（计算数学专业论文）poisson问题的q1mortar元方法.pdf

p o i s s o n 问题的q 1 一m o r t a r 元方法 摘要 本文利用局部非协调q 1 一m o r t a r 有限元方法求解简单二阶椭圆边值问题m o r - t a r 有限元理论最早出现于1 9 9 4 年，经过十几年的发展，m o r t a r 有限元被广泛应用于 各个领域，如机械制造业，生物分子等它显著的特点就是能将两个不同网格剖分 的子区域协调的整合起来，因此，它常常被用于在复杂区域上求解偏微分方程并 且，随着算法的多样化，对于m o r t 甜有限元方法已经发展出了一系列解法 常见的m o r t a r 有限元方法大多是在子区域上采用局部协调的有限元，而本文 采用的是局部非协调q 1 有限元，亦称旋转q 1 元在不同的子区域上采用不同步长 的矩形单元剖分来求解p o i s s o n 方程它所需要的m o r t a u r 条件只有一个：即交界处两 侧的相邻子区域上的解的迹在m o r t a u r 空间上有相等的l 2 投影而对于其它不同的有 限元，所需要的m o r t a u r 条件亦不同如对于四阶板弯曲方程采用m o r l e y 元就需要两 个m o r t a u r 条件总的来说，所需要的m o r t 甜条件均是为了保证解的全局收敛性 本文通过分析，证明了误差估计与线性非协调有限元方法的误差估计有相同 的最优阶为验证理论的正确性，我们给出了相应的数值算例 关键词：p o i s s o n 方程；q 1 有限元；m o r t a u r 元；非协调元 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e r e dad i s c r e t i z a t i o no fl i n e a re l l i p t i cb o u n d a 唧v a l l l ep r o b l e mi n2 一db yt h en e wv e r s i o n0 ft h em o r t a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw h i c hu s e sl o c a l l y n o n c o n f o 瑚i n gq 1 - m o r t a r 矗n i t ee l 咖e n t s m o r t a r n i t ee l e m e n ta p p e a 舱df i r s ti n1 9 9 4 a f t e rm o r et h a nt 朗y e 盯so fd e v e l o p m e n t ，m o r t 甜6 n i t ee l e m e n th a sb e e n1 1 s e di nm a n y a r e a s ，s u c h 嬲m a c h i n eb u i l d i n gi n d l l s t r y ，b i o m o l e c l l l ee t c t h ec h a r a u c t e r i s t i co ft h e m o r t 盯f i n i t ee k m e n tm e t h o di 8c o o r d i n a t et h em e s ho 、r e rt 、怕s e p 盯a t ec o m p o n e n t s s u c ht h a tt h e y 盯ec o n f o r m i n ga ti n t e r f 缸e s s oi th a s1 】s 1 1 a l l yb e e nu s e dt os o l v ep d e o nac o m p l e xa r e a a n dw i t ht h ed i v e r s m c a t i o no fa l g o r i t h m ，t h e r eh a v eb e e nas e r i e s o fs o l v i n gp d ew i t hm o r t 盯f i n i t ee l e m e n tm e t h o d u s u a lm o r t 对丘n i t ee l e m e n tm e t h o du s e st h el o c a l l yc o n f o r n 】i n ge l e m e n t so nt h e s u b d o m a i n s ，b u tw ec o n s i d e r e dam o r t a u re l e m e n tw i t hl o c a l l yn o n c o n f o 瑚i n gq 1e l - e m e n t s ，a l