（计算数学专业论文）两类不适定问题的若干正则化方法.pdf

摘要 本论文研究两类不适定问题的正则化方法一类是解第一类算子方程，另一类是近似 已知函数的求导问题全文共分六章 第一章简要地介绍两类不适定问题传统的正则化方法及本论文的主要工作 第二章研究解第一类算子方程的迭代正则化方法主要结果有t 给出了一种解第一类 算子方程新的迭代正则化方法，与传统的迭代正则化方法相比，提高了j 次迭代正则解的 收敛率，给出了后验正则参数的选择方法 第三章研究解第一类半正定算予方程的动力系统方法证明了c a u e h y 问题的解是唯 一存在，且收敛于算子方程的解，构造了一收敛于算子方程解的迭代序列 第四章研究解第一类积分方程的正则化方法，着重讨论了二维求解问题，给出了第一 类积分方程近似解的表达式 第五章研究近似已知函数的稳定求导方法( 正则化2 r i 去) 给出了几种不同形式的稳定 近似求导方法，主要结果有：( 1 ) 给出了近似已知函数的稳定求导方法引进了近似求导 算子，证明了新的求导方法优于g r o e t s c h 的求导方法( 2 ) 给出了近似已知函数的高精 度稳定近似求一阶，二阶导数方法，推广了g r o e t s c h 的求导方法，有一定的理论与应用价 值( 3 ) 给出了近似已知函数的高精度样条磨光稳定求导方法，与传统的磨光稳定求导方 法相比，极大地提高了近似导数的收敛率( 4 ) 给出了计算有随机误差的近似已知函数的 多点差分求一阶，二阶导数方法，推广了a g r a m m 的部分结果( 5 ) 提出了求近似已知 二元函数的稳定偏导数方法 第六章研究求a b e l 型积分方程数值解的正则化方法 关键词t 第一类算子方程，近似已知函数的导数，动力系统方法，正则化方法，a b e l 型积分方程 i i a b s t r a c t t h i sp h d t h e s i sm a i n l yc o n c e r n sr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sf o rt w ok i n d so fi l l - p o s e dp r o b - l e m s o n ei so p e r a t o re q u a t i o n so ft h ef i r s tk i n d ，t h eo t h e ri st h es t a b l ea p p r o x i m a t em e t h o df o r d i f f e r e n t i a t i o no fs p e c i f i e df u n c t i o n s i ti sc o m p o s e do fs i xc h a p t e r s i nc h a p t e rlw eb r i e f l yi n t r o d u c et h eo r d i n a r yr e g u l a r i z a t i o nf o rt w ok i n d so fi l l - p o s e d p r o b l e m s ，a n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ea l s oo u t l i n e d i nc h a p t e r2w ep r e s e n tan e wm e t h o do fi t e r a t e dr e g u l a r i z a t i o nf o ro p e r a t o re q u a t i o n so ft h e f i r s tk i n d ，t h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h ei t e r a t e dr e g u l a r i z a t i o no fo r d e rji si m p r o v e d ，a sc o m p a r e d w i t ht h eo r d i n a r yi t e r a t e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d w ea l s og i v ea l lap o s t e r i o r im e t h o d f o rc h o o s i n gt h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r ， i nc h a p t e r3w es t u d yt h ed y n i m i c a ls y s t e mm e t h o df o ro p e r a t o re