（固体力学专业论文）功能梯度材料圆板的非线性力学行为分析.pdf

at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro f e n g i n e e r i n g i n s o l i dm e c h a n i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rm a l i a n s h e n g a p r i l ，2 0 1 1 册66 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：币嵫拉日期：b 川年 6 月弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 涨也 。舅即 日期：c 1 年月多 日 日期。、，年z 月 7 日 1 2 3 屈曲和过屈曲4 1 2 4 振动和动力响应6 1 3 本文所用到的数值方法7 1 3 1 基本思想7 1 3 2 算法7 1 4 本文的主要研究内容8 第2 章功能梯度圆板的静态力学行为10 2 1 基本方程1 0 2 2 功能梯度简支圆板热弯曲问题的数值结果与分析1 4 2 2 1 功能梯度简支圆板热弯曲问题的数值结果15 2 2 2 数值结果分析2 0 2 3 功能梯度夹紧圆板热过屈曲问题的数值结果与分析21 2 3 1 功能梯度夹紧圆板热过屈曲问题的数值结果2 l 2 3 2 数值结果分析2 8 2 4 本章小结2 8 第3 章功能梯度圆板的动态力学行为3 0 3 1 基本方程3 0 3 2 功能梯度简支圆板热弯曲构形附近振动问题的数值结果与分析 ：；z l 3 2 1 功能梯度简支圆板热弯曲构形附近振动的数值结果3 4 3 2 2 数值结果分析3 6 3 3 功能梯度夹紧圆板热过屈曲构形附近振动问题的数值结果与分 析3 7 3 3 1 功能梯度夹紧圆板热过屈曲构型附近振动的数值结果3 7 3 3 2 数值结果分析4 0 功能梯度材料吲极的1 | 线性力。行为分析 曼曼曼曼皇iii 一一i i i , 一一i 一i _i ii _ 。基毫曼曼寡皇鼍曼 3 4 本章小结4 0 第4 章功能梯度夹紧圆板的前屈曲微幅振动41 4 1 基本方程4l 4 2 功能梯度夹紧圆板前屈曲微幅振动问题的数值结果与分析4 2 4 2 1 功能梯度夹紧圆板前屈曲微幅振动的数值结果4 2 4 2 2 数值结果分析4 8 4 3本章小结4 9 结论5 0 参考文献5l 致 射5 7 附录a ( 攻读硕士学位期间的论文成果) 5 8 数值求解。本文主要内容包括以下几个方面： 1 简要介绍了功能梯度材料的概念和研究现状及本文所用到的数值 方法一打靶法。 2 研究了功能梯度圆板的静态力学行为。利用数值结果考察了材料参 数的温度依赖性质、梯度参数及热载荷等对功能梯度简支圆板弯曲和功 能梯度夹紧圆板过屈曲行为的影响。数值结果表明：面内热载荷作用下， 对于功能梯度简支圆板，无论热载荷有多小，都会有横向挠度产生，因 此不存在分支屈曲；周边夹紧的功能梯度圆板在热载荷作用下将会发生 过屈曲变形。 3 研究了功能梯度圆板的动态力学行为。利用数值结果考察了材料参 数的温度依赖性质、梯度参数及热载荷等对功能梯度简支圆板热弯曲构 形附近振动、功能梯度夹紧圆板热过屈曲构形附近振动的影响。数值结 果表明：在功能梯度简支圆板热弯曲构形附近的振动问题中，随着热载 荷的增加，圆板的固有频率先降低后增加；而在功能梯度夹紧圆板热过 屈曲构形附近的振动问题中，随着热载荷的增加，圆板振动的固有频率 也随之增大。 4 研究了功能梯度夹紧圆板的前屈曲微幅振动行为。研究了材料参 数的温度依赖性质、梯度参数及热载荷等对功能梯度夹紧圆板前屈曲微 幅振动的影响。数值结果表明：在功能梯度夹紧圆板前屈曲微幅振动问 题中，随着热载荷的增加，圆板的振动频率逐渐降低，当热载荷趋近于 临界载荷值时，振动频率趋近于零。 关键词：功能梯度材料；圆板；物理中面；弯曲；过屈曲；振动；打靶 法 功能梯度材料恻板的1 卜线性力学行为分析 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b e n d i n g ，p o s t - b u c k l i n ga n dv i b r a t i o nr e s p o n s eo faf g m c i r c u l a r p l a t e a r ei n v e s t i g a t e d i ti sa s s u m e dt h a tt h e p r o p e r t i e s o f f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l sv a r