s 0c a l l e dt h er o t a t i o nq 1e l e m e n t s o nt h es u b d o m a i n s ，w eu s e dd i h i e r e n t s i z e ；o fr e c t a n g l e so fs u b d i v i s i o nf o rs o l v i n gt h ep o i s s o ne q u a t i o n ，o n l yo n em o r t 盯 c o n d i t i o ni sr e q 【1 l i r e di nt h ec a s e ，i e t h et r a c e 8o fs o l u t i o n so ft h e1 七w on e i g h b o r i n g s u b d o m a i n sh a et h es a m el 2p r o j e c t i o n so nt h em o r t 盯s p a c ea tt h ei n t e r f 犯e s b 1 l t f o ro t h e rd i 仃e r e n t 矗n i t ee l e m 朗t s t h em o r t a rc o n d i t i o nn e e d e di 8a l s od i 丘e r e n t f o r e x 锄p l e ，t h e r e 盯et w om o r t a rc o n d i t i o n sf o rt h em o r l e yf i n i t ee l e m e n t i ng e n e r a l l y t h em o r t a rc o n d i t i o nn e e d e di 8t ok e e pt h eg l o b a lc o n v e r g e n c e a f t e rd e t a i l e da n a l y s i s ，w ep r o v e dt h a to u re 1 1 r o re 8 t i m a t ei s 嬲t h es 锄eo p t i m a l l o r d e r 嬲i nt h es t a n d a r dl i n e 甜n o n c o n f o m i n g6 n i t ee k m e n tm e t h o d t bv e r i f yt h e t h e o r e t i c a lr e s l l l t ，w ea l f ；og a v et h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a le x 锄p l e s k e yw 0 r d s ：p o i s f ；o ne q u a t i o n ；q 16 n i t ee l e m e n t ；m o r t 缸e l e m e n t ；n o n c o n f o 珊i n g e l e m e n t i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者魏荡f 葛 日期：刎产占月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 导师签名： 诱俘 日期：卅年多月日 日期：细7 年占月日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1研究的意义与发展概况 m o r t a r 本意是指用来粘和砖块的泥浆，被法国数学家b e m a u r d i ，m a d a y 和p a t e r a 用 来形象的描述一种新的有限元离散方法他们在论文【1 】中证明了，用m o r t a u r 有限元 离散而得到的双线性泛函满足正定性，从而离散问题有唯一解而且，与传统的有 限元方法相比，m o r t a r 有限元离散仍然具有相同的误差逼近性 在b e m 砌i ，m 8 d a y 和p a t e r a 的论文【1 1 中，对谱方法和有限元方程下的m o r t 黻元 方法作了详细的论述，并给出了在子区域上用协调元逼近时解的存在唯一性和误 差估计，其误差估计结果与不加m o r t a r 时是同阶的但是，在该论文中的m o r t 盯条 件要求解空间在子区域的顶点连续后来，出现了很多新的m o r t a r 条件提法，大致 分为两类一类是在总体的离散空间上加上一个弱连续条件，例如论文【1 ，2 ，3 】是在 子区域边界上加一些积分相等条件( 在子区域顶点可不连续) ，这样得到的解空间不 属于日1 ( q ) ，并且对于嵌套的网格得到的有限元空间是不嵌套的，但是所得的刚度 