q u a t i o n so ft h ef i r s tk i n d i n v o l v i n gt h es e m i p o s i t i v ed e f i n i t eo p e r a t o r w ep r o v et h a tt h e r ei so n l yo n ec o n v e r g e n ts o l u t i o n t ot h ec a u c h yp r o s l e m a n dw ep r o p o s eai t e r a t i v ep r o c e s sw h i c hc o n v e r g e st ot h es o l u t i o no f t h eo p e r a t o re q u a t i o n i nc h a p t e r4w ep r e s e n tar e g u l a r i z a t i o nn l e t h o df o ri n t e g r a le q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d ， e s p e c i a l l yw i t hr e s p e c tt ot h et w od i m e n s i o n a lp r o b l e m s w ep r o p o s eaf o r m u l ao fa p p r o x i m a t e s o l u t i o no fi n t e g r a le q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d i nc h a p t e r5w ep r o p o s es o m ed i f f e r e n ts t a b l ea p p r o x i m a t em e t h o d s ( r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ) f o rd i f f e r e n t i a t i o no fs p e c i f i e df u n c t i o n s ，t h em a i nr e s u l t sa r ec o m p o s e do ff i v ep a r t s ：f i r s t ，w e p r o v i d eas t a b l ea p p r o x i m a t em e t h o df o rd i f f e r e n t i a t i o no fs p e c i f i e df u n c t i o n s ，ao p e r a t o rf o r d i f f e r e n t i a t i o nh a sb e e ni n t r o d u c e d ，w h i c hi m p r o v e se s t i m a t ea sc o m p a r e dw i t ht h eg r o e t s e h s m e t h o df o ra p p r o x i m a t ed i f f e r e n t i a t i o n s e c o n d ，w ei n t r o d u c ean e ws t a b l ea p p r o x i m a t em e t h o d f o rd i f f e r e n t i a t i o no fs p e c i f i e df u n c t i o n sa n ds e c o n dd i f f e r e n t i a t i o no fs p e c i f i e df u n c t i o n s ，w h i c h i sa i le x t e n s i o no fg r o e t s c h sm e t h o df o ra p p r o x i m a t ed i f f e r e n t i a t i o n t h i r d as t a b l eh i g ha c c u r a c ys m o o t h i n gm e t h o db ys p l i n ef u n c t i o nf o rd i f f e r a t i a t i o no fa p p r o x i m a t e l ys p e c i f i e df u n c t i o n s h a sb e e ni n t r o d u c e d t h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h