn o tn e c e s s a r yt od i s c r e t et i m e a n ds p a c ed o m a i ns e p a r a t e l yf o rt h ef m i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n dt h a tt h et i m ea n ds p a c e i i 大连理工大学硕士学位论文 d o m a i nc a nb ed i s c r e t em i x e dt of o r mh a r m o n yf i n i t ed e m e n tm e s h 佬a l s ol l s et i m e - s p a c e d o m a i ni ns h a l l o ww a t e rw a v e s i na d d i t i o n , w ea l s oc o n s i d e rt w od i m e n s i o ns h a l l o ww a t e l w a v c sw i t hd i s p l a c e m e n t n k h o d 田艟n u m e r i c a lr e s u l t sp r o v i d es t r o n gs u p p o r tt ot h et h e o r yi nt h i sd i s s e r t a t i o n a c k n o w l e d g e m e n t s ：1 1 f i n a n c i a ls u p p o r t sb yn a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o n ( c 舭i 们d 1 0 4 2 1 0 0 2 1 0 3 7 2 0 1 9 1 0 2 7 2 0 2 6 ) a n dc h i n e s en a t i o n a lr e s e a r c hf u n d ( c o n t r a c t1 0 6 3 2 0 3 0 ， 2 0 0 5 c b 3 2 1 7 0 4 1a r cg r a t e f u l l ya c k n o w l e d g e d k e yw o r d s ：s y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o n ；c o o r d i n a t ec a n o n i c a lt r a n s f o r m a t i o n ；p e r t u r b a t i o n ； n o n l i n e a rd i f f e r e n te q u a f i o n ；s h a l l o ww a t e rw a v e s ；d i s p l a c e m e n tm e t h o d ；m i x e de n e r g y d e n s i t y i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： p 7 、；? 0 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名 导师签名： 陆魄m 乏到 堕年月卫日 大连理工大学硕士学位论文 1 前言 1 1 选题背景与依据 在河道上建设水坝或水力发电设施后，为保证船舶通航，可采用船闸或升船机“1 。 升船机是用于船舶快速过坝的通航建筑物。目前世界上已经建成或在建的升船机提升高 度都在1 0 0 米以内，承船厢带水重量也在9 0 0 0 吨以下。 三峡升船机扭”为单线一级垂直升船机，它由上下游引航道、上下闸首和升船机船厢 室段等建筑物组成，全线总长6 0 0 0 米。升船机最大过船吨位为3 0 0 0 吨级，承船厢外型 尺寸为长1 3 2 米、宽2 3 4 米、高1 0 米，承船厢内有效水域为长1 2 0 米、宽1 8 米、3 5 米水深。升船机最大提升高度为11 3 米，提升总量约1 2 8 0 0 吨。三峡升船机的主要技术 参数目前居世界第一。 