yc o n t i n u o u s l yt h r o u g ht h et h i c k n e s so f t h es t r u c t u r e sa n do b e yas i m p l ep o w e rl a wr e l a t e dt ot h ev o l u m ef r a c t i o no f t h ec o n s t i t u e n t s b a s e do nt h ec l a s s i c a lp l a t et h e o r y ，t h eb a s i ce q u a t i o n so f af g mc i r c u l a rp l a t ea r ed e r i v e du s i n gt h ep h y s i c a ln e u t r a ls u r f a c ec o n c e p t as h o o t i n gm e t h o di se m p l o y e dt on u m e r i c a l l ys o l v et h er e s u l t e de q u a t i o n s t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w i n g ： 1 w eb r i e f l yi n t r o d u c e dt h eb a s i cc o n c e p t i o n ，r e s e a r c hs t a t u so ff g m a n dn u m e r i c a lm e t h o du s e di nt h i sp a p e rn a m e ds h o o t i n gm e t h o di ss i m p l y i n t r o d u c e d 2 s t a t i cm e c h a n i c a lb e h a v i o ro faf g mc i r c u l a rp l a t ei ss t u d i e d t h e e f f e c t so ft e m p e r a t u r ed e p e n d e n c eo ft h em a t e r i a l ，t h em a t e r i a l g r a d i e n t p a r a m e t e ra n dt h e r m a ll o a d so nb e n d i n go fas i m p l ys u p p o r t e df g mc i r c u l a r p l a t ea n dp o s t - b u c k l i n go fac l a m p e df g mc i r c u l a rp l a t ea r ed i s c u s s e d n u m e r i c a lr e s u l t so b t a i n e dh e r es h o w e dt h a tt r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n t so c c u r n om a t t e rh o ws m a l lt h ei n p l a n el o a d s ；t h e r e f o r e ，t h e r ei sn ob i f u r c a t i o n b u c k l i n gf o ras i m p l ys u p p o r t e df g mc i r c u l a rp l a t es u b j e c t e dt oi n - p l a n e t h e r m a ll o a d s ；u n d e ra ni n - p l a n et h e r m a ll o a d i n g ，c l a m p e df g mc i r c u l a r p l a t e se x h i b i tt y p i c a lt h e r m a lp o s t - b u c k l i n gb e h a v i o r s 3 d y n a m i cm e c h a n i c a lb e h a v i o ro ff g m c i r c u l a rp l a t ei ss t u d i e d t h e e f f e c t so ft e m p e r a t u r ed e p e n d e n c eo ft h em a t e r i a l ，t h em a t e r i a lg r a d i e n