ea p p r o x i m a t ed i f f e r e n t i a t i o ni sh i g h l yi m p r o v e d u n d e rs o m ec o n d i t i o n ，a sc o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a ls m o o t h i n gm e t h o df o ra p p r o x i m a t ed i f - f e r e n t i a t i o n f o u r t h ，f i n i t ed i f f e r e n c en m t h o df o rt h en u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o no fr a n d o mf u n c t i o n h a sb e e ni n t r o d u c e d ，w h i c hp a r t l ye x t e n d st h er e s u l t si na g r a m m f i n a l y , an e ws t a b l e i i i a p p r o x i m a t em e t h o df o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a t i o no ft h es p e c i f i e dt w ov a r i a b l ef u n c t i o n sh a sb e e n i n t r o d u c e d i nc h a p t e r6w ep r e s e n tar e g u l a r i z a t i o nm e t h o df o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fa b e l si n t e g r a l e q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：0 p e r a t o re q u a t i o n so ft h ef i r s tk i n d ，d i f f e r e n t i a t i o no fs p e c i f i e d f u n c t i o n s jd y n i m i c a ls y s t e mm e t h o d ，r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，a b e l si n t e g r a le q u a t i o n i v 1 _ 1 适定问题与不适定问题 第一章综述 适定性的概念是在1 9 2 3 年由数学家阿达玛( j h a d a m a r d ) 在研究数学物理的定解问题 提出的( 见【1 1 ) 一个定解问题称为适定的( w e l l - p o s e d ) ，如果满足三个条件：( 1 ) 解是存在 的( e x i s t e n c e ) ；( 2 ) 解是唯一的( u n i q u e n e s s ) ；( 3 ) 解是连续依赖于初始数据( s t a b i l i t y ) 如 果三个中有任意一条不成立，则称该问题是不适定( i l l - p o s e d ) 从数学的角度来看，扩展解 的空间可以确保解的存在性，微分方程的广义解的概念就是一个例子如果解不唯一，可 以附加一些条件，比如边界条件，确保解唯一解是稳定性这一要求是最重要的如果定 解问题失去了这一要求，那么定解问题的解是无法计算的，因为，数据的测量与数值计算 不可避免的带有误差，如果问题的解不能连续地依赖于数据，一般说来，计算得到的解与 真解就可能有很大的误差因此，解是连续依赖于初始数据这一要求，对数值计算是十分 最重要的用数学语言描述如下：大量的数学物理问题可以归结为算子方程 a u = s 这里x ，y 是度量空间，a ：x y 是线性或非线性算子，算子a 与方程右端，已知条件 ( 1 ) ，( 2 ) 等价于算子 是满射及1 - 1 的，条件( 3 ) 等价于逆算子a - 1 ：y x 是连续的值 得指出的是，问题的适定性与算予，空间x 和y 以及这两个空问的度量有关( 见【2 】) 对 一个不适定问题，人们可以改变空间x ，y 及他们的度量使之成为适定问题。