三峡升船机水箱域长1 2 0 米，宽1 8 米，静水深为3 5 米。假定水深为h 水面波的 波长为x 当h 8 称为浅水波所谓浅水槽，即相对于水波波长而言，水槽内的水 深很浅，此时，激起的水波称为浅水波。三峡升船机水深比水平尺度小得多，是一个矩形 的浅水槽。我们需要对其浅水波进行研究。 该问题没有阻尼，是一个保守系统的动力学问题。将问题转化到h a m i l t o n 体系是 我们必然要考虑的问题。于是，分析力学的变分原理都可运用了。可采用正则变换，近 似解的保辛积分等有效手段进行数值求解。 1 2 国内外研究进展 水波理论发展至今至少已有1 6 0 年的历史，早已成熟的线性水波理论对于近岸非线 性波浪场的刻画已难胜任。自从s t o k e s ( 1 8 4 7 ) 开创非线性表面重力水波动力学以来，这 种究其实质为弱非线性的水波理论在目前仍然处于现代水波理论发展的“主流阵地和 前沿地带”。 到了1 8 9 5 年，荷兰著名数学家柯特维格( d k o r t e w e g ) 和他的学生德弗累斯( g d e y r i e s ) 根据流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定下，求得了单向 运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程。 1 9 6 5 年美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的两位应用数学家克鲁斯卡尔( m d k r u s k a l ) 和萨布斯基( n z a b u s k y ) 通过数学模拟方法深入地研究了等离子体中孤立波碰 撞的非线性相互作用过程，意外地发现了两个孤立波在碰撞后居然都能保持各自的波形 与行进速度不变，这一性质使人们联想起质点粒子和波粒二象性等熟悉的现象，只有粒 三峡升船机的浅水波位移法与保辛时程积分 子的碰撞才会有类似的情形出现。因此遂将这种波定名为孤立( s o l i t o n ) ，以反映非线 性波的粒子属性。他们的这一研究工作为推动孤立子理论的发展，树立了一个重要的里 程碑。 通常有三类浅水波方程，一是变形b o u s s i n e s q 方程，二是w h i t h a m - b r o e r - k a u p 方 程，三是变形色散水波方程。这三种数学物理方程都有一定的物理意义，而b a c k l u n d 变 换是构造偏微分方程精确解的有效方法，在孤立予理论中占有重要的地位。 2 0 0 6 年，钟万勰教授提出了浅水位移法孤立波，这是一套全新的理论，有相当广 阔的前景，是浅水波理论的重要进展。 数值计算方法的发展【习主要是从上个世纪五十年代计算机问世开始的，而之后计算 机的快速发展和普及为直接数值积分提供了条件，同时出现了大量的直接数值积分方法 ，其中比较成熟并被人们普遍使用的数值积分方法有：e u l e r 法，r u n g e - k u t t a 法及 其各种扩展方法，a d a m s 线性多步法等等。它们同计算机相结合，开辟了现代数值计算 技术的新天地，解决了大量生产和科学技术中的常微分方程初值问题。 对于动力学问题的求解，一般可归结为二阶常微分方程组的求解，它通常有两条途 径：直接数值积分法和降为一阶微分方程组后再作数值解法。二阶常微分方程初值问题 的直接积分法有中心差分法，h o u b o l t 法，威尔逊法和纽马克法等。一阶微分方程的初 值问题数值积分法有泰勒展开法，r u n g e - k u t t a 法和亚当斯多步法等，求解边值闯题可 用打靶法。 1 9 8 4 年冯康首次提出了哈密顿系统辛几何算法，开创了一个有广阔应用前景的全新 的研究领域【l 2 1 。他和他的课题组成员经过十多年的努力，提出了哈密顿系统的辛几何 算法的完整的框架理论，并取得了许多重要成果。在已有的数值计算方面，他提出了保 辛的差分格式( 如保辛的r u n g e - k u t t a 法) ，保持了保守体系结构的特性，在空间结构 对称性和守恒性方面优于传统的算法，更好地逼近真实情况。特别在稳定性和长期跟踪 能力上具有独特的优越性。 