矩阵是对称正定的另一类采用l a g r a n g e 乘子法( 4 ，5 ，6 ，7 】，即将m o r t a r 条件松弛为等 价的鞍点问题f 5 ，8 】，同样在这些m o r t 舡条件中，也不再要求在子区域的顶点连续 对于m o r t 盯元方法，已经发展出了一些有效的预条件迭代解法，如d i r i c h l e t n e u - m 锄方法【9 】，n e u m a n n - n e l 瑚咖方法【6 ，1 0 ，1 1 】和对子结构采用协调m o r t 盯元方法【1 2 ， 1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 】目前更多的关注在m o r t 盯元方法的多重网格解法上如【2 】是按b r 锄一 b l e f l 8 】的非嵌套多重网格框架，对v - c y c l e 方法给出了很好的预条件子，而【4 ，6 ，7 】则是 对鞍点问题给出了多重网格法的框架对于前一种方法，关键在于对非嵌套的解空 间给出了一个合适的网格转移算子，对于后一种方法，则在于证明离散后的l b b 条 件 对于二阶椭圆问题在实际求解中，区域分解技术和变分方法被广泛采用区域 分解可将大问题分解成若干个小问题，因而可独立求解各个小区域上的子问题通 常的做法是，首先在整个区域上定义全局离散化网格，然后剖分成小的子区域在 每个独立的子区域上逼近往往是易于处理的，但是在区域之间的界面就不一定了 而m o r t 盯元就能有效的解决了这个问题它允许一个子区域采用局部网格剖分这 种方法需要在不同子区域的界面上加强匹配条件以保证迹在界面上的弱连续性，及 相邻子区域上的好的承接性加强匹配条件有两种方法：一是逼近函数在界面是分 片连续的，如在整个区域上定义一个全局网格；二是加强一些积分条件，如m o r t 甜元 方法二维和三维的m o r t a r 元的一般表述参见【1 】和【1 9 】a c h d o u ，m a d a y ，w i l d d 在 论文【1 3 】中讨论了二维m o r t a r 元的迭代算法d r y j a 和w i l d l u n d 在【1 0 ，2 0 】中实现了三 一l 一 p o i s s o n 问题的q 1 m o r t a r 元方法 维m o r t 甜元的s w a r d z 方法 对于二阶椭圆问题，j g o p a l 妇i s l l a n 和j e p a s c i a k 在【2 】中讨论了m o r t 盯型p 1 协 调元的收敛性以及多重网格方法的实现；而f a b o r n e m 眦n 和p d e u n h 缸d 在【2 l 】中运 用了c 嬲c a d i c 多重网格算法；l m a u r c m n k o w 8 l 【i 在【2 2 】中讨论了m o r t a u r 型p 1 非协调元 的日1 收敛性，以及a s m ( a d d i t i v es c h w a r zm e t h o d ) 方法的实现a s m 方法在很多论 文中也有详细的介绍，如【2 3 ，2 4 】 下面将简要描述m o r t 盯元方法的主要思想：首先对区域q 进行剖分，将q 剖分 成若干个互不重叠的多边子区域绣，即q = 瓯，且对任何i 歹，霓n 奶= d 或 一个点或一条边r f 然后在每个子区域绣上采用不同的有限元来独立离散，对于 相邻子区域上的界面虱f 不必要网格一致也就是说，由于在每个子区域上剖分是 相互独立的所以在两个子区域交界处即界面亍访两边的网格剖分会出现不协调 的情况故而，在进行有限元离散时，有限元空间中的函数在这些界面上会有跳跃 这样，在这些交界处我们就必须给出一些条件以保证迹在界面上的弱连续性，及相 邻子区域上的好的承接性这些条件我们称为m o r t a r 条件m o r t a r 条件的选取依赖 于界面两侧的有限元离散方法 本文使用非协调有限元来离散子空间具体来说就是在界面两边的子区域采 用不同的矩形剖分，均使用非协调q l 元，选取界面亍t j = 砌t n a 的一侧为主边 ，i ，另一侧为从边如j 在界面亍订的从边如j 上定义一个m o r t a u r 空间对于界面 两侧相邻的子区域，m o r t a r 条件保证了它们的解的迹在m o r t 缸空间上有相等的l 2 投影并证明了对于p o i s s o n 问题，用此方法的误差估计与线性非协调有限元方法的 误差估计有相同的最优阶 1 2本文研究的问题及主要工作 本论文研究了求解二阶椭圆型模型问题的m o r t a u r 型q 1 非协调元方法，讨论了m _ o r t a u r 条件的构建，建立了有限元离散问题的收敛性定理，同时给出了数值算例 全文由四章构成 第一章主要介绍m o r t a r 元的研究的背景，意义及进展情况，并简单介绍本文的 