t p a r a m e t e ra n dt h e r m a ll o a d so nv i b r a t i o nr e s p o n s e sn e a rt h en o n l i n e a rs t a t i c b e n d i n ge q u i l i b r i u mc o n f i g u r a t i o n sf o ras i m p l ys u p p o r t e df g mc i r c u l a r p l a t ea r ed i s c u s s e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w e dt h a tf o rt h ev i b r a t i o ni nt h e v i c i n i t yo fb e n d e dc o n f i g u r a t i o n so fas i m p l ys u p p o r t e df g m c i r c u l a rp l a t e ， t h en a t u r a l f r e q u e n c yd e c r e a s e si n i t i a l l yw i t ha ni n c r e a s ei nt h et h e r m a l l o a da n dr e a c h e si t sm i n i m u mv a l u e ；t h e r e a f t e r ，i ti n c r e a s e s ；b u tf o rt h e v i b r a t i o ni nt h ev i c i n i t yo fp o s t b u c k l e dc o n f i g u r a t i o n so fac l a m p e df g m c i r c u l a r p l a t e ，t h en a t u r a lf r e q u e n c yi n c r e a s e sm o n o t o n o u s l y w i t ha n i n c r e a s ei nt h e r m a ll o a d 4 s m a l la m p l i t u d ev i b r a t i o no fac l a m p e df g mc i r c u l a rp l a t ei nt h e 硕十学传论文 p r e - b u c k l i n gd o m a i ni ss t u d i e d t h ee f f e c t so ft e m p e r a t u r ed e p e n d e n c eo f t h em a t e r i a l ，t h em a t e r i a lg r a d i e n tp a r a m e t e ra n dt h e r m a ll o a d so nv i b r a t i o n r e s p o n s e so ft h ec l a m p e df g mc i r c u l a rp l a t ea r ed i s c u s s e d n u m e r i c a l r e s u l t ss h o w e dt h a tf o rl i n e a rv i b r a t i o no fac l a m p e df g mc i r c u l a rp l a t ei n t h ep r e b u c k l i n gd o m a i n ，t h en a t u r a l f r e q u e n c yd e c r e a s e sa s t h et h e r m a l l o a di n c r e a s e su n t i li tr e a c h e sz e r oa tt h eo n s e to fb u c k l i n g k e y w o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ； c i r c u l a r p l a t e s ；p h y s i c a l n e u t r a ls u r f a c e ；b e n d i n g ；p o s t - b u c k l i n g ；v i b r a t i o n ；s h o o t i n gm e t h o d i i i 度材料的研究开发最早始于19 8 7 年日本科学技术厅的一项“关于开发缓 和热应力的功能梯度材料的基础技术研究 计划所谓功能梯度材料是根 据使用要求，选择使用两种不同性能的材料，采用先进的材料复合技术， 使中间的组成和结构连续呈梯度变化，内部不存在明显的界面，从而使材 料的性质和功能沿厚度方向也呈梯度变化的一种新型复合材料。