自五十年代空间有限元法发展以来，时间域的有限元法也紧随产生了。时间有限元 方法是指在时间域内用有限单元离散的方法。这种方法的根本思想就是将时间区域离散 化，在各个子域内进行插值，然后再通过哈密顿原理，加权残值近似或直接对运动方程 导出逐步的递归方案1 1 3 , 1 4 1 。z i e n k i e w i c z 在文献 1 5 中证明了许多广泛适用的有限差分 表达式，都不过是时间有限元的特殊情况，而时间有限元可以导出更多的形式。另外以 啥密顿原理为基础的时间有限元法也同样得n t 发展 1 6 , 1 ”。 大连理工大学硕士学位论文 虽然z i e n k i e w i c z 提出的时间有限元法应用已经很广泛，但它并未要求保辛。正如 前面文献【妊1 2 】介绍的，保辛算法有其独特的优越性，所以时间有限元方法也应该保辛。 钟万勰在文献 1 8 中证明了有限元法是自动保辛的。在此背景下，钟万勰根据结构力学 与最优控制的模拟理论，基于动力学作用量的变分原理，提出了保辛的时间有限元方法 【嘲。可以证得导出的时间有限元单元矩阵具有对称性，从而达到了保辛。 另外，钟万勰在近年来提出了一种求解线性常微分方程的精细积分方法 2 0 , 2 1 1 ，这种 方法可用于特别密的积分步长面不致发生数值病态。如果在积分步长之内载荷是严格线 性变化的，或按简谐规律或多种其它规律变化刚，该积分格式总是能算出与计算机精度 相当的数值解。这种方法已经日益引起多个领域学者的重视，并得到了多方面的应用和 发展1 2 3 - 2 6 。 1 3 本文工作简介 全文共分为六章。 第一章简要介绍了工程背景，浅水波理论，h a m i l t o n 体系以及数值方法的发展，并描 述了全文的结构，列举文中的主要工作。 第二章介绍了保守体系的时程积分方面的工作，采用保辛的数值方法，对区段内的 h a m i l t o n 矩阵二次插值，基于混合能的变分原理，采用时间有限元应用辛矩阵正则变换 的乘法摄动。 第三章介绍了非线性保辛算法方面的工作，为求解三峡升船机的浅水波问题提供了很 好的工具。 第四章提出了浅水波的位移法理论，以三峡升船机浅水波为基本模型，在l a g , r a n g e 坐 标下求解浅水波问题。 第五章进一步考虑了垂直方向的速度，缓坡浅水波，水底不平浅水波的模型，并给出 了数值结果。第五章最后还讨论了时空混和元浅水波。 第六章建立了二维的浅水波理论并给出了线性的浅水波数值算例。 三峡升船机的浅水波位移法与保辛时程积分 2 保守体系的时程积分 初值问题的时间积分经常采用差分近似。保守体系的特点是保辛。但通常的差分格 式并不考虑保辛的性质，即使对保守体系。本文对保守体系的积分采用保辛的数值方法， 对区段内的h a m i l t o n 矩阵二次插值，基于混合能的变分原理，采用时间有限元应用辛矩 阵正则变换的乘法摄动。算例分别对时变与非线性例题数值积分，得到满意的数值结果。 2 1 时程积分 动力学方程的时程积分是经常面对的课题，差分法数值积分是最常采用的方法【2 7 】。 在物理与力学中有大量保守体系的分析。保守体系可用h a m i l t o n 体系来描述。冯康指 出，保守体系的差分格式应当保辛网，随后国外也有所推进圈。保辛就保持了保守体系 结构的特性。但常用的差分格式并未考虑保辛；应当指出，通常五花八门的差分格式未 能保辛并非错误，而是逼近真实解不够好。保辛的优点是更好的逼近。 因有限元是基于变分原理的，故有限元是自动保辛的【1 刖。根据结构力学与最优控制 的模拟理论f 3 0 】，空间坐标有限元的方法也可用于时间坐标。事实上，z i e n k i e w i c z 已经 提出对时间坐标的有限元【3 ”，但并未考虑保辛。动力学有作用量的变分原理，故其有限 元分析可基于此变分原理。从变分原理导出的时间有限元矩阵也有对称性，从而可自然 达到保辛。 2 2 保守体系的保辛积分 熟知的振动方程是 m i + c q + l ( q = f ( 0 ( 2 1 ) 其中一一的对称m ，k 分别为质量与刚度阵，g 为反对称陀螺阵，f 0 ) 是外力，这是保守 系统的方程。常系数方程可用精细积分法计算，可用于检验时间有限元的精度。而变系 数方程或非线性方程的时程积分则还要用各种近似方法。