但这种处理 未必是恰当的，因为空间x 及度量是由实际问题决定的，特别地，空间x 及度量必须适 合于测量数据的描述 大量的实际问题是不适定问题第一类算子方程的求解及近似已知函数的求导是典型 的不适定问题( 见文3 , 4 ，5 1 ) 1 2 第一类算子方程与正则化方法 考虑第一类算子方程( 1 1 ) ，为讨论方便，以下假设x ，y 是h i l b e r t 空问，a ：x y 是有界线性算子设，d ( a + ) = r ( a ) o 兄( a ) 1 ，这里a + 是m o o r e - p e n r o s e 广义逆设 ，6 y 满足不等式 i i ，一，5 i | 占( 1 2 ) 众所周知，方程( 1 1 ) 的最小范数解唯一存在，用u + = a + f 来表示如果r ( a ) 非闭，则 a + 无界；即使，6i f ：d ( a + ) ，也无法保证a + f 6 能够合理地逼近a + f 因此，( 1 1 ) 的求解是 不适定问题 为了获得稳定的逼近一的近似解，要采用特殊的方法，这种方法称之为正则化方法 ( r e g u l a r i z a t i o n s ) ( 见【2 , 3 ，4 】) 假设 冗。l 是由】，一x 到的连续算子集( 线性或非线性) 如果 存在一参数o ：= o ( 6 ，5 ) ，使得下式对任意矿( a ) 1 成立 s u p l l u + 一冗。( 6 ，一，5 i i x ：，6 y ) i i a u + 一，6 i i y 6 一0 a 86 0 ( 1 3 ) 则称 冗。) 是正则算子( r e g u l a r i z a t i o no p e r a t o r ) ( 见 3 】) n 称为正则参数 以上的收敛性可能是非常慢的，除非矿附加某种“光滑性”的条件假设托，。：= ( a ) ”u ：u ( a ) 1 ，l i u l l x 兰p ，这里p ，p 0 如果u + 耳那么收敛率是可以求出 的为了描述正则化方法在耳，。中能达到的最高收敛率，引进渐近最优阶( o r d e ro p t i m a l i t y ) 的概念( 见 3 】) ：如果存在与6 和，6 无关的常数q 使得 s u p l l , , + 一冗。( 6 ，6 ) f 6 i i x ：f 6 y ，i i a 钍+ 一，5 i i v 6 ) q 。1 ( 2 “+ 1 ) 占2 ”( 跏+ 1 ) ( 1 4 ) 成立，则称正则算子 代。) 关于算子a 在耳p 中是渐近最优的( o p t i m a lo r d e r ) 构造正则算子冗。的方法很多( 见1 4 - 1 6 ) ，最常见的是变分方法( 最著名的是t i k h o n o v 正则化方法，共轭梯度法) 当然，除此之外，还有其他方法，比如近似逆( a p p r o x i m a t e i n v e r s e ) 方法( 见 6 ，7 ，8 】) ，r u n g e - k u t t a 积分方法( 见【9 】) 等这样一类算子可以写成如下 形式t 7 k ：= 啦( a + a ) a + c ( y x ) 这里，蚰( a ) ：【0 ，i i a i l 2 】一r 是分段连续函数，满足 ( 1 ) 存在p o 0 使得对任意p ，0 兰p p o ，d 0 ，有 s u p ”1 1 一a 乳( ) l c k 。”， ( 1 5 ) o 曼 0 a 2 ( 2 ) 对每一个p ( 0 ，1 1 ，存在乱 0 ，使得 s u pa l g 。( a ) i d 。n 一( 1 6 ) o 茎 茎i i a 俨 定理i i 如果u + j 0 。且条件( 1 5 ) ，( 1 6 ) 成立，则 怕：一u 刈筹+ ( 1 8 ) 2 这里，= 冗。f 5 = 9 a ( 岔a ) a + f 6 该定理的证明是简单的，注意到，只要取。= ( ) 赤6 南，就有 ：一州 2 q 。( 急) 煮6 器 正则参数的选取，方法很多，有修正的a r c a n g e l i 方法，m o r o z o v 偏差原则( d i s c r e p a n c y p r i n c i p l eo fm o r o z o v ) 等方法可以参看文【2 , 3 ，3 ，4 】 例子： 1t i k h o n o v 正则化方法： ( n ，+ a + a ) u ：= a ，6 这里，条件( 1 5 ) ，( 1 6 ) 对如( a ) = ( + o ) - 1 成立( q = 丸= 1 ，p o = 1 ) 2 ：t i k h o n o v 隐式迭代方法： ( a ，+ j 4 ) ，6 = n “。i - d i + a * 1 6 ， i = 1 ，2 ，七， u ：d = 0 这里，条件( 1 5 ) ，( 1 6 ) 对g 。( ) = 【1 一( 南) ，任意p 。 