例如航 天飞机燃烧冲压式发动机燃烧室壁接触数千度高温气体的一面使用耐热 性优良的陶瓷，赋予材料耐热性能，而接触制冷材料冷却氢的一侧采用金 属材料，赋予材料导热性和机械性能，在两个界面之间，采用先进的材料 复合技术通过控制金属和陶瓷的相对组成和组织结构，使其无界面的逐 渐变化，从而使整个材料具有耐热性好而且机械强度也高的新功能【1 1 。 亭 霹皮方向蓐度方向 0 陶瓷韩耱 金晨台套 图1 1 功能梯度材料性能示意图 功能梯度材料是在内部组分、结构、性能方面，从材料的一部分到 另一部分呈连续变化或分层阶梯式变化的新型材料，是一种特殊类型的 复合材料，它的特点是材料的正反两面在性能上都有很大的差异因而可 以发挥出不同的作用。另一个特点是，这种成分或结构的变化是逐渐过 渡的，可有效缓解材料两侧存在的温差所引起的巨大应力，因此它能够 9；n誓ii(簟0 c(=藿il(=) (=i)雯重。囊i000u0l=)(囊00九von)cinvc0n)(二)奠昌凡1)(_；0 000()q疟)(h)(誊 功能梯度材料吲极的1 r 线性力行为分析 耐热冲击，且具有良好的机械强度。 功能梯度材料的应用领域是非常广泛的。由于它具有较高机械强度、 抗热冲击、耐高温性能等特点，在航空航天、电子器件、人造脏器、汽 车发动机、制动器、化工部件等诸多方面都有广泛的应用。譬如，在航 天领域就需采用金属陶瓷功能梯度材料，它的一面是陶瓷，另一面是金 属，而中间是从陶瓷到金属逐渐变化的过渡层，它具有金属材料和陶瓷 材料的双重特点，既有陶瓷的硬度和耐高温、耐腐蚀的特性，同时还具 有金属的强度和韧性，可作为火箭耐热部件。而且在通信领域里，功能 梯度材料可以制造多模光纤，这种光导纤维的光学折射率从轴心至外层 是逐渐变小的，而且还能够在其他领域中作为极端条件下使用的材料。 如今世界各国对功能梯度材料的研究都在如火如荼地展开，它在各 个领域的应用已经取得了重要进展，已为人类的生产生活做出了很多的 贡献。不过，仍然有许多问题需要人们去解决。我们可以想像，在不久 的将来，功能梯度材料必将得到更大规模的研发和应用【2 】。 然而作为一种新型功能材料，功能梯度材料范围广泛，性能特殊，用 途各异。尚存在一些问题需要进一步的研究和解决，主要表现在以下一些 方面【3 】： 1 ) 尚需要进一步地研究和探索统一的、准确的材料模型和力学模型： 2 ) 已制备的梯度功能材料样品的体积小、结构简单，还不具有较多的 实用价值： 3 1 梯度功能材料特性评价研究的广度和深度还不够，很多实际问题 没有解决，在航空航天领域的应用模拟研究有待进一步提高： 4 ) 成本高。 1 2 功能梯度材料结构及其力学性能研究综述 1 2 1 物理性能参数表征 功能梯度材料作为非均匀复合材料，在对其结构进行力学行为分析 前，需要了解材料的等效材料性质，也就是根据各组分材料的体积含量、 性质以及微结构特性，预测其宏观性能。通常的细观力学分析方法是引 入一个代表性体积单元，在每一个这样的单元内，各组分材料的概率特 性相同，假设单元外加均匀分布的热弹性场，从而得到复合材料的等效 材料性质参数的一阶近似。 一般说来，非均匀介质中材料性质梯度的描述方法大致有两类：1 ) 细观力学方法；2 ) 假设一个组分材料体积比的变化函数。 2 硕十字何论文 曼i 一 ； 一一i i i一 一一一 1 量曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼皇曼曼曼皇曼皇曼量曼曼鼍曼曼曼曼曼皇曼 细观力学方法大致可以分为：1 ) 混合律模型。该方法尽管粗糙，但使 用方便。l e e 和e r d o g e n 引，f u k u i 等人【5 1 以及m a r k w o r t h 和s a u n d e r s 6 】 用该法分析了功能梯度材料的热弹性参数。g i a n n a k o p o u l o s 等人【7 】则用它 来研究了功能梯度材料的弹塑性参数。2 ) 改进的混合律模型。w i l l i a m s o n 和d r a k e 等人 8 - 9 】采用这种方法分析了陶瓷金属功能梯度材料的弹性模 量和泊松比。目前已有多种形式的改进的混合律模型。3 ) m o r i t a n a k a 方 法。此方法原本用于颗粒增强复合材料。s u m i 和s u g a n o 1 0 川1 用这种方法 求得了功能梯度材料的等效材料参数。另外还有自洽模型【1 2 】、相干势法 等【l3 1 ，不一一叙述。 设定成分分布函数法，常见的有幂函数型和指数函数型，前者在功 能梯度材料结构的力学分析中应用较为普遍。