按 3 2 所述，除有限元离散应 考虑保辛外，各种近似方法皆应保辛。有限元位移法是保辛的，混合能方法也是保辛的。 如果用辛矩阵方法，则辛矩阵的乘法是保辛的，故辛矩阵的乘法摄动是保辛的。 动力方程的h a m i l t o n 变分原理为 u ( q ) = f l ( q ，日) d f ，l ( q ，4 ) = ； 日m 4 一q 7 k q + 日7 g q 】， 6 u = 0 ( 2 2 ) 初始条件q ( o ) = q 。，日( o ) = 毗，已知。有些非线性问题的l a g r a n g e 函数仍为( 2 2 ) 之型。变 分函数的选择只要求位移q 在节点连续，4 的连续性可由变分自动完成。动力学问题的 作用量仍可运用有限元分析【3 3 1 。有限元分析需要建立每个单元的刚度阵，其区段( f i ，f b ) 的作用量函数( 单元变形能) 为两端位移的函数f l 羽。将区段作用量( 2 2 ) 积分后表达为 - 4 一 大连理工大学硕士学位论文 u k ( q ，q - ；r ，气，t ；q ：k ：鼍q ：+ k q i b ，k 。! “自b 7 2 ，k 。= 暖妻薹蚤 ， c z s ， 方括号内是线性时变系统。离散后的变分原理与动力平衡方程为 m j n ：。以) ， k ”q 。+ 【k p + k ：k + k 竺 q 。= o ( 2 4 ) 引入动量( 对偶) 向量 p ，= o u , o q 。 ；k 管q + k 省q 。，p 盘= - o v # o q h = ( k 竺q + k ：q ) ( 2 5 a ，b ) 则节点动力平衡方程成为醋，= p “。引入各站的状态向量 v 。= q ：p 玎 ( 2 6 ) 按分析结构力学的推导，其传递矩阵是辛的 v 。= s k v 。- l ，s ：j s t = j ， 。：座! ：篓：1 ，8 t ( k 一) 一- - - - ( k 竺) 一k ! ：8 嚣= 一( k 竺) 一 ( 2 7 ) p 一陋s 譬j s 牡k 仕) 一k 。( k j ( 。( k ，) 一k 蜘尝：掌( k 盯 u “7 从而状态向量由v 。到v 。是正则交换。有限元保证其作用量矩阵对称，就是保辛。线性 系统有限元刚度阵的对称性是最基本的规则，故有限元是自动保辛的。结构力学有限元 法解的稳定性、有效性实奠基于此基本性质。将有限元法运用于动力学体系的积分，其 要点是也是将作用量积分表达为两端位移的函数。对动力学的初值问题，通过数值例题 已做出了验证。 以往一大批微分方程的差分格式是脱离了变分原理而根据微分算子凭经验凑合的， 五花八门而缺乏一般规则，故不能保辛。时间有限元法【1 9 1 则在变分原理的导引下生成单 元，保证了作用量矩阵的对称性，从而保持了保守体系的基本规则，故自动保辛。 讨论时变线性动力学初值问题，引入状态向量，将常系数方程化为对偶方程 p = j i 为= m c i + i g q 2 ( 2 8 ) 自= 0 h a p = a q + d p + g 。( 0 ，o = 一a 吲a q = 一b q a 7 p + g ， ( 2 9 a , b ) h a m i l t o n 函数为 h 竺嚣亍，兰。鹭岬! a ( t ：) q + + q 0 1 2 ，(z10)da - mg 2bkmt c 4= m 一。 = 一 。= + g 1 一 引入状态向量v = 1 r ，p 7 r ，对偶方程合并为 “h v + g ( f ) ，h = l 盒“di = h 。+ h i ( f ) ， 仙j a h 0 v ( 2 1 1 ) 三峡升船机的浅水波位移法与i g e - 时程积分 其中h 。是时不变h a m i l t o n 矩阵。h 。( v ，f ) 也可为位移的函数。向量g ( 0 是已知外力。初值 条件是 v 。= v ( 0 ) = 已知 ( 2 1 2 ) 初值问题通常可采用精细积分计算。但时变体系或非线性体系的数值积分则还需要 进一步探讨。按一般理论，如果是保守体系，则积分时应注意保辛。以往建议了v o l t e r r a 积分方程方法【3 ”，适用于一般非保守体系，但却未能保辛。故保守体系的数值积分还应 从时间有限元法探讨。 