o 成立 研究第一类算子方程的不适定问题，正则算子的构造，是最核心的问题，是本论文最 关注的问题当然，正则参数的选择在实际问题中也非常重要，这方面的工作，本论文也 做了一些 1 3 近似已知函数的求导与正则化方法 近似巴知函数的数值微分是一典型的不适定问题( 见【1 7 】) ，因为函数的微小变化，可 能会导致导数值的巨大变化然而实际问题中，近似已知函数的求导是相当重要的许多 著名学者采用许多的技巧研究过此闯题( 见f l v - 3 2 ) ，大致分三类：差分法，磨光法，正则 化方法前两种方法与中心差分有关，方法可以概括如下：定义算子 州( 小= 监业掣， 0 ( 1 8 ) 这里，6 ( z ) 是函数，( z ) 的近似值，h 是正则化参数，只要适当的选择参数h = ( 6 ) ，就 能得到，( 。) 的近似导数巩，6 ( z ) ( 见【2 3 】) 大多数方法属于第三类，利用变分原理来解不 适定问题，这些方法主要是把求导数问题转化为求v o l t e r r a 积分方程的解( 见【2 3 ，2 4 1 ) ，具 体做法如下：求二次泛函的极小 一船【0 , 1 】+ 。1 】2 ，密川 ( 1 9 ) 3 这里，a f ( x ) ：= 譬y ( t ) d t ，由此得到带参数的第二类适定问题 ，1 a ，( z ) + g ( x ，u ) f ( u ) d u = m ( z ) ，0 z 曼1 ( 1 1 0 ) j 0 由正则化方法得到带正则参数的适定问题，一旦最优的正则参数求出，从适定问题( 1 1 0 ) 就能求出导数值( 见【2 0 】) 但是，遗憾的是正则参数的选择是非常麻烦的( 见f 2 3 】) 如果实 际问题中知道的是些散乱的数据，也可以用正则化方法来求稳定近似导数，做法与前面稍 有不同，具体做法是求以下二次泛函的极小， e p j ( f ( x j ) 一g ( 巧) ) 2 + q | | ，嘶叫2 ，珊1 】( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 的解是带参数a 的三次样条函数，文【17 】中给出了误差估计数值微分的磨光法 ( n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nb ym o l l i f i c a t i o n ) ，其主要思想是对近似已知函数，6 ( 。) 进行磨光 具体做法如下( 见【4 1 ) ：先取磨光函数札( ) ，满足条件j = 等札( t ) d t = 1 ，比如g a u s s i a n 函数： 忆( ) ：2 去e x p ( _ t 2 n 2 ) ( 1 1 2 ) 这里n 0 是正则参数，则( 站) ：l 2 ( o ，1 ) 一工2 ( o ，1 ) ； ( ) 7 ，6 ( z ) ：= ( 妒：+ ，6 ) ( z ) = 母：( z t ) f 6 ( t ) d t j 0 然后用( 啦。) 7 ，6 ( z ) 来近似逼近，) ，文【3 2 】中证明了，只要适当的选取正则参数。= “( d ) = g d ，就能得到误差估计 i i ( 矗) 7 ，6 1 1 1 2 = o ( 6 ) 这种方法的优点是有显式表达式。正则化参数也易求出，缺点是精度不高在本论文的第 五章，介绍三种不同的近似稳定求导方法，可以提高稳定近似导数的收敛率 1 4本论文的主要工作 本论文的主要工作是构造了若干解不适定问题的正则化方法，推进了前人的一些结 果分以下几个部分 1 解第一类算子方程的迭代正则化方法构造了解第一类算子方程新的迭代正则化方 法，与传统的迭代正则化方法相比较，提高了j 次迭代正则解的收敛率，给出了后验正则 4 参数的选择方法这部分的内容见本论文的第二章，将发表在高校应用数学学报上 ( 已录用) 2 解半正定算子方程的动力系统方法给出了解半正定算予方程的动力系统方法，构 造了迭代序列，适当的选择时间参数，该序列收敛于算子方程的最小范数解这部分的内 容见本论文的第三章 3 解第一类积分方程的正贝化方法利用变分原理，给出了解第一类积分方程的正则 化方法，尤其是对二维问题，给出了正则解的表达式这部分的内容见本论文的第四章 4 近似已知函数求导问题的正则化方法构造了几种求近似已知函数稳定近似导数的 方法，推广了g r o e t s c b 的求导方法具体讲可以细分为， ( 1 ) 近似已知函数的稳定求导方法提出了新的求导算子，并证明了新的求导方法与 g r o e t s c h 的求导方法比较，提高了近似稳定导数的收敛率。