主要工作，同时给出相关引理 第二章针对p o i s s o n 方程d i r i c h l e t 问题具体介绍m o r t a r 元的构造，给出相关的空 间定义和m o r t 盯条件 第三章主要研究相应的m o r t a r 型q 1 非协调元方法首先给出了模型问题和m o r - t a r 型q 1 非协调元的定义，然后将这些非协调元进行分类，给出相关的转移算子进 而证明所给出问题的误差与线性非协调有限元方法的误差有相同的最优阶 一2 一 硕十学位论文 第四章给出相关数值算例 1 3s o b o l e v 空间和一些记号 在本节中我们只给出本文中可能用到的s o b o l e v 空间的一些记号和性质，对于s o b o l e v 空间的详细讨论，可以参见【2 5 ，2 6 ，2 7 】 设舻是n 维欧氏空间，q 为冗竹中的有界区域用p ( q ) 表示定义在q 上的p 次可积 函数的全体组成的集合l ( q ) 表示定义在q 上本性有界的可测函数的全体组成的 集合取范数 l ，( q ) 三( _ i u ( z ) i p 出) m ， 1 p o o ， ，l l 一( 。) 三伽裟i u ( z ) i ， p2 o o 护( q ) 为b a n a c h 空间，且l 2 ( q ) 为h i l b e r t 空间，其内积定义为： ， ( 让，u ) = u u 如 ，n 用伊( q ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合，c ( q ) 表示区域q 上无 穷次连续可微的函数组成的集合，简记伊( q ) 为a ( q ) 记区域q 上偏微分算子d a = d 芋1 d 呈2 瑶”，其中皿= 矗，口1 ，眈，为非 负整数q = ( q l ，口2 ，q n ) 称为n 重指标，记i q i = a 1 + 口2 + + q n 定义1 3 1 设( q ) 为区域q 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，让魄( q ) 如 果存在u 现( q ) ，使得 仳d a 如= ( 一1 ) 川钉d z ，v 砂c 0 。( q ) ， j n，q 则称口是u 的i q l 阶广义导数并记为钉= d 口钆 设m 为非负整数，1 p ，考虑函数空间 i 矿仇p ( q ) 三_ u ：d 口缸j 夕( q ) ，i 口i m ) 这个空司按范数 i | 训| m 巾引j 聂上i d | p 删m 1 鲫一， 一兰麟渺乱，p 2 o 。， w m p ( q ) 构成一个b a n 础空间，我们称之为s o b o l e v 空间其上可定义半范数 川旷( 1 三上| d l p 妒1 卯一， p o i s 8 0 n 问题的q 1 m o r t a r 元方法 l u i m ，o 。= 职a xi l d a u l l 0 ， p = o 。 i j = ，n 又令叼p ( q ) 为卵( q ) 按范数i m ，p 在空间m ，p ( q ) 内的完备空间，则町p ( q ) 也 是个b a n a c h 空间 简记日仇( q ) = 厂仇，2 ( q ) ，月孑( q ) = 字2 ( q ) ，l i 0 m = i i i i m ，2 ，l l m = i i m ，2 于是日m ( q ) ，研( q ) 是h n b e r t 空间，其内积为 ( 乱，u ) m = ( d n 乱，d n 口) ， 乱，u 日m ( q ) i n l s m 定义1 3 2 设x 和y 是两个线性赋范空间，如果xcy ，并且把z x 映为缸 y 的恒等算子i 是连续的，即存在常数m 使得 l l ，z l l y m | | z i i x ，v z x ， 则称x 是嵌入y ，记为xqy ，又称i 为嵌入算子，m 为嵌入常数 定理1 3 1 ( s o b o l e v 嵌入定理【2 5 】)设qc 舻为有界区域，其边界a q 是局部l i p 一 8 c h i t z 连续的，m ，k 为非负整数，1 p o ， 则存在常数c ，使得 i 孔l i l p c ( i 乱i l ，p + l 扎如i ) ，让缈1 p ( q ) ， 1 p o 。 ， r 特别当u 硪( q ) 时，此不等式给出了础( q ) 中范数与半范数之间的等价性此时有 训1 1 ，p g i 乱1 1 ，p ，仳嚼伊( q ) ，1 p o 。 分数阶s o b o l e v 空间日m 托( q ) ( m o ，o 盯 1 ) 定义为c o 。( q ) 在下面范数下的 完备空间 峨乜q 州巳叫i 三上上咝挚 硕+ 学位论文 s o b o l e v 空间础( q ) 为日1 ( q ) 的子空间，定义为”i i n 范数下在曙中的完备空间， 即磁( q ) 为日1 ( q ) 中迹在锄为。