比如m a r k w o r t h 和 s a u n d e r s 6 】给出的函数形式为： v ( z ) = c o + c i z + c 2 2 2 ( 1 1 ) 式中z 为材料的梯度方向，h z ) 为其中一相材料的体积含量。而 w a k a s him a t l 4 】采用了以下的形式： ，_ 、矗 o y ( z ) = l 坐i ( 1 2 ) k z 2 一z 1 ) 式中z l ，z 2 表示两相材料的边界尺寸，n 为材料的梯度参数。 幂函数型和指数函数型这类连续性模型，均将功能梯度材料视为性 能连续变化的非均匀材料。但是这类模型由于忽略了细观结构的影响， 误差较大。真正适合于功能梯度材料结构特点的细观力学模型还有待于 人们继续探索和研究【15 1 。 1 2 2 线性和非线性弯曲 弯曲问题是板壳结构分析中最基本的问题之一。而对于功能梯度材 料结构弯曲问题的研究也吸引着国内外的学者们。r e d d y 等【l6 】最先讨论 过功能梯度复合材料圆形和环形薄板的对称弯曲问题，分析中采用一阶 剪切变形板理论，利用经典板理论解和一阶剪切变形板理论解之间的对 应关系，导出多种边界条件下的解析解。这种分析方法最早由w a n g t l 7 】 提出，并发展用于弯曲、屈曲和振动各种问题的分析中 18 - 2 2 】，c h e n g 和 b a t r a 2 3 】，c h e n g 和k i t i p o r n c h a i 2 4 】在其关于非均匀材料板的研究工作中 也简单地讨论了功能梯度材料矩形薄板和椭圆形薄板的横向弯曲，但未 考虑热荷载的作用。 刘进等【2 5 1 基于一阶剪切变形理论推导了功能梯度材料矩形板的基本 方程，并用一种新型的数值方法一一微分容积法求解了该方程，讨论了边 功能梯度材料圆板的非线性力学行为分析 界条件、梯度指数和相对厚度等因素对板的无量纲挠度和应力的影响。 王铁军等【2 6 】基于一阶剪切变形板理论，导出了热机载荷作用下，位移形式 的功能梯度中厚圆环板轴对称弯曲问题的控制方程，获得了问题的位移 和内力的一般解析解作为特例，分别研究了边缘径向固定和可动的夹紧 和简支的种实心功能梯度圆板，给出了它们的解，并分析了热机载菏作用 下解的形态，讨论了横向剪切变形、材料梯度常数和边界条件，对板的轴 对称弯曲行为的影响。李世荣等【2 7 】采用常微分方程两点边值问题的打靶 法，建立了圆薄板轴对称大挠度弯曲y o nk f i r m f i n 位移型方程的自动求解 过程。分析了圆薄板在均布横向截荷作用下的非线性弯曲问题，给出了载 荷参数大范围变化的解曲线。张静华等【2 8 】采用打靶法研究了两端不可移 简支功能梯度t i m o s h e n k o 梁在横向非均匀升温下的大挠度弯曲问题。 马连生等【2 9 1 基于经典非线性板理论，研究了功能梯度圆板在热、机械等 载荷作用下的轴对称非线性弯曲问题，利用数值结果考察了梯度材料性 质、载荷条件以及边界条件对板弯曲行为的影响。李世荣和夏荣厚【3o j 基 于e u l e r u b e r n o u l l i 梁的精确的几何非线性理论，建立弹性直梁在横向 分布机械载荷和均匀升温共同作用下的几何非线性静平衡控制方程。应 用打靶法分别数值求解两端不可移简支和两端固定支承梁在上述复合载 荷作用下的非线性弯曲和弹性稳定性问题。杨杰和沈惠申dl 】采用r e d d y 高阶剪切板理论，考虑材料物性参数随坐标和温度变化的特性，研究在均 匀变化的温度场内功能梯度材料矩形板在面内与横向载荷共同作用下的 横向弯曲问题。 1 2 3 屈曲和过屈曲 由于功能梯度材料应用广泛，一直是力学工作者十分关注的话题， 所以对其屈曲和过屈曲分析尤为重要。w u 等【3 2 】利用快速收敛切比雪夫多 项式获得了热和机械载荷作用下的功能梯度材料板的过屈曲响应的解析 解，考虑了不同边界条件下的铝一氧化铝复合而成的功能梯度板。 b i r m a n 【3 ”，f e l d m a n 和a b o u d i 3 4 1 讨论了功能梯度复合材料矩形板在面内 压缩载荷作用下的屈曲问题。n a ja f i z a d e h 等【3 5 】研究了放射状载荷作用下 的功能梯度圆板的屈曲分析，圆板的边界条件是简支或者夹紧且是各向 同性的。c h e n g 和k i t i p o r n c h a i 36 1 ，c h e n g 和b a t r a 3 7 】建立了膜振动特征值 问题与简支功能梯度材料多边形板面内受压屈曲、湿热屈曲以及振动问 题的比拟关系，并分别基于经典薄板理论、一阶剪切变形板理论和高阶 剪切变形板理论进行了讨论。r e d d y 和c h e n g 3 s 将该工作进一步推广到 功能梯度材料扁球壳的情况。