这部分的内容见本论文第五章 第一节，将发表在高等学校计算数学学报上( 已录用) ( 2 ) 近似已知函数的高精度稳定近似求导方法构造了近似已知函数的高精度稳定近 似求一阶，二阶导数方法，推广了g r o e t s c h 的求导方法，有一定的理论与应用价值( 审稿人 提供的意见) 这部分的内容见本论文第五章第二节，将发表在数值计算与计算机应用 上( 已录用) ，同时，英文翻译稿件将发表在c h i n e s ej n u m e r m a t h a n da p p i ( a c c e p t e d ) ( 3 ) 近似已知函数的离精度样条磨光微商方法提出了求近似已知函数的高精度样条 磨光微商方法，极大地提高了近似导数的收敛率这部分的内容见本论文第五章第三节， 将发表在中山大学学报( 自然科学版) 上( 已录用) ( 4 ) 带随机误差的近似已知l 巍数的稳定求偏导方法讨论了带随机误差的近似已知函 数的稳定求偏导方法，部分推广了a g r a m m 的结果这部分的内容见本论文第五章第四 节 ( 5 ) 近似已知二元函数的求一阶，二阶偏导数稳定方法将g r o e t s c h 的求导方法推广 到二维空间，提出了二元近似已知函数的稳定求偏导( 一阶，二阶) 方法，得到了一些意 义深刻的结果，给出了算例这部分的内容见本论文第五章第五节 5 求a b e l 型积分方程数值解的正则化方法提出了近似已知函数稳定求导方法在求 a b e l 型积分方程数值解中的应用把近似已知函数稳定求导方法与两点复合g a u s s - l e g e n d r e 求积公式结合起来，给出了a b e l 积分的数值反演，其结果是数值稳定且精度较高这部分 的内容见本论文第六章 5 第二章解第一类算子方程的迭代正则化方法 大量的数学物理问题可以归结为第一类算子方程，因此，研究第一类算子方程的求解 有重要的意义设x ，y 是实的h i l b e r t 空间，a ：x y 是具有非闭值域的有界线性算子 设，d ( a + ) = r ( a ) o 兄) 1 ，这里a + 是m o o r e - p e n r o s e 广义逆设6 y 满足不等式 i | ，一，6 | | 6( 2 1 ) 我们知道，求解第一类算子方程 a u = f( 2 2 ) 一般是不适定的l 见 2 - 5 ，1 4 - 1 6 ) ，由于a + 无界，即使，5 d ( a + ) ，也无法保证a + ，5 能够合 理地逼近以+ ，广泛采用t i k h o n o v 正则化方法构造方程( 1 , 1 ) 的稳定近似解。文 3 5 】提出 了一种新的正则化方法，即取使泛函i i a + ( a u 一，6 ) 1 1 2 + 酬u i l 2 极小化的值“作为a + f 的 近似值，在a + f r ( ( a + a ) 1 ) ( o 7 2 ) 的假设下，得到t i 贝f j 解的渐近阶估计是o ( a i ) ， 并且是最优的本章指出，更高阶的渐近阶估计可以用迭代方法获得，与通常的t i k h o n o v 迭代正则化方法( 见【3 6 ，3 7 】) 比较，提高了j 次迭代正则解的渐近阶估计 我们先建立迭代正则化方法，然后依据修正的a r c m l g e l i 方法来选择正则化参数，证明 了正则解的收敛性，并在a + r ( 2 v ) 的条件下得到了j 次迭代解渐近阶估计为o ( ( 6 + ) 鼎) ，高于j 次通常的t i k h o n o v 迭代解的渐近阶估计o ( + h ) 暴1 ) 为方便起见，令 j = a + a a = a a + 2 1 迭代正则化方法 设u 。0 5 = 0 ， u ：6 ) 是使泛函 易( ”) = i i a + ( a u f 6 ) 1 1 2 + n o u 一砭i l 酽 ( 2 3 ) 取极小化的序列，简单计算可知，畦j 满足： ( o d + 斧) d = n + 拟+ ，6 ，j = l ，2 3 ( 2 4 ) 由归纳法可得： ，j = a “( a ，+ 矛) 一函，5 ， j = 1 ，2 3 ( 2 5 ) 6 设 j 壤= 。“( a i - t - 癣) 一五， j = l ，2 3 一( 2 6 ) i = i 定理2 1 若a + j = 矛u ，u x ，0 1 52 j ，则 i 6 一a + 1 1 d 1 5 a i 1 + d 2 a 这里，d 1 = j ，d 2 = f 证明由于 j | | ，d 一碡| | = 1 1 n 。1 ( a i + 斧) 一无4 + ( ，5 一i ) 1 1 i = 1 j 1 1 , 2 1 ( a ，+ 斧) 一勘+ 陋 令g = ( x i - - 1 ( o j + 五2 ) 一肓a ，m ( ) = o 卜1 t ( + t 2 ) 一，贝4 ( 见【5 】) i l a + l l 曼阮拆丽 ( 27 ) 这里，a i = m a x l t g i ( t ) l ：t 【0 ，l i a i l 2 ，r ( o ) = m a x i g i ( t ) i ：t 0 ，i i a i l 2 ) ，作变换t = 、，g ，则 c i = m a x i + 2 2 ( 1 + 2 ) 一i l i g i ( t ) l = o 一 l u ( 1 + u 2 ) 一t i o + - - 于是，r ( n ) n j 1 ，i i c i ( n ) | | 兰5 a 从而 l l 吒5 一碡0 j 6 a 一，( 2 8 ) 另一方面，由于a + ，= 矛。