的函数空间由于迹定理在论文中经常用到，故将其 叙述如下 定理1 3 3 如果q 是l i p s c l l i t z 区域，u 日8 ( q ) ，1 2 s 1 ，那么 r o u = 训鲫日。一1 2 ( 砌) ， 而且存在仅仅依赖s 和q 的常数c ，使得 铂t 正| i 俨- 1 2 ( n ) c 0 u | i 俨( n ) 1 4 模型边值问题及其有限元逼近 设qc 舻为有界区域考虑下面二阶椭圆型问题d i r i d d e t 边值问题 一：兰i ，：笔乏 其变分形式为：求珏y = 嘲( q ) ，使得 n ( “，钉) = ，( u ) ，v u k 其中 口( 乱，钉) = v 牡v u 如，( 口) = 如如 - ，n，n 由下面l a 潦m i l g r 锄定理得到上述变分问题的解存在唯一性 定理1 4 1 ( l a x m i l g r a m 定理 2 6 】)设h 是h i l b e r t 空间，n ( ，) 是定义在日日上 的双线性泛函，如果满足 ( 1 ) 有界性：存在正常数m ，使 f 口( 让，钞) is z i | 让| i i i u | i ，v 缸， 日； ( 2 ) 强制性：存在正常数c ，使 f n ( 可，t ，) i2c f | 钉f f 2 ，v 矿日； 则对任意，日7 ，存在唯一的乱日，使 n ( ，钐) = ，( u ) ， 讹日，( 1 1 ) 其中日7 是h 的共轭空间 l 8 静m i l g r 锄定理对变分问题的解的存在唯一性给出了明确的回答，但是，如何 一5 一 实际计算出这一精确解，直接从这定理中很难找答案为此，我们可以通过g a l e r k i n 方法求解变分问题( 1 1 ) 的近似解g 山r l 【i n 方法的基本思想就是用有限维空间来 逼近无限维空间y ，将上面的变分形式( 1 1 ) 离散化：求u j l k ，使得 o ( 钍_ h ，) = ( ，) ， 讹 ( 1 2 ) 关于离散变分问题( 1 2 ) 解的存在性和唯一性，只须有限维空间k 是h n b e r t 空间，双 线性泛函o ( ，) 于上有定义，线性泛函，于上有定义，并且满足l a x - m i l 留锄定 理条件即可 若有限元空间cy ，则称有限元为协调元，否则称为非协调元对于变分问 题( 1 1 ) 的解u y 的近似，离散变分问题的解缸 逼近u 的程度如何? 为此，c 缸引 理和s t r a n g 引理分别就协调元和非协调元的误差给出了解答 引理1 4 1 ( c 色。引理【2 6 】) 如果o ( ，) ，满足l a 静m i l g r a m 定理的条件，则离散问 题有唯一解，且 l i u 一让 i l e c 0 甄i i 仳一i i e ， 其中”| i e 为能量模：l e = ( o ( 钉，u ) ) 1 2 因 仳，结合插值逼近定理和c 芭。引理可以得到协调员能量模误差估计0 u 一 心，l 进而利用n i t s c h e 对偶技巧可以得到“一扎 的l 2 模估计 对于非协调元，即zy ，可以定义分片双线性型n ( ，) 变分问题的离散形式 为 口 ( 让 ，) = ( ，) ， v 其收敛性分析，由下面引理得出 引理1 4 2 ( s t r a i l g 引理【2 6 】) 设o h ( ，) 为s s 上的连续双线性型，并且满足强 制性，则离散问题有唯一解，并有估计式 卜u 圳s 讲钉剐u 嘞 f s + 溉丛喘铲划) 其中i l 叫i i s = ( n h ( 叫，叫) ) 1 2 ，y s ，s 右端第一项称为插值误差，亦称为逼近误差，第二项称为相容误差插值误差可由 插值逼近定理估计，相容误差可由非协调元分析的标准技巧来估计 一6 一 硕士学位论文 第2 章m o r ta i 有限元逼近 设q 是砰中的多边形区域考虑如下边值问题： 一会兰i ，： 引入双线性形式如下： 口( u m = 上v “v 如 则与( 2 1 ) 等价的变分形式是：求钆+ 础( q ) ，使得 口( 钆+ ，钉) = ，( ) ，硪( q ) ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中 ，( 秒) = 如如 - ，n 这里，三2 ( q ) ，吼= ( 碧，差) t 定义离散空间y ，它是l 2 ( q ) 中的有限元子空间，但不属于硪( q ) 在此条件 下，采用的有限元是非协调的下面考虑几何非协调m o r t a u r 元方法，即将整个区域q 剖分成若干个互不重叠的多边子区域咄，即 对任何z j ，兜n 鸥为空集或一个点或一条边亍嵇 对于每个q 缸，进行拟一致矩形剖分q h ( q 知) ，参见【2 8 1 中定义4 4 1 