m a 和w a n g ”l 基于一阶理论，研究了边界 4 硕十何论文 均布径向压力作用下功能梯度圆( 环) 板的屈曲问题。马连生和欧志英【4 0 】 基于一阶剪切变形理论推导了圆板在边界面内均布压力作用下的轴对称 屈曲方程。在推导过程中，忽略了前屈曲耦合变形。利用一阶板理论与 经典板理论屈曲方程之间在数学形式上的相似性，得到了一阶板理论下 功能梯度材料圆板与经典板理论下均匀圆板临界屈曲载荷之间的解析关 系。利用这个解析关系，可以直接从已有的较为简单的经典理论的结果， 获得一阶板理论下功能梯度材料板的临界屈曲载荷。 f e l d m a n 和a b o u d i 【4 l 】研究了面内压力作用下的功能梯度板的弹性 分支屈曲。w u 42 】基于一阶剪切变形板理论，导出了功能梯度矩形中厚板 在热载荷情况下的平衡方程和稳定方程。j a v a h e r i 和e s l a m i 43 】基于经典 板理论导出了功能梯度矩形板在热机载荷作用下的平衡和稳定方程。给 出了功能梯度板与各向同性的复合材料板的临界屈曲温度的关系。 n a ja f i z a d e h 和e s l a m i 4 4 】讨论了功能梯度圆板的热屈曲。用变化公式的方 法导出了非线性平衡方程与线性稳定方程，并考虑了板厚方向的热传导。 m a 和w a n g 4 副基于冯卡门经典非线性板理论，研究了机械载荷、热 载荷和热机载荷联合作用下功能梯度圆板的轴对称大挠度弯曲，及功能 梯度圆板的热屈曲行为。利用打靶法数值的求解。h u a n g 等 4 6 】利用圆柱 壳非线性大变形理论讨论了同时受到轴向和横向载荷作用下的功能梯度 圆柱壳的非线性屈曲和过屈曲。数值结果表明：不同的非均匀参数，维 数和外部热环境对承受复合载荷的功能梯度圆柱壳的非线性屈曲行为的 影响也不同。l i 等【47 】对于承受机械载荷和横向非均匀温度载荷作用下的 有缺陷的功能梯度圆板的非线性热机过屈曲进行了研究。s h e n 4 8 】分析了 有限长功能梯度圆柱壳在温度场中及轴向载荷作用下的过屈曲。数值结 果考虑了轴向载荷作用下的过屈曲响应，完整性和缺陷性，合成圆柱薄 壳的两种组成材料和不同的温度场。研究了温度提高，体积分数分布， 壳体几何参数和原始几何缺陷的影响。m a 和w a n g 4 9 】用三阶剪切变形板 理论求解了功能梯度圆板的轴对称弯曲和屈曲问题。n a j a f i z a d e h 等【5 0 1 研究了功能梯度材料圆板的热屈曲。基于高阶剪切变形板理论推导了平 衡方程。得出的结论是：高阶剪切变形板理论准确的描述了功能梯度圆 板的行为，然而一阶和经典板理论高估了屈曲温度。n a 和k i m 51 】分析了 功能梯度材料的三维热屈曲。得到的数值结果与以前的结果进行了对比， 除此之外，也研究了临界屈曲温度载荷受温度场、体积分数分布、几何 参数的影响。w o o 等【5 2 】求得了功能梯度中厚板和薄壳在边界受压和温度 场中的过屈曲行为的解析解。结果表明：热机耦合效应和边界条件对于 周边承受压载荷的功能梯度板壳的响应有着极为重要的影响。 5 功能梯度材料圆板的非线性力学行为分析 1 2 4 振动和动力响应 板壳结构是工程实际中广泛应用的一种结构元件，其静力分析和线 性振动的理论和应用已经很成熟，对于非线性振动问题的研究也有很多 工作报导，但对于特殊材料和特种结构形式板壳非线性振动问题的研究 还不够完善，静载荷作用下板壳结构的非线性振动特性，也是研究者关心 的课题。杜国君和马建青【5 3 】基于冯卡门薄板理论，建立了均布载荷和周 边面内载荷联合作用下夹层圆板非线性振动问题的控制方程和滑动固定 边界条件，给出了相应静力问题的精确解及其数值结果。p a r k 和r i m k 4 j 研究了功能梯度板的热过屈曲和振动，数值结果说明了功能梯度板在屈 曲前和屈曲后的过屈曲和振动特性。l o y 等 5 5 】基于经典薄壳理论，采用 r a y l e i g h r i t z 法计算了两端简支功能梯度复合材料圆柱薄壳的自振频 率。p r a d h a n 等【5 6 】将该工作进一步推广到两端简支、两端夹紧、一端简支 一端夹紧、一端简支一端自由、一端夹紧一端自由等多种边界条件的情 况。g o n g 等【5 7 】基于高阶剪切变形理论讨论了功能梯度复合材料圆柱壳受 到物体低速冲击时的动力响应。y a n g 和s h e n 5 3 】基于经典薄板理论，讨论 了多种边界条件下功能梯度复合材料矩形板在预加面内载荷和局部横向 载荷共同作用下的动力响应。 k i t i p o r n c h a i 等【s 9 】基于三阶剪切变形理论研究了功能梯度夹层薄板 的自由振动问题，考虑了温度对热物参数的影响。用半解析法求解了特 征值问题。黄小林和沈惠申 6 0 】基于r e d d y 高阶剪切变形理论和广义卡门 型方程，用双重f o u r i e r 级数展开法求得了四边简支功能梯度板的自由振 动及动力响应的解析解，分析中考虑了热传导以及组分材料热物参数对 温度变化的依赖性。