，u x ，0 0 以下假定； ，0 a + 广0 ( 2 1 4 ) 由引理2 5 可知，方程( 2 1 3 ) 对每一个j n 有唯一解q = q ( 6 ) 引理2 6 ( 1 ) 骧( j ) = o ，坳n ( 2 ) q ( 6 ) q 一1 ( d ) ，”2 ，5 0 证明( 1 ) 假设有一序列 如) ，熙矗= 0 ，使得。n ：= 幌) 一+ o 。，n ，则有 0 2 熙醒2 ，溉醒丹) = 十o 。 这是矛盾的，故 n 。) 是有界的 假设有一序列 如 ，撬如= 0 ，但是a n = ( 如) 一c o m 一十。) ，则有 0 = j 粤巴醒= 拦恐。：丹( 。n ) = c 9 l i j ( c ，+ 矛) 一 + ，1 1 2 = 一2 j l i ( c i + 斧) 一j 4 a 朋2 ，巧n 于是，勘f = 0 不难证明，n ( a + ) = n ( a 且小) 故岔f = 0 这与( 2 1 4 ) 矛盾故 ；吩( 6 ) 3 0 ， ( 2 ) 由q 的定义及引理2 5 可知： q 一1 ( 6 ) 。一( 吩一1 ( j ) ) 茎一1 ( 6 ) 。p 一1 ( 一1 ( d ) ) = 酽= q ( 6 ) 9 乃( 町( 6 ) ) 由a a 丹( o ) 关于。的严格递增性知： q 一1 ( 6 ) 哟( j ) ，5 0 ，v j 2( 2 1 5 ) 引理2 7 假设0 1 时，6 n i 6 n i ，故 一i 鸭4 ( j ) = o ， 定理2 8 设2q ( 6 ) 是方程( 2 1 3 ) 的解，则溉吐，d 。a + ， 证明由定理2 1 及引理2 6 引理2 7 可知结论成立 引理2 9 设j 2 ，o 0 于是 6 p a - 9 一巧= 扩町4 町卸= 丹( ) 町副= i i 砖一( ，+ 6 一碡) 1 1 2 一i i a 1 1 2 ( d o ) 于是，存在常数q ，q 0 ，使得当6 充分小时 c 1 酽巧( 6 ) 一口一巧c t 定理2 1 1 对每一个d 0 及，6 y ，满足i l ，一，60 6 设“是j ( j 2 ) 次迭代正则解，是方程( 2 1 3 ) 的唯一解，并假设( 2 1 4 ) 成立，p j 满足关系式， 4 a ( 4 j + 1 ) 一巧= q ( 8 j 2 8 丁一2 ) ，a + f r ( j 对) ( j ) ，则 i l 螅舶a + 川= o ( 6 蒲) ( 6 一o ) 证明简单计算可知，引理2 1 0 的假设条件满足，故由定理2 1 及引理2 1 0 可知 i i 嵋5 一a + f l l 茎d 1 5 0 t j 一5 + d 2 c 弓j d 1 碍而16 1 一而+ d 2 c f 南6 尚 t = o ( j 苟打) 一o ) 这里，a ，q ，d 1 ，d 2 分别是引理2 1 0 ，定理2 1 所指的常数 2 3 算子及其右端都是近似给定的情形 设h 0 ，a h ：x + y 为有界紧线性算子，满足： 0 如一a 临h 为方便，令 五= a b a h ，吞= 如雒构造序列 点 ) ： j ! = 0 ，u j 。鼬= 。1 ( a i + 瑶) “a h a * h f 6 ， j = l ，2 3 一 ( 2 1 6 ) 引理2 1 2 设o t 0 ，则( 1 ) n “( n n 一斧) 一元圳! n i 1 ，( 2 ) j l “i 一1 ( n 一癣) 一且+ j j 兰n i 3 若把t ，j 分别换成如，五结论也成立 证明仅证( 2 ) ，其它一个可类似证明令 毋 是五的谱族，则 忙“( a j + 矛) 1 + 1 1 2 = o 。( i 斋) 2 i 0 l 2 ( i - - 1 ) a d i i e h i l 2 _ 0 ，则存在不依赖于n ，h 的常数c i 0 使得 i l 五( n ，+ 奢) 2 一( n j + 震) 五0 q h 证明用数学归纳法不难证明若把如，氖分别换成a ，五结论也成立 令r = 狮珊 定理2 1 4 设j n 崩6 ，h 0 ，则存在不依赖d ，6 ，h 的常数c ，使 | | 畦 一，d i | c 0 + ) o 一 若a + i r ( v ) ，则 l l 砭，鼬一畦，5 i i s c ( 6 + ) a 一 证明由于 j 畦 一唛d = 一1 【( n j + 毽) 一五啦一( a 矛) 一她+ 1 ( ，6 一，) t = 1 十 i 1 ， 十 i = l _ 1 a * h ( o d + 穗) 。