3 即：假定 存在两常数n 和6 使得口 安其中，d 1 是矩形剖分元的直径，如是矩形单元中内 切球的直径令k 是矩形最大直径的网格参数，任何一个矩形单元元的直径均不 超过6 k 设如是q 和的公共边，即亍巧= 兜n 岛将所有子区域间的界面集合记 为r ，即r = u a q i a q 每条边各自延承了构成两矩形剖分的公共边节段的性质 这种情况下，每一条边t j 拥有了两种不同且相互独立的一维网格，记为q i ( r 巧) 和 矾( ) 定义q 1 结点是非协调结点，即q ( q 蠡) 中每条边的中点元属于q 南，a 吼和 a q 的q 1 结点集分别记为q 黩，a q 黩，a q 2 1 设q 知，l ，a q 七1 i 是各自属于瓯和a q 七的矩形剖分q h ( q 七) 的顶点集 首先，定义局部有限元函数空问对于每个矩形q ( q 七) ，局部有限元函数空间 一7 一 一c ： u ：l = 一q p o i 8 8 0 n 问题的q 1 m o r t 跗元方法 ( q 七) 由满足下面三个条件的所有函数的全体构成的函数空间：1 分片线性性；2 在q 暑：a q 黩上连续；3 在a q 2 1 上函数值为零 对于空间( q 知) 中任意函数u 奄，定义如下范数和半范数 i ( q 。) = m 口) 口口 ( q k ) ( n 。) - q q ( q k ) 引入全局的q - 非协调元空间 其上可定义如下范数和半范数 ( q ) = 凰( q k ) ， 知= 1 ( n ) _ ( q 知= l 川( q ) = i “i ( q 知= 1 由于每个界面r 嵇两侧有不同的独立网格则须在界面r 珏上加强匹配条件以 充分保证全局逼近的最优性下面，表述这样一种条件 假定r 巧的一侧为m o r t 甜边，也是主边，记为，y m ( t ) 另一侧为n o n m o r t a r 边，也 是从边，记为如u ) m o r t a u r 边r 甜的选取条件为：玩，如图2 1 则有两种q 1 结 点集属于r 巧：属于q i ( ( t ) ) 的q 1 结点记为馁h l ，属于识( 如o ) ) 的q 1 结点记 为耀b ) ， 由于鬼如且两矩形剖分分别是拟一致的，则有矾( 如u ) ) 上的q - 结 点到如o ) 端点的距离比相应地在主边q i ( ( o ) 到( t ) 端点的距离长第三章的 误差估计和这个假设没有关系我们相信这种条件是不必要的，m o r t a r 边的选取可 以任意，参见【2 2 】 1 叼 ，) ，m ( 司 。二 3 吩 图2 1 另外，定义个辅助测试( m o r t a r ) 空间m b ( 如) ，它是l 2 的子空间，此空间里 的所有函数在r 巧上的n o n m o r t a r 边上的矩形剖分中是分片常函数故，m b ( 如o ) ) 一8 一 硕士学位论文 的维数等于如o ) 边上的中点数 引入n o n m o r t a r 如d ) = r 巧cr ，定义三2 的正交投影q m ：l 2 ( r 巧) 一m b ( h u ) ) 为 定义2 1 投影算子q m ：三2 ( r 巧) _ m b ( “o ) ) ，使得 ( q m t 正，妒) l 2 ( 6 。o ) ) = ( u ，妒) l 2 ( 6 。o ) ) ，v 妒订( k a ) ) ( 2 3 ) 对任何秽l 2 ( k j ) ，有 l i q m l l 至。( h j ) = ( q m u ，q m ) l 。( 。j ) = ( q m 钞， ) 胪，j ) i i 匈i m 口怯( h 川钉怯( j ) 于是，我们有以下引理 引理2 1 对任何移三2 ( 如j ) ，有 i i q m 怯( 。j ) i l 。( 如，j ) 现在我们可以定义如下离散m o r t 盯有限元空间y ： y = t 正，l ( q ) ：v d ) = ，h n ( t ) cr ，q m = q m 讹) ，( 2 4 ) 其中等式q m = q m 讹称为m o r t 甜条件注意，这里y 茌硪( q ) 如果记仇为u i 哦，为u l 奶对于 y ，由m o r t 缸条件可得 ( q m ( 一牡 ) ，妒) l ：( ，j ) = o ，咖m ( h u ) ) 而q m ( 吻一u i ) m b ( 如o ) ) ，所以我们有 i i q m ( 一饥) | i l z ( 如，j ) = o 此外，因为函数在有限元空间y 上的不连续性，我们必须在离散化问题中修 正双线性型o ( ，) 记o ，l ，知( ，) 是定义在属于q 上的子区域q 奄中的矩形剖分上的双线性形式， 则。蛐( u ，口) 和o ( 乱， ) 可如下定义 眠七( 叩) = v 让v u 如， q q h ( n k ) 。