既然精细积分法对常系数线性方程组可达到计算机精度，应充分加以运用。线性时 不变系统积分方程的核函数 ( f ，t o ) = c x p i t o ( r 一气) 1 ，0 7 j m = j ( 2 1 3 ) 就是传递辛矩阵，可用精细积分进行计算。注意到保辛的要点是辛矩阵的乘法，而积分 则是加法。辛矩阵的加法是不能保辛的，故可断定v o l t e r r a 积分方程的方法未能保辛。 可用于非保守体系的积分，但用于保守体系的积分就不很妥当了。 2 3 保辛摄动 文 1 8 提出了分析结构力学，其中给出了离散链式结构的辛传递求解，进一步文献 3 2 。1 9 给出了保辛摄动积分方法，其要点是运用辛矩阵的乘法。故保辛应将积分方程 改为乘法。取 v ( 0 = o ( t ，t o ) v i ( f ) ，奴 t o ) = h o 唧，t o ) ( 2 1 4 ) ( r ，) 已算得，而用v 。( f ) 代替v 为未知函数。代入方程( z 1 1 ) ，有 z ( f ) = h j v l ， h ：三一j 中7 j h l o ( 2 1 5 ) 因( 砸，) 7 = 砸，故( 腰j ) 7 = 皿。，彤仍是h a m i l t o n 矩阵，从而达到了保辛a 因此数值积分成为对方程( 2 1 5 ) 的积分。文献 1 9 3 对d u f f i n g 方程的积分取得了满 意结果，它就是上述的保辛摄动积分。但对方程( 2 1 5 ) 仍需进行数值时程积分，对此可 运用时间有限元法。首先从j h 阵的分块，写出h a m i l t o n 函数 i - r = 一。1 ) v 2 ，$ 1 1 i = i _ a - b 。- - d a ：i ( 2 1 6 ) 区段作用量 q = f 【p 。一i - r 。( q 。，p ，f ) 弦 ( 2 1 7 ) 结构力学有限元方法采用势能原理，作用量就是区段势能，是两端位移的函数。采用区 段混合能变分原理数值效果更好，选择qh ，p 。作为自变量，区段混合能为 一6 大连理工大学硕士学位论文 k ( q p m ) = p ：q i h f 【pr q 一i - i ( q p ，f ) 啦 ( 2 1 8 ) 这是两类变量q 。，p 的变分原理。考虑( 2 1 5 ) 式中的h 阵从而e 阵也是v 或v i 的函数，h ， 对比h 。是小量，并且可时变或为状态向量的函数。此即非线性的因素，要在变分原理 ( 2 1 8 ) 下求解。精确求解不可能，近似数值积分是必要的。 非线性问题的数值积分应注意保辛。在f i = 屯处，初始条件给出的本来是全量q 。，p 。 因零次近似的积分为 v = t v 0 , i ，t = o 瓴。，) ，其中v = q ：p r ) 1 ( 2 1 9 ) 故h 矩阵在处是h 。( ，t d ，继而h ：( ，t d 也可直接计算而得。运用零次近似的 v o , t + l = t v n - ( 2 2 0 ) 可近似计算t k + ，处的h 。( v 。，“) ，继而计算h ，( v o 。，“) 。最简单，对区段内h i 可采用 线性插值。在f i = f i 处，因初始条件给定而似，气) = i ，故q = q 。，p 。= “已知。积分要求 解全量q 。，p 。，即v 。但正则变换( 2 1 5 ) 取v k 。= t v 。，而以 v + = q ：以y ( 2 2 1 ) 为未知数。采用近似的两端h a m i l t o n 矩阵m ( v ，气) 、h j ( v m m ，“) 进行积分a 积分区段为( t 。t ) 。将整个区段( t ，t 。) 