氲一( c d + 矛) 一勾， 0 1 ( a ：一a + ) ( o j + 2 2 ) 一旬 令f 1 = o v i - - 1 a * h ( e d + 雹) ，岛，= 五( 。“一孕) 一( q j + 雹) 五f 3 ，。= ( d + 癣) 一幻 由引理2 1 2 及引理2 1 3 可得 f 4 一，j l f 兰够+ 矗) 一 + i i i | 最t l f c + h ) c , - j ( 2 ，1 7 ) i = 1k = l 这里，c 为不依赖于n ，6 , h 的常数若a + f r ( 2 v ) ，令a + f = j u 则 l i f 3 l 1 1 ( a i + 矛) 一2 2 a i j 印一班u | | sc l a 研为不依赖于n ，6 ，h 的常数于是，同理可证： i | ，6 ， 一疋60 sc p + ) n 一 ( 2 1 8 ) 定理2 1 5 设n ，5 , h 0 ，a + se r ( 2 j ) ( i ) ，则存在常数q o ，d 2 0 使得 n j o ，6 一a + 州伤+ h ) 。一 + d 2 一 证明由定理2 1 有 | | d a + 1 1sd l 缸一i 1 + d 2 一 故由定理2 1 4 及上式可知存在常数q 0 ，使得 i i 畦，5 ， 一a + 刘sc 鼍p + ) 。一 + d 2 0 ， ( 2 1 9 ) 1 3 2 4 正则化参数的选取及误差估计 令 丹( a ) = | l 五j a i ( a h u j 。a h f 1 ) 1 2 ，j = l ，2 ，3 引理2 1 6 下面结论成立 ( 1 ) 对所有j n ，舰丹( a ) = o ，熙丹( n ) = i i a * h f 6 i i ； ( 2 ) 对每个j n ，丹( o ) ： 0 ，o 。) + r 关于n 是严格递增函数； ( 3 ) 对每个j n ，j 2 ，0 ( n ) 乃一1 ( n ) 证明可仿照引理2 5 类似证明 不难验证 a h a * h ( a h u j , 。，6 一，6 ) = 一q ( 一u j 。- 。1 ) 冉( 口) = o t 2u j 晡h 碡五0 2 为了得到收敛性，我们采用修正的a r c a n g e l i 方法来选择正则化参数， 定 丹( o ) = ( 矿+ 8 ) o 一。 这里，p ，q ，s 0 以下假定： + f 0 ，a + f 6 0 ，a * h f 6 0 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 即n 由以下方程确 ( 22 3 ) ( 2 2 4 ) 由引理2 1 6 可知，方程( 2 2 3 ) 对每一个j n 有唯一解0 9 = q ( d ，h ) 引理2 1 7 ( 1 ) 墨器q ( j ， ) = o ，v j n ( 2 ) q ( 正a ) 呵l 饩 ) ，v j 2 ，5 0 ，h 0 证明( 1 ) 假设有一序列r 。 ：r n = 鬲：f 碡一o 一。) ，使得q ，。= ( 矗，k ) 一 + o o ，v j n ，则有 0 2 县( 醒+ 能) 2 桌。丹( q ，n ) = + o 。 这是矛盾的，故 n 。 是有界的 又假设有一序列 ) ：7 n = 、再而i o m o o ) ，但是a j , 。= 町慨，k ) 一c o m 一 + 。) ，则有 02 占臻( 醒+ 螺) = 士恐噶，。丹( q ，n ) = d l l d j ( c ，+ j 2 ) 1 a + v i i 2 = c q2 j i i ( c l + 霄) 一j a a 川2 ，n 于是，五a + ，= 0 不难证明，n ( a + ) = n ( a + a 4 + ) 故a + ，= 0 这与( 2 ，2 4 ) 矛盾于是 ! 觋唧，n ( 6 ， ) = 0 ，n 1 4 ( 2 ) 由q 的定义及引理2 1 6 可知： 凹一l ( 6 ， ) 丹( q 一1 ) 0 善一1 ( d ，h ) p j l ( q 一1 ) = 矿+ h 8 = 蟛丹( q ) 由。丹( a ) 关于n 的严格递增性知 q l ( 6 ， ) 曼a j ( 5 ， ) ，5 0 ，h 0 ，2 引理2 1 8 假设o m = m l x p ，s ) s4 q ，则躲7 丐 ( 正 ) = o ，巧 证明当j = 1 时 p l ( n ) = ( 5 p + h a ) d f 4 = 扩n f 。+ h s o ， ：( 如i4 1 ) m a i 。+ ”酽m + ( 。i1 1 ) m 。i 。+ “ ( 6 。i ；) ! 。：一 护p p l (