q n 钆( 让，钉) = 眠知( 让，口) 七= 1 这种形式的离散化问题为：求让：y 。h ，使得 n ( “：，u ) = ，( ) ， 讹y h 一9 一 ( 2 5 ) ( 2 6 ) p 豳s o n 问题的q 1 m o r t a r 元方法 容易得到，对任何乱，u y ， o ( 饥，钐) 硪( n ) 川硪( n ) 和 舭( “，口) 川( n ) 则问题( 2 6 ) 有唯一的解 在以后的章节里，我们引入下列记号：u ，z 芝! ，叫5 名它们分别表示存在 ，- ，_ 。 与 无关的正常数c ，e 使得 铡u c t 正，z c 可，u d 名 一1 0 硕士学位论文 3 1引言 第3 章误差分析 下面估计问题( 2 2 ) 的离散问题( 2 6 ) 的解的误差，所得到的误差估计与线性非 协调有限元方法的误差有相同的最优阶 这里结合本文的有限元给出s t r 肌g 引理的具体形式如同【2 2 ，2 8 】 引理3 1 设矿，u z 分别是( 2 2 ) 和( 2 6 ) 的解，设矿日2 ( q ) ，有 u + 一札抛c n ，蒜f 刊啪，+ 黜耋。赢。彳筹南如c 3 引理3 1 中的第一个式子称为逼近误差，第二个式子称为相容误差相容误差 是由于y 中的函数在界面上的不连续性造成的为了得到误差估计，下面引入了 一些辅助算子 引入矩形剖分q 妻( q 蠡) ，它由连接矩形剖分q ( q 蠡) 的两对边中点构成协调空 间矿h 2 ( q 知) 是由在矩形剖分q 皂( q 膏) 上的分片线性连续函数构成协调空问站7 2 ( q 七) 是 由矿 2 ( q 詹) 中在a q 七上迹等于零的函数组成 为了得到局部非协调空间( q 七) 的一些性质，首先定义局部等价映射尥： x ，l ( q 南) _ 矿 2 ( q 知) ，如同【2 9 】 定义3 1 给定礼( q 知) ，通过钆在矩形剖分q 鲁( q 知) 的顶点值定义尥让， 慨u 矿h 2 ( q 七) 顶点分为下列三种情形 ( 1 ) 如果尸q 暑：，贝u 朋k 让( p ) = u ( p ) ； ( 2 ) 如果p q 七， a q 知， ，且p 是q ( q 南) 的顶点，则 地仳( p ) = 志u i 够( p ) ， 其中谚是有共同顶点p 的矩形，( p ) 是谚的数目； ( 3 ) 如果q a q 知， ，贝0 酬妒嬲“( 鳓+ 黜u ( ， 其中q ，q 分别是q 的左，右q 1 结点 引理3 2 设尥u 如上定义，则对任意仳( q 七) ，有 一1 1 ： = ：= = = = = = 竺娑型塑坠垡尘垒垂垒垒= = = = = = = = 一 i uj 砩( n 。) j 慨乱j 砩( o 。) ， l l z ( q ) xi l m i 让怯( q 。) ， _ 酬s ) d s = u ( s ) d s 斑k 执2 l i 尥仳一u 怯( q 。) 墨k 川日i ( q 。) ， i i 慨札一u i i l ：( 。) 5 ：2 i 训日 ( q 。) ， 这里e 是q 七的任意一条边 证明：前面三个式子的证明参见 2 9 】下面证明第四个式子由对偶理论和逆 估计，有 i i 尥u 一札怯( n 。) 5 蚓训砰( 吼) 墨k m 砩( n 。) 再证最后一个式子，对于每个矩形q _ l ( 吼) 的一条边e 使用标准迹定理【2 5 】，有 l 慨“一让慨。) 从而 ( 地“一“) 2 如 x h ( 呱钍叫2 d s 孙7 u 叫2 + ( 掣) 2 + ( 掣) 2 】如哟 蛾：。【( 地让叫2 堋掣) 2 + 磙( 掣) 2 】蛐 三九i 1 1 l 靠钍一让1 1 至。( q 。) + 危j c i 帆u 一训( q 。) 三尼七i 乱瞎i ( q 。) + 南1 让一心i 备 ( q 。) 冬危南l u i ( q 。) + 2 危知( 1 眠训( n 。) + i u i 备a ( q 。) ) 墨饥1 乱l ( q 。) 尥让一u l i l 2 ( 。) 九鞠u k ( q 。) 即证引理3 2 对q 七的每条边记为e 定义耀( q 七) 是溉( q ) 的子空间，它是由所有在 a q 譬；e 2 1 结点上函数值等于零的函数构成的空间定义另一个局部等价映射峨： x ( q 知) _ 矿 2 ( q 七) ，如同 2 9 】 定义3 2 给定仳筏( q 七) ，通过u 在矩形剖分q 鲁( q ) 的顶点值定义蛭u ， 蛭让矿h 2 ( q 知) 顶点分为下列三种情形 ( 1 ) 如果p q 2 ：或p q 凫， 地鬼， ，贝0 1 2 一 。 