划分为一系列长为町的小区段，在每个区段对 函数a ( t ) ，b ( t x d ( t ) 采用二次插值 ( f ) a o + a l f + a 2 f 2 ，b ( f ) 髯b o + b t f + b 2 f 2 ，d ( 日) 甜d o + d i z + d 2 f 2 ，o i f 1 ( 2 2 2 ) 小区段q 的区段矩阵f 铆) ，q ( 叩x g ( 町) 满足微分方程 亩( f ) = ( a g b ) f ，q p ) = f 7 b f ，g ( f ) = d + a g + g a 7 一g b g ( 2 2 3 a - c ) 电( f ) = d q ( f ) d f ，【o f 0 ( 3 5 ) 取 p ( f ) = 【c o ( z ) d z ，d o = ( f ) d t ( 3 6 ) ( 3 3 ) 的近似解为 目o ) 【，( f ) 】- 1 “( a c o s o + b s i n o ) = 【( f ) 】- 1 仃( a c o s o + b s i n 0 )( 3 7 ) 现写出( 3 i ) 的变分原理 u = f l ( q , o ，f ) d f ， 上( m 或f ) 气章2 2 一妒( ，9 ( = 矿1 2 + 8 q 4 4 ( 3 8 ) 运用近似方程( 3 4 ) ，对偶变量与方程 4 = a多= ( o + o 5 9 + o 5 8 c o s 2 0 + s ( q 2 一s 2 f ) 】g( 3 9 ) h a m i l t o n 函数 日( 靠p ) = p 2 2 + 妒( ( 3 1 0 ) 分析力学的变换应区别点变换与正则变换。点变换只是原变量稚) 的变换，而正则变 换则将两类对偶变量g ( f ) ，( ) 一起变换。坐标交换( 3 6 ) 是时间坐标的变换。从( 3 6 ) 的t 到0 的变换为 o ( t ) e u = d g = g d o ，0 ( f ) = g d ，d = d o a t = ( f ) 三”( 口) ( 3 1 1 ) 其中q 。= d q d o 。在新坐标0 下，变分原理成为 【，= e 厶( g ，g ：p ) d 口，岛( g ，孽，口) = 0 4 百2 2 - c p ( q ) ( g y 纠) 卢，占u f f i o 大连理工大学硕士学位论文 而d 也应转换为0 的函数，写为d ) ，且，o ) = d 2 。不过该写法容易引起混淆，百徊) 不过 是某个0 的函数而已，其地位犹如质量，故将d 徊) 写成r e ( o ) = o o ( t ) 较好。变分原理成为 【，= t l o ( q , q , o ) d o ，厶( 叮 g ：口) = ( m 徊) g ”2 一“驴m 徊) ) ，r e ( e ) = 烈，) ( 3 1 2 ) ( 3 6 ) 可看成特殊的点变换。 根据变分原理( 3 1 2 ) ，其动力方程可表示为 【m ( 8 ) g 妒) 】+ ( 却d 呱口) = 0 ，以力= 研2 徊) ( 3 1 3 ) 仍为一类变量的非线性方程。引入h a m i l t o n 对偶变量 ，徊) ；m ) g 妒) ，令v 徊) = 口徊) p 徊) ) r ( 3 1 4 ) h a m i l t o n 对偶方程成为 v 即) = h v ( p ) ， h ( 吼8 ) = l 却( ，y d ：n 一h 】“：9 1 ( 3 1 5 ) 是变系数非线性方程。为了化简，将( 3 1 3 ) 写成 g 即) + 伽t 8 ) ，m ) 】g 佃) + ( d 9 m 2 徊) d 叮) ；0 ( 3 1 6 ) 再做变换g = f 妒) m 。”妒) ( 3 1 7 ) 得方程( 一g y 2 一9 2 ，4 ) = o ，h = ( d q ，d q ) ( q 2 ) ， g ( 8 ) 二”x 口) 顽p ) ( 3 1 8 ) 其中h 是q , o ，从而也是f ，0 的函数，方程的非线性就体现于此函数。 将( 3 8 ) 的妒代入，有 h = ( 1 + e q 2 ) m 2 = 1 + f l m 2 ( 日) 】2 ( 口) + 2 m 3 ( 口) ，取h - g 2 一9 2 4 = 1 + k ( f ，日) ( 3 1 9 ) 应当看到，k ( f ，日) 是6 的函数，是可计算的。 k p ) 一 1 一m 2 p ) m 2 p ) + 2m ( p ) + _ 2 m p ) p ) + m 4 p ) 4 m 2 p ) ( 3 2 0 ) 3 2 变换后系统的保辛积分 方程( 3 1 8 ) 的严格求解非常难，只能近似积分。如取k = 0 ，则因运用了( 3 5 3 6 ) 的变换，就得到( 3 7 ) 的近似解。