q i a n 等】分别基于高阶剪切变形板理论、一般的变 形板理论和局部的p e t r o v g a l e r k i n 无网格法研究了功能梯度矩形板的静 态问题、自由和受迫振动问题。a b r a t e 6 2 】研究了功能梯度板的自由振动 问题，屈曲问题和静态变形问题。给出了功能梯度板与各向同性板自然 频率之间的关系。 a l l a h v e r d i z a d e h 等【6 3 l 在文章中用半剖析法研究了功能梯度圆薄板的 非线性轴对称自由振动和强迫振动。结果表明，自由振动频率依赖振动 振幅，体积分数指数对板的非线性响应有着重要影响。s u n d a r a r a j a n 等f 6 4 】 基于冯卡门理论推导了非线性公式，用这个公式研究了在温度场中的功 能梯度板的自由振动响应。得到的结果表明，温度场和温度梯度对功能 梯度板的非线性振动有着重大影响。w o o 等【6 副给出了功能梯度板的非线 性自由振动的解析解。研究发现，非线性的耦合效应对功能梯度板的基 6 硕卜。j ：何沦文 频影响极大。h u a n g 和s h e n 6 6 】对温度场中的功能梯度板的非线性振动和 动念响应进行了研究，结果表明：温度场和体积分数分布对功能梯度板 的非线性振动和动态响应有着重大影响。这个结果与文 6 4 】得出的结果一 致。c h e n 6 7 】给出了功能梯度板在非均匀初始应力下的非线性振动的偏微 分方程。发现初始应力和构成材料的体积分数都能极大地改变非线性振 动行为。 k i m 6 8j 推导出了一种理论方法来研究处于温度场中的由金属和陶瓷 组成的受到初始应力的功能梯度矩形板的振动特性。得到的理论结果与 文献中的一致。m a l e k z a d e h 6 9 】研究了基于二维弹性地基的功能梯度板的 自由振动，公式基于三维弹性理论。给出了板的自然频率的一些新的结 果，包括地基的弹性系数，边界条件，材料和几何参数的影响。新的数 值结果可以用作未来研究的基准。a l l a h v e r d i z a d e h 等【7o 】利用冯卡门动态 方程研究了处于温度场中的功能梯度薄圆板的轴对称非线性自由振动。 得到的数值结果与基于各种方法已经发表的结果进行了比较。c h e n 等【7 l 】 推出了承受初始应力的功能梯度板振动的非线性偏微分方程。发现：非 线性振动的幅频响应容易受到初始应力，振动振幅，体积分数的影响。 综合现有的文献可知，有关功能梯度结构弯曲和过屈曲构型附近的 振动及前屈曲微幅振动的研究极为有限。 1 3 本文所用到的数值方法 本文采用打靶法数值地求解功能梯度圆板的力学行为。这种方法简 单实用，操作方便，其可靠性、准确性，计算效率得到广泛认可。 1 3 1 基本思想 打靶法的主要思想就是先将待求的常微分两点边值问题转化为相应 的常微分初值问题。于是，在初始条件中包含了与终点边界个数相同的 待定参数。然后通过不断调整这些初始参数直至使初值问题的解能满足 重点的边界条件，从而获得边值问题的解。 1 3 2 算法 在采用打靶法数值求解时，首先要将问题化为下列一阶常微分方程 两点边值问题： _ d y = 锨玖瓴 x 恐) d x ( 1 3 ) j 5 i 地) = 白，垦) = 龟 7 功能梯腰材半： 吲儆的1 r 线性力7 ：行为分忻 y = y l , y 2 ，y ) 7 ，g = g i ，9 2 ，g ，) 1 ，i + 2 = n 其中 咒( x ) c 1 ( 五，恐) ，g ，( x ，只( x ) ) c o ( 五，恐) ，o = l ，2 ) 骂：r 专尺m ，垦：r 一r n 2 , 岛r m ，6 2 r 2 对于具体问题，量，g ，b t ，垦，b l ，6 2 都是确定的。 首先考虑与边值问题( 1 3 ) 对应的初值问题 瓦d z = g ( x , z ) ，( x l 力 ( 1 4 ) 以x l1 斗， z ( 五) = ，( 玉，d ) ，d 尺心 其中d = d i ，d 2 ，d m ) 7 是与2 个未给定初值有关的任意参数，r 为 与d 有关的向量，其中包含了初始点的边界条件( 1 3 ) 。对任意组初始 参数d ，初值问题( 1 4 ) 的解可形式上表示为 t z = z ( x ，d ) = ，( 葺，d ) + l g ( 孝，z ( f ) ) d 孝 ( 1 5 ) 这样，带有任意参数d 的解( 1 5 ) 构成了初值问题( 1 4 ) 的解集。 由微分方程的基本理论可知，边值问题( 1 3 ) 的解在于这个集合之中。 