硕士学位论文 垅u ( p ) = 靠u ( p ) ； ( 2 ) 如果q a q 七，_ i l e ，则 蛭让( q ) = o ； ( 3 ) 如果q e e 譬1 ，贝u 删妒嬲让( q r ) + 黜仳( ， 其中q ，职分别是q 的左，右q 1 结点 又因为m 在e 2 1 结点间是分片线性连续的，则有下面的性质 引理3 3 设尴乱如上定义，则对任何钍嚣( q 詹) ，有 m 硪( m ) xi 峨札i 峨( q 。) ， i l ：( o 。) i i 堠训k ( n 。) ， l l 垅u 一训l ：( 吼) 5 i 让i 砩( n 。) ， i i 峨乱一乱怯( 。) 5 y 2 m 硪( n 。) 此引理的证明如同引理3 2 如同 2 2 】，通过对任何p q 熙，定义伪逆映射( 尥) + ：矿 2 ( q 知) _ ( q 七) 其 中( 氟) + 仳( p ) = 乱( p ) 贝u 有 ( 慨) + 尥扎= 让，讹( q 七) 又对于u 矿 2 ( q 血) 有 l ( 尥) + 训砩( 吼) 5i 让l 砩( q 。) ， l i ( 地) + u 恢( q 。) 冬喙瓤) 因为q 2 ：包含于矿 2 ( q 七) 的结点集，参见【2 2 】则可以得到 ( 尥) + 峨钍= u ，u 砖( q 七) ( 3 2 ) 根据o h ，七( ，) 的形式将任意局部函数仳知( q 南) 分解成两个正交部分即 乱七= 上k 让屉+ 鼠u 七，( 3 3 ) 其中巩乱七是妣的离散调和部，最钍知是乱七到特殊子空间砩( q 七) 的正交投影，如 同【2 2 】记a 是包含了属于a q 患的q 1 结点的特殊结点集，其中q ，结点是有一边 为m o r t a r 边( 七) 的矩形边的中点定义子空间砖( q 知) 由满足下面两个条件的所 有函数的全体构成的函数空间：1 属于空间( 吼) ；2 在所有a 七结点上的函数值 一1 3 p 0 i s 8 0 n 问题的q l m o r t a l r 元方法 等于零 乱( q ) 的离散调和部分定义是 n ，知( 凰，讥) = o ，v 仇砖( q 七) ， 凰札( p ) = u 知( p ) ，v p a 七， 且最u 知是乱( q ) 到戤( q 七) 的正交投影，即 n ，七( f k t 正七，勘七) = o ，七( t 正知，钉七) ，、咖知j c 袅( q 七) 定义一个辅助算子m ：l 2 ( 如o ) ) _ 时( 如o ) ) ，其中空间时( 。) ) 由满足 下面两个条件的所有函数的全体构成的函数空间：1 在如o ) 的端点处函数值等于 零；2 在以碾b ) 为端点的线段上是分片连续的对于每个m u 时( 如u ) ) ，m 由q 仇在鹾b ) ， 的值决定，即 m 仳( p ) = q m u ( p ) ， v p 熙b ) ， ， ( 3 4 ) 其中q m 乱定义见( 2 3 ) 下面引理说明了算子m 的l 2 和础2 范数的稳定性 引理3 4 设m 如上定义，则有 | | m 牡f l l z ( 6 。( j ) ) 5 | | 让i | l 2 ( 6 击u ) ) ，b 包己2 ( 如d ) ) ， j | m 缸j j 础：( “( j ) ) 5 础。( ) ， 讹础2 ( 如u ) ) 证明：首先证l 2 稳定性 “让嵫) p 副u 硎2 = 如i q m 让( p ) 1 2 p 壤趴 l i q m 训羔。( ) i i u 慨o ) ) 为了证明础2 稳定性，先证明m 的硪范数的稳定性定义一个辅助算子： 嘲( u ) ) _ 时( ( j ) ) ，它是在嚷流 结点间的分片线性插值算子连续使用嵌入 定理日1cc o ，则有 n j 乱1 日t ( k ( j ) ) 5m 日- ( ) ，讹础( o ) ) ( 3 5 ) 则，对“嘲( 如o ) ) 可以分解成 i m 训1 ( ( j ) ) i n m 牡一 j “1 日z ( ( j ) ) + f ju i h z ( ( j ) ) 一1 4 第二个式子由( 3 5 ) 估计第一个式子由逆不等式有 m u 一 j 仳如) 5 坷2 0 唧札一 j 乱慨“u ) ) 蚵2 ( m 牡一 j 仳) 2 如 町1 x 蚵1 i m 乱( p ) 一 j 乱( 尸) 1 2 p 吼) f p 壤b ) i q 仇让( p ) 一o 让( p ) 1 2 x 7 1 i q 仇让( p ) 一牡( p ) 1 2 p b ) ， = 町2 吻 i q m 让( p ) 一仳( p ) 1 2 p 壤b ) = 坷2 i i q m 乱( p ) 一u ( p ) i | 羔z ( 如o ) ) 5 蚵2l i q 仇让( p ) 一乱( p ) l i 乞( e ) e ( 璇( 6 m u ) ) 5 町2 l u 。) e 璐碍( k ) l 钍o ) ) 其中，e 是硪( 如( j ) ) 中含有中点p 的一个矩形剖分单元，q m 让( p ) = 击，让( s ) d s 再 e 应用嵌入定理日1 ( e ) c 伊( e ) 和p i 伽r 百不等式( 见第一章) ，所以 又因为