进一步考虑k ，口) 的影响，因s 是小量，故可采用保辛 摄动。情况与 3 4 相似，但 3 4 的计算巧徊) 与f 并无关系，是线性问题。而现在的k ，一) ， 表明是非线性问题的积分。 写出微分方程( 3 1 8 ) 对应的变分原理 u i = f 上l ，：目) d 口，厶，f ：口) = f 2 2 一f 2 ：- v o ( f ，口) a u , = o ( 3 2 1 ) 其中圪g ，口) = e k ，口垮是一个非线性的势函数。对偶变量与h a m i l t o n 函数为 a = f 。，日( f ，p l ，口) = p ? ，2 + f 2 2 + v o ( f ，日) ( 3 2 2 ) 三峡升船机的浅水波位移法与保辛时程积分 组成状态向量v ：) = 柘a 7 ，其h a m i l t o n 矩阵与正则方程为 h ，日) = l 州。心咖i ， v 2 ( 日) = l i ( f ，8 ) v 2 徊) ( 3 2 3 ) 引入近似的h a m i l t o n 函数马。嵋塌，口) ；彳，2 + f ：2 ，即得近似的可分析求解的系统。对 应地，h ( f ，9 ) = h 。+ h ，日) ，其中h 。= 匕i ，而h l ，p ) ；( w o 卿j 是小量的h a m i i t o n 矩阵。 近似系统对应的混合能矩阵为 g o ( 口) = t a n ( e ) ，g 徊) = 一t a n ( o ) 。只徊) = y c o s ( o ) ( 3 2 4 ) 辛矩阵 s 。p ) ； ! ：磊器瑚， v 。) = s 。徊) v ，( o ) ( 3 2 5 ) 辛摄动 v ：徊) = s o ( e ) v ：， ) ( 3 2 6 ) 将( 3 2 6 ) 代入v ， ) 满足的微分方程( 3 2 3 ) ，可导出 v ：。) = 【一j s ；僧) j l i 。，p ) s 。够) 】v ：够) ，匕。( o ) = l ( 3 2 7 ) 对v 。徊) 的方程可用不同的保辛方法求解。方括号内仍是h a m i l t o n 矩阵，表示为 【j s ：徊) 咂，p ) 。s 。( 8 ) 】= 慌：j ：黜) j ，蹦胁v 埘t = b z 肛2 , ：嚣磐一9 ( 3 2 8 ) ( 3 2 4 ) 无非是取k 佃) = - 0 而已。因方程非线性，故“( f ，8 ) 等还与被积分函数f 有关。 因分析求解困难，故采用数值方法。将整个区段碱，吼) 划分为一系列长为q 的小区段， 在积分时还应采用近似，将也当成给定函数，使4 且d g ，日) 等转换成0 的函数，故可近 似写成a ( o g b ( o ) , d ( o ) 。但毕竟徊) 仍为未知，每一步辞的积分后，尚需叠代。这在通常 的数值积分方法中常见。在每个区段对函数钺p ) ，b ) ，d 徊) 采用二次插值 4 ( f ) 崩4 + 4 f + 4 f 2 ，口( f ) 掣岛+ 旦f + 垦f 2 ，d ( f ) d o + d l f + d 2 f 2 ，o s f 町( 3 2 9 ) 小区段口的区段矩阵f 铆) ，q 研) ，g 咖) 满足微分方程 ， 户0 ) ；( 爿一g b ) f , 垂( f ) = f b f , 0 p ) = d + a g + g a g b g ，垂( f ) f f i d q ( c ) d r ( 3 3 0 a - c ) 初值条件 ，( o ) = kg ( o ) = 0 q ( o ) = 0( 3 3 1 a - c ) 再以下与 3 4 的算法同。得到蛾”吼) 的确) ，q ( 町) ，g ( 町) 后，即可由v 2 ，以。) 算出v z ! ) ，完 成逐步积分。 3 3 保辛算例 例对于无阻尼非线性振动方程( 3 1 ) ，取：k = 1 ，k = 1 ，即： 孑。) + g + 6 矿= o ，初始条件。口( o ) = 1 ，甙o ) = 0 用本文提出的保辛摄动算法求解， 大连理工大学硕士学位论文 图3 1 保辛摄动与四阶龙格库塔步长为0 2 s 长期计算结果局部 f i g 3 1l o n g t e r mr e s