显然，如果能找到一组初始参数d = d r ，使得初值问题的解( 1 5 ) 也 能满足边界条件( 1 3 ) ，亦即 f ( x 2 ，d + ) = b 2 z ( x 2 ，d + ) 一吃= 0 ( 1 6 ) 其中f = 石，五，a ) r 。于是，由微分方程的理论可知，边值问题( 1 6 ) 的解d = d ，或通过不断调整初始参数d 使初值问题的解( 1 5 ) 能满足 终点的边界条件( 1 3 ) 。 1 4 本文的主要研究内容 m o r i m o t o 等【7 2 】以及a b r a t e 7 3 】在对功能梯度板的力学行为进行研究 后指出，如果对坐标面进行适当的选择，那么在板的本构方程中就可以 不存在拉弯耦合效应。在此基础上z h a n g 和z h o u 7 4 】发现了此坐标面就是 物理中面，并基于物理中面分析了功能梯度薄板的力学行为。文中基于 物理中面的本构方程中没有了拉弯耦合效应，而且控制方程和边界条件 也与各向同性材料板完全相同，从而使方程简化很多。本文，将这种思 想引入到功能梯度板的分析中。 本论文将基于经典板理论并利用物理中面的概念，分析研究功能梯 度圆板在温度载荷作用下的非线性静动态力学行为。具体内容如下： l 、研究功能梯度圆板的热弯曲和热过屈曲等问题。考察材料参数的 温度依赖性质、梯度参数及热载荷等对板弯曲和过屈曲行为的影响。 2 、分析功能梯度圆板的热弯曲和热过屈曲构形附近的振动等问题。 3 、研究功能梯度夹紧圆板的前屈曲微幅振动。考察材料参数的温度 依赖性质及热载荷等对板的前屈曲微幅振动的影响。 9 功能梯度材料吲板的1 r 线性力行为分析 第2 章功能梯度圆板的静态力学行为 对于非均匀的功能梯度材料圆板，利用其物理中面概念，可以使得 问题的控制方程以及边界条件得以简化。本章首先基于经典板理论，并 利用物理中面概念，导出了功能梯度圆板的基本方程，分析研究了热载 荷作用下功能梯度圆板的非线性静态力学行为。利用打靶法数值地求解 了所得方程。并对数值结果进行了分析。考虑到了材料参数的温度依赖 性质、梯度参数以及热载荷等对功能梯度圆板弯曲和过屈曲行为的影响。 2 1 基本方程 考虑一个厚度为h 、半径为b 的功能梯度材料圆板。采用柱坐标系 o r o z ，其中原点0 与板的圆心重合，o r o 面置于圆板的几何中面，z 轴垂 直于该面。设功能梯度材料的材料性质p ( 弹性模量e 、质量密度p 、热 膨胀系数口等) 只沿板的厚度方向变化，且服从以下规律 昨) = ( 己一只) ( 百h - 2 z 卜只 ( 2 1 ) 这里，下标m 和c 分别表示金属和陶瓷成分，l 是幂指数，l 取不同的值 代表成分含量不一的功能梯度材料。本文中设泊松比y 为常数且取y = o 3 。 温度相关时的材料性质p 可以表示为： p = p o ( p 1 t - i + 1 + p in p 2 t2 + p 3 t3 )( 2 2 ) 这里p o ，p 1 ，p l ，p 2 和p 3 是材料常数。 取功能梯度圆板的物理中面为z = z o ： 毛=糕。-nz 一熟k-m-c 亿3 ， 铲两一 面丽 心j 显然，对于均匀材料圆板，其物理中面和几何中面是重合的。 2 1 1 经典板理论下功能梯度圆板的位移场 啪石归m 棚一( z 一气) 雾 ( 2 4 ) u ：( ，z ，f ) = w ( r ，f ) 这里，阢，u ，表示板上任意一点的径向和横向位移，”，w 分别为板物理中 面上点的径向和横向位移。 2 1 2 轴对称问题的非线性几何方程 1 0 q = 专( 。+ ) 一占口丁 q 2 而【0 + j 一而口7 = 专( 哆+ 岛) 一击口丁2 l 哆+ 岛j 一而训 ( 2 6 ) 式中，q 和分别表示圆板任意点的径向和环向应力，r 是均匀温升。 2 1 4 内力一位移关系 定义以下内力： ( ，鸠) = 匕q l ，( z z o ) ) 出， ( ，) = 熙 l ，( z z o ) a z ， ( r ，m7 ) = 饬筹一气) 池 利用儿1 口j 力径【2 5 ) 利彻埋力程【z o ) ， 口j 以得到： ，= 熙q 出2 i l 上i _ v 2 ) 一苦口丁卜 吼a u 州幺( 矧卅 = 聪出= 践i 专( 峰吲一面e 口丁卜 “旧+ k ( 剐卅 炉熙叽一z o ) d z = 刮21 _ - 了f ( 。吲一南口丁l ( z _ 批 一q 。( 窘+ 剖卅 ( 2 7 a ) ( 2 7 b ) ( 2 7 c ) ( 2 7 d ) ( 2 7 e ) ( 2 7 f ) 功能梯度材料吲板的1 卜线性力学行为分忻 耻聪嘶训出= 筋 专( 晖吲一面e 口丁卜气) 出 叫。( y 等+ 剖卅 式中各刚度为： ( 4 。，d l 。) = 聪再e 一z o ) 2 弦 2 1 5h a m i l t o n 原理和运动方程 f 万( r u v ) a